Исследовательские работы учащихся
Исследовательская работа способствует глубокому и прочному усвоению знаний по учебным предметам, вырабатывает умения и навыки самостоятельной работы учащихся, формирует умения применять теоретические знания в решении конкретных практических задач, развивает личностные качества ученика, влияет на выбор будущей профессии.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 «Альтернативный способ решения экономических задач по математике» | 529.64 КБ |
| "Метод математической индукции" | 683.41 КБ |
| Буклет "Метод математической индукции" | 1.39 МБ |
 Презентация "Метод математической индукции" | 797.29 КБ |
| "Лабиринты. Поиск выхода" | 1.57 МБ |
| "Математика на шахматной доске" | 1.08 МБ |
| "Решение задач координатным методом" | 746.54 КБ |
| "Подростки и социальные сети" | 733.78 КБ |
| "Рукотворные мерки" | 774.6 КБ |
| "Симметрия вокруг нас" | 1.02 МБ |
| "Нестандартные приёмы устного счёта" | 454.18 КБ |
| Презентация "Нестандартные приёмы устного счёта" | 561.88 КБ |
| Презентация "Графы вокруг нас" | 450.13 КБ |
| "Необычные способы умножения" | 568.9 КБ |
| Математическое моделирование экономических задач на оптимизацию | 1.08 МБ |
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Гипотеза: я предполагаю, что метод математической индукции можно использовать при решении различных задач. Цель работы: познакомиться с методом математической индукции, систематизировать знания по данной теме и применить их при решении математических задач и доказательстве теорем, обосновать и наглядно показать практическое значение метода математической индукции как необходимого фактора для решения задач. Задачи работы: проанализировать литературу по данной теме; освоить разные методы и методики работы; обобщить и систематизировать знания по данной теме; совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме; развивать творческий подход к решению задач; прорешать задачи различных видов, применяя данный метод; предоставить выводы по данной теме; сформировать представления о математики как части общечеловеческой культуры, понимать значимость математики.
Основа математического исследования Дедуктивный метод Дедуктивный метод – это рассуждение, исходным моментом которого является общее утверждение, а заключительным – частный результат. Индуктивный метод Индуктивный метод – это рассуждение, при котором, опираясь на ряд частных результатов приходят к одному общему выводу.
Бернулли Паскаль Декарт
Базис индукции . Проверяют справедливость утверждения для наименьшего из натуральных чисел, при котором утверждение имеет смысл. Индукционное предположение . Предполагаем, что утверж дение верно для некоторого значения k . Индукционный переход . Доказываем, что утверждение справедливо для k+1. Вывод . Если такое доказательство удалось довести до конца, то, на основе принципа математической индукции можно утверждать, что утверждение верно для любого натурального числа n . Этапы решения задач методом математической индукции
Применение метода математической индукции в задачах на суммирование Доказать формулу 1³ + 2³ + 3³ + …. n ³ = 1) При n =1 обе части равенства обращаются в единицу. Следовательно, первое условие принципа математической индукции выполнено . 2) Предположим , что формула верна при n = k , т.е. 3) Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Тогда получим = = = = = 4) Это утверждение справедливо при любом натуральном значении n . .
Доказать, что (11 n +2 +12 2 n +1 ) кратно 133. Доказательство: 1) При n =1 . 11 3 +12 3 =(11+12)(11 3 -132+12 3 )=23· 133. Так как (23·133) кратно 133, то и (11 3 +12 3 ) кратно 133. 2) Пусть при n = k (11 k +2 +12 2 k +1 ) кратно 133. 3) При n = k +1. До кажем, что (11 k +3 +12 2 k +3 ) кратно 133. 11 k +3 +12 2 k +3 =11·11 k +2 +12 2 ·12 2 k +1 =11(11 k +2 +12 2 k +1 )+133·12 2 k +1 В данном выражении второе слагаемое кратно 133, а первое слагаемое кратно 133 из второго пункта. Тогда по свойству делимости полученная сумма кратна 133. 4) Значит (11 n +2 +12 2 n +1 ) кратно 133, что и требовалось доказать. Применение метода математической индукции в задачах на делимость
Применение метода математической индукции для доказательства неравенств Доказать, что при n ≥2 справедливо неравенство Доказательство: При n=2. Это неравенство верно, так как правая часть явно больше 2, а левая меньше 2. 2) Пусть при n=k данное неравенство верно, т.е. 3) Докажем что при n = k +1 неравенство верно. Рассмотрим разность правой и левой частей неравенства.
Полученное выражение положительно, значит неравенство верно. 4) Делаем вывод, что неравенство верно при любом натуральном значении n . Что и требовалось доказать
Применение метода математической индукции при решении олимпиадных задач Докажите тождество Cos 2 a · Cos4a · … ·Cos2ⁿa = Доказательство: 1) Если n=1, то = = = = Cos2a. Верно. 2) Пусть дл n = k данное тождество верно, т.е. Cos 2 a · Cos4a · … · Cos a 3) Докажем, что при n = k +1 данное тождество верно. Cos 2 a · Cos4a · … · Cos a · Cos a = · Cos a = = Cos a = = 4) Тождество верно для любого натурального значения переменной n .
я узнала, чтобы решать задачи методом математической индукции нужно знать и понимать основной принцип математической индукции; достоинством метода математической индукции является его универсальность, так как с помощью этого метода можно решить многие задачи; обобщив и систематизировав знания по математической индукции, я убедилась в необходимости знаний по теме «Метод математической индукции». Кроме того эти знания повышают интерес к математике, как к науке; так же в ходе работы приобрела навыки решения задач по использованию метода математической индукции. Считаю, что эти навыки помогут мне в будущем. Заключение
Баранова И.В., Ляпин С.Е. Задачи на доказательство по алгебре, редактор Барковский И.В. Техн . Редактор Кирнарская А.А. Корректоры: Морозов А.А. и Дешалыт Н.Г. Уч . изд. л. Типография №3 7,67. 1954.-159с. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ, 10 класс: Учеб. пособие для учащихся шк . и классов с углуб . изуч . математики – 4-е изд. М.: Просвещение, 1995.-288 с.: ил. - ISBN 5-09-006565-9. Гайштут А.Г., Ушаков Р.П. Сборник задач по математике с примерами решений: Для учащихся общеобразов . шк . лицеев и гимназий – К.: А.С.К., 2002.-592 с.: ил.; ISBN 966-539-343- X . Шарыгин И.Ф Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 10 кл . сред. шк .- М.: Просвещение, 1989.-252 с.: ил. ISBN 5-09-001288-1. Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб. Пособие для втузов / Под ред. Акад. А.Н. Тихонова.-М .: Высш . Шк ., 1989.-479с.: ил. ISBN 5-06-000048-6. Список литературы
Спасибо за внимание
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Задачи : узнать об упрощённых, нестандартных способах устных вычислений при умножении натуральных чисел; рассмотреть и показать на примерах применение нестандартных способов при умножении и делении чисел. Цель исследования : изучить методы и приёмы быстрого счёта и доказать необходимость умения быстрого счёта и эффективного использования этих приёмов.
Объект исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт на уроках предметов естественно – математического цикла. Предмет исследования – нестандартные приёмы и навыки устного счёта при умножении натуральных чисел. Методы исследования: сбор информации, систематизация и обобщение.
Как люди научились считать
Изменение счёта при появлении цивилизации
Первая литература по способам счёта
Люди – феномен быстрого счёта Андре Ампер и Карл Гаусс
Люди – феномен быстрого счёта Известными российскими « суперсчётчиками » являются Арон Чиквашвили, Давид Гольдштейн, Юрий Горный
Таблица умножения на «пальцах»
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого не превышает 10 27 х 11= 2 (2+7) 7 = 297 62 х 11= 6 (6+2) 2 = 682 Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а первую и последнюю (третью) цифры оставить без изменения.
Умножение на 11 числа, сумма цифр которого больше 10 86 х 11= 8 (8+6) 6 = 8 (14) 6= =(8+1) 46 = 946 Надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.
Умножение на одиннадцать (по Трахтенбергу ) Разберём на примере: 633 умножить на 11. Ответ пишется под 633 по одной цифре справа налево, как указано в правилах. Первое правило. Напишите последнюю цифру числа 633 в качестве правой цифры результата 633*11 3 Второе правило. Каждая последующая цифра числа 633 складывается со своим правым соседом и записывается в результат.3+3 будет 6. Перед тройкой записываем результат 6. 633*11 63 Применим правило еще раз: 6+3 будет 9. Записываем и эту цифру в результате: 633*11 963 Третье правило. Первая цифра числа 633, то есть 6, становится левой цифрой результата: 633*11 6963 Ответ: 6963.
Умножение на 22,33,…,99 Чтобы двузначное число умножить на 22,33,…, 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 33 = 3 х 11; 44 = 4 х 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. 18 х 44 = 18 х 4 х 11 = 72 х 11 = 792 42 х 22 = 42 х 2 х 11 = 84 х 11 = 924
Умножение на число 111, 1111 и т. д., зная правила умножения двузначного числа на число 11 Если сумма цифр первого множителя меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа на 2, 3 и т.д. шага, сложить цифры и записать соответствующее количество раз их сумму между раздвинутыми цифрами. Количество шагов всегда меньше количества единиц на 1. 24х111=2(2+4) (2+4)4=2664 (количество шагов - 2) 24х1111=2(2+4)(2+4)(2+4)4=26664 (количество шагов - 3)
Заключение Быстрый счёт это уже не тайна за семью печатями, а научно разработанная система. Раз есть система, значит её можно изучать, ей можно следовать, ею можно овладевать.
Список использованной литературы « Устный счёт – гимнастика ума» Г.А.Филиппов «Алгоритмы ускоренных вычислений» Л.В. Бикташева «Устный счет». Э.Л.Струнников «Математическая шкатулка» Ф.Ф.Нагибин Е.С.Канин «Мир чисел» Г.И. Зубелевич В.И.Ефимов «Задачи для математического кружка» Е.Г.Козлова «Развитие вычислительной культуры учащихся» НЛ. Мельникова Библиотечка «Первое сентября»
Спасибо за внимание!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель: ознакомится с понятием графы и научиться применять их при решении различных задач. Задачи: 1)Расширить знания геометрии ( способы построе ния графов). 2)Выделить типы задач, решение которых требует применения теории графов.
«Графы» имеют корень греческого слова «графо», что значит «пишу». Тот же корень в словах «график», «биография», «голография». Первая работа по теории графов принадлежит Леонарду Эйлеру. Она появилась в 1736 году в публикациях Петербургской Академии Наук. Что такое граф?
Точки A,B,C,D называют вершинами графа, а линии, которые соединяют вершины – ребра графа. На рисунке из вершин B,C,D выходят по 3 ребра, а из вершины A – 5 ребер. Вершины, из которых выходит нечетное число ребер, называют нечетными вершинами, а вершины, из которых выходит четное количество ребер, - четными.
Свойства графа 1. Если все вершины графа четные, то можно одним росчерком ( т.е. не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же линии ) начертить граф. При этом движение можно начать с любой вершины и окончить в той же вершине.
2. Граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним росчерком. Движение нужно начинать от любой нечетной вершины, а заканчивать на другой нечетной вершине.
3. Граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить одним росчерком. 4. Число нечетных вершин графа всегда четное. 5. Если в графе имеются нечетные вершины, то наименьшее число росчерков, которыми можно нарисовать граф будет равно половине числа нечетных вершин этого графа.
Задачи на вычерчивание фигур одним росчерком
Решение логических задач ЗАДАЧА №1 В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Андрей, Борис, Виктор, Галина, Дмитрий и Елена. Первенство проводят по круговой системе – каждый из участников играет с каждым из остальных один раз. К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Андрей сыграл с Борисом, Галиной, Еленой; Борис - с Андреем, Галиной; Виктор – с Галиной, Дмитрием, Еленой; Галина – с Андреем, Виктором и Борисом. Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько ещё осталось?
РЕШЕНИЕ: Построим граф как показано на рисунке. Ответ : сыграно 7 игр. Андрей Елена Борис Виктор Галина Дмитрий 1 2 3 4 5 6 7
Ответ : Осталось сыграть 8 игр Андрей Елена Борис Виктор Галина Дмитрий 4 3 2 1 5 6 7 8
ЗАДАЧА № 2 Из 60 школьников 26 собирают значки, 37 собирают марки, а 20 – и значки и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекается коллекционированием? РЕШЕНИЕ: марки значки марки Марки и значки 37 – 20 = 17 учащихся собирают только марки 26 – 20 = 6 учащихся собирают только значки 17 + 6 = 23 учащихся собирают марки или значки 23 + 20 = 43 учащихся собирают либо марки, либо значки, либо значки и марки 60 – 43 = 17 учащихся не зани маются коллекционированием
ЗАДАЧА №3 Во дворе, который окружен высоким забором, находятся три домика: красный, желтый и синий. В заборе есть три калитки: красная, желтая и синяя. От красного домика проведите дорожку к красной калитке, от желтого домика – к желтой калитке, от синего – к синей так, чтобы эти дорожки не пересекались. РЕШЕНИЕ: Решение задачи приведено на рисунке.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Леонард Эйлер был основоположником теории графов, решил задачи с применением теории графов. Теория графов находит применение в различных областях современной математики и её многочисленных приложений, в особенности это относится к экономике. Решение многих математических задач упрощается, если удается использовать графы. Представление данных в виде графа придает им наглядность.
Список литературы 1. Альхова З.Н., Макеева А.В. «Внеклассная работа по математике». – Саратов: «Лицей», 2001 год. 2. Журнал «Математика в школе». Приложение «Первое сентября» № 13, 2008г. 3. Перельман Я.И. «Занимательные задачи и опыты».- Москва: «Просвещение», 2000 год.
Спасибо за внимание!