первообразная и ее свойства
методическая разработка на тему

Краткий справочный материал

Примеры решений задач

Решите самостоятельно

Определение

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на данном промежутке, если для любого x из данного промежутка F′(x)=f(x).

Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием.

 Интегрирование – математическое действие, обратное дифференцированию, то есть нахождению производной. Интегрирование позволяет по производной функции найти саму функцию. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу.

Основное свойство первообразных

Если F(x) – первообразная функции f(x), то и функция F(x)+C, где C – произвольная постоянная, также является первообразной функции f(x) (т.е. все первообразные функции f(x) записываются в виде F(x)+C).

Таблица первообразных

Правила нахождения первообразных.

Правило 1 Если F есть первообразная для f, a G — первообразная для g, то F+G есть первообразная для f+g.

Правило 2 Если F есть первообразная для f, a k — постоянная, то функция kF — первообразная для kf.

Правило 3 Если F (х) есть первообразная для f (x), a k и b — постоянные, причем k≠0, то  есть первообразная для f (kx+b).

Пример 1. Доказать, что функция  – первообразная для 

  Решение: чтобы это подтвердить, возьмем производную

Пример 2.Найдите первообразную функции .

    Решение:        Представим функцию  в виде . Первообразная данной функции будет 

Пример 3. Найти первообразную       Решение:         Первообразная данной функции будет

 F(x)=-3ctgx-7cox-2sinx+C.

Пример 4.Для функции f(x) = 4 – х 2 найти первообразную, график которой проходит через точку (-3; 10).

Решение:  1)Найдем все первообразные функции f(x): 

2) Найдем число С , такое, чтобы график функции  проходил через точку (-3; 10). Подставим х = – 3, y = 10 , получим:

Следовательно, .

Ответ:

Задание № 1
Докажите, что функция  является первообразной для функции , если  
Задание № 2
Найдите первообразную для функции: а)  .
б) .
Задание № 3
а) Для функции  найдите ту первообразную, график которой проходит через точку .
б) Для функции  найдите ту первообразную, график которой проходит через точку .