Министерство образования Иркутской области

Областное государственное бюджетное

образовательное учреждение среднего

профессионального образования

«Иркутский авиационный техникум»

Учебно-методическое пособие

«Практические занятия по математике»

для  студентов технических специальностей СПО

Иркутск, 2014

Настоящее учебно-методическое пособие представляет собой руководство к решению задач по некоторым разделам дисциплины ЕН.01 МАТЕМАТИКА для технических специальностей СПО и предназначено для помощи обучающимся при самостоятельном изучении приемов решения задач по математике.

Пояснительная записка

Практическая  работа является одним из видов учебной работы обучающихся. 

Основные цели практической работы:

- систематизация и закрепление теоретических знаний и практических умений обучающихся;

- углубление и расширение теоретических знаний, формирование умений использовать справочную документацию и дополнительную литературу;

- развитие познавательных способностей и активности обучающихся, творческой инициативы, самостоятельности, ответственности и организованности;

- формирование самостоятельного мышления;

- развитие исследовательских умений.

Учебно-методическое пособие представляет собой комплект методических указаний по выполнению практических работ  по учебной дисциплине ЕН.01 МАТЕМАТИКА для студентов технических специальностей.

Содержание практических работ позволяет освоить:

• практические приемы вычисления с помощью методов дифференциального и интегрального исчисления;
• практические приемы вычисления пределов;
• практические приемы нахождения частных производных функций многих переменных;

• виды и методы решения простейших дифференциальных уравнений;
• методы и способы решения систем уравнений;

• теорию комплексных чисел;
• элементы линейной алгебры;

• исследование рядов на сходимость;
• численные методы решения уравнений;
• основы теории вероятностей и математической статистики.

В методических указаниях к выполнению практических работ содержится инструкция с алгоритмом хода работы. Каждая практическая работа включает краткий теоретический материал, примеры задач и набор заданий.

Перечень практических работ студентов

Практическая работа №1

“Правила дифференцирования. Вычисление производной сложной функции”

Цель работы:

Проверить умения нахождения производной функции.

Содержание работы:

Таблица производных основных элементарных функций:

Задания для самостоятельной работы:

1. Найти производные следующих функций:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) .

Решение:

1) Полагая   u = x3 -2 x2 + 5,  получим  y = u3.  Применяя формулу (3), находим y′ = 3u2⋅ u′. 

Следовательно,  y′= 3(x3 -2 x2 + 5)2 ⋅ (3x2 - 4x).

2. Вычислите 

1) ; 2) ; 3) ;

4) .

3. Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону . Найти кинетическую энергию тела  через 3 с после начала движения.

Решение:

Найдем скорость движения тела в момент времени t:   v = = 6t + 1.

Вычислим скорость тела в момент t = 3;  v(3) = 6⋅3 + 1 = 19 (м/с). Вычислим кинетическую энергию тела в момент времени t=3:

 =  =1444 (Дж)

4. Найдите скорость и ускорение в указанные моменты времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

1) ,

 Решение:

Скорость: v = = 3t2 + 10 t,  v(2) = 3⋅22 + 10 ⋅2 = 12 + 20 = 32 (м/с).

Ускорение:  а = v′ = 6t + 10 = 6⋅2 + 10 = 22 (м/с2).

2) , ;

3) , .

Проверь себя:

Вариант 1.

Найдите производную

1. f’ (х) = (х + 2);      2.  f’ (х) =;   3. f’ (х) =  +  – х2 – 3х;      4. f’ (х) = (х - 1) (х + 2).

5. f(x) = sin(2x2 – 3x + 1);       6. f(x) = cos3(2x – 1);     7. f(x) = .

Вариант 2.

Найдите производную

1. f’ (х) = (х + 1);     2.  f’ (х) =;     3. f’ (х) =  +  х3–  – 2х;   4. f’ (х) = (х + 3) (х - 2).

5. f(x) = cos(3x2 – 4x + 2);       6. f(x) = sin3(2 - 3x);     7. f(x) = .

Практическая работа №2

Непосредственное интегрирование

Цель работы:

На конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл непосредственно с помощью таблицы интегралов.

Содержание работы:

Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл функции  - это совокупность всех первообразных  функций  для функции . Обозначается символом , где  - знак интеграла (это стилизованная латинская буква , означающая  суммирование;  - подынтегральная функция;  - подынтегральное выражение; – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; –переменная интегрирования).

Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

Основные способы интегрирования

1. Метод непосредственного интегрирования, который заключается в использовании основных свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к табличному виду.

2. Метод замены переменной (метод подстановки).

3. Метод интегрирования  по частям.

Метод непосредственного интегрирования

Таблица интегралов

Метод непосредственного интегрирования предполагает такое преобразование подынтегральной функции, которое позволило бы использовать для решения табличные интегралы.

Пример 1: Вычислите

Решение: Для вычисления интеграла сначала воспользуемся свойствами неопределенного интеграла, а затем применим 1 и 4 табличные интегралы:

 Пример 2: Вычислите

      Решение: Для вычисления интеграла сначала каждый член числителя почленно разделим на знаменатель, затем  воспользуемся 2 и 3 свойствами неопределенного интеграла и применим 1 и 3 табличные интегралы

Практическая работа №3

Метод замены переменной под знаком неопределенного интеграла

Цель работы:

На конкретных примерах научиться вычислять неопределенный интеграл методом замены переменной (методом подстановки).

Содержание работы:

Он является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла. Суть этого метода состоит в том, что путем введения новой переменной интегрирования заданный интеграл сводится к новому интегралу, который легко вычисляется непосредственным интегрированием.

Применим подстановку х=ϕ (t),

где ϕ (t) – функция, имеющая непрерывную производную. Тогда  f(x) = f[ϕ(t)], dx=ϕ' (t)dt  и

                                                            ∫f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)]ϕ' (t)dt      (1)

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

  Пример 1: Вычислить

Решение: Введем новую переменную t = 3x-4, тогда  , откуда . Подставим новую переменную в интеграл (вместо выражения 3х-4 подставим t, вместо подставим ).                  

Далее нужно вернуться к первоначальной переменной. Для этого сделаем обратную замену (вместо t подставим выражение 3х-4), получим окончательный ответ.

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа №4

Решение упражнений: вычисление интегралов различными методами

Цель работы:

Отработка навыков вычисления интегралов.

Содержание работы:

На конкретных примерах научиться вычислять неопределенный интеграл

Практическая работа №5

        Интегрирование по частям

Цель работы:

На конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл с помощью формулы интегрирования по частям.

Содержание работы:

Формула интегрирования по частям имеет вид:

Вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний проще исходного.

Для определения метода интегрирования необходимо руководствоваться следующим:

Применяем  метод интегрирования  по частям:

1) если подынтегральная функция задана в виде произведения различных функций (степенной и тригонометрической или в виде произведения многочлена на любую элементарную функции (логарифмическую;  тригонометрическую; показательную и т.п.)

2. от  логарифмической функции;
3. от обратных тригонометрических функций.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Пусть,, тогда , ,

Подставив в формулу (1), получим

Пример 2. Найти

Решение. Пусть , , тогда , ,

Подставив в формулу (1), получим

    Замечание.  Формулу интегрирования по частям можно применять  несколько раз до тех пор, пока последний интеграл не станет табличным или его можно взять, применяя метод непосредственного интегрирования

Пример 3. 

Задания для самостоятельной работы:

Вычислить:

1)        ;                         2)  ;                       3)

4) ;                  5)                   6)       

Практическая работа №6

“Вычисление определенного интеграла”

Цель работы:

На конкретных примерах научиться находить неопределенный интеграл различными способами

Содержание работы:

Пусть требуется вычислить определенный интеграл  от непрерывной функции  . Если будет определена (найдена)  первообразная функция  подынтегральной функции, то величина  определенного интеграла вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница

1. Непосредственное интегрирование

Пример 1. Вычислить

Решение.

2. Метод подстановки (замена переменной под знаком определенного интеграла)

Пример 2.   Вычислить интеграл   .

Решение.

Задания:

1. Вычислить определенные интегралы методом непосредственного интегрирования:

2.         Вычислить определенный интеграл методом замены переменной

1.                           4.                        7.

2.                          5.                                   8.

3.                              6.                                  9.

1. Выполнить самостоятельную работу:

Практическая работа №7

“Нахождение площади криволинейной трапеции”

Цель работы:

1. Познакомить с понятием криволинейной трапеции

2. На конкретных примерах научиться находить площадь криволинейной трапеции

Содержание работы:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), двумя прямыми х=а и х=b и осью абсцисс, вычисляется с помощью определенного интеграла по формулам:

Пример 4: Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями , осями координат и прямой   х=2.

Решение: Построим данные линии

Найдем точки пересечения графика функции с осью Ох: ,  ,

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа №8

“ Вычисление пределов. 1-й и 2-й замечательные пределы ”

Цель работы:

На конкретных примерах научиться вычислять пределы различными способами.

Содержание работы:

        Типы неопределенностей и методы их раскрытия

Часто при вычислении пределов какой-либо функции, непосредственное применение теорем о пределах не приводит к желаемой цели. Так, например, нельзя применять теорему о пределе дроби, если ее знаменатель стремится к нулю. Поэтому часто прежде, чем применять эти теоремы, необходимо тождественно преобразовать функцию, предел которой мы ищем. Рассмотрим некоторые приемы раскрытия неопределенностей.

I. Неопределенность вида

Пример 1. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 5 видим, что получается неопределенность вида .  Для ее раскрытия нужно разложить знаменатель на множители:  х2 -25 = (х-5)*(х+5),  получили общий множитель (х-5),  на который можно сократить дробь. Заданный предел примет вид: . Подставив х=5, получим результат: ===

Пример 2. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х числа 3  видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель х-3. В результате получим новый предел, знаменатель которого при подстановке вместо переменной х числа 3 не равен нулю. Этот предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

II. Неопределенность вида

Пример 4. Вычислить предел  

Решение: При подстановке вместо переменной х бесконечности () видим, что получается неопределенность вида .  Для ее раскрытия нужно числитель и знаменатель разделить на наивысшую степень, в данном случае на х. Получим:

 ==, т.к. величины являются бесконечно малыми и их пределы равны 0.

III. Вычисление первого и второго замечательного предела

Первый замечательный предел

Свойства:

Второй замечательный предел

Пример 3. Вычислить предел  

Решение: При  подстановке вместо переменной х числа 0 видим, что получается неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся первым замечательным пределом  и его следствием  . После чего предел легко вычисляется по теоремам. Таким образом, неопределенность будет раскрыта.

Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа №9

“ Частные производные функций двух переменных ”

Цель работы:

 На конкретных примерах научиться находить частные производные функции многих переменных

Содержание работы:

Частной производной функции нескольких переменных по одной из этих переменных называется производная, взятая по этой переменной при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Для функции двух переменных z = f(x, y) частной производной по переменной x называется производная этой функции по x при постоянном y. Обозначается частная производная по x следующим образом: .

Аналогично частной производной функции z = f(x, y) по аргументу y называется производная этой функции по y при постоянном x. Обозначения:

Частными производными второго порядка функции z = f(x, y) называются частные производные от ее частных производных первого порядка. Если первая производная была взята, например, по аргументу x, то вторые производные обозначаются символами

При этом  

Пример. Найти частные производные z = y4 - 2xy2 + x2 + 2y + y2.

Решение. = - 2y2 + 2x,   = 4y3 - 4xy +2 +2y, ,   ,

Задания для практической работы:

Практическая работа №10

Решение упражнений по теме

Цель работы:

Отработка навыков вычисления пределов и частных производных.

Содержание работы:

На конкретных примерах научиться вычислять пределы и частные производные.

Практическая работа №11

“ Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными ”

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать дифференциальные уравнения с разделяющими    переменными

Содержание работы:

Определение. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде

 или

Пример1. Найти решение дифференциального уравнения  при условии у(2) = 1.

                             - общее решение

при у(2) = 1 получаем

Итого:    или  - частное решение;

Пример2. Решить уравнение

   Задания для самостоятельной работы:

Практическая работа №12

“Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами”

Цель работы:

На конкретных примерах научиться решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Содержание работы:

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида:

,  где p и q- постоянные величины.

Для отыскания общего решения данного уравнения составляется соответствующее характеристическое уравнение:

k2 + pk + q = 0.

Тогда общее решение дифференциального уравнения записывается в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения и его корней.

Пример 1. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Пример 2. Решить уравнение

Характеристическое уравнение:

Общее решение:

Задания для самостоятельной работы:

Практическая  работа  №13

«Переход от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно».

Цель:

Отработка навыков  перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.

Содержание:        

Запись комплексного числа в виде z = a + bi, называется алгебраической формой комплексного числа. Часто бывает удобна тригонометрическая форма записи комплексного числа:

z =  r(cos φ + i sin φ),  где

  – модуль, а  φ = arg z –аргумент комплексного числа.

Пусть  по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 1

Записать число   z = 1 -  i   в тригонометрической форме.

Задания:

Выполнить действия над комплексными числами в тригонометрической форме, результат записать в тригонометрической форме:

Практическая  работа  №14

«Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме»

Цель  работы – закрепление полученных теоретических знаний и практических умений студентов на действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме.

Пусть z1 = r1(cos φ1 + i sin φ1) и z2 = r2(cos φ2 + i sin φ2). Имеем:

Видно, что в тригонометрической форме операции умножения и деления производятся особенно просто: для того, чтобы перемножить (разделить) два комплексных числа, нужно перемножить (разделить) их модули и сложить (вычесть) их аргументы.

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ1, φ2, ..., φn – аргументы чисел z1, z2, ..., zn, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Задания:

1. Выполнить действия:

3. Выполнить  действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Вычислить:

              1) z1 z2;                  2)                  3)            4         

1.                                   6.  

2.                                             7.  

3.                                 8 .

4.                                 9.  

5.                                  10.  

Практическая  работа  №15

«Действия над комплексными числами, записанными в показательной форме»

Цель: Повторить  определение  и действия над комплексными числами в показательной форме.

 - показательная форма комплексного числа

где.

Действия над комплексными числами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

,

Примеры

Пусть ,

.

Тогда ;

;

;

,

Задания для практической работы:

Практическая  работа  №16

Решение упражнений по теме «Комплексные числа»

Самостоятельная работа №1

1. Решить квадратное уравнение  

2. Выполнить действия:

3. Построить комплексные  числа , а также им сопряженные и противоположные.

4. Выполнить действия:

5. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

Самостоятельная работа №2

Выполнить  действия над комплексными числами, записать результат в показательной форме:

1)       2)      3)       4)          

1.                                   6.  

2.                                  7.  

3.                             8 .

4.                             9.  

5.                                  10.  

Контрольная работа.

Вариант 1

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) ;                                                б) .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) ;                                б) .

Вариант 2

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) ;                                                б) .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) ;                                б) .

Вариант 3

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а) ;                                                б) .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а) ;                                б) .

Вариант 4

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а)  ;                                                             б)  .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а)  ;                                   б)  .

Вариант 5

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а)  ;                                   б)  .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а)  ;                                        б)  .

Вариант 6

1. Выполнить действия и записать результат в тригонометрической форме:

а)  ;                                                              б)  .

2. Выполнить действия и записать результат в показательной форме:

а)  ;                                    б)  .

Практическая  работа  №17

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядка.

Цель работы: Проверить знание свойств определителей 2 и 3 порядков, правила вычисления определителей, вычислительные навыки.

Содержание

Определение 1. Матрицей размера 2x2 называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из 2 строк и 2 столбцов.

Числа, составляющиеэту матрицу, называются ее элементами и обозначаются буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в которых стоит данное число.

Определение 2. Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число  .

Определитель обозначают символом

По определению,= .

Числа а11, а12, а21, а22называются элементами определителя.

Определение 3. Аналогично, если

- квадратная матрица размера 3x3,

то соответствующим ей определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом

Правило «треугольников» (правило Саррюса)

Примеры:

Вычислить определители:

Задания:

1.               2)             3)             4)  

5)                      10)                  11)    

Практическая  работа  №18

Разложение определителя по элементам строки и столбца

Алгебраическим дополнением элемента аij определителя D называется минор М ij  этого элемента, взятый со знаком (-). Алгебраическое дополнение элемента аij  принято обозначать Аij.

Таким образом, Аij =(-1)i+jМ ij.

Определители третьего порядка, их вычисление

- квадратная матрица размера 3x3

Cоответствующим ей определителем третьего порядка называется число, которое вычисляется следующим образом

Числа а11, а12, а13 называются элементами первой строки определителя. Формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

Определители третьего порядка обладают всеми свойствами определителей второго порядка.

Пример:

Практическая работа № 19

Нахождение обратной матрицы

Цель:  Проверить  умения нахождения миноров, алгебраических дополнений и определителей. Правило вычисления обратной матрицы.

Определение. Квадратная матрица А называется  вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Определение. Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая будучи умноженной, на А (как справа так и слева), дает единичную матрицу. Обозначается А-1 .

А-1 ⋅ А = А ⋅ А-1 = Е

Опр. Если обратная матрица  А-1  существует, то матрица А называется обратимой.

Опр. Операция вычисления обратной матрицы при условии, что она существует, называется обращением матрицы.

Теорема: для того чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица была невырожденной, то есть, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

При условии  обратная матрица находится по формуле

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1. Находят определитель матрицы А;  

2. Находят алгебраические дополнения   Аij всех элементов  матрицы А и записывают новую матрицу;

3. Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонирую матрицу);

4. Умножают полученную матрицу на  

Задания. Дана матрица.

Найти

Практическая работа №20

Решение систем линейных алгебраических уравнений

по формулам Крамера, методом Гаусса и матричным методом

Цель: Проверить умения учащихся решать системы линейных уравнений по  правилу Крамера, методом Гаусса и с помощью обратной матрицы (матричным методом).

Задание:

1. Решить  системы уравнений:

а) по формуле Крамера;

б) с помощью обратной матрицы (матричным методом);

в) методом Гаусса.

Практическая работа №21

“ Численное интегрирование. Формулы прямоугольников и трапеций”

Цель работы:

На конкретных примерах научиться приближенно вычислять определенный интеграл с помощью способа прямоугольников и трапеций.

 Содержание работы:

1. Формула прямоугольников

Пусть требуется определить значение интеграла функции на отрезке . Этот отрезок

делится точками на равных отрезков длиной    Обозначим через значение функции в точках Далее составляем суммы    Каждая из сумм — интегральная сумма для на и поэтому приближённо выражает интеграл.

Если заданная функция — положительная и возрастающая, то эта формула выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из «входящих» прямоугольников, а формула

выражает площадь ступенчатой фигуры, состоящей из «выходящих» прямоугольников. Чем меньше длина отрезков, на которые делится отрезок , тем точнее значение, вычисляемое по этой формуле, искомого интеграла.

Пример: Вычислим по формуле прямоугольников при   интеграл

В данном случае

2. Формула трапеций

Если функцию на каждом из частичных отрезков аппроксимировать прямой, проходящей через конечные значения, то получим метод трапеций.

Площадь трапеции на каждом отрезке:

Погрешность аппроксимации на каждом отрезке:  где

Полная формула трапеций в случае деления всего промежутка интегрирования на отрезки одинаковой длины h:

    где    

Пример: Вычислим по формуле трапеций при   интеграл

В данном случае

Практическая работа №22

«Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера»

Цель: Познакомить с методом Эйлера для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Содержание:

Обыкновенным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

F (x, y(x), y '(x), y ''(x),  …  , y(n)(x)) = 0,

где F — известная функция (n + 2)-х переменных, x — независимая переменная из интервала (a,b), y(x) — неизвестная функция. Число n называется порядком уравнения.

 Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения на промежутке (a, b), если она n раз дифференцируема на (a, b) и при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Для исследования и решения дифференциальных уравнений часто используются численные методы , в частности,  метод Эйлера. 

 Метод Эйлера. Дифференциальное уравнение у'=f(x, у) определяет на плоскости так называемое поле направлений, т. е. в каждой точке плоскости, в которой существует функция / (х, у), задает направление интегральной кривой уравнения, проходящей через эту точку.

Пусть требуется решить задачу Коши, т. е. найти решение уравнения у' = f(x, у), удовлетворяющее начальному условию у(х0) = у0.

 Разделим отрезок [х0, X] на n равных частей и положим (X—x0)/n = h (h—шаг изменения аргумента). Допустим, что внутри элементарного промежутка от х0 до x„+h функция у' сохраняет постоянное значение f(x0,y0). Тогда y1-y0 ≅ h-f (х0, у0), где у1—значение искомой функции, соответствующее значению x1 = x0 +h. 

Отсюда получаем:

 y1≅ y0+h-f(x0,y0). 

Повторяя эту операцию, получим последовательные значения функции:

y2≅ y1+h-f(x1,y1),  y3≅ y2+h-f(x2,y2), ….    yк+1 ≅ yк+h-f(xк,yк)  

Таким образом, можно приближенно построить интегральную кривую в виде ломаной с вершинами Мк(хк;ук.) Этот метод называется методом ломаных Эйлера, или просто методом Эйлера.

Задание:

Решить дифференциальное уравнение   y' = y2 − x, y(1) = 0 на отрезке [1, 3] методом Эйлера с шагом h = 0.2.

Изобразим решение графически.

Ниже приведены: таблица значений приближённого решения в узлах равномерной сетки с шагом h = 0.2, график приближённого решения.

Задания:

1. Методом Эйлера найти три значения функции у, определяемой уравнением у' = 1 +х + уг, при начальном условии y(0) = 1, полагая  h= 0,1.

2. Методом Эйлера найти четыре значения функции у, определяемой уравнением

у'= x2 + y2 , при начальном условии у (0) = 0, полагая h = 0,1.

3. Методом Эйлера найти четыре значения функции у, определяемой уравнением

у'=  y2 +      при  начальном  условии  у (2) = 4, полагая h=0,1.

Практическая работа №23

“ Признаки сходимости числового ряда ”

Цель работы:

Познакомиться с признаками Коши и Даламбера. На конкретных примерах научиться применять данные признаки  для исследования ряда на сходимость.

Содержание работы:

Признак Даламбера. (Жан Лерон Даламбер (1717 – 1783) – французский математик)

Если для ряда  с положительными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство  то ряд  сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется условие то ряд  расходится.

Признак Коши (радикальный признак)

Если для ряда с неотрицательными членами существует такое число q<1, что для всех достаточно больших n выполняется неравенство ,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

 то ряд расходится.

Пример1: Определить сходимость ряда

  Вывод: ряд сходится.

Пример2:  Исследовать на сходимость ряд  

.

Решение. По признаку Даламбера ряд сходится, так как .

Практическая работа

2. Написать в развёрнутом виде и исследовать на сходимость ряд:

Практическая работа №24

“ Знакопеременные ряды. Признак Лейбница ”

Цель работы:

Познакомиться с признаком Лейбница. На конкретных примерах научиться применять данный признак  для исследования ряда на сходимость.

Содержание работы:

Рассмотрим знакочередующийся ряд

где .

Ряд (1) сходится, если  и

Данный ряд, удовлетворяющий указанным условиям, называется рядом лейбницевского типа или лейбницевским рядом. Остаток лейбницевского ряда имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине: .

Пример 1: Исследовать на сходимость ряд   .

Решение. По признаку Лейбница данный ряд сходится, так как  и . Но ряд из абсолютных величин  расходится по первой теореме сравнения, ибо , а  ряд  является расходящимся, что нетрудно показать путём сравнения его с гармоническим рядом. Итак, данный ряд сходится.

Абсолютная и условная сходимость

Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей его слагаемых.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится по признаку Лейбница, но ряд из модулей его слагаемых расходится.

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

2.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Вариант 2

1. Используя признак Лейбница, исследовать на сходимость ряд:

2.  Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:

Практическая работа №25

Разложение функции в степенной ряд

Цель: Проверить навыки разложения функций в степенной ряд. Вычисление  интервала сходимости степенного ряда.

Задания

1. Дан степенной ряд

При заданных значениях a и b написать первые три члена ряда, найти интервал сходимости ряда.

2. Разложить функцию в ряд Маклорена

1.                                         6.

2.                                 7.

3.                                 8.

4.                                 9.

5.                                 10.

3. Исследовать на сходимость ряд

1.                                6.

2.                                      7.  

3.                                       8.

4.                                        9.

5.                                    10.

Контрольные вопросы

1. Определение степенного ряда.
2. Определение радиуса и области сходимости
3. Определение ряда Тейлора и Маклорена

Практическая работа №26

Решение упражнений по теме «Числовые ряды»

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

2. Найти формулу общего члена ряда:

3. Установить расходимость ряда  с помощью достаточного признака расходимости ряда.
4. Используя признак Даламбера, исследовать  на сходимость  ряд:

Вариант 2

1. Написать первые пять членов ряда по заданному общему члену:

2. Найти формулу общего члена ряда:

3. Установить расходимость ряда  с помощью достаточного признака расходимости ряда.
4. Используя признак Даламбера, исследовать  на сходимость  ряд:

Практическая работа №27

«Операции над множествами. Отношения. Свойства отношений»

Цель работы:

Познакомиться с понятиями множеств, отношений. На конкретных примерах научиться применять правила операций над множествами.

Задания:

1. Выберите утверждение о числовых множествах, которое является истинным:

а)  Интервал (-12;13) является подмножеством отрезка [-13;15]

б)  Множество действительных чисел является подмножеством множества                   иррациональных чисел

в)  Промежуток (-14;3] является подмножеством отрезка  [-15;0]

2. Укажите пару (x;y), находящуюся в отношении  y=x-2

а) (5;3)

б) (-3;5)

в) (3;-5)

3.  Даны множества:   А={5,10,15,20},  В={3,6,9,12,15}.

Установите соответствие между следующими множествами А и В

1. {15}                                                                     ? объединение множеств А и В                    
2. {3,5,6,9,10,12,15,20}                                          ? разность множеств А и В            
3. {5,10,20}                                                            ? пересечение множеств А и В          

Практическая работа №28

«Решение комбинаторных задач»

Цель работы:

Познакомиться с элементами комбинаторики. На конкретных примерах научиться применять формулы для размещений, сочетаний, перестановок.

1. Размещением из n различных элементов по m элементов (m называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком своих элементов.

Например, выпишем все размещения из элементов a, b, c, d по два элемента: ab, ba, ac, ca, ad, da, bc, cb, bd, db, cd, dc.

Для любого натурального числа n произведение  обозначается n!

читается n-факториал.

Формула для подсчета числа размещений:

Задача: Найти количество всех двузначных чисел, состоящих из чисел 1,2,3,...,9.

Решение: Это задача о размещении из 9 элементов по 2 элемента, т.к. любые двузначные числа отличаются либо составом цифр, либо их порядком.

2. Сочетанием из n различных элементов по m элементов (m

Например, выпишем вес сочетания из элементов a,b,c,d,e по три элемента: abe, abd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bde, cde.

Формула для подсчета числа сочетаний:

Задача: Дано 5 различных чисел a, b, c, d, e. Сколько можно составить всевозможных произведений из этих чисел, состоящих из двух различных множителей?

Решение: Это задача о числе сочетаний из 5 элементов по 2 элемента, т.к. произведения отличаются только составом множителей  

3. Перестановками из n различных элементов называются всевозможные соединения из этих n элементов, т.е. соединения, каждое из которых содержит n различных элементов, взятых в определённом порядке.

Например, все перестановки из элементов a,b,c: abc, acb, bac, bca, cab, cba.

Формула для подсчета числа перестановок: Рп = n!

Задача: На столе находятся 5 различных геометрических фигур, (круг, треугольник, квадрат, ромб, прямоугольник). Сколькими способами можно разложить эти фигуры в один ряд?

Решение: Это задача о числе перестановок из 5 элементов. Р5 = 5!= 120.

Задания:

Практическая работа №29

«Решение задач на вычисление вероятности событий»

Цель: приобретение базовых знаний в области теории вероятности. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Теоретические сведения:

К основным понятиям теории вероятности относятся: испытание, событие, вероятность. Испытание – реализация комплекса условий, в результате которого непременно произойдет какое-либо событие. Например, бросание монеты – испытание; появление герба или цифры – события.

Случайным событием называется событие, которое при осуществлении испытания может произойти, а может и не произойти. Например, выстрел по цели — это опыт, случайные события в этом опыте – попадание в цель или промах.

Событие называется достоверным, если в результате опыта оно непременно должно произойти, и невозможным, если оно заведомо не произойдет. События называются несовместными, если ни какие два из них не могут появиться вместе. Например, попадание и промах при одном выстреле – это несовместные события.

Несколько событий образуют полную систему событий, если в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. Например, при бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков, образуют полную систему событий.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является более возможным, чем другие. Например, при бросании монеты выпадение герба или числа - события равновозможные.

Каждое событие обладает какой-то степенью возможности. Числовая мера степени объективной возможности события - это вероятность события. Вероятность события А обозначается Р(А).

Пусть из системы n несовместных равновозможных исходов испытания m исходов благоприятствуют событию А. Тогда вероятностью события А называют отношение m числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу n всех исходов данного испытания: P(A)=m/n.

Если В – достоверное событие, то Р(В)=1; если С – невозможное событие, то Р(С)=0, если А – случайное событие, то 0<Р(А)<1.

Задача. Игральную кость подбрасывают один раз. Найти вероятность появления четного числа очков.

Решение. Опыт имеет шесть равновозможных независимых исходов (появление одного, двух, трех, четырех, пяти и шести очков), образующих полную систему. Событию благоприятствуют три исхода (появление двух, четырех и шести очков), поэтому Р(А)=3/6=1/2

При вычислении вероятности часто приходится использовать формулы комбинаторики.

1.  Приведите примеры: 1) достоверных событий; 2) невозможных событий; 3) случайных событий.

2.  Что вероятнее — появление герба при бросании монеты или появление не¬четного числа очков при бросании игральной кости?

3.  Что вероятнее при бросании двух монет — выпадение двух цифр или цифры и герба?

4.  Что вероятнее получить при делении домино между 4 игроками — все «дубли» или же все кости с «шестерками»?

5.  Проведите следующий эксперимент: бросьте 50 раз две игральные кости и запишите сумму для каждого броска. Какая сумма появилась чаще всего? Какая реже всего? Какое число очков появилось чаще: 3 или 12?

6.  Из мешка с 33 жетонами, на которых написаны русские буквы, вытаскивают один за другим 4 жетона. Сколько раз, по вашему мнению, нужно повторить этот эксперимент, чтобы из этих букв получилось слово «барс»? Во сколько раз будет меньше число необходимых экспериментов, если 4 жетона выта¬скивают сразу (т. е. порядок их появления несуществен)?

7.  Что вероятнее — угадать 6 номеров из 49 или 5 номеров из 36?

Правило суммы и произведения (комбинаторика)

Правило суммы: Если некоторый объект А может быть выбран из совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть выбран n способами, то выбрать объект либо А, либо В можно m+n способами.

Правило произведения: Если объект А можно выбрать из совокупности объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то пара объектов (А,В) в указанном порядке может быть выбрана mn способами.

Задачи

1. « Вороне где-то Бог послал кусочек сыра», брынзы, колбасы, сухарика и шоколада. « На ель Ворона взгромоздясь, позавтракать совсем уж было, собралась, да призадумалась »:

а) если есть кусочки по очереди, то из скольких вариантов придется выбирать;

б) сколько получится «бутербродов» из двух кусочков;

в) если съесть сразу три кусочка, а остальные спрятать, то из скольких вариантов придется выбирать;

г) сколько получится вариантов, если какой-то кусочек все-таки бросить Лисе, а потом ответить на вопрос пункта а)?

2. « Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет ». Сколькими способами они могут:

а) по одному сесть за выбранные четыре инструмента;

б) выбрать по 5 инструментов из 12 данных;

в) по одному сесть за какие-то 4 из выбранных 5 инструментов из 12 данных;

г) выгнать одного, не имеющего слуха, и потом сыграть на каких-то трех из выбранных 5 инструментов из 12 данных?

Практическая работа №30

«Дискретная случайная величина. Числовые характеристики дискретной случайной величины»

Цель: приобретение базовых знаний в области математической статистики. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Содержание:

        Случайной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное возможное значение, неизвестное заранее, но обязательно одно.

Пример 1. Число выпавших «гербов» при пятикратном бросании монеты.

Пример 2. Дальность полета артиллерийского снаряда.

Пример 3. Число мальчиков, родившихся в течении суток

Пример 4. Прирост веса домашнего животного за месяц.

        Случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z, а их возможные значения – малыми буквами x, y, z.

Пример 5. Х – число шахматных партий, окончившихся ничейным результатом, из трех сыгранных. В этом случае величина Х может принять следующие значения: х1=0, х2=1, х3=2, х4=3.

        Дискретной случайной величиной  (ДСВ) называют такую случайную величину, множество возможных значений которой либо конечное, либо бесконечное, но счетное.

Например, ДСВ – число учащихся, опрошенных на уроке; число солнечных дней в году и т.д.

        Непрерывной случайной величиной (НСВ) называют такую случайную величину, которая может принять любое значение из некоторого конечного или бесконечного интервала.

Например, время безаварийной работы станка; расход ГСМ на единицу расстояния; выпадение осадков в сутки  и т.д.

        Законом распределения ДСВ Х называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими вероятностями.

Способы задания закона распределения:

1. для ДСВ – табличный и графический;

например,

Табличный ряд распределения, где  x1; x2; …; xi; …; xn  образуют полную группу, а

p1+p2+…+pi+…+pn=1

2. для НСВ – можно задать так же, как функцию одной переменной, используя табличный, графический или аналитический способ задания.

В тех случаях, когда закон распределения СВ неизвестен, СВ изучают по ее числовым характеристикам. Их назначение – в сжатой форме выразить наиболее важные черты распределения. К числовым характеристикам относится математическое ожидание, дисперсия и т.д.

Математическим ожиданием ДСВ называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности и обозначается

М(Х)=x1p1+x2p2+…+xnpn

Задания:

1. Возможные значения ДСВ таковы:  Известны вероятности первых двух возможных значений:  Написать закон распределения и построить многоугольник распределения.
2. Игральная кость брошена три раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки. Построить многоугольник распределения.
3. Составить закон распределения вероятностей числа А в трех независимых испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,6.
4. Бросаются две монеты. Написать закон распределения возможного выпадения гербов.

Практическая работа №31

«Решение задач по теме «Элементы теории вероятностей и математической статистики»»

Цель: повторить и систематизировать знания по данной теме

Вариант 1

№1. В группе 20 студентов, среди них 14 юношей. Найти вероятность того, что среди наудачу выбранных 6-ти студентов будут 3 девушки и 3 юноши.

№2.  Имеются 4 коробки с шарами.

1-я: 4 синих и 5 красных;         2-я: 5 синих и 4 красных;

3-я: 7 красных;                          4-я: 12 синих.

Наудачу берут шар. Он красный. Найти вероятность того, что он из 2-й коробки.

№3.  Двум студентам предложена задача. Вероятность того, что её решит 1-й студент равна 0,72, что решит 2-й – 0,65. Найти вероятность того, что задачу решат оба студента; что решит только один?

№4.  Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Вариант 2

№1.  Имеются 23 детали и среди них 19 стандартные. Случайным образом выбирают сразу 6. Какова вероятность, что среди выбранных ровно 5 стандартных?

№2. В цехе продукция производится на 3-х станках:

1-й станок 45% всей продукции, из них брак 5%;

2-й станок 35% всей продукции, из них брак 10%;

3-й станок 20% всей продукции, из них брак  2%.

Найти вероятность, что наудачу взятая деталь из всех произведенных стандартная. Какова вероятность, что она была произведена на 1-м станке?

№3.  Два стрелка независимо друг от друга производят выстрел по мишени. Вероятность попадания 1-м -  

0,8, 2-м – 0,9. Какова вероятность, что после одного выстрела в мишени будет только одна пробоина?

№4.  Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Вариант 3

№1.  В урне лежат шары: 7 белых, 4 черных и 9 красных. Наудачу вынимают сразу два шара. Какова вероятность, что они окажутся одного цвета?

№2.  Какова вероятность, что при десяти бросках игральной кости пять очков выпадут ровно 3 раза?

№3.  Цех производит продукцию на 2-х станках:

70% изготавливается на 1-м станке, среди них 12% составляют бракованные детали, остальные детали производятся на втором станке, среди них 15% бракованные. Какова вероятность, что наудачу взятая деталь окажется бракованной? Какая вероятность, что бракованная деталь произведена на 2-м станке?

№4.  Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Вариант 4

№1.  Три стрелка стреляют независимо друг от друга по цели. Вероятность попадания 1-м -0,8; 2-м – 0,75; 3-м – 0,7. Найти вероятность того, что будет:

1) хотя бы одно попадание;

2) ровно одно попадание;

если произведен один выстрел каждым.

№2.  В магазин поступают часы, выпускаемые на 3-х заводах. Первый завод поставляет 40%, второй – 45%, третий – 15%. В продукции первого завод 20% часов спешат, второго завода – 30% часов спешат, третьего – 10% спешат. Найти вероятность того, что купленные часы спешат?

№3.  Какова вероятность, что при десяти бросках игральной кости пять очков выпадут ровно 3 раза?

№4.  Случайная величина X задана законом распределения:

Найти математическое ожидание М(X), дисперсию D(X) и среднее квадратичное отклонение σ(X).

Литература:

Основные источники:

1.        Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика в задачах с решениями: Учебное пособие. 3-е изд., стер. - СПб,: Издательство "Лань", 2011. - 464 с.

2.        Алгебра и начала анализа 10-11классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый уровень/[Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева и др.]-16-е изд., перераб.-М.: Просвещение, 2010.-464с.

Дополнительные источники:

3.        Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 1990.-495с.

4.        Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие.изд. 12-е. – М.: Высшая школа, 2006 – 476 с.

5.        Спирина М.С., Спирин П.А. Дискретная математика: Учебник для студентов СПО.- 2-е изд. – М.: Академия, 2006. – 368 с.