Готовимся к ЕГЭ. Математика. ЗАДАНИЕ 11 (Петрашова В. Н. - учитель математики высшей категории)
материал для подготовки к егэ (гиа) на тему

ЗАДАНИЯ 11 на ЕГЭ 2015г.

Задачи 11 на ЕГЭ по математике (В12 в 2014 году) — это текстовые задания на анализ практической ситуации, моделирующее реальную или близкую к реальной ситуацию (например, экономические, физические, химические и др. процессы).

Чаще всего это задачи  по физике, чем по математике, но необходимые формулы и величины даны в условии. Большинство задач сводится к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства.

Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ (имеются задачи, в которых нужно выбрать одно из двух решений).

Другие задачи,  сводятся к решению показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств. Ответ в любом случае, должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Отметим, что в них нет ничего сложного.  Важно то, что — все необходимые формулы и величины даны.

Несмотря на громоздкие условия (в них речь идёт о температурах, ускорениях, линзах, скорости звука и прочих физических процессах), сводятся они к решению несложных уравнений или неравенств.

Можно выделить несколько типов задач:

1. Линейные уравнения и неравенства.

2. Квадратичные и степенные уравнения и неравенства.

3. Рациональные уравнения и неравенства.

4. Иррациональные уравнения и неравенства.

5. Показательные уравнения и неравенства.

6. Логарифмические уравнения и неравенства.

7. Тригонометрические уравнения и неравенства.

На что необходимо обратить внимание:

1. Если в вопросе прозвучало «определить наибольшее значение», «определить наименьшее значение», то задача в большинстве случаев решается через составление неравенства.

2. Важно правильно определить знак при составлении неравенства. Например: b не менее 0,5 записывается как b≥0,5.

3. Если в вопросе задачи прозвучало «сколько», то составляется уравнение.

4. Не забывайте про единицы измерения, если это необходимо переводим их.

5.Важно, в каких единицах измерения требуется записать ответ (например, решив задачу, мы получили 1,5 часа, в условии сказано записать ответ в минутах, получается 90 минут; если в ответе запишем 1,5 – это ошибка и потерянный бал, хотя задача решена, верно).

6.Особых сложностей нет, в основном элементарные алгебраические преобразования. Есть, конечно, некоторые нюансы в конкретных задачах.

*Необходимо помнить, что ответ в любом случае, должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Напомним правила решения уравнений и неравенств.

Линейные уравнения:

При решении линейных уравнений и неравенств, необходимо помнить  и уметь применять элементарные преобразования:

1. Можно умножать и делить левую и правую части на одно и то же число.

2.Можно  прибавлять к обеим частям (уравнения или неравенства) или отнимать одно и то же число или переносить слагаемые, из левой части в правую и наоборот, при этом знак слагаемого меняется на противоположный.

3. Можем возводить в квадрат и извлекать корень из обеих частей.

Линейное неравенство:

1. Можем выполнять те же преобразования, что и в уравнении. Главное отличие: при умножении на отрицательное число обеих частей неравенства,  знак неравенства меняется на противоположный.

2. Если меняем левую и правую части неравенства местами, так же меняйте знак неравенства на противоположный (казалось бы это очевидно, но многие из-за невнимательности допускают такую ошибку), элементарный пример на числах:

Например, в задаче будет стоять вопрос: при каком минимальном значении а какое-то определённое выражение будет не менее какого либо значения, и вы в ответе получите а≥30. Очевидно, что минимальное а равно 30.

Рассмотрим задачи:

1.При температуре 00С рельс имеет длину l0=20 метров. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону l(t0)= l0(1+αt0), где

α=1,2∙10-5(0С)-1 — коэффициент теплового расширения

t0 — температура (в градусах Цельсия).

При какой температуре рельс удлинится на 4 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. Результат округлить до целых?

Задача сводится к решению линейного уравнения. Нам известны все числовые величины, необходимо подставить их, выразить температуру и посчитать. Да, сначала вычислим, какая длина у рельса стала после удлинения

l(t0)=20+4∙10-3 метра (1 миллиметр это 10-3 метра)

Подставляем данные и вычисляем:

При температуре 16,666... градусов Цельсия рельс удлинится на 4 мм.

Округлим до целых, получим 17.

Ответ: 17

*Обратите внимание на преобразования. Мы не стали вычислять значения в обеих частях уравнения. Сначала вычли 20 из обеих частей, затем их умножили на 105. Это рациональнее. Можете вычислять по другому, будте внимательны!

2.Некоторая компания продает свою продукцию по цене р = 400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 рублей, постоянные расходы предприятия f = 600000 рублей в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q) = q(p–v)–f. Определите наименьщший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 900 000 рублей.

Выражение «не меньше 900000 рублей» означает, что месячная операционная прибыль предприятия будет равна или больше 900000 рублей, то есть

π(q)≥ 900000

Задача сводится к решению неравенства q(p–v)–f≥900000, где необходимо найти q.

Подставим известные величины:

7500 единиц продукции это наименьший объем производства, при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 900000 руб.

*Данную задачу можно также решить просто составив уравнение:

Так как понятно, что при наименьшем объёме производства будет наименьшая прибыль.

Ответ: 75000

Квадратные уравнения:

При решении квадратных уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать формулы  дискриминанта и корней квадратного уравнения и уметь применять элементарные преобразования:

1. Формулы корней для квадратного уравнения ax2+bx+c=0:      D=b2-4ac;   x=.

2. Теорема Виета для приведенного квадратного уравнения  x2+px+g=0:  x1+x2=-p и   x1×x2=g.

Квадратные неравенства:

При решении квадратных неравенств  применяется метод интервалов.

1. Вспомним формулу разложения квадратного многочлена на множители,  

 ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2),   где  x1 и x2      корни  квадратного уравнения ax2+bx+c=0   .  

2.  Алгоритм решения квадратного неравенства:

1). Решаем квадратное уравнение      

2). Находим корни.

3). Записываем неравенство   a(x-x1)(x-x2)≥0

4). Определяем интервалы на числовой прямой (корни уравнения делят

числовую ось на интервалы)

5). Определяем «знаки» на этих интервалах, путѐм подстановки

значений из этих интервалов, в неравество   .

6). Решением неравенства является(ются)  интервал(ы), если  значения  

из этого интервала обращает неравенство в верное.

7). Далее отвечаем на вопрос, поставленный в задаче.

Рассмотрим задачи:

1.После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время  падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где  – расстояние в метрах,  – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0,6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,2 с? Ответ выразите в метрах.

Решение.

Пусть  – расстояние до воды до дождя,  – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным с. Уровень воды поднимется на  метров.

2.Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где  – высота в метрах,  – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трeх метров?

Решение.

Определим моменты времени, когда мяч находился на высоте ровно три метра. Для этого решим уравнение :

Проанализируем полученный результат: поскольку по условию задачи мяч брошен снизу вверх, это означает, что в момент времени  (с) мяч находился на высоте 3 метра, двигаясь снизу вверх, а в момент времени  (с) мяч находился на этой высоте, двигаясь сверху вниз. Поэтому он находился на высоте не менее трёх метров 1,4 − 0,2 = 1,2 секунды.

Ответ: 1,2.

3.Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где  – масса воды в килограммах,  скорость движения ведра в м/с,  – длина верёвки в метрах, g – ускорение свободного падения (считайте  м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 40 см? Ответ выразите в м/с.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданной длине верёвки  м:

Ответ: 2.

4.В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону  где  – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  – начальная высота столба воды,  – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  – ускорение свободного падения (считайте  м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является

Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время — найдем меньший корень уравнения :

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.

Ответ: 50.

5.Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полёта камня описывается формулой , где  м,  – постоянные параметры,  – смещение камня по горизонтали,  – высота камня над землёй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 8 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства : при заданных значениях параметров a и b:

м.

Камни будут перелетать крепостную стену на высоте не менее 1 метра, если камнеметательная машина будет находиться на расстоянии от 10 до 90 метров от этой стены. Наибольшее расстояние – 90 метров.

Ответ: 90.

6.Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где t — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин2 — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет . Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства  при заданных значениях параметров  и :

 .

Учитывая то, что время — неотрицательная величина, получаем . Угол намотки достигнет значения 1200° при t = 20 мин.

Ответ: 20.

7.Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением  км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ выразите в минутах.

Решение.

Мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если  км. Задача сводится к нахождению наибольшего решения неравенства  км при заданных значениях параметров  и :

Учитывая то, что время — неотрицательная величина, получаем  ч, то есть  мин.

Ответ: 30.

8.Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью  м/с, начал торможение с постоянным ускорением  м/с2. За  – секунд после начала торможения он прошёл путь  (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.

Решение.

Найдем, за какое время , прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров:

 .

Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров.

Ответ: 2.

9.На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где  – длина ребра куба в метрах,  кг/м3 – плотность воды, а  – ускорение свободного падения (считайте  Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 78400 Н? Ответ выразите в метрах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданных значениях плотности воды и ускорении свободного падения:

 м.

Ответ: 2.

Рациональные уравнения и неравенства. 

При решении рациональных уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать свойства дробей, уметь преобразовывать дроби, складывать, умножать, делить  дроби, помнить об ОДЗ (знаменатель не равен нулю):

Рассмотрим задачи:

1.Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние  от линзы до экрана – в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Решение.

Поскольку  имеем:

.

Наименьшему возможному  значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность  в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого , которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя . Поэтому , откуда

 см

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение см удовлетворяет условию.

Ответ: 36.

2.По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где  – ЭДС источника (в вольтах),  Ом – его внутреннее сопротивление,  – сопротивление цепи (в Омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более  от силы тока короткого замыкания  ? (Ответ выразите в Омах.)

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при известном значении внутреннего сопротивления  Ом:

 Ом.

Ответ: 4.

3.Сила тока в цепи  (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома: , где  – напряжение в вольтах,  – сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 4 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в Омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  А при известном значении напряжения  В:

 Ом.

Ответ: 55

4.Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле , где  – частота вынуждающей силы (в ),  – постоянный параметр,  – резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину  не более чем на . Ответ выразите в .

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при известном значении резонансной частоты и условии, что частота  меньше резонансной:

Ответ: 120

5.В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  Ом и  Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ выразите в омах.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  Ом при известном значении сопротивления приборов Ом:

 Ом.

Ответ: 10

6.При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала  Гц и определяется следующим выражением:  (Гц), где  – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а  м/с и  м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости  (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет не менее 160 Гц?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  Гц при известных значениях  м/с и  м/с – скорости приёмника и источника относительно среды соответственно:

 м/с.

Ответ: 390.

7.Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление  (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где  кг – общая масса навеса и колонны,  – диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения  м/с, а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 400 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Решение.

Найдем, при котором диаметре колонны давление, оказываемое на опору, станет равным 400 000 Па. Задача сводится к решению уравнения  при заданном значении массы навеса и колонны  кг:

.

Если диаметр колонны будет меньше найденного, то давление, оказываемое на опору, будет больше 400 000 Па, поэтому наименьший возможный диаметр колонны равен 0,2 м.

Ответ: 0,2.

8.Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение  секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила , приложенная к автомобилю, не меньше 2400 Н. Ответ выразите в секундах.

Решение.

Найдем, за какое время автомобиль пройдет путь  метров, учитывая, что сила  при заданном значении массы автомобиля 2400 H. Задача сводится к решению неравенства  при заданном значении массы автомобиля  кг:

 с.

Ответ: 30.

Иррациональные уравнения и неравенства.

При решении иррациональных уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать:

1. свойства корней
2.  уметь преобразовывать выражения, содержащие корни
3.  помнить об ОДЗ (если корень четной степени, то подкоренное выражение больше или равно нулю)
4. Уметь извлекать корень из числа, здесь надо помнить о том, что отсутствие калькулятора затрудняет это действие. Один из хороших приемов, о котором надо помнить, это разложение числа на множители из которых извлекается квадратный корень.

Допустим надо вычислить  , так вот совсем не обязательно перемножать числа, надо их разложить на множители: ==5*2*2*3*3=180.

Рассмотрим задачи:

1.Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной км с постоянным ускорением км/ч 2, вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 100 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Решение.

Найдём, при каком ускорении гонщик достигнет требуемой скорости, проехав один километр. Задача сводится к решению уравнения при известном значении длины пути км:

км/ч2.

Если его ускорение будет превосходить найденное, то, проехав один километр, гонщик наберёт большую скорость, поэтому наименьшее необходимое ускорение равно 5000 км/ч2.

Ответ: 5000.

2.При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где м – длина покоящейся ракеты, км/с – скорость света, а – скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 4 м? Ответ выразите в км/с.

Решение.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 4 м. Задача сводится к решению уравнения при заданном значении длины покоящейся ракеты м и известной величине скорости света км/с:

км/с.

Если скорость будет превосходить найденную, то длина ракеты будет менее 4 метров, поэтому минимальная необходимая скорость равна км/с.

Ответ: 180 000.

3.Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 4 километров? Ответ выразите в метрах.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения при заданном значении R:

м.

Ответ: 1,25.

4.Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела Р, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвёртой степени температуры: Р, где — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура Т — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь S а излучаемая ею мощность P Определите температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Решение.

Задача сводится к нахождению наименьшего решения неравенства при известном значениях постоянной и заданной площади звезды :

Ответ: 6000.

5.Гоночный автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч2. Скорость в конце пути вычисляется по формуле где — пройденный автомобилем путь. Определите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 250 метров, приобрести скорость 60 км/ч. Ответ выразите в км/ч2.

Решение.

Выразим ускорение из формулы для скорости и найдём его:

Ответ: 7200.

6.Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте километров над землёй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле где — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 144 километров? Ответ выразите в километрах.

Решение.

Задача сводится к решению уравнения при заданном значении R:

Ответ: 1,62.

 Показательные уравнения и неравенства.

При решении показательных уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать:

1. свойства степеней
2.  уметь преобразовывать выражения, содержащие степени
3. уметь работать с числами, записанными в стандартном виде

Рассмотрим задачи:

1.При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон , где  – давление в газе в паскалях,  – объём газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него ) из начального состояния, в котором  Пам5, газ начинают сжимать. Какой наибольший объём  может занимать газ при давлениях  не ниже  Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Решение.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление не ниже , при заданных значениях параметров  и  Пам5 имеем неравенство:

.

Ответ: 0,125.

2.В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где  – начальная масса изотопа,  (мин) – прошедшее от начального момента время,  – период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени  мг изотопа , период полураспада которого  мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 5 мг?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданных значениях параметров  мг и  мин:

 мин.

Ответ: 30.

3.Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где (Па) – давление в газе,  – объём газа в кубических метрах, a – положительная константа. При каком наименьшем значении константы a уменьшение вдвое раз объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза?

Решение.

Пусть  и  – начальные, а  и  – конечные значения объема и давления газа, соответственно. Задача сводится к решению неравенства , причем :

.

Ответ: 2.

Логарифмические уравнения и неравенства.

При решении логарифмических  уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать:

1. Основное логарифмическое тождество:  =a

2.Определение: Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.

logb a = x bx = a (a > 0, b > 0, b ≠ 1)

Например:

log3 9 = 2, так как 32 = 9

2. Как решается простое логарифмическое уравнение.

3. Как решается простое логарифмическое неравенство.

Рассмотрим задачи:

1.Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключён резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  – постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 21 с?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  при заданных значениях начального напряжения на конденсаторе  кВ, сопротивления резистора  Ом и ёмкости конденсатора  Ф:

 кВ.

Ответ: 2.

2.Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние (м), вода охлаждается до температуры , причём  (м), где  – теплоёмкость воды,  – коэффициент теплообмена, а  – постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 84 м?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях теплоёмкости воды , коэффициента теплообмена , постоянной , температуры помещения и расхода воды :

.

Ответ: 30.

3.Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моля воздуха объёмом  л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением (Дж), где  – постоянная, а  – температура воздуха. Какой объём  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 10350 Дж?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях постоянной , температуры воздуха  К, количества воздуха  моль и объема воздуха  л:

 л.

Ответ: 2.

Тригонометрические уравнения и неравенства.

При решении тригонометрических  уравнений и неравенств, необходимо помнить  и знать:

1. Основное тригонометрическое тождество:  sin2a+cos2a=1.
2. Формулы для решения простейших тригонометрических уравнений:
3. Уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
4. Уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.
5. Переводить радианы в градусы и наоборот  градусы в радианы.

Рассмотрим задачи:

1.Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком наименьшем значении угла  (в градусах) время полeта будет не меньше 3 секунд, если мяч бросают с начальной скоростью  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения  м/с.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях начальной скорости и ускорения свободного падения:

.

Ответ: 30.

2.Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где  – сила тока в рамке,  Тл – значение индукции магнитного поля,  м – размер рамки,  – число витков провода в рамке,  – острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла  (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент M был не меньше 0,75 Нм?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях силы тока в рамке , размера рамки  м, числа витков провода  и индукции магнитного поля  Тл:

.

Ответ: 30.

3.Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где  – время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем  В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Решение.

Задача сводится к решению уравнения  при заданных значениях амплитуды сигнала, частоты и фазы:

На протяжении первой секунды лампочка будет гореть  с, то есть % времени.

Ответ: 50.

4.Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где  м/с – начальная скорость мячика, а  – ускорение свободного падения (считайте  м/с). При каком наименьшем значении угла  (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 4 м на расстоянии 1 м?

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях начальной скорости  и ускорения свободного падения :

.

Ответ: 30.

5.Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где  – время в секундах. Кинетическая энергия груза вычисляется по формуле , где  – масса груза (в кг),  – скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее  Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  Дж при заданных значении массы груза  кг и законе изменения скорости:

Таким образом, 0,5 c из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее  Дж. Это составляет 0,5 первой секунды.

Ответ: 0,5.

6.Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  (см/с), где t – время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Решение.

Задача сводится к решению неравенства  cм/с при заданном законе изменения скорости :

Таким образом,  первой секунды после начала движения скорость груза превышала 2,5 см/с. Округляя, получаем 0,67.

Ответ: 0,67.

Литература:

1. А.С. Крутицких  и  Н.С. Крутицких.  Подготовка к ЕГЭ по математике.

http://matematikalegko.ru

2.Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев и Л.И. Мальцева. Математика ЕГЭ 2014 Книга 1 и 2. Издатель Мальцев Д.А. Ростов - на - Дону. Народное образование. Москва 2014.

3.  http://www.fipi.ru/     портал информационной поддержки мониторинга качества образования, здесь можно найти Федеральный банк тестовых заданий

4. http://www.edu.ru/      Центральный образовательный портал,  содержит нормативные документы  Министерства, стандарты, сервер информационной поддержки Единого государственного экзамена

5.  http://www.mathgia.ru  http://www.mathege.ru -открытый банк заданий  по математике
для выпускников 9-х и 11х классов

6.http://alexlarin.narod.ru/ege.html -Подготовка к ЕГЭ по математике.    Сайт Ларина А.А.  На сайте размещены решения заданий из демо-вариантов, диагностических работ, Кимов, решения заданий группы "С" из сборников для подготовки к ЕГЭ-2011, ГИА-2011 и многое другое

7. http://reshuege.ru/ -Решу ЕГЭ: образовательный портал для подготовки к экзаменам.

Подбор задач для отработки навыков по темам

Линейные уравнения и неравенства

1. При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ: 62,5.

2. При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7,5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

Ответ: 62,5.

3. Задание 11 № 28015.

При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 6 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

4. Задание 11 № 28017.

При температуре  рельс имеет длину  м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону , где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 9 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия.

5. Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия  руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 900 000 руб.

Ответ: 7500.

6. Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия  руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 1 000 000 руб.

Ответ: 7500.

7. Задание 11 № 28027.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия  руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 500000 руб.

8. Задание 11 № 28029.

Некоторая компания продает свою продукцию по цене  руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют  руб., постоянные расходы предприятия  руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле . Определите наименьший месячный объeм производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 600000 руб.

Квадратные и степенные уравнения и неравенства

1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время  падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где  — расстояние в метрах,  — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 1,5 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0,1 с? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1,45.

2. Зависимость объeма спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб.) задаeтся формулой . Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб.) вычисляется по формуле . Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка  составит не менее 210 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Ответ: 14.

3. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где h — высота в метрах, t — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров?

Ответ: 1.

4. Задание 11 № 28071.

Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина верeвки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте м/с). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна 62,5 см? Ответ выразите в м/с.

5. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону, где  — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана,  м — начальная высота столба воды,  — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а  — ускорение свободного падения (считайте  м/с). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Ответ: 250.

6. Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полeта камня описывается формулой , где  м,  — постоянные параметры,  (м) — смещение камня по горизонтали,  (м) — высота камня над землeй. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 19 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра?

Ответ: 110.

7. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где t — время в минутах,  К,  К/мин,  К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 4.

8. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где  — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки  достигнет 4050°. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 30.

9. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью  км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением  км/ч. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 21 км от города. Ответ выразите в минутах.

Ответ: 15.

10. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью  м/с, начал торможение с постоянным ускорением  м/с. За t секунд после начала торможения он прошел путь  (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 112 метров. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 7.

11. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой  кг и радиуса  см, и двух боковых с массами  кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в , даeтся формулой . При каком максимальном значении h момент инерции катушки не превышает предельного значения ? Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 8.

12. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где  — длина ребра куба в метрах,  — плотность воды, а  — ускорение свободного падения (считайте ). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем 321 126,4 Н? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 3,2.

13. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где  — постоянная, площадь S измеряется в квадратных метрах, а температура T — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь  м, а излучаемая ею мощность P не менее  Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.

Ответ: 5000.

14. На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста, называются вантами.

Введём систему координат: ось Oy направим вертикально вдоль одного из пилонов, а ось Ox направим вдоль полотна моста, как показано на рисунке.

В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, имеет уравнение  где x и y измеряются в метрах. Найдите длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.

Ответ: 7,3.

Рациональные уравнения и неравенства

1. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием  см. Расстояние  от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 60 до 80 см, а расстояние  от линзы до экрана — в пределах от 150 до 175 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 70.

2. Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой  Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка  больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону  (Гц), где  — скорость звука в звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 7 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а  м/с. Ответ выразите в м/с.

Ответ: 3,5.

3. По закону Ома для полной цепи сила тока, измеряемая в амперах, равна , где  — ЭДС источника (в вольтах),  Ом — его внутреннее сопротивление,  — сопротивление цепи (в омах). При каком наименьшем сопротивлении цепи сила тока будет составлять не более  от силы тока короткого замыкания ? (Ответ выразите в омах.)

Ответ: 9.

4. Сила тока в цепи  (в амперах) определяется напряжением в цепи и сопротивлением электроприбора по закону Ома:, где  — напряжение в вольтах,  — сопротивление электроприбора в омах. В электросеть включeн предохранитель, который плавится, если сила тока превышает 2,5 А. Определите, какое минимальное сопротивление должно быть у электроприбора, подключаемого к розетке в 220 вольт, чтобы сеть продолжала работать. Ответ выразите в омах.

Ответ: 88.

5. Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы, определяемой по формуле , где  — частота вынуждающей силы (в ),  — постоянный параметр,  — резонансная частота. Найдите максимальную частоту , меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину  не более чем на . Ответ выразите в .

Ответ: 115.

6. В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет  Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление  этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями  Ом и  Ом их общее сопротивление даeтся формулой  (Ом), а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 18 Ом. Ответ выразите в омах.

Ответ: 24.

7. Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой , где  — температура нагревателя (в градусах Кельвина),  — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя  КПД этого двигателя будет не меньше , если температура холодильника К? Ответ выразите в градусах Кельвина.

Ответ: 500.

8. Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой  (в килограммах) от температуры  до температуры  (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы  кг. Он определяется формулой, где  Дж/(кгК) — теплоемкость воды,  Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите наименьшее количество дров, которое понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть  кг воды от  до кипения, если известно, что КПД кормозапарника не больше . Ответ выразите в килограммах.

Ответ: 21.

9. Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу  тонн представляют собой две пустотелые балки длиной  метров и шириной  метров каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определяется формулой , где  — масса экскаватора (в тоннах),  — длина балок в метрах,  — ширина балок в метрах,  — ускорение свободного падения (считайте  м/с). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если известно, что давление  не должно превышать 250 кПа. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 2.

10. К источнику с ЭДС  В и внутренним сопротивлением  Ом, хотят подключить нагрузку с сопротивлением R Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, даeтся формулой . При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 55 В? Ответ выразите в омах.

Ответ: 8,8.

11. При сближении источника и приемника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала  Гц и определяется следующим выражением:  (Гц), где c — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а  м/с и  м/с — скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости c (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике f будет не менее 135 Гц?

Ответ: 821.

12. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 745 МГц. Скорость спуска батискафа, выражаемая в м/с, определяется по формуле , где  м/с — скорость звука в воде,  — частота испускаемых импульсов (в МГц),  — частота отражeнного от дна сигнала, регистрируемая приeмником (в МГц). Определите наибольшую возможную частоту отраженного сигнала , если скорость погружения батискафа не должна превышать 10 м/с.

Ответ: 755.

13. Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление P(в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по формуле , где  кг — общая масса навеса и колонны, D — диаметр колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения  м/с, а , определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое на опору, не должно быть больше 800 000 Па. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 0,2.

14. Автомобиль, масса которого равна  кг, начинает двигаться с ускорением, которое в течение t секунд остаeтся неизменным, и проходит за это время путь  метров. Значение силы (в ньютонах), приложенной в это время к автомобилю, равно . Определите наибольшее время после начала движения автомобиля, за которое он пройдeт указанный путь, если известно, что сила F, приложенная к автомобилю, не меньше 1200 Н. Ответ выразите в секундах.

Ответ: 50.

Иррациональные уравнения и неравенства

1. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной l км с постоянным ускорением , вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 километра, приобрести скорость не менее 160 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 16 000.

2. При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону , где  м — длина покоящейся ракеты,  км/с — скорость света, а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 68 м? Ответ выразите в км/с 

Ответ: 180 000.

3. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. На какой наименьшей высоте следует располагаться наблюдателю, чтобы он видел горизонт на расстоянии не менее 192 километров? Ответ выразите в метрах.

Ответ: 2880.

4. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте  м над землeй, выраженное в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы расстояние до горизонта увеличилось до 48 километров?

Ответ: 178,75.

5. Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте  м над землeй, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 12 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 44 километров?

Ответ: 700.

6. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте  километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 116 километров? Ответ выразите в километрах.

Ответ: 1,05125.

7. Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной  км с постоянным ускорением , вычисляется по формуле . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,7 километра, приобрести скорость не менее 105 км/ч. Ответ выразите в км/ч.

Ответ: 7875.

8. Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте  километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле , где  (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 28 километров? Ответ выразите в километрах.

Ответ: 0,06125.

Показательные уравнения и неравенства

1. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон  где — давление в газе в паскалях,  — объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него ) из начального состояния, в котором  Па , газ начинают сжимать. Какой наибольший объeм  может занимать газ при давлениях  не ниже  Па? Ответ выразите в кубических метрах.

Ответ: 8.

2. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где  — начальная масса изотопа, t (мин) — прошедшее от начального момента время, T — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени  мг изотопа Z, период полураспада которого  мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 17 мг?

Ответ: 30.

3. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , гдеp (Па) — давление в газе, V — объeм газа в кубических метрах, a — положительная константа. При каком наименьшем значении константы a увеличение в 16 раз объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 32 раза?

Ответ: 1,25.

4. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объeм и давление связаны соотношением , где  (атм.) — давление в газе,  — объeм газа в литрах. Изначально объeм газа равен 243,2 л, а его давление равно одной атмосфере. В соответствии с техническими характеристиками поршень насоса выдерживает давление не более 128 атмосфер. Определите, до какого минимального объeма можно сжать газ. Ответ выразите в литрах.

Ответ: 7,6.

5. При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон pVk = const , где p– давление в газе в паскалях, V – объём газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k = ) из начального состояния, в котором const = 3,2·106 Па·м4 , газ начинают сжимать. Какой наибольший объём V может занимать газ при давлении p не ниже 2·105 Па ? Ответ выразите в кубических метрах.

Ответ: 8.

6. В ходе распада радиоактивного изотопа, его масса уменьшается по закону , где  — начальная масса изотопа,  (мин) — прошедшее от начального момента время,  — период полураспада в минутах. В лаборатории получили вещество, содержащее в начальный момент времени  мг изотопа , период полураспада которого  мин. В течение скольких минут масса изотопа будет не меньше 47 мг?

Ответ: 6.

7. Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде , где  (Па) — давление в газе,  — объeм газа в кубических метрах,  — положительная константа. При каком наименьшем значении константы  увеличение в 3 раза объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к уменьшению давления не менее, чем в 27 раз?

Ответ: 3.

8. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При это объём и давление связаны соотношением , где  (атм) − давление в газе,  — объём газа в литрах. Изначально объём газа равен 24 л, а его давление равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде поднялось до 128 атмосфер? Ответ выразите в литрах.

Ответ: 0,75.

Логарифмические уравнения и неравенства

1. Ёмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 62,4 с?

Ответ: 2.

2. Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние  (м), вода охлаждается до температуры , причeм  (м), где  — теплоeмкость воды,  — коэффициент теплообмена, а  — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 144 м?

Ответ: 34.

3. Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени  моля воздуха объeмом  л, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объeма . Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  постоянная, а  К — температура воздуха. Какой объeм  (в литрах) станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 27 840 Дж?

Ответ: 3,5.

4. Находящийся в воде водолазный колокол, содержащий  молей воздуха при давлении  атмосферы, медленно опускают на дно водоeма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха. Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением  (Дж), где  — постоянная,  К — температура воздуха,  (атм) — начальное давление, а  (атм) — конечное давление воздуха в колоколе. До какого наибольшего давления  можно сжать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха совершается работа не более чем 29 100 Дж? Ответ приведите в атмосферах.

Ответ: 7.

5. Eмкость высоковольтного конденсатора в телевизоре  Ф. Параллельно с конденсатором подключeн резистор с сопротивлением  Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе  кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения U (кВ) за время, определяемое выражением  (с), где  — постоянная. Определите (в киловольтах), наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 25,2 с?

Ответ: 3,75.

6. Задание 11 № 28477.

Для обогрева помещения, температура в котором равна , через радиатор отопления, пропускают горячую воду температурой . Расход проходящей через трубу воды  кг/с. Проходя по трубе расстояние x (м), вода охлаждается до температуры , причeм  (м), где  — теплоeмкость воды,  — коэффициент теплообмена, а  — постоянная. До какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы 140 м?

Тригонометрические уравнения и неравенства

1. Мяч бросили под углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Время полeта мяча (в секундах) определяется по формуле . При каком наименьшем значении угла  (в градусах) время полeта будет не меньше 2,6 секунды, если мяч бросают с начальной скоростью  м/с? Считайте, что ускорение свободного падения  м/с.

Ответ: 90.

2. Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку, (в Нм) определяется формулой , где  — сила тока в рамке,  Тл — значение индукции магнитного поля,  м — размер рамки,  — число витков провода в рамке,  — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент  был не меньше 0,63 Н  м?

.

Ответ: 30.

3. Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону , где t — время в секундах, амплитуда  В, частота /с, фаза . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Ответ: 50.

4. Очень лeгкий заряженный металлический шарик зарядом  Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет  м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции  которого лежит в той же плоскости и составляет угол  с направлением движения шарика. Значение индукции поля  Тл. При этом на шарик действует сила Лоренца, равная  (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла  шарик оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила  была не менее чем  Н? Ответ дайте в градусах.

Ответ: 30.

5. Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полeта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой , где  м/с — начальная скорость мячика, а  — ускорение свободного падения (считайте  м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 0,6 м на расстоянии 1 м?

Ответ: 45.

6. Небольшой мячик бросают под острым углом  к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле  (м), где  м/с — начальная скорость мячика, а  — ускорение свободного падения (считайте  м/с). При каком наименьшем значении угла (в градусах) мячик перелетит реку шириной 14,4 м?

Ответ: 45.

7. Плоский замкнутый контур площадью  м находится в магнитном поле, индукция которого равномерно возрастает. При этом согласно закону электромагнитной индукции Фарадея в контуре появляется ЭДС индукции, значение которой, выраженное в вольтах, определяется формулой , где  — острый угол между направлением магнитного поля и перпендикуляром к контуру,  Тл/с — постоянная,  — площадь замкнутого контура, находящегося в магнитном поле (в м). При каком минимальном угле  (в градусах) ЭДС индукции не будет превышать  В?

Ответ: 60.

8. Трактор тащит сани с силой  кН, направленной под острым углом  к горизонту. Работа трактора (в килоджоулях) на участке длиной  м вычисляется по формуле . При каком максимальном угле  (в градусах) совершeнная работа будет не менее 2400 кДж?

Ответ: 60.

9. При нормальном падении света с длиной волны  нм на дифракционную решeтку с периодом d нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом острый угол  (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума k связаны соотношением . Под каким минимальным углом  (в градусах) можно наблюдать третий максимум на решeтке с периодом, не превосходящим 2400 нм?

Ответ: 30.

10. Два тела массой  кг каждое, движутся с одинаковой скоростью  м/с под углом  друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением . Под каким наименьшим углом  (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 100 джоулей?

Ответ: 90.

11. Катер должен пересечь реку шириной  м и со скоростью течения  м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Он может двигаться с разными скоростями, при этом время в пути, измеряемое в секундах, определяется выражением , где  — острый угол, задающий направление его движения (отсчитывается от берега). Под каким минимальным углом  (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 70 с?

Ответ: 45.

12. Скейтбордист прыгает на стоящую на рельсах платформу, со скоростью  м/с под острым углом  к рельсам. От толчка платформа начинает ехать со скоростью  (м/с), где  кг — масса скейтбордиста со скейтом, а  кг — масса платформы. Под каким максимальным углом  (в градусах) нужно прыгать, чтобы разогнать платформу не менее чем до 0,3 м/с?

Ответ: 60.

13. Груз массой 0,8 кг колеблется на пружине со скоростью, меняющейся по закону , где  — время в секундах. Кинетическая энергия груза, измеряемая в джоулях, вычисляется по формуле , где  — масса груза (в кг),  — скорость груза (в м/с). Определите, какую долю времени из первой секунды после начала движения кинетическая энергия груза будет не менее  Дж. Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,5.

14. Скорость колеблющегося на пружине груза меняется по закону  (см/с), где  — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 3 см/с? Ответ выразите десятичной дробью, если нужно, округлите до сотых.

Ответ: 0,5.