Математика 10 класс
Презентации
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Презентация "Параллельность прямой и плоскости" | 786.5 КБ |
| Аксиомы стереометрии | 1.3 МБ |
| Последовательность.Предел. | 883.54 КБ |
| Простейшие тригонометрические уравнения | 388 КБ |
| Последовательности | 882.41 КБ |
| Пирамида | 731.5 КБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Планиметрия Стереометрия Изучает свойства геометрических фигур на плоскости Изучает свойства фигур в пространстве В переводе с греческого слово «геометрия» означает «землемерие» «гео» – по-гречески земля, «метрео» – мерить Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» объемный, пространственный, «метрео» – мерить
Планиметрия Стереометрия Наряду с этими фигурами мы будем рассматривать геометрические тела и их поверхности. Например, многогранники. Куб, параллелепипед, призма, пирамида. Тела вращения. Шар, сфера, цилиндр, конус. Основные фигуры: точка, прямая Основные фигуры: точка, прямая, плоскость Другие фигуры: отрезок, луч, треугольник, квадрат, ромб, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, выпуклые и невыпуклые n- угольники, круг, окружность, дуга и др.
Для обозначение точек используем прописные латинские буквы A D F Для обозначение прямых используем строчные латинские буквы f d h Или обозначаем прямую двумя прописными латинскими буквами. S N
Плоскости будем обозначать греческими буквами. На рисунках плоскости обозначаются в виде параллелограммов. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.
C A B C D
Стереометрия широко используется в строительном деле, архитектуре, машиностроении, геодезии, во многих других областях науки и техники. При проектировании этой машины важно было получить такую форму, чтобы при движении сопротивление воздуха было минимально.
Аксиома (от греч. ax íõ ma – принятие положения) исходное положение научной теории, принимаемое без доказательства
Основные свойства точек, прямых и плоскостей выражены в аксиомах. Из множества аксиом мы сформулируем только три. А 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. Иллюстрация к аксиоме А 1 : стеклянная пластинка плотно ляжет на три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. A B C
Иллюстрации к аксиоме А 1 из жизни. Табурет с тремя ножками всегда идеально встанет на пол и не будет качаться. У табурета с четырьмя ножками бывают проблемы с устойчивостью, если ножки стула не одинаковые по длине. Табурет качается, т. е. опирается на три ножки, а четвертая ножка (четвертая «точка») не лежит в плоскости пола, а висит в воздухе. Для видеокамеры, фотосъемки и для других приборов часто используют штатив – треногу. Три ножки штатива устойчиво расположатся на любом полу в помещениях, на асфальте или прямо на газоне на улице, на песке на пляже или в траве в лесу. Три ножки штатива всегда найдут плоскость.
a А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. A B
Свойство, выраженное в аксиоме А 2 , используется для проверки «ровности» чертежной линейки. Линейку прикладывают краем к плоской поверхности стола. Если край линейки ровный, то он всеми своими точками прилегает к поверхности стола. Если край неровный, то в каких-то местах между ним и поверхностью стола образуется просвет. I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Из аксиомы А 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются. a N
a А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
Наглядной иллюстрацией аксиомы А 3 является пересечение двух смежных стен, стены и потолка классной комнаты.
А 1 . Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. C A B А 2 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. a A B a А 3 . Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Взаимное расположение прямой и плоскости. Прямая лежит в плоскости. Прямая пересекает плоскость. Прямая не пересекает плоскость. Множество общих точек. Единственная общая точка. Нет общих точек. а а М а а а М а А 2
Некоторые следствия из аксиом. Теорема Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. М a Q P
Некоторые следствия из аксиом. Теорема Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна М a b N
Тренировочные упражнения Назовите плоскости, в которых лежат прямые РЕ МК DB AB EC P E A B C D M K
Тренировочные упражнения Назовите точки пересечения прямой DK с плоскостью АВС, прямой СЕ с плоскостью А DB . P E A B C D M K
Тренировочные упражнения Назовите точки, лежащие в плоскостях А DB и DBC P E A B C D M K
Тренировочные упражнения Назовите прямые по которым пересекаются плоскости АВС и DCB ABD и CDA PDC и ABC P E A B C D M K
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите точки, лежащие в плоскостях DCC 1 и BQC
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите плоскости, в которых лежит прямая АА 1
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите точки, пересечения прямой МК с плоскостью АВ D
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите точки, пересечения прямых DK и ВС с плоскостью А 1 В 1 С 1
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости АА 1 В 1 и АС D
P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M K Q Тренировочные упражнения Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости P В 1 C 1 и ABC
K P A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 R M Q Тренировочные упражнения Назовите точки пересечения прямых МК и DC , В 1 С 1 и ВР С 1 М и DC
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение 1. Функцию вида у= f ( х ) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f ( n ) или у 1 , у 2 , у 3 ,…, у n ,…, или (у n ). (а n ) – последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ;…. а n - члены последовательности Первый n- ый член послед. член послед. Последовательность
Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 2 ,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… . Пример 2 . Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39 ,… . Пример 3. Последовательность четных чисел: 2 , 4,6,8,10,12,14,16 ,… .
2. Аналитический способ. Любой n - й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2 n . Пример 2 . Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n² . Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = n² - 3 n – 2, -2,0,4,10,… Пример 5. Последовательность у = 2 ⁿ 2, 2²,2³,…,2 ⁿ ,…
3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n - й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1 . a 1 = 3 a n+1 = a 1 =3 a 3 = 9 2 = 81 a 2 = 3 2 = 9 a 4 = 81 2 = 6561 Пример 2. Арифметическая прогрессия а n +1 = а n + d , d - разность арифметической прогрессии. Пример 3. Геометрическая прогрессия b n +1 = b n q , q – знаменатель геометрической прогрессии.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6 … Продолжите ряд 77, 49, 36, 18 … Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей .
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. ( родился около 1170 — умер после 1228), Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.
Определение 2. Последовательность ( у n ), называют ограниченной сверху , если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена сверху , если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≤ М . Число М называют верхней границей последовательности . Например : -1, -4, -9, -16,…, - n² ,… Верхняя граница - -1
Определение 3 . Последовательность ( у n ), называют ограниченной снизу , если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена снизу , если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m . Число m называют верхней границей последовательности . Например : 1, 4, 9, 16 ,…, n² ,… Нижняя граница - 1
Возрастание и убывание числовой последовательности Последовательность { у n } называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у 1 < y 2 < y 3 < y 4 < … < y n < y n+1 < … Пример: 1, 3 , 5 , 7 , 9 , 2 п – 1 , … - возрастающая последовательность. Последовательность { у n } называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у 1 > y 2 > y 3 > y 4 > … > y n > y n+1 > … Пример: 1, 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/( 2 п – 1 ), … - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными
Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью . Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.
Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится . У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится .
Определение 6. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Читают : предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b .
Понятие предела числовой последовательности геометрически «окрестность»: интервал ( а – r ; а + r ) называется окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности . Если |q| > 1, то последовательность у n = qⁿ расходится. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности lim C = C
Свойства сходящихся последовательностей . Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. ( теорема Вейерштрасса).
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ». Теорема Если lim x n = b , lim y n = c , то предел суммы равен сумме пределов: lim ( x n + y n ) = b + c ; предел произведения равен произведению пределов: lim ( x n y n ) = bc ; предел частного равен частному пределов: lim = , c ≠ 0 ; постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( kx n ) = kc .
Внимание! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Оглавление: sin x=b cos x=b tg x=b ctg x=b
sin x = b arcsin b = x Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
или Общие формулы Оглавление
Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Общие формулы Оглавление
Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Линия тангенса Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
a y 1 -1 - arctg2 Оглавление
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Линия котангенса Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
Оглавление
a y 1 -1 Оглавление
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ Оглавление
1) 2) 3) 4) Решите уравнения Оглавление
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Определение 1. Функцию вида у= f ( х ) , х ϵ Ν называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают у = f ( n ) или у 1 , у 2 , у 3 ,…, у n ,…, или (у n ). (а n ) – последовательность а 1 ; а 2 ; а 3 ;…. а n - члены последовательности Первый n- ый член послед. член послед. Последовательность
Словесный способ. Правила задания последовательности описываются словами, без указания формул или когда закономерности между элементами последовательности нет. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность простых чисел: 2 ,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,… . Пример 2 . Произвольный набор чисел: 1,4,12,25,26,33,39 ,… . Пример 3. Последовательность четных чисел: 2 , 4,6,8,10,12,14,16 ,… .
2. Аналитический способ. Любой n - й элемент последовательности можно определить с помощью формулы. Способы задания числовой последовательности Пример 1. Последовательность четных чисел: у = 2 n . Пример 2 . Последовательность квадратов натуральных чисел: у = n² . Пример 3. Стационарная последовательность: у = С С, С, С, С,…,С,… Пример 4. Последовательность у = n² - 3 n – 2, -2,0,4,10,… Пример 5. Последовательность у = 2 ⁿ 2, 2²,2³,…,2 ⁿ ,…
3. Рекуррентный способ. Указывается правило, позволяющее вычислить n - й элемент последовательности, если известен ее предыдущий элемент. Способы задания числовой последовательности Пример 1 . a 1 = 3 a n+1 = a 1 =3 a 3 = 9 2 = 81 a 2 = 3 2 = 9 a 4 = 81 2 = 6561 Пример 2. Арифметическая прогрессия а n +1 = а n + d , d - разность арифметической прогрессии. Пример 3. Геометрическая прогрессия b n +1 = b n q , q – знаменатель геометрической прогрессии.
Продолжите ряд: 1, 10, 3, 9, 5, 8, 7, 7, 9, 6 … Продолжите ряд 77, 49, 36, 18 … Ответ: Перемножаются две цифры, входящие в предыдущее число Ответ: Ряд состоит из двух частей: числа на нечетных местах: 1, 3, 5, 7, 9...; числа на четных местах: 10, 9, 8, 7 Примеры последовательностей .
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610… Числа Фибоначчи. Элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Леонардо Фибоначчи - итальянский математик. ( родился около 1170 — умер после 1228), Последовательность Фибоначчи рекуррентно задать легко, а аналитически – трудно.
Определение 2. Последовательность ( у n ), называют ограниченной сверху , если все ее члены не больше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена сверху , если существует число М такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≤ М . Число М называют верхней границей последовательности . Например : -1, -4, -9, -16,…, - n² ,… Верхняя граница - -1
Определение 3 . Последовательность ( у n ), называют ограниченной снизу , если все ее члены не меньше некоторого числа. Последовательность ( у n ) ограничена снизу , если существует число m такое, что для любого n выполняется неравенство у n ≥ m . Число m называют верхней границей последовательности . Например : 1, 4, 9, 16 ,…, n² ,… Нижняя граница - 1
Возрастание и убывание числовой последовательности Последовательность { у n } называют возрастающей последовательностью, если каждый ее член больше предыдущего: у 1 < y 2 < y 3 < y 4 < … < y n < y n+1 < … Пример: 1, 3 , 5 , 7 , 9 , 2 п – 1 , … - возрастающая последовательность. Последовательность { у n } называют убывающей последовательностью, если каждый ее член меньше предыдущего: у 1 > y 2 > y 3 > y 4 > … > y n > y n+1 > … Пример: 1, 1/3 , 1/5 , 1/7 , 1/( 2 п – 1 ), … - убывающая последовательность. Возрастающие и убывающие последовательности называют монотонными
Если последовательность ограничена и снизу и сверху, то ее называют ограниченной последовательностью . Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности принадлежат некоторому отрезку.
Члены последовательности (у n ) как бы «сгущаются» около точки 0. Говорят последовательность (у n ) сходится . У последовательности (у n ) такой «точки сгущения» нет. Говорят последовательность (у n ) расходится .
Определение 6. Число b называют пределом последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Читают : предел последовательности (у n ) при стремлении n к бесконечности равен b или предел последовательности (у n ) равен b .
Понятие предела числовой последовательности геометрически «окрестность»: интервал ( а – r ; а + r ) называется окрестностью точки а , а число r – радиусом окрестности . Если |q| > 1, то последовательность у n = qⁿ расходится. Предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности lim C = C
«ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРЕДЕЛОВ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ». Теорема Если lim x n = b , lim y n = c , то предел суммы равен сумме пределов: lim ( x n + y n ) = b + c ; предел произведения равен произведению пределов: lim ( x n y n ) = bc ; предел частного равен частному пределов: lim = , c ≠ 0 ; постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim ( kx n ) = kc .
Внимание! Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо соотношение.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели урока: Познакомиться с понятием «пирамида» и ее основными элементами; Рассмотреть виды пирамид; 3. Научиться применять формулы для вычисления площадей поверхностей пирамид при решении задач.
Задачи урока: Образовательные: Сформировать понятие «пирамида»,элементы пирамиды, виды пирамид, познакомиться с формулами вычисления площадей пирамид. Развивающие: Развивать пространственное и образное мышление, умение применять полученные знания при решении задач. Воспитательные: Воспитывать наблюдательность, любознательность.
План урока: 1. Повторение изученного ранее 2. Знакомство с понятием «пирамида» 3. Элементы пирамиды 4. Правильная пирамида 5. Вычисление площади пирамид 6. Решение задач
Разминка: Что называется многогранником? Перечислите элементы многогранника? Какие бывают многогранники? Что называется призмой? Какая призма называется прямой?
Понятие «пирамида» Пирамида – это многогранник, составленный из n- угольника и n треугольников. Пирамида называется n – угольной, если ее основанием является n – угольник. На рисунке изображена пятиугольная пирамида.
Элементы пирамиды: Основание пирамиды – многоугольник Боковые грани – треугольники
Боковые ребра Вершина Боковая поверхность
Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. (обозначается А) Высота – это перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания.
Правильная пирамида Пирамида называется правильной , если ее основание правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания является ее высотой. В противном случае пирамида называется неправильной .
Площадь пирамиды Площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей основания и боковых граней. S пирамиды = S осн. + S бок.
Площадь правильной пирамиды S бок. = 1/2 P * A
Решение задач Основание пирамиды – квадрат, ее высота падает в точку пересечения диагоналей основания. Найдите боковую поверхность пирамиды, если сторона основания равна 20 дм, а боковое ребро 21 дм. Дано: АВСД – квадрат, АВ = 20дм, АЕ =21дм. Найти: S бок. Решение: ? А В С Д Е М
Проверь себя: Продолжите предложения: 1. Высотой пирамиды называется… 2. Апофемой пирамиды называется… 3. Площадью полной поверхности пирамиды называется… 4. Площадью боковой поверхности правильной пирамиды называется…
Домашнее задание Учебник Геометрия 10-11 под ред. Л.С. Атанасяна стр. 62 § 2, № 240.
Литература: 1.Геометрия, 10-11: Учебник / Л.С. Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.- М.: Просвещение, 2002. 2.Ковалева Г.И. Геометрия.10-11:Поурочные планы.- Волгоград: Учитель, 2003.-128с. 3.Мультимедийный курс «Открытая математика (стереометрия)»