8 класс

СОДЕРЖАНИЕ

Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратный корень».        2

Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратные уравнения».        5

Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратичная функция».        13

Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратный корень».

Предисловие

Данная система проверочных работ предназначена для организации дифференцированной самостоятельной работы учащихся на уроках алгебры в 8 классе.

Все самостоятельные работы составлены в трех вариантах различных по уровню сложности.

Вариант 1 ориентирован на достижение учащимися обязательного уровня математической подготовки, определенного стандартом математического образования.

Вариант 2 усложнен по сравнению с вариантом 1 и создает условия для овладения алгебраическими знаниями и умениями на более высоком уровне.

Вариант 3 предназначен для учащихся, которые не только свободно владеют приобретенными знаниями, но и творчески подходят к решению, проявляют смекалку и сообразительность.

С-1. Квадратный корень из степени.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;  

в) .

2. Найдите значение корня:    а) ;   б) ;   в) .

3. Упростите выражение:   а) ;   б) .

4. Сравните числа:    и .

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;  

в) .

2. Найдите значение корня:    а) ;   б) ;   в) .

3. Упростите выражение:   а) , при ;  

б) , при .

4. Сравните числа:    и .

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;  

 в) .

2. Найдите значение выражения:.

3. Упростите выражение:   а) , при ;   б) .

4. Сравните значения выражений:    и .

С-2. Квадратный корень из произведения.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня, используя теорему о корне из произведения: а) ;   б) ;   в) .

2. Вычислите:    а) ;   б) ;  

в) ;   г) ;   д) ;   е);   ж).

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;   в) .

2. Вычислите:    а) ;   б) ;   в) ;  

г) ;   д) ;   е);   ж).

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;  

в) .

2. Вычислите:    а) ;   б) ;   в) ;  

г); д); е);

ж).

С-3. Квадратный корень из дроби.

Вариант 1

1. Вычислите значение корня, используя теорему о корне из дроби: а) ;   б) ;   в) .

2. Найдите значение выражения:    а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д);   е).

Вариант 2

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;   в) .

2. Найдите значение выражения:    а) ;   б) ;  

в) ;   г) ;   д);   е).

Вариант 3

1. Вычислите значение корня: а) ;   б) ;   в) .

2. Найдите значение выражения:    а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д);   е).

Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратные уравнения».

С-1. Неполные квадратные уравнения.

Вариант 1

1. Решите уравнения: а) x2=81;

б) x2+4x=0;

в)

г)

2. При каких значениях а равны значения двухчленов а2+6а и 3а2-а?

3. Найдите число удвоенный квадрат которого равен этому числу, уменьшенному в три раза.

Вариант 2

1. Решите уравнения: а) 3x2-8x=0;

б)

в) 4-9(2-5x)2=0;

г) (3x-4)2-(5x+2)(2x+8)=0.

2. При каких значениях b значения выражений 5b2-12 и b2-4

а) равны; б) противоположны по знаку?

3. Произведение двух последовательных натуральных чисел в 2 раза больше меньшего из них. Найдите эти числа.

Вариант 3

1. Решите уравнения: а)

б)

в) (5x-1)2-(3x+2)2+(x-1)(x+1)=x-4;

г)

2. При каких значениях С значения двухчленов С2+3,6С и С2-3,6С-8

а) равны; б) являются противоположными числами?

3. От вершины прямого угла по его сторонам одновременно начинают двигаться две материальные точки, скорости которых равны 5см/с и 12см/с. Через какое время расстояние между ними будет равно 52 см?

С-2. Решение квадратных уравнений.

Вариант 1

1. Решите квадратное уравнение x2-4x-5=0 методом выделения полного квадрата.
2. Решите уравнения по формуле корней квадратного уравнения: а) x2+5x-6=0; б) 2x2-7x+6=0.
3. Найдите корни уравнения6x(2x+1)=5x+1.
4. При каких значениях параметрах a уравнение ax2-12x+4+0 имеет один корень?

Вариант 2

1. Решите квадратное уравнение x2-5x+4=0 методом выделения полного квадрата

2. Решите уравнения по формуле корней квадратного уравнения

a)2x2 +5x+2=0;       б)  42x2+5x+4=0.

3. Найдите корни уравнения  2(x2-1)=3-x(2x+1).

4. При каких значениях а уравнения  x2+2(a-3)x+(a2-7a+12)=0  и x2+(a2-5a+6)x=0  равносильны?

Вариант 3

1. Решите квадратное уравнение 2x2+3x-5=0 методом выделения полного квадрата.

2. Решите квадратное уравнения  по формуле корней квадратного уравнения  относительно x:

а) x2-4           б)  

3. Найдите корни уравнен

4. При каких значениях параметра а уравнение

а)  имеет один действительный корень; б) не имеет действительных корней.

С-3. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета.

Вариант 1

1. Найдите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а)

б)  

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений;

а)

б)

в)

3. Определите знаки корней квадратных уравнений:

а)

б)  Ответ обоснуйте.

4. В уравнении  один из корней равен 12. Найдите другой корень и коэффициент p.

Вариант 2

1. Определите сумму и произведение корней следующих уравнений:

а)

б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

а)

б);

в).

3. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, имеющие корни:

а)-1 и 6;

б)1- и 1+.

4. Не вычисляя корней  и квадратного уравнения  , найти:

а)

б)

Вараинт3

1. По теореме Виета найдите корни уравнений :

а);

б)

в)

2. По теореме Виета найдите корни уравнений:

а);

б);

в)

3. Один из корней квадратного уравнения  на 2 больше другого.

Найдите с.

4. Известно, что  где  и - корни уравнения

Определите .

С-4.Решение биквадратных и дробно-рациональных уравнений.

Вариант 1

Решите уравнения:

а)

б)

в)

Вариант2

Решите уравнения:

а)

б)

в);

Вариант3

Решите уравнения:

а)

б) 

в)

C-5. Решение задач с помощью квадратных уравнений

Вариант 1

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза на 5 см больше одного катета и на 10 см  больше другого. Найдите гипотенузу.

2. Расстояние в 210 км катер проходит по течению реки на 4 ч быстрее, чем против течения. Определить скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч.

3. Составьте задачу, решение которой сводится к решению уравнения x(x-3)=180.

Вариант 2

1. Имеющиеся 323 кресла установили в актовом зале школы так, что число кресел в ряду оказалось на 2 меньше числа рядов. Сколько кресел в одном ряду?

2. Одна бригада затрачивает на выполнение некоторого задания на 6 ч больше, чем другая. За сколько часов может выполнить это задание каждая бригада, если известно, что при совместной работе им потребуется для этого 4ч.

3. Составьте задачу, решение которой сводится к решению уравнения   .

Вариант 3

1. Из прямоугольного листа картона размером 12х18 вырезали прямоугольное отверстие так, что осталась рамка одинаковой ширины. Определите ширину рамки, если известно, что площадь оставшейся рамки 72 см2.

2. Два слесаря за 2ч совместной работы выполнили 45% заказа. За сколько часов может выполнить заказ каждый слесарь, если одному из них требуется на 2ч больше чем другому.

3. Составьте задачу, решение которой сводится к решению уравнения.

С-6. Решение систем уравнений, содержащих уравнение второй степени.

Вариант 1

Решите системы уравнений:

а)    б)         в)

Вариант 2

Решите системы уравнений:

а) б) в)

Вариант3

Решите системы уравнений. Среди решений (х,у) найдите то, для которого сумма (х+у) максимальна. Вычислите значение этой суммы:

а) б) в)

Контрольная работа

Вариант 1

1. Решите уравнения:

а) x2-14x+48=0;    б)    в)x4-13x2+36=0.

2. Решите системы уравнений:

а)                              б)

3. Моторная лодка прошла 28км против течения реки, затратив на весь путь 3ч.

 Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна1км\ч.

Вариант 2

1. Решите уравнения:

а) б)      в)x4-29x2+100=0.

2. Решите системы уравнений:

а)                 б)

3. Из пункта А в пункт Б, удаленный на расстояние 100 км, отправился междугородний автобус. Из-за ненастной погоды он ехал со скоростью на 10км\ч меньшей, чем предполагалось по расписанию и потому прибыл в пункт Б с опозданием на 30 минут. С какой скоростью должен был ехать автобус по расписанию?

Вариант 3

1. Решите уравнения:

а) ;  б) ;

в) .

2. Решите системы уравнений:

а)       б)

3. Из пункта А в пункт Б, удалённый на расстояние 270 км, отправился автобус. Спустя 2 часа, из-за ненастной погоды он был задержан на 24 минуты, и чтобы приехать в Б по расписанию увеличил скорость на 5 км/ч. С какой скоростью ехал автобус первоначально?

 Система разноуровневых проверочных работ по теме «Квадратичная функция».

С-1.область определения и область значений функции.

Вариант 1.

1. f(х)=(x-5)(x+8)

Найдите:

а) f(0);  б)f(5);  в)f(-1).

2. f(x)=x2-1.

Найдите значение х, при котором f(x)=8.

3. Найдите область определения функции:

а)y=-6x+6;                                  в)

б)                                  г)    

Вариант  2

1. f(x)=(x-1)(x-5)

Сравните:

a)f(2)  и   f(3);

б)f(0)  и   f(-1).

2. Найдите   значение  x,  при   которых   f(x)=0,  если:

а)f(x)=2x +4;

б)f(x)=(2x+4)(x2+3).

3. Найдите   область   определения   функции:

a)y=;   б)y=+;   в)y= +

Вариант  3

1. Функция  задана следующими условиями :

Найдите:

а)f (- 4);  б)f ().

2. Найдите значения х, при которых f(x)=0,если

a) f(x)=4x(x 2 + 6) ;   б) f(x)=(x + 2) ;

3.Найдите область определения функции, заданной формулой:

a)y = + ; б)y = .

C-2. График функций. Свойства функций.

Вариант 1.

1. Принадлежит ли графику функции  y = - x2 + 4 точка :

а)А(-1;3) ; б)B(-2;8)?

2. Постройте график функции . При каких значениях x функция принимает положительные значения; отрицательные значения? Является ли эта функция возрастающей; убывающей?

3.Постройте график какой либо функции, областью определения которой является промежуток [-6;6].        

Вариант 2.

1. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой y=x2+x, точка:

а) А(0;0);  б) Б(-1;0)?

2. Постройте график функции и опишите её свойства; при каких значениях x функция принимают положительные и отрицательные значения; промежутки возрастания и убывания.

3. Постройте график какой либо функции, областью определения которой служит промежуток [-2;6), а областью значений - промежуток [-4;3].Опишите свойства этой функции.

Вариант 3.

1. Принадлежит ли графику функции, заданной формулой:

, точка:

а) А(0;-1);  б)Б()?

2. Постройте график функции

3. Постройте график какой-либо функции, областью определения которой служит промежуток [-6;6], а областью значений - промежуток [-4;4]. Опишите свойства этой функции.

С-3. Функция .

Вариант 1.

1.Функция задана формулой y = 0,5x2. Заполните таблицу:

   Отметьте на координатной плоскости точки, координаты которых занесены в таблицу. Постройте график функции. Укажите область определения и область значения функции.

2. Постройте в одной системе кординат графики функций:

  а) y = x2; б) y = -x2; в) ; г) y = -0,8x2;

   Каково взаимное расположение этих графиков?

3. Не выполняя построение, найдите координаты точек пересечения параболы y = 6x2 и прямой y = 5x +1.

Вариант 2.

1. Постройте график функции y=-0,5x2. Укажите область определения и область значения этой функции.

2. Постройте график функции

Опишите свойства этой функции.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций: y = 4x2 и y = 2 - 7x.

Вариант 3.

1. Постройте график функции , где и укажите ее наибольшее и наименьшее значения.
2. Постройте график функции:

   Опишите свойства этой функции.

3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:   y = 2x2 и y = -7x +4.

С-4. Функция y = ax2+bx+c. Построение графика квадратичной функции.

Вариант 1.

1. На рисунке построены графики следующих функций:

  y = x2 - 4x + 3; y = x2 + 4; y = (x - 4)2; y = (x + 4)2.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

2. Постройте график функции y = x2 - 4x + 3 и опишите ее свойства (по плану из учебника).

3. В каких координатных четвертях расположен график функции     y = 3(x - 1)2 + 4?

Вариант 2.

1. На рисунке построены графики функций:

   y = 0,5x2 + 2; y = -0,5x2 + 2; y = 0,5(x - 2)2; y = -0,5(x - 2)2.

Для каждого графика укажите соответствующую формулу.

2. Постройте график функции y = 2x2 + 5x - 12 и опишите ее свойства.

3. В каких координатных четвертях расположен график функции     y = x2 - 3x - 10?

Вариант 3.

1. График функции y = f(x) может быть получен с помощью параллельного переноса вдоль осей параболы y = x2 на 3 единицы вправо и на 5 единиц вниз. Задайте эту функцию формулой.

2. Постройте график функции y = x2 - 8x + 12 и опишите ее свойства.

3. По графику функции y = ax2 + bx + c определите знаки коэффициентов a, b и с:

Контрольная работа.

Вариант 1.

1. Функция задана формулой f(x) = x2 - 1. Найдите значения х, при которых f(x)=0, f(x)=4.
2. Постройте график квадратичной функции y = x2 - 2x - 8 и опишите ее свойства.
3. Не выполняя построения графиков, определите, имеют ли параболы y = x2 - 8x + 9 и y = -x2 + 6x - 3 общие точки. Проверьте построением графиков обеих функций, верно ли решена задаче.

Вариант 2.

1. Докажите, что 2 не принадлежит области значений функции, заданной формулой .
2. Постройте график квадратичной функции y = x2 - x - 12  и опишите ее свойства.
3. Напишите уравнение параболы проходящей через точку (-1;2) и ее вершина лежит в точке (-3;1).

Вариант 3.

1. Докажите, что число 3 не принадлежит области значений функции, заданной формулой:  .
2. Постройте график квадратичной функции y = 2x2 + 5x - 12 и опишите ее свойства.
3. Найдите значения a и b при которых график функции

    y = ax2 + bx + 2 проходит через точку A(1;-1) и точку B(3;5).

Типовой расчет по теме «Векторы».

(геометрия, 9 класс)

Задание.

Известны координаты точек А, B, C, D.

1. Найдите координаты векторов , .
2. Найдите их длину.
3. Постройте данные векторы на координатной плоскости и постройте вектор их суммы .
4. Найдите координаты вектора суммы данных векторов и его длину.
5. Постройте данные векторы на координатной плоскости и постройте вектор их разности .
6. Найдите координаты вектора разности  и его длину.
7. Найдите координаты вектора  и его длину.
8. Найдите скалярное произведение векторов  и .

Данные к типовому расчету.

1о. Диагонали прямоугольника CDEF пересекаются в точке О. Найдите угол между диагоналями, если ∠ СDO = 400.

2о. Найдите боковую сторону равнобедренной трапеции, основания которой равны 12см и 6см, а один из углов равен 600.

3о. На продолжении диагонали АС прямоугольника ABCD отложены равные отрезки АМ и СN. Докажите: а) что треугольники MAD и NCB равны; б) что четырехугольник MBND параллелограмм.

1о. Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Найдите углы треугольника АОВ, если между диагоналями, если ∠ ВСD = 750.

2о. Найдите меньшую боковую сторону прямоугольной трапеции, основания которой равны 10см и 6см, а один из углов равен 450.

3о. На  диагонали NK прямоугольника MNPK отложены равные отрезки NА и KE. Докажите: а) что треугольники ANP и EKM равны; б) что четырехугольник APEM параллелограмм.

1о. Смежные стороны параллелограмма равны 12см и 20см, а один из его углов равен 300. Найдите площадь параллелограмма.

2о. Найдите периметр прямоугольника, если его диагональ равна 15см, а одна из сторон – 9см.

3о. Площадь прямоугольной трапеции равна 120см2, а ее высота равна 8см. Найти все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6см.    

1о. Высота BD треугольника АВС делит основание АС на отрезки: AD = 8см, DC = 12см, а угол А при основании равен 450. Найдите площадь этого треугольника.

2о. Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его катеты равны 12см и 16см.

3о. Найти площадь  трапеции CDEF c основаниями CF и DE, если CD = 12см, DE = 14cм, CF = 30см,  ∠ D = 1500.

1о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС делит гипотенузу АВ на части AD = 16см и BD = 9см. Докажите, что ∆ ACD ∞ ∆ CBD.

2о. АВ || CD. Найдите АВ, если OD = 15см, OB = 9см, CD = 25см.

3. Найти отношение площадей треугольников АВС и KMN, если АВ = 8см, ВС = 12см, АС = 16см, КМ = 10см, MN = 15см, NK = 20cм.

1о. Высота CD прямоугольного треугольника АВС отсекает от  гипотенузы АВ, равной 9см, отрезок  AD = 4см. Докажите, что ∆ AВC ∞ ∆ АCD.

2о. MN || DF. Найдите MN, если DM = 6см, EM = 8см, DF = 21см.

3. Даны стороны треугольников АВС и DEF, если АВ = 12см, ВС = 15см, АС = 21см, DE = 16см, EF = 20см, DF = 28cм. Найти отношение площадей этих треугольников.

1о. Площадь ромба равна 48см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного ромба.

2. В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 4см, боковая сторона равна 6см, а один из углов равен 1200. Найти площадь трапеции.

3. В прямоугольном треугольнике АВС ∠А = 900, АВ = 20см, высота AD = 12см. Найти АС и cos C.

1о. Площадь прямоугольника равна 36см2. Найти площадь четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон данного прямоугольника.

2. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно 3см, большая боковая сторона равна 4см, а один из углов равен 1500. Найти площадь трапеции.

3. Высота BD прямоугольного треугольника АВС равна 24см и отсекает от гипотенузы АС отрезок DC, равный 18см.  Найти АВ и cos А.

1о. Диагонали ромба АВСD пересекаются в точке О. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром А и радиусом, равным ОС.

2о. Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки, равные 5см и 13см. Найти площадь этого треугольника.

3о. Основание равнобедренного треугольника равно 18см, а боковая сторона равна 15см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

1о. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС проведена медиана BD. Докажите, что прямая BD касается окружности с центром С и радиусом, равным AD.

2о. Меньший из отрезков, на которые центр описанной около равнобедренного треугольника окружности делит его высоту , равен 8см, а основание треугольника равно 12см. Найти площадь этого треугольника.

3о. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равно 9см, а само основание равно 24см. Найти радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

1. Начертите два неколлинеарных вектора  так, что | | = 3cм, | | = 2см. Постройте вектор

2. Точка К делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор  через векторы  и , где А – произвольная точка.

3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, меньший из которых равен 2см. Найдите большее основание трапеции, если ее средняя линия равна 8см.

1. Начертите два неколлинеарных вектора  так, что | | = 3cм, | | = 3м. Постройте вектор

2.Точка А делит  отрезок EF в отношении ЕА : AF = 2 : 5. выразите   вектор   через  векторы  и , где К– произвольная точка.

 3. Высота, проведенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит среднюю линию  на  отрезки, равные 2см и 6см. Найдите  основания  трапеции.