Методические разработки

Совершенствование методов и способов решения задач: решение планиметрических задач с неоднозначным ответом.

Подготовила :

учитель математики  

МКОУ « Ольгинская СОШ»

Кесаева С.А.

(слайд 1)Задачи С4 из экзаменационных работ ЕГЭ-2010 и ЕГЭ-2011 имеют характерную особенность. В отличие от практики единого экзамена прошлых лет и подавляющего большинства задач школьного учебника эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно.  В результате удается построить несколько конфигураций, удовлетворяющих условию задачи. Подобные задачи называют многовариантными, и перебор вариантов является частью решения задач такого типа.

Рекомендуем ознакомиться со статьями Д. Аверьянова «Увидеть неочевидное!» (Математика, 2006, № 3 и № 4), посвященными вопросам организации перебора вариантов при решении многовариантных геометрических задач.

Геометрические задачи на вычисление в большинстве случаев представляют собой задачи на реализованные ситуации, то есть в них идет речь о некоторой заданной конфигурации и требуется вычислить какой-либо ее элемент. Реализованность ситуации в условии задачи подразумевает лишь существование соответствующей конфигурации, но не предопределяет ее единственность. В таких задачах какие-либо исследования соотношений между числовыми данными, доказывающие существование конфигурации, являются излишними.

Анализ содержания задачной базы школьных учебников по геометрии показывает, что многовариантных задач практически нет, и поэтому они довольно непривычны для школьников. Следовательно, чтобы исключить ситуацию, когда выпускник впервые сталкивается с такой задачей непосредственно на экзамене, их нужно включать в учебный процесс. Причем делать это систематически, начав с достаточно простых задач, постепенно увеличивая их сложность.

Полезно при решении задач задавать вопросы. Например:

— Можно ли построить другую фигуру, неравную данной, но также удовлетворяющую условию задачи?

— При каких числовых значениях заданных элементов нельзя построить описанную в условии фигуру?

 Ответы на подобные вопросы позволяют выявить различные ситуации, возникающие при решении задачи. Рассмотрим, классификация много вариантных планиметрических задач, не претендующая на отражение в полном объеме всего многообразия подобных задач, но включающая в себя большую часть, с которой придется столкнуться школьнику при подготовке к экзамену.

Расположение точек на прямой

В данном пункте рассмотрим расположение точек на одной прямой или на двух прямых.

В качестве подготовительных задач можно предложить учащимся следующие.

(слайд 2)

1. На прямой взяты точки A, B и C так, что расстояние между точками A и B равно 5, а между B и C равно 3. Найдите расстояние между точками A и C.

Комментарий. Неоднозначность формулировки состоит в том, что в условии не указано взаимное расположение точек A, B и C на прямой относительно друг друга. Можно записать шесть различных  вариантов расположения этих точек: A, B, C или C, B, A; A, C, B или B, C, A; C, A, B или B, A, C

Ответ: 8 или 2.

В следующей задаче наличие дополнительной информации о расположении точек на прямой (левее, правее, деление отрезка в заданном отношении) сокращает перебор случаев.

(слайд 3) 2. На прямой взяты точки A, B и C так, что точка B расположена правее точки A и AB : BC = 3. Найдите отношение AC : AB.

Комментарий. В данном случае необходимо рассмотреть только три различных варианта расположения этих точек: A, B, C;  A, C, B;       C, A, B.

Как правило, в экзаменационных задачах точки «привязаны» к более сложной конфигурации и от их расположения зависит перебор вариантов для построения чертежа.

(слайд 4)3. Вычислите площадь треугольника, если две его стороны равны 25 и 17, а высота, проведенная к третьей стороне, равна 15

 4. (слайд 5) Вычислите периметр трапеции,  боковые стороны которой 25 и 17, высота15, а одно из оснований равно 12.

(слайд 6)Комментарий. В данном примере возможно только два варианта построения трапеции: ABCD и ABCD1

(слайд 7)Расстояние между параллельными прямыми равно 12. На одной из них лежит точка C, а на другой —точки A и B, причем треугольник ABC — остроугольный и равнобедренный и его боковая сторона равна 13.

(слайд 8)Найти радиус окружности, вписанной в треугольник ABC. (r=SABC| P)

Расположение точек вне прямой

(слайд 9)В данном пункте рассмотрим примеры расположения прямой и точки; примеры расположения двух точек по одну сторону от прямой или по разные; примеры взаимного расположения одной или нескольких точек и двух параллельных прямых. При этом точки могут располагаться в одной или разных полуплоскостях и связаны некоторым условием (например, принадлежат одной окружности, лежат на одном перпендикуляре и т.д.).

В качестве подготовительных задач можно предложить следующие.

1. (слайд 10)На стороне BC квадрата ABCD построен

равносторонний треугольник BCP. Найдите высоту треугольника APD, проведенную из вершины A, если известно, что сторона квадрата равна 1.

Комментарий. Возможны два случая, удовлетворяющие условию задачи.

1. Точки P и A лежат по одну сторону от прямой BC
2. Точки P и A лежат по разные стороны от прямой BC. Треугольник PCD — равнобедренный

2. (слайд 11)Окружность радиуса 2 касается стороны AC прямоугольного треугольника ABC в точке C. Найдите расстояние от вершины B до центра окружности, если катеты AB и AC треугольника равны 5 и 4соответственно.

(слайд 12)Комментарий. В данном примере возможны два случая, удовлетворяющие условию задачи, так как центр окружности может лежать выше или ниже прямой AC

(слайд 13)Концы отрезка отстоят от прямой на расстояние 6 и 14. Найдите расстояние от этой прямой до середины данного отрезка

Неоднозначность условия в том, что не указано, лежат концы отрезка в одной или разных полуплоскостях относительно прямой. Возможны два случая.

(слайд 14)

Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса 25. Найти высоту трапеции.

Возможны два случая когда центр лежит внутри трапеции и когда за трапецией

Выбор обозначений вершин многоугольника

К задачам этого типа относят задачи, условие которых допускает различные решения в зависимости от варианта буквенного обозначения вершин многоугольника.

В качестве подготовительной задачи можно предложить следующую.

(слайд 15)В параллелограмме ABCD один из углов равен 600. Точки E и F являются серединами смежных сторон, образующих острый угол. Площадь треугольника, отсекаемого прямой EF от параллелограмма ABCD, равна S. Найдите площадь треугольника, вершинами которого служат точки E, F и C.

(слайд 16). При решении данной задачи необходимо рассмотреть четыре случая

Ответ: 3S или S.

(слайд 17)Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке Е. Найти площадь трапеции, если площадь треугольника AED равна 9, а точка Е делит одну из диагоналей в отношении 1 : 3.

(слайд 18)При решении данной задачи неоднозначность, как и в предыдущем примере, состоит в выборе варианта буквенного обозначения вершин трапеции и, дополнительно к этому, в выборе большего основания.

Пусть точка E делит каждую диагональ в отношении 1 : 3, считая от вершины верхнего основания.

Выбор некоторого элемента фигуры

К задачам этого типа относят такие задачи, в условии которых дана числовая величина элемента фигуры, но не указано, какого конкретно из имеющихся. В случае линейного элемента это может быть, например, сторона многоугольника или длина отрезка перпендикуляра, опущенного на сторону фигуры, и т.д. В случае углового элемента это может быть, например, какой-то из углов фигуры.

В качестве подготовительных задач можно предложить следующие.

(слайд 19)Найдите площадь равнобедренного треугольника, углы при основании которого равны 300, если одна из его сторон равна 6.

Комментарий. Для получения ответа необходимо рассмотреть два случая. В первом случае равно 6 основание, во втором — боковая сторона.

 Площадь треугольника ABC равна 8, MN —средняя линия. Найдите площадь треугольника CMN.

Комментарий. В данной задаче неоднозначность состоит в выборе средней линии. Необходимо рассмотреть три случая , даже если они приводят к одному ответу.

Имеются задачи, в  которых имеются две точки, делящие окружность на две дуги, но не указано, какой из этих двух дуг касается другая окружность. В этом случае неоднозначность состоит в выборе кругового элемента (дуги). При решении этих задач необходимо чтобы учащиеся знали, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям радиусов r и R равен  2

Выбор плоской фигуры

Задачи этого типа могут быть связаны с неопределенностью выбора отношения площадей фигур, выбором подобных треугольников и т.д.

(слайд 20)Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри трапеции. (слайд 21)

Многовариантные планиметрические задачи: взаимное расположение фигур

(слайд 22)При решении задач условие может трактоваться неоднозначно, если для рассматриваемых фигур не указано их взаимное расположение. Можно выделить, например, следующие случаи, приводящие к неоднозначной трактовке условия задачи и касающиеся:

• взаимного расположения прямолинейных фигур;
• взаимного расположения окружностей;
• интерпретации аналитического способа решения задачи.

Взаимное расположение прямолинейных фигур

При рассмотрении данного пункта учащимся можно предложить подготовительные задачи следующего вида.

(слайд 23)Пусть дан произвольный треугольник ABC. Рассмотрите возможные варианты построения на стороне AB:

а) равностороннего треугольника ABP;

б) квадрата ABPQ.

 Пусть дан произвольный треугольник ABC. Рассмотрите возможные варианты расположения параллелограмма, вписанного в данный треугольник, так, что одна из его вершин совпадает с вершиной треугольника, а три другие лежат на сторонах треугольника.

 (слайд 24)Дан равнобедренный треугольник АВС, AB = BC = 10 и AC = 12. Параллельно боковым сторонам треугольника на одинаковом расстоянии от них проведены прямые. Найти это расстояние, если площадь треугольника, образованного этими прямыми и основанием, лежащим на прямой АС, равна 12. (слайд 25)

Взаимное расположение окружностей

Взаимное расположение окружностей можно различать по внешнему признаку (касающиеся, пересекающиеся, непересекающиеся) или по внутреннему (взаимное расположение центров окружностей относительно общей касательной, общей хорды и т.д.). С учащимися полезно рассмотреть взаимное расположение окружностей с помощью динамической геометрической программы  (например, «Живая геометрия» или «Wingeom»): двух окружностей, двух окружностей с общей касательной, двух окружностей с общей хордой. При перемещении одной окружности относительно другой учащиеся наглядно представляют наличие общих точек (одна, две, ни одной), возможные варианты касания окружностей (внешнее, внутреннее), варианты касательных (внешние, внутренние), расположение центров окружностей относительно общей хорды, общей касательной. (слайд 26 )

Из подготовительных задач можно предложить следующие.

 К двум окружностям радиусов 6 и 3 проведена общая касательная. Найдите расстояние между точками касания, если расстояние между центрами окружностей равно 15.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите расстояние между центрами окружностей, если BD = 7, BC = 13.

Расположение центров окружностей относительно общей касательной

В условии задач этого типа фигурируют две окружности, касающиеся одной прямой, но не указано расположение центров этих окружностей относительно этой прямой. Соответственно, эта прямая является внутренней или внешней касательной для этих окружностей. (слайд 27)

Пример 3. Прямая касается окружностей радиусов R и r. Известно, что расстояние между их центрами равно a, R > r и a > r + R. Найти расстояние между точками касания.

Расположение центров окружностей относительно их общей точки касания

В условии задач этого типа фигурируют две окружности, но не указан тип касания (внешний или внутренний) (слайд 28)

   При решении подобных задач полезно напомнить учащимся следующие факты.

(слайд 29)При любом способе касания точка касания и центры окружностей лежат на одной прямой.

     При внешнем касании центры окружностей расположены на линии центров по разные стороны от точки касания, при внутреннем — по одну сторону.

    Расстояние между центрами касающихся окружностей радиусов R иr (R ≥r) равно R + r при внешнем касании и R – r при внутреннем.

(слайд 30  )Пример 4. (ЕГЭ-2010) Окружности радиусов 2 и 4 касаются в точке B. Через точку B проведена прямая, пересекающая второй раз меньшую окружность в точке A, а большую — в точке C. Известно,что AC =3 . Найти BC. (слайд 31)

Расположение центров окружностей относительно общей хорды

 В условии задач этого типа фигурируют две пересекающиеся окружности, но не указано расположение центров окружностей относительно их общей хорды

(слайд 32)При решении подобных задач полезно напомнить учащимся следующие факты. Пересекающиеся окружности в точках А и В имеют общую хорду АВ.

Общая хорда перпендикулярна линии центров и делится ею пополам.

Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках Аи В. Найти расстояние между центрами окружностей, если AB = 16.

Решение. Отрезок AB — общая хорда данных окружностей.В условии не указано расположение центров окружностей относительно AB. Поэтому рассмотрим два случая.

Расположение центров окружностей относительно хорды большей окружности

В условиях этих задач фигурируют две окружности, одна из которых расположена внутри другой и касается хорды окружности большего радиуса

Полезно напомнить учащимся следующее.

(слайд 33)Вычисления в этой задаче сводятся к применению теоремы Пифагора в треугольнике О1О2С, при этом расстояние О1А находится из теоремы Пифагора для треугольника МАО1

Интерпретация аналитического способа решения задачи

(слайд 34) Применение аналитического способа решения геометрической задачи может привести к ее многовариантности. Наличие нескольких корней уравнения подсказывает о возможном существовании нескольких конфигураций, которые требуют дальнейшего исследования с целью реализации условия для каждого из полученных корней уравнения.

Интерпретация решения уравнения sin x = a

Если в составленном уравнении неизвестной является величина угла, то в конечном итоге решение его сводится к одному из простейших тригонометрических уравнений. Только одно уравнение вида sin x = a, 0 < a < 1, определенное на множестве чисел (0; ), имеет два корня а или  п-а. На следующих простых задачах необходимо показать учащимся интерпретацию каждого из корней вышеприведенного уравнения.

(слайд 35 )Радиус окружности равен 1. Найдите величину вписанного угла, опирающегося на хорду, равную 2.

Ответ дать в градусах.

Ответ: 45° или 135°.

2. Площадь треугольника равна 12. Две его стороны равны 6 и 8.Найдите угол между этими сторонами.

Ответ: 30° или 150°.

Интерпретация решения алгебраического уравнения

Если в составленном уравнении неизвестной является длина отрезка, то составленное алгебраическое уравнение (чаще квадратное) может иметь два положительных корня, которые удовлетворяют

условию задачи, то есть ситуация, реализованная в условии, не определяется однозначно

Интересным является появление отрицательного корня уравнения, интерпретация которого может быть проведена вполне разумно.

(слайд 36)Для заострения проблемы учителю необходимо предлагать учащимся задачи, в которых получаются посторонние на первый взгляд корни, но их появление можно и нужно объяснить

(слайд 37) Задача. Дана окружность радиуса 13. Точка М — середина радиуса ОK. Хорда АС перпендикулярна радиусу ОK. Найти расстояние ВМ, если известно, что AB – BK = 4

Муниципальное образовательное учреждение «Ольгинская средняя общеобразовальная школа»

Урок геометрии в 10 классе по теме:

«Симметрия в пространстве. Правильные многогранники»

                                         Подготовила:

                                                                  Кесаева С.А.

                                                       учитель математики

                                                               МОУ «Ольгинская СОШ»

Цель:

 изучить правильные многогранники, их виды и свойства, а так же виды симметрий в пространстве.

Задачи:

- рассмотреть виды симметрий в пространстве (зеркальную симметрию);

- повторить понятие центральной и осевой симметрии на плоскости;

- дать определение правильного многогранника;

- свойства правильных многогранников;

- рассмотреть теорему Эйлера (без доказательства);

-учить выполнять развертки правильных многогранников;

- учить находить центры, оси, плоскости симметрии у правильных многогранников;

-развивать пространственное представление учащихся, учить  выполнять геометрические построения аккуратно;

- развивать познавательный интерес  учащихся;

-способствовать сознательному и рациональному использованию ЭВМ в своей деятельности.

Формы организации познавательной деятельности: фронтальная, индивидуальная, групповая, коллективная.

Методы и приемы обучения:

объяснительно-иллюстративный; частично-поисковый; словесный; наглядный (демонстрация компьютерных презентаций); практический

Компьютерное программное обеспечение: программа Microsoft Office PowerPoint 2003 или 2007

Оборудование:  

• наборы моделей правильных многогранников на каждую парту;
• план изучения нового материала по количеству парт;  таблицы (приложение 2) на каждого ученика
•  лист рефлексии (приложение 3) на каждого ученика;
•  большие листы клетчатой бумаги, чертежные инструменты;
• экран; мультимедийный проектор; компьютер.

Тип урока: изучение нового материала  и его  первичного закрепления

Ход  урока:

1. Организационный  момент.

Откройте тетради запишите тему нашего урока «Симметрия в пространстве. Правильные многогранники»

Эпиграфом к нашему сегодняшнему уроку и к следующему можно взять следующие высказывания:

"Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук".

Л. Кэрролл

«Симметрия… - есть идея, с помощью которой человек веками пытался объяснить порядок, красоту и совершенство»                                                Герман  Вейль (слайд 2)

...На данный момент уже вы имеете представление о таких многогранниках как призма и пирамида. На сегодняшнем уроке у вас есть возможность значительно расширить свои знания о многогранниках. Какие правильные многогранники вы знаете? Сегодня вы узнаете какие многогранники называются правильными. Каково же это вызывающе малое количество и почему их именно столько. А сколько же? А так же  рассмотрим симметрию в пространстве. Узнаем еще об одном виде симметрии.

2. Изучение  нового материала

 У вас на столах лежат рефлексивные листы(Приложение 2). Вы их заполните в конце урока. Работать мы будем работать по плану (приложение1). К которому вы можете обратиться в любой момент. Сейчас обратите внимание, что мы сегодня с вами рассмотрим.

 1.В планиметрии мы рассматривали фигуры, симметричные относительно точки и относительно прямой. В стереометрии рассматривают симметрию относительно точки, прямой и плоскости.

1) Дайте понятие центральной симметрии.      (слайд 3)                                             

Какие геометрические фигуры обладают центральной   симметрией?

Что является центром симметрии у этих фигур?

Какие условия должны выполняться при центральной симметрии? Запишите условия в тетрадь

 Назовите  центры  симметрий   изображенных фигур?

2) Дайте  понятие осевой  симметрии.  (слайд 4)

Приведите примеры геометрических фигур обладающих осевой симметрией.

Что является осью симметрии каждой фигуры и сколько их?

 Назовите условия выполнения осевой симметрии. Запишите условия в тетрадь.

Мы перечислили все виды симметрий какие изучают в девятилетней школе, но в школьном курсе математики изучают еще один вид симметрии.

3) (слайд5) точки А и А1 называются симметричными относительно плоскости  (плоскость симметрии), если плоскость  проходит через середину отрезка и перпендикулярна к этому отрезку. Каждая точка плоскости  считается симметричной самой себе.

Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры. Если фигура имеет центр (ось, плоскость симметрии), то говорят, что она обладает центральной( осевой, зеркальной) симметрией.

(слайд 6) На экране показаны центр, ось и плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда. Сколько фигура может иметь центров (осей, плоскостей) симметрии?. (Фигура  может иметь один или несколько центров симметрии (осей симметрии, плоскостей симметрии)).

2.Что такое многогранник?

Давайте вспомним какие многоугольники называются правильными? (выпуклый многоугольник у которого все стороны и углы равные)

Выпуклый многогранник называется правильным, если:        (слайд 7)                                    

-  Все его грани являются равными правильными многоугольниками

    - в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер. (запишите в тетрадь)

В определении видим две части:

Убедимся что обе части определения необходимы. Уберём вторую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон

Посмотрите на многогранник. (Демонстрируется модель многогранника, который получается из двух правильных тетраэдров, приклеенных друг к другу одной гранью). Оставляет ли он впечатление правильного многогранника? (Нет!). Посмотрим на его грани - правильные треугольники. Посчитаем число рёбер, сходящихся в каждой вершине. В некоторых вершинах сходятся три ребра, в некоторых – четыре. Вторая часть определения правильного выпуклого многогранника не выполняется и рассматриваемый многогранник, действительно, не является правильным.

Попробуем убрать первую часть определения. Выпуклый многогранник называется правильным, если в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Посмотрите на этот многогранник (демонстрируется модель параллелепипеда). Подсчитаем число ребер выходящих из каждой вершины – три ребра, грани не являются правильными многоугольниками. Первая часть определения не выполняется и этот многогранник не является правильным.

Таким образом, когда будете давать определение, помните об обеих его частях. Какой многогранник называется правильным? Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Вы знаете, что при вершине многогранного угла не менее трех плоских углов. (Слайд 8)

• Какова сумма плоских углов при вершине выпуклого многогранника? (меньше 3600).

Давайте, посмотрим, какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника и сколько правильных многогранников существует.

Пусть при одной вершине сходится n ребер тогда плоских углов при одной вершине будет тоже n, причем они все они будут равны между собой. Почему? Пусть один из этих углов равен х, тогда сумма плоских углов при вершине nх, и по свойству плоских углов многогранного угла получим nх<3600, откуда х<3600/n (1)

Вместе  с учащимися делаем вывод:

Существуют правильные многогранники с гранями – правильными треугольниками =600  (слайд 9)

1) n =1800<3600 в этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется правильным тетраэдром.

2) n =2400<3600 в этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется правильным октаэдром

3) n =300 < 3600 в этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется правильным икосаэдром.

4) n =60х6= 3600, это противоречит теореме о сумме плоских углов многоранного угла. Следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует.

Грани правильного многогранника – правильные четырехугольники (квадраты) , тогда =900  (слайд 10)

1) n =2700 < 3600 в этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется правильным гексаэдром (кубом)                                                                                                         2) n = 3600  Следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные треугольники не существует.

Грани правильного многогранника – правильные пятиугольники =1080     (слайд 11)      

     1) п=324 < 3600 в этом случае правильный многогранник имеет 12 граней и называется правильным додекаэдром                                                                                                          2)108х4> 3600 Следовательно, больше правильных многогранников, грани которых – правильные пятиугольники - не существует.

Начиная с правильного шестиугольника ≥1200.

Так почему же Льюис Кэрролл сказал, что их ничтожно мало? (так как при вершине должен получаться угол больше >3600)

Поэтому правильных многогранников, грани которых многоугольники с числом сторон больше 5 не существует.  Их гранями являются правильные треугольники, правильные четырёхугольники (квадраты) и правильные пятиугольники.

 Запишите в тетрадях названия этих правильных выпуклых многогранников.

3. Исследовательская работа “Формула Эйлера” (работа в парах)

Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Подсчитайте и мы число указанных элементов правильных многогранников и занесём результаты в таблицу. (на партах у вас лежат модели правильных многогранников и таблицы). Давайте заполните первые три столбца.

Работа на карточках (тетраэдр и куб все вместе, а остальные многогранники по рядам)

Проверим результаты заполнения таблицы.(слайд 12)

Анализируя таблицу, возникает вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” По-видимому, нет.

Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В). Заполните четвертый столбец Г+В (число граней плюс число вершин).

 Вот теперь закономерности может не заметить только “слепой”. Сформулируем её так: “Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 ”, т.е. Г + В = Р + 2. Запишите в тетрадь.(слайд 13)

Итак, мы вместе сделали открытие, мы “открыли” формулу, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером (1752), имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запомните эту формулу.

 (слайд 14) Названия этих многогранников пришли из Древней Греции, и в них указывается число граней: “эдра” - грань; “тетра” - 4 ; “гекса” - 6; “окта” - 8; “икоса” - 20; “додека” – 12.     (слайд 15)    Древние верили в гармонию природы.  Тетраэдр представлял атом огня, куб – земли, октаэдр – воздуха, икосаэдр – воды, додекаэдр – вселенную.

Обратите внимание на экран. Здесь показаны как изображаются эти многогранники на плоскости. (слайд 16)

 У вас на столах лежат большие листы клетчатой бумаги. С помощью чертежных инструментов выполните развертку одного правильного многогранника. ( слабым предлагается выполнить развертку и гексаэдра, учащимся посильней выполнить развертки октаэдра, икосаэдра, додекаэдра; при затруднении ребята могут проконсультироваться с учителем.).

После завершения работы наиболее удачные демонстрируются всему классу. Результаты можно сравнить с рисунками учебника на стр 72.

3. Элементы симметрии правильных многогранников.

А имеют ли правильные многогранники оси симметрии?

Работаем в группах.  (класс разбит на 5 групп.) каждая группа работает с одним правильным многогранником.  Ребята определяют,  имеют ли центры, оси и плоскости симметрии правильного многогранника и сколько их. ( при затруднении учащиеся могут проконсультироваться с учителем или обратиться к учебнику стр 71.)                                   Далее заслушиваются отчеты групп. (обратить внимание на то, что правильный тетраэдр не имеет центра симметрии, но у него есть три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии. Куб имеет один цент симметрии, по девять осей и плоскостей симметрии. Октаэдр, икосаэдр, додекаэдр имеют один центр и несколько осей и плоскостей симметрии.

Наш урок подходит к концу. Мы сегодня ответили на вопрос: почему правильных многогранников мало, но как они пробрались  в самые глубины различных наук мы узнаем на следующем уроке. А так же мы узнаем о красоте симметрии в жизни.

 Запишите домашнее задание (Слайд 17)

4. Домашнее задание:

1.п31-33

2. Из плотной бумаги изготовить модели пяти правильных многогранников.

3. Приготовить сообщение (можно в парах) на одну из предложенных  

  тем с мультимедийной презентацией:

«Симметрия в архитектуре»

«Симметрия в природе»

«Симметрия в жизни»

«Кристаллы и правильные многогранники»

«Платоновы тела»

«Полуправильные многогранники»        

5. Итог урока:

У вас на столах есть листочки с приложением3:

1. Закончите предложения:

1. Правильный многогранник – это…
2. Правильных многоугольников 5. Это …
3. Зеркальная симметрия – это…
4. Сумма числа граней и вершин равна …

2. А теперь поставьте оценку по пятибалльной системе

Я помню, что такое зеркальная симметрия.

Я знаю, почему правильных многогранников мало.

Я знаю, как в правильном многограннике связаны грани, ребра и вершины.

Мне на уроке было интересно.

После ребята сдают листочки.

Большое всем спасибо.

Приложение 1.

1. Симметрия в пространстве.

1. Центральная симметрия на плоскости (повторение)
2. Осевая симметрия на плоскости (повторение)
3. Симметрия на плоскости (зеркальная симметрия)
4. Центр, ось, плоскость симметрии.

2.Правильные многогранники

      1) Понятие правильного многогранника

      2) Определение количества правильных многогранников.

      3) Происхождение названий правильных многогранников.

       4) Теорема Эйлера.

      5) Развертки  правильных многогранников.

3.Симметрия правильных многогранников.

Приложение 2.

Приложение3:

1. Закончите предложения:

5. Правильный многогранник – это…
6. Правильных многоугольников 5. Это …
7. Зеркальная симметрия – это…
8. Сумма числа граней и вершин равна …

2. А теперь поставьте оценку по пятибалльной системе

Я помню, что такое зеркальная симметрия.

Я знаю, почему правильных многогранников мало.

Я знаю, как в правильном многограннике связаны грани, ребра и вершины.

Мне на уроке было интересно.

1.Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 81 см2  .

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2

1.Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 81 см2  .

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2

1.Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 81 см2  .

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2

1.Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 81 см2  .

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2

Оценочный лист

Оценочный лист

Оценочный лист

Оценочный лист

Геометрия 8  класс

Площадь трапеции

 Цель  урока:  создать условия для развития умений вычислять площади фигур, применяя изученные свойства и формулы.

Задачи:

Обучающие

-закрепить навыки вычисления площади фигур по формуле;

- способствовать формированию умения применять изученные свойства и формулы в типовой и нестандартной ситуации

 Развивающие

- способствовать развитию мыслительной операции анализа,  сравнения, обобщения

-способствовать развитию коммуникативных качеств личности

Воспитательные

-способствовать воспитанию трудолюбия, настойчивости в достижении цели, аккуратности

План урока

1. Орг момент
2. Актуализация знаний.

- По какой теме мы с вами работаем?.        (площади)

А что такое площадь?

Какие свойства площадей вы знаете?

Вычислите площади фигур

        За решение задач поставьте себе оценки. Не забудьте его подписать?        Как найти площадь этой фигуры?

Почему мы не можем ее найти?

Кажите какая тема нашего сегоднешнего урока?

Что мы должны знать?

Что уметь?

Вк и ДН –равны ли?

1. Посмотрите на задачу сделайте предположение как наяти точное значение площади трапеции? Сверте его с учебником на стр127.

Слайд 3. Найдите площадь данной фигуры.  (Дополнительные вопросы: какая фигура изображена на слайде? Дайте определение трапеции. Как до этого момента находили площади незнакомых нам фигур? (разбивали на части).

Слайд 5. Перед вами изображения двух трапеций (у каждого изображения трапеций на листочках). Разбейте их различными способами на фигуры, площади которых вы находить умеете.  Найдите площадь трапеции. Работаем в парах выберите один из предложенных вариантов и докажите площадь этой трапеции. С основанием а и в и высотой h/

 Один из вас выполняет разбиение, а другой выполняет вывод формулы, только помните, что вы команда и оказываете помощь друг другу.

 Отчеты групп Запись теоремы в тетрадь.

Первичное закрепление.

Не забываем выставлять оценки.

Тест 1.Площадь

Тест.

1.Площадь трапеции основания которой равны а и в, высота h вычисляются по формуле

a)S=1/2(a*в)*h    б) S=(а+в)*h     в)S=1/2(а+в)*h

2.Площадь трапеции равна …

а)Произведению суммы оснований на высоту.

б)произведению полу суммы оснований на высоту

в)произведению оснований на высоту.

3.В прямоугольной трапеции основания 5 см и 17 см, меньшая боковая сторона 10 см. Площадь трапеции равна:

а) 110 см2

б) 220 см2

в) 850 см2

4. Параллельные стороны трапеции равны 6 см и 9 см, высота равна 4 см. Площадь трапеции равна:

а) 216 см2

б) 60 см2

в) 30 см2

5. Площадь трапеции равна 25 см2 , высота 5 см. Сумма оснований равна:

а) 250 см

б) 10 см

в) 5 см        

проверка теста:

1)в

2)б

3)а)

4)в)

5)б

Выставление оценок.

Подведение итогов.

Что научились?, что знаете? Что умеете?

Что было трудно?

Что интересно?

Над чем еще предстоит поработать?

        дополнительные задачи.        

1.Высота и основания трапеции относятся как 5:6:4. Найдите меньшее основание трапеции, если её площадь равна 81 см2  .

2. Высота трапеции равна меньшему основанию и в два раза меньше большего основания. Найдите высоту трапеции, если её площадь равна 54 см2

        Оценочный лист

Тест.

1.Площадь трапеции основания которой равны а и в, высота h вычисляются по формуле

a)S=1/2(a*в)*h    б) S=(а+в)*h     в)S=1/2(а+в)*h

2.Площадь трапеции равна …

а)Произведению суммы оснований на высоту.

б)произведению полу суммы оснований на высоту

в)произведению оснований на высоту.

3.В прямоугольной трапеции основания 5 см и 17 см, меньшая боковая сторона 10 см. Площадь трапеции равна:

а) 110 см2                                              

б) 220 см2

в) 850 см2

4. Параллельные стороны трапеции равны 6 см и 9 см, высота равна 4 см. Площадь трапеции равна:

а) 216 см2

б) 60 см2

в) 30 см2

5. Площадь трапеции равна 25 см2 , высота 5 см. Сумма оснований равна:

а) 250 см

б) 10 см

в) 5 см        

Тест.

1.Площадь трапеции основания которой равны а и в, высота h вычисляются по формуле

a)S=1/2(a*в)*h    б) S=(а+в)*h     в)S=1/2(а+в)*h

2.Площадь трапеции равна …

а)Произведению суммы оснований на высоту.

б)произведению полу суммы оснований на высоту

в)произведению оснований на высоту.

3.В прямоугольной трапеции основания 5 см и 17 см, меньшая боковая сторона 10 см. Площадь трапеции равна:

а) 110 см2                                              

б) 220 см2

в) 850 см2

4. Параллельные стороны трапеции равны 6 см и 9 см, высота равна 4 см. Площадь трапеции равна:

а) 216 см2

б) 60 см2

в) 30 см2

5. Площадь трапеции равна 25 см2 , высота 5 см. Сумма оснований равна:

а) 250 см

б) 10 см

в) 5 см        

                                        В        В                                      С

                           А        Д

         Н        

                                        В        В                                      С

                           А        Д

         Н        

Журнал знаний ученика ________________________

Журнал знаний ученика ________________________

Журнал знаний ученика ________________________

Журнал знаний ученика ________________________

Журнал знаний ученика ________________________

             Самостоятельная работа как прием обучения может входить почти во все методы обучения, применяться на разных этапах процесса обучения.

Как показывает опыт, на этапе

1. изучения материала – около 5-6 минут
2. формирования умений по применению материала – до 10-15 минут
3. формирования навыков – до 30 минут.

На разных этапах обучения самостоятельные работы используются как достижения различных целей, например, на:

1) самостоятельные работы направлены, в основном, на понимание смысла и структуры изучаемых понятий, теорем;

 - плодотворны самостоятельные работы с текстом. Здесь же можно формировать умение выдвигать гипотезы, составлять планы по их проверке, сверять свои предложения с теми, что есть в учебнике;

2. самостоятельные работы направлены на отработку правильности выполняемых действий;

- практикуется самостоятельная работа по решению задач. Здесь ученики конкретные умения приобретают по решению задач определенного типа, по проверке математических гипотез.

       Например,  при изучении прогрессий уместно сделать упор на выдвижение математических гипотез, предлагая учащимся задания на продолжение ряда чисел, предварительно сделав предложение о закономерности расположения этих чисел в последовательности.

3. на отработку быстроты выполняемых действий:

            Самостоятельная работа в обучении математики не самоцель. Она необходима для перевода знаний извне во внутреннее достояние учащихся, необходима для овладения этими знаниями, для осуществления контроля со стороны учителя за их усвоением.

             Самостоятельная работа является также необходимым условием развития мышления учащихся, воспитания самостоятельности и познавательной активности учащихся, привития навыков учебного труда и т.д.

По дидактическому назначению самостоятельные работы могут быть:

1. обучающие

Смысл таких работ заключается в том, что учащиеся самостоятельно выполняют задания в ходе изучения темы, в выявлении сделанных учащимися ошибок, в повторном объяснении учителем учебного материала с учетом этих ошибок.

2. контролирующие

Смысл таких работ заключается в том, что учащиеся самостоятельно выполняют задания после изучения логически-завершенной части материала и вывода на базе этого широты и глубины полученных знаний и умений.

Очевидно, что навыки самостоятельных работ можно и целесообразно формировать, прежде всего, на  обучающих самостоятельных работах.

Организация самостоятельной работы по математике в 5 классе.

Особенности организации самостоятельной работы с учащимися 5 класса.

1. с 5 классом начинается предметное обучение, увеличивается число учебных предметов, для информации – все это требует умение самостоятельно работать;
2. у учеников 5 класса есть достаточный запас знаний по математике, и они служат основой не только для приобретения знаний, но и для их самостоятельного применения;
3. в курсе 5 класса усиливается роль доказательств, элементов дедуктивного рассуждения, знакомство с математическими оборотами речи. Это ставит ученика перед необходимостью доказать, аргументировать свои выводы;
4. в 5 классе ученики свободно читают, поэтому целесообразно учить их  работать с книгой.

Исходя из этого – вывод – организация самостоятельной работы в 5 классе имеет особое значение.

Виды организации самостоятельных работ учащихся 5 класса.

Главная цель организации самостоятельной работы – учить учащихся самостоятельно приобретать знания.

1. Один из важных видов – работа с книгой. Имеются следующие приемы этой работы:

1. чтение текста вслух
2. чтение текста про себя
3. воспроизведение прочитанного вслух. Основное назначение этого приема – ориентация на запоминание материала; развитие устной речи учащихся, обучение математической терминологии
4. обсуждение прочитанного вслух- очень сильное средство развития самостоятельности учащихся. Чаще в виде беседы от учителя – тщательный подбор вопросов
5. разбиение текста на части (смысл). Сначала учитель сам, ученики воспроизводят, затем ученики сами
6. самостоятельное составление плана прочитанного
7. работа с оглавлением, предметным указателем. Воспитать умение работать с книгой. Если ученик затрудняется ответить на вопрос, то по оглавлению ищет пункт, прочитывает его и затем снова попытаться решить задачу. Например, количество знаков после запятой, не знают, где ставить запятую – обращаются к пункту «Умножение и деление десятичных дробей», «Дробные числа» и др.
8. работа с рисунками и иллюстрациями. Роль рисунка велика в 5 классе. Они часто являются первоначальными источниками знаний. Например, «Уравнение», рисунок – чашечные весы. Чертежи и схемы, рисунки часто помогают учащимся найти решение задачи и перейти от учебных задач к задачам прикладного характера
9. работа над понятием, термином. Здесь используются примеры и контрольные примеры. Луч, биссектриса. Почему луч АК не является биссектрисой?

            Большинство понятий дается через указания рода или видового признака или через описание. Чтобы учащиеся хорошо усвоили содержание понятия, надо, чтобы они умели выделять его род или признак.

           Среди выражений 5+а,  13+27*83-256,   Х+27-20,  32+у=72-27  найдите уравнение

Иногда полезно найти ошибку в рассуждениях. Найти среднее арифметическое чисел 0,72; 2,46; и 2,82.

(   +    +   )/6        (сумма = 6 )

2. Выполнение письменной самостоятельной работы на уроке:

1. выполнение упражнений, решение задач на закрепление пройденного материала. «Законы сложения». Ученики должны уметь:

- записывать с помощью букв эти законы;

- уметь применять их.

1.1) запишите с помощью букв m и n периодический закон сложения

1.2) известно, что m+n=35. чему равна сумма n+m? какой закон?

1.3.) запишите ПЗС для слагаемых m и 12.

1.4.) запишите СЗС с помощью х, у и z

1.5.) известно, что х+(у+z)=25. верно ли равенство: (х+у)+z=25 и х+у+z=25. какой закон применили?

1.6.) вычислите удобным способом сумму

1.7.) найдите п, если (п+m)+l=3678 и m+l=746

2. составление задач и упражнений самими учащимися:

2.1.) творческий поиск

2.2.) оригинальное мышление.

3. проведение практической работы на местности:

3.1.) постройте на местности отрезок 100 метров

3.2.) постройте квадрат, площадь которого 25 кв.м.

3.3.) измерьте длину, ширину, высоту прямоугольного параллелепипеда

3.4.) измерьте длину, ширину, высоту классной комнаты и вычислите ее объем

3.5.) найдите расстояние между городами по карте

4. организация работы над ошибками.

3. Создание проблемной ситуации.

Округление чисел 14< 14,8 <15

Каким числом лучше заменить 14,8? Выбрать наилучший вариант.

4. Выполнение домашнего задания.

4.1.) необходим четкий инструктаж о выполнении домашнего задания

4.2.) на уроках: алгоритм действий, решение текстовых задач, выполнение практических работ на вычисления, построения, выполнение схем, рисунков, таблиц.

Организация самостоятельной работы на уроке.

               Под самостоятельной работой обычно понимают любую организованную учителем активную деятельность учащихся, направленную на выполнение поставленной дидактической цели в специально отведенное для этого время: поиск знаний, их осмысление, закрепление, формирование и развитие умений и навыков, обобщение и систематизация знаний. Самостоятельная работа представляет собой, с одной стороны, учебное задание, т.е. то, что должен выполнить ученик, с другой – форму проявления соответствующей деятельности памяти, мышления, творческого воображения при выполнении учеником учебного задания, которое приводит в конечном счете школьника либо к получению совершенно нового, ранее неизвестного ему знания, либо к углублению сферы действия уже полученных знаний.

                            Следовательно, самостоятельная работа – это такое средство обучения, которое:

- в каждой конкретной ситуации усвоения соответствует конкретной дидактической цели и задаче;

- формирует у обучающегося на каждом его этапе движение от незнания к знанию необходимый объем и уровень ЗУН для решения определенного класса познавательных задач и соответственного продвижения от низших к высшим уровням мыслительной деятельности;

- вырабатывает у учащихся технологическую установку на самостоятельное систематическое пополнение своих знаний и выработку умений ориентироваться в потоке информации при решении новых познавательных задач;

- является важнейшим орудием педагогического руководства и управления самостоятельной познавательной деятельностью обучающего в процессе обучения.

Условно можно выделить 4 уровня самостоятельной продуктивной деятельности учащихся, соответствующие их учебным возможностям:

1) копирующие действия учащихся по заданному образцу. Идентификация объектов и явлений, их узнавание путем сравнения с известным образом. На этом уровне происходит подготовка к самостоятельной деятельности;  

2) репродуктивная деятельность по воспроизведению информации о различных свойствах изучаемого объекта, в основном не выходящая за пределы уровня памяти. Однако, на этом уровне уже начинается обобщение приемов и методов познавательной деятельности, их перенос на наиболее сложных, но типовых задач;

3) продуктивная деятельность самостоятельного применения приобретенных знаний для решения задач, выходящих за пределы известного образца, требующая способности к индуктивным и дедуктивным методам;

4)самостоятельная деятельность по переносу знаний при решении задач в совершенно новых ситуациях, условиях по составлению новых программ принятия решений, выработка гипотетического аналогового мышления.

Каждый из этих уровней объективно существует. Дать самостоятельное задание ученику уровнем выше – напрасно потерять время. Путь к четвертому уровню лежит только через три предыдущих. Соответственно строится программа действий учителя при организации самостоятельной работы на уроке.

Основные требования к организации самостоятельной деятельности учащихся на уроке.

               Любая самостоятельная работа на любом уровне имеет конкретную цель. Каждый ученик знает порядок и приемы выполнения работы.

Самостоятельная работа соответствует учебным возможностям ученика, а степень сложности удовлетворяет принципу постепенно перехода с одного уровня самостоятельности на другой. В учебном процессе используется результаты, выводы самостоятельной, в том числе домашней работы.

Обеспечивается сочетание разнообразных видов самостоятельных работ и управление самим процессом работы.

 Назначение самостоятельной работы – развитие познавательных способностей, инициативы в принятии решений, творческого мышления. Поэтому, подбирая задания, надо свести к минимуму шаблонное выполнение их.

Содержание работы, форма ее выполнения должны вызывать интерес учащихся, желание выполнить работу до конца.

Самостоятельные работы организуются так, чтобы они вырабатывали навыки и привычку к труду.

Формы организации самостоятельной работы:

1. индивидуальные
2. групповые
3. фронтальные.

Типы самостоятельных работ:

1. воспроизводящие
2. эвристические
3. реконструктивно-вариативные
4. творческие.

Каждый из четырех типов имеет свои дидактические цели:

1. Воспроизводящие самостоятельные работы по образцу необходимы для запоминания способов действий в конкретных ситуациях (признаков понятий, фактов и определений), формирования умений и навыков и их прочного закрепления. Деятельность учащихся не совсем самостоятельная, так как она ограничивается простым воспроизведением, повторением действий по образцу. Но именно эти самостоятельные работы формируют фундамент для подлинно самостоятельной деятельности ученика. Роль учителя состоит в том, чтобы определить оптимальный объем работы для каждого ученика. Поспешный переход к самостоятельной работе другого типа лишит ученика необходимой базы ЗУН, задержка на работах по образцу – бесполезная трата времени, у учащихся пропадает интерес к учению, наступает торможение в их развитии.
2. Самостоятельные работы реконструктивно-вариативного типа позволяют учащимся на основе полученных ранее знаний и данной учителем общей идеи найти самостоятельно конкретные способы решения задачи. Эти работы приводят школьников к осмысленному переносу знаний в типовые ситуации, учат анализировать события, явления, факты, формируют приемы и методы познавательной деятельности, способствуют развитию внутренних мотивов к познанию, создают условия для развития мыслительной активности школьников. Самостоятельные работы этого типа формируют основания для дальнейшей деятельности ученика.
3. Эвристические самостоятельные работы формируют умения и навыки поиска ответа за пределами известного образца. Как правило, ученик определяет сам пути решения задачи и находит его. Знания ученик уже имеет, но отбирать их в памяти бывает нелегко. На данном этапе формируется творческая личность учащегося. Постепенный поиск новых решений, обобщение и систематизация полученных знаний, перенос их в совершенно нестандартные ситуации делают их более гибкими, мобильными, вырабатывают умения и навыки, и потребность самообразования. Виды эвристических работ самые разнообразные. Например, самостоятельное объяснение, анализ демонстрации, явления, реакции, строгое обоснование выводов с помощью аргументов или уравнений и расчетов.
4. Творческие самостоятельные работы являются венцом системы самостоятельной деятельности школьников. Эта деятельность позволяет учащимся получать принципиально новые для них знания, закрепляет навыки самостоятельного поиска знаний.

         В практике каждый тип самостоятельной работы предоставлен большим разнообразием видов работ, используемых учителем в системе урочных и внеурочных занятий. Наиболее распространенные и эффективные виды самостоятельных работ:

1) Работа с книгой. Это работа с текстом и графическим материалом учебника: пересказ основного содержания текста, части текста; составление плана ответа по прочитанному тексту, краткий конспект текста, поиск ответа на заранее поставленные к тексту вопросы; анализ, сравнение, обобщение и систематизация материала нескольких параграфов. Работа с первоисточниками, справочниками и научно-популярной литературой, конспектирование и реферирование прочитанного.

2) Упражнения: тренировочные, воспроизводящие, упражнения по образцу; реконструктивные упражнения; составление различных задач и вопросов и их решение; рецензирование ответов других учащихся, оценка их деятельности на уроке; различные упражнения, направленные на выработку практических умений и навыков.

3) Решение разнообразных задач и выполнение практических и лабораторных работ.

4) Различные проверочные самостоятельные работы, контрольные работы, диктанты, сочинения.

5. Подготовка докладов и рефератов.

6. Выполнение индивидуальных и групповых заданий в связи с экскурсиями и наблюдениями в природе.

7. Домашние лабораторные опыты и наблюдения.

8. Техническое моделирование и конструирование.

Недостатки в их  организации:

- нет системы в организации работ, они случайны и по содержанию, и по количеству, и по форме;

- уровень предлагаемой самостоятельности не соответствует учебным возможностям учебника; слабо выражен индивидуальный подход в подборе заданий;

- самостоятельные работы однообразны, их продолжительность не оптимальна для данного класса.

3. Системы упражнений и задач.

        Упражнения являются самым распространенным видом самостоятельных работ. Их роль при осмыслении и закреплении знаний, развитии мышления учащихся очень велика. Особенно эффективно продуманная система упражнений, уровень самостоятельности, необходимой для их выполнения.

По целевому назначению упражнения удобно разделить на три группы:

1. упражнения, составленные для изучения материала, приобретения умений и навыков. Из них выделяют подготовительные, пробные; предназначенные для выполнения действий по образцу, схеме, заданному предписанию и т.д.
2.  упражнения, составленные для закрепления пройденного материала.
3. Контрольные задания, составленные с целью проверки глубины усвоения полученных знаний.

        Организация учебной деятельности по решению различных учебных задач включает в себя:

- анализ содержания поставленной задачи и определение цели действия;

- поиск плана решения задачи;

- реализация найденного плана;

- проверка правильности действий, истинности ответа;

- анализ других возможных вариантов решения, доказательств, вариантов действий и их сопоставление с первым.

       Четкий план организации действий при выполнении различных упражнений резко увеличивает их эффективность. Часто беспомощность ученика вызвана не проблемами в знаниях, а является следствием его методической неумелости.

При подборе задач и упражнений по каждой теме особое внимание обращается на всестороннее закрепление всех признаков понятия, четко выделяются навыки и умения, которые надо сформировать и закрепить с помощью различных упражнений. Исключить упражнения «на всякий случай» - значит заметно повысить эффективность урока.

Учитель постоянно следит за точностью выполнения задания, особенно на этапе подготовительных и пробных упражнений, так как могут быть закреплены ошибки учеников, их неверные навыки. Поэтому этот этап характеризуется низким уровнем самостоятельности.

Систему упражнений и задач удобно организовать по этапам:

- начинать с типовых задач и заданий. Подробно объясняется метод их решения. Ученики закрепляют его, выполняя действия по образцу;

- затем даются аналогичные задачи и упражнения с планом решения и оказания помощи при решении. На этом этапе нужна энергичная корректировка уровня самостоятельности;

- далее следуют задачи с кратким планом решения или краткими указаниями для выполнения заданий. Контроль на этом этапе особенно важен, хотя уровень самостоятельности достаточно высок;

- задачи и упражнения для полностью самостоятельного выполнения. Составление задач, написание сочинений и диктантов на конкретные темы, практические лабораторные работы. На этом этапе выясняется, достаточно ли подготовлен ученик на предыдущих этапах и способен ли он для творческой работы;

- различные творческие задания.

Тенденция к повышению самостоятельности привела к резкому сокращению числа решаемых типовых и аналогичных задач по образцу с развернутым планом решения, составляемым всем классом. Сильные учащиеся при этом выигрывают, а для остальных это приводит к проблемам в знаниях.

Важная роль в умении решать задачи отводится правильной организации поиска решения любой конкретной задачи. Необходимо значительную часть этой работы алгоритмизировать, создать ряд четких предписаний для их решения. При этом нельзя формально использовать алгоритмы.

Типичные ошибки в организации и проведении упражнений:

- упражнения бывают случайными, не представляющие собой часть продуманной системы;

- упражнения чаще всего проводятся фронтально, не индивидуализируются;

- ученик не получает своевременно указаний о допущенных ошибках и верных способах действий.

3. Самостоятельная работа с книгой.

Условия организации работы с книгой на уроке:

- работу с учебником следует тщательно планировать, включая ее одним из видов самостоятельной деятельности учащихся; подбирать удачные темы для такой работы;

- действиями учеников надо четко управлять: что читать, с какой целью, на какие вопросы ответить, какие части озаглавить, какие выполнить упражнения после чтения параграфа и т.д. читать только с целью пересказа в старших классах не следует;

- работа с учебником не должна занимать весь урок. Она разумно сочетается с другими видами учебной работы;

- нецелесообразно заучивать прочитанное наизусть. При чтении надо учиться выделять главную мысль каждого абзаца, по возможности ее конспектируя, составлять план прочитанного. Следует помнить, что некоторым учащимся проще выучить прочитанное, чем выделить смысл. С такими учащимися надо особенно терпеливо работать;

- широко использовать графический материал учебника для самостоятельной работы: рассказ по картинкам, анализ рисунка, чтение и анализ графика;

- следует целенаправленно работать с теми вопросами, которые имеются в учебниках в конце параграфа. Можно, например, составить план прочитанного с помощью системы вопросов, ответы на которые являются опорными смысловыми пунктами в анализируемом тексте.

Особое значение на уроке имеет работа с различной справочной литературой. Задачи необходимо составлять так, чтобы необходимые данные учащиеся находили самостоятельно. Справочный материал накапливается в кабинете.

4. Организация лабораторных и практических занятий.

Организация любой лабораторной работы начинается с установления ее места в системе уроков по данной теме.  Учителю надо установить сроки проведения работы: сразу после изучения нового материала, на следующем уроке или через 2-3 урока.

Определенная подготовительная работа проделывается до урока: повторяется теоретическая часть, учащиеся знакомятся с оборудованием, заносят в тетрадь название работы, состав оборудования, заготавливают сетки таблиц и т.д. Также проверяется наличие и исправность необходимого оборудования. До урока учитель определяет основную цель урока и выделяет те главные умения и навыки, а также основные знания, которыми и должен обладать ученик, чтобы выполнить лабораторную работу.

При подготовке к лабораторной работе учитель должен определить, что ученик может определить самостоятельно, а что необходимо дать в готовом виде в описании к работе. Описания к работам можно сделать различными по уровню сложности, соотношение индивидуальным возможностям учащихся.

Дополнительные задания должны быть творческими, чтобы ответ на вопрос не содержался в учебнике в явном виде.

Лабораторная работа, в принципе, должна быть исследовательской. Но в какой мере исследования вести самостоятельно, с какой долей проблемных вопросов, зависит от подготовки класса.

Перед началом лабораторной работы рекомендуется продемонстрировать все этапы деятельности учащихся в процессе ее выполнения с кратким анализом действий. Эти 5 минут анализа и повторения помогут всем: сильные могут высказать свои соображения, послабее- повторят и закрепят неуверенные знания, а совсем слабые может быть впервые уяснят ход работы.

Начиная с первых лабораторных работ по предмету,  учащихся приучают к осмысленной оценке достоверности результата измерений и вычислений. Развитие таких навыков и умений требуют больших усилий со стороны учителя и ученика. Из-за погрешностей приборов нельзя найти точное значение измеряемой величины, поэтому уже на первых лабораторных работах нельзя записывать точное число результата измерения массы и т.д. Отсюда и погрешность вычисления должна быть.

Оформление лабораторной работы:

- дата, номер лабораторной работы по программе, название;

- оборудование;

- теоретическое обоснование работы;

- таблица, в которую вносят результаты измерений и вычислений;

- оценка погрешности вычислений и измерений;

- выводы из результатов работы;

- ответы на дополнительные вопросы.

Это примерная, пригодная не для всех работ схема. В описании работы не должно быть материала, который мало полезен учащимся (например, рисунки громоздких установок и т.д.).

Оценка работы:

- критерием оценки не может быть сравнение полученных результатов с табличными данными;

- не за каждую программную лабораторную работу ставится оценка. Некоторые работы оцениваются выборочно (наблюдение за объектом  и т.д.);

- специальной отметкой можно оценить навыки измерения и вычислений, а также оформление работы. Однако, искусственное разделение оценки умений и навыков от оценки знаний приносит вред.

Литература.

1. «Организация современного урока» Ю.Б.Зотов.
2. «Самостоятельная деятельность учащихся при обучении математике». Сборник статей, составители С.И.Демидова, Л.О.Денищева. Москва, «Просвещение» 1985г.