Содержание

Введение        2

Постановка задачи. Доказательство теоремы        3

Заключение        9

Список использованных источников и литературы        10

Введение

        Треугольник – одна из простых и главных геометрических фигур и имеет большое количество интересных и необычных свойств [1]. И далеко не все свойства еще открыты.

        Среди основных элементов треугольника выделяют несколько точек, изучаемых в школьной программе, например «Четыре замечательные точки треугольника», и большое количество особых, которые выходят за ее рамки.

        Цель работы – доказать существование новой точки треугольника, которая получается в необычной и нестандартной конструкции треугольника, связанной с тремя вписанными в сегменты круга окружностями, и описать ее свойства.

 Задачи:

1. Формулировка теоремы о существовании новой точки треугольника и ее основном свойстве
2. Доказательство теоремы
3. Исследование свойств обнаруженной новой точки треугольника

Постановка задачи. Доказательство теоремы

Рассмотрим произвольный ΔABC. Пусть  – длины сторон треугольника,  – описанная окружность, т. O – ее центр,  – вписанная окружность, т. I – ее центр. Точки ,,  – точки касания вписанной окружностью сторон треугольника (рис. 1).

        Каждая сторона делит круг, ограниченный описанной около треугольника окружностью, на два сегмента. Возьмём те из них, что не содержат третьих вершин. В каждый такой сегмент впишем по окружности, которые касаются стороны треугольника в точках ,,  соответственно, а также касаются описанной окружности – обозначим эти точки соответственно , ,  (рис. 2). Для каждого сегмента (при однозначном выборе точек касания сторон треугольника) такие окружности единственны. Обозначим эти окружности , и .

Рис. 1. Иллюстрация к задаче.

Рис. 2. Взаимное расположение пяти окружностей.

        Теорема. Прямые ,,  пересекаются в одной точке, лежащей на прямой, которая соединяет  центры вписанной и описанной окружностей.

        Доказательство.

        а) Утверждение о том, что прямые ,,  пересекаются в одной точке E, следует из свойств изоциркулярного преобразования, предложенного в [2].

        Суть изоциркулярного преобразования состоит в следующем. Рассмотрим произвольную точку Z, расположенную внутри ΔABC. Прямые AZ, BZ, CZ пересекают описанную около данного треугольника окружность в точках ,, . В сегмент, отсекаемый стороной BC, дуга которого не содержит т. A, впишем окружность, которая касается стороны BC в точке . Аналогично определим точки  и (рис. 3). Прямые ,, пересекаются в одной точке , которую мы будем называть изоциркулярным образом точки  [2]. И по известной точке можно определить единственную точку.

Рис. 3. Изоциркулярное преобразование.

        Итак точка  является прообразом точки Жергона [1, 3]. Тут же укажем, что барицентрические координаты т. E, так как барицентрические координаты при изоциркулярном преобразовании связаны простым соотношением, а координаты т. Gr.

        б) Для доказательства принадлежности точки Е прямой OI, воспользуемся уравнением этой прямой в барицентрических координатах.

Такое уравнение имеет вид: , где  и  – координаты двух точек данной прямой [2,3]. Еслиточка принадлежит прямой, то при подстановке ее координат в уравнение получим верное равенство. Координаты точек O и I известны: I, O.Подставим в уравнение координаты точки E:

        После преобразований находим, что они удовлетворяют данному уравнению.

Ч.т.д.

        Вопрос о расположении точки E на прямой OI относительно центров вписанной и описанной окружностей, является одним из главных. Построения показывают, что точки O и E всегда расположены по разные стороны от точки I, но обоснование этого наблюдения еще не получено. При этом точка E всегда лежит внутри треугольника, также, как и центр вписанной окружности. Действительно, для получения т. E необходимо провести прямые, обязательно пересекающие стороны треугольника.

        Вопрос о расстоянии IE является одним из важнейших, и довольно сложен, его предполагается подробно изучить в дальнейшем, а в настоящей работе мною исследован только частный случай – равнобедренный треугольник. В силу свойств подобия достаточно рассмотреть равнобедренные треугольники с одинаковым основанием  = 1. Тогда единственным параметром, от которого зависят исследуемые величины - угол при вершине B.

Рис. 4. Зависимости  и.

Для равнобедренного треугольника с основанием  и углом при верщине  радиусы описанной и вписанной окружностей определяются по известным формулам: , , а расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей вычисляется по формуле Эйлера, .

Длина отрезка IE, так как формула для ее нахождения мною еще не выведена, определялась с использованием программного продукта GeoGebra. Хотя данные значения являются приближенными, но они дают возможность представить общую картину.

На рисунке 4 показаны зависимости от угла  радиусов описанной  и вписанной  окружностей, расстояния между ними  и длины отрезка IE. Можно видеть, что для всех значений , причем равенство  достигается в правильном треугольнике.

        Исследования продолжаются

Определение радиусов окружностей, вписанных в сегменты

У меня получилось составить уравнение для определения радиусов окружностей, вписанных в сегменты. Для определенности рассмотрим радиус  Идея состоит в следующем:  (по двум углам, рис. 5). Из подобия данных треугольников следует соотношение: . можно найти из прямоугольного треугольника :. Выразим , где  и . , где . найдем из прямоугольного треугольника ., причем . Выполнив преобразования, получим, что , где  Подставив эти выражения в пропорцию которая была выведена из подобия двух треугольников, и проделав многочисленные преобразования, я получил следующее квадратное уравнение:

.

Рис. 5. К определению радиуса

        В дальнейшемя хочу рассмотреть  рассмотреть несколько вопросов, связанных с данной задачей, первый из которых - доказательство того, что прямые ,,   проходят через основания высот треугольника касаний.

Заключение

        В процессе выполнения работы, мною были выполнены следующие задачи:

1. Найдена новая точка треугольника – описан метод ее построения.
2. Сформулирована и доказана теорема о существовании данной точки и ее основном свойстве.
3. Сформулированы цели для дальнейшего исследования.

Список использованных источников и литературы

1. Коксетер Г., Грейтцер С. Новые встречи с геометрией. – М.: Наука, 1978. – 224 с.
2. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. — М.: МЦНМО, 2002. – 312 с.
3. Понарин Я. П. Элементарная геометрия: В 2 т. – Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. – 312 с.