Работы учащихся
Презентации учащихся 8в класса МАОУ "Гимназия №87" города Саратова, 2012-2013 уч. год
Презентации учащихся 8б и 9в класса МАОУ "Гимназия №87" города Саратова, 2013-2014 уч. год
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
2. "Золотое сечение" в живописи 3. «Золотая спираль» в живописи 4. Геометризм, абстракционизм и кубизм 5. Связь геометрии и живописи в знаменитых картинах 6. Геометрическая живопись – картины из прямых линий. 7. Оптическое искусство Оп-арт 8. Геометрические абстракции 9. Модернизм 10 . Заключение 1. Введение Содержание: Цель работы: выявить связь между математикой и живописью.
Л.Б.Альберти Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но, прежде всего я желаю, чтобы он узнал геометрию.
Золотое сечение Золотое сечение – соотношения форм по геометрическому строению
Золотое сечение в картине И. И. Шишкина "Сосновая роща" На этой знаменитой картине И. И. Шишкина с очевидностью просматриваются мотивы золотого сечения. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны - освещенный солнцем пригорок. Он делит по золотому сечению правую часть картины по горизонтали.
Золотое сечение в картине Леонардо да Винчи "Джоконда" Портрет Моны Лизы привлекает тем, что композиция рисунка построена на "золотых треугольниках" (точнее на треугольниках, являющихся кусками правильного звездчатого пятиугольника).
Золотая спираль
На подготовительном эскизе Рафаэля проведены красные линии, идущие от смыслового центра композиции - точки, где пальцы воина сомкнулись вдоль фигур ребенка, женщины, прижимающей его к себе, воина и затем вдоль фигур такой же группы в правой части эскиза. Если естественным образом соединить эти куски кривым пунктиром, то с очень большой точностью получается золотая спираль! Золотая спираль в картине Рафаэля «Избиение младенцев»
Геометризм , абстракционизм, кубизм
Геометризм , абстракционизм и кубизм – это такие направления в живописи, которые сводились к изображению геометрических фигур и всевозможных линий. Давайте познакомимся с творчеством некоторых представителей данного течения в живописи. Это Казимир Малевич и Василий Кандинский.
Казимир Малевич (1878 – 1935) Знаменитые картины: «Чёрный квадрат» «Красный квадрат» «Черный круг»
Василий Кандинский (1866 – 1944) Знаменитые картины «Колебание» «Композиция»
Также предлагаю рассмотреть тесную связь геометрии и живописи в знаменитых картинах: " Тайная вечеря" Леонардо да Винчи, "Троица" Андрея Рублёва и "Распятие" Сальвадор Дали
"Тайная вечеря" Леонардо да Винчи (1495) Композиционное развитие здесь базируется на зеркальном повторе правой и левой частей. Следовательно, композиционный ритм основан на симметрии с осью r (рисунок ниже). Композиционный центр, лик Христа. Более того, положение композиционного центра акцентируется особой точкой R на оси r.
" Троица" Андрея Рублёва. Положив в основу своей композиции круг, иначе говоря, геометрическую фигуру, Рублев тем самым подчинил композицию плоскости иконной доски. Хотя боковые ангелы сидят перед трапезой, а средний позади нее, все три фигуры кажутся расположенными в пределах одной пространственной зоны. Эта зона минимальна по своей глубине, и глубина ее находится в строгом соответствии с высотой и шириной иконной доски. Из-за этого рождается та законченная гармония, которая делает рублевскую икону столь совершенным произведением искусства. Если бы фигуры были более объемными, а пространство более глубоким, то гармония оказалась бы тотчас же нарушенной.
Сальвадор Дали "Распятие" (1954) Сальвадор Дали (1904-1989) - яркий и парадоксальный испанский художник использовал математическую идею в своей картине. На картине "Распятие" (1954) изображен гиперкуб.
Давайте рассмотрим творчество других художников, которые также имеют связь с геометрической живописью.
Геометрическая живопись – картины из прямых линий. Картины японского художника Tadaomi Shibuya
Виктор Васарели (1908-1997) - художник, родившийся в Венгрии, известен как практик направления оптического искусства Оп-арт ( Op Art ). Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.
Пит Мондриан (1872-1944) - голландский художник, известный своими геометрическими абстракциями; несколько его работ изображают цветные блоки, разделенные черными линиями.
Коломан Мозер (1868-1918) - художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма.
Заключение Математическое изобразительное искусство процветает сегодня. Художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях. Для многих мир математики – это только задачи, формулы, треугольники и т.д.(скучная и сухая наука). Но для некоторых этот мир кажется красочным, ярким, прекрасным и удивительным, поэтому им удалось самим удивить мир людей и показать красивое там, где многие этого не видят . Спасибо за внимание!
Литература 1. http://ru.wikipedia.org 2. Казимир Малевич – книга «Бог не скинут» 3. Василий Кандинский – книга «Точка и линия на плоскости» 4. Шевелер И.Ш., Марутаев М.А., Шмелёв И.П. «Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии»; 5. Ковалёв Ф.В. «Золотое сечение в живописи»; 6. И.Ш. Шевелёв . Геометрическая гармония; 7. Баткин Л.М. «Леонардо да Винчи и особенности ренессансного творческого мышления»; 8. Алпатов М.В. « Андрей Рублёв»; 9. Большая советская энциклопедия; 10. Тайная жизнь Сальвадора Дали, написанная им самим (1942).
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Основные понятия Немного из истории квадратных уравнений
Что такое квадратное уравнение? Квадратное уравнение – это уравнение вида ах ² + b х+с=0 , где коэффициенты а, b ,с – любые действительные числа, но а≠0. - Каждый коэффициент имеет свое название: а - первый или старший коэффициент; b - второй коэффициент или коэффициент при х; с - свободный член.
Какими бывают квадратные уравнения? Квадратное уравнение бывает: Приведенное – уравнение, старший коэффициент которого равен 1. Неприведенное – уравнение, старший коэффициент которого отличен от 1. Полное – уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от 0. Неполное – уравнение, у которого коэффициенты либо b =0, либо с=0 ( а может быть так, что и b =0, и с=0) . х ² +3х-4=0 – уравнение приведенное, т.к. а=1. 2х ² -5х+3=0 – уравнение неприведенное, т.к. а ≠1. х ² +4х-3=0 – уравнение полное, т.к. b≠0 и с ≠ 0. 2х ² -7х=0 – уравнение неполное, т.к. с=0. х ² -16=0 – уравнение неполное, т.к. b =0. 5х ² =0 – уравнение неполное, т.к. с=0 и b =0.
Корень квадратного уравнения ах ² + b х+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах ² + b х+с обращается в 0. Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Немного из истории квадратных уравнений…
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени ёщё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняне (около 2 тыс.лет до н.э.).Об этом свидетельствует найденные клинописные тексты задач с решениями в виде рецептов.
Некоторые виды квадратных уравнений, сводя их решение к геометрическим построениям, могли решать древнегреческие математики Приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии дает Диофант Александрийский (111 в.). Способ решения полных квадратных уравнений Диофант изложил в книгах «Арифметика», которые не сохранились. Диофант Александрийский
Правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду ах ² + b х = с, где а>0, дал индийский ученый Брахмагупта. Брахмагупта
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х ² + b х=с, было сформулировано немецким математиком М.Штифелем. Выводом формулы решения квадратных уравнений общего вида занимался Виет. Однако свое утверждение он высказывал лишь для положительных чисел. М.Штифель Франсуа Виет
После трудов нидерландского математика А.Жирара, а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнении принял современный вид. А.Жирар Рене Декарт Исаак Ньютон
В своей работе я представляю вам различные способы решения квадратных уравнений.
Выберете способ для решения квадратного уравнения: Разложение левой части на множители. Метод выделения полного квадрата. Формулы квадратного уравнения. Теорема Виета. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Решение с помощью циркуля и линейки. Способ «переброски». Графический способ. Список литературы
х ² – 4х+3=0. Разложим левую часть уравнения на множители (предварительно представив слагаемое – 4х в виде –х – 3х). Для разложения левой части на множители будем использовать способ группировки. Получаем: х ² -х-3х+3=0 (х ² -х)+(-3х+3)=0 х(х-1)-3(х-1)=0 (х-1)(х-3)=0 х-1=0 х-3=0 х=1 х=3 Ответ: { 1; 3 } В меню Разложение левой части на множители
Решим уравнение с помощью метода выделения полного квадрата (предварительно представив свободны член 3, как 4-1). Получаем: х ² -4х+4-1=0 (х ² -2·х·2+2 ² )-1=0 Свернем выражение (х ² -2·х·2+2 ² ) по формуле квадрат разности. (х-2) ² -1 ² =0 Теперь разложим левую часть уравнения на множители по формуле разность квадратов. (х-2-1)(х-2+1)=0 (х-3)(х-1)=0 х-3=0 х-1=0 х=3 х=1 В меню Метод выделения полного квадрата х ² – 4х+3=0. Ответ: { 1; 3 }
Для решения квадратных уравнений по формуле введем некоторые понятия: Дискриминант- выражение b² -4ас, обозначенное буквой D . Если D <0, то квадратное уравнение ах ² + b х+с=0 не имеет корней. Если D =0, то квадратное уравнение ах ² + b х+с=0 имеет 1 корень, который находиться по формуле – b/2 а. Если D >0, то квадратное уравнение ах2+ b х+с=0 имеет 2 корня, которые находятся по формулам: х= - b-√D / 2a х= - b +√ D /2a х ² -4х+3=0 Вычислим дискриминант. D= - b² -4ас=-(-4) ² - 4·1·3=16-12=4 Т.к. D> 0 , значит уравнение имеет 2 корня. Рассчитываем корни уравнения по формулам и получаем : х=-(-4)+√4/2·1 х=-(-4)-√4/2·1 х=4+2/2 х=4-2/2 х=3 х=1 Ответ: { 1; 3 } В меню Формулы корней квадратного уравнения
Теорема Виета звучит так: Если х 1 и х 2 –корни квадратного уравнения ах ² + b х+с=0, то сумма корней уравнения равна – b /а, и произведение корней равно с/а. Франсуа Виет -выдающийся французский математик XVI века, положивший начало алгебре как науке. Решим уравнение х ² -4х+3=0. Согласно теореме Виета, следует то,что: х+х= - b /а=4/1=4 х·х= с/а=3/1=3 Мы знаем, что парой чисел, которые в сумме дают число 4, а в произведении 3, являются числа 1 и 3. Ответ: { 1; 3 } В меню Теорема Виета
Свойства коэффициентов квадратного уравнения: Если сумма коэффициентов равна 0, то х = 1, х = с/а. Если а + с = b , то х = – 1, х = – с/а. Решим уравнение х ² -4х+3=0. a+b+c=0 ( т.к. 1+(-4)+3=0) Если сумма коэффициентов равна 0, то х=1 и х=с/а. х=1 х=3/1 х=1 х=3 Ответ: { 1; 3 } В меню Свойства коэффициентов квадратного уравнения
Решим уравнение х ² -4х+3=0 Чтобы решить это уравнение с помощью циркуля и линейки построим точки S (-b/2a ; a+c /2 а) и А (0;1). Точка S - центр окружности. Рассчитаем координаты точки S . -b/2a=-(-4)/2·1=2 a+c /2a=1+3 /2=2 Получаем точку S(2 ;2). Проведем окружность радиуса SA .Ответом уравнения будут абсциссы точек пересечения с осью Ох. S х у (1;0) (3;0) Ответ: { 1; 3 } A Координаты точек пересечения: В меню Решение с помощью циркуля и линейки
Решим уравнение х ² -4х+3=0 Преобразуем уравнение к виду х ² =4х-3 Тогда: у=х ² у=4х-3 Дадим описание заданным функциям: 1)у=х ² -квадратичная функция; график-парабола; ветви направлены вверх; (0;0)- вершина параболы; Оу - ось симметрии. 2)у=4х-3 – линейная функция; график- прямая; k=4 , k>0 ,значит функция возрастает. х 0 1 у -3 1 Построим в одной системе координат графики функций у=х ² и у=4х-3. Ответом уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков. В меню Графический способ
у 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 1 2 3 4 5 6 х -2 -3 -4 Координаты точек пересечения: (1;1) (3;9) Ответ: { 1; 3 } Графический способ
Решим уравнение 2х ² -11х+5=0. При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Умножим коэффициент а на свободны член и получим: х ² -11х+10=0 По теореме Виета следует, что: х+х=- b /а=-(-11)/1=11 х*х=с/а=10/1=10 Пара чисел, которая в сумме дает число 11, а в произведении 10, являются цифры 1 и 10. Теперь эту пару чисел разделим на а и получим: 10/2=5 1/2=0,5 Ответ: х=5, х=0,5. В меню Способ «переброски».
Список использованной литературы: Алгебра 8 класс А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев. Алгебра 8 класс Ю.Н.Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков http://www.bestreferat.ru/referat-176467.html
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель работы: Определить какие построения можно выполнить с помощью циркуля и линейки!?
Задачи на построение с помощью циркуля и линейки (без делений) занимали важное место в древнегреческой математике.
Построение с помощью циркуля и линейки - раздел евклидовой геометрии, известной ещё с античных времён. В задачах на построение циркуль и линейка считаются идеальными инструментами.
Евклидова геометрия Евклидова геометрия (или элементарная геометрия) — геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (III век до н. э.).
Что можно сделать с помощью линейки? Линейка – инструмент, позволяющий: провести произвольную прямую; провести прямую (произвольную), проходящую через данную точку; провести прямую, проходящую через две данные точки; построить произвольный луч; построить произвольный луч с заданным началом; построить луч с заданным началом, проходящий через заданную точку; построить отрезок с заданными концами.
Что можно сделать с помощью циркуля? Циркуль – инструмент, позволяющий: построить произвольную окружность; построить окружность с заданным радиусом; построить окружность с заданным центром и радиусом; отложить данный отрезок на прямой от данной точки.
Но с помощью циркуля и линейки можно сделать гораздо более сложные построения
В задачах на построение весьма важно чётко сформулировать «правила игры», т.е. определить, какие действия можно выполнять с помощью циркуля и линейки.
Правила простые -Линейка считается односторонней, делений на ней нет и наносить их нельзя; с её помощью можно провести прямую через две заданные точки, и это всё; -Циркулем по заданной точке О и отрезку АВ разрешается построить окружность с центром О и радиусом, равным АВ;
-точки пересечения построенных или заданных линий считаются построенными; -разрешается выбирать произвольную точку на плоскости, на или вне построенной прямой или окружности. (Впрочем, такие произвольные точки всегда можно построить.)
«На данном отрезке построить равносторонний треугольник» А В С 1)Используя линейку, начертить отрезок любой длины. Это будет одна из сторон треугольника. 2)Используя циркуль, нарисовать окружность с центром в точке В и радиусом АВ. 3)Снова используя циркуль, нарисовать окружность с центром в точке А и рудиусом АВ. 4)Сейчас мы можем увидеть как окружности пересекаются в двух точках. 5)Выбрать одну из этих точек и назвать её точкой С. 6) Соединить точки А и С, В и С. Равносторонний треугольник готов!!!
А В С 1)Используя линейку, начертить отрезок любой длины. Это будет одна из сторон треугольника. 2)Используя циркуль, нарисовать окружность с центром в точке В и радиусом АВ. 3)Снова используя циркуль, нарисовать окружность с центром в точке А и рудиусом АВ. 4)Сейчас мы можем увидеть как окружности пересекаются в двух точках 5)Провести через эти точки прямую СК. 6) Точка Р, пересечения СК и АВ, и будет серединой отрезка АВ. «Разделить отрезок пополам» К Р
«Разделить угол пополам» 1)Начертим развёрнутый угол. 180 ° О 2) Отложим от точки О с помощью циркуля одинаковое расстояние. K M 3)Теперь поставим ножку циркуля в точку М и через точку К с помощью циркуля проведём окружность. Затем в точку К поставим ножку циркуля, через точку М проведём окружность. Обозначим точку пересечения этих окружностей. N 4)Проведём линию ON . 5)Докажем, что ▲ KNO= ▲ MNO . ON- общая KO=OM ( по построению) KN=NM (по построению) ▲ KNO= ▲ MNO (по трём сторонам и углу между ними) KN=NM «Провести перпендикуляр» Также можно: «Построить угол равный данному» «Построить биссектрису угла» «Разделить угол пополам» Евклидова геометрия была основой и началом развития геометрии. Она просуществовала в таком виде с III века до н. э. и до XIX века. Лишь в XIX веке благодаря в первую очередь трудам выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Геометрия приобрела множество других направлений и с этого периода начала быстро развиваться. Но эти направления в данной работе я не рассматриваю. Конец Список использованной литературы Энциклопедия для детей. [ Том 11. ] Математика. – 2-е изд., перераб. / ред. Коллегия: М. Аксёнова, В Володин, М. Самсонов. – М.: Мир энциклопедий Аванта+, Астрель, 2007. Энциклопедический словарь юного математика http: // ru.wikipedia.org/wiki/ Евклидова_геометрия (определение что такое евклидова геометрия, деление отрезка пополам) http://festival.1september.ru/articles/509961/
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Математика как наука Математика— это наука о структурах, порядке и отношениях, которая исторически сложилась на основе операций подсчёта, измерения и описания форм реальных объектов. Математика не относится к естественным наукам, но широко используется в них как для точной формулировки их содержания, так и для получения новых результатов. Евклид. Деталь «Афинской школы» Рафаэля.
Этимология Слово «математика» произошло от двух древне - греческих слов. Одно из них означает изучение , знание , наука , другое, первоначально означало восприимчивый, успевающий , позднее - относящийся к изучению , впоследствии - относящийся к математике . В частности, с латыни переводится, как искусство математики . В текстах на русском языке слово «математика» или « мафематика » встречается по крайней мере с XVII века, например, у Николая Спафария в «Книге избранной вкратце о девяти мусах и о седмих свободных художествах» (1672 год). Евклид.
Элементарная алгебра Элементарная алгебра — самый старый раздел алгебры, в котором изучаются алгебраические выражения и уравнения над вещественными и комплексными числами.
Элементарная геометрия Элементарная, или как её ещё называют Евклидова геометрия – это геометрическая теория, основанная на системе аксиом, впервые изложенной в «Началах» Евклида (3 век до нашей эры).
Архитектура Архитектура или зодчество — это искусство проектировать, строить здания и сооружения. Архитектура создает материально организованную среду, необходимую людям для их жизни и деятельности. Архитектурой также называют облик зданий и сооружений, а также и сами здания и сооружения собирательно.
Этимология Слово «архитектура» по своей форме латинское, хотя и происходит от греческих корней. Слову «архитектура» придавали очень обширное значение; так, например, были в ходу выражения «военная архитектура», «корабельная архитектура», «гидротехническая архитектура» и т. д.
Архитектура как вид искусства Как вид искусства архитектура входит в сферу духовной культуры, эстетически формирует окружение человека, выражает общественные идеи в художественных образах.
Теория архитектуры Строительный словарь определяет теорию архитектуры как науку о природе и специфике архитектуры и о её общих закономерностях. Основа предмета теории архитектуры — общие закономерности возникновения, развития и функционирования архитектуры как искусства, её сущность, содержание и формы.
Основные области архитектуры Проектирование зданий и сооружений. Градостроительная деятельность. Урбанистика . Ландшафтная архитектура. Дизайн интерьера. Архитектура малых форм. «Бумажная архитектура».
Математика и архитектура Архитектура и математика взаимосвязаны. Математика - это не только стройная система законов, теорем и задач, но и уникальное средство познания красоты.
Применение математики в архитектуре
1. Математика помогает добиться прочности сооружений Математика принимает непосредственное участие в обеспечении прочности и пользы архитектурных сооружений. При помощи сложных математических расчётов и вычислений разрабатываются новые конструкции домов, более прочные, устойчивые к природным катаклизмам.
2. Построение чертежей При построении чертежей никак нельзя обойтись без математики. Во – первых помогает геометрия, ведь в основе любого чертежа лежат разнообразные геометрические фигуры. Но прежде чем построить чертёж нужно как следует всё рассчитать – тут необходимы алгебраические расчёты.
3. Выражение геометрических форм в разных архитектурных стилях Ни один из видов искусств так тесно не связан с геометрией как архитектура. Восторженные слова, настоящий гимн геометрии, провозгласил знаменитый архитектурный реформатор Ле Корбюзье. «Окружающий нас мир – это мир геометрии чистой, истинной, безупречной в наших глазах. Все вокруг – геометрия. Никогда мы не видим так ясно таких форм, как круг, прямоугольник, угол, цилиндр, гипар , выполненных с такой тщательностью и так уверенно».
4. Симметрия в архитектуре Всем хорошо знакомо слово симметрия. Наверное, когда вы его произносите, то вспоминаете бабочку или клиновый лист, в которых мысленно можно провести прямую ось и части, которые будут расположены по разные стороны от этой прямой, будут практически одинаковыми. Это представление – правильное. Но это только один из видов симметрии, которую изучает математика, так называемая осевая симметрия. Кроме того, существует более общее понятие симметрии.
5. Золотое сечение в архитектуре Золотое сечение — это деление величины на две части таким образом, при котором отношение большей части к меньшей равно отношению всей величины к её большей части. Человек различает окружающие его предметы по форме. Интерес к форме какого-либо предмета может быть продиктован жизненной необходимостью, а может быть вызван красотой формы. Форма, в основе построения которой лежат сочетание симметрии и золотого сечения, способствует наилучшему зрительному восприятию и появлению ощущения красоты и гармонии.
6. Расчёт стройматериалов Говоря о более сложных архитектурных расчётах не стоит забывать и ещё об одном – расчёте стройматериалов, в котором нам помогает алгебра. На первый взгляд эта операция может показаться незначительной и достаточно лёгкой, хотя имеет большое значение. Ведь прежде, чем начать строить здание нужно правильно рассчитать все расходы.
Математика в архитектуре Казани
Архитектура Казани Если говорить об архитектуре Казани, то во многих зданиях города можно увидеть различные архитектурные стили. Казань – это столица Республики Татарстан, в которой мирно уживаются две разные национальности, в связи с этим, ещё с давних времён сложились определённые критерии постройки зданий.
Религиозные сооружения Так как в городе из древне мирно уживаются две разные религии (мусульманская и православная), естественно религиозные сооружения делятся на православные храмы и мусульманские мечети, но Казань – город гостеприимный, и поэтому присутствуют ещё немногочисленные сооружения приверженцев других религий. Богоявленская колокольня. Католический храм. Мечеть Кул Шариф.
Остальные здания Что касается остальных зданий (жилые дома, офисные многоэтажки, спортивные и торговые комплексы и т. д. ), они все выполнены в различных архитектурных стилях от барокко и до хайтека . Кукольный театр. Казанский ипподром. Центр города.
Список литературы М. М.Лиман. Школьникам о математике и математиках. Пособие для учащихся средней школы. 1981год. Бархин Б. Г. Методика архитектурного проектирования: Учебно-методическое пособие для архитектурных вузов и фак-тов . – 2-е изд., переработ . и доп. – М.: Стройиздат , 1982. Михайленко В. С., Кащенко А. В. Природа. Геометрия. Архитектура. – 2-е изд. перераб . и доп. – Киев: Будивельник , 1988. Пойа Дж. Математическое открытие. Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание. – М.: наука, 1970. Авдотьин Л. Н. Применение вычислительной техники и моделирования в архитектурном проектировании. – М.: Стройиздат , 1978. http://images.yandex.ru/#!/yandsearch?text= математика в архитектуре& uinfo =ww-1233-wh-569-fw-1008-fh-448-pd-1
Спасибо за просмотр!
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Исторически, математика играла важную роль в изобразительном искусстве. Согласно современным взглядам, математика и изобразительное искусство очень удаленные друг от друга дисциплины, первая - аналитическая, вторая - эмоциональная.
Известные художники использовавшие математику в своих картинах Математические идеи играют центральную роль в большинстве его картин за исключением лишь ранних работ. Голландский художник М.К. Эшер (1898-1972) в некотором роде является отцом математического искусства.
Картины М.К.Эшера . «Водопад» (1961г.) «Относительность» (1953г.)
Коломан Мозер (1868-1918 г.г.) Художник-график, преподававший в Вене и работавший в стиле модернизма. В период 1899-1900 г. г. о н нарисовал пару картин с использованием математических фигур в виде рыб.
Картины К.Мозера . «Подлесок» (1913г.) (1904 г.)
Сальвадор Дали (1904-1989г.г.) Я ркий и парадоксальный испанский художник использовал математические идеи в некоторых своих картинах .
Картины С.Дали. «Головокружение» (1931г.) «Тень тающей ночи» (1931г.)
Виктор Вазарели (1908-1997г.г.) Виктор Вазарели - художник, родившийся в Венгрии, известен как пионер и практик направления оптического искусства Оп-арт . Он использовал окрашенные простые геометрические формы, часто объединенные в массивы, для создания эффекта движения, выпуклости или вогнутости на плоском рисунке.
Картины В.Васарели .
Какие геометрические фигуры использовались в картинах? В картинах употреблялись многогранники , невозможные фигуры , а также необычные перспективы. Многогранники Необычные перспективы Невозможные фигуры
Что такое многогранники ? Многогранник - это трехмерное тело, гранями которого являются многоугольники. Эшер использовал многогранники во многих своих работах, включая "Рептилии" (1949), "Двойной планетоид" (1949).
Картины М.К.Эшера с использованием многогранников. «Рептилии» (1949г.) «Двойной планетоид» (1949г.)
Что такое невозможные фигуры? Невозможные фигуры - это фигура, изображенная в перспективе таким способом, чтобы выглядеть на первый взгляд обычной фигурой. Эшер изобразил невозможные фигуры на своих известных картинах.
Картины М.К.Эшера с использованием невозможных фигур «Водопад» (1961г.) «Перекрестки» (1999г.)
Что такое необычные перспективы? Необычные системы перспективы, содержащие две или три исчезающие точки, также являются излюбленной темой многих художников . Эшер использовал необычную перспективу в нескольких своих работах .
Картины М.К.Эшера с использованием необычных перспектив. «Клетка для человека»(1978г.) «Дом лестниц» (1951г.)
Математические изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику.
Список литературы Художественная галерея № 12, Дали. Журнал . Н. М. Карпушина « Научно-практический журнал Математика для школьников №3,2005 год » . http://www.setspb.ru/brendyi/decodesc/tesselyacziya / http:// enc-dic.com/euroart/Vazareli-162.html
Спасибо за внимание
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
План проекта: Дать определение понятия «софизм». Объяснить значение софизмов. История софизмов. Виды софизмов. Алгебраические софизмы. Примеры. Арифметические софизмы. Примеры. Логические софизмы. Примеры. Геометрические софизмы. Примеры. Дать определение понятия «парадокс». Примеры. Вывод. Список литературы.
«Правильно понятая ошибка – это путь к открытию». И. П. Павлов.
Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу ложное умозаключение, основанное на неправильном подборе исходных положений Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил.
Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых в отличие от доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление , т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Зачем нам нужны софизмы?
Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука .
История математики полна неожиданных и интересных софизмов и парадоксов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых в свою очередь произрастали новые софизмы и парадоксы. В истории развития математики софизмы играли существенную роль. История софизмов
Софизмы появились еще в Древней Греции. Они тесно связаны с философской деятельностью софистов — платных учителей мудрости, учивших всех желающих философии, логике и, особенно, риторике. Наиболее известна деятельность старших софистов, к которым относят Протагора из Абдеры , Горгия из Леонтип , Гиппия из Элиды и Продика из Кеоса .
Аристотель называл софизмом «мнимые доказательства», в которых обоснованность заключения кажущаяся и обязана чисто субъективному впечатлению, вызванному недостаточностью логического анализа. Убедительность на первый взгляд многих софизмов, их «логичность» обычно связана с хорошо замаскированной ошибкой — семиотической или же логической.
Исторически с понятием «софизм» неизменно связывают идею о намеренной фальсификации, руководствуясь признанием Протагора, что задача софиста — представить наихудший аргумент как наилучший путём хитроумных уловок в речи, в рассуждении, заботясь не об истине, а об успехе в споре или о практической выгоде. С этой же идеей обычно связывают «критерий основания», сформулированный Протагором: мнение человека есть мера истины.
Виды софизмов Арифметические Алгебраические Геометрические Логические
Алгебра — один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. А лгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. Алгебраические софизмы
«Два разных натуральных числа между собой равны» Итак, попробуем решить систему следующих двух уравнений: x+2y=6 y= 4-x/2 Подставим переменную y в первое уравнение: x+2 (4- x/2)=6 y= 4-x/2 x+8-x=6 y= 4-x/2 Переменная x взаимно уничтожается и мы получаем : 8=6 y= 4-x/2 8=6 ?
Где спрятана ошибка в данном алгебраическом софизме? Второе уравнение можно записать в таком виде: х+2у=8. таким образом, исходный вариант будет выглядеть следующим образом: x +2у=6, x +2у=8 Представленная система уравнений имеет одинаковые коэффициенты при переменных, а правые части между собой не равны. Это значит, что система не может иметь ни одного решения, т. е. она несовместима. Графически это представляется так: прямые у=3-х/2 и у=4-х/2 параллельны и не имеют никаких совпадений. Решению линейных уравнений должен предшествовать серьезный анализ. Необходимо выяснить, существует ли у системы бесконечное множество решений, единственное решение или она не имеет их вообще.
Арифметикой называется наука о рациональных дробях и числах, прежде всего натуральных (целых положительных), а также действиях, которые над ними производятся. Существуют также арифметические софизмы - числовые выражения, которые имеют какую-либо ошибку или неточность, не заметную с первого взгляда. Арифметические софизмы
« Один рубль не равен ста копейкам» Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно , не нарушая при этом равенства, т. е.если а = b и c = d , то ac = bd . Применим это положение к двум очевидным равенствам : 1 рубль = 100 копейкам и 10 рублей = 1000 копеек Перемножая эти равенства почленно , получим 10 рублей = 100 000 копеек и, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек Таким образом, один рубль не равен ста копейкам. Где ошибка?
Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями. Где спрятана ошибка в данном арифметическом софизме?
Логические софизмы. Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными. Логические софизмы
«Равен ли полный стакан пустому?» Проведем следующее рассуждение. Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно написать, что стакан, наполовину полный, равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому. Где ошибка?
Где спрятана ошибка в данном логическом софизме? Ясно, что приведенное рассуждение неверно, так как в нем применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно.
Геометрические софизмы - это умозаключения или рассуждения, обосновывающие какую-нибудь заведомую нелепость, абсурд или парадоксальное утверждение, связанное с геометрическими фигурами и действиями над ними. Геометрические софизмы
Построим прямоугольный треугольник АВС, где угол С = 90 градусов. Пусть точка D середина ВС. Проведем лучи n- биссектрису угла А, и m – серединный перпендикуляр к BC . Лучи n и m пересекаются в точке О. Опустим из точки О перпендикуляры на стороны АВ и АС. Точки M и N основания этих перпендикуляров. Рассмотрим треугольники AMO и ANO. Они равны, т.к. оба они – прямоугольные, угол МАО равен углу NAO ( по построению), гипотенуза АО – общая. Следовательно, ОМ= ON, AM=AN. Рассмотрим треугольники СО D и OBD. Они равны, т.к. OD- серединный перпендикуляр к ВС ( по построению), т.е высота и медиана треугольника СОВ. Следовательно, ОС=ОВ, ОМ=О N (по доказанному), следовательно треугольник МСО равен треугольнику NBO , и поэтому МС= NB . МС= NB AM=AN AC=AB (AC- катет, АВ- MC+AM=NB+AN гипотенуза) ( по чертежу) Катет равен гипотенузе?
Где спрятана ошибка в данном геометрическом софизме? Ошибка заключается в том, что рассуждения, о том, что катет равен гипотенузе, опирались на ошибочный чертеж. Точка пересечения прямой, определяемой биссектрисой n и серединного перпендикуляра m к катету BC , находится вне треугольника АВС.
Парадокс (греч. "пара" - "против", " докса " - "мнение") близок к софизму. Но от него он отличается тем, что это не преднамеренно полученный противоречивый результат. Парадокс - странное, расходящееся с общепринятым мнением, высказывание, а также мнение, противоречащее (иногда только на первый взгляд) здравому смыслу. Математический парадокс – высказывание, которое может быть доказано и как истинна, и как ложь.
Этот древнегреческий логический парадокс Человек произносит: « Я лгу». Он обманывает или говорит правду? С одной стороны, он говорит неправду, т.к. это утверждает. Но это означает, чт о он утверждает истину, а, следовательно, лжет.
«Парадокс парикмахера» В некой деревне, в которой живет один единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя? Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех, которые себя не бреют; если же он не будет себя брить, то, как и все, не бреющие себя, он должен бриться у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя. Парадокс свидетельствует только о том, что такого парикмахера не может существовать; показывает, что условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым.
О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка.
Софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли! Подведем итоги: Мы поняли, что софистика -это целая наука, а именно математические софизмы - это лишь часть одного большого течения.
Список литературы: http://sofism.ru/algebrasofism http://sofism.ru/arifmsofism А. Г. Мадера « Математические софизмы » Лямин А. А., « Математические парадоксы и интересные задачи » . – М., 1911 http://sophisms.ucoz.ru/index/geometricheskie_sofizmy/0-9