Индивидуальные проекты студентов первых курсов

Секция: практико-ориентированный проект

Направление конкурса: Математика в мире науки и техники

«МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ГЛОССАРИЙ»

                                                        Выполнил:

                                                        студент II курса, группы 15ПКС1-9

                                                        ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавира

                                                        Краснодарского края

Морозов Глеб Михайлович

                                                        Научный руководитель:

                                                        преподаватель математических

                                                        дисциплин

                                                        Воловликова Ольга Николаевна

2017 год

Введение

Лучший способ изучить что-либо – это открыть его самому.

Д. Пойа

Обучаться в техникуме интересно и в тоже время сложно. Объем информации огромен, надо помнить множество понятий, формул и определений. При подготовке к экзаменам возникает проблема, как за короткий срок повторить все основные определения и теоремы, изученные по данной дисциплине.

Цель моей работы – создать «Математический глоссарий», который поможет мне и моим одногруппникам подготовиться к экзамену по дисциплине «Элементы высшей математики».

Задачи:

• На основе научной литературы и информации из сети Интернет выбрать основные определения и теоремы из курса математического анализа;
• Создать интерактивную программу на основе PowerPoint с использованием языка Visual Basic for Application(VBA);
• Расширить и углубить знания по основам программирования.

Объект исследования: теоретические курс математического анализа, пакет прикладных программ Microsoft Office.

Предмет исследования: основные определения и теоремы математического анализа, язык Visual Basic for Application(VBA).

Гипотеза: математический глоссарий – помощник при подготовке к экзамену и проведении уроков.

Методы: анализ научной литературы, сбор информации, практический.

Удобство среды VBA заключается в том, что она внедрена в пакет прикладных программ Microsoft Office и, соответственно, является доступной практически на любом персональном компьютере, не требует установки дополнительного программного обеспечения. 

Интерактивность предполагает не только передачу информации пользователю, но и восприятие информационных сигналов от него, и реакцию компьютера, компьютерной программы на эти сигналы. Те небольшие элементы интерактивности, которые встречаются в некоторых презентациях, в основном ограничиваются гиперссылками и управляющими кнопками. Эти элементы обеспечивают переходы между слайдами, позволяют в нужный момент запустить демонстрацию видеофрагмента, включить и выключить анимированную модель. Таким образом, они обеспечивают более эффективную реализацию все той же задачи - получение информации пользователем.

Заключение

Одной из целей профессиональной подготовки специалиста является необходимость получить прочные фундаментальные знания, на основе которых студент смог бы обучаться самостоятельно в нужном ему направлении.

Современное образование невозможно без повышения роли самостоятельной работы студентов над учебным материалом, усиления их творческой активности и инициативы. Самостоятельная работа позволяет научиться работать сначала с учебным материалом, затем с научной информацией, использовать основы самоорганизации и самовоспитания с тем, чтобы развивать в дальнейшем умение непрерывно повышать свою квалификацию.

В процессе исследования мною была проделана следующая работа:

1. Проанализирована и проработана научная литература по теме исследования.
2. Рассмотрен и изучен язык Visual Basic for Application(VBA).
3. Рассмотрен пример создания интерактивного теста в среде MS PowerPoint с использованием Visual Basic for Application.
4. Собрана большая часть определений и теорем математического анализа.

Преподаватель Ольга Николаевна применяла «Математический глоссарий» на уроках при изучении следующих разделов: теория пределов и непрерывность, дифференциальное исчисление функции одной и нескольких действительных переменных, интегральное исчисление функции одной действительной переменной, теория рядов, дифференциальные уравнения. Также «Математический глоссарий» был доступен всем моим одногруппникам. Моя группа сдала экзамен по дисциплине «Элементы высшей математики» со следующими показателями: общая успеваемость – 100%; качественная успеваемость - 58%.

Таким образом, моя гипотеза о том, что математический глоссарий – помощник при подготовке к экзамену и проведении уроков, подтверждается.

Литература

1. Виленкин И.В., Гробер В.М, Высшая математика для студентов экономических, технических, естественнонаучных специальностей, Ростов-на-Дону, «Феникс», 2002, 416с
2. В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский, Элементы высшей математики, Москва, «ACADEMIA», 2008, 320с.
3. Кремер Н.Ш., «Высшая математика для экономистов», М., «ЮНИТИ», 2002г., 470стр.

Интернет источники:

1. mailto: aalar@cityline.ru, Ларин А.А.,  Курс высшей математики.
2. www.allmath.ru., Вся математика в одном месте

Секция: информационный проект

Направление конкурса: Математика в мире науки и техники

«ЗАГАДОЧНЫЙ БЕСПОРЯДОК: ИСТОРИЯ ФРАКТАЛОВ И ОБЛАСТЬ ИХ ПРИМЕНЕНИЯ»

                                                        Выполнил:

                                                        студент I курса, группы 16КС2-9

                                                        ГБПОУ КК «АМТ», г. Армавира

                                                        Краснодарского края

                                                        Яхонтов Алексей

                                                        Научный руководитель:

                                                        преподаватель математических

                                                        дисциплин

                                                        Воловликова Ольга Николаевна

2017 год

Содержание

Введение

1. Что такое «фракталы»
2. Бенуа Мандельброт – отец фрактальной теории
3. Классификация фракталов

1. Геометрические фракталы
2. Алгебраические фракталы
3. Стохастические фракталы
4. Природные фракталы

4.        Применение фракталов

5.        Программы для генерации фракталов

Заключение

Литература

ВВЕДЕНИЕ

Многие считают, что математика состоит только из формул, задач и уравнений. Обучаясь в Армавирском машиностроительном техникуме, я увлекся участием в дистанционных олимпиадах по математике. Выполняя задания Международной олимпиады по основам наук от проекта urfodu.ru, у меня возникла проблема с ответом на вопрос: Дан отрезок длиной 12сантиметров. Разделим его на три равные части и заменим средний интервал равносторонним треугольником (сам интервал «выкинем»). В результате образуется ломаная, состоящая из четырех одинаковых звеньев, - это первый шаг построения. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырех получившихся звеньев. Сколько звеньев будет на 6 шаге построения? Чему равна длина (в см) каждого звена на 7 шаге? Поэтому мне пришлось воспользоваться интернетом и найти ответ. Мир фракталов очень увлек меня, и захотелось узнать о нем как можно больше. Я хочу продемонстрировать своей работой, что математика разноплановая наука, и показать, что это удивительный и необычный предмет для изучения.

Цель моей работы – узнать и рассказать о фракталах, которые мы не изучаем на уроках в школе и техникуме, но именно они окружают нас в действительности, в архитектуре, в компьютерных играх и головоломках.

Задачи:

• на основе литературы и информации из сети Интернет выявить и изучить понятие фрактала;
• ознакомиться с биографией создателя фракталов – Бенуа Мандельброта;
• рассмотреть основные виды фракталов;
• рассмотреть применение фрактала на практике и в нашей жизни;
• познакомиться с программами для генерации фракталов.

Объект исследования: человек, окружающий растительный мир, изобретения человека.

Предмет исследования: фрактал

Гипотеза: все в мире продумано и просчитано самым главным дизайнером и инженером – природой.

Методы: анализ литературы, сбор информации.

1. Что такое «фракталы»?

Самые гениальные открытия в науке способны кардинально изменить человеческую жизнь. Но есть и такие открытия, которым мало кто придает значение, хотя они тоже сильно влияют на нашу жизнь.

Одно из таких «незаметных» открытий — фракталы. Вам наверняка доводилось слышать это запоминающееся слово, но знаете ли вы, что оно означает и как много интересного скрыто в этом термине?

В каждом человеке заложена природная любознательность, стремление познавать окружающий его мир. И в этом стремлении человек старается придерживаться логики в суждениях. Анализируя процессы, происходящие вокруг него, он пытается найти логичность происходящего и вывести некоторую закономерность. Самые большие умы на планете заняты этой задачей. Грубо говоря, ученые ищут закономерность там, где ее быть не должно. Тем не менее даже в хаосе можно найти связь между событиями. И эта связь — фрактал.

        Фракталы - это геометрические объекты с удивительными свойствами: любая часть фрактала содержит его уменьшенное изображение. То есть, сколько фрактал не увеличивай, из любой его части на вас будет смотреть его маленькая копия. Эти удивительные фигуры стали широко известными в 70-х годах прошлого века благодаря Бенуа Мандельброту, работавшему тогда математическим аналитиком в фирме IBM. Он сам придумал этот термин в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово fractus из латыни, где оно буквально означает «ломанный» или «дробленный». Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта “The Fractal Geometry of Nature”. Он писал, что придумал слово “фрактал”, взяв за основу латинское  прилагательное  “fractus”, означающее нерегулярный, рекурсивный, фрагментный. Нужно сказать, что в математике эти необычные объекты встречались то здесь, то там с конца девятнадцатого века, и в работах Мандельброта были использованы научные результаты других ученых, работавших в период 1875-1925 годов в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантора, Хаусдорфа). Но именно Мандельброту удалось собрать эти разрозненные сведения, увидеть общее в многообразии и указать на важность этого открытия.

        Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, поэтому их определение, данное Мандельбротом, звучит так:         «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

        Кроме самоподобия, фракталы замечательны еще и тем, что многие из них удивительно похожи на то, что мы встречаем в природе. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

        Быстро было обнаружено множество природных объектов, строение которых сходно с фракталами. Это и ветки деревьев, повторяющие более крупные ветви, повторяющие ствол, и снежинки, и кровеносные пути и нервы, разветвляющиеся на более мелкие пути, которые ветвятся на еще более мелкие, и карта мозговых полушарий, да и любая карта, при увеличении масштаба превращающаяся в иную карту, фрагмент которой при следующем увеличении есть еще одна схожая карта, и т.д.

Есть много видов фракталов, наиболее крупные из них: геометрические, алгебраические, стохастические.

2. Бенуа Мандельброт - отец современной фрактальной теории

        Бенуа Мандельброт (фр. Benoît Mandelbrot; род. 20 ноября 1924, Варшава) — французский математик. Основатель и ведущий исследователь в области фрактальной геометрии. Лауреат премии Вольфа по физике (1993).

        Бенуа Мандельброт родился в Варшаве в 1924 году в семье литовских евреев. Но уже в 1936 году семья Бенуа Мандельброта эмигрировала во Францию, в Париж.

        После начала войны Мандельброты бежали на свободный от оккупации юг Франции, в городок Тюль. Там Бенуа Мандельброт пошел в школу, но вскоре потерял интерес к учебе.

        Но у Бенуа Мандельброта открылся необычный математический дар, который позволил ему сразу после войны стать студентом Сорбонны. Оказалось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение. Он даже алгебраические задачи решал геометрическим способом. Оригинальность его решений позволила Бенуа Мандельброту поступить в университет. Окончив университет, Бенуа Мандельброт сначала стал «чистым математиком». Он получил докторскую степень. В 1958 он переехал в США, где приступил к работе в научно-исследовательском центре IBM в Йорктауне, поскольку IBM в то время занималась как раз интересными Бенуа Мандельброту областями математики. Работая в IBM, Бенуа Мандельброт ушел далеко в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работал в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики. Ему нравилось именно переключаться с одной темы на другую, изучать различные направления.

        Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден.

Неудивительно, что именно человек с таким богатым пространственным воображением стал отцом фрактальной геометрии. Ведь осознание сути фракталов приходит именно тогда, когда начинаешь изучать рисунки и вдумываться в смысл странных узоров - завихрений.

Мандельброт был первым, кто использовал компьютер для просчета классического фрактала. Обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа перенес результаты на график. Вот что он получил.

Впоследствии это изображение было раскрашено (например, один из способов окрашивания цветом — по числу итераций) и стало одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

Как гласит древнее изречение, приписываемое Гераклиту Эфесскому, «В одну и ту же реку нельзя войти дважды». Оно как нельзя лучше подходит для трактования геометрии фракталов. Как бы детально мы ни рассматривали фрактальное изображение, мы все время будем видеть схожий рисунок.

3. Классификация фракталов

3.1. Геометрические фракталы

        Именно с них и начиналась история фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов поступают так: берется "затравка" - аксиома - набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к этой "затравке" применяют набор правил, который преобразует ее в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем (по крайней мере, в уме) бесконечное количество преобразований - получим геометрический фрактал.

        Одними из самых известных фракталов такого типа являются кривая и снежинка Кох и ковер Серпинского.

Кривая Кох (рис. 3.1), названная так в честь шведского математика Хельги фон Кох, открывшую ее еще в 1904 году.

Для того чтобы построить данный фрактал нужно последовательно выполнить бесконечное число шагов. Начальный шаг – нулевой. Возьмём отрезок произвольной длины (рис. 3. 2, а) и поделим его на три равные части. На среднем отрезке CD построим правильный треугольник CED, чье основание CD мы потом удалим. Мы получим кривую ACEDB, у которой все звенья равны (рис. 3. 2, б).

Второй шаг: каждое из звеньев AC, CE, ED, DB вновь поделим на три равные части и построим на средних отрезках правильные треугольники, чьи основания мы потом удалим. Мы получим новую ломаную AMKNCLPFEQRSDTUXB (рис. 3. 2, в). Второй шаг закончен.        

        Продолжая этот процесс до бесконечности, мы и получим искомый фрактал – кривую Кох.

Как видно на рисунке, кривая Кох очень точно имитирует снежинку, поэтому замкнутую кривую Кох называют еще и снежинкой Кох (рис. 3. 3).

Ковер Серпинского (рис. 3.4)

Для построения коврика Серпинского из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника. Для построения коврика Серпинского из центра треугольника мысленно вырежем кусок треугольной формы, который своими вершинами будет упираться в середины сторон исходного треугольника.

Повторим эту же процедуру

для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального) и так до бесконечности (рис. 3. 5). Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его - получим точную         копию целого.

Рис. 3. 4. Ковер Серпинского

Ковер Серпинского, названный так в честь польского математика Вацлава Серпинского (1882-1969).

        Здесь проявляется одно из свойств фракталов – самоподобие. Если мы возьмем любой из образовавшихся треугольников (разумеется кроме тех, которые мы вырезали) и увеличим его - получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием.

Ковер Серпинского можно построить как от руки, так и при помощи компьютера.

Кривая дракона (рис. 3. 6)

Дракон Хартера, был впервые исследован физиками NASA, в числе которых был Вилиам Хартер. Он был описан в 1967 году Мартином Гарднером в колонке «Математические игры» журнала «Scientific American». Многие свойства фрактала были описаны Дэвисом Чардлером и Дональдом Кнутом.

Драконова ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.

        Один из способов построения кривой дракона - складывание длинной бумажной полоски. Начнем с горизонтальной полоски: согнем вверх ее правую половину и наложим на левую. Затем сложим полученную двойную полоску так, чтобы перегиб, расположенный ранее справа, совпал с левым краем сложенной полоски; повторим этот процесс столько раз, сколько сможем. (Практически это вряд ли удастся сделать больше семи раз, но теоретически процесс можно продолжать до бесконечности).

        Геометрические фракталы имеют колоссальное практическое значение. Применяя их в машинной графике, ученые научились получать сложные объекты, похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее.

3.2. Алгебраические фракталы

        Следующей обширной группой фракталов являются алгебраические фракталы. Алгебраические фракталы появились гораздо позже геометрических, а их изображения ученые научились получать лишь после создания ЭВМ. Их название весьма условно, поскольку в результате построения мы получаем геометрическую фигуру. Однако построение ведется на основе алгебраических формул, и, по всей видимости, именно отсюда и берет свое название эта группа фракталов. Одним из самых известных представителей этой группы является множество Мандельброта.

Множество Мандельброта

        Данное множество было открыто Бенуа Мандельбротом, отцом теории фракталов и названо в его честь. Мандельброт в своей книге «Fractal Geometry of Nature» писал, что «красота многих фракталов тем более поразительна, что открылась совершенно неожиданно», так как «хотели построить с чисто учебной целью всего лишь математические диаграммы, и можно было ожидать, что они окажутся сухими и скучными». Однако, пропустив программу, над которой он работал, в компьютерной сети компании IBM, Мандельброт получил рисунок, в котором явно просматривались признаки систематичности и самоподобия. И, когда изображение было увеличено, многие части обнаружили довольно сложную структуру. С развитием ЭВМ стало возможным построение его графического образа (рис. 3. 7). Если внимательно рассмотреть рисунок, то можно заметить, что основная форма множества повторяется многократно во все меньших размерах.

        Кроме того, ученые увеличили участок границы множества Мандельброта в 200 раз (рис. 3. 8). Как и в случае с треугольником Серпинского, мы наблюдаем проявление самоподобности. Не полной самоподобности, конечно, но близкой с ней. Также с проявлением неполной самоподобности ученые сталкиваются, увеличивая и другие участки множества Мандельброта.

Множество Жюлиа

        Множества семейства Жюлиа названы так в честь французского математика Гастона Жюлиа, который во времена Первой Мировой Войны в оккупированной немцами Франции продолжал научную деятельность. Жюлиа являет собой огромное поле для экспериментов. Так как вид этого фрактала зависит от параметра, изменяя его, можно получать изображения, в корне не похожие на первоначальное (рис. 3. 9, 3. 10). Одни из них похожи на большие тучи (рис. 3. 9), другие напоминают колючие ветви кустарников (рис. 3. 10), третьи выглядят как искры, летящие во время салюта.

        Однако обычно бывает трудно найти подходящие значения параметра  так, чтобы получить изображение множества Жюлиа. К счастью, есть возможность нахождения подходящих значений параметра с помощью множества Мандельброта. Практическое значение алгебраических фракталов в машинной графике не может быть неоцененно. Множества Мандельброта и Жюлиа являются основами при создании фрактальных изображений (Рис.3.11).

                        3.3. Стохастические фракталы

Если при итерировании случайным образом изменять какие-либо параметры, то полученный фрактал будет иметь некоторые случайные отклонения от самоподобия. Такие фракталы называются стохастическими, они очень похожи на природные фракталы. С их помощью моделируют различные природные процессы, в том числе  рельефы местности.

Типичный представитель стохастических фракталов "Плазма".

Плазма

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок.

Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста, фотореалистичные горы готовы.

3.4. Природные фракталы

        Природа довольно часто выражает себя в фрактальных формах. Фракталы с наибольшей очевидностью можно усмотреть в формообразованиях живой природы: ракушки, ветви деревьев, листья и лепестки цветов, ландшафты (морские побережья и русла рек), легкие человека, очертания облаков. Фрактальная геометрия - это изящный и информационно-компактный способ описания сложного.

В этой галерее я собрал природные образы, в которых ясно видна фрактальность. И конечно, в природе гораздо больше фрактальных объектов, нежели тут представлено, поскольку фракталы - сама суть природы (Неслучайно первая книга открывателя фракталов Бенуа Мандельброта называлась "Фрактальная геометрия природы") как живой, так и неживой, как человеческой, так и нечеловеческой. Неудивительно, что и наше сознание подчиняется тем же фрактальным законам. Но важно научиться "чувствовать" фракталы, может быть, этот сборник немного поможет этому...

Колония бактерий в питательной среде:

        В некотором отношении, бактериальные колонии - особенно интересный пример природного фрактала. Некоторые виды бактерий создают колонии, напоминающие по форме математические фракталы, колонии других с первого взгляда не похожи на фрактал. Однако, общность механизма роста колоний разных типов бактерий учит: вид фракталов может быть очень многообразен, природные фракталы могут быть вовсе не похожи на то, что мы получаем в результате компьютерных вычислений.

Листья растений:

Растения, деревья и травы - обладают выраженной фрактальной формой, в отличие, например от животных. Кроме того, что фрактальную структуру имеет лист растения (прожилки), общее строение растений также фрактально.

Кораллы:

        Кораллы - это продукт деятельности колоний коралловых полипов. Они на нем живут, они же его и создают. Полипы - небольшие организмы, которые вылавливают из воды планктон. Переварив его, они "складывают" минеральные остатки "под себя", так что коралловый скелет колонии постоянно растет. И как мы видим, получаются целые фрактальные деревья. Кровеносная система легкого:

        Тут еще все сложнее: переплетаются два отдельных фрактальных дерева - по одному подается венозная кровь, по- другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое - потрясающая по сложности система трех фракталов - одного дыхательного и двух кровеносных...

Экзотическое дерево:

Деревья фрактальны, но только в определенном диапазоне масштабов. Здесь четыре подобные развилки ветвей, а потом фрактальный закон роста ветвей, когда доходит до листьев, перестает действовать. Наверное, с возрастом у этого дерева может появиться и пятый и шестой уровни фрактала ветвей.

4. Применение фракталов

        Фракталы открывают простоту сложного. Открытие фракталов произвело революцию не только в геометрии, но и в физике, химии, биологии. Фрактальные алгоритмы нашли применение во многих сферах человеческой деятельности.

        «Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции». (Х. О. Пайген и П. Х. Рихтер)

Компьютерная графика

        Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и так далее. С использованием фракталов могут строиться не только ирреальные изображения, но и вполне реалистичные (например, фракталы нередко используются при создании облаков, снега, береговых линий, деревьев и кустов и др.). Поэтому применять фрактальные изображения можно в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. А создаются подобные фрактальные шедевры (равно как и векторные) путем математических расчетов, но в отличие от векторной графики базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула - это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение (как бы ни было оно замысловато) строится исключительно на основе уравнений.

Физика и другие естественные науки

        В физике фракталы естественным образом возникают при моделировании нелинейных процессов, таких, как турбулентное течение жидкости, сложные процессы диффузии-адсорбции, пламя, облака и т. п. Фракталы используются при моделировании пористых материалов, например, в нефтехимии. В биологии они применяются для моделирования популяций и для описания систем внутренних органов (система кровеносных сосудов).

Сжатие изображений

        Фрактальное сжатие изображений — это алгоритм сжатия изображений c потерями, основанный на применении систем итерируемых функций (IFS, как правило являющимися аффинными преобразованиями) к изображениям. Данный алгоритм известен тем, что в некоторых случаях позволяет получить очень высокие коэффициенты сжатия (лучшие примеры — до 1000 раз при приемлемом визуальном качестве) для реальных фотографий природных объектов, что недоступно для других алгоритмов сжатия изображений в принципе. Из-за сложной ситуации с патентованием широкого распространения алгоритм не получил.

Фрактальные антенны

Использование фрактальной геометрии при проектировании антенных устройств было впервые применено американским инженером Натаном Коэном, который тогда жил в центре Бостона, где была запрещена установка на зданиях внешних антенн. Натан вырезал из алюминиевой фольги фигуру в форме кривой Коха и наклеил её на лист бумаги, а затем присоединил к приёмнику. Оказалось, что такая антенна работает не хуже обычной. И хотя физические принципы работы такой антенны не изучены до сих пор, это не помешало Коэну основать собственную компанию и наладить их серийный выпуск.

Экономика

В середине века двадцатого,  когда весь научный мир увлекался только что появившейся теорией фракталов, известный американский финансист Ральф Эллиот предложил свою теорию поведения цен на акции, которая была основана на использовании теории фракталов. Эллиот исходил из того, что геометрия фракталов имеет место быть не только в живой природе, но и в общественных процессах. К общественным процессам он относил и торговлю акциями на бирже.

Литература

        Среди литературных произведений находят такие, которые обладают текстуальной, структурной фрактальной природой. В текстуальных фракталах потенциально бесконечно повторяются элементы текста:

• неразветвляющееся бесконечное дерево, тождественное само себе:

У попа была собака, он ее любил.

Она съела кусок мяса, он ее убил.

В землю закопал,

Надпись написал,

Что

У попа была собака…

• неразветвляющиеся бесконечные тексты с вариациями

Песенка из английской народной поэзии СПЛЯШЕМ, ПЕГГИ, СПЛЯШЕМ!

• тексты с наращениями

«Дом, который построил Джек».

• венок сонетов (15 стихотворений), венок венков сонетов (211 стихотворений), венок венков венков сонетов (2455 стихотворений)
• "рассказы в рассказе" ("Книга тысячи и одной ночи", Я.Потоцкий "Рукопись, найденная в Сарагоссе")

  ---

5. Программы для генерации фракталов

        Фрактальные изображения применяются в самых разных сферах, начиная от создания обычных текстур и фоновых изображений и кончая фантастическими ландшафтами для компьютерных игр или книжных иллюстраций. Создаются фрактальные изображения путем математических расчетов. Базовым элементом фрактальной графики является сама математическая формула - это означает, что никаких объектов в памяти компьютера не хранится, и изображение строится исключительно на основе уравнений. Таинство фрактального изображения не кроется лишь в одной удачной формуле. Не менее важны и иные аспекты. Например, цветовая настройка, фильтры трансформации и др.

Существует очень много программ по созданию фрактальных изображений. Эти программы имеют свои достоинства и недостатки. С развитием технологий количество программ увеличивается, а их качество и возможности улучшаются.

1. Программа Art Dabbler

        Знакомство с основами фрактальной графики лучше всего начать с пакета Art Dabbler. Этот редактор (созданный фирмой Fractal Design, а теперь принадлежащий Corel) фактически представляет собой усеченный вариант программы Painter. Это отличная программа для обучения не только компьютерной графике, но прежде всего азам рисования. Малый объем требуемой памяти (для его установки необходимо всего 10 Мбайт), а также простой интерфейс, доступный даже ребенку, позволяют использовать его в школьной программе. Как и растровый редактор MS Paint, фрактальный редактор Art Dabbler особенно эффективен на начальном этапе освоения компьютерной графики.

2. Программа Ultra Fractal

Ultra Fractal - лучшее решение для создания уникальных фрактальных изображений профессионального качества. Пакет отличается дружественным интерфейсом, многие элементы которого напоминают интерфейс Photoshop (что упрощает изучение), и сопровождается невероятно подробной и прекрасно иллюстрированной документацией с серией туториалов, в которых поэтапно рассматриваются все аспекты работы с программой. Созданные изображения можно визуализировать в высоком разрешении, пригодном для полиграфии, и сохранить в собственном формате программы или в одном из популярных фрактальных форматов. Визуализированные изображения также могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и psd), а готовые фрактальные анимации - в AVI-формат.

        Принцип создания фрактальных изображений достаточно традиционен, самое простое - воспользоваться одной из прилагаемых в поставке формул (сориентироваться относительно возможного вида генерируемого по выбранной формуле изображения поможет встроенный браузер), а затем подредактировать параметры формулы желаемым образом. А если эксперимент оказался неудачен, то последние действия легко отменить. Подготовленные пользователи могут попытать счастья и в создании собственной формулы, для чего в пакете имеется встроенный текстовый редактор с поддержкой базовых шаблонов, основанных на стандартных конструкциях языка программирования фрактальных формул.

Настройка цвета реализована на уровне солидных графических пакетов, например градиенты можно создавать и настраивать самостоятельно, корректируя множество параметров, включая полупрозрачность, и сохранять их в библиотеке для дальнейшего использования. Применение слоев с возможностью изменения режимов их смешивания и корректировкой полупрозрачности позволяет генерировать многослойные фракталы и за счет наложения фрактальных изображений друг на друга добиваться уникальных эффектов.

3. Программа Fractal Explorer

        Fractal Explorer - программа для создания изображений фракталов и трехмерных аттракторов с достаточно впечатляющими возможностями. Имеет интуитивно понятный классический интерфейс, который может быть настроен в соответствии с пользовательскими предпочтениями, и поддерживает стандартные форматы фрактальных изображений (*.frp; *.frs; *.fri; *.fro; *.fr3, *.fr4 и др.). Готовые фрактальные изображения сохраняются в формате *.frs и могут быть экспортированы в один из растровых графических форматов (jpg, bmp, png и gif), а фрактальные анимации сохраняются как AVI-файлы.

        Генерация фракталов возможна двумя способами - на основе базовых фрактальных изображений, построенных по входящим в поставку формулам, или с нуля. Первый вариант позволяет получить интересные результаты сравнительно просто, ведь выбрать подходящую формулу несложно, тем более что удобный файловый браузер позволит оценить качество фрактала из базы еще до создания на его основе фрактального изображения. У полученного таким путем фрактального изображения можно сменить цветовую палитру, добавить к нему фоновое изображение и определить режим смешивания фрактального и фонового слоев, а также степень прозрачности фрактального слоя. Создание изображения с нуля гораздо сложнее и предполагает выбор одного из двух способов. Можно выбрать тип фрактала почти из 150 вариантов. А затем уже перейти к изменению разнообразных параметров: настройке палитры, фона и пр. А можно попробовать создать свою пользовательскую формулу, воспользовавшись встроенным компилятором.

4. Программа ChaosPro

        ChaosPro - один из лучших бесплатных генераторов фрактальных изображений, с помощью которого нетрудно создать бесконечное множество удивительных по красоте фрактальных изображений. Программа имеет очень простой и удобный интерфейс и наряду с возможностью автоматического построения фракталов позволяет полностью управлять данным процессом за счет изменения большого количества настроек (число итераций, цветовая палитра, степень размытия, особенности проецирования, размер изображения и др.). Кроме того, создаваемые изображения могут быть многослойными (режимом смешивания слоев можно управлять) и к ним можно применить целую серию фильтров. Все накладываемые на строящиеся фракталы изменения тут же отражаются в окне просмотра. Созданные фракталы могут быть сохранены в собственном формате программы, либо в одном из основных фрактальных типов благодаря наличию встроенного компилятора. Или экспортированы в растровые изображения или 3D-объекты (если предварительно было получено трехмерное представление фрактала).

5. Программа Apophysis

        Apophysis - интересный инструмент для генерации фракталов на основе базовых фрактальных формул. Созданные по готовым формулам фракталы можно редактировать и неузнаваемо изменять, регулируя разнообразные параметры. Так, например, в редакторе их можно трансформировать, либо изменив лежащие в основе фракталов треугольники, либо применив понравившийся метод преобразования: волнообразное искажение, перспективу, размытие по Гауссу и др. Затем стоит поэкспериментировать с цветами, выбрав один из базовых вариантов градиентной заливки. При необходимости несложно подрегулировать гамму и яркость, изменить фон, масштабировать фрактальный объект и уточнить его расположение на фоне. Можно также подвергнуть результат разнообразным мутациям в нужном стиле. По окончании следует задать размеры конечного фрактального изображения и записать его визуализированный вариант в виде графического файла (jpg, bmp, png).

6. Программа Mystica

        Mystica - универсальный генератор уникальных фантастических двумерных и трехмерных изображений и текстур, которые в дальнейшем можно использовать в разных проектах, например в качестве реальных текстур для Web-страниц, фонов Рабочего стола или фантастических фоновых изображений, которые могут быть задействованы, например, при оформлении детских книг. Пакет отличается нестандартным и достаточно сложным интерфейсом и может работать в двух режимах: Sample (ориентирован на новичков и содержит минимум настроек) и Expert (предназначен для профессионалов). Создаваемые изображения могут иметь любой размер и затем экспортироваться в популярные графические 2D-форматы. Прямо из окна программы их можно отправить по электронной почте, опубликовать в Html-галерее или создать на их основе видеоролик в форматах divx, mpeg4 и др. Встроенный трехмерный движок программы может быть использован при создании трехмерных сцен для компьютерных игр, например фантастических фонов и ландшафтов.

        Изображение на рисунке было получено мной с помощью программы Ultra Fractal. Кроме того, на рисунках приложения  мною продемонстрированы некоторые иные примеры фрактальных изображений, полученных мной с помощью Ultra Fractal.

Заключение

        В результате проделанной работы выяснилось, что за фракталами таятся огромные, как художественные, так и практические перспективы развития. Фракталы оказались принципиально новым открытием в геометрии, способным изменить древние, бытующие до недавних пор, представления о геометрической структуре мира.

        Фракталы применяются в языках программирования, в компьютерных моделях природы, в различных новаторских программах обучения. Также, в наше время предпринимаются попытки обоснования искусства с точки зрения фракталов. Теория фракталов используется и при изучении структуры Вселенной.

        Значение открытия фракталов для науки трудно переоценить. Создание практически точных моделей окружающей среды позволит точнее рассмотреть оценить факторы, влияющие на ее состояние.

        Фракталы стали незаменимыми помощниками астрофизиков, медиков, геологов. Фрактальное моделирование как инструмент для изучения неупорядоченных систем, каковыми являются нефтегазовые месторождения, стало технологической потребностью. Фрактальные модели упрощают анализ движения жидкости или газа, что важно для индустриальных технологий разработки месторождений нефти и газа. Модели, построенные на основе фрактальных изображений, позволяют с большой точностью моделировать космическое пространство и ткани внутренних органов живых организмов.

        Фракталы окружают нас всюду: это деревья, горы, облака. Но, кроме этого фракталы встречаются в объектах и невидимых человеческим глазом: это клетки различных живых тканей, трещины в земной коре и многое другое. Фрактальная графика может применяться во многих областях естественных наук. Она используется не только в математике, но и в экономике, географии, астрономии, биологии, физике и даже в литературе. Фракталы помогают геофизикам определять форму и характер растрескиваний земной коры и особенности распределения в ее слоях различных химических элементов, а астрономам – моделировать формирование планетных систем и галактик, характер рассеивания лучей и космической пыли.

Таким образом, фракталы всегда находятся вокруг нас. Это важный элемент любой науки, а точнее, и всей нашей жизни.

В процессе исследования была проделана следующая работа:

1. Проанализирована и проработана литература по теме исследования.
2. Рассмотрены и изучены различные виды фракталов.
3. Собрана коллекция фрактальных образов для первичного ознакомления с миром фракталов.
4. Были найдены примеры применения фракталов в природе и жизни человека.

Литература

1. Азевич А.И. Фракталы: геометрия и искусство М.: Мир, 1995.

2. «Большая Энциклопедия Кирилла и Мефодия 2003»/ «Кирилл и Мефодий», 2003

3. Бондаренко В.А., Дольников В.Л. Фрактальное сжатие изображений // Автоматика и телемеханика. – 1994. – № 5.

4. Вишик М.И. Фрактальная размерность множеств. Соросовский образовательный журнал. № 1, 1998.

5. Волошинов А.В. Математика и искусство – М.: Просвещение, 2000.

6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.

7. Б. Мандельброт “Фракталы, случай и финансы”/ Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004

8. Морозов А.Д., Введение в теорию фракталов.

9. Федер Е. Фракталы. Пер. с англ.-М.: Мир,1991.-254с.    (Jens Feder, Plenum Press, NewYork, 1988)

10. Интернет – ресурсы:

http://delphisity.narod.ru/stat1/stat2.html

http://www.photoline.ru/cgi-bin/cr1/photo.pl?ind=1081416586

http://fractal.boom.ru/

http://math.child.ru/otdohni/museum/fractals.html

http://www.enchgallery.com/fractals/fracthumbs.htm

http://i029.radikal.ru/0802/74/bc91570f21b7.jpg