Математические парадоксы

Слайд 1

Слайд 2

Цели и задачи: • Узнать, что такое математические парадоксы и где они зародились • Узнать о разновидностях парадоксов • Доказательство парадокса «Ряд Гранди» • Разобрать несколько наиболее известных парадоксов • Рассмотреть шуточный парадокс «Кошки с маслом» • Вывод

Слайд 3

…Итак, издревле математики стали замечать, что порой их суждения не столь обоснованы, как хотелось бы, а иногда и вовсе противоречат логике. Их сей факт, естественно, задел, и они дали красивое название таким математическим несовпадениям – парадоксы (от греческого слова « paradoxos », которое значит – «противоречащий обычному мнению»). Часто действительно в парадоксах одна аксиома натыкалась на другую, и они между собой «конкурировали» - но победа не могла достаться ни той, ни другой.

Слайд 4

Парадоксы возникают в современных прикладных науках также часто, как и в древних. В свое время (VII в. до н. э) вавилонские жрецы-астрологи заметили, что некоторые планеты временами замедляют движение, пятятся назад, а затем снова продолжают движение в обычном направлении. Гераклид Понтийский смог объяснить "явление блуждающих светил" с помощью математической теории эпицикла . Гераклид Понтийский

Слайд 5

В самом широком смысле под парадоксом понимают высказывание, которое расходится с общепринятым мнением и кажется нелогичным (зачастую лишь при поверхностном понимании). Парадокс, в отличие от афоризма, поражает неожиданностью. Например, уайльдовский «Разводы совершаются на небесах». Парадокс — это всегда полуправда и это, как говорил Оскар Уайльд, «лучшее, чего мы можем достичь, потому что абсолютных правд не существует». Оскар Уайльд

Слайд 6

В шутку говорят, что все великие открытия переживают три этапа. Вначале о первооткрывателе говорят: «Он с ума сошел», потом – «Здесь что-то есть», а в заключительной стадии – «Это же так просто».

Слайд 7

Ряд Гранди Парадокс ряда 1−1+1−... ( Ряд Гранди ): имеется бесконечный ряд 1−1+1−... Чему он равен? Можно доказать, что он равен 0, 1 или 0,5.

Слайд 8

Один из очевидных методов нахождения суммы ряда 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + … - воспринимать его как телескопический ряд и попарно сгруппировать члены: (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0.

Слайд 9

С другой стороны, похожим способом можно получить другой ответ: 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1. Таким образом, различной расстановкой скобок в ряде Гранди, можно получить в качестве суммы и 0, и 1. (Вариации этой идеи, называемые мошенничеством Эйленберга-Мазура , используются в теории узлов и алгебре).

Слайд 10

Если считать ряд Гранди расходящейся геометрической прогрессией, то, используя те же методы что и при работе со сходящимися геометрическими прогрессиями, можно получить третье значение, 1/2: .

Слайд 11

В предыдущих рассуждениях не учитывается, что в действительности означает «сумма ряда». Поскольку важно уметь брать части ряда в скобки, а также производить арифметические действия с рядами, можно прийти к двум выводам: Ряд 1 — 1 + 1 — 1 + … не имеет суммы.…но его сумма должна быть равна 1/2. На самом деле, оба утверждения могут быть точно сформулированны и формально доказаны, но только с использованием четко определенных математических принципов, которые возникли лишь в 19 м веке. После того, как в конце 17го века в Европе были заложены основы анализа, и до прихода современной строгости, разница между ответами давала пищу для «бесконечных» и «яростных» споров между математиками .

Слайд 12

Математики в своё время поделились на две группы: интуиционистов и их противников. Первые заявили, что с появлением парадоксов стало ясно – наука математика изначально неверна в своих положениях. Но, к счастью всего современного человечества, вторых было больше, и они смогли опровергнуть все заявления интуиционистов. Ведь всем известно – не бывает правил без исключений .

Слайд 13

Примеры парадоксов Чем больше сыра, тем больше дырок. Чем больше дырок, тем меньше сыра. Значит, чем больше сыра, тем меньше сыра

Слайд 14

а по условию параллельно в . с в свою очередь параллельно d . а и в – параллельные прямые, они пересекаются с с и d – параллельными прямыми. Вывод: параллельные прямые пересекаются.

Слайд 15

Парадокс «кошки с маслом» Давайте сначала улыбнемся! Парадокс «кошки с маслом» - это шуточный псевдопарадокс , основанный на двух народных мудростях: - кошки всегда приземляются на лапы; - бутерброд всегда падает маслом вниз. Противоречие возникает, если рассмотреть кошку, падающую на пол, к спине которой прикреплён бутерброд (маслом вверх).

Слайд 16

Парадокс представляет особый интерес , если предположить, что кошки действительно всегда приземляются на лапы, а все бутерброды падают маслом вниз. Некоторые в шутку утверждают , что результатом эксперимента станет антигравитация. По их словам, падение кошки замедлится с приближением к земле, и она начнёт вращаться. Это объясняется тем, что кошка будет пытаться приземлиться на лапы, но в то же время бутерброд будет стремиться упасть , как обычно , маслом вниз. В конце концов, кошка должна достигнуть стабильного состояния, зависнув недалеко от земли и вращаясь с большой скоростью. Это, однако, было бы возможно только при отсутствии воздуха, иначе, по закону сохранения энергии, присутствие сопротивления воздуха вращению должно было бы исчерпать гравитационную энергию падения. Другие на сто процентов уверены , что кошка во время падения слижет масло с бутерброда и все-таки успеет приземлиться на лапы.

Слайд 17

На самом деле , никакого противоречия нет. Даже если предположить, что кошки всегда приземляются на лапы, а бутерброды с маслом всегда падают маслом вниз, то: - в первом случае на лапы приземлится кошка, а бутерброд так и останется «не упавшим»; - во втором случае маслом вниз упадёт бутерброд, а кошка будет «не упавшей». Ну, а какой из вариантов наиболее вероятен — это сильно зависит от начальных условий. Правда, остаётся ещё вариант падения этой «конструкции» из кошки и бутерброда на бок, но он не рассматривается, поскольку мы предполагаем абсолютную истинность первых двух утверждений.

Слайд 18

Еще один вариант разрешения противоречия заключается в том, что кошка с привязанным бутербродом является составным объектом и поэтому не может являться по определению «кошкой» в первом правиле или просто «бутербродом» во втором. То есть правила «бутерброда» или «кошки» определены только для отдельных элементов данного падающего объекта и не распространяется на кошку с привязанным бутербродом.

Слайд 19

А учитывать ли размеры? "Правило бутерброда" не уточняет размеры бутерброда и кошки. Представим бутерброд бесконечного размера с привязанной к нему кошкой натурального размера. Ясно, что на такой бутерброд масса кошки никак не может повлиять, следовательно, составной объект не подчиняется правилу "кошки". В тоже время, на кошку бесконечного размера не влияет бутерброд натурального размера. Следовательно, "кошка" уже не подчиняется правилу "бутерброда". А как насчет железнодорожного рельса или грузовика с привязанным бутербродом? Будет действовать закон бутерброда "маслом вниз", или грузовик "перетянет"?

Слайд 20

Таким образом: ♦ Парадокс в широком смысле - это утверждение, резко расходящееся с общепринятыми, устоявшимися мнениями, отрицание того, что представляется "безусловно правильным". ♦ Парадокс в более узком и более современном значении - это два противоположных утверждения, для каждого из которых имеются представляющиеся убедительными аргументы. ♦ Все парадоксы имеют одно общее свойство - самоприменимость или циркулярность . ♦ Парадоксы возникают в науке там, где теория не описывает процессы должным образом. Разрешение таких парадоксальных явлений ведет в свою очередь к возникновению новых теорий.

Слайд 21

♦ Устранить парадокс из некоторой теории - значит перестроить ее так, чтобы парадоксальное утверждение оказалось в ней недоказуемым. ♦ Решение об отказе от каких-то логических средств, используемых при выводе парадоксального утверждения, должно быть увязано с общими соображениями относительно природы логического доказательства и другими логическими интуициями. ♦ Проблемы, связанные с парадоксами, относятся к разным типам и затрагивают все основные разделы логики и математики. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее представления о логических закономерностях мышления.

Слайд 22

Парадокс Монти Холла Вся суть в том, что своим первоначальным выбором участник делит двери: выбранная A и две другие - B и C . Вероятность того, что автомобиль находится за выбранной дверью = 1/3, того, что за другими = 2/3. Для каждой из оставшихся дверей сложившаяся ситуация описывается так: P(B) = 2/3*1/2 = 1/3 P(C) = 2/3*1/2 = 1/3 В результате выражения принимают вид: P(B) = 2/3*1 = 2/3 P(C) = 2/3*0 =0 Таким образом, участнику следует изменить свой первоначальный выбор - в этом случае вероятность его выигрыша будет равна 2/3

Слайд 23

Используемые ресурсы: Литература: • Я.И. Перельман «Живая математика» Интернет ресурсы: • http :// class-fizika • http :// gadaika.ru • http:// 49l.ru/matematicheskie_paradoksyi • http://ru.wikipedia