Банк олимпиадных заданий для самостоятельной подготовки учащихся - Естественные науки
олимпиадные задания на тему

Многопрофильная инженерная олимпиада «ЗВЕЗДА»

Естественные науки (физика, математика)

Отборочный тур

2015-2016

10 класс

Решения, указания, ответы и критерии оценивания

1. В равнобедренной описанной трапеции длины оснований 9 и 4. Чему
   равна её площадь? (15 баллов)

Ответ: 39.

Решение. Поскольку в описанном четырёхугольнике суммы длин противоположных сторон равны, длина боковой стороны в равнобедренной описанной трапеции равна полусумме оснований, в нашем случае 6,5. Проекция боковой стороны на основание равна полуразности оснований (у нас 2,5). Теперь с помощью теоремы Пифагора находим высоту, она равна 6.

2.        Решите уравнение

(15 баллов)

Ответ: 2, —15.

Решение. Поскольку ;  + ; ; левая часть уравнения равна и уравнение сводится к квадратному.

3.        Сколько существует натуральных чисел п. для которых из неравенств п>10,    п>20,  п>30,  п<40,  п<50,  п<60 не выполняется только одно? (20баллов)

Ответ: 20.

Решение: Если неверно, что  п > 20, то не будет выполняться неравенство п > 30, но два неравенства не могут вместе нарушаться.

 Значит, п > 20.

Если неверно, что п < 50, то не будет выполняться и неравенство п < 40. Поэтому п < 50.

Для п = 21, 22, …, 30 не выполнено только неравенство п > 30.

Для п = 31, 32, …, 39 выполнены все неравенства.

Для п = 40, 42, …, 49 не выполнено только неравенство п < 40.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют числа 21, 22,..., 30, 40, 41, ..., 49, и только они    всего 20 чисел.

Оценивание. За верное решение 20 баллов. Если найдены все числа, удовлетворяющие условию задачи, но не доказано, что других чисел с таким свойством нет, 14 баллов.

        4. Массивная вертикальная плита закреплена на автомобиле, который движется со скоростью 7 м/с. Навстречу летит мяч со скоростью 2 м/с. Определить скорость мяча после абсолютно упругого нормального удара. (10баллов)

а) 2 м/с

б) 7 м/с

в) 9 м/с

г) 16 м/с

5.  Тело массой  бросили с поверхности Земли под углом  к горизонту. Известно, что обратно на Землю оно упало через  секунды. Определить изменение импульса тела за время его полета. (10баллов)

а)  

б)  

в)  

г)  

6. Мяч бросили с поверхности Земли под углом  со скоростью . За какое время вектор скорости мяча повернется на угол ? Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения . (10баллов)

Решение:

Фактически в задаче требуется найти все время полета мяча. Координата  мяча меняется по закону:

Отсюда получаем, что: .

Критерии оценивания:

а) сформулирована необходимость найти время всего полета – 4 балла

б) записано уравнение движения – 4 балла

в) найден окончательный ответ – 2 балла

7. К правому концу однородного горизонтального стержня привязан гелиевый шарик, который создает подъемную силу 5 Н. На расстоянии четверти длины стержня от его левого конца подведена опора маленькой площади. Для удержания стержня в равновесии к его левому концу приходится прикладывать минимальную силу в 2 Н. Определить массу рассматриваемого стержня. (10баллов)

Решение:

Необходимо рассмотреть два варианта.

Первый: рассматриваемая сила направлена вертикально вниз. В этом случае правило моментов выглядит следующим образом:

.

В этом случае, искомая масса равна .

Второй: рассматриваемая сила направлена вертикально вверх. В этом случае правило моментов выглядит следующим образом:

.

И искомая масса равна .

Критерии оценивания:

а) рассмотрен 1 вариант, записано правило моментов – 4 балла

б) найден 1 вариант ответа – 1 балл

в) рассмотрен 2 вариант, записано правило моментов – 4 балла

г) найден 2 вариант ответа – 1 балл

8. Груз на пружине совершает гармонические колебания с частотой 0,25 Гц. Амплитуда колебаний 2 см. Определить путь, пройденный грузом за 8 секунд. (10баллов)

Решение:

Период колебаний:

Путь, пройденный грузом за время одного колебания: .

Следовательно, искомое расстояние 16 см.

Критерии оценивания:

а) найден период – 3 балла

б) определено расстояние, пройденное за период – 3 балла

в) получен окончательный ответ – 4 балла