Изучение элементов математического анализа в системе СПО
статья на тему

Изучение элементов математического анализа  в системе СПО

Актуальность темы следует из того, что «Начала математического анализа» - единственный раздел, не относящийся к элементарной математике, дает возможность выпускнику средней школы не только получить представление о математическом анализе как о мощном прикладном аппарате современной математики, но и научиться сознательно им пользоваться при решении целого ряда задач, не поддающихся элементарным методам.

В методике преподавания математики есть три ключевых вопроса: что преподавать? как преподавать? зачем преподавать? Главный из этих вопросов — последний, но именно он долгое время был у нас не самым актуальным. Оно и понятно: в авторитарном обществе (в котором все мы жили так долго) не обсуждают зачем, а дают лишь установки что и как. Для сегодняшних же прагматичных российских студентов на первое место выходит вопрос зачем.

Вопрос «зачем» что-то изучается в том или ином школьном учебном предмете» соотносится в первую очередь с социальным заказом, который делает общество образованию. Если в недавние годы социальный заказ нацеливал педагогическую общественность на то, что главное в образовании — обучение, передача информации, то сегодня социальный заказ заключается в том, что главное в образовании развитие, формирование общей культуры человека, способного, в частности, самостоятельно добывать и перерабатывать информацию.

Одной из основных целей математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить студентов составлять математические модели
реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели. Для математического исследования явлений реального мира особенно важны понятия предела и производной, так как это — основные понятия того языка, на
котором «говорит природа», определенный золотой фонд
общечеловеческой культуры. Безусловно, выпускник колледжа должен иметь представление о производной, о ее применении для исследования реальных процессов. 

Обсудим, каким должен быть уровень предъявления студенту элементов математического анализа.

В учебном предмете возможны четыре уровня обоснования тех или иных свойств, утверждений, фактов:

1.  принятие на веру (когда, например, студентам сообщают, что сформулированная теорема доказана в математике, а мы принимаем ее без доказательства, поскольку оно непосильно для них);
2.  наглядно-интуитивный уровень — замена доказательства геометрическими иллюстрациями;
3.  правдоподобные рассуждения (например, использование вместо доказательства конкретного примера, в котором фактически раскрывается идея формального доказательства;
4. формально строгое доказательство.

Основная трудность в работе учителя математики при изложении начал анализа состоит, именно в адекватном и концептуальном выборе уровня строгости предъявления материала студентам. Преподаватель, работая с тем или иным учебником, часто оказывается в недоумении: почему одна теорема в учебнике доказана, а другая, аналогичная ей, принята без доказательства? почему для обоснования одной теоремы авторы считают возможным ограничиться геометрическими иллюстрациями, а через пару страниц в похожей ситуации запрещают это и себе, и преподавателю?

Рассмотрим для примера исследование функции с помощью производной. Эта тема — своеобразная лакмусовая бумажка, с помощью которой проверяется методическая культура преподавателя математики (а если честно, то и авторов школьных учебников). Ведь здесь речь идет о теоремах, необходимость знания которых и явилась основной причиной введения элементов математического анализа в курс математики. В то же время строгие доказательства этих теорем требуют знания многих фактов математического анализа, которые в школьном курсе не рассматриваются. Какой путь выбрать учителю: сообщить теоремы без доказательства и без комментариев? ограничиться наглядно-интуитивными представлениями и правдоподобными рассуждениями? все-таки попытаться дать строгие доказательства?

В учебниках и учебных пособиях для общеобразовательной школы встречаются различные варианты. Например, такой: без доказательства, но с опорой на графические иллюстрации формулируется теорема Лагранжа, а затем с ее помощью строго доказывается теорема о влиянии знака производной на характер монотонности функции на промежутке. Это не лучший вариант, он нелогичен (а по большому счету неконцептуален): зачем давать графическую иллюстрацию теоремы Лагранжа, если можно сразу проиллюстрировать то, что важнее – связь между знаком производной и характером монотонности функции? К тому же графическая иллюстрация этой теоремы достаточно сложна (и причем искусственна — не случайно в вузовском курсе математического анализа ее обычно дают после, а не до доказательства теоремы). Оправдывая  упоминание теоремы Лагранжа, говорят, что эта теорема важна сама по себе — недаром ее называют основной теоремой дифференциального исчисления. Это верно, но лишь при условии, что она активно работает (как в вузовском курсе математического анализа).

Другой вариант, который используется в учебных пособиях: заменяют строгие доказательства правдоподобными рассуждениями, основанными на физическом или геометрическом смысле производной. Это вполне приемлемо, но лишь при условии, что правдоподобные рассуждения не выдаются за доказательства (что, к сожалению, встречается сплошь и рядом) — такая подмена понятий наносит существенный ущерб формированию математической культуры студентов.

Именно такой вариант с учетом указанного дополнительного условия представляется наиболее приемлемым для колледжа при изучении применения производной для исследования функций на монотонность и экстремумы. «Посмотрите на рисунки 1.1 и 1.2, — говорит преподаватель — На первом из них представлен график возрастающей функции и проведена касательная к нему в произвольной точке. Что мы видим? Касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс острый угол — значит, производная функция в выбранной точке положительна. На рисунке же 1.2, изображающем график убывающей функции, касательная составляет с положительным направлением оси абсцисс тупой угол — значит, производная отрицательна. Видим, что между знаком производной и характером монотонности функции есть связь. В курсе математического анализа строго доказано, что это действительно так». (Далее формулируются соответствующие теоремы.)

Такие рассуждения вряд ли понравятся ревнителям математической строгости — они объявят изложение материала легковесным.

Главное, чтобы изложение: а) фактологически не противоречило математике, как науке; б) было доступно студентам; в) нравилось преподавателям.

Надо не забывать, что в колледже мы лишь знакомим студентов с элементами математического анализа, составляющими существенную часть общечеловеческой культуры; формальное изучение этого предмета — удел высшей математики, излагаемой в вузах.

Вообще же концепция выбора уровня строгости изложения материала, связанного с элементами математического анализа, должна определяться совокупностью нескольких положений:

1.  если некоторое утверждение, используемое в предмете, в принципе недоказуемо в курсе, то оно честно принимается без доказательства (например, утверждение о том, что все элементарные функции непрерывны всюду, где они определены) или заменяются иллюстрациями либо правдоподобными рассуждениями (например, теорема о достижении непрерывной функцией на отрезке своих наименьшего и наибольшего значений);
2.  если некоторое утверждение в принципе доказуемо в курсе, но это доказательство искусственно, технически сложно и не имеет существенного развивающего значения, то оно не приводится (пример не из математического анализа — теорема сложения для тригонометрических функций);
3.  если некоторое утверждение в курсе в принципе доказуемо и это доказательство имеет развивающее значение, то оно приводится (например, вывод уравнения касательной, вывод правил дифференцирования суммы и произведения функций — здесь имеются четкие алгоритмы, разбиение доказательства на этапы, планирование своих действий; в то же время без доказательства правила дифференцирования частного вполне можно обойтись — новых идей нет, а технических трудностей много).