Алгебра 8 класс

Олимпиада  по математике. 8 класс.

Школьный тур 2011-2012 уч.год.

1. Найдите двузначное число, которое в восемь раз больше суммы его цифр.

    2.  Упростите выражение:  

    3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы углов А и В. Угол между ними равен 125 °. Найдите угол С.

   4.  Из горячего крана ванна заполняется за 23 минуты, из холодного — за 17 минут. Маша открыла сначала горячий кран. Через сколько минут она должна открыть холодный, чтобы к моменту наполнения ванны горячей воды налилось в 1,5 раза больше, чем холодной?

5. Витя считает, что дроби "сокращают", зачёркивая одинаковые цифры в числителе и знаменателе. Серёжа заметил, что иногда Витя получает верные равенства, например 19/95=1/5.

Найдите все правильные дроби с числителем и знаменателем, состоящими из двух ненулевых цифр, которые можно так "сократить".

Ответы, решения и примерные критерии проверки 8 класса.

1. Ответ: 72. Требуется объяснение, что выполнено условие задачи.
2. Ответ: (х+1)/(2х+1)
3. Ответ: 70°.
4. . Ответ: Через 7 минут.

Решение. Чтобы горячей воды в ванне оказалось в 1,5 раза больше, чем холодной, холодный кран должен наполнить 2/5 ванны, а горячий — 3/5 (чтобы узнать это, можно было обозначить объём ванной за 1, объём холодной воды за x; тогда x + 1,5x = 1, откуда x = 2/5). Но тогда горячий кран

должен быть открыт всего (2/3)*23 = 69/5 минут, а холодный

— на (2/5)*17 = 34/5 минут. Значит, холодный кран нужно открыть через (69/5) – (34/5) = 35/5 = 7 минут.

5. Ответ. 26/65, 49/98, 19/95, 16/64.

Решение.

В принципе возможны четыре варианта такого

"сокращения" :

1) ва/вс , 2) ав/св , 3) ва/св , 4) ав/вс

Рассмотрим все 4 возможных случая.

1) ва/вс. Получаем (10 b + a) / (10 b + c) = a/c, откуда (10b + a)c = (10b + c)a,

10bc + ac = 10ba + ca, bc = ba. По условию b ≠ 0, поэтому на b можно сократить. Следовательно, c = a, а по условию дробь правильная.

Поэтому в первом случае решений нет.

2) ав/св. Аналогично первому случаю получаем

(10a + b)c = (10c + b)a, 10ac + bc = 10ca + ba, bc = ba.

Так как b ≠ 0, то c = a, а по условию дробь правильная. Итак, в этом случае решений тоже нет.

3) ва/св.  Аналогично первому случаю получаем

(10b + a)c = (10c + b)a, 10bc + ac = 10ca + ba, 10bc = 9ac + ab,

9c(a – b) = b(c – a).

Так как дробь правильная, то a < c. Следовательно, a > b,

откуда a – b ≥ 1. Получаем 9c(a – b) ≥ 9c > 9(c – a) ≥ b(c – a),

т. е. 9c(a – b) > b(c – a), что невозможно. Итак, в этом случае решений нет.

4) ав/вс. Аналогично первому случаю получаем (10a + b)c = (10b + c)a,

10ac + bc = 10ba + ca, 9ac + bc = 10ba.

Дальше проще решать перебором. Мы приводим один из вариантов перебора, стараясь сократить длину перебора за счёт дополнительных соображений.

Случай c = 1 невозможен, так как дробь a/c правильная.

Если c = 2, то a = 1 (так как дробь a/c правильная).

Получаем 18 + 2b = 10b, откуда 18 = 8b. Решений нет.

Если c = 3, то a = 1 или a = 2. Получаем 27 + 3b = 10b или 54 + 3b = 20b

27 = 7b или 54 = 17b Решений нет.

Если c = 4 , то a = 1 , a = 2 или a = 3. Получаем 36 + 4b = 10b или 72 + 4b = 20b или 108 + 4b = 30b, 36 = 6b или 72 = 16b или 108 = 26b.

Получаем одно решение a = 1, b = 6, которому соответствует одна из искомых дробей: 16 /6 4 = 1/4.

Если c = 5 , то a = 1 , a = 2 , a = 3 или a = 4. Получаем 9 + b = 2b или 18 + b = 4b или 27 + b = 6b или 36 + b = 8b 9 = b или _______18 = 3b или 27 = 5b или 36 = 7b.

Получаем два решения a = 1, b = 9 или a = 2, b = 6. Получаются ещё две дроби: 19 /95 = 1/5 и 26 /6 5 = 2/5.

Если c = 6, то a = 1 , a = 2 , a = 3 , a = 4 или a = 5. Получаем

27 + 3b = 5b или 54 + 3b = 10b или 81 + 3b = 15b или 108 + 3b =

20b или 135 + 3b = 25b 27 = 2b или 54 = 7b или 81 = 12b или 108 = 17b или 135 = 22b Решений нет.

Если c = 7, то получаем равенство 63a + 7b = 10ab. Левая часть равенства, делится на 7, значит либо а либо 6 делится на 7 (так как 7 — простое число). Так как дробь правильная,

то a < 7. Следовательно, единственный вариант для b — это 7. Получаем 63a + 49 = 70a, откуда a = 7, но а должно быть меньше семи, так как дробь правильная. Решений нет.

Если c = 8, то получаем равенство 72a + 8b = 10ab, откуда 36a + 4b = 5ab. Перебирая все возможные варианты для a, получаем ещё одно решение (a = 4, b = 9): 49/98 = 4/8.

Если c = 9, то получаем равенство 81a + 9b = 10ab. Так как левая часть делится на 9, то и правая часть должна делиться на 9, а значит, либо a = 9, либо b = 9, либо a и b делятся на 3.

Если a и b делятся на 3, то левая часть делится на 27, а значит одно из чисел a, b равно 9. С другой стороны, a < c = 9. Следовательно, b = 9, откуда 81a + 81 = 90a, 9a + 9 = 10a, a = 9 = c, что невозможно.