ПРЕЗЕНТАЦИИ УЧЕНИКОВ 10 КЛАССА ПО ТЕМЕ "ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ"

Слайд 1

Слайд 2

Преобразование фигуры F называется преобразованием подобия, если при этом преобразовании расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз, т. е. для любых двух точек X и У фигуры F и точек X', У фигуры F', в которые они переходят , X'Y' = k * XY . Определение: Преобразование подобия в пространстве Фигура называется подобной фигуре F , если существует подобие пространства, отображающая фигуру F на фигуру Определение:

Слайд 3

Свойства подобия 1) При подобии прямые переходят в прямые, плоскости, отрезки и лучи отображаются также в плоскости, отрезки и лучи соответственно. 2) При подобии сохраняется величина угла (плоского и двухгранного), параллельные прямые(плоскости) отображаются как параллельные прямые (плоскости), перпендикулярная прямая и плоскость – на перпендикулярные прямую и плоскость. 3) Из сказанного выше следует, что подобном преобразовании подобия пространства образом любой фигуры является «похожая» на нее фигура, то есть фигура, имеющая такую же форму, что и отображаемая (данная) фигура, но отличающаяся от данной лишь своими «размерами»

Слайд 4

Основные свойства подобных фигур Свойство транзитивности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 и фигура F2 подобна фигуре F3 , то фигура F1 подобна фигуре F3. Свойство симметричности. Если фигура F1 подобна фигуре F2 , то и фигура F2 подобна фигуре F1 Свойство рефлективности. Фигура подобна сама себе при коэффициенте подобия, равном 1 ( при k=1)

Слайд 5

Замечательным является тот факт, что все фигуры одного и того же класса обладают одними и теми же свойствами с точностью до подобия (имеют одинаковую форму, но отличаются размерами: отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия, а отношение объемов – кубу коэффициента подобия) Три свойства отношения подобия фигур позволяют разбить множество всех фигур пространства на подмножества – попарно непересекающиеся классы подобных между собой фигур: каждый класс представляет собой множество всех подобных друг другу фигур пространства. При этом любая фигура пространства принадлежит одному и только одному из этих классов. Множество кубов Пример: Множество правильных тетраэдров

Слайд 6

Гомотетия — один из видов преобразований подобия. Определение. Гомотетией пространства с центром О и коэффициентом называется преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку М ’ , что = k Гомотетию с центром О и коэффициентом k обозначают При k=1 гомотетия является тождественным преобразованием, а при k=-1 – центральной симметрией с центром а центре гомотетии

Слайд 8

Примеры гомотетии с центром в точке О

Слайд 9

Формулы гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом k Свойства гомотетии 1) При гомотетии величина плоского и двухгранного угла сохраняется 2) При гомотетии с коэффициентом k расстояние между точками изменяется в 3) Отношение площадей гомотетических фигур равно квадрату коэффициента гомотетии. 4) Отношение объемов гомотетических фигур равно модулю куба коэффициента гомотетии 5) Гомотетия с положительным коэффициентом не меняет ориентации пространства, а с отрицательным коэффициентом – меняет.

Слайд 10

6 свойство (с доказательством) Преобразование гомотетии в пространстве переводит любую плоскость, не проходящую через центр гомотетии, в параллельную плоскость (или в себя при k=1). Действительно, пусть О — центр гомотетии и α — любая плоскость, не проходящая через О . Возьмем любую прямую АВ в плоскости α . Преобразование гомотетии переводит точку А в точку А' на луче OA , а точку В в точку В ’ на луче OB, причем — коэффициент гомотетии. Отсюда следует подобие треугольников АОВ и А'ОВ ’ . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ОАВ и ОА'В' , а значит, параллельность прямых АВ и А'В'. Возьмем теперь другую прямую АС в плоскости . Она при гомотетии перейдет в параллельную прямую А'С'. При рассматриваемой гомотетии плоскость перейдет в плоскость ' проходящую через прямые А'В', А'С . Так как А'В‘ ll АВ и А ’ С ’ ll АС , то по признаку параллельности плоскостей плоскости и параллельны, что и требовалось доказать. Дано α O – центр гомотетии Доказать α II α ’ Доказательство

Слайд 11

Кино в кинотеатрах

Слайд 1

Слайд 2

Параллельный перенос Параллельным переносом на вектор p называется отображение пространства на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М 1 , что ММ 1 = р p М М 1 М

Слайд 3

1 . АА 1 = р и ВВ 1 = р Доказать: А 1 В 1 = АВ 2. По правилу треугольника АВ 1 = АА 1 + А 1 В 1 , с другой стороны, АВ 1 = АВ + ВВ 1 .  АА 1 + А 1 В 1 = АВ + ВВ 1  А 1 В 1 = АВ. p А А 1 B 1 В Параллельный перенос – это частный случай движения , при котором все точки пространства перемещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Слайд 4

Параллельный перенос Наглядно это движение можно представить себе как сдвиг всей плоскости в направлении данного вектора на его длину. а А А 1 B 1 В

Слайд 5

Параллельный перенос различных фигур

Слайд 6

Параллельный перенос А В

Слайд 7

Параллельный перенос в пространстве Параллельным переносом в пространстве называется такое преобразование, при котором произвольная точка ( x ; y ; z ) фигуры переходит в точку ( x + a ; y + b ; z + c ), где числа a , b , с одни и те же для всех точек ( x ; y ; z ).

Слайд 8

Параллельный перенос в пространстве обладает следующими свойствами: Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

Слайд 9

*При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую или в себя. * Каковы бы ни были точки A и A', существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A ’ . А A’

Слайд 10

При параллельном переносе в пространстве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плоскость   ’

Слайд 11

Задача 1 Найдите значения а, b , с в формулах параллельного переноса х ' = х + а, у' = у + b , z ' = z + c , если при этом параллельном переносе точка А(1; 0; 2) переходит в точку А'(2; 1; 0). Решение. Подставляя в формулы параллельного переноса координаты точек А и А', т. е. х=1, у = 0, z = 2, x ' = 2, y ' = 1, z ' = 0, получим уравнения, из которых определяются а, b , с: 2 = 1 + а, 1 = 0 + b , 0 = 2 + с. Отсюда а = 1, b = 1, с= —2. Решение задач

Слайд 12

Задача 2. При параллельном переносе точка А(2;1:-1) переходи т в точку А ’ (1;-1;0). В какую точку переходит начало координат? Решение. По формуле параллельного переноса х ’= x+a , y’= y+b , z’= z+c . Точка А(2;1;-1)→А ’(1 ;-1;0). Тогда выражаем а= x’-x, b=y’-y, c=z’-z. Подставляем а=1-2=-1, b=-1-1=-2, z=0- (- 1 ) =1. Начало координат О(0;0;0) переходит в точку: О=( 0 +а; 0+b; 0+c) =О ’(-1;-2;1).

Слайд 13

Параллельный перенос в разных областях науки Поступательное движение — это движение в механике, разница положений при котором в любые 2 момента времени представляет собой параллельный перенос. Трансляционная симметрия — тип симметрии, при которой свойства рассматриваемой системы не изменяются при сдвиге на определённый вектор, который называется вектором трансляции.