10 класс

Слайд 1

Построение сечений многогранников

Слайд 2

Определение сечения. Секущей плоскостью многогранника назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного многогранника. Секущая плоскость пересекает грани многогранника по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением многогранника .

Слайд 3

Секущая плоскость А В С D M N K α

Слайд 4

Секущая плоскость сечение A B C D M N K α

Слайд 5

На каких рисунках сечение построено не верно? B А А А А А D D D D D B B B B C C C C C N M M M M M N Q P P Q S

Слайд 6

P N Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А В С D P M N 2. Отрезок PN А В С D M L 1. Отрезок MP Построение: 3. Отрезок MN MPN – искомое сечение 1. Отрезок MN 2. Луч NP; луч NP пересекает АС в точке L 3. Отрезок ML MNL –искомое сечение

Слайд 7

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А С В D N P Q R E 1. Отрезок NQ 2. Отрезок NP Прямая NP пересекает АС в точке Е 3. Прямая EQ EQ пересекает BC в точке R NQRP – искомое сечение

Слайд 8

Построить сечение тетраэдра плоскостью, заданной тремя точками. Построение: А B C D M N P X K S L 1. MN ; отрезок МК 2. MN пересекает АВ в точке Х 3. ХР; отрезок SL MKLS – искомое сечение

Слайд 9

Аксиоматический метод Метод следов Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры . Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры .

Слайд 10

Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B А Z Y X M N P S F

Слайд 11

XY – след секущей плоскости на плоскости основания D C B Z Y X M N P S Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через три точки M,N,P. А F

Слайд 12

Практическая работа. Постройте сечение многогранника плоскостью, проходящей через указанные точки. M A 1) 1 ) 2 ) 2 ) В С К В A С E F H E H F 1 вариант 2 вариант D C B M N P А F D C B M N P А F

Слайд 13

Проверьте правильность построения сечения. M A 1) 1) 2) 2) В С К В A С E F H E H F 1 вариант 2 вариант D C B M N P А F F X Y Z X D C B M N P А F X Y

Слайд 14

УДАЧИ!!!

Слайд 1

Математика 10 класс

Слайд 2

Тема Урока: «Тригонометрические уравнения» Повторение темы : «Тригонометрические уравнения» рассчитано на 3 урока

Слайд 3

А. Фуше «Уравнение есть равенство, которое еще не является истинным, но которое стремятся сделать истинным ,не будучи уверенным, что этого можно достичь»

Слайд 4

Тема Урока: «Тригонометрические уравнения» Цель урока: Обобщение, систематизация, углубление знаний, умений и навыков учащихся; Формирование культуры математической речи: Развитие творческих способностей учащихся

Слайд 5

План урока Актуализация опорных знаний Устная работа Решение уравнений Подведение итогов урока Задание на дом Завершение урока Памятка ученику

Слайд 6

Актуализация опорных знаний Определение уравнения ; тригонометр. уравнение Что значит решить уравнение Что называют корнем уравнения Формулы решения простейших тригонометрических уравнений Определения arcsin a , arccos a , arctg a , arcctg a Методы решения тригонометрических уравнений к плану урока

Слайд 7

Актуализация опорных знаний Уравнение – равенство содержащее переменную Тригонометрическое уравнение – уравнение в котором переменная находится под знаком тригонометрической функции. назад

Слайд 8

Актуализация опорных знаний Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать (убедиться), что корней нет назад

Слайд 9

Актуализация опорных знаний Корень уравнения – такое значение (или значения), при подстановки которого в данное уравнение получаем верное равенство назад

Слайд 10

Актуализация опорных знаний Для частных случаев а = 0 а = 1 а = -1 назад Формулы решения простейших тригонометрических уравнений следующий

Слайд 11

Частные случаи уравнения cost = a x y cost = 0 cost = - 1 cost = 1 0 1 -1 π 2 _ π 2 0 π следующий

Слайд 12

Уравнение cost = a 0 x y 2 . Отметить точку а на оси абсцисс . 3 . Построить перпендикуляр в этой точке . 4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью . 5 . Полученные точки – решение уравнения cost = a. 6 . Записать общее решение уравнения . 1 . Проверить условие | a | ≤ 1 a t 1 -t 1 -1 1 следующий

Слайд 13

Частные случаи уравнения sint = a x y sint = 0 sint = - 1 sint = 1 0 1 -1 π 2 0 π π 2 следующий

Слайд 14

Уравнение sin t = a 0 x y 2 . Отметить точку а на оси ординат . 3 . Построить перпендикуляр в этой точке . 4 . Отметить точки пересечения перпендикуляра с окружностью . 5 . Полученные точки – решение уравнения sint = a. 6 . Записать общее решение уравнения . 1 . Проверить условие | a | ≤ 1 a t 1 -1 1 следующий π -t 1

Слайд 15

Пример уравнения cos t = a 0 x y -1 1 cos t = ½ следующий

Слайд 16

Пример уравнения sin t = a 0 x y -1 1 y =½ sin t = ½ следующий

Слайд 17

Актуализация опорных знаний Формулы решения простейших тригонометрических уравнений Если а Є ( -1; 0 ) U ( 0; 1 ) , то решаем уравнение по формулам: назад

Слайд 18

Актуализация опорных знаний если |a| ≤ 1, то arccos а называют такое число t Є [ 0; π ] , косинус которого равен а. если |a| ≤ 1, то arcsin а называю такое число t Є [ - π /2; π /2 ] , синус которого равен а; arccos (-a) = π – arccos a arcsin (-a) = - arcsin a назад следующий

Слайд 19

Актуализация опорных знаний cos t = a 0 ≤ t ≤ π если |a| ≤ 1 sin t = a - π / 2 ≤ t ≤ π / 2 назад

Слайд 20

Актуализация опорных знаний Простейшие тригонометрические уравнения вида: T (kx + m) = a; где T – знак тригонометрической функции Если |a| ≤ 1, то решением Если |a| ≤ 1, то решением Если |a| > 1, то sin=a cos=a → не имеют решений tg x = a для любого а имеют вид: х = arctg a + π n n Є Z Частные случаи назад Тригонометрические уравнения. Методы решения следующий

Слайд 21

Актуализация опорных знаний Первой степени a sin x + b cos x = 0 (a ≠ 0 b ≠ 0) почленно делим на sin х cos х для получения tg x = - b / a назад Методы решения тригонометрических уравнений Введение новой переменной sin t = Z cos t = Z Разложение на множители совокупность ур. приравненых к 0 Однородные тригонометрические уравнения Второй степени a sin 2 x + b sin xcos x +c cos 2 x = 0 посмотреть есть ли ( a sin 2 x ) если а ≠ 0, почленно делим на cos 2 x ; введем новую переменную Z=tg x если а=0, то выносим cos x за скобки

Слайд 22

Актуализация опорных знаний назад Свойства тригонометрических функций следующий

Слайд 23

Актуализация опорных знаний Значения обратных тригонометрических функций следующий назад

Слайд 24

Актуализация опорных знаний назад Формулы двойного и половинного аргумента следующий

Слайд 25

Актуализация опорных знаний Формулы сложения следующий назад

Слайд 26

Актуализация опорных знаний Преобразование сумм тригонометрических функций в произведения Преобразование произведений тригонометрических функций в суммы назад

Слайд 27

Устная работа Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Ответ: Имеет ли смысл выражение? к плану урока следующий

Слайд 28

Устная работа Данное выражение имеет смысл назад

Слайд 29

Устная работа Данное выражение не имеет смысла ! назад

Слайд 30

Устная работа 3 sin x = sin’ x = cos x = cos’x = sin x = Решите уравнение: 1 0 Ответы: Алгоритм решения проговаривайте вслух! Корней нет 0,5 π + π k; k Є Z - π /2 + 2 π k; k Є Z π n; n Є Z _;0 2 π k; k Є Z к плану урока

Слайд 31

Решение уравнений sin 2x + 3 cos x = 0 2 sin x cosx + 3 cos x = 0 cos x (2 sin + 3) = 0 cos x = 0 sin x = 1,5 cos x = 0 π /2 + 2 π k; k Є Z sin x = -1,5 корней нет Ответ: π /2 + 2 π k; k Є Z Пример 1 Разложим левую часть уравнения на множители, предварительно применив формулу двойного аргумента sin 2x + 3 cos x = 0 к плану урока следующий

Слайд 32

Решение уравнений Решение: sin 2 x + 5 sin x cos x + 2cos 2 x + 1 = 0 2sin 2 x + 5 sin x cos x +3cos 2 x=0 | : cos 2 x Получили однородное тригонометрическое уравнение второй степени. Решим его поделив обе части уравнения на cos 2 x (т. к. cos x и sin x не могут быть одновременно равны нулю) . Получим: 2 tg 2 x + 5tgx + 3 = 0 Пусть tg x = t, тогда 2t 2 +5t+3=0 ; Решим уравнение по свойству коэффициентов квадратного уравнения t 1 = -1 t 2 = -1,5 Решаем уравнение у доски с объяснениями! Найти корни уравнения на интервале (- π / 2 ;0) Sin 2 x + 5 sin x cos x + 2cos 2 x = -1 t 1 = -1 t 2 = -1,5 Вернемся к замене: tg x = -1 x = - π / 4 + π k k Є Z tg x = - 1,5 x = - arctg 1,5 + π k k Є Z Проведем отбор корней: При n = 0, x = - π / 4 ; x = - arctg 1,5 Ответ: x = - π / 4 ; x = - arctg 1,5 к плану урока Пример 3 следующий

Слайд 33

Решение уравнений Решение: 2 cos 2 x – 5sinx + 1=0 Область Допустимых Значений : х Є (-∞;∞) Выразим из основного тригонометрического тождества cos 2 x через sin 2 x ; получим : 2 sin 2 x + 5sinx – 3=0 Решим полученное уравнение введением новой переменной: Пусть sin x = a, |a| ≤ 1; тогда уравнение принимает вид 2а 2 + 5 а – 3=0 ; а 1 = -3 (не удовлетворяет условию) , а 2 = ½. Вернемся к замене: sin x = ½ x = (-1) к * π / 6 + π k k Є Z Ответ: x = (-1) к * π / 6 + π k k Є Z Пример 2 2 cos 2 x – 5sinx + 1=0 Решаем уравнение у доски с объяснениями к плану урока следующий

Слайд 34

Решение комбинированных уравнений Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно Ответ: Ответ: сверить решение сверить решение а) б) -4; - π ; 0; π ; 4. к плану урока

Слайд 35

Решение комбинированных уравнений Решение примера а . ОДЗ x Є [-4; 4] 2) <=> 3) Отбор корней с учетом ОДЗ - 4 ≤ π n ≤ 4 - 4 / π ≤ n ≤ 4/ π Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно x = 4 x = - 4 x = π n; n Є Z n = -1; 0; 1 n = - 1, x = - π n = 0, x = 0 n =1, x = π к плану урока

Слайд 36

Решение комбинированных уравнений Решение примера б . ОДЗ x Є [ 0 ; 7 ] 2) <=> 3) Отбор корней с учетом ОДЗ - π / 3 Є [0;7] 7 π / 3 Є [0;7] Учащиеся решают эти уравнения самостоятельно x = 0 x = 7 k = 0; 1 k = 0, x = π / 3 k =1, x = 5 π / 3 к плану урока

Слайд 37

Подведение итогов урока Проведен первый урок Повторение темы: Тригонометрические уравнения . На следующем уроке мы рассмотрим решение тригонометрического уравнения вида: A sin x + B cos x = a. к плану урока

Слайд 38

Задание на дом Решить уравнения: к плану урока

Слайд 39

Позвольте закончить урок словами Ноберта Винера: «Высшее назначение математики состоит в том, чтобы находить скрытый порядок в хаосе, который нас окружает». Подробнее о Ноберте Винере к плану урока

Слайд 40

Ноберт Винер ВИНЕР Норберт (Norbert Wiener) (26 ноября 1894, Колумбия, Миссури — 18 марта 1964, Стокгольм), американский математик. Автор трудов по математическому анализу, теории вероятностей, электрическим сетям и вычислительной технике. Учился в Тафтс-колледже, Корнуэльском, Гарвардском, Кембриджском, Геттинтенском и Колумбийском университетах. Одаренный математик, в 1919 стал ассистентом профессора математики Массачусетского технологического института, а с 1932 по 1960 занимал должность профессора. Во время Второй мировой войны, занимаясь исследованиями для целей противовоздушной обороны, он заинтересовался автоматическими расчетами и теорией обратной связи. В 1948 опубликовал труд «Кибернетика, или Управление и связь в животном и машине», где он сформулировал основные положения новой науки — кибернетики, предметом изучения которой стали управление, связь и обработка информации в технике, живых организмах и человеческом обществе. Эта книга стала результатом его работ в области создания средств вычислительной техники для нужд обороны и его совместных исследований с физиологом Артуром Розенблатом. Назад к цитате

Слайд 1

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ Преподаватель ФГОУ СПО «СТК» Л.Г.Якимчук

Слайд 2

ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ - это формулы, позволяющие выражать значения тригонометрических функций любого угла через функции угла первой четверти, т.е. < 90 ° .

Слайд 3

ПРАВИЛО 1. ЕСЛИ УГОЛ ОТКЛАДЫВАЮТ ОТ ОСИ О X , ТО НАИМЕНОВАНИЕ ФУНКЦИИ НЕ МЕНЯЕТСЯ. 0 x y 0

Слайд 4

ПРАВИЛО 1. А ЕСЛИ УГОЛ ОТКЛАДЫВАЮТ ОТ ОСИ О Y , ТО НАИМЕНОВАНИЕ ФУНКЦИИ МЕНЯЕТСЯ НА СХОДНОЕ. 0 x y 0

Слайд 5

ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВОЙ ЧАСТИ ФОРМУЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ЗНАКУ ФУНКЦИИ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ. 0 x y 0

Слайд 6

ПРАВИЛО 2. ЗНАК В ПРАВОЙ ЧАСТИ ФОРМУЛЫ ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ ПО ЗНАКУ ФУНКЦИИ В ЛЕВОЙ ЧАСТИ. 0 x y 0

Слайд 7

ЗАПИШИТЕ ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ

Слайд 8

ЗАДАНИЕ 1. ВЫРАЗИТЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧЕРЕЗ УГОЛ МЕНЬШЕ 45 °.

Слайд 9

ЗАДАНИЕ 2. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ.

Слайд 10

ЗАДАНИЕ 3. УПРОСТИТЕ ВЫРАЖЕНИЕ.