Главные вкладки

    Методическая разработка на тему:
    Методические рекомендации для организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов «Метод интервалов»

    Методические рекомендации

    для организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов

    «Метод интервалов»

     

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Методические рекомендации

    для организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов

    «Метод интервалов»

    Дисциплина:  Математика

     

    2015


    ТЕОРИЯ

    Некоторые утверждения равносильности неравенств

    Строгие рациональные неравенства.

    Неравенство R(x)> Q(x) (или R(x) < Q(x)), в котором R(x) и Q(x) -многочлены относительно одного неизвестного х, называют алгебраическим неравенством с одним неизвестным х.

    Каждое алгебраическое неравенство с одним неизвестным х, используя утверждения равносильности (1 и 4), можно привести к виду Р(х)>0 (или Р(х) <0), где Р(х) — многочлен относительно х.

    Поэтому достаточно рассмотреть лишь неравенства вида

    Р(х)> 0 ( или Р(х)<0), (1)

    где Р(х) = а0хn + а1хn-1+...+ап-1х + ап (а 0≠ 0)

    Всякое такое неравенство называют алгебраическим неравенством степени п.

    Рассмотрим решение некоторых алгебраических неравенств.

    Обобщенный метод интервалов. 

    Некоторые алгебраические неравенства степеней более высоких, чем вторая, цепочкой равносильных переходов приводятся к виду

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002.gif

    (или  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004.gif), (2)

    где klt k2, ..., kn-1, kn — фиксированные натуральные числа,

    х1, х2, … хn-1, xn—фиксированные действительные числа, среди которых нет равных, и такие, что х1<х2< … <хn-1

    Рассмотрим многочлен Р(х)=http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0000.gif (3)

    Очевидно, что для любого числа yо, такого, что yо> хn, соответствующее значение любого сомножителя в произведении (3) положительно, поэтому числовое значение Р(yо) многочлена Р(х) также положительно.

    Для любого числа y1, взятого из промежутка (xn-1, xn) , соответствующее числовое значение любого сомножителя, кроме последнего, положительно; соответствующее числовое значение последнего сомножителя положительно, если kn - четное число, и отрицательно, если kn - нечетное число. Поэтому число Р(y1) - положительно, если kn -четное число, и число Р(y1) - отрицательно, если kn - нечетное число. Обычно в этих случаях говорят, что многочлен Р(х) при переходе через точку xn меняет знак, если kn - нечетное число, и не меняет знака, если kn - четное число.

    Аналогично показывается, что если известен знак многочлена Р(х) на промежутке (xi, xi+1), тона промежутке (хi-1, xi), знак определяется по правилу: многочлен Р(х) при переходе через точку xi меняет знак, если kt -нечетное число, и не меняет знака, если kt -четное число. На этом рассуждении и основан обобщенный метод интервалов.

    Алгоритм обобщенного метода интервалов

    - на числовую ось наносятся числа х1, х2, … хn-1, xn;

    - в промежутке справа от наибольшего из этих чисел, т. е. справа от хn, ставят знак плюс, в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак плюс, если kn - четное число, и знак минус, если kn- нечетное число;

    - в следующем за ним справа налево промежутке ставят знак, пользуясь правилом: многочлен Р(х) при переходе через точку хn-1, меняет знак, если kn-1 - нечетное число, и не меняет знака, если kn-l — четное число;

    - затем рассматривается следующий за ним справа налево промежуток, в нем ставят знак, пользуясь тем же правилом;

    - таким образом рассматриваются все промежутки.

    - решением неравенства (2) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс (или минус).

    Решение неравенства  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0001.gif (4)

    в случае, если Р(x), R(x) и M(x) будут многочленами, можно провести так.

    Неравенство (4) надо сначала переписать в равносильном виде

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004_0000.gif,http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image006.gif (4.1)

    Затем, воспользовавшись одним из утверждений равносильности неравенств, умножить неравенство (4.1) на R2(х) и записать неравенство

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image008.gif,http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image010.gif), (5)

    равносильное неравенству (4.1) на его ОДЗ. Наконец, неравенство (5) решить методом интервалов. Множество всех решений неравенства (5) и будет множеством всех решений неравенства (4).

    Пример. Решить неравенство

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image012.gif (6)

    Прежде всего, умножая это неравенство на  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image014.gif, получим равносильное ему неравенство http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image016.gif. (7)

    Для решения этого неравенства применим обобщенный метод интервалов. На числовой

    оси отметим числа (-5),  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image018.gifhttp://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image020.gif, 7. http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image022.jpg

     

    Справа от наибольшего числа, т. е. от числа 7, ставим знак плюс. При переходе через точку (7) многочлен  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image024.gif меняет знак, так как двучлен (х-7) содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image026.gifставим знак минус. При переходе через точку  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image028.gif многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image030.gif содержится в произведении в нечетной степени, поэтому в промежутке  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image032.gif ставим знак плюс. При переходе через точку  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image018_0000.gif многочлен Р(х) не меняет знака, так как двучлен  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image034.gif содержится в произведении в четной степени, поэтому в промежутке http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image036.gif ставим знак плюс. Наконец, при переходе через точку (-5) многочлен Р(х) меняет знак, так как двучлен http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image038.gifсодержится в произведении в первой степени, поэтому в промежутке  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image040.gif ставим знак минус. Итак, решение неравенства (7) и равносильного ему неравенства (6) - совокупность всех промежутков, где поставлен знак плюс, т. е. множество всех решений неравенства есть множество  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image042.gif  .

    Нестрогие неравенства. 

    Перейдем теперь к решению нестрогих неравенств

    Р(х)http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0002.gif0, (или Р(х)http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004_0001.gif0). (8)

    Если некоторое число y0 есть решение неравенства (8), то справедливо числовое неравенство Р(y0)http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0003.gif0 (Р(y0)http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004_0002.gif0). Тогда в силу определения нестрогого знака неравенства справедливо или числовое равенство Р(y0) =0 или числовое неравенство Р(y0)>0 (Р(y0) <0). Другими словами, если число y0 - решение неравенства (8), то оно - либо решение уравнения Р(х) = 0, либо - неравенства Р(х)>0 (Р(y0) <0). Такое рассуждение можно провести для любого решения неравенства Р(х)http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0004.gif0. Аналогично показывается, что любое решение неравенства Р(х)>0 и любое решение уравнения Р(х)=0 также есть решение неравенства (8).

    Таким образом, множество решений нестрогого неравенства (8) является объединением двух множеств: множества всех решений строгого неравенства Р(x)>0 (Р(x)<0) и множества всех решений уравнения Р(х)=0.

    На этом и основано правило решения нестрогих неравенств. Сначала решаются соответствующее строгое неравенство и соответствующее уравнение, а затем множества решений строгого неравенства и уравнения объединяются; объединение этих множеств и является множеством всех решений нестрогого неравенства.

    Пример. Решить неравенство

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0005.gif (9)

    Поскольку справедливы следующие тождественные равенства

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004_0003.gifhttp://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image006_0000.gifhttp://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image008_0000.gif

    то согласно утверждениям (4 и 3б) равносильности неравенство (9) равносильно неравенству http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image010_0000.gif (10)

    Решим сначала уравнение

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image012_0000.gif (11)

    Оно имеет только пять корней: x1=-2, x2=0, x3=1, x4=2, x5=3.

    Затем решаем обобщенным методом интервалов строгое неравенство

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0006.gif (12)

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004.jpg

    Множеством всех его решений будет множество http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image006_0001.gif. Объединяя множество решений уравнения (11) и строгого неравенства (12), получим множество всех решений неравенства (10), а в силу равносильного перехода - неравенства (9).

    Итак, множество всех решений неравенства (9) есть множество http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image008_0001.gif.

    Нестрогие неравенства

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image010_0001.gif (13)

    в случае, если Р(x), R(x) и M(x) будут многочленами, можно решить так.

    Неравенство (13) надо сначала переписать в равносильном виде

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image012_0001.gif,http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image014_0000.gif (14)

    Затем, умножить неравенство (14) на R2(x) и записать систему

    http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image002_0007.gif или  http://xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai/%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D1%8C%D0%B8/549853/f_clip_image004_0004.gif (15) равносильную неравенству (13) на его ОДЗ. Затем решить систему, используя обобщенный метод интервалов. Множество всех решений системы (15) и будет множеством всех решений

    Задания для самостоятельной работы (второй уровень освоения учебного материала)

    Вариант 1

    Решите неравенства:

    1. x2-5x-6≥0
    2. 3x2-2x=5<0
    3. ≥0
    4. <0

    Критерии оценки

    5 – студент без ошибок решил 5 заданий

    4 – студент без ошибок решил любые 4 задания

    3 – студент без ошибок решил любые 3 задания

    2 – студент без ошибок решил менее 3  заданий

    Задание выполняется в течение 15 минут.

    Вариант 2

    Решите неравенства:

    1. x2-6x+80
    2. 2x2-2x+6 >0
    3. 0
    4. <0

    Критерии оценки

    5 – студент без ошибок решил 5 заданий

    4 – студент без ошибок решил любые 4 задания

    3 – студент без ошибок решил любые 3 задания

    2 – студент без ошибок решил менее 3  заданий

    Задание выполняется в течение 15 минут.

    Вариант 3

    Решите неравенства:

    1. x2-8x-90
    2. 4x2-7x+4>0
    3. ≥0
    4. <0

    Критерии оценки

    5 – студент без ошибок решил 5 заданий

    4 – студент без ошибок решил любые 4 задания

    3 – студент без ошибок решил любые 3 задания

    2 – студент без ошибок решил менее 3  заданий

    Задание выполняется в течение 15 минут.


    Эталон ответов

    № задания

    Вариант 1

    Вариант 2

    Вариант 3

    (-∞;-1])

    нет решений

    (-∞;)

    (-∞;)

    (-∞;-3]

    (-5;-1])

    (-∞;-2]

    ]1;7)

    ];5)


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Методические рекомендации по организации самостоятельной работы студентов для всех специальностей по дисциплине ОГСЭ. 03 Иностранный язык (английский)

    Самостоятельная работа студентов по иностранному языку является неотъемлемой составляющей процесса освоения программы обучения иностранному языку в среднем специальном учебном заведении на очном отдел...

    Методические рекомендации по планированию и организации самостоятельной аудиторной и внеаудиторной работы студентов.

    Методические рекомендации предназначены для преподавателей     с целью методического сопровождения  процесса введения и реализации требований Федеральных государственных образ...

    Методические рекомендации по организации самостоятельной работы по МДК 01.01 Практические основы организации бухгалтерского учета имущества организации

    Методические рекомендации предназначены для студентов по специальности 38.02.01 "Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), по  организации самостоятельной работы по МДК 01.01 Практические осн...

    Методические рекомендации по организации самостоятельной (внеаудиторной) работы по учебной дисциплине "Основы экономики"

    Методические рекомендации составлены для курсантов 3 курса, обучающихся по специальности 40.02.02 Правоохранительная деятельность...

    Методические рекомендации по организации самостоятельной работы для студентов I курса по информатике

    Методические рекомендации по организации самостоятельной работы для студентов I курса по информатике...

    Методические рекомендации по организации самостоятельной (внеаудиторной) работы для обучающихся по дисциплине ОУД .01 Русский язык и литература (часть 2.Литература)

       Методические указания по выполнению самостоятельных работ в рамках освоения учебной дисциплины  ОУД .01 Русский язык и литература (часть 2.Литература) разработаны  в соот...

    Методические рекомендации по организации самостоятельных работ студентов по дисциплине «физическая культура» для специальности: 13.02.11 – Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования

    Самостоятельная работа студентов  является одной из основных форм  внеаудиторной работы при реализации учебных планов и программ.   По дисциплине «Физическая культура»  практикуютс...