Методические разработки

1. Урок-практикум 10 класс

Тема:         Решение тригонометрических уравнений  и неравенств

Цель:

1. Обобщить, систематизировать и сформировать прочные знания и умения учащихся по данной теме используя задания разного уровня сложности.

Формировать:

• Навыки работы в группе;
•   умение выполнять взаимопроверку, самопроверку;
•   объективную самооценку своих знаний.

Проверить:

• Степень усвоения темы;
• умение применять знания по данной теме для решения как стандартных так и нестандартных задач.

2.  Развивать:

• Умение объяснять, аргументировать свое решение, убедительно и обосновано доказывать свою точку зрения;
• умение строить аналогии, обобщать и систематизировать;
• умение рефлексировать;
• интерес к предмету, положительные эмоции.

3. Воспитывать:

• Ответственность и трудолюбие;
• Коммуникативность и толерантность.

2. ПЛАН УРОКА

1. Организационный момент (5 мин.)
2. Повторение теоретического материала (10 мин.)
3. Работа в группах (45-70 мин.)
4. Тестирование (15 мин.)
5. Домашнее задание (2 мин.)
6. Итог урока (3 мин.)

ХОД УРОКА

1. Организационный момент:

• Сообщение темы, цели и плана урока;
• правила работы в группах;
• критерии самооценки.

2. Повторение теоретического материла:

В: Решая, тригонометрическое уравнение или неравенство к чему мы стремимся в конечном итоге?

О: Нужно прийти к простейшему тригонометрическому уравнению или неравенству.

У: На доске запишем простейшие тригонометрические уравнения.

В: Какие частные случаи мы выделяем среди простейших тригонометрических уравнений?

О: Частные случаи решения тригонометрических уравнений, когда Sin, cos, tg и ctg равны 0, 1, -1

В: какие виды тригонометрических уравнений мы рассмотрели и каковы способы их решения?

О:

• Однородные (cos , cos2 x );
• приведение к алгебраическому способом подстановки;
• методом разложения на множители (вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, формулы тригонометрии и сокращённого умножения)

3. Работа в группах:

Уровень 1:

А) № 1 проверяется устно;

Б) № 2 и № 3 проверяются по образцу каждой группой индивидуально по мере выполнения заданий.

Уровень 2:

А) выполняется № 1-4;

Б) решаются № 1-4 за закрытой доской;

В) проверка заданий.

Выставление итоговой самооценки.

4. Тестирование
5. Домашнее задание
6. Итог урока

Урок-практикум

Тема: «Решение тригонометрических уравнений и неравенств»

Ф.И. _______________________________________

Нуждаешься ли ты в индивидуальной консультации?

Да ______                                        Нет ______

Затрудняюсь:

А) при решении простейших тригонометрических уравнений: ____

Б) при решении простейших тригонометрических неравенств: ____
В) при решении систем тригонометрических неравенств: ________
Г) при решении однородных тригонометрических уравнений: ____
Д) при решении тригонометрических уравнений методом разложения на множители: _________

Е) при  решении тригонометрических уравнений, приводимых к алгебраическим методом подстановки: _______

Тест:                                         Вариант: ________

№ 1 ______

№ 2 ______

№ 3 ______

№ 4 ______

№ 5 ______                                 Оценка: _________

ЗАДАНИЯ 1 УРОВНЯ

№ 1 Какие из данных уравнений не имеют корней?

а) sin = -0,02;

б) cos = -1,01;

в) tgx = 0;

г) sinx = ;

д) sinx = 102/101;

е) tgx = π

ж) cosx =

№ 2 Решите уравнения:

а) tgx = 1;
б) 2 cosx+1 = 0;
в) 2sin2x+sinx = 0;
г) ctg2x = 1;
д) 3cos2x-4sinx cosx+sin2x = 0;
е) cosx+cos3x=0;

ж) 2cos2x+5sinx – 4 = 0.

№ 3 Решите неравенство:

а) sinx;

б) cosx ;

в) 2cosx – 1 ;

г) tgx < -1.

ЗАДАНИЯ 2 УРОВНЯ

№ 1 Для каких из данных уравнений число π является корнем уравнения?

а) 2sinx = 0;

б) 3cosx = 0;

в) sinx = cosx;

г) .

№ 2 Решить уравнение:

а) sin (π – x) + cos (+x) = 0;

б) sin 7x – sin 3x – cos 5x = 0;

в) 2sin3 – cos 2x – sin x = 0.

№ 3 Изобразив схематически графики, определите, сколько корней имеет уравнение?

Cos x = x2

№ 4 Найти корни уравнения:

а) sinx =  на

б) cos x =  на [0; π].

ЗАДАНИЯ 3 УРОВНЯ

№ 1 составьте тригонометрическое уравнение вида  sinx = a, решения которого включает точки, отмеченные на единичной окружности

№ 2 Решите уравнение:

а) 1- cos 6x = tg 3x;

б) sin x + 2 cos x =

№ 3 Решите систему:

№ 4 Решите неравенство:

 а) sin ()>

б) <

Тест по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

I вариант

№ 1.        Решить уравнение:        cos 0,5x = - 1 .

a) ;                        в) ;

б) ;                        г) .

№ 2.        Решить уравнение:        .

a) ;                        в)

б) ;                        г) .

№ 3.        Решить неравенство:        .

a) ;                в) ;

б) ;                г) .

№ 4.        Решить уравнение:        2 cos2 x = 3 sin x .

a) ;                        в) ;

б) ;                        г) .

№ 5.        Решить уравнение:        sin x + sin 5 x = 0 .

Найдите его наименьший положительный корень.

a) ;        б) ;                в) ;        г) .

Тест по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

II вариант

№ 1.        Решить уравнение:        sin 0,5x = - 1 .

a) ;                        в) ;

б) ;                        г) .

№ 2.        Решить уравнение:        .

a) ;                               в)

б) ;                г) .

№ 3.        Решить неравенство:        .

a) ;                в) ;

б) ;        г) .

№ 4.        Решить уравнение:        2 sin2 x – 5 = - 5 cos x .

a) ;                                в) ;

б) ;                                г) .

№ 5.        Решить уравнение:        cos x + cos 5 x = 0 .

Найдите его наименьший положительный корень.

a) ;        б) ;                в) ;        г) .

Тест по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

I вариант (решение).

№ 1.        Решить уравнение:        cos 0,5x = - 1 .

                ;

№ 2.        Решить уравнение:        .

;

№ 3.        Решить неравенство:                        .

;

№ 4.        Решить уравнение:        2 cos2 x = 3 sin x .

2(1 – sin2 x) – 3 sin x  = 0                sin x = – 2        решения нет, т.к. Е (sin) = [ - 1;1]

 – 2 sin2 x – 3 sin x + 2 = 0                sin x =         

sin x = t

2 t2 + 3 t – 2 = 0

D = 9 + 4 ⚫ 4 = 25

t1 =

t2 =

№ 5.        Решить уравнение:        sin x + sin 5 x = 0 .

Найдите его наименьший положительный корень.

Тест по теме: "Решение тригонометрических уравнений и неравенств"

II вариант (решение).

№ 1.        Решить уравнение:        sin 0,5x = - 1 .

                ;

№ 2.        Решить уравнение:        .

;

№ 3.        Решить неравенство:                .

;

№ 4.        Решить уравнение:        2 sin2 x – 5 = - 5 cos x .

2(1 – cos2 x) – 5 + 5 cos x  = 0                cos x = 1                        cos x =

 – 2 cos2 x + 5 cos x – 3 = 0                                        решения нет

cos x = t

2 t2 – 5 t + 3 = 0

D = 25 – 4 ⚫ 2 ⚫ 3 = 1

t1 =

t2 =

№ 5.        Решить уравнение:        cos x + cos 5 x = 0 .

Найдите его наименьший положительный корень.

Домашняя работа № 1

I уровень

№ 1.        Решить уравнения:

a) ;                        г) ;

б) ;                        д) ;

в) ;                е) .

№ 2.        Решить неравенство:

a) ;                б) ;        в) ;

II уровень

№ 1.        Решить уравнения:

a) ;                        в)  ;

б) ;                г) .

№ 2.        Решить систему:

a)                 б)

№ 3.        Решить неравенство:

a) ;                        б) .

Литература:

1. Ю.А. Конаржевский «Анализ урока»;
2. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа под редакцией Л.О. Денищевой.
3. Дидиктические материалы по алгебре и началам анализа  под редакцией М.И. Шабунина.
4. И.Т. Бородуля «Тригонометрические уравнения и неравенства»
5. Тесты «Алгебра и начала анализа» 10-11 П.И. Алтынов

Методико-дидактический материал для учащихся по решению

Квадратных уравнений с параметром

Рассмотрим алгоритм решения уравнения не выше второй степени

Ах2 + Вх + С = 0 .

Пример 1. Решить уравнение а(х2 + 4) - х(х -4а -2) + 3 = 0.

Решение.

Приведем уравнение к виду Ах2 + Вх + С = 0,  

получим: (а - 1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0

Решение данного уравнения зависит от первого коэффициента А и от знака дискриминанта D. Приравняем их к нулю и найдем контрольные значения параметра:

А = а – 1, а – 1 = 0, а = 1 – первое контрольное значение параметра;

D1 = (2a + 1)2– (а – 1)(4а + 3) = 5а + 4; D1 = 0, 5a + 4 = 0, а =   - второе контрольное значение.

Изобразим ось параметра а, отметим на ней контрольные значения, расставим знаки дискриминанта в полученных промежутках:   D < 0,  

5a + 4 < 0,   а < .

Рассмотрим выделенные случаи, продвигаясь по оси параметра слева направо:

I.  а <   . В этом промежутке D < 0, значит, данное уравнение решений не имеет 

II.  а =  . D = 0, следовательно, уравнение имеет два совпадающих корня  х1 = х2 = .

При подстановке значения параметра  а =   в записанную формулу корней, получим:

х1 = х2 =  .

III.   < а < 1   или   а > 1  .  На этих промежутках дискриминант является положительным, следовательно, уравнение имеет два различных действительных корня  

IV.   а = 1  .  В этом случае уравнение становится линейным, оно имеет вид: 0 • х2 + ………. = 0,    6х + 7 = 0 .   Это уравнение имеет единственное решение   х =   .

Ответ:

При решении уравнений не выше второй степени удобно пользоваться следующим предписанием:

84481792. На области допустимых значений параметра с помощью равносильных преобразований привести уравнение к      виду Ах2 + Вх + С = 0;
84481793. Найти контрольные значения параметра из условий А = 0 и D = 0;
84481794. Отметить все контрольные значения на оси параметра, определить знак дискриминанта в промежутках и рассмотреть все полученные случаи, продвигаясь по оси параметра слева направо;
84481795. Записать ответ по количеству найденных решений, указывая соответствующие значения параметра.

№ 1. Решить уравнение: ах2 + 2х + 1 = 0.

Решение.

А = …,                        … - первое контрольное значение параметра,

D1 =………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

………………………………………...

…………………………………………

………………………………………...

Рассмотрим случаи:

I. …………………………………………………………………………………………..

II. ………………………………………………………………………………………….

III. …………………………………………………………………………………………

IV. …………………………………………………………………………………………

Ответ:

№ 2. Решить уравнение ах2 + 2ах + а – 2 = х .

Решение.

А = …..,

…..  -  первое контрольное значение параметра,

D1 =………………………………………

Рассмотрим случаи:

I. …………………………………………………………………………………………..

II. ………………………………………………………………………………………….

III. …………………………………………………………………………………………

IV. …………………………………………………………………………………………

Ответ:

№ 3. Решить уравнение а(а + 1)х2 + (1 – 2а2)х + а2 – а = 0.

Решение.

А = ………………………………………………………………………………………..

D = ………………………………………………………………………………………..

I.  а = 0 …………………………………………………………………...………………

II.  а = 1 …………………………………………………………………………………..

 III.  а ≠ 0, а ≠ 1     х1 = ----------- = ------------ = ,        х2 =  …………………..………

Ответ:

№ 4. Решить уравнение ах2 + 8х – 4а – 16 = 0.

Решение.

А = ………………………………………………………………………………………..

D = …………………………        D = (                )2, D = 0 при   а = …        D > 0 при а ≠ ….

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Ответ:

№ 5. Решить уравнение     1 – х2 = .

Решение.

1. При  а = 0  уравнение не имеет смысла, следовательно, при этом значение параметра уравнений решений не имеет.
2. Пусть а ≠ 0 .  Преобразуем уравнение: ……………………………………….

(а + 1)х2 – х – а + 1 = 0

А = ………………………………………………………...……………………………...

D = …………………………………………………………….   D = 0  при   а = ±  …

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..

…………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

Ответ:

№ 6. Решить уравнение (а2 + 1)х2 + 2(х – а)(1 + ха) + 1 = 0.

Решение.

Преобразуем уравнение ……………………………………………………………...

А = ………………………………………………………………………………………..

D1 = ……………………………………………………………………………………….

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..

……………………………………………………………………………………………..................................................................................................................................

Ответ:

№ 7. Решить уравнение (а2 – b2)х2 - 4abx – a2 + b2 = 0 .

Решение.

А = ………………………………………………………………………………………..

D1 = ……………………………………………………………………………………….

D > 0  при   а ≠ 0   или b ≠ 0

I.   а = b   Подставим в уравнение: 0х2 – 4                = 0 , …………………………..

    а)  а = 0   ,                ….. = 0    ,   х – любое действительное число

    б)  а ≠ 0   ,              …..           ,   х = ….    

II.  а = - b    ………………………………………………………………………………

    а)  а = 0   ,                ….. = 0    ,    х =                                             ….  

    б)  а ≠ 0   ,              …..           ,   х = ….    

III.  а ≠ b  ,  a ≠ - b  . При таких соотношениях параметров уравнение является квадратным  (A ≠ 0), причем D1 > 0 , следовательно, ……………………………………………………………………………………………..

Ответ:

№ 8. Решить уравнение ах2 - (а2 + 2b)x + 2а b = 0.

Решение.

А =    … ,                ………… = 0,

D = ……………………….…… D = (                )2, ……………………………………

I.   а = 0   ………………………………………………………………………………...

    а)  b = 0   ……………………………………………………………………………...

    б)  … ≠ 0  ……………………………………………………………………………..

II.  b = а2/2 ≠ 0   ………….……………………………………………………………...

III.  b ≠ а2/2 ≠ 0  …………………………………………………………………………

Ответ:

Пример 2.   Решить уравнение х3 + (3 – а)х2 – ах + а(а – 3) = 0.

Решение.

Данное уравнение является кубическим относительно переменно  х    и  в общем виде его решать мы не умеем.

Поступим так: будем считать  х  параметром,  а – переменной.

Перепишем уравнение относительно   а :

х3 + 3х2 – ах2 – ах + а2 – За = 0, получим:  а2 - (х2  +  х + 3)а + х2(х + 3) = 0, найдем его корни по формулам Виета:                  а1+ а2                     а1 ⚫ а2 

а1 = х2 ,  а2 = х + 3 .

Исходное уравнение равносильно совокупности двух уравнений, решим их относительно х.

х2 = а или х =  а – 3 .

Второе уравнение имеет единственное решение при любых значениях  а.

Решим уравнение х2 = а.

I.  а = 0  , получим  х2 = 0 ,    х = 0  ;.

II.   а > 0  ,  уравнение имеет два различных корня   х1,2  = ±   ;

III.  а < 0  ,  уравнение решений не имеет.

Для   записи   ответа  сделаем   "развертку   по   оси   параметра":   изобразим     ось параметра  а,  отметим на ней контрольное значение  а  =  0.   Решения исходного

уравнения изобразим сплошной линией

параллельной оси параметра с учетом

промежутков, для которых эти решения существуют.

Запишем все решения исходного уравнения для любого действительного значения параметра, продвигаясь по оси параметра слева направо:

Ответ:

№ 9. Решить уравнение    x3 + (1 – b)x2 – bx + b(b – 1) = 0 .

Решение.

…………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………..…………………………………………………………………………………………………………………………..

I. …………………………………………………………………………………….…….

II.  ……………………. , уравнение имеет два различных корня …….………….

III. ……………………. , уравнение решений не имеет ……………………………

………………………………...............

………………………………………….

………………………………………….

………………………………………….

Ответ:

№ 10. Решить уравнение   х4 + х3 – Зах2 – 2ах + 2а2 = 0.

Решение.

Перепишем уравнение относительно  а: 2а2 - (          )а +         = 0 , умножим на   ,

а2 - (        )а +        = 0,

найдем а1  и  а2  по формулам Виета:

Решим полученные уравнения относительно переменной  х .

х2 = 2а                                        или                                х2 + х – а = 0

…………………………………………………………………….………………………………

…………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………………………….

Для записи ответа сделаем развертку по оси параметра и запишем ответ

Ответ:

Рассмотрим примеры решения квадратных уравнений с параметрами другими способами.

Задание 1: Найти  при каких значениях параметра а , уравнение х2 – 4х +а – 1 = 0

Имеет:

  а)два корня;

  б)два положительных корня;

  в)два корня, каждый из которых больше 1?

Решение:

Запишем уравнение в виде:   - х2 + 4х + 1 = а.

Построим в одной системе координат графики функций

         Y= - х2 + 4х + 1    и    Y = а, для разных значений параметра а .

1. Y= - х2 + 4х + 1 – графиком является парабола, ветви направлены вниз, т.к. коэффициент при х2 меньше 0,

 вершина имеет координаты:      х0 == 2,    y0 =5;     А(2;5)

Найдём координаты дополнительных точек

2. Y = а – графиком  функции являются прямые , параллельные оси ОХ.

Исследование:

• Передвинем прямые  y = а параллельно оси ОХ;
• Пронаблюдаем за точками пересечения прямой и параболы;

• Абсциссы точек пересечения прямой и параболы будут корнями данного уравнения ;
• Количество точек пересечения прямой и параболы будет числом корней уравнения.

1 случай:

Если а 5, то прямая пересекает параболу в двух точках и уравнение имеет два корня, что является ответом на вопрос   (а);

2 случай:

Если   1а 5 , то абсциссы точек пересечения прямой и параболы будут положительными, это является ответом на вопрос (б);

3 случай:

Если провести прямую х = 1 и найти точку пересечения прямой х = 1 с параболой, то она имеет координаты(1;4), т.е. при 4а 5  абсциссы точек пересечения прямой с параболой больше 1, что является ответом на пункт(в).

Ответ:  а)  при а 5 , уравнение имеет два корня;

              б)  при 1а 5 , уравнение имеет два положительных корня;

              в)  при 4а 5, уравнение имеет два корня , каждый из которых больше

                   единицы.

Задание 2 :

              При каких значениях параметра m квадратный трёхчлен

                                       х2 +2(m – 9)·х + m2 +3 m +4

                                         будет полным квадратом?

Решение:

Квадратный трёхчлен будет полным квадратом, если он имеет два совпадающих корня, а это имеет место тогда и только тогда, когда D = 0.

D = (2(m-9))2 - 4·1·( m2 +3 m +4) = 4(m2 -18 m +81) - 4 m2 -12 m -4 =

= 4(m2 - 18 m +81 - m2 - 3 m - 4) =4(-21 m +77),  D = 0.

                                        21 m = 77,

                                              m = .

   ОТВЕТ:ПРИ    m =    ДАННЫЙ КВАДРАТНЫЙ ТРЁХЧЛЕН БУДЕТ ПОЛНЫМ     КВАДРАТОМ.

Задание 3:Решить уравнение ++=0,

Решение:

Приведём к общему знаменателю:

                    = 0 ,

                             =0,              О.Д.З.: а ≠ 0, а ≠ -3.

        3х2 +ах + а + 4 = 0,

а2 -12а -48 = 0,

D1 = 144+4·48 =336;       а1,2 = 6 ± 2.

Отметим ОДЗ и а1,2 на числовом луче.

Возможны следующие случаи :

1. 6 -2 а  6 +2,  уравнение корней не имеет, т.к. D 0,
2. 6 -2 а  6 +2,  уравнение имеет два корня,

Х1 =  ,   х2 =  .

Ответ:

• Корней нет при а (6 -2;6 +2);
• Два различных корня х1,2 =

      при а (- ∞ ; 6 -2)[ 6 +2;+∞).

Задание 4

При каких значениях параметра a уравнение (1-2а)х2-6ах-1=0

и уравнение ах2-х+1=0 имеют общий корень?

РЕШЕНИЕ:

Обозначим через Q общий корень этих уравнений.

Тогда выполняются равенства:

(1-2а)Q2 - 6аQ - 1 = 0,

aQ2 – Q +1 = 0.

сложив эти равенства почленно, получим :

                           (1-а)Q2 - (6a+1)Q = 0.

Очевидно, Q не равно нулю, тогда:

     (1-а)Q-(6a+1) =0,     здесь возможны следующие варианты:

              1).  а=1, тогда последнее уравнение решения не имеет

                   (и, значит, два уравнения, заданные в условии,не имеют

                     общего  корня);

2).  а ≠1, тогда Q =; подставим это выражение во второе            уравнение системы:

               а·()2 – + 1=0;

          = 0 и т.к. а ≠ 1,то

          а(6а+1)2-(6а+1)(1-а)+(1-а)2=0;

           а(36а2 +12а+1)-6а-1+6а2+а+1-2а+а2=0

          36а3 + 12а2 +а – 6а – 1 +6а2 +а +1-2а +а2 =0;

          36а3 +19а2 – 6а =0;

          а(36а2 +19а – 6) =0;

          а1 =0;

          а2,3 =  =;

          а2 = =  =,    а3 = =  = -  .

Ответ: уравнения имеют общий корень при а = 0, а = и а = - .

Задания для самостоятельного решения с возможностью проверить свой ответ.

Самостоятельно решить уравнения относительно переменой х или y

1.ах2 = 1;

2. y2 + cy = 0;

3. bх = х2;

4. ny2 – 8y +2 = 0;

5. х2 – ах – ( 2а +4) = 0;

6. ( а+1)·х2 – (а - 1)·х – 2а = 0;

7. х2  - 2( а-1)·х + 2а +1 = 0;

8. х2 -2х -8 – а( х – 4 ) = 0;

9.  ( а -1)·х 2 + 2( а +1)·х + а – 2 = 0;

10. x·(mx  - 22) + 2m = 0;

11.  ( k +1)·x2 –x – k +1 = 0;

12.  y2 – y + 1 = ;

13. х4 – 2ах + х + а2 – а = 0 ;

14. х4 + ( 1 – 2а)·х2 + а2 – 1 = 0 .

Самостоятельная работа

« Линейные и квадратные уравнения с параметром»

4 вариант

Решить уравнения:

«А»  

                           1)  (а -3 )х  = 12       2)     а х2 – 4а х  + 5 =0 ;

«В»              

                                  3)  (m + 4 ) х2 -  (m + 5 ) х + 1 = 0 ;

        4)  при каком значении   а   число  -   является корнем уравнения   ах2 -4 а х – 5 = 0 ?

«С»

        5) при каком значении    b   уравнение   ( b + 5 ) х2  – (b  +6 )х  + 3 = 0   имеет один корень ?

Методико-дидактический материал для учащихся по решению

дробно-рациональных уравнений с параметром.

Уравнения, вида  = 0 ( где  P(x) и Q(x) – многочлены с параметром,    называются дробно-рациональными уравнениями с  параметром.

     При решении дробно-рациональных  уравнений  можно использовать условие равенства дроби нулю:

                          = 0           P(x)=0,и  Q(x)0.

Пример № 1.       Решить уравнение:      =

  Решение:     -  = 0,      = 0,   {  2х = а + 2,

                                                                                                              Х + 4 ≠ 0.

     Найдём значения параметра а при котором  х = -4 и исключим  

      их из  числа возможных.

                   = -4,     а + 2 =- 8 , а = - 10.

     При а = - 10 , знаменатель дроби обращается в ноль.

   Ответ: Единственное решение х =,  при а ≠ - 10;

                       Нет решений,       при а = -10.                                                                                      

После рассмотренного примера можно дать учащимся самостоятельно решить следующие примеры ( с последующей проверкой) или работая в парах:

  № 1.   Решить уравнения:

          1)    = ;        2)     = 7.

Задания с «дозированной » помощью:

№ 2.  Решить уравнение:

                                                = .

Решение:    

                           = 0  ,                  сист. ……, х≠ а,     х≠ 2.

При а = 2 получаем верное числовое равенство, т.е. решением является любое число кроме…..,

При а ≠ 2 получаем  неверное числовое равенство, т.е. уравнение…………………

Ответ: ………………,при а = 2;

           ……………….., при а≠ 2.             

Следующие примеры можно предложить обучающимся решить работая в группах:

№ 3. Решить уравнение:  

                                                              =  ;

Решение:

                -  = 0 ,   ………………………………………………

    Сист.    (…….)х = - (…….) , х ≠ …,, х ≠ …,

 По известному алгоритму решим полученное линейное уравнение и выполним проверку.

1. Если а + 8 ≠ 0, т.е. а ≠ - 8 , то х = -  - единственное решение.

Проверка: найдём значения параметра , при котором  это решение не существует:

!) х ≠ -7,                                          2) х ≠ -2,

   -  ≠ -7.                              -   ≠ -2,

7а +6 ≠ 7а + 56,                           7а + 6 ≠ 2а + 16,

6 ≠ 56 – верно.                                5а ≠ 10 , а ≠ 2.

2) Если а + 8 = 0, т.е.  а = …,  то подставим это значение параметра в уравнение и получим: ……= 50  -…………………равенство, т. е……………..

Ответ:

            Единственное решение х = -  , при а ≠ - ….., а ≠ - …..,

             Нет решений  при а = -8, а = 2.

№ 4. Решить уравнение:   -  = .

   Решение:    

   Перенесём все члены уравнения в левую часть и приведём к общему знаменателю.

 = 0, …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

По известному алгоритму решим линейное уравнение и выполним проверку.

1. Если………………….х =     единственное решение.

Выполним проверку:………………………………………………………………..

При х ≠ -3,…………………………………………………………………………….

      m≠…………………………………..,      m≠…………………………………..,

2.Если………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..

Ответ: Единственное решение……………..,при m ≠1, m ≠ - ,   m ≠ ;

          Нет решений        при ……………

Можно рассмотреть ещё один вид заданий с дробно-рациональными уравнениями с параметрами.                                                

При каких значениях параметра а, уравнение    = 0  имеет единственное решение?

Решение:    сист. Х2 – ах +1 = 0, х ≠ -3.

1. Х2 – ах +1 = 0 – квадратное уравнение,

D = а2 -4,    D = 0,       а2 -4 = 0,

                 При а = ± 2, два совпадающих корня  х =

2. при х ≠ - 3,     (-3)2 + 3а +1 = 0,  

                            При а ≠ -   , решений нет.

Ответ: при а = ± 2, единственный корень х = .                                                                                                                                  

         Урок-практикум                                           5 класс

 «Сложение и вычитание натуральных чисел»

Цель:

           1)закрепить и отработать  знания и умения,  учащихся по выполнению      действий с  натуральными числами, выявить затруднения учащихся по данной теме;

          2) формировать коммуникативные способности обучающихся, умение    работать в группе:

• Умение и желание помочь однокласснику;
•       Умение воспользоваться учебником,

             опорными сигналами,   рабочей тетрадью;

•       Уметь переключать свое внимание на уроке;
•       Учиться самооценке;

         3) Развивать интерес к предмету, создать ситуацию успеха.

                                  План урока:

      1.   Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

  2.    Работа в группах.

3.    Итог урока. Выставление итоговой оценки.

                  Тематика заданий в карточках.

    1.Запись натурального числа, используя сокращённые наименования;

     2. Сравнение натуральных чисел и запись неравенства;

3. Координатный луч, определение координаты точки, умение          отмечать точку на координатном луче по заданной координате;

    4. Распознавать на чертеже отрезки, лучи, ломаные и уметь их обозначать;

    5. Упрощение буквенных выражений и нахождение их значений при данных значениях переменной;

    6. Решение уравнений;

    7. Составлять числовые выражения по предложенной схеме и находить их значения.

Карточка №1

            Вставьте пропущенное вместо точек:

1. 123000 = ………тыс.;              3)    8………= 8 000 000 000 ;
2. ………….. = 57 млн. ;             4)     4320 тыс. = ……………..

Карточка №2.

Соедините натуральные числа стрелками от меньшего к большему и запишите их сравнение, используя знаки неравенства:

а)       ● 2001                                               б)    ●  59                                                            

                                                ● 1200                                                 ● 95

● 2100                                                          

                                                                                                                          ● 60

                                              ●1189                  

                                                                                   ● 105

Карточка №3.

     Напишите координаты отмеченных точек на координатной прямой:

А) ВСТАВКА

Карточка № 4.

 №1   ВСТАВКА

        По предложенному рисунку записать:

1. Отрезки;
2. Лучи;
3. Ломаные.

 №2.

      Записать два пересекающихся луча и два непересекающихся.

Карточка № 5.

№1

    Упростите буквенное выражение:

  А)  46ạ + 16а ;                      г) 29b + ( b + 4 );

  Б)  54х-31х;                         д) 28 - ( 4y + 3y );

  В) 45y + 13 + 7y;                е) 15 - ( 2 + х ).

№2.

        Найдите значение буквенного выражения  

              34 + х            при х = 17.

Карточка № 6.

Решите уравнения:

               а) 135 – х = 21;                      в) (24 – х) + 37 = 49 ;

               б) 32 + х + 4 =73;                  г) 248 – ( y + 123) = 24.

Карточка № 7.

Запишите пример по предложенной схеме и выполните действия.

ВСТАВКА