10 класс

А-10    (авт. Ю.М. Колягин)      Контрольная работа №3

                                             Степень с действительным показателем

Базовый уровень

В – 1                                                                                                                    В - 2

1.  Вычислить:

1)                                                             1)

2)                                                       2)

2.  Упростить выражение при

1)                                                                         1)

2)                                                           2)

3. Сократить дробь                                   3. Сократить дробь

4. Сравнить числа:

1)                                                       1)  

2)  и 1.                                                                             2)  и 1.

5. Найти сумму бесконечно убывающей                   геометрической прогрессии,

если

5. Найти  второй член бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если сумма её членов равна , а знаменатель равен

А – 10 (Ю.М. Колягин) Базовый уровень            Контрольная работа №4

Степенная функция

Вариант 1

1. Найти область определения функции .                                  

2. Изобразить эскиз графика функции у = х7  и перечислить её основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции:

1) сравнить с единицей (0,95)7;

2) сравнить  и .

3. Решить уравнение:

1)   2) .

3)

4. Установить, равносильны ли неравенства  и <0.

5. Найти функцию, обратную к функции . Указать её область определения и множество значений. Является ли эта функция ограниченной? 

                                                                  Контрольная работа №4

Степенная функция

Вариант 2

1. Найти область определения функции  .

2. Изобразить эскиз графика функции у = х6  и перечислить её основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции:

1) сравнить с единицей (1,001)6;

2) сравнить  и .

3. Решить уравнение:

1)   2) .

3)

4. Установить, равносильны ли неравенства  и .

5. Найти функцию, обратную к функции . Указать её область определения и множество значений. Является ли эта функция ограниченной?

А-10 (Ю.М. Колягин) Базовый уровень         Контрольная работа №5

Показательная функция

Вариант 1

1. Сравнить числа: 1)  и ;  2)  и .

2. Решить уравнение: 1) ;   2)

3. Решить неравенство >

4. Решить неравенство: 1) ;     2)

5. Решить систему уравнений  

6. (Дополнительно)  Решить уравнение  

Контрольная работа №5

Показательная функция

Вариант 2

1. Сравнить числа: 1)  и ;  2)  и .

2. Решить уравнение: 1) ;   2)

3. Решить неравенство .

4. Решить неравенство: 1) ;     2)

5. Решить систему уравнений  

6. (Дополнительно)  Решить уравнение  

А – 10     Колягин               Контрольная работа № 6                Логарифмическая функция

Вариант 1

1. Вычислите:

2. Сравните числа   и

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Решите уравнение  

6. Решите неравенство:  

Контрольная работа № 1.4                         Логарифмическая функция

Вариант 2

1. Вычислите:

2. Сравните числа   и

3. Решите уравнение

4. Решите неравенство

5. Решите уравнение  

6. Решите неравенство:  

А – 10           Колягин                              Контрольная работа №7

Тригонометрические формулы   Вариант 1

1.  Найти значение выражения:

    1)  2)   3)

2. Вычислить:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5. Решить уравнение

Контрольная работа № 7

Тригонометрические формулы   Вариант 2

1.  Найти значение выражения:

    1)  2)   3)

2. Вычислить:

3. Упростить выражение:

4. Доказать тождество:

5. Решить уравнение  

А – 10           Колягин                              Контрольная работа № 8

Тригонометрические уравнения

Вариант 1

1.  Решите уравнение:

2. Найдите решение уравнения   на отрезке .

3. Решите уравнение:

   ; в)

4. Решите уравнение:

а)         

Контрольная работа № 8

Тригонометрические уравнения

Вариант 2

1.  Решите уравнение:

а)    

2. Найдите решение уравнения   на отрезке .

3. Решите уравнение:

    в)

4. Решите уравнение:

а)        

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ПО ГЕОМЕТРИИ

 10 КЛАСС

 УЧЕБНИК АТАНАСЯН Л.С.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Вариант I

1. Основание  AD  трапеции  ABCD  лежит  в плоскости α. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость α в точках Е и F соответственно.

а) Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ?

б) Чему  равен  угол  между  прямыми  ЕF и АВ,  если АВС = 150°? Поясните.

2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в котором диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого четырехугольника соединены последовательно отрезками.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что полученный четырехугольник есть ромб.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Вариант II

1. Треугольники АВС и АDC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р – середина стороны AD, а K – середина стороны DC.

а) Каково взаимное положение прямых РK и АВ?

б) Чему  равен  угол  между  прямыми  РK  и  АВ,  если АВС = 40° и  ВСА = 80°? Поясните.

2. Дан  пространственный  четырехугольник  АВСD,  М  и  N  –  середины  сторон  АВ  и  ВС соответственно;  Е CD, K DA, DE : EC = 1 : 2, DK : KA = 1 : 2.

а) Выполните рисунок к задаче.

б) Докажите, что четырехугольник MNEK есть трапеция.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.

Вариант I

1. Прямые a и b лежат в параллельных плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:

а) параллельными;

б) скрещивающимися?

Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2. Через точку О, лежащую между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1В1 = 12 см, В1О : ОВ2 = 3 : 4.

3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M, N и K, являющиеся серединами ребер АВ, ВС и DD1.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2

ТЕМА: ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ. ТЕТРАЭДР И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.

Вариант II

1. Прямые a и b лежат в пересекающихся плоскостях α и β. Могут ли эти прямые быть:

а) параллельными;

б) скрещивающимися?

Сделайте рисунок для каждого возможного случая.

2. Через  точку  О,  не  лежащую  между параллельными плоскостями α и β, проведены прямые l и m. Прямая l пересекает плоскости α и β в точках А1 и А2 соответственно, прямая m – в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1В1, если А2В2 = 15 см, ОВ1 : ОВ2 = 3 : 5.

3. Изобразите тетраэдр DABC и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки M и N, являющиеся серединами ребер DC и BC, и точку K, такую, что K DA, АK : KD = 1 : 3.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ТЕМА: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Вариант I

1. Диагональ куба равна 6 см. Найдите:

а) ребро куба;

б) косинус  угла  между  диагональю  куба  и плоскостью одной из его граней.

2. Сторона АВ ромба ABCD равна a, один из углов равен 60°. Через сторону АВ проведена плоскость α на расстоянии  от точки D.

а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

б) Покажите  на  рисунке  линейный  угол  двугранного  угла  DABM,
М α.

в) Найдите синус угла между плоскостью ромба и плоскостью α.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3

ТЕМА: ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

Вариант II

1. Основанием  прямоугольного  параллелепипеда  служит  квадрат; диагональ  параллелепипеда  равна  2 см,  а  его  измерения  относятся как 1 : 1 : 2. Найдите:

а) измерения параллелепипеда;

б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания.

2. Сторона квадрата ABCD равна а. Через сторону AD проведена плоскость α на расстоянии  от точки В.

а) Найдите расстояние от точки С до плоскости α.

б) Покажите  на  рисунке  линейный  угол  двугранного  угла  BADM,
М α.

в) Найдите синус угла между плоскостью квадрата и плоскостью α.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ТЕМА: МНОГОГРАННИКИ

Вариант I

1. Основанием  пирамиды  DABC  является правильный треугольник АВС, сторона которого равна а. Ребро DA перпендикулярно к плоскости АВС, а плоскость DBC составляет с плоскостью АВС угол в 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол равен 60°. Плоскость AD1C1 составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найдите:

а) высоту ромба;

б) высоту параллелепипеда;

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г) площадь поверхности параллелепипеда.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4

ТЕМА: МНОГОГРАННИКИ

Вариант II

1. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основания, AD = DM = a. Найдите площадь поверхности пирамиды.

2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:

а) меньшую высоту параллелограмма;

б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;

в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;

г) площадь поверхности параллелепипеда.

Школьная научно-практическая конференция

«Мое научное исследование»

Тема: «Золотое сечение в архитектуре и живописи, в том числе и города Энгельса»

Выполнили  ученики 10а класса

МБОУ «СОШ № 21» города Энгельса

Орлова Мария и Мордовина Екатерина

Руководитель: учитель математики

Орлова Ольга Александровн

2014г.

Содержание

Вступление

1.1) Золотое сечение в математике

1.2)Золотое сечение в архитектуре

1.3)Исследование объектов города Энгельса

1.3.1) Исследование 1

1.3.2) Исследование 2

1.3.3) Исследование 3

1.3.4) Исследование 4

2)Золотое сечение в живописи

Заключение

Приложение

Цель работы: доказать, что объекты архитектуры и картины, написанные  с пропорциями золотого сечения   гармоничны в окружающей действительности и эстетичны.

 Задачи:

1. Изучить понятие  и историю развития золотого сечения.
2. Рассмотреть применение «золотого сечения » в архитектуре.
3. Рассмотреть применение «золотого сечения » в живописи.
4. Исследовать подтверждение наличия золотого сечения в сечение в архитектуре и живописи города Энгельса.

Методы исследования:

1. Работа с учебной и научно-популярной литературой, ресурсами сети Интернет.
2. Социологический опрос.
3. Наблюдение, сравнение, анализ, аналогия.

Объект исследования: «золотое сечение».

Актуальность:

   Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес  к форме какого – либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежит сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию ощущения красоты и гармонии. Целое всегда состоит из частей, части разной величины находятся в определенном отношении друг к другу и к целому. Принцип золотого сечения – высшее проявление структурного и функционального совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и в настоящее время  помнят и используют это сечение.

 Вступление.

    Впервые с понятием «золотое сечение» мы встретились в теме «Пропорция»  по математике 6 класса. Перед тем как начать работу по теме « Золотое сечение»,  мы провели опрос , нужно было ответить на вопрос «Знаете ли вы,  что такое «золотая пропорция» или «золотое сечение»? Результаты опроса изображены на диаграмме (см.приложение 1)

Большая часть опрошенных не знают что это, но слышали об этом , поэтому мы решили рассмотреть эту тему.

1.1 Золотое сечение в математике

В истории утвердилось такое  название  как «золотая пропорция».  Пусть отрезки а, в и с  производят, как говорят, «золотое сечение» данного отрезка. Золотым сечением называют деление величины на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Или, если использовать вычисленную величину золотого сечения, — это деление величины на две части — 62 % и 38 % (процентные значения округлены).Приблизительная величина золотого сечения равна 1,618.С математической точки зрения, отношение большей части к меньшей в золотом сечении выражается квадратичной иррациональностью

1.2  Золотое сечение в архитектуре.

        Великолепные памятники архитектуры оставили нам зодчие Древней Греции. И среди них первое место по праву принадлежит Парфенону.    Высота Парфенона 61,8 футов, высота трех ступеней основания и колонны – 38,2 футов, высота перекрытия и фронтона – 23,6 футов. Указанные размеры образуют ряд золотой пропорции: 100 : 61,8 = 61,8 : 38,2 = 38,2 :23,6 »1,6 = Ф.  указанные отношения приблизительно равны числу 1,6, т.е. образуют «золотую пропорцию»(см. приложение 2,3) Многие исследователи, стремившиеся раскрыть секрет гармонии Парфенона, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. На плане пола Парфенона также можно заметить "золотые прямоугольники(см.приложение 4)

О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время. Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса. Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в ее пропорциях! Число «пи» и золотое сечение, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли (см. приложение 5)

Золотое соотношение видим и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари)(см.приложение 6) Архитектура русских православных храмов и соборов свидетельствуют о том, что с древнейших времен архитекторы хорошо знали математическую пропорцию и вписывали свои сооружения в правило Золотого прямоугольника: Храм Василия Блаженного (см.приложение 7,8), Собор на Нерли( см.приложение 9), Собор святой Елизаветы в Санкт-Петербурге(см.приложение 10), Храм Христа Спасителя в Москве(см.приложение 11)

1.3   Исследования объектов города Энгельса

Мы  задались еще одним вопросом: «А современные архитекторы владеют ли секретом создания красоты?» Интерес для нас представляет родной город.

Исследования объектов Энгельса  нами  проводились путем непосредственных измерений, анализа проектной документации, измерения размеров зданий по фотографиям.

Исследование 1.Нахождение коэффициента золотой пропорции по фотографиям

Изучая архитектурные сооружения по фотографиям мы  выяснили, что они основаны на гармонической пропорции. Здания нашего города  – тоже  образцы архитектуры золотого сечения. Мы решили рассмотреть здание торгового центра «Лазурный»,не смотря на то что знание построено не так давно, в нем можно увидеть золотые пропорции(см.приложение 12)

Не всегда современная застройка может учитывать золотые пропорции, поэтому архитекторы должны стремиться к новым дизайнерским решениям, чтобы облик родного города приносил эстетическое наслаждение его жителям.

Исследование 2.Нахождение коэффициента золотой пропорции  с помощью непосредственных измерений.

Мы решили рассмотреть памятник погибшим героям. Памятник был установлен в мае 1970 года, в сквере напротив ДК мясокомбината. В связи со строительством стадиона, памятник был демонтирован, а в апреле 2005 года установлен на территории средней школы № 21. Памятник представляет собой прямоугольную бетонную стелу с изображением ордена Отечественной войны и табличкой с надписью: «Слава погибшим героям 1941-1945гг». Верхняя линия таблички, делит памятник золотым сечением(см.приложение 13)

Исследование 3.  Мы решили так же рассмотреть Обелиск памяти воинам-землякам, погибшим в годы ВОВ(см. приложение)

Обелиск был открыт 9 мая 1985 года, в честь 40-летия Победы над фашистской Германией. 21тысячу человек проводил на фронт город Энгельс, 6 тысяч из них не вернулись. Обелиск выполнен из монолитного железобетона. Напряженные штыки, переходящие в изображение пятиконечной звезды, символизируют борьбу советского народа против фашизма. Из математики мы знаем что в пятиконечной звезде тоже присутствует золотое сечение, значит памятник был построен с учетом золотой пропорции(см.приложение14)

Исследование 4.Нахождение коэффициента золотой пропорции по проектной документации

Конечно, особый интерес вызвало у нас нахождения коэффициента золотой пропорции в здании нашей школы. Строительство школы велось быстрыми темпами, 1 сентября 1974 года школа была готова принять учащихся. 2 сентября была проведена торжественная линейка. Мы проанализировали план нашей школы , произвели вычисления, и убедились, что не смотря на быстрое строительство ,форма здания соответствуют правилу Золотого сечения(см.приложение 15)

2 Золотое сечение в живописи

Исследуя композиционную структуру картин - шедевров мирового изобразительного искусства, искусствоведы обратили внимание на тот факт, что в  картинах широко используется закон золотого сечения. Например золотое сечение можно увидеть в картине  И.И. Шишкина «Корабельная роща» (см. приложение 16). На этой знаменитой картине с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит картину золотым сечением по горизонтали. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит картину золотым сечением по вертикали. Слева от главной сосны находится много сосен - при желании можно с успехом продолжить деление золотым сечением по горизонтали левой части картины. Еще один пример - картина Н.Н. Ге "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском" (см.приложение 17). Исследуя композиционную структуру картины художника саратовской области , известного на весь мир Бубнова Александра Павловича «Утро на Куликовом поле»(см.приложение 18),  мы обнаружили  тот же прием, что и у Ге в его знаменитой картине "Александр Сергеевич Пушкин в селе Михайловском".   В этой картине фигура воина находится на горизонтальной  линии золотого сечения. За эту картину Бубнов получил Государственную премию. Сейчас эта картина находится в Третьяковской галерее.

К сожалению, мы не смогли найти работы энгельсских художников, но наша  работа еще не закончена и мы собираемся продолжить свои исследования в этой области.   

Заключение.

Значение золотого сечения в современной науке очень велико. Пропорция используется практически во всех областях знаний. Проведенные нами  исследования доказали, что многое в окружающей действительности подчиняется правилу золотого сечения.     Принцип золотого сечения – высшее проявление  совершенства целого и его частей в искусстве, науке, технике, музыке и природе. Поэтому, не только в древние времена скульпторы, художники, музыканты, архитекторы уделяли большое внимание сечению и гармоническому отношению, но и в настоящее время  помнят и используют это отношение. Знаете известную фразу: «Красота спасет мир?» Трудно не согласиться с Федором Михайловичем Достоевским. Мы все хотим сделать свою жизнь гармоничнее и красивее.

Наш город по-своему красив

Отсюда все – как на ладони:

И ленты улиц, и дома,

Суда, застывшие в затоне,

И Волги синяя кайма.

Не первый раз на эти горы –

Пусть склоны голые круты –

Я поднимаюсь, чтобы город

Окинуть взором с высоты.

Виктор Тимохин

 Приложение.

Приложение 1

Приложение 2

Приложение 3

Приложение 4

Приложение 5

Приложение 6

  Приложение 7,8

Приложение 9

Приложение 10

Приложение 11

Приложение 12

Приложение 13

Приложение 14

Приложение 15

Приложение 16

Приложение 17

Приложение 18

Векторы

1) При каком значении α  векторы   и   параллельны?

2) При каком значении α  векторы         и       перпендикулярны?

3) Найти угол при вершине В в треугольнике с вершинами А(14; – 13), В(16; – 14)  и  С(17; – 17)

4) В треугольнике с вершинами А(1; – 1; 2), В(3; 0; 2) и С( – 1; 2; 0) длина медианы АК равна

5) Периметр треугольника с вершинами А(1; 1; 0), В(1; 2; 2) и С( 3; 2; 0)  равен

6) Если в параллелограмме ABCD заданы , ,      А(3; 8; –5), то сумма координат точки пересечения диагоналей равна

7) Даны векторы , .. Если точки  А, В и С лежат на одной прямой, то сумма  α + β  равна

8) Если  вектор    направлен противоположно вектору  ,      и , то произведение  координат вектора   равно

9) Даны вектор  и точка А(– 3; 2). Найти длину вектора , если точка В принадлежит оси ОХ и  

10) Даны вектор  и точка А(0; 2; 4). Найти длину вектора , если точка В принадлежит оси ОY и  

11) Даны вектор  и точка А(1; 3). Найти скалярное произведение , если точка В принадлежит оси ОY,   и    векторы      

коллинеарны

12) Найти скалярное произведение  , если ,   и угол между векторами   и  равен 120°

13) Вектор  составляет с положительным направлением оси ОХ угол 135°. Найти координату  х   вектора , если

14) Даны точки  А(1; –2; 3), В(5; –1; – 2), С(– 1; 1; 2). Найти сумму координат точки D(x; y; z), если  

15) Если в параллелограмме  ABCD  заданы вершины   A(2; –5; 4) ,   B(1; – 3; 1), C(– 3; 4; – 6) , то сумма координат четвёртой вершины  равна

16) Найдите , если  ,   и  

17) Найдите , если  , и  

18) Даны точки  А(–4; 0), В(2; – 3), С(– 1; 1), D(3; 2). Найти скалярное произведение  

19) Найти уравнение геометрического места точек плоскости,  равноудаленных от двух прямых  y = – 5x + 10 и  y = – 5x – 20

20) Найти уравнение геометрического места точек  плоскости ,  равноудаленных от двух точек А(5;– 6) и В(– 3;–2).

21) В треугольнике АВС с вершинами А(1;3), В(5; – 7) и С(– 1;9) уравнение прямой, содержащей медиану АМ, имеет вид

22) Найти уравнение окружности, если точки А(2;0) и В(– 2;6) являются концами её диаметра

Задания к неравенствам смешанного типа.

I Региональная научно-практическая конференция для школьников «Открытие»

Вирусы и бактерии –
объекты математических исследований

Тутарова Ангелина Олеговна
ученица 10 «А» класса
МБОУ «СОШ №21» г. Энгельса
Руководитель:
Орлова Ольга Александровна

2016

Оглавление

I.Введение «Вирусы и бактерии в нашей жизни»  3-4

II. Основная часть

2.1 Теоретическая часть

2.1.1. «Вирусы и бактерии – микроорганизмы»                      4
2.1.2. Строение вирусов и бактерии                                                                                           4-9
2.1.2.1. Геометрические формы бактерий                                                               4-6
2.1.2.2. Геометрические формы вирусов                                                            6-8
2.1.2.3. Новые формы вирусов и бактерий 8-9
2.1.3. Рост численности вирусов и бактерий 9-10
2.1.3.1. Размножение бактерий 9
2.1.3.2.Размножение вирусов                                                                                                           10

2.2. Практическая часть

2.2.1. Исследование численности бактерий 10-11
2.2.2. Исследование численности вирусов 11
2.2.3. Исследование тенденции появления новых видов вирусов 11
2.2.4. Решение математических задач по теме «Вирусы и бактерии» 12-13
2.2.5. Анкетирование учащихся школы                                                                                             12

III. Заключение14

IV. Библиографический список15

V. Приложения16-18

I. Введение «Вирусы и бактерии в нашей жизни»

Актуальность темы

Множество микроорганизмов окружает человека в повседневной жизни. Среди них подавляющее число приходится на вирусы и бактерии. Некоторые из них полезны для организма человека, например, молочнокислые бактерии или азотофиксирующие бактерии. Иные же приносят организму вред. Это, к примеру, вирус гриппа, 
ВИЧ (вирус иммунодефицита человека), вирус герпеса.

В январе этого года по всей территории России прошелся подтип вируса
гриппа А – H1N1. Эпидемия мгновенным образом поражала один регион за другим. Но почему численность вирусов и бактерий так быстро растет? Каким законам этот процесс подчиняется?  

Также из уроков математики я знаю, что некоторые объекты неживой природы очень схожи по своему строению с некоторыми геометрическими фигурами и телами, которые в свою очередь обладают определёнными свойствами. Но на какие именно фигуры похожи вирусы и бактерии, для меня оставалось загадкой?

Так возникла тема моего исследовательского проекта: «Вирусы и бактерии – объекты математических исследований».

Цель исследования

Изучить вирусы и бактерии с точки зрения математики.

Задачи исследования

1) Изучить сведения по теме, используя научно-популярную литературу, ресурсы  Интернет.
2) Изучить геометрические формы отдельных представителей вирусов и бактерий.
3) Изучить рост численности и размеры особей.
4) Рассмотреть несколько математических задач по теме «Вирусы и бактерии».
5) Доказать, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законам геометрической прогрессии.

Объект исследования– вирусы и бактерии

Гипотеза: рост численности истроение бактерий и вирусовсвязаны с математикой

II. Основная часть

2.1 Теоретическая часть

2.1.1. «Вирусы и бактерии – микроорганизмы»

Вирусы — (от лат. virus яд), неклеточные формы жизни, способные проникать в определённые живые клетки и размножаться только внутри этих клеток. 
Вирусы - это мельчайшие живые организмы, размеры которых варьируют в пределах примерно
от 20 до 300 нм.

Бактерии — простые одноклеточные микроскопические организмы. Многие бактерии подвижны, и эта подвижность обусловлена наличием у них одного или нескольких жгутиков.

2.1.2. Строение вирусов и бактерий

2.1.2.1. Геометрические формы бактерий

Подавляющее большинство бактерий одноклеточны. По форме клеток они могут быть округлыми, палочковидными, извитыми, реже — звёздчатыми, тетраэдрическими, кубическими, C- или O-образными (приложение 1). Формой определяются такие способности бактерий, как прикрепление к поверхности, подвижность, поглощение питательных веществ. Отмечено, например, что олиготрофы, то есть бактерии, живущие при низком содержании питательных веществ в среде, стремятся увеличить отношение поверхности к объёму, например, с помощью образования выростов. 
Часто встречающиеся формы бактерий следующие:

Обратим внимание, что некоторые представители бактерий тесно связаны с математикой:

2.1.2.2. Геометрические формы вирусов

Вирусы демонстрируют огромное разнообразие форм и размеров. Как правило, вирусы значительно мельче бактерий. Большинство изученных вирусов имеют диаметр в пределах
от 20 до 300 нм. Некоторые филовирусы имеют длину до 1400 нм, но их диаметр составляет
лишь 80 нм.

Зрелая вирусная частица, состоит из нуклеиновой кислоты, покрытой защитной белковой оболочкой — капсидом. Капсомер — структурная белковая субъединица капсида. Капсид состоит из белков, а его форма лежит в основе классификации вирусов по морфологическому признаку.

Классифицируют четыре морфологических типа капсидов вирусов: спиральный, икосаэдрический, продолговатый и комплексный.

Как и бактерии, некоторые представители вирусов также тесно связаны с математикой:

2.1.2.3. Новые формы вирусов и бактерий

В настоящее время возникает все больше и больше новых патологических формклеток:

2.1.3. Рост численности вирусов и бактерий

2.1.3.1. Размножение бактерий

Размножение бактерий происходит путем деления клетки пополам. Перегородка, образующаяся при делении клетки, у шаровидных бактерий может проходить по любому из диаметров клетки; у палочковидных и извитых бактерий перегородка делит тело поперек; деление спирохет может происходить вдоль тела бактерии.

Скорость деления бактериальной клетки при благоприятных условиях очень велика и составляет около 30 минут. Вновь образовавшиеся из одной две клетки через следующие 30 минут, в свою очередь, образуют четыре клетки и т. д. Если бы все бактерии остались живыми, то через сутки они сплошным слоем покрыли бы весь земной шар. Однако этого не происходит, поскольку большая часть бактерий погибает вследствие неблагоприятных условий внешней среды: недостатка питания и влаги, колебаний температуры. И все же нет такого места на земле, нет такого предмета, которые оказались бы не обсемененными различными бактериями.

Несмотря на массовую гибель бактерий, незначительная часть их, сохранившись, при благоприятных условиях вновь создает чудовищное по своему количеству потомство. Стоит бактериям попасть на пищевые продукты, которые являются для них питательной средой, как вскоре эти продукты окажутся испорченными вследствие массового размножения на них микроорганизмов.

2.1.3.2. Размножение вирусов

Первый этап репликации вирусов связан с проникновением вирусной нуклеиновой кислоты в клетку организма-хозяина. Этому процессу могут способствовать специальные ферменты, входящие в состав капсида или внешней оболочки вириона, причем оболочка остается снаружи клетки или вирион теряет ее сразу после проникновения внутрь клетки. Вирус находит подходящую для его размножения клетку, контактируя отдельными участками своего капсида (или внешней оболочки) со специфическими рецепторами на поверхности клетки по типу «ключ – замок». Если специфические («узнающие») рецепторы на поверхности клетки отсутствуют, то клетка не чувствительна к вирусной инфекции: вирусв нее не проникает.

Для того чтобы реализовать свою генетическую информацию, проникшая вклетку вирусная ДНК транскрибируется специальными ферментами в мРНК. Образовавшаяся мРНК перемещается к клеточным «фабрикам» синтеза белка – рибосомам, где она заменяетклеточные «послания» собственными «инструкциями» и транслируется (прочитывается), в результате чего синтезируются вирусные белки. Сама же вирусная ДНК многократно удваивается (дуплицируется) при участии другого набора ферментов, как вирусных, так и принадлежащих клетке.

2.2. Практическая часть

2.2.1. Исследование численности бактерий

В первой главе мы подробно рассмотрели строение некоторых видов
бактерий и вирусов. Остановимся более подробно на всем известном микробе стафилококк.

Как простейшие одноклеточные организмы, бактерии размножаются делением. Достигая своих максимальных габаритов, клетка начинает процесс деления.
Спустя определённое время, одна бактерия разделившись по середине, оставляет одну свою полноценную и самостоятельную копию. В благоприятной среде процесс деления протекаетособенно динамично. Попадая в благоприятные для развития условия, бактерия делится,образуя две дочерние клетки; у некоторых бактерий деления повторяются через каждые
20 минут, и возникают все новые и новые поколения бактерий.

Произведём некоторые расчёты, составим числовую последовательность из получившегося числа бактерий: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64… . Заметим, что данная последовательность образует геометрическую прогрессию со знаменателем, равным 2. Нетрудно заметить, что через час четвёртый член последовательности будет равен 8,
через 2 часа – седьмой член последовательности будет равен 64 и т.д. Через 6 часов 19-ый член такой прогрессии будет равен 262144 и т.д.

Вывод:Рост численности бактерий подчиняется законам геометрической прогрессии.

2.2.2. Исследование численности вирусов

Теперь мы исследуем увеличение численности вируса под названием аденовирус. Капсид аденовируса состоит из 252 капсомеров, 12 находятся по углам икосаэдра,
а 240 - на гранях и ребрах. Аденовирусы - это ДНК-содержащие вирусы, которые были выделены из клеток самых разных млекопитающих и птиц. Они поражают лимфоидную ткань и вызывают у человека различные респираторные заболевания.

Цикл репродукции, который мы рассматривали в первой главе, продолжается 14 и более часов. В одной клетке образуется до 1000 вирусных частиц, при этом клетка разрушается.
В свою очередь новые вирусные частицы, попав в новые клетки, становятся способными
к созданию других вирионов и т.д. Таким образом, только один вирион через двое суток после попадания в клетку человека способен дать потомство около 1 млрд. вирионов.
То есть размножение аденовируса, как и всех других, подчиняется формуле n-ого члена геометрической прогрессии, где q = 1000.

Вывод: Рост численности вирусов подчиняется законам геометрической прогрессии.

2.2.3. Исследование тенденции появления новых видов вирусов

В период между 1940 и 2004 годами, было «зафиксировано» более 300 новых инфекционных болезней, вызванных новыми формами вирусов (приложение №2). Также на момент с 2005 по 2014 годы было зафиксировано появление около 1400 новых видов вирусов.

Таким образом, можно сделать вывод, что с каждым годом появляются все новые и новые формы вирусов, и численность их только увеличивается.

2.2.4. Решение математических задач по теме «Вирусы и бактерии»

Математические задачи про «Вирусы и бактерии» решаются с помощью следующих формул геометрической прогрессии:

Задача №1

Бактерия, попав в живой организм, к концу 20-й минуты делится на две бактерии. Каждая из них к концу следующих 20 минут делится опять на две и т.д. Найдите число бактерий, образующихся из одной бактерии к концу суток.

Решение: в сутках 1440 минут, каждые двадцать минут появляется новое поколение – за сутки 72 поколения. По формуле суммы n первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=1, q=2, n=72, находим, что S72= 4 722 366 482 869 645 213 695 бактерий в сутки от одной бактерии.

Задача №2

В колонию, состоящую из двухсот бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем каждый из оставшихся вирусов и каждая из оставшихся бактерий снова делятся пополам и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго или, если она, в конце концов, погибнет, то, через какое время это произойдёт?

Решение:поскольку и вирусы, и бактерии делятся пополам, можно считать,
что у каждого вновь образовавшегося вируса «своя» вновь образовавшаяся колония бактерий, и эта колония идентична колониям всех остальных вирусов, поэтому все процессы в колониях разных вирусов будут происходить одинаково. У первого вируса в «его» колонии сначала было 200 бактерий, и каждую минуту он уничтожал по одной бактерии (каждую минуту при этом отпочковывались новые вирусы вместе со своими колониями, которые представляли собой точные копии этой). Значит, этот вирус ровно за двести минут уничтожил всех «своих» бактерий, а поскольку во всех колониях в любой момент времени одинаковое количество бактерий, то через двести минут бактерий не останется вовсе.

Задача №3

В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Указать количество бактерий, рожденных одной бактерией за 7 минут.

Решение:Данная последовательность является геометрической прогрессией (b n),
где b1 =1, q =2,  n = 7. Получаем: S7=127 бактерий.

2.2.5. Анкетирование учащихся школы

Узнав  много новой и интересной информации о связи микроорганизмов с математикой,
мне  захотелось поделиться своими  знаниями с одноклассниками. Для того чтобы понять, что знают одноклассники о микроорганизмах, я провела анкетирование 30 учащихся по следующим вопросам:

Вывод: большинство ребят(60%) знают, что такое вирусы и бактерии. Но 57% ученикам  
все-таки не известно о формах вирусов и бактерий. И половина ребят уверены, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законам математики (приложение №3).

III. Заключение

Итак:

1. Выдвинутая мною гипотеза подтвердилась.
2. Чтобы выяснить, связаны ли вирусы и бактерии с математикой, я использовала
научно-популярную литературу, ресурсы Интернет. Из данных источников узнала строение различных вирусов и бактерий, познакомилась с процессом их размножения, изучила геометрические формы этих микроорганизмов.
3. Практическим путем я доказала, что рост численности вирусов и бактерий подчиняется законом геометрической прогрессии.
4. Я рассмотрела способы решения нескольких математических задач  по формулам геометрической прогрессии.

IV. Библиографический список

1. А.И. Фетисов. Геометрия. Учебное пособие по программе старших классов. – Издательство академии педагогических наук РСФСР, - Москва, 1963.
2. Богданова Т.Л.. Биология. Задания и упражнения. Пособие для поступающих в ВУЗы. - М.,1991.
3. Борисов Л.Б. Микробиология, иммунология, вирусология. М.: МИА, 2005. – 736с., С. 603.
4. Геометрия, 10-11: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф.

Бутузов и др., 13-е изд. – М.: Просвещение, 2004. -206с.

5. Голубев Д.Б., Солоухин В.З. Размышления и споры о вирусах. - М.: Молодая гвардия, 1989.
6. Интернет-ресурсы:

1. http://ru.wikipedia
2. http://vz.ru/society/2006/2/23/23385.html
3. http://ru.encydia.com/en/Тороид_%28геометрия%29
4. http://kzdocs.docdat.com/docs/index-1228.html?page=6

7. Майер В., Кенда М. Невидимый мир вирусов. - М.: Мир, 1981.

V. Приложения

Приложение №1 «Виды бактерий»

Приложение №2 «Исследование тенденции появления новых видов вирусов»

Приложение №3 «Анкетирование учащихся школы»