Открытый урок по теме: "Прямая и обратная геодезическая задача"
методическая разработка

Гайворонская Инна Владимировна

ГБПОУ Краснодарского края

 "Пашковский сельскохозяйственный колледж"

Преподаватель

ПЛАН ОТКРЫТОГО УРОКА

«Прямая и обратная геодезическая задача»

Конспект:

Прямая и обратная геодезические задачи на плоскости

        При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач.

Прямая геодезическая задача. По известным координатам х1 и у1 точки 1, дирекционному углу α1-2 и расстоянию d1-2 до точки 2 требуется вычислить ее координаты х2, у2.

Координаты точки 2 вычисляют по формулам (рис. 1):

                                         (1.1)

где Δх, Δу − приращения координат, равные

                                      (1.2)

Обратная геодезическая задача. По известным координатам х1, у1 точки 1 и х2, у2 точки 2 требуется вычислить расстояние между ними d1-2 и дирекционный угол α1-2.

        Из формул (1.1) и рис. 1 видно, что

.                                                (1.3)

Для определения дирекционного угла α1-2 воспользуемся функцией арктангенса. При этом учтем, что компьютерные программы и микрокалькуляторы выдают главное значение арктангенса

ω =,

лежащее в диапазоне −90°≤ω≤+90°, тогда как искомый дирекционный угол α может иметь любое значение в диапазоне 0°≤ α ≤ 360°.  

Формула перехода от ω к α зависит от координатной четверти, в которой расположено заданное направление или, другими словами, от знаков  разностей Δy = y2 − y1 и Δx = х2 − х1 (см. таблицу1 и рис. 1).

Таблица 1

Рис. 2. Дирекционные углы и главные значения арктангенса в I, II, III и IV четвертях

Расстояние между точками вычисляют по формуле

                                        (1.4)

или другим путем – по формулам

                                   (1.5)

Программами решения прямых и обратных геодезических задач снабжены, в частности, электронные тахеометры, что дает возможность непосредственно в ходе полевых измерений определять координаты наблюдаемых точек, вычислять углы и расстояния для разбивочных работ.

Пример: Решить прямую геодезическую задачу.

Известны:

ХА=95094,4;          d = 609,2;

YA= 99568,8;         L (AB) = 4511’21″.

Определить координаты точки В.

Решение

ХВ =ХА+ d. cosL (AB);                            cosL (AB) = cos (4511’21″) = 0,70572;

YB = YA +d . sin L(AB);                            sinL (AB) = sin (4511’21″) = 0,70848.

Х =d. cos (AB) = 429,3 м;                       XB = 95523,7 м;

Y =d. sin (AB) = 432,2 м.                       YB = 100000,1 м.

Пример: Решить прямую геодезическую задачу.

Известны:                      XA = 81819,9;     = 778,3;

YA = 41894,8;     (AB) = 27540’50″.

Определить координаты ориентира В.

Решение

XB = XA +d . cos (AB);                        cos (AB) = cos (27540’50″) =  0,098982;

YB = YA +d . sin (AB);                         sin (AB) = sin (27540’50″) = -0,995089.

ΔX = d. cos (AB) = 77,0 м;                 XB = 81898,9 м;

ΔY = d. sin (AB) = — 774,5 м.               YB = 41120,3 м. 

Обратная геодезическая задача

Пример: Решить обратную геодезическую задачу.

Известны:

XA = 32761,3;     XB = 36184,3 м;

YA = 87847,4;     YB = 84249,7 м.

Определить:

- расстояние  между точками А и В;

- дирекционный угол (АВ) между точками А и В.

Решение

tg (AB) = (YB — YA) / (XB - XA) = Y /X;

d= (YB — YA) / sin (AB);           (AB) = 37334’29″;

d= (XB — XA) / cos (AB).           (AB) =  4965,9 м;

X =  3423,0 м;

Y = -3597,7 м.

Пример: Решить обратную геодезическую задачу.

Известны:

XA = 28148,2;   XB = 29962,8 м;

YA = 71558,4;   YB = 71540,8 м.

Определить:

- расстояние между точками  (расстояние между НП и ориентиром);

- дирекционный угол (АВ) (с НП на ориентир).

Решение

tg (AB) = (YB — YA) / (XB - XA) = Y / X;

d= (YB — YA) / sin (AB);           (AB) = 35926’36″;      

d= (XB – XA ) / cos (AB).        d =  1814,7 м;            

X = 1814,6 м;

Y = — 176,3 м.

Презентация:

Прямая и обратная геодезические задачи. Их применение в геодезическом производстве  

а) Прямая геодезическая задача

 Рис. 1. Прямая геодезическая задача

Дано: координаты точки 1  х1,  у1;

 горизонтальное проложение линии 1 – 2:   d1,2; 

      дирекционный угол линии 1 – 2:  a1,2  (рис.1).

Найти: координаты точки 2:   х2,  у2.

Решение: координаты точки 2:  

  х2 = х1 + Dх;              у2 = у1 + Dу,                     (1)

где приращения координат 

              Dх = d · cos a;           Dу = d · sin a,                (2)

откуда    

 х2 = х1 + d · cos a;     у2 = у1 + d · sin a.                    (3)

Знаки приращений координат Dх  и Dу  зависят от знаков функций sin a и cos a.

б) Обратная геодезическая задача

                                                  Рис. 2

Обратная геодезическая задача

Дано:   координаты точек 1 и 2:  х1,  у1;    х2,  у2 (рис.2).

Найти:  горизонтальное проложение линии 1 – 2:

d1,2;  дирекционный угол линии 1 – 2:  a1,2.

Решение:   

                    Dх = х2 –  х1;         Dу = у2 –  у1;             (4)

                                                           (5)

                       .                                    (6)

По значению tg a определяется румб линии. По знакам приращений координат определяется четверть, а по четверти определяется дирекционный угол линии.

 Рис. 3. Знаки приращений координат в зависимости от четверти

Прямая геодезическая задача применяется при вычислении координат в теодолитном ходе. Обратная геодезическая задача применяется в тех случаях, когда по известным координатам 2-х

Точек определяют расстояние между ними и дирекционный угол линии.

Тесты по теме: «Ориентирование на местности»:

Тесты по теме: «Прямая и обратная геодезическая задача»: