Презентация карт- инструкций по основным темам курса алгебры средней школы с целью оперативной подготовки к ЕГЭ
Вложение | Размер |
---|---|
презентация | 1.08 МБ |
Слайд 1
ВЫПОЛНИЛА: ИСАЕВА ИМАН РУКОВОДИТЕЛЬ: САМОЙЛОВА Л.И СИСТЕМАТИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ за курс 10-го класса.Слайд 2
ТЕМА № 1.
Слайд 3
Нахождение D(f) функции. Алгоритм: Рассмотреть функцию и разделить ее на 2 части по структурной составляющей; Примените условия существования дроби или радикала в зависимости от формулы; Запишите ответ.
Слайд 4
Пример. У=х+3/ cos x . Решение: 1) правую часть формулы представляет дробь, знаменателем которой является cos x ; 2) Дробь имеет смысл, если ее знаменатель отличен от нуля. Найдем значения Х, при которых cos x=0, cos x=0, если х= π /2 + π n, n € z.
Слайд 5
Нахождение Е( f ) функции. Алгоритм: рассмотреть формулу, определить структуру ее правой части; оценить границы изменения каждой из составляющих; оценить правую часть в целом, как сумму; записать ответ.
Слайд 6
Пример. У= 2cosx – 3 , -2 ≤ 2cosx ≤ 2, так как -1 ≤ cosx ≤ 1, -2-3 ≤ 2cosx ≤ 2-3, -5 ≤ 2cosx-3 ≤ -1, Ответ: Е( f) € [-5; -1].
Слайд 7
Нахождение промежутков знакопостоянства. Алгоритм: 1) определить возможности преобразования данной функции; 2) схематично изобразить график; 3) отметить ту часть графика, которая расположена ниже оси абсцисс (Ох); 4) указать те значения Х, которым соответствует выделенная часть графика; 5) записать ответ.
Слайд 8
Нахождение точек максимума и минимума функции. Алгоритм: определить какие преобразования графика можно получить при рассмотрении функции; схематично изобразить график; отметить те точки графика, в котором убывание сменяется возрастанием; указать значения аргумента, которым соответствуют выделенные точки; ответ.
Слайд 9
Тема № 2.
Слайд 10
Решение тригонометрических уравнений. Алгоритм: упростить уравнение, применив известные формулы; определить вид уравнения; а) простейшие ( cosx=0, cosx=1, cosx=-1, sinx=0, sinx=1, sinx=-1 и др. ) , б) уравнения, сводящиеся к квадратному и др.; в зависимости от вида применить формулу корней или заменить его квадратным уравнением или выполнить др. преобразования; ответ.
Слайд 11
Решение тригонометрических неравенств. Алгоритм: начертить единичную окружность; отметить на ней точки, в которой значение указанной в неравенстве тригонометрической функции равно данному в неравенстве числу; отметить точки окружности, удовлетворяющее неравенство; записать множество чисел, удовлетворяющих неравенство.
Слайд 12
ТЕМА № 3. ПРОИЗВОДНАЯ.
Слайд 13
Нахождение производной по формулам и правилам дифференцирования. Алгоритм: рассмотреть формулу и определить структуру ее правой части; найти производную каждой из состоящих частей; в зависимости от структуры правой части (суммы, частного…) применить известные правила дифференцирования; ответ.
Слайд 14
Пример. Найти производную функции у = 4 Sin x + Cos x . Решение. 1. Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух выражений: У = 4 Sin x и у = Cos x . 2. Производная первой функции имеет вид: У! = 4 Cos x , а второй у! = - Sin x . 3. Применяя правило нахождения производной суммы, находим производную заданной функции как сумму найденных производных: y/= 4 Cos x - Sin x 4. Производная заданной функции имеет вид у! = 4 Cos x - Sin x
Слайд 15
ТЕМА № 4. Применение непрерывности и производной.
Слайд 16
Решение неравенств. Алгоритм: Введите функцию, которая задается с помощью формулы из выражения данного в неравенстве; Найдите нули данной функции (у=0); Изобразите числовую прямую и отметьте на ней нули функции; Определить знак на каждом промежутке; выявить на каких промежутках функция принимает знак, соответствующий неравенству; выберите в ответ те значения аргумента, которые удовлетворяют неравенство.
Слайд 17
Пример. Задание. Решить неравенство (х 2 – 4)(х +3)(х-4) < 0. Решение. 1.Введем функцию у = (х 2 – 4)(х +3)(х-4)=0. 2. Найдем нули этой функции, используя условие равенства нулю произведения. Получим (х 2 -4) = 0 или (х+3) =0 или (х-4)= 0, отсюда Х=2 или х=-2, или х=-3, или х = 4. 3. Изобразим числовую прямую и отметим на ней точки 2, -2, -3, 4. 4. На промежутке ( R- ;-3) возьмем, например, число -4, вычислим значение функции при этом значении аргумента у(-4) =96 > 0. На промежутке ( -3 ;-2) возьмем, например, число -2,5, вычислим значение функции при этом значении аргумента у(-2,5) = 2,25 *0,5 (-6,25) < 0. На промежутке ( -2 ;2) возьмем, например, число 0, вычислим значение функции при этом значении аргумента у(0) =48 > 0. На промежутке ( 2 ;4 )возьмем, например, число 3, вычислим значение функции при этом значении аргумента у(3) = -31 < 0. На промежутке (4 ; R+ ) возьмем, например, число 5, вычислим значение функции при этом значении аргумента у(5) =21*15 > 0. 5. На числовой прямой отметим, какие значения принимает функция на каждом из промежутков. 6. Решением неравенства будут те значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения, т.е. (-3; -2) (2; 4).
Слайд 18
Нахождение углового коэффициента касательной к графику функции в точке с заданной абсциссой. Алгоритм: найти производную функции; вычислить значение производной в х ; ответ. Y=f (x 0 ) + f ’(x)*(x-x 0 )
Слайд 19
Пример Задание. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции у = 1/х + х 2 в точке с абсциссой Х = -2. Решение. 1. Производная функции имеет вид: у / =- 1/х 2 +2х. 2. Значение производной функции в точке х -2 равно: У / (-2) = - ¼ + 2(-2) = -4,25. 3. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х = -2 равен найденному значению производной в точке х =-2, т.е. K = у(-2) =-4,25.
Слайд 20
Исследование функции с помощью производной. Алгоритм: найти область определения функции ; найти производную функции ; найти критические точки функции ( т.е. решить уравнение f ’(x)=0); изобразить числовую прямую; на числовой прямой отметьте критические точки функции; определить знак значений производной на каждом из полученных промежутков числовой прямой; сделать вывод о промежутках возрастания и убывания функции; выяснить, изменяется ли знак производной при прохождении через найденные критические точки ; сделать вывод о наличие точек максимума или минимума.
Слайд 21
Пример Исследуйте функцию у = х 4 -2х 2 с помощью производной. Решение. 1.Правая часть функции представляет собой многочлен, поэтому областью определения функции будет любое действительное число, т.е. R . 2. Производная функции имеет вид: у/ = -4х 3 -4х (определена на всей области определения). 3.Найдем критические точки функции. Для этого решим уравнение у/ =0. Получим -4х 3 -4х.=0, значит х=0, или х=1, или х=-1. 4.Изобразим числовую прямую. 5. На числовой прямой отметим найденные критические точки. 6. Определим знаки значений производной на каждом из четырех промежутков. Для этого на каждом промежутке выберем произвольное значение аргумента и определим знак производной. а).на промежутке ( R_ ;-1) возьмем число -2, тогда у/(-2) = -24 < 0. б).на промежутке ( -1 ;0) возьмем число -0,5, тогда у/(-0,5) = 4(-0,125) +2 > 0. в).на промежутке ( 0 ;1) возьмем число 0,5, тогда у/(о,5 = 4 *0,125 -2 < 0. г).на промежутке (1 ; R+ ) возьмем число 2, тогда у/(2) = 24 > 0. 7 На основе признака возрастания (убывания) функции имеем: Функция возрастает на промежутке (-1; 0) и (1; R+ ), а убывает на промежутке(- R ; -1) и (0; 1) .8. Проходя через точку -1, производная меняет свой знак с »-» на «+», значит х = -1 является точкой минимума. 9. Аналогичными рассуждениями получаем выводы о том, что х=0 является точкой максимума, а х=1 является точкой минимума.
Слайд 22
11 класс. Систематизация и обобщение знаний по алгебре и началам анализа.
Слайд 23
Нахождение общего вида первообразной. Инструкция. 1.Выявите структуру правой части формулы, задающей функцию. 2. Примените известные правила нахождения первообразных в зависимости от выявленной структуры, используйте таблицу первообразных. 3.Запишите общий вид первообразных.
Слайд 24
Пример. Задание. Найдите общий вид первообразных функции у = 1 /х 4 + cos x . Решение. 1.Правая часть формулы, задающей функцию, представляет собой сумму двух выражений: у = х 2 и у = cos x . 2.Для поиска первообразных нужно применять правило нахождения первообразной суммы двух функции, первообразную каждой из которых можно найти из известной таблицы первообразных. Первообразная первой функции имеет вид F = - 1 / 3 х 2 , первообразная второй функции F = sin x , а первообразная суммы F = - 1 / 3 х 2 + sin x . 3. Общий вид первообразных : F = - 1 / 3 х 2 + sin x + С, где С – любое число. F =
Слайд 25
Вычисление площади фигуры, ограниченной заданными линиями. Инструкция. 1.Схематично изобразите заданные линии на координатной плоскости. 2. Выделите фигуру, ограниченную этими линиями. 3. Определите, является ли полученная фигура криволинейной трапецией или нет. 4. Если фигура является криволинейной трапецией, то вычислите ее площадь как определенный интеграл. Если фигура не является криволинейной трапецией , то подумайте, сумму (или разность) площадей каких криволинейных трапеций или других фигур нужно рассмотреть для получения ответа.
Слайд 26
Пример. Задание. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у = х 2 +1, у = 10. Решение. 1.Схематически изобразите заданные линии на координатной плоскости, т.е. у = х 2 +1, у =10. 2. Выделите фигуры, ограниченные этими линиями. 3.Определите, является ли полученная фигура криволинейной трапецией или нет. 4. Если фигура является криволинейной трапецией, то вычислите ее площадь как интеграл ( ∫ от»а» до»в» )от функции у(х) по dx. Если не является, то выясни через площади каких фигур ее можно найти. Выделенная вами фигура не является криволинейной трапецией, но ее площадь легко вычисляется как разность площадей: из площади прямоугольника нужно вычесть площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции у = х 2 +1 . 4.Для вычисления указанных площадей найдем абсциссы точек пересечения графиков заданных нам функции. Для этого решим уравнение х 2 +1 =10, х 2 =9, х=-3 или х=3. Таким образом, S = ∫ ( х 2 +1) dx = ( х 3 /3 + х) I -3, 3. =24 кв.ед. S =10 *6 =60 (кв. ед.) S = S трап. - S прямоуг. = 60 - 24 = 36 ( кв. ед.)
Слайд 27
Вычисление значения числового выражения , содержащего радикал. Инструкция. 1.Определите структуру выражения, стоящего под знаком корня (произведение, частное, степень) 2.Примените известные правила извлечения корня из произведения, частного и другие в зависимости от структуры заданного выражения. 3. Найдите корень из каждой структурной единицы, составляющей выражение. (В отдельных случаях можно сначала представить выражение , стоящее под знаком корня, в виде произведения степеней). 4.Запишите ответ.
Слайд 28
Пример. Задание. Вычислите значение выражения √1/125 * 8/343 * 64. Решение. 1.Данное в условии выражение представляет собой произведение трех множителей: √ 1/125 * √8/343 * √64. 2. Для нахождения значения выражения применим теорему о вычислении корня из произведения: √ 1/125 * √8/343 * √64= .= √1/125 * √8/343 * √64. 3. Вычислим три полученных корня: √ 1/125; √8/343 и √64. Первый корень можно рассмотреть как дробь(частное), применив к его вычислению правило нахождения корня из дроби: √ 1/125= √1 / √125 = 1/5. Аналогично находим оставшиеся два корня: √ 8/343 = √8 / √343 =2/7; √64 =4. 4.Чтобы получить окончательный ответ, перемножим промежуточные результаты: √ 1/125 * √8/343 * √64 = 1/5 * 2/7 * 48/35.
Слайд 29
Схематическое изображение графиков показательной и логарифмической функций. Инструкция. 1.Определите вид функции (выясните, является функция показательной или логарифмической). 2. На координатной плоскости отметьте ту характеристическую точку, через которую проходит график всех данного вида. 3.Определите, является ли функция возрастающей или убывающей (сравните значения основания «а» с единицей). 4. Через обозначенную точку с учетом характера изменения функции (возрастающая функция или убывающая) проведите линию, схематично изображающую график заданной функции.
Слайд 30
Пример. Задание. Схематично изобразите график функции у = 0,8 х . 1.Функция является показательной, так как она задается формулой вида у = а х. 2.На координатной плоскости отметим точку М(0;1), так как график всех показательных функции проходит через эту точку. 3. Функция у = 0,8 х является монотонно убывающей, так как 0,8 < 1. 4.Через точку М(о;1) проведем кривую линию, расположенную над осью абсцисс. Ординаты точек этой кривой (значения функции) уменьшаются с ростом абсцисс (с ростом значений аргумента) .
Слайд 31
Пример. Задание. Схематично изобразите график логарифмической функции у = log 3 х.
Слайд 32
Решение показательных неравенств. Инструкция. 1.Рассмотрите неравенство, выберите основание показательной функции, с помощью которого удобно записать левую и правую части неравенства. 2.Представте левую и правую части неравенства как значения показательной функции с выбранным основанием. 3.Определите, является ли функция (с выбранным вами основанием)возрастающей или убывающей. 4.Перейдите от показательного неравенства к неравенству алгебраическому (линейному, квадратичному и т.д.), учитывая характер изменения функции (возрастающей или убывающей она является). 5.Решите полученное алгебраическое неравенство (линейное, квадратичное и т.д.) и запишите ответ.
Слайд 33
Пример. Задание. Решить неравенство 3 * 9 2х-2 > ( 1/27) 3х-1 Решение. 1.В качестве основания показательной функции удобно взять число 3 (можно взять и число 1/3), так как все члены неравенства можно представить как степени с основанием «3». 2.Левая и правая части неравенства, как значения показательной функции с основанием «3», будут иметь вид: 3 * 9 2х-2 =3* (3 2 ) 2х-2 =3 4х-1 ; (1/27) 3х =(3 -3 ) 3х =3 -9х . Неравенство принимает вид: 3 4х-1 > 3 -9х . 3.Показательная функция у = 3 с основание «3» является возрастающей, так как 3 > 1. 4.Так как у = 3 х - возрастающая функция, то 4х – 1 > -9х. 5.Решаем линейное неравенство:4х + 9х > 1, 13х > 1, х > 1/13. Решением показательного неравенства будет множество чисел из промежутка (1/13; ∞ ).
Рисуем кактусы акварелью
Хрюк на ёлке
Композитор Алексей Рыбников
Весёлая кукушка
Всему свой срок