Узоры, фракталы и их искусный мастер.

МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа»

Оренбургского района Оренбургской области

     ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ   РАБОТА

«УЗОРЫ, ФРАКТАЛЫ И ИХ ИСКУСНЫЙ МАСТЕР»

    Выполнила:   Мусорина Виктория

                                  ученица 7 класса

                                                        Научный  руководитель:

                                                                                 Газизова Валерия Валерьевна

                учитель математики                                                                       высшей категории

п. Экспериментальный

2011г

                                                         Оглавление

Пояснительная записка……………………………………………………………………..2        

Введение. Формула красоты………………………………………………………………..3        

Глава 1. Снежинки и галактики –  это  фракталы……. …………………………………..5.        

Глава 2. Фракталы в живой природе…………………………………………………….....6.        

Глава 3.  Фракталы в математике и изобретениях человека ……………………………..9        

Глава 4.  Наши исследования………………………………………………………………12.

Глава 5. Заключение, выводы……………………………………………………………...16

Список используемой литературы и сайтов Интернета………………………………….17

Приложения…………………………………………………………………………………

1. Объект  исследования:  
2. предметы домашнего обихода,  человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека,   окружающий растительный   мир.
3. Предмет  исследования: 
4. форма и строение исследуемых предметов и явлений.
5. Цель исследования: 

выявить принципы самоподобия  в различных областях,  проверить гармонию узоров   числовыми закономерностями, по «видимому» познать «невидимое».

6. Задачи работы:    
7. Описать геометрический смысл фрактала.
8. Узнать о  применении  фракталов  в науке;
9. Увидеть единство в строении человека, растительного мира и неживой природы  с точки зрения фрактальной геометрии.

10. Новизна  исследования: 
11. Открытие фракталов   в окружающей нас  действительности.

12. Практическая  значимость:

13. Использование  приобретенных знаний и навыков исследовательской работы   при изучении других школьных предметов.  

14. Умения и навыки:
15. Организация  и проведение   эксперимента.
16. Использование  специальной литературы.
17. Приобретение  умения  делать обзор  собранного материала (доклад, презентацию)
18. Оформление работы  рисунками, диаграммами, фотографиями.
19. Активное  участие   в обсуждении  своей работы.

20. Методы исследования:
21. эмпирический (наблюдение, эксперимент, измерение).
22. теоретический (логическая ступень познания).

Пояснительная записка

Каждый день мы видим всевозможные узоры:

И понимаем, что кто-то приложил   немало усилий,  чтобы их придумать.

А что можно сказать об узорах, которые мы встречаем в природе? Что открывают они?

Проектируя дом, архитектору нужно не только проработать каждую деталь, но и убедиться в том, что все они вписываются в общий план.

А как  устроена жизнь? Видим ли мы вокруг   доказательства тщательного планирования и всеобщей гармонии?

       Мы обратились к современному источнику информации – к Интернету.

 И обнаружили, что  существует целая  теория, по которой многое в мире, в том числе и  замысловатые узоры - является фракталами.   Просто в одно время для нас это очевидно, а в другое нет, из-за сложности фрактальной структуры, и из-за того, что мы воспринимаем лишь малую часть этой структуры. Если эта теория верна, то очень многое в мире можно «просчитать» математически.  

    Странная, загадочная  вещь: фракталы!!! Ветвящиеся и повторяющиеся, они окружают нас повсюду! В биологии они встречаются на каждом шагу. Фракталы есть в наших лёгких, мозге, кровеносных сосудах. Цветы, растения, всё, что формирует погоду, ритмы нашего сердца. Это сама сущность жизни.  Вы  найдёте их,  изучая   фотографию причудливого узора облаков во время урагана. Гряда гор, звёзды в галактике, и даже антенна в нашем сотовом телефоне – всё это фракталы!!!  

                                       Так что же такое «фракталы»?

Это плод человеческого воображения?

                       Или   может быть, это закон вселенной?

                                                Или  это  -    мистическая    тайна?

Мы захотели узнать  о  тайнах  узоров, называемых фракталами. Результатом нашей деятельности и явилась данная исследовательская работа.

Как не вспомнить: «… и создал он его по образу и подобию своему…».  Мы – части целого, и подобны целому, ибо Вселенная фрактальна! Поэтому есть шанс познать устройство целого, познавая его частности. По «видимому» изучить «невидимое».

1. Гипотеза:

1. в окружающей нас действительности всё  построено по удивительно гармоничным законам с математической точностью.
2. Всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

Введение. Формула красоты.

                                                           Чудесны тайны мирозданья,

                                                                Которое Господь создал.

                                                                              Фрактал с природой тесно слит,

                                                                                        Куда не кинешь взор – фрактал!

Сегодня вряд ли можно найти человека,  который не слышал бы о фракталах. При упоминании о них живо представляешь себе великолепные, граничащие с произведениями искусства, изображения фрактальных множеств, напоминающие то дерево или кустарник, то сетку трещин на асфальте или морозные узоры на окне, то острова в океане или облака на небе, то вообще что-то такое, чему трудно подобрать сравнение. Глядя на них трудно поверить, что это не творения природы и за ними скрываются математические формулы.

множество Мандельброта       Множество Жюлиа                       фрактал, созданный

                                                                                                           компьютером                                                                                                                                                                                                                                           

 Фракталы поразительно напоминают объекты живой и неживой природы вокруг нас. Словом они "как настоящие". Скорее всего, именно поэтому, однажды увидев, человек уже не может их забыть.

Любопытную мысль приводит в своей книге "Фрактальная геометрия природы" американский математик Бенуа Мандельброт:

 "Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в том, что она неспособна достаточно точно описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, а молния не распространяется по прямой.

Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.
   Существование этих структур бросает нам вызов в виде… трудной задачи изучения».    

 Мы не можем описать камень или границы острова с помощью прямых, кружков и треугольников. И здесь нам приходят на помощь фракталы.  

      Нередко то, что мы наблюдаем в природе, интригует нас бесконечным повторением одного и того же узора, увеличенного или уменьшенного во сколько угодно раз. Например, у дерева есть ветви. На этих ветвях есть ветки поменьше и т.д. Теоретически, элемент ''разветвление'' повторяется бесконечно много раз, становясь все меньше и меньше. То же самое можно заметить, разглядывая фотографию горного рельефа. Так появляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

  Что же такое фрактал?

Фрактал - это геометрическая фигура, в которой один и тот же фрагмент повторяется при             каждом уменьшении масштаба.

Структуры, похожие на фракталы, можно повсюду обнаружить в окружающей нас природе:

границы облаков, границы морских побережий,  трещины в некоторых породах, зимние узоры на стекле, изображения структуры некоторых веществ, полученные с помощью электронного микроскопа, кровеносная система сердечной мышцы и т.д.

В последние 20 лет фракталы стали очень популярны.

Сегодня область применения фракталов все время увеличивается. Например, фракталы используют экономисты  для анализа поведения биржевых рынков, в радиотехнике, интернет-технологиях, в архивации данных, фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. Существует множество программ, служащих для генерации фрактальных изображений.

Рассмотрим примеры, где встречаются  фракталы

 в живой и неживой природе.

1. Снежинки и галактики – это фракталы!

Возьмём, к примеру, снежинки. Эти кристаллики образуются, когда в облаке водяной пар превращается в лёд. По мере роста кристалликов возникают изящные, ажурные узоры.

Рассмотрим отдельную снежинку:

Её лучи разветвляются снова и снова, образуя лучики меньших размеров.

 Именно это свойство самоподобия в математике называют фракталом.

Ещё один вид фрактальной   конфигурации – это  разделённ  ая   на камеры раковина

наутилуса. Подрастая, наутилус строит  новые, всё большие камеры,  отделяя  их  от тех,  которые  ему уже больше не нужны.

      В   результате  образуется   фрактальная спираль, которая, увеличиваясь,  сохраняет ту

 же  форму.

Подобного рода спирали образуют и облака во время урагана,  и звёзды в галактике:

Что же лежит в основе этих структур?

Об этом мы поговорим в главе «Наши исследования».

2.Фракталы в живой природе.

Где  же ещё в природе встречаются примеры фрактальных структур?

Свойство самоподобия демонстрируют и деревья. От ствола отходят ветви, от них ветки  поменьше и так далее.

Вот довольно простой фрактал - если мы увеличим картинку, мы получим нечто похожее на неё целиком. Хотя, и не точную копию.

Это листья папоротника.  Присмотритесь к структуре листа.

Фантастическая система коммуникаций! И с запасом прочности - если один из боковых каналов повреждается, находятся альтернативные.

Папоротники - пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. При этом они еще интересны тем, что папоротники - одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями.

Возможно, в этом есть какая-то закономерность: чем древнее биологическая форма, тем более ясно в ней прослеживается фрактал, что говорит о простых правилах, на которых строится форма организма.

Узел лишайника на камне:

   Одно наблюдение: у высших растений, таких, как деревья,          крупные фрагменты фрактала расположены в центре растения    (ветви).  

В лишайнике наоборот, крупные       фрагменты фрактала    расположены на периферии организма.

 Просто повод задуматься    о многообразии фрактальных форм в природе.

        Вот довольно простой фрактал - если мы увеличим картинку, мы получим нечто похожее на неё целиком.

Простота позволяет предположить, что это растение довольно древнее (по нашей гипотезе, что чем проще и очевиднее фрактальная структура растения, тем оно древнее с эволюционной точки зрения).

      Растения - и деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений также фрактально.

Например, здесь, маленькие листья аналогичны по форме большим, хотя и не являются их точной копией. Тем не менее, снова и снова мы имеем самоподобие, действующее в различных масштабах, то есть, имеем дело с фракталом

А теперь посмотрим, как устроен человек.

      На первый взгляд он не обладает выраженной фрактальной внешностью. Но стоит заглянуть внутрь – всё встаёт на свои места.

      Кровеносная, дыхательная, нервная система,  форма головного мозга - вот только самый беглый список биологических фракталов, которые присутствуют в каждом человеке.

       Рассмотрим   кровеносную  систему в лёгком.

Тут  переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных...

 Последняя картинка в этом ряду – баобаб. Нет, она сюда попала не случайно.

 Чтобы можно было сравнить и задать себе вопрос:

 Почему структура ветвей баобаба похожа на кровеносную систему легкого?

 Не потому ли, что всё подчинено единым фрактальным закономерностям?

А  это рентгеновский снимок

кровеносных сосудов мозга.

 Плавные линии характерны для фракталов, в которых участвуют потоки жидкостей. Сравните, например, со следующей картинкой...

   Да, это не абстракционистский пейзаж, так выглядят ткани мозжечка - одного из самых древних разделов головного мозга. Дендриты, исходящие от нейронов образуют густейшие заросли, очень похожие на заросли болотистых лиственных лесов.

Вы задумывались когда-нибудь, что мы буквально мыслим фракталами?

Тут есть о чем задуматься – кто будет спорить, что мозг – одно из самых удивительных и уникальных творений природы. И оказывается, он внешне  имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы!!!

     Выраженной фрактальной структурой обладают

      дендриты-отростки  от  нейронов.

      При увеличении видно, что каждый из них

      имеет свои отростки, от  которых в свою очередь

      отходят более мелкие…

А это сетчатка нашего глаза:

     Сетчатка содержит светочувствительные клетки, благодаря которым мы видим. На этом снимке они желтовато-зеленые. Они действительно образуют сеть (сетчатку), но эта сеть хаотична и фрактальна.

Розовые каналы - это кровеносные сосуды, а красные полосы - ткани, которые служат несущей основой, фундаментом сетчатки.

Мы рассмотрели множество образов, в которых ясно видна фрактальность.

И увидели, что фракталы – сама суть природы.  Неслучайно первая книга открывателя фракталов Бенуа Мандельброта называлась "Фрактальная геометрия природы". Как живой, так и неживой. Как человеческой, так и нечеловеческой.

Неудивительно, что и наше сознание подчиняется тем же фрактальным законам.

А теперь рассмотрим фракталы в математике.

3. Фракталы в математике и изобретениях

человека.

треугольник  Серпинского:

Пример простого самоподобного фрактала --- ковер Серпинского, придуманный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году.

Следующие чертежи объясняют способ построения.

 Мы начинаем с некоторой области и последовательно выбрасываем внутренние подобласти:

Дерево Пифагора:

На «красной крыше»- треугольнике  мы строим «желтый домик»-квадратик, а на нём – снова «красную крышу», и так до бесконечности.

                                                     Снежинка Коха.

Эта «снежинка»  придумана Гельгом фон Кохом в 1904 году.

: 

А вот способ её построения:

(а)

(б)

(в)

(г)

        Отрезок делим на три равные части. Убираем среднюю треть.

И добавим два новых отрезка такой длины, как показано на рисунке б).

 Повторяем  данную процедуру многократно, на каждом шагу заменяя среднюю треть двумя новыми отрезками.

 Интересно, что  снежинку Коха называли математическим  монстром 19 века.

Да, это фантазия математика!  Но к какому удивительному открытию подтолкнула она человечество!!!

В 90Х   годах 20 века   радиоастроном из Бостона   Н. Коуэн  использовал математику фракталов, чтобы совершить прорыв в области электронных средств   связи.

У Коуэна было хобби. Он был радиолюбителем.  И однажды он послушал лекцию   доктора Мальденброта о крупномасштабной структуре вселенной. И о том, как с помощью фракталов понять, что это за структуры. Коуэн посмотрел на фракталы со своей точки зрения. Он сказал: «Как было бы забавно сделать антенну такой формы.

 Интересно, как она будет работать?        

А что, если я её изогну вот таким вот образом?»

Результаты превзошли все ожидания! Он поразился тому, как антенна стала работать.  Было сделано открытие: фрактальная форма антенн не только позволяет сделать их меньше, но и расширить доступный для них диапазон радиоволн.

 Коуэн доказал математическую теорему:

Чтобы антенна была широкополосной,

она должна иметь форму самоподобной кривой.

Оказалось, что математически можно доказать, что это единственный способ сделать такую антенну. Коуэн сделал своё открытие, когда телефонные компании столкнулись с важной проблемой: они расширяли возможности своих аппаратов, предлагая покупателям новые услуги, такие, как блютуз, вай фай и другие.

Пример фрактальных антенн в сотовых телефонах:

Но каждая из этих услуг требовала своей частоты. Необходимо было суметь использовать 10 разных частот, но так, чтобы из телефона не торчало 10 разных антенн. Иначе ваш мобильник   станет похож на дикобраза.

 Мы увидим, в течение  ближайших 10-20 лет  фракталы найдут еще большее применение, потому, что это  единственный способ  уменьшить себестоимость и размер сложных телекоммуникационных систем.

4. Наши исследования.

Итак, спирали облаков во время урагана,

                           завитки на маленькой раковине,

                                          звёзды в галактике,

                                                       семена в корзине подсолнечника…

Продолжим наши наблюдения - что же лежит в основе этих  спиральных структур?

Какие фракталы, созданные природой растут рядом с нами на зелёной лужайке?

Попробуем разобраться, изучая строение

2. подсолнуха,
3. ананаса,
4. ромашки полевой,
5. зонтика   дикой моркови.  

                                                       Шаг1.

Возьмём подсолнух:         

Рассмотрим его поближе: 

Заметим, семена подсолнечника расположены не хаотично, а спиральками, закрученными на некоторый угол.

 Этот угол приближённо равен 137,5 градусов.   Это особенный угол, его  называют «золотым углом». Именно  благодаря  ему создаётся максимально компактная структура с чётким спиральным рисунком. А если этот угол изменить, например,  сделать 140 градусов, то получилась бы  радиальная структура и расположение семян было бы не таким рациональным.

 Видим,  что  развитие корзинки подсолнечника происходит не  стихийно, а подчинено какому-то хитрому закону. Какому?

   При детальном рассмотрении можно заметить удивительную зависимость между «золотым углом» и рядом чисел, называемым последовательностью Фибоначчи.

1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1597; 4181;…

В этом ряду каждое следующее число равно сумме двух предыдущих. Интересно, что числа Фибоначчи можно разглядеть во многих растениях. Вот, например, у подсолнечника 34 спирали закручены в одну сторону,  и 55  - в другую. Оба эти числа входят в последовательность Фибоначчи.

Шаг2.

Возьмём для эксперимента ананас.

 8 спиралей

13 спиралей        8 спиралей

Числа 8 и 13 тоже входят в последовательность Фибоначчи.

Экзотический фрукт ананас имеет фрактальное строение!!!

           Шаг3.

Возьмём полевую ромашку.

Мы внимательно изучили  строение сердцевины и  заметили, что  спиральки тычинок закручены под тем же золотым углом.

 Количество спиралек – 34 спирали в одну сторону и 55 спиралек в другую!!!

Это числа из ряда Фибоначчи.

                                                                        Шаг 4.

Свойство самоподобия мы замечаем и в

зонтиках дикой моркови.  Каждая веточка в зонтике заканчивается таким же зонтиком, но поменьше

и так далее.  

Вывод:

В наших исследованиях мы увидели, что окружающие нас растения  содержат золотой угол и  обладают свойством самоподобия, что отражает  гармоничность их строения.

Подсолнух, ананас, ромашка и дикая морковь устроены с математической точностью.

                                                              Заключение.

                                                                       Фрактальная симметрия,

                                                                       Я гимн тебе пою!

                                                                       На море и на суше

                                                                       Тебя я узнаю!

                                                                       Снежинки и галактики-

                                                                       Нигде без математики!

                                                                       Всё с точностью отмерено,

                                                                       Законами проверено!

  Мы изучили фракталы.  Проанализировали  проявления фракталов в окружающей  нас действительности  а также  научные открытия, связанные с существованием фракталов.

 Мы  обнаружили   удивительную  математическую связь между золотым углом и рациональным  расположением семян и тычинок, между числом спиралей у растений и  числами в последовательности  Фибоначчи.   Эта связь  доказывает, что узоры, которые мы встречаем  в природе возникли не случайно. Все они подчинены единым строгим  законам.

Таким образом, наша  гипотеза о существовании особых числовых закономерностей, которые отвечают за гармонию,   подтверждается.

Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

     Мы убедились, что  у Природы  есть свои законы, выраженные с помощью математики и проявляющиеся в различных узорах от крохотной снежинки до спирали галактики.

   Нас поразил  тот факт, что  антенны в наших сотовых телефонах имеют фрактальную форму и именно это позволяет им  принимать широкий диапазон   радиоволн. Это доказали с помощью математики! Когда мы осознали,  что хитроумный инженер может использовать фракталы в самых разных устройствах, мы лучше поняли, почему Природа, которая хитрее любого инженера,  тоже широко их использует.

     Также мы увидели строгую математику в строении человека. Кровеносная, дыхательная система, строение сетчатки глаза и тканей мозжечка – это биологические фракталы.

      Фракталы  отражают свойства самой природы. А один из важных инструментов для познания тайн природы – это математика.

Явления всей вселенной подчинены определенным числовым соотношениям.  Число-это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными. Все упорядочивается в соответствии с числами.  Эта  основа учения Пифагора актуальна и в наши дни!

Литература и сайты Интернета.

1.     Витолин Д. Применение фракталов в машинной графике. // Computerworld-Россия,

       № 15, 1995.

2.     Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. // Соросовский образовательный      журнал, № 1, 1998.

3.     Галиулин Р. От мавританских орнаментов к фракталам. // Наука и жизнь, № 8, 1995.

4. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация. // Наука и жизнь, № 5, 2001.

5. Долбилин Н. Игра "Хаос" и фракталы. // Квант, № 2, 1997.

6. Долбилин Н. Самоподобные мозаики. // Квант, № 2, 1998.

7.     Данилов Ю.А. Красота фракталов. // Труды Московского Международного           Синергетического Форума. 1997.

                                               Список использованных сайтов:

1.http://lib.mexmat.ru/books/419/s2 

2.http://ru.wikipedia.org/wiki/Фрактал 

3.http://3dfractal.ru/stati-o-fraktalah/31.html 

4.http://www.youtube.com/watch?v=MK3JAFfCQYs&feature=related 

5.http://www.youtube.com/watch?v=G8yLBaYQG8E&feature=related 

6.http://www.youtube.com/watch?v=5nJ4D1Va9Ms&feature=related