Тождественные преобразования тригонометрических выражений
учебно-методическое пособие по теме

Тождественные преобразования тригонометрических выражений

Комментарий. Цель данного раздела — проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений, поскольку они встречаются в ЕГЭ как в качестве отдельных заданий, так и используются для решения тригонометрический уравнений и неравенств, а так же комбинированных заданий. Для решения задач на упрощение тригонометрических выражений требуется достаточно хорошо знать правила преобразования алгебраических выражений и тригонометрические формулы (уметь применять их как по одной, так и в комплексе).

Основные формулы тригонометрии

Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.

Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы:

Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:

Формулы сложения.

Формулы двойных и половинных углов.

Формулы преобразования суммы в произведение:

Формулы преобразования произведения в сумму:

Формулы приведения:

Рассмотрим сначала достаточно простые задания на применение формул тригонометрии.

Пример 2.1.

Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.

Решение

Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции .

Так как по условию задачи cos α = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .

Ответ: 

Пример 2.2.

Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.

Решение

Воспользуемся формулой, связывающей тригонометрические функции y = tg α, y = ctg α : tg α ∙ ctg α = 1. Подставляя заданное в условии значение 0,2, получаем, что tg α ∙ 0,2 = 1, откуда tg α = 5.

Ответ: 

Пример 2.3.

Упростите выражения;

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

Решение

Данные задания — на применение формул сложения.

1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .

2) .

3) Воспользуемся формулой «косинус суммы», тогда .

4) .

5) Применим формулу «тангенс суммы», получим .

6) .

Ответ: 

Пример 2.4.

Вычислите:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Решение

1) Воспользуемся свойством периодичности функции y = sin x, тогда .

2) Так как период функции y = tg x равен π, получаем: .

3) Представим 75° в виде суммы двух «удобных» слагаемых: 75° = 45° + 30°. Следовательно, . Обратимся к табличным значениям тригонометрических функций, получим: .

4) . Окончательно получаем, что .

5) Для вычисления значения cos 15° представим 15° как 15° = 45° - 30° (или 15° = 60° - 45°). Тогда . Обратимся далее к табличным значениям тригонометрических функций. Получаем, что . Cледовательно, .

Ответ: 

Отдельную группу заданий этого типа составляют задания на вычисление одних тригонометрических функций по известным другим.

Пример 2.5.

Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:

1) sin2α ;

2) sin4α + cos4α ;

3) sin6α + cos6α .

Решение

1) Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:

sin2α  - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.

Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:

1 - sin2α = 0,09, откуда:

sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.

2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.

Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде:

sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α  cos2α + cos4α ) — 2sin2α  cos2α = (sin2α + cos2α )2  - 1/2 ∙ sin2 2α = 1 - 1/2 ∙ 0,91 = 0,545.

Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.

3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.

sin6α + cos6α = (sin2α )3 + (cos2α )3 = (sin2α + cos2α )(sin4α - sin2α  cos2α + cos4α ) = 1 ∙ (0,545 – 1/4 ∙ 0,91) = 0,3175.

Ответ:

Пример 2.6.

Найти tgα, если 

Решение

Проверкой можно убедиться, что при cos α = 0 приведенное равенство неверно. Поэтому следует разделить числитель и знаменатель дроби на cos α (на основании основного свойства дроби):

, следовательно,  тогда:

раскрывая скобки, приведем далее подобные слагаемые:

3tgα + 4 = 5tgα - 10, 2tgα = 14, получаем, что tgα = 7.

Ответ: 

Пример 2.7.

Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 

Решение

Как известно, . Выясним, в каких пределах лежит угол α и какой знак при этом имеет его косинус. Преобразуем заданное в условии задачи двойное неравенство. Разделив одновременно все три части двойного неравенства на 2, получим:

, то есть угол α располагается во второй четверти и, следовательно, cos α < 0.

В приведенной выше формуле выберем знак «минус»:

Ответ: 

Комментарий. Следующая группа заданий — вычисление значений различных тригонометрических выражений с использованием тригонометрических формул.

Пример 2.8.

Найти значение выражения: .

Выполним упрощение каждой дроби по отдельности.

С целью сокращения дроби  воспользуемся формулой «разность кубов» и получим:

.

Рассмотрим далее выражение . Нужно заметить, что первое третье слагаемые в сумме дают единицу в силу основного тригонометрического тождества. Таким образом:

.

Обратимся далее к преобразованию второй дроби. Применим одну из формул приведения: . Поэтому:

Тогда .

Окончательно получаем: 

Ответ: 

Пример 2.9.

Вычислить sin10° sin30° sin50° sin70°.

Используем формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: sin10° sin50° = 1/2 (cos40° - cos60°) = 1/2 cos 40° - 1/4. Подставим в первоначальное произведение это выражение и учтем, что sin30° = 1/2, получаем:

Ответ: 

Комментарий. Для выполнения аналогичных заданий необходимо знание не только тригонометрических формул, но и табличных значений тригонометрических функций.

Рассмотрим далее примеры упрощения тригонометрических выражений с произвольным аргументом.

Пример 2.10.

Упростить выражение: .

Так как числитель заданной дроби имеем достаточно простой вид, начнем с упрощения знаменателя. Для этого применим представление  :

.

Приведем полученную разность дробей к общему знаменателю:

.

Следовательно, 

Ответ: 

Пример 2.11.

Доказать тождество при 

Комментарий. Задания на доказательство тождеств вполне можно воспринимать как задания на упрощение выражений, причем с готовым ответом в виде более простой и компактной части равенства.

Решение

В частности, в данном примере попробуем упростить левую часть, чтобы получить такое же выражение, как справа. Для этого помножим числитель и знаменатель подкоренного выражения на 1 + sin α:

.

Вспомнив, что , получаем 

Исследуем далее знак числителя и знаменателя подмодульного выражения:

sin α ≥ -1, тогда 1 + sin α ≥ 0 поэтому ;

при  следовательно, 

Таким образом:

Аналогичным образом преобразуем второе слагаемое левой части:

Тогда , 

что и требовалось доказать.

Пример 2.12.

Найти значение следующих тригонометрических выражений: sin 2α, cos 2α, tg 2α, если .

Решение

Выпишем формулы для вычисления искомых функций:

.

Из основного тригонометрического тождества вычислим:

Далее найдем значения искомых выражений:

Ответ: 

Пример 2.13.

Доказать тождество .

Решение

Приведем левую часть к 1:

.

Тождество доказано.

Пример 2.14.

Вычислить значение выражения:

.

Решение

Обратим вниманием, что 

Далее, используя формулы приведения, получим:

Воспользуемся табличными значениями и свойствами тригонометрических функций:

Итак, значение выражения равно 0.

Ответ: 

Комментарий. Для выполнения заданий, связанных с обратными тригонометрическими функциями, нужно, во-первых, четко помнить определения этих понятий:

Удобно при решении таких задач сделать замену (например, α = arcsin x) и работать с более привычным объектом — углом α, лежащем в первой или четвертой четверти тригонометрического круга, синус которого равен х. При этом выясняется, что задача намного проще, чем казалось вначале.

Пример 2.15.

Вычислить cos(4arctg 5).

Решение

Пусть α = arctg5, тогда tg α = 5. Требуется найти cos4α. Вычислим вначале cos2α, используя универсальную подстановку:

Тогда получаем, что:

Ответ: 

Пример 2.16.

Выразить через все обратные функции 

Решение

Пусть . Угол α лежит в четвертой четверти, следовательно, cos α > 0.

Найдем все тригонометрические функции угла:

В четвертой четверти находятся арктангенсы отрицательных чисел, поэтому можно утверждать, что .

Но , так как арккосинусы положительных чисел принадлежат первой четверти. В силу четности косинуса cos (-α) = cos α, при этом , то есть , тогда .

Арккотангенсы отрицательных чисел расположены во второй четверти. Например, , следовательно, . Таким образом, угол α выражен через все обратные функции.

Ответ: 

Пример 2.17.

Найти arcsin (sin 12).

Решение

По условию задачи требуется найти угол, синус которого равен синусу угла в 12 радиан и который принадлежит промежутку . Заметим, что , поэтому .

Поскольку , угол 12 - 4π является искомым углом: его синус равен sin 12, и он находится в области возможных значений арксинуса.

Ответ: 

Пример 2.18.

Вычислить 

Решение

Введем два угла:  Оба они лежат в первой четверти, значит, все их тригонометрические функции положительны. Мы знаем, что . Требуется найти синус суммы этих углов, а для этого нужно знать их синусы и косинусы.

Во-первых, 

Во-вторых, .

Следовательно,