Проектная исследовательская работа. Тема работы «Вычисление площади фигуры c помощью интеграла»

Опубликовано Овсянников Евгений Михайлович вкл 28.02.2025 - 19:49

Автор:

Лазовский Виталий Александрович

Площадь – это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Объект исследования – интегральное исчисление, предмет исследования – площади фигур, заданных графиками функций.

Скачать:

Вложение	Размер
vychislenie_formuly_figur_s_pomoshchyu_integr.docx	417.93 КБ

Предварительный просмотр:

Государственное казённое общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 4» при исправительном учреждении

Проектная исследовательская работа

Тема работы

«Вычисление площади фигуры c помощью интеграла»

Выполнил:

Лазовский Виталий Александрович

учащийся 10 «А» класса

ГКОУ СОШ № 4 при ИУ

ст. Александрийской

Руководитель: Овсянников Е.М.

1.ОГЛАВЛЕНИЕ

2.ВВЕДЕНИЕ 3

3.ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3-5

4.ГЛАВА II. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 5-17

5.ЗАКЛЮЧЕНИЕ 17-19

6.СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ 19-20

ВВЕДЕНИЕ

В математическом анализе изучаются свойства функций, а затем они применяются при решении уравнений или неравенств, как например, четность. Появилась гипотеза: можно ли, например, это свойство применять при интегрировании.

Цель исследования: овладеть практическими навыками, техническими приёмами, которые потребуются для вычисления площадей фигур, заданных пересечением графиков функций с помощью определенного интеграла.

Задачи исследования:

1. Ознакомить с формулами вычисления площадей геометрических фигур.

2.Ознакомить с понятием определённого интеграла, свойствами интеграла, а также свойствами функций, упрощающими вычисления площадей фигур, задаваемых графиками различных функций.

3. Убедить в том, что свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

4.Составить задачи на предмет исследования, вычислить площади фигур, задаваемых на системе координат, различными способами. Выявить слабые и сильные стороны этих способов. ГЛАВА I. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е. $\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$ $\int\limits_{a}^{a}{f\left( x \right)dx}=0$ $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( y \right)dy}$ $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( y \right)dy}$

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е. ∫f (x)dx =∫f (t)dt, так как, F xa b F (t )a b

Необходимо знать: определение криволинейной трапеции, формулу Ньютона-Лейбница для расчёта определённого интеграла.

Необходимо уметь: по готовому чертежу составлять формулу площади и находить её значение.

Теоретическая часть

Определение. Криволинейной трапецией (рис. 1) называют фигуру, которая ограничена:

сверху - графиком непрерывной функции y=y(x)
снизу – осью OX (y=0)
слева – прямой x=a
справа – прямой x=b

Утверждение. Геометрический смысл определённого интеграла в том, что его значение равно площади соответствующей криволинейной трапеции:

(1)

Рассмотрим различные методы вычисления площадей плоских фигур.

Пример 1. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: , x=-1, x=2 и осью OX.

Решение: данная фигура (рис. 2) представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле (1).

Ответ: 6 кв.ед.

Пусть y=f(x) – непрерывная функция при x[a, b], график которой расположен ниже оси OX (рис. 3). Значение определённого интеграла будет отрицательным, поэтому для расчёта площади берём значение интеграла по модулю.