Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Баллов

0 – 7

8 – 14

15 – 21

22 – 32

ЛОБАЧЕВСКИЙ НИКОЛАЙ ИВАНОВИЧ (1792-1856), русский математик, создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского).

Родился в небогатой семье мелкого служащего. Почти вся жизнь Лобачевского связана с Казанским университетом, в который он поступил по окончании гимназии в 1807. По окончании университета в 1811 стал математиком, в 1814 — адъюнктом, в 1816 — экстраординарным и в 1822 — ординарным профессором. Дважды (1820-22 и 1823-25 гг.) был деканом физико-математического факультета, а с 1827 по 1846 — ректором университета.

Величайшим научным подвигом считается создание им первой неевклидовой геометрии, историю которой принято отсчитывать от заседания Отделения физико-математических наук в Казанском университете 11 февраля 1826, на котором Лобачевский выступил с докладом «Сжатое изложение основ геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных».Лобачевский вошел в историю математики не только как гениальный геометр, но и как автор фундаментальных работ в области алгебры, теории бесконечных рядов и приближенного решения уравнений.

ПОГОРЕЛОВ АЛЕКСЕЙ  ВАСИЛЬЕВИЧ (1919- 2002) — советский, украинский математик. Специалист в области выпуклой и дифференциальной геометрии, теории дифференциальных уравнений и теории оболочек.

10 июня 1960 года избран членом-корреспондентом АН СССР в Отделение физико-математических наук, 23 декабря 1976 года — академиком АН СССР в Отделение математики.

В 1974 году решил четвёртую проблему Гильберта.  Работал в Физико-техническом институте низких температур АН УССР.

Одним из хорошо известных результатов его педагогической деятельности стал учебник геометрии для 6—10 классов средней школы, впервые опубликованный в 1982 году (на основе написанного им ранее пособия для учителей) и неоднократно издававшийся с того времени.

ОСТРОГРАДСКИЙ  МИХАИЛ  ВАСИЛЬЕВИЧ (1801-1862)  - русский  математик, один из основателей  петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук (1830).
Остроградский учился в  Харьковском университете, но не получил свидетельства об его окончании из-за своих антирелигиозных взглядов. Для совершенствования  математических знаний ему пришлось уехать во Францию, где под влиянием П. Лапласа, Ж. Фурье, О. Коши и других видных французских  математиков он начал исследования в  области математической физики.
Основополагающие работы И. Ньютона и Г. В. Лейбница дали математический аппарат для  исследования тех проблем механики и астрономии, которые сводились к функциям одного аргумента  (времени). Но целый ряд вопросов физики приводил к рассмотрению функций, зависящих от многих переменных.
Необходимость решать задачи,  касающиеся функций многих  переменных, привела к созданию новой  области математики, получившей  название теории уравнений  математической физики. Развивая методы  решения таких уравнений,  предложенные в частном случае еще в XVIII в., Ж. Фурье свел их решение к  разложению функций в ряды по  тригонометрическим функциям.  
Остроградский был основателем  научной школы русских ученых,  работавших в области механики и  прикладной математики и воспринявших от своего учителя принцип  сознательного сочетания теории с практикой.

АЛЕКСАНДРОВ АЛЕКСАНДР ДАНИЛОВИЧ (1912-1999) — математик, физик, философ и альпинист.
Работы Александрова обогатили геометрию методами теории меры и функционального анализа. Александров развил синтетический подход к дифференциальной геометрии. В частности, создание внутренней геометрии нерегулярных поверхностей. Он разработал наглядный метод разрезывания и склеивания. Этот метод позволил Александрову решить многие экстремальные задачи теории многообразий ограниченной кривизны. Александров построил теорию метрических пространств с односторонними ограничениями на кривизну.
Естественный класс метрических пространств получил название «геометрия Александрова», он по сей день активно развивается.
В работах Александрова также получила развитие теория смешанных объёмов выпуклых тел. Он доказал фундаментальные теоремы о выпуклых многогранниках и предложил новый синтетический метод доказательства теорем существования.А. Д. Александров также является основоположником хроногеометрии.
Им написан ряд монографий, множество научных статей, учебники для школ и ВУЗов, создана большая научная школа.

ЛУЗИН  НИКОЛАЙ  НИКОЛАЕВИЧ(1883-1950) - советский математик, основоположник советской школы теории функций, академик (1929).
Лузин родился в Томске, учился в томской гимназии. В 1901 г. Лузин поступил на математическое отделение физико-математического факультета Московского университета. С первых лет обучения в круг его интересов попали вопросы, связанные с бесконечностью. В конце XIX в. немецкий ученый Г. Кантор создал общую теорию бесконечных множеств, получившую многочисленные применения в исследовании разрывных функций. Лузин начал изучать эту теорию, но его занятия были прерваны в 1905 г. Студенту, принимавшему участие в революционной деятельности, пришлось на время уехать во Францию. Там он слушал лекции виднейших французских математиков того времени. По возвращении в Россию Лузин окончил университет и был оставлен для подготовки к профессорскому званию. Вскоре он вновь уехал в Париж, а затем в Геттинген, где сблизился со многими учеными и написал первые научные работы. Основной проблемой, интересовавшей ученого, был вопрос о том, могут ли существовать множества, содержащие больше элементов, чем множество натуральных чисел, но меньше, чем множество Точек отрезка. Одновременно Лузин изучал вопрос, можно ли представить любую периодическую функцию в виде суммы тригонометрического ряда. В 1915 г. Лузин защитил диссертацию и получил ученую степень доктора чистой математики. В 1917 г. Лузин стал профессором Московского университета. Многие ученики Н. Н. Лузина стали впоследствии академиками и членами-корреспондентами АН СССР. Среди них П. С. Александров, А. Н. Колмогоров и др.

ЧЕБОТАРЁВ  НИКОЛАЙ ГРИГОРЬЕВИЧ(1894- 1947) — советский математик, алгебраист. Автор теоремы плотности Чеботарёва.
С детства проявил выдающиеся способности к математике. В 1912 поступил в Киевский университет. Начиная со второго курса, посещал семинары профессора Д. А. Граве по теории аналитических и алгебраических функций. Со временем составил собственное сочинение на эту тему и доказал арифметическую теорему монодромии.  В 1916 оставлен при университете для приготовления к профессорскому знанию, которое получил в 1918. В 1918-21 состоял приват-доцентом при университете, а также занимался преподавательской работой в Киевских ВУЗах.В 1927 г. получил назначение в Казанский университет на должность заведующего кафедрой математики. В 1932 году выступал на Всемирном конгрессе математиков в Цюрихе с докладом, посвящённым столетию со дня смерти Эвариста Галуа.
Ещё в 1929 году был выбран членом-корреспондентом Академии наук СССР. В 1945 году стал первым директором Казанского физико-технического института АН СССР. Однако проработал на этой должности всего год.В 1947 г. скончался после тяжёлой операции.

ЧЕБЫШЁВ  ПАФНУТИЙ  ЛЬВОВИЧ - один из крупнейших русских математиков XIX века.
Первоначальное образование он получил дома. В 1841 г. Чебышев окончил физико-математический факультет Московского университета, через  несколько лет защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей». В 1847 г. он переехал в Петербург и начал чтение лекций по алгебре и теории чисел. В Петербурге Чебышев защитил докторскую диссертацию «Теория сравнений» и стал  профессором Петербургского университета. В 1856 г. он был избран академиком Петербургской академии наук. В 1882 г. он прекратил чтение лекций и целиком занялся научной работой. К 50-м гг. относятся знаменитые работы Чебышева о простых числах. Это сразу же выдвинуло молодого русского математика в число первых ученых Европы. Второй цикл работ, прославивших Чебышева, составили его  исследования по теории вероятностей -  молодой тогда области математики. Чебышев по праву считается  основателем русской школы теории  вероятностей.
У П.Л. Чебышева были работы, посвященные черчению географических карт, рациональному раскрою одежды, он даже изготовил чехол, плотно облегающий шар. Но особенно много сил отдал ученый теоретическим и практическим  вопросам создания механизмов. Ему принадлежит много интересных конструкций, в том числе  арифмометр, полуавтомат, самокатное  кресло, гребной автомат, который  повторял движение весел в лодке.  
П. Л. Чебышев создал первую  математическую школу в России, она называлась Петербургской  математической школой, из которой вышли первоклассные ученые.

КОВАЛЕВСКАЯ  СОФЬЯ  ВАСИЛЬЕВНА (1850-1891 гг.) -выдающийся  русский математик; первая в мире женщина - профессор и член-корреспондент  Петербургской академии наук.
В юности Софья брала уроки у известного педагога А.Н.Страннолюбского.На первых же занятияхСтраннолюбский был крайне удивлен тем, что его ученица все премудрости высшей математики схватывала буквально на лету. В царской России доступ женщинам в высшие учебные заведения был запрещен. Так Софья Ковалевская вынуждена была уехать за границу. В Берлине онаслушает лекции профессора Берлинского университета Карла Вейерштрасса. Вейерштрасс принял Софью Ковалевскую весьма холодно и, чтобы скорей отвязаться от назойливой посетительницы, дал ей несколько трудных задач, надеясь, что она не справится с заданием. Однако, Софья справилась с задачами и вскоре стала его любимой ученицей.
Годы упорного труда закончились для Ковалевской тремя самостоятельными научными исследованиями. За эти работы в 1874 году Ковалевской была присуждена степень доктора философии "с наивысшей похвалой".В 1888 году Ковалевская закончила научную работу - "Задача о вращении твердого тела около неподвижной точки". Эта работа явилась подлинным научным триумфом Ковалевской. Она решила проблему, над которой ученые бились безуспешно в течение многих лет.В 1889 году Ковалевской была присуждена еще одна премия, на этот раз Шведской академией наук, за  вторую работу о вращении твердого тела.П.Л.Чебышев в 1889 году добился избрания Ковалевской членом-корреспондентом Российской академии наук.10 февраля 1891 года на 42-м году жизни в расцвете своих творческих сил Софья Ковалевская скончалась от воспаления легких.

БАРИ  НИНА  КАРЛОВНА(1901 - 1961 гг.) - советский математик, доктор физико-математических наук, профессор МГУ.
Нина Бари росла одаренным ребенком. Еще в гимназии она увлеклась математикой. Нина Карловна была одной  из первых женщин, поступивших учиться  на физико-математический факультет Московского университета. Это был первый прием  в университет после Октябрьской революции. В 1925 году Бари блестяще окончила аспирантуру Московского университета и успешно защитила кандидатскую диссертацию на тему  " О единственности тригонометрических разложений".
Первые результаты  по теории множеств Нина Карловна получила еще в студенческие годы, когда училась на  третьем курсе университета. О результатах своих исследований она доложила на заседании математического общества. Ее слушали прославленные ученые нашей страны.
Степень доктора физико-математических наук ей присудили в 1935 году, когда она была уже известным ученым, имевшим большие заслуги в изучении тригонометрических рядов и теории множеств.
С 1927 года - член Французского и Польского математических обществ. Бывала несколько раз за границей. В 1927 году в Париже активно участвовала в семинаре академика Адамара. Через год, снова в Париже, ведет большую научно-исследовательскую работу. Нина Карловна представляла советскую математическую школу на международных математических конгрессах в Болонье (1928) и в Эдинбурге (1958). Она выступала с обзорными докладами и на различных математических конференциях и съездах у нас в стране. 15 июля 1961 года Бари погибла, попав под поезд.

Из курса геометрии вам известно, что косинусом  острого угла прямоугольного треугольника называется отношение катета, прилежащего к этому углу, к гипотенузе. А как называется  отношение гипотенузы к этому катету?
Ответ: секанс

Как называли на Руси расстояние  между кончиками пальцев  указательного и большого?

Назови фамилию

1.Этот человек родился в Тверской губернии. В 1700 г Петром I он был "учинён" учителем математики. он автор первого русского учебника по математике и навигации.
Ответ: Магницкий

Портрета Магницкого не существует.

2. Этот математик древности погиб от меча римского солдата, воскликнув "Отойди, не трогай моих чертежей!"
Ответ: Архимед

3. В 3 года он заметил ошибку в расчетах отца. В 7 лет решил задачу за несколько секунд. Его называли королём математики.

Ответ: Гаусс

Гаусс в 62 года выучил русский язык, чтобы читать труды Лобачевского. 

Как-то индийский царь Шерам позвал к себе изобретателя шахматной игры, своего подданного. Звали его Сета. Шерам хотел наградить его за остроумную выдумку и спросил, что Сета желает получить за выдумку. Подданный потребовал за первую клетку шахматной доски 1 зерно, за вторую — 2 зерна, за третью — 4 зерна и т. д. Обрадованный царь приказал выдать такую «скромную» награду. Однако оказалось, что царь не в состоянии выполнить желание Сеты.
Почему? Найдите, сколько зерен пожелал получить Сета.

Ответ: царь не смог выполнить желание, т. к. нужно было выдать количество зерен, равное сумме геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8 …
Всего надо было выдать 264 − 1 зерен.
Это более чем 1 000 000 000 000 000 000

Каким образом нужно записать три цифры 9 так, чтобы получилось наибольшее значение?

Предложите кому-нибудь задумать двухзначное число, а потом возвести его в куб. Услышав ответ, вы мгновенно сообщаете, какое число было задумано. Для этого, правда, придется выучить наизусть кубы цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Вот они:
0^ 3 = 0, 1^ 3 = 1, 2^ 3 = 8, 3^ 3 = 27, 4 ^3 = 64, 5^ 3 = 125, 6^ 3 = 216, 7 ^3 = 343, 8^ 3 = 513, 9 ^3 = 729.
Заметим, что кубы цифр 0, 1, 4, 5, 6 и 9 оканчиваются той же цифрой (4 ^3 = 64, 9 ^3 = 729), а цифры 2 и 8, 3 и 7 образуют пары, в которых куб одной цифры оканчивается другой.

Пусть возводили в куб число 67. Получили ответ 300 763. Услышав это значение, отгадывающий замечает, что 300 лежит между 216 и 343, то есть между 6^ 3 и 7^ 3, а потому цифра десятков равна 6. Последняя цифра ответа 3 получается при возведении в куб числа 7. Значит, цифра единиц равна 7. Мы отгадали задуманное число: 67. После небольшой тренировки отгадывание происходит мгновенно.

Самый впечатляющий фокус — это отгадывание двухзначного числа по его пятой степени. Ведь чтобы возвести число в пятую степень, придется четыре раза делать умножение, а в ответе может получится десятизначное число! А отгадка основана на том, что при возведении всех цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в пятую степень получается число, оканчивающееся той же цифрой, которую возводили в степень.

Например:
1^5 = 1, 2^5 = 32, 3^5 = 243, 4^5 = 1024, 5^5 = 3125 и т. д.
Кроме этого надо запомнить следующую таблицу, показывающую, с чего начинаются пятые степени следующих чисел:
10     100 тыс.
20     3 млн.
30      24 млн.
40      100 млн.
50       300 млн.
60      777 млн.
70      1 млрд. 500 млн.
80      3 млрд.
90      6 млрд.
100    10 млрд.

Поэтому, услышав, что при возведении двухзначного числа в пятую степень получился ответ 8 587 340 257, сразу соображаем, что 8 миллиардов лежат между 6 миллиардами и 10 миллиардами, а потому цифра десятков равна 9. А услышав, что ответ кончается цифрой 7, понимаем, что той же цифрой кончается и двухзначное число. Значит возводили в пятую степень число 97.

Задумайте число, удвойте его, к полученному прибавьте 5. Ещё прибавьте 5 раз его же, затем к результату прибавьте 10. полученное умножьте на 10. Какое число у вас получилось? В чём секрет фокуса?

Запишите любое  трёхзначное число, но такое, чтобы крайние цифры отличались на 5. Поменяйте местами крайние цифры. получили второе число. Вычтете из большего меньшее. Разделит разность на 9. Ответом будет 55. Почему?

Как такое может быть?

Единица равна двум
Простым вычитанием легко убедиться в справедливости равенства 1-3 = 4-6. Добавив к обеим частям этого равенства число  9/4, получим новое равенство  1- 3 +9/4=4-6+9/4, в котором, как нетрудно заметить, правая и левая части представляют собой полные квадраты, т. е. (1-  3/2)² = (2-  3/2)². Извлекая из правой и левой частей предыдущего равенства квадратный корень, получаем равенство  1-  3/2 = 2 -  3/2  ,  откуда следует, что 1 = 2.

Ответ: 1-3/2 число отрицательное, поэтому извлкая корень квадратный (при снятии 2), должно остаться -(1-3/2). Поэтому должно быть равенство -1+3/2=2-3/2, откуда 1/2=1/2.

Неравные числа равны

Ошибка совершена при переходе от равенства (1) к равенству a=b Производится деление на выражение равное нулю: a-b-c=0.

Всякое число равно своему удвоенному значению

Ошибка при переходе от равенства (1) к  равенству а=2а. Производится деление на х-1, которое равно нулю.

ЗАДАЧА ЛЮКА

Эту задачу придумал французский математик прошлого века Э. Люка. Его соотечественник, математик Лезан рассказывает следующую историю, ручаясь за ее достоверность.

На одном научном конгрессе в конце завтрака, на котором присутствовало много известных математиков из разных стран. Люка вдруг объявил, что он хочет предложить всем присутствующим один из самых трудных вопросов.
- Я полагаю,- сказал Люка,- что каждый день в полдень из Гавра в Нью- Йорк отправляется пароход, в тот же самый момент пароход той же компании отправляется из Нью-Йорка в Гавр. Переезд совершается ровно в 7 суток как в том, так и в другом направлении. Сколько судов своей компании, идущих в противоположном направлении, встретит пароход, отправляющийся сегодня в полдень из Гавра?

Как вы ответили бы на вопрос Люка? Подумайте о графическом способе решения этой задачи.

Франсуа́ Эдуа́рд Анато́ль Люка́ (1842 — 1891) — французский математик, профессор. Работал в лицее Луи-ле-Гран в Париже. Важнейшие работы Эдуарда Люка относятся к теории чисел и теневому исчислению.

Решение.

Часто дают неправильный ответ, например 7. Это объясняется тем, что, имея в виду те пароходы которые должны еще отправиться в путь, забывают о тех, которые уже в дороге. Очень и наглядное решение можно получить при помощи движения каждого из пароходов (рис.).

На примере парохода, график которого изображен линией АВ, видно, что пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк, встретит в море 13 судов да еще два: один в момент отхода (прибывший из Нью-Йорка) и один в момент прихода в Нью-Йорк (отбывающий из Нью- Йорка), или всего 15 судов. График показывает также и то, что встречи пароходов будут происходить ежедневно в полдень и в полночь.

Заслуживает внимания и арифметическое решение. Примем за 1 путь от Гавра до Нью-Йорка. Так как парохода идут с одинаковой скоростью, то пароход, вышедший из Нью-Йорка одновременно с пароходом Г, вышедшим из Гавра, встретится с ним на середине пути.

Пароход, вышедший из Нью-Йорка на день раньше, к моменту выхода парохода Г пройдет 1/7 часть пути и, следовательно, встретится с пароходом Г на расстоянии 0,5(1 -1/7)= 6/14 пути от Гавра; пароход, вышедший из Нью-Йорка на два дня раньше, встретится с пароходом Г на расстоянии 0,5(1-2/7) =5/14 пути от Гавра; …; пароход, вышедший из Нью-Йорка на шесть дней раньше, встретится с пароходом Г на расстоянии 0,5(1-6/7)= 1/14 пути от Гавра.

Пароходы, которые выйдут  из Нью-Йорка позже, будут встречаться с пароходам Г на таких же расстояниях, но уже от Нью-Йорка.

Значит, через каждую 1/14 часть пути пароход Г будет встречаться с пароходом, идущим из Нью-Йорка. Кроме того, он встретит один пароход в момент отхода и один - в момент прихода. Всего он встретит 15 пароходов.

Задача Ньютона

"Три луга, покрытые травой одинаковой густоты и скорости роста, имеют площади: 3 1/3 га, 10 га и 24 га. Первый прокормил 12 быков в продолжение 4 недель; второй - 21 быка в течение 9 недель. Сколько быков может прокормить третий луг в течение 18 недель?"

Решение

Введем вспомогательное неизвестное у, означающее, какая доля первоначального запаса травы прирастает на 1 га в течение недели. На первом лугу в течение недели прирастает травы 3 1/3y, а в течение 4 недель 3 1/3y × 4 = 40/3y того запаса, который первоначально имелся на 1 га. Это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась и сделалась равной (3 1/3 + 40/3y) га. Другими словами, быки съели столько травы, сколько покрывает луг площадью в 3 1/3 + 40/3y гектаров. В одну неделю 12 быков поели четвертую часть этого количества, а 1 бык в неделю 1/48 часть, т. е. запас, имеющийся на площади:
(3 1/3 + 40y/3): 48 = (10 + 40y)/144 га.

Подобным же образом находим площадь луга, кормящего одного быка в течение недели, из данных для второго луга:
недельный прирост на  1 га =   у,
9-недельный прирост на  1 га =  9y,
9-недельный прирост на 10 га = 90у.

Площадь участка, содержащего запас травы для прокормления 21 быка в течение 9 недель, равна  10 + 90y.
Площадь, достаточная для прокормления 1 быка в течение недели, - (10 + 90у)/9 × 21 = (10 + 90у)/189
гектаров. Обе нормы прокормления должны быть одинаковы:  (10 + 40у)/144 = (10 + 90у)/189.
Решив это уравнение, находим y = 1/12.

Определим теперь площадь луга, наличный запас травы которого достаточен для прокормления одного быка в течение недели: (10 + 40у)/144 = (10 + 40 × 1/12)/144 = 5/54  гектаров.

Наконец, приступаем к вопросу задачи. Обозначив искомое число быков через х, имеем:
(24 + 24 × 18 × 1/12)/18x = 5/54, откуда x = 36.

Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.

ЖИЗНЬ ДИОФАНТА

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Возьмем за х всю жизнь Диофанта. Тогда : х/6 - его детство; х/12 - его юность; х/7 - брак; +5 лет - родился сын; сын прожил вполовину меньше отца - х/2; Диофант прожил еще 4 года. Имеем: х/6+х/12+х/7+5+х/2+4=х
Ответ: Диофант прожил 84 года.

Алгебраические фракталы

Фрактал, с математической точки зрения, это, прежде всего, множество с дробной, промежуточной, «не целой» размерностью. Алгебраические фракталы названы так потому, что их генерируют с помощью алгебраических форму, иногда совсем несложных.

Алгебраические фракталы получают с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. На сегодняшний момент наиболее изученными являются двухмерные процессы. Как известно, нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. Каждое устойчивое состояние или аттрактор обладает определенной областью начальных состояний, из которых система обязательно попадет в рассматриваемые конечные состояния. Из этого следует, что фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракторов. Таким образом, если фазовым является двухмерное пространство, то окрашивая области притяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Изменение алгоритма выбора цвета, позволяет получать сложные фрактальные узоры с невероятными многоцветными узорами. Самой большой неожиданностью для математиков стало открытие возможности с помощью примитивных алгоритмов порождать очень сложные нетривиальные структуры.

Математика . Большая детская энциклопедия, 2009

Секрет Мёбиуса

Ученым наконец-таки удалось разгадать тайну ленты Мебиуса, и это открывает новые горизонты, в целом ряде областей. С ее помощью, как предполагают, можно даже создать почти вечный электродвигатель.

Этот фокус по силам каждому. Отрежьте от газетного листа длинную узкую полоску бумаги и склейте ее концы, предварительно перекрутив их на 180 градусов так, чтобы лицевая сторона полоски была соединена с тыльной.

У вас получится лента Мёбиуса, названная так по имени профессора Лейпцигского университета математика и астронома Августа Фердинанда Мёбиуса (1790 —1868), поскольку была описана им в 1827 году, то есть  180 лет назад.

Эта геометрическая фигура замечательна уже тем, что имеет только одну поверхность. В самом деле, если вы проведете по ней линию, не отрывая кончика карандаша, то убедитесь, что смогли пометить сразу обе стороны ленты.

И это лишь одно из замечательных свойств поверхности Мёбиуса, которая оказалась востребованной во многих областях - от цирка до космологии.

ПОДРОБНОСТИ ДЛЯ ЛЮБОЗНАТЕЛЬНЫХ
Ведь ленту можно закручивать на один, два, три полуоборота, можно разрезать ее вдоль, и тогда получившиеся две ленты оказываются вдеты одна в другую (это один из популярных цирковых фокусов).

Чудесные свойства этого простого И в то же время загадочного листа бумаги в разных странах породили множество научных трудов, изобретений (и полезных, и нереальных), а также многочисленные фантастические рассказы, повести и романы.

Согласно теориям и фантазиям, одна из моделей на-шей Вселенной — это трехмерный лист или лента Мёбиуса. Модель соответствует теории относительности Эйнштейна и его предположению, что космический корабль, все время летящий прямо, может вернуться к месту старта, подтвердив тем самым неограниченность и конечность Вселенной. Но астронавты, совершив путешествие по ленте Мёбиуса и оказавшись в исходной точке, превратятся в своих зеркальных двойников — сердце у них будет справа, а правши станут левшами.

Кстати, создать математический аппарат для описания простейшей односторонней плоскости долгое время не удавалось никому. Решить задачу в уходящем, 2007 году смогли математик Евгений Старостин и его коллега Герт ван дер Хейден из Университетского колледжа в Лондоне (Великобритания). Самое интересное, что для этого им не понадобились ни сверхсложные формулы, ни сверхмощные компьютеры, «Обошлись уравнениями, которые я вывел лет 25 тому назад», — пояснил Старостин.
Теперь, как считают специалисты, станет проще изучать биологические молекулы, синтезировать сложные лекарства, проектировать углеродные нанотрубки.
А сама лента Мёбиуса уже находит применение в практике. Придуманы и воплощены в жизнь: бесконечная шлифовальная лента, работающая обеими сторонами; фильтр непрерывного действия для жидкостей; особые кассеты в магнитофоне, в которых лента соединена в кольцо и перекручена, их не надо снимать и менять местами... С помощью ленты Мёбиуса и эффекта сверхпроводимости можно также создать электрический двигатель, который будет работать если не вечно, то очень и очень долго. И много что еще.

Например, для детей придумана замечательная забава: игрушечная электрическая железная дорога, полотно которой представляет собой ленту Мёбиуса. И локомотив с разбегу выделывает головокружительные трюки.

В общем, недаром детищу немецкого профессора поставлен памятник перед входом в Музей истории и техники в Вашингтоне, где медленно вращается на пьедестале стальная лента, перекрученная на полвитка.

/журнал Юный техник, 2007/

Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии.
/А.С.Пушкин/

Геометрия в искусстве

Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический вывод.  Геометрия соединяет в себе эти противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг друга.

Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в некотором смысле относится к искусству. Искусство лучше всего воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М. К. Эшера, они образуют своего рода художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту — в чисто геометрических конструкциях и построениях.

Симметрия и асимметрия

Еще одним фундаментальным понятием науки, которое наряду с понятием "гармонии" имеет отношение практически ко всем структурам природы, науки и искусства, является "симметрия".
Симметрия широко встречается в объектах живой и неживой природы. Например, симметрия в химии отражается в геометрической конфигурации молекул.  Понятие "симметрии" является центральным при исследовании кристаллов. При этом симметрия внешних форм кристаллов определяется симметрией его атомного строения, которая обуславливает и симметрию физических свойств кристалла.

Особенно широко понятие "симметрии" применительно к физическим законам используется в современной физике.

На явление симметрии в живой природе обратили внимание еще пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. Установлено, что в природе наиболее распространены два вида симметрии - "зеркальная" и "лучевая" (или "радиальная") симметрии. "Зеркальной" симметрией обладает бабочка, листок или жук и часто такой вид симметрии называется "симметрией листка" или "билатеральной симметрией". К формам с лучевой симметрией относятся гриб, ромашка, сосновое дерево и часто такой вид симметрии называется "ромашко-грибной" симметрией.

Принцип "симметрии" широко используется в искусстве. Бордюры, используемые в архитектурных и скульптурных произведениях, орнаменты, используемы в прикладном искусстве, - все это примеры использования симметрии.Художники разных эпох использовали симметричное построение картины. Симметричными были многие древние мозаики. Живописцы эпохи Возрождения часто строили свои композиции по законам симметрии. Такое построение позволяет достигнуть впечатления покоя, величественности, особой торжественности и значимости событий. Симметрия в искусстве основана на реальной действительности, изобилующей симметрично устроенными формами. Например, симметрично устроены фигура человека, бабочка, снежинка и многое другое. Симметричные композиции - статичные (устойчивые), левая и правая половины уравновешены.

«Золотое сечение»

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами: теоремой Пифагора и "Золотым сечением".

Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b= b : c или с : b= b : а.
Древнейшим литературным памятником, в котором встречается "Золотое сечение", являются "Начала" Евклида (3 в. до н. э.). Известно, что о золотом сечении знали Пифагор и его ученики (6 в. до н. э.). Как следствие многочисленных применений золотого сечения как в геометрии, так и в искусстве в эпоху Возрождения появилась книга "Божественная пропорция", а сам термин был введен Леонардо да Винчи в 15 веке. Пропорция золотого сечения лежит в основе многих творений Фидия, Тициана, Рафаэля и других.

В эпоху Возрождения золотое сечение было очень популярно среди художников,  скульпторов и архитекторов.  В большинстве живописных пейзажей линия горизонта делит полотно по высоте в отношении золотой пропорции, а при выборе размеров картин старались,  чтобы отношение ширины к высоте тоже равнялось золотой  пропорции.

Математика в архитектуре

«Золотое сечение» многократно встречается при анализе геометрических соразмерностей Парфенона. Это древнее сооружение с его гармоничными пропорциями дарит нам такое же эстетическое наслаждение, как и нашим предкам. Многие искусствоведы, стремившиеся раскрыть секрет того могучего эмоционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя, искали и находили в соотношениях его частей золотую пропорцию. Кроме того, заметим, что человеческое творчество во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Известно, что принципы симметрии являются руководящими принципами для любого архитектора.

Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоничную композицию из симметричных элементов. Примером может служить собор Василия Блаженного на Красной площади в Москве. Нельзя не восхищаться этой причудливой композицией из десяти различных храмов. Каждый храм геометрически симметричен, однако собор как целое не обладает ни зеркальной, ни поворотной симметрией.

Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.

Проводим прямую АВ. От точки А откладываем на ней три раза отрезок О произвольной величины, через полученную точку Р проводим перпендикуляр к линии АВ, на перпендикуляре вправо и влево от точки Р откладываем отрезки О. Полученные точки d и d1 соединяем прямыми с точкой А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются для построения «золотого» прямоугольника.