Муниципальное автономное

общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа с.Чапланово

муниципального образования «Холмский городской округ»

Сахалинской области

Учебно-исследовательская работа

Математические закономерности в природе. Числа Фибоначчи.

Поисковое исследование

г. Холмск

2018

Оглавление

Введение.        3

I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ        5

1.1.        Изучение биографии Леонардо Фибоначчи.        5

1.2.        История создания чисел Фибоначчи.        6

1.3.        Числа Фибоначчи и их свойства.        8

II. Закономерность Фибоначчи вокруг нас.        9

2.1.        Закономерность Фибоначчи в живой природе.        9

2.2        Числа Фибоначчи в строении человека.        11

2.3.        Числа Фибоначчи в музыке        11

Глава 3. Наши исследования.        12

Заключение.        14

Литература        15

Приложение 1        16

Введение.

Увлекаясь математикой, я заинтересовалась числами Фибоначчи. Мне захотелось узнать, насколько велико распространение данной числовой последовательности в нашем мире.

Природа - это внешний мир, подчиняющийся определенным законам, которые формировались на протяжении миллионов лет. Это естественная среда обитания человека, окружающий нас мир во всем бесконечном многообразии проявлений. Может ли природа быть как-то связанной с математикой? Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, котораяисторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов. Изучая математику, мы опираемся только на знание формул, теоремы, расчеты. И математика предстает перед нами как некая абстрактная наука, оперирующая цифрами.

Можно ли найти математические закономерности в природе? Я думаю да. Именно это я и попробую показать в этой работе. Многие думают, что математика – это просто наука, которая нужна только для решения разных задач из жизни, я хотела бы убедиться в обратном.

Актуальность выбранной мною темы заключается в том, что приобретаются новые знания, за рамками учебного предмета, знания, которые необходимы каждому образованному человеку, потому что числа Фибоначчи встречаются ежедневно в окружающей нас природе.

Предмет исследования: Числа в формах и строении исследуемых объектов природы.

Объект изучения: Числовой ряд Фибоначчи.

Цель данной работы:

узнатьзакономерность чисел Фибоначчи и изучить проявление этих закономерностей в природе.

В ходе исследования сформировались задачи:

1. Изучить литературу по данной теме;
2. Познакомиться с числами Фибоначчи и историей их создания;
3. Познакомиться с библиографией их создателя;
4. Найти описанные в литературе примеры чисел Фибоначчи
5. Рассмотреть примеры из живой природы в которых встречается закономерность чисел Фибоначчи.
6. Познакомить с результатами исследования моих одноклассников.

Гипотеза:

Существуют особые числовые закономерности, которые отвечают за гармонию в природе.

Методы исследования:

Теоретический

Эмпирический

Математическое моделирование

Новизна данной работы заключается в открытии чисел Фибоначчи в окружающей нас живой природе.

I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1.        Изучение биографии Леонардо Фибоначчи.

Удивительные числа были открыты итальянским математиком средневековья Леонардо Пизанским, более известным под именем Фибоначчи. Леонардо Пизанский (Фибоначчи)– это первый крупный математик средневековой Европы. Более известен под прозвищем Фибоначчи, что в переводе с итальянского означает «хороший сын родился».

Точная дата его рождения неизвестна. Предположительно Фибоначчи родился в 1170году в городе Пиза, в Италии. Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты.

Его отец был купцом и государственным вельможей, представителем нового класса бизнесменов. Тогда Пиза была одним из крупнейших коммерческих центров, активно сотрудничавших с исламским Востоком, и отец Фибоначчи энергично торговал на северном побережье Африки, по торговым делам часто бывал в Алжире. Благодаря этому ему удалось «устроить» своего сына в одну из арабских школ, где он смог получить превосходное для того времени математическое образование.

Леонардо изучал труды математиков востока, по арабским переводам он ознакомился также с достижениями античных и индийских математиков.

Невозможно представить современный бухгалтерский и вообще финансовый учет без использования десятичной системы счисления и арабских цифр, начало использования которых в Европе было положено Фибоначчи.

Леонардо Фибоначчи, применил к банкирскому счетоводству арабские цифры, ознакомив таким образом с ними Европу.

Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

1.2.        История создания чисел Фибоначчи.

Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки: Числа Фибоначчи встречаются во многих областях математики. В начале XIII века в городе Пизе жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Леонардо (Пизанский) Фибоначчи. В 1202 году он издал книгу «Liberabci», - это была одна из первых книг в Европе, учившая употреблять десятичную систему счисления.

Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги, в которой насчитывалось пятнадцать глав? В ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:

1. Индусская система нумерации;
2. Правила действий над целыми числами;
3. Дроби и смешанные числа;
4. Разложение чисел на простые множители;
5. Признаки делимости;
6. Учение об иррациональных величинах;
7. Способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;
8. Свойства пропорции;
9. Арифметическая и геометрическая прогрессии;
10. Линейные уравнения и их системы.

Леонардо Фибоначчи совершил открытие чисел (впоследствии названных его именем) случайно. В 1202 году он пытался решить практическую задачу: какой максимальный приплод может дать одна пара кроликов за год и создать формулу, описывающую последовательность их размножения.

На второй месяц мы будем иметь одну пару, на третий месяц 1+1=2, на четвертый месяц 2+1=3 пары, на пятый месяц 3+2=5 пар, на шестой месяц 5+3=8 пар.

Разгадкой стал числовой ряд, каждое последующее число которого, является суммой двух предыдущих.

Отслеживая каждый месяц количество пар кроликов, мы получили такой ряд чисел:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…

Ответ: 377 пар.

Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность, любой член которой, начиная с третьего, выражается через предыдущие числа.

В честь автора этой задачи вся последовательностьназывается рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи.

1.3.        Числа Фибоначчи и их свойства.

С тех пор, как Фибоначчи открыл свою последовательность, были найдены много явлений природы, в которых его последовательность чисел прослеживается очень четко. Природа дает нам многочисленные примеры расположения предметов, описываемых числами Фибоначчи. Спиралевидное расположение листьев на ветках деревьев подметили давно. Выяснилось, что в расположении листьев на ветке (филлотаксис - листорасположение), в числе оборотов на стебле, в числе листьев в цикле проявляет себя ряд чисел Фибоначчи.

Чёткая, симметричная форма цветов также подчинена строгому закону.

У многих цветов количество лепесточков является числами из ряда Фибоначчи.

Встретить числовые закономерности в живой природе можно в различных спиральных формах, которыми так богат мир растений. Обычно можно усмотреть два вида спиралей. В одном спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Число "правых "и "левых" спиралей часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Можно привести множество примеров.

Колючки ананаса образуют два множества спиралей: 8 спиралей идут по часовой стрелке, а 13 спиралей идут против часовой стрелки.

Чешуйки в хвойных шишках и "упакованы" по спиралям, завивающимся навстречу друг другу, причем их количество всегда выражается соседними числами Фибоначчи. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей, на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

II. Закономерность Фибоначчи вокруг нас.

2.1.        Закономерность Фибоначчи в живой природе.

Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.

На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89.

У многих цветов количество лепесточков – именно числа из ряда Фибоначчи. Например:

ирис, 3лепестка

лютик, 5 лепестков

златоцвет, 8 лепестков

дельфиниум, 13 лепестков.

цикорий, 21лепесток

астра, 34 лепестка

маргаритки,55лепестков

Про то, как первозданная и необузданная природа функционирует и развивается по математическим законам, описанными числами Фибоначчи, мы попробуем разобраться в следующей главе.

2.2        Числа Фибоначчи в строении человека.

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, проявляются и в строении человеческого тела. Рассмотрим это поподробнее.

У человека одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д. Многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей.

Можно рассмотреть части тела и с другой стороны. У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, только 8 пальцев трехфаланговые. Все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Позвоночник человека состоит из 34 позвонков. Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34.

Общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи.

2.3.        Числа Фибоначчи в музыке

Числа Фибоначчи можно встретить и в музыке. Одна октава на клавишной панели пианино состоит из 13 клавиш: 8 белых и 5 чёрных, которые разбиты на группы по 3 и 2. Все эти числа являются числами Фибоначчи.

Глава 3. Наши исследования.

Мы изучили строение:

• Сосновой шишки
• тысячелистника
• комара

И убедились, что в этих, таких разных на первый взгляд объектах, незримо присутствуют те самые числа последовательности Фибоначчи.

Итак, шаг 1.

Возьмём сосновую шишку: 

Рассмотрим её поближе:

Замечаем две серии спиралей Фибоначчи: одна - по часовой стрелки, другая - против, их число8и13.

Шаг 2.

Возьмём тысячелистник:

Внимательно рассмотрим строение стеблей и цветов:

Заметим, что каждая новая ветвь тысячелистника растет из пазухи, и от новой ветви растут новые ветви. Складывая старые и новые ветви, мы нашли число Фибоначчи в каждой горизонтальной плоскости.

Шаг 3.

А проявляются ли числа Фибоначчи в морфологии различных организмов? Рассмотрим всем известного комара:

Видим:3пары ног, голове5усиков – антенн, брюшко делится на8сегментов.

Вывод:

В наших исследованиях мы увидели, что в окружающих нас растениях, живых организмах проявляют себя числа из последовательности Фибоначчи, что отражает гармоничность их строения.

Сосновая шишка, тысячелистник, комар, человек устроены с математической точностью.

Заключение.

Самим творцом во все объекты

Заложен уникальный код,

И тот, кто дружен с математикой,

Его познает и поймёт!

Тему «Числа Фибоначчи» я выбрала не зря, так как считаю важной, интересной и необходимой в наше время.

В этой работе мырассмотрели числа Леонардо Фибоначчи их закономерность и историю создания. Последовательностью ряда Фибоначчи можно объяснить многое. Есть еще ряд свойств, который можно объяснить с помощью ряда чисел Фибоначчи. Например: Зерна подсолнуха также располагаются согласно последовательности Фибоначчи, а именно соседними числами Фибоначчи выражается число левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена. Аналогичные закономерности выявляются при изучении сосновыхшишек, лепестков некоторых цветков, морфологии строения комара.

Мы обнаружили удивительную математическую связь между числом спиралей у растений, числом веток в любой горизонтальной плоскости и числами в последовательности Фибоначчи. Мы увидели, как морфология различных организмов тоже подчиняется этому таинственному закону.

Действительно, всё в мире продуманно и просчитано самым главным нашим дизайнером – Природой!

Мы убедились, что у Природы есть свои законы, выраженные с помощьюматематики.И математика – это очень важный инструментдля познания тайн природы.

Литература

1. Стахов А.П. Новая математика для живой природы.– Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 264с.
2. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика/Глав.ред. М.Д.Аксёнова. – М.: Аванта+,1998. Стр.75, 454-456.
3. http://esopedia.ru/chislafibonachchi

Приложение 1

Знакомство класса с моей работой.