Алгебра 11 класс

Олимпиада  по математике. 11 класс.

Школьный тур 2011-2012 уч.год.

1. Каким является число     –  - рациональным или иррациональным?

2. На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в которых составляет 99%. От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь весят ягоды?  

3. Найдите все решения уравнения: х2+5у2+4ху+2у+1=0

4. Найдите все числа x, принадлежащие отрезку [0;1], и удовлетворяющие уравнению sin4(cos4 3x) + cos4(cos4 3x)= 1

     5. Через вершины А и С треугольника АВС проведены прямые,

        перпендикулярные биссектрисе угла АВС. Они пересекают

         прямые СВ и ВА в точках К и М соответственно. Найдите

     длину АВ, если ВМ = 8 см, KC = 1 см и АВ > ВС.

Ответы, решения и примерные критерии проверки 11  класса.

1. Ответ: рациональным.

 – =(√37 – 6) – (√37 + 6) = -12

2.  Ответ: 50 кг.

В начале хранения в ягодах был 1% (т.е. 1 кг) сухого вещества.

В конце хранения этот же 1 кг уже составил 2% (100-98) от всех ягод. Составим пропорцию:

2%     - 1кг

100% - х кг. Следовательно, к концу на складе было 50 кг ягод.

3. Ответ: (2;1)

4. Ответ:  х = π/6 + πк/3

Сделайте замену cos4 3x=t.

5. Ответ:  9 см.

Решение. Обозначим через H точку пересечения AK и

биссектрисы угла ABC . Тогда в треугольнике ABK отрезок BH

является биссектрисой и высотой. Следовательно, треугольник ABK – равнобедренный. Аналогично доказывается, что треугольник MBC равнобедренный. Т.к. по условию АВ > ВС, то точка M лежит на отрезке AB, точка C лежит на отрезке BK. AB=BK=BC+CK=BM+CK=8 см+1 см=9 см.

B 1 Выпускники 11а покупают букеты цветов для последнего звонка: из 3 роз каждому учителю и из 7 роз классному руководителю и директору. Они собираются подарить букеты 15 учителям (включая директора и классного руководителя), розы покупаются по оптовой цене 35 рублей за штуку. Сколько рублей стоят все розы?

B 2 Мобильный телефон стоил 3500 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 2800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

B 3 На рисунке показано изменение температуры воздуха на протяжении трех суток. По горизонтали указывается дата и время суток, по вертикали — значение температуры в градусах Цельсия. Определите по рисунку разность между наибольшей и наименьшей температурой воздуха 15 июля. Ответ дайте в градусах Цельсия.

B 4 В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 70 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

*Если поездка продолжается меньше указанного времени, она оплачивается по стоимости минимальной поездки.

B 5 Найдите квадрат длины вектора  + .

B 6 В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублёвые монеты лежат в одном кармане.

B 7 Найдите корень уравнения .

B 8 

Найдите хорду, на которую опирается угол , вписанный в окружность радиуса .

B 9

На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x0.

B 10 В правильной четырехугольной пирамиде  точка  — центр основания,  вершина, ,  Найдите боковое ребро .

B 11 Найдите значение выражения , если .

B 12 При сближении источника и приёмника звуковых сигналов движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу частота звукового сигнала, регистрируемого приeмником, не совпадает с частотой исходного сигнала Гц и определяется следующим выражением: (Гц), где – скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а м/с и м/с – скорости приeмника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приeмнике будет не менее 160 Гц?

B 13 

Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке (все двугранные углы прямые).

B 14 Два велосипедиста одновременно отправились в 240-километровый пробег. Первый ехал со скоростью, на 1 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу на 1 час раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу первым. Ответ дайте в км/ч.

B 15 Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

C 1 а) Решите уравнение .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

C 2 Дана правильная треугольная пирамида DABC с вершиной D. Сторона основания пирамиды равна , высота равна . Найдите расстояние от середины бокового ребра BD до прямой МТ, где точки М и Т — середины ребер АС и AВ соответственно.

C 3 Решите систему неравенств

C 4 Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

C 5 Найдите все положительные значения а, при каждом из которых система имеет единственное решение.

C 6 Найдите все тройки натуральных чисел k, m и n, удовлетворяющие уравнению , где .