муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2» г. Сафоново Смоленской области

Индивидуальный проект по математике

«Окружность в задачах ОГЭ по математике»

Номинация: в помощь учителю.

Автор проекта: ученик 9 «А» класса Груздов Денис

  Руководитель проекта: учитель математики Пикулицкая Н.С.

2020

       «Окружность – душа геометрии.

                                                                                                     Познайте   окружность   и   вы

                                                                                                     не  только  познаете геометрию,                                

                                                                                                     но  и  возвысите  душу свою…»

                                                                                                                                  И.Ф. Шарыгин

Круг и окружность – один из самых  древнейших геометрических фигур, философы древности придавали им большое значение для познания естественных законов. Знания о круге и окружности позволяют человеку решать многие практические задачи в повседневной жизни: разбить клумбу или фонтан, сделать круглую крышу, окно или крышку, сшить головной убор, связать салфетку, сделать елочную игрушку, сделать выкройку платья или юбки, нарисовать узор и т.п. Таким образом, круг в жизни человека имеет очень важную роль, и в жизни без круглых предметов обойтись невозможно.

В школьных учебниках мы знакомимся с понятием окружности. Знание понятий, связанных с окружностью позволяет повысить качество решения задач.

Каждый ученик должен уметь рационально решать поставленные задачи. Актуальность выбранной темы состоит в том, что на экзамене в форме ОГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени, учащиеся должны знать и уметь применять эффективные способы решения. Ведь экзамен выявляет не только знания, которые дают на уроке, но и умение ориентироваться в предложенной схеме, а также психологическую готовность демонстрировать свои знания и умения в непривычной обстановке.  

Название:

Окружность в задачах ОГЭ по математике

Предмет:

Математика

Класс:

9-А

Продолжительность:

6 месяцев

Цель:

Формирование навыков решения задач базового уровня по теме «Окружность».

Задачи:

1) изучить дополнительную литературу и другие источники информации по данной теме;

2) обобщить и систематизировать имеющийся теоретический материал об окружностях;  

3) найти приемы решений задач с окружностью;

4) подготовить задачник о данной теме.

Гипотеза:

Существуют общие приемы решения задач на окружность и в школьном учебнике по геометрии авторов А.С. Атанасян, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева, достаточно теоретического материала для их решения. Если овладеть этим материалом и рассмотреть дополнительные построения в окружности, то возможно решать  задачи на окружность базового уровня из экзаменационной работы.  

Вид проекта:

Информационно-исследовательский

Объект исследования:

Задачи с окружностью

Предмет исследования:

Приемы решений задач с окружностью.

Методы исследования:

1) Анализ источников информации.

2) Наблюдение, сравнение, анализ результатов.

Ожидаемые результаты:

В результате работы над проектом рассмотреть решение  задач с окружностью из первой части экзаменационной работы; выбрать задачи на окружность, встречающиеся в тестах ОГЭ по математике; составить задачник по теме проекта.

Значимость проекта:

Каждый ученик должен уметь рационально решать поставленные задачи. Актуальность выбранной темы состоит в том, что на экзамене в форме ОГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени, учащиеся должны знать и уметь применять эффективные способы решения. Ведь экзамен выявляет не только знания, которые дают на уроке, но и умение ориентироваться в предложенной схеме, а также психологическую готовность демонстрировать свои знания и умения в непривычной обстановке.  

Вопросы, направляющие проект:

1) основополагающий:

• достаточно ли для решения задач с окружностью, способов изложенных в школьном учебнике.

2) проблемные вопросы:

• можно ли решать задачи по теме «Окружность»  из первой части экзаменационной работы не владея теоретическими знаниями.

3) учебные вопросы:

• что такое окружность, основные элементы окружности и соотношения между основными элементами;
• что такое касательная к окружности и основные свойства касательной к окружности;
• что такое центральный и вписанный углы, их свойства;
• что такое вписанная и описанная окружности, свойства вписанных и описанных окружностей;
• что такое окружность описанная око ло правильного многоугольника;
• что такое окружность, вписанная в правильный многоугольник;
• что такое площадь круга и кругового сектора.

Этапы работы над проектом:

     1) Сбор информации:

        изучение поставленных задач, определение значимых понятий подбор  источников информации сбор информации.

     2) Обработка данных:

        рассмотрение приемов решения задач с окружностью базового уровня.

    3) Анализ данных:

       анализ результатов, формулирование выводов.

Основная часть.

Теоретические сведения.

Определение окружности, основных элементов окружности. Соотношения между элементами окружности.

Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Радиус(R) – длина отрезка, соединяющего центр окружности с любой точкой,                                лежащей на окружности.

Хорда - отрезок, соединяющий  две точки на окружности.

1) Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведение отрезков другой хорды.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Определение касательной к окружности, свойства касательных.

Касательная к окружности - прямая, имеющая с окружностью только одну     общую точку.

 Свойства:

1) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и    составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

2) Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности,                                                                                      то прямая и окружность имеют две общие точки.                                                                                                                                          

3) Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку.

4) Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек.

Определение центрального и вписанного углов, свойства центрального и вписанного углов.

Центральный угол – это угол с вершиной в центре окружности и равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Свойства:

- Градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги окружности.

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Следствия:

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

2) Вписанный угол, опирающийся на полуокружность - прямой.

Определение вписанной и описанной окружности. Свойства вписанной и описанной окружности.

Вписанная окружность - окружность, которая касается и лежит в многоугольнике.

Свойства:

1) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной в него окружности.

2) Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

3) В любой треугольник можно вписать окружность, и при том только одну.

4)В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, только если суммы его противоположных сторон равны.

Описанная окружность - окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.     

Свойства:

1) В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180˚

2) Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180˚,то около него можно описать окружность.

3) около любого треугольника можно описать окружность, и при том только одну.

5. Окружность называется описанной около правильного многоугольника, если все вершины многоугольника лежат на этой окружности, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

6. Окружность называется вписанной в правильный многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Определение круга. Кругового сектора. Формулы площади круга и кругового сектора.

Круг - часть плоскости ограниченная окружностью.

Площадь круга равна произведению квадрата радиуса на число Пи (S=πR², где                   

R - радиус круга, π-3,14)

Круговой сектор - часть круга ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Площадь кругового сектора – произведение числа Пи на радиус в квадрате на угол между радиусами деленное на 360 градусов. 
(, где r — радиус круга, α — угол между радиусами в градусах)

Виды задач с окружностью, встречающиеся в экзаменационной работе и общие приемы их решения.

Задачи на вписанные и центральные углы.

№ 2017. (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред.  И.В. Ященко.)

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что  ∠NBA=71˚. Найдите ∠NMB.

Решение:

Рассмотрим ∠NBA — вписанный.

Так как ∠NBA=71˚,то дуга AN= 2∙71=142˚(по свойству вписанного угла)

Дуга NB = 180˚- 142˚=38˚

∠NMB = NB = =19˚

Ответ:19˚.

№ 2020 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред.  И.В. Ященко.)

Точка O — центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC = 62° и ∠OAB = 53°. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах.

                                                                         Решение:

Проведём радиус OB.

Рассмотрим треугольник AOВ – равнобедренный, т.к. AO = OB (как радиусы), следовательно,  ∠OAB = ∠ABO = 53°.

Рассмотрим треугольник BOC – равнобедренный, т.к. BO = OC (как радиусы), следовательно, ∠BCO = ∠OBC ,значит ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 62° − 53° = 9°.

Ответ: 9°

№ 2024 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

На окружности с центром в точке О отмечены точки A и B так, что ∠AOB=20˚. Длина меньшей дуги AB равна  88. Найдите длину большей дуги AB.

                                                           Решение:

Пусть х большая дуга AB.

Больший ∠AOB=360-20=340˚.

Составим пропорцию:

 =  , тогда  х =  = 1496

Ответ: 1496.

№ 17 вариант 1 (ОГЭ 2020. Математика. 38 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий под ред. И.В. Ященко.)

В окружности с центром в точке О отрезки АС и BD — диаметры. ∠AOD равен 92°. Найдите у ∠АСВ. Ответ дайте в градусах.

                                                           Решение:

∠АОD и ∠АОВ – смежные, значит ∠АОВ=180-92=88°

 Так как ∠АОВ – центральный, то дуга АВ=∠АОВ.

∠АСВ вписанный - опирается на дугу АВ, которая равна 88°, значит (по свойству вписанного угла), АСВ= 88/2=44°.

Ответ:44°.

№ 17 (ГИА по математике 28.05.2013 основная волна. Вариант 1305.)

Центральный угол AOB опирается на хорду AB длиной 6. При этом угол OAB равен 60˚ . Найдите радиус окружности.

                                                         Дано:  окружность с ц. в т. О, АВ = 6,

                                                                     ⦟ ОАВ =  60°.

                                                         Найти: ОВ.
                                                          Решение:

Рассмотрим треугольник AOB- равнобедренный, т.к. AO и OB - радиусы

Пусть x  ∠AOB, тогда по теореме о сумме углов треугольника,  x + 60° + 60° = 180°

x=60˚, значит треугольник AOB-равносторонний, тогда OA=AB=OB=6

Ответ: 6.

№ 2038  ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред.  И.В. Ященко.)

Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 33˚.

                      С                                                           Дано:   окружность с ц. в т. О, ⦟ВАС = 33˚.

                        Найти: ⦟АВС.

А        В

                                                                  Решение:

Угол ВАС является вписанным углом и  опирается на дугу СВ, значит дуга равна 66 градусов.

Найдем дугу АС: 180˚ – 66˚ = 114˚. (градусная мера дуги АВ равна 180˚, т. к. опирается на диаметр). Угол АВС вписанный и опирается на дугу АС, значит ⦟АВС = 114˚ : 2= 57˚.

Ответ: 57˚.

№ 17 (Банк заданий  ФИПИ.)

Точка O- центр окружности , ∠AOB=84˚. Найдите ∠ACB.

                                                                 Решение:

∠ACB-вписанный, поэтому  ∠ACB = значит , ⦟ACB=84˚/2=42˚

Ответ:42˚.

№ 17 (ГИА-2013  математика. Треугольная работа №4 (Вариант 1))

Точки A и B делят окружность на две дуги, длины которых относится 9:11. Найдите величину центрального угла, опирающегося на меньшую из дуг.

                                                                 Решение:

Дуги окружности относятся как 9:11, что в сумме дает 20 частей. Поэтому длина меньшей дуги составляет  от всей окружности, значит 

∠AOB = =162

Ответ:162˚.

Вывод: владея понятиями вписанный угол, центральный угол, свойствами этих углов можно находить градусные меры центрального и вписанного углов; градусную меру дуги окружности, на которые эти угла опираются; длину дуги окружности; некоторые элементы окружности.

Решение задач на применение понятий касательная, хорда, радиус, диаметр.

№ 17  (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.)

Найдите длину хорды окружности радиусом 13, если расстояние от центра окружности до хорды равно 5.

                                                              Решение:

Проведем отрезки AO и OB. Рассмотрим треугольник АОВ-равнобедренный, АО = ОВ (как радиусы).

OH - высота.  АН = ВН (так как в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой).

Так как ВН - высота, то треугольник АНО прямоугольный.

По теореме Пифагора:

AO²=AH²+OH²

13²=AH²+5²

AH²=169-25

AH=12

AB=12*2=24

Ответ:24.

№ 17 (ГИА-2013 , математика. Тренировочная работа №3 (Вариант 1)

Прямоугольный треугольник с катетами 5см и 12см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?    

                                                            Решение:

x- гипотенуза. По теореме Пифагора:

x²=12²+5²

x²=144+25

x²=169

x=13

гипотенуза равна 2R.

2R=13

R = 6,5

Ответ:6,5 см.

№17 вариант 5 (ОГЭ 2020. Математика. 38 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий под ред. И.В. Ященко.)

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 168°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что ∠ABC острый. Найдите ∠ABC. Ответ дайте в градусах.

                                                          Решение:

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами, значит ∠ABC=168/2=84°

Ответ: 84°.

№ 2181. (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред.  И.В. Ященко.)

В ∠C величиной 79° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите ∠AOB. Ответ дайте в градусах.

                                                                Решение:

Радиус окружности перпендикулярен касательной в точке касания, значит,

∠CAO=∠OBC= 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360⁰, значит,

∠AOB = 360° −∠CAO − ∠OBC − ∠ACB = 360° − 90° − 90° − 79° = 101°.

Ответ: 101°.

№ 2184  (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1  под ред.  И.В. Ященко.)

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 2°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

                                                              Решение:

Рассмотрим треугольник ABC - равнобедренный (по свойству отрезков касательных AВ = BС). По свойству равнобедренного треугольника: ∠1 = ∠2(углы при основании равны)

∠1 + ∠2 = 180°-∠С = 180°-2° = 178°; ∠ 2 =   = 89°

∠ABO= 90°- ∠2=90°-89°=1°.  Ответ:1°

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.)

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.

                                                            Решение:

Соединим отрезком точки O и B, полученный отрезок — радиус. ΔАОВ - прямоугольный (по свойству радиуса, проведенного в точку касания).

По теореме Пифагора:

AO² = AB² + OB²

13² = 12² + OB²

OB² = 169 - 144

OB² = 25

OB = 5

Ответ:5см.

№ 2175 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 под ред. И.В. Ященко)

АС и ВD диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 69˚. Найдите угол АОD. Ответ дайте в градусах.

                                                                    Решение:

⦟ АСВ опирается на дугу АВ, значит градусная мера дуги АВ = 69˚ ∙ 2 = 138˚ (т.к. угол АСВ - вписанный). Значит, дуга АD = 180˚ – 138˚ = 42˚. Тогда ⦟ АОD = 42˚: 2 = 21˚ (т.к. угол АОD - вписанный).

Ответ: 21˚.

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.)

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60° , а расстояние от точки А до точки О равно 8.

                                    Дано:   окружность с ц. в т. О, ⦟А = 60˚, ОВ = 8.

                                                                  Найти:  ОА.
                             А                            

                                                       Решение:

Проведём радиусы OB и OC в точки касания.

Катеты OB=OC=r, OA-гипотенуза (общая), значит, ΔOBA=ΔOAC

∠BAO=∠OAC==30˚

R=AO ∙ sin30˚=8 ∙ =4

Ответ: 4.

Вывод: владея определением касательной, определением хорды, радиуса, диаметра окружности, зная свойства касательной к окружности можно находить градусную меру дуги, величину центрального угла, величины углов, образовавших при пересечении касательной и хорды окружности, величины углов фигур, образованных радиусами и хордами окружности.

Решение задач с вписанными и описанными окружностями.

№ 2044 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 под ред. И.В. Ященко)

Сторона правильного треугольника равна 36.Найти радиус окружности описанной около этого треугольника.

                                                           Решение:

R=  ∙ a =  = 3 ∙ 12 = 36.                        

Ответ:36

№ 2050 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 под ред. И.В. Ященко)

Высота правильного треугольника равна 90. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

                                               Дано: ΔАВС, ВН = 90.

                                               Найти: r.
                                       

                                                             Решение:

 R=  =  =60

 Ответ:60.

№ 2061 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 под ред. И.В. Ященко)

 В треугольнике ABC BC=5 , ∠C=90 R=22,5. Найдите AC.

                                                              Решение:

AB = 2 ∙ 22,5 = 45 (так как AB проходит через центр окружности).

Рассмотрим  По теореме Пифагора:

AB² = BC²+AC²

2025 = (5)2+AC²

AC² = 2025-425

АС2 = 1600

AC = 40

Ответ:40

№ 2062 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 под ред. И.В. Ященко)

Найдите радиус окружности вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 132.

                                                    Дано: ΔАВС, АС=СВ=АВ, СН = 132.                                

                                                    Найти: r.                                                                        

                                                               Решение:

Рассмотрим Δ СНВ – прямоугольный. ⦟СНВ = 90˚.

Т.к. ΔАВС – правильный, то ⦟В = 60˚, ⦟НСВ = 30˚. В прямоугольном треугольнике против угла в 30 градусов лежит катет в два раза меньший гипотенузы , значит, СВ = 2НВ.

По теореме Пифагора найдем сторону правильного треугольника.

СВ2 = СН2 + НВ2

4НВ2 = 17424 + НВ2

3НВ2 = 17424

НВ2 = 5808

НВ = . Тогда СВ = 2.

Радиус вписанной в правильный треугольник окружности можно найти по формуле r = ; r = 44.

Ответ: 44

№ 2026 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1  под ред.  И.В. Ященко.)

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 14.

                            Решение:

S кв = d² = (2r)² = (2∙14)² = 784

Ответ: 784

№ 2041 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

Четырехугольник ABCD вписан в окружность. ∠ABD=38°,∠CAD=54°. Найдите ∠ABC.

                                                       Решение:

∠ABD=∠ACD (так как опираются на одну дугу), значит ∠ACD = 38°

Тогда ∠ADC =180°-(38°+54°) = 180°-92°=88°, тогда дуга ABС = 88° ∙2=176°

Отсюда дуга ADC=360°-176° = 184°, тогда ∠ABC = = 92 (°).

Ответ: 92°.

№ 2129 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 7, BC = 16 и CD = 17. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

                     Дано:  АВСD - четырехугольник, описанный около      

                                  окружности  АВ = 7, ВС = 16, СD = 17.

                     Найти: АD.

                                                         Решение:

В четырехугольник можно вписать окружность только и тогда когда AD+BC=AB+CD:
AD+16=7+17 ; AD+16 = 24; AD=8.

Ответ: 8.

Вариант № 10 задание 17 (ОГЭ 2020. Математика. 38 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий под ред.  И.В. Ященко.)

В треугольнике ABC известно, что AC = 7, BC=24 , угол C равен 90 . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

                                                Дано: ΔАВС, ⦟С = 90˚,  АС = 27, ВС = 24.

                                                Найти: R.
                                                          Решение:

Рассмотрим Δ АВС. По теореме Пифагора: AB² = BC² + AC²

AB² = 576 + 49; AB² = 625 ;  AB = 25.

Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине его гипотенузы: R = = 12,5

Ответ: 12,5.

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.  

                                                             Решение:

Угол, образованный хордой и касательной равен половине дуги, тогда

дуга MK = 2 · 83° = 166°. ⦟MOK — центральный, значит, дуга MK = ⦟MOK = 166˚

В треугольнике OMK стороны OK и OM равны как радиусы окружности.

Поэтому треугольник OMK — равнобедренный, значит,  углы при основании равны. ∠OKM = ∠OMK =  = 7(°).

Ответ:7˚.

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.

На окружности с центром O отмечены точки A и B так, что ∠AOB = 66°. Длина меньшей дуги AB равна 99. Найдите длину большей дуги.

                                                              Решение:

Пусть x  длина большей дуги AB, тогда

Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере:  

х = = 441

Ответ: 441.

№ 2134 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

Около окружности, радиус которой равен 16, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

                                                        Решение:

R²=2r²;  R²=2∙(16)²=2∙256∙2;   R=2∙16=32.

Ответ:32.

№ 2206 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В.  Ященко.)

Площадь треугольника равна 205 , а его периметр 82. Найдите радиус вписанной окружности.

                                                            Решение:

S = r = .

 r = 2*205/82=5

Ответ: 5

№ 2202 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

Периметр треугольника равен 8, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите площадь этого треугольника.

                                                              Решение:

S =  ; S =  =8

Ответ: 8

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.)

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.

                                                             Решение:

Построим радиусы OA и OC.  

Центральный угол AOC = = 45°.

 ∠ ABC — вписанный, значит, ∠ ABC =45°:2 = 22,5°.

Ответ: 22,5°.

№ 17 (Демонстрационный вариант контрольно-измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике.

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

                                                                Решение:

Так как треугольник ABC- равнобедренный,  = 30 (⁰).

⦟А = ⦟С = 30⁰ (по свойству равнобедренного треугольника)

R = ;  R= 4/(2∙) = 4

D = 2R = 4∙2 = 8

Ответ:8

№ 2131 (ОГЭ: 3000 задач  с ответами по математике. Все задания части 1 под ред.  И.В. Ященко.)

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 20.

                                                                Решение:

Пусть x-AB , тогда 5x - BC , 9x- DC. Если окружность можно вписать в четырехугольник, то  AB+DC=DA+BC; х+9x = DA+5x; 10x = DA + 5x; 10x - 5x = DA; DA=5x

По условию задачи периметр четырехугольника равен 20, тогда х+5x+5x+9x=20

20 x = 20

х = 1

9x = ВС =9 ∙ 1=9

Ответ: 9.

Вывод: применяя понятия вписанной и описанной окружности, понятия вписанного и описанного многоугольника можно находить стороны четырехугольников, треугольников, радиусы вписанной и описанной окружности, диаметр вписанной и описанной окружностей, величины углов вписанного четырехугольника, величины углов правильных

многоугольников, высоту треугольника, вписанного в окружность, периметр описанного четырехугольника.

Анализ результатов. Выводы.

В своей работе я изучил основной теоретический материал по теме «Окружность».  Рассмотрел основные понятия и свойства, связанные с окружностью, изучаемые в курсе основной школы и необходимые для решения задач:

• окружность, основные элементы окружности и соотношения между основными элементами;
• касательная к окружности и основные свойства касательной к окружности;
• центральный и вписанный углы, их свойства;
• вписанная и описанная окружности, свойства вписанных и описанных окружностей;
• окружность, описанная около правильного многоугольника и вписанная в правильный многоугольник;
• площадь круга и кругового сектора.

В ходе выполнения работы смог отсортировать типовые задачи на окружность, встречающиеся в экзаменационной работе и  разобрать основные приемы их решения. Все основные задачи разбил на три большие группы:

• задачи на вписанные и центральные углы (можно находить градусные меры центрального и вписанного углов; градусную меру дуги окружности, на которые эти угла опираются; длину дуги окружности; некоторые элементы окружности);

• задачи на применение понятий касательная, хорд, радиус, диаметр (можно находить градусную меру дуги, величину центрального угла, величины углов, образовавших при пересечении касательной и хорды окружности, величины углов фигур, образованных радиусами и хордами окружности.
• задачи на вписанные и описанные окружности (можно находить стороны четырехугольников, треугольников, радиусы вписанной и описанной окружности, диаметр вписанной и описанной окружностей, величины углов вписанного четырехугольника, величины углов правильных многоугольников, высоту треугольника, вписанного в окружность, периметр описанного четырехугольника.)

 Работа над проектом показала, чтобы появилась возможность успешно решать задачи по теме «Окружность», встречающиеся в экзаменационной работе  необходимо знание теоретического материала по теме, а также знакомство с основными приемами решения задач по данной теме.

Выводы:

• по теме «Окружность» есть основные термины, знание которых необходимо, чтобы разобраться в условии задачи;
• владение основными свойствами элементов окружности позволяет выбрать прием решения задачи;
• нет единого способа решения задач на окружность, встречающихся в первой части экзаменационной работы;
• разобрав различные типовые задачи  № 17 из различных источников и приемы их  решения, можно успешно выполнить это задание на экзамене;
• теоретического материала изложенного в школьном учебнике достаточно, чтобы решать задачи, связанные с окружностью из первой части экзаменационной работы.  

В ходе выполнения работы с поставленными целями и задачами справился. Мне удалось обобщить и систематизировать изученный теоретический материал по данной теме. Рассмотрев различные приемы решения задач с окружностью, появилась возможность решить задание № 17 в экзаменационной работе. Кроме этого подготовил задачник по теме «Окружность. Задачи первой части экзаменационной работы». Работа над проектом показала, что нет универсальных приемов решения для всех задач из первой части, связанные с окружностью.

Данный материал можно рекомендовать учителям как методическое пособие при проведении занятий по подготовке к ОГЭ.

Материал будет полезен тем, кто готовиться к экзамену по математике в 9 классе в формате ОГЭ.

 Список источников:

1. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев др. – М. : Просвещение, 2017 – 383 с.
2. Математика: сборник формул. – М. : АСТ: Астрель: Полиграфиздат, 2010 – 159 с.
3. ОГЭ 2020. Математика. 38 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий/ под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», 2020 – 215 с.
4. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018 – 479 с.
5. Математика. ОГЭ. Модуль «Геометрия». Теория. Задания. – Саратов: Лицей, 2017 – 64 с.
6. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2020 году основного государственного экзамена по математике. Подготовлен Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «Федеральный институт педагогических измерений».
7.  Википедия. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 2» г. Сафоново Смоленской области

Задачник

«Окружность. Задачи первой части работы в формате ОГЭ

в 9 классе»

Задачник создан в рамках проекта по математике «Окружность в задачах ОГЭ по математике»

Задачник подготовил: ученик 9 «А» класса  Груздов Денис.

2020

Вписанные и центральные углы.

№ 1

На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ⦟ NBA = 36˚. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

№ 2

На окружности по разные стороны от диаметра АВ взяты точки М и N. Известно, что ⦟ NBA = 49˚. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.

№ 3

Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ⦟АВС = 22˚ и ⦟ОАВ = 71˚. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.                                   

№ 4

Точка О – центр окружности, на которой лежат точки А, В и С. Известно, что ⦟АВС = 61˚ и ⦟ОАВ = 8˚. Найдите угол ВОС. Ответ дайте в градусах.  

№ 5

На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что
⦟АОВ = 50˚. Длина меньшей дуги равна  90. Найдите длину большей дуги.

№ 6

На окружности с центром в точке О отмечены точки А и В так, что ⦟АОВ = 40˚. Длина меньшей дуги равна  88. Найдите длину большей дуги

№ 7

В окружности с центром в точке О отрезки АС и ВD- диаметры. Угол АОD равен 54˚. Найдите угол АСВ.

№ 8

В окружности с центром в точке О отрезки АС и ВD - диаметры. Угол АОD равен 104˚. Найдите угол АСВ.

№ 9

Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 43˚. Ответ дайте в градусах.

№ 10

Центр окружности, описанной около треугольника АВС лежит на стороне АВ. Найдите угол АВС, если угол ВАС равен 12˚. Ответ дайте в градусах.

Задачи на вписанные и описанные окружности.

№1

Сторона правильного треугольника равна 36.Найти радиус окружности описанной около этого треугольника.

№2

Сторона правильного треугольника равна 34  Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.                                                      

№3

Высота правильного треугольника равна 126. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

№4

Высота правильного треугольника равна 6. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

№5

В треугольнике АВС ВС=12, угол C равен 90˚. Радиус Описанной окружности этого треугольника равен 10. Найдите AC.

№6

В треугольнике АВС ВС=, угол C равен 90. Радиус Описанной окружности этого треугольника равен 3. Найдите AC.

№7

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

№8

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 9.

№9

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 16.

№10

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 10.

№11

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 60°, угол CAD равен 45°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

№12

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 15°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

№13

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 10, BC = 11 и CD = 15. Найдите четвертую сторону четырехугольника.

№14

В четырехугольник ABCD вписана окружность, AB = 5, BC = 6 и CD =8 . Найдите четвертую сторону четырехугольника.

№ 15

Около окружности, радиус которой равен 30, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

№16

Около окружности, радиус которой равен 22, описан квадрат. Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

№17

Периметр треугольника равен 76, а радиус вписанной окружности равен 8. Найдите площадь этого треугольника.

№18

Периметр треугольника равен 50, а радиус вписанной окружности равен 4. Найдите площадь этого треугольника.

№19

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:16:23. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 48.

№20

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

Задачи на применение понятий касательная, хорда, радиус, диаметр.

№1

В угол C величиной 120° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

№2

В угол C величиной 100° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.

№3

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

№4

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 56°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

№5

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 38°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

№6

Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром O. Угол ACB равен 23°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

№7

Хорда AB стягивает дугу окружности в 70°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

№8

Хорда AB стягивает дугу окружности в 116˚. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.

        Ответы к задачам:

Задачи на вписанные и центральные углы.

1. 54. 2. 41. 3. 49. 4. 53. 5. 648. 6. 792. 7. 63. 8. 38. 9. 47. 10. 78.

Задачи на вписанные и описанные окружности.

1. 36. 2. 34. 3. 84. 4. 4. 5. 4. 6. 2. 7. 2. 8. 3. 9. 1024. 10. 400. 11. 105. 12. 50. 13. 14. 14. 7. 15. 60. 16. 44. 17. 304. 18. 100. 19. 23. 20. 12.

Задачи на касательную, хорду, радиус, диаметр.

1. 60. 2. 80. 3. 36. 4. 28. 5. 104. 6. 134. 7. 35. 8. 58.

Оглавление:

Тема проекта…………………………………………………………………………………….3

Основная часть. Теоретические сведения…………...………………………………………...5

Виды задач с окружностью………………………………………………………………...7

Анализ результатов. Выводы………………………………………………………….......20

Список источников…………………………………………………………………………22

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2» г. Сафоново Смоленской области

Индивидуальный проект по математике

«Параллелограмм в задачах ОГЭ по математике»

Номинация «В помощь учителю»

                                                 Автор проекта: ученик 9 «Б» класса                              Щербаков Никита

                                     Руководитель проекта: учитель математики                         Пикулицкая Н.С.

2021г.

Содержание.

Введение ………………………………………………………………………………………..  с. 1

Содержание………………………………………………………………………………….…… с.1

Название проекта……………………………………………………..…………………………. с.2

Предмет…………………………………………………………………………………………   с.2

Класс……………………………………………………………………………………………… с.2

Продолжительность проекта..…………………………………………………………………   с.2

Цель………………………………………………………………………………………………. с.2

Задачи………………………………………………………………………………………………с.2

Гипотеза…………………………………………………………………………………………   с.2

Вид проекта……………………………………………………………………………………… с.2

Объект исследования…………………………………………………………………………     с.2

Предмет исследования……………………………………………………………………………с.2

Методы исследования…………………………………………………………………………….с.2

Ожидаемые результаты…………………………………………………………………………. с.2

Вопросы, направляющие проект……………………………………………………………..    с.4

Этапы работы над проектом…………………………………………………………………… .с.4

I этап работы над проектом. Сбор информации

• Из истории ……………………………………………………………………………………..с.5
• Теоретические сведения ……………………………………………………………………  с.5

II этап работы над проектом.

• Виды задач с параллелограммом, встречающиеся в экзаменационной работе и общие приемы их решения…………………………………………………………………………  с.10

III этап работы над проектом. Анализ результатов

• Анализ результатов, формулирование выводов…………………………………………..  с.19

Список источников…………………………………………………………………..…………. с.21

В школьных учебниках мы знакомимся с понятием параллелограмма. Знание понятий, связанных с параллелограммом позволяет повысить качество решения задач. Каждый ученик должен уметь рационально решать поставленные задачи. Актуальность выбранной темы состоит в том, что на экзамене в форме ОГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени, учащиеся должны знать и уметь применять эффективные способы решения. Ведь экзамен выявляет не только знания, которые дают на уроке, но и умение ориентироваться в предложенной схеме, а также психологическую готовность демонстрировать свои знания и умения в непривычной обстановке.

Название: Параллелограмм в задачах  первой части ОГЭ по математике.

Предмет: Математика.

Класс: 9 «Б».

Продолжительность проекта: 6 месяцев.

Цель: формирование навыков решения задач базового уровня по теме: «Параллелограмм». Задачи:

1. Изучить дополнительную литературу и другие источники информации по данной теме.
2. Обобщить и систематизировать имеющийся теоретический материал по теме: «Параллелограмм».
3. Найти приёмы решения задач с параллелограммом в задачах ОГЭ первой части.
4. Подготовить задачник по данной теме.

Гипотеза: Существуют общие приёмы решения задач с параллелограммом.

Вид проекта: Информационно-исследовательский.

Объект исследования: Решение задач, содержащих в условии параллелограмм.

Предмет исследования: Способы решения задач, содержащих в условии параллелограмм.

Методы исследования:

1. Анализ источников информации;
2. Наблюдение, сравнение, анализ информации.

Ожидаемые результаты:

В результате работы над проектом рассмотреть решение  задач с параллелограммом  из первой части экзаменационной работы; выбрать задачи на параллелограмм, встречающиеся в тестах ОГЭ по математике; составить задачник по теме проекта.

Актуальность проекта:

Знание понятий, связанных с параллелограммом позволяет повысить качество решения задач. Каждый ученик должен уметь рационально решать поставленные задачи. На экзамене в форме ОГЭ, учитывая ограниченность экзамена во времени, учащиеся должны знать и уметь применять эффективные способы решения

Вопросы, направляющие проект:

1) основополагающий:

• достаточно ли для решения задач с параллелограммом, способов изложенных в школьном учебнике.

2) проблемные вопросы:

• можно ли решать задачи по теме «Параллелограмм»  из первой части экзаменационной работы не владея теоретическими знаниями.

3) учебные вопросы:

• что такое четырехугольник;
• что такое параллелограмм, основные элементы параллелограмма и соотношения между основными элементами;
• свойства параллелограмма;
• признаки параллелограмма;
• основные виды параллелограммов;
• свойства биссектрис параллелограмма;
• сумма углов параллелограмма;
• периметр параллелограмма;
• площадь параллелограмма;

Этапы работы над проектом:

     1) Сбор информации:

          изучение поставленных задач, определение значимых понятий подбор  источников информации сбор информации.

     2) Обработка данных:

         рассмотрение приемов решения задач с окружностью базового уровня.

     3) Анализ данных:

         анализ результатов, формулирование выводов.

Основная часть.

Из истории.

Первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов и площади земельных участков. Слово «геометрия» греческого происхождения («ге» - земля, «метрео» - мерю) и означает «землемерие». Возникновение геометрии связано с практической деятельностью людей. Это отразилось и в названии многих геометрических фигур, например: «трапеция» происходит от греческого «трапецион» - «столик». Термин «линия» возник от латинского «линум» - «лён, льняная нить». «Ромб» происходит от латинского «ромбус», означающего «бубен». От греческого слова «пара» в сочетаниии с «аллелос» - «идущий» и добавлением «грамма» - «черта» получается слово «параллелограмм».

Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлеченным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры, поверхности, линии, точки, прямой и т.д.

Геометрические фигуры встречаются в самых древних дошедших до нас математических документах: в «Московском» папирусе, в «папирусе Ахмеса» и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих документах содержатся задачи, в которых выступает на первый план вычисление площадей и объемов отдельных фигур.

В древних египетских и вавилонских математических документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольные трапеции.

Термин «параллелограмм» – греческого происхождения и, согласно математику Проклу (5в.), был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная теория параллелограмма была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с XVII века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида: через точку, взятую вне данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную этой прямой.

Теоретические сведения.

Определение четырехугольника.

           Четырехугольник  - это фигура, которая состоит из четырех точек (вершин) и четырех отрезков (сторон), которые последовательно соединяют вершины.

При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться.

Определение параллелограмма.

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

                 АВ, ВС, DC, AD – стороны параллелограмма.

            АВ || СD, ВС || AD.

 Свойства параллелограмма.

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

                      АВ = DC, ВС = AD

                      ∟A = ∟C, ∟В = ∟D

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.    

          В        С

                                                                 АО = ОС, ВО = ОD

  A        D

3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

        В                                         С

                                                                            АС2 + BD2 = AB2 + CD2 + BC2 + AD2

     A         D

4. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна .

        B        C        ∟ A + ∟B = 180°

                                                                                                   ∟ C + ∟B = 180°

                                                                                                   ∟ C + ∟D = 180°

            А                                         D                                        ∟ A + ∟D = 180°

5. Расстояния от вершин противоположных углов параллелограмма до одной и той  же его диагонали равны.

        BН = FD

 Признаки параллелограмма.

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Частные виды параллелограммов.

Свойства биссектрис параллелограмма.

Рассмотрим параллелограмм АВСD и биссектрису АК угла А.

Пересечение биссектрисы  угла  А со стороной параллелограмма  зависит от длины его сторон.

Рассмотрим некоторые свойства биссектрис параллелограмма:

1. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Дано:ABCD – параллелограмм,

АЕ – биссектриса А

Доказать:АВЕ – равнобедренный

Доказательство:

ВС || АD, AE – секущая,  ЕАД = ВЕА (как накрест лежащие углы)

AE – биссектриса A, поэтому  ВАЕ = ЕАД

ЕАД = ВЕА, ВАЕ = ЕАД, следовательно ВЕА = ВАЕ, значит АВЕ – равнобедренный (по признаку).

2.Биссектрисы противоположенных улов параллелограмма лежат на параллельных прямых.

Дано:

АЕ и СF – биссектрисы

АВСD - параллелограмм

Доказать:

AE ||  CF

Доказательство:

1) 1 = 2, так как АЕ – биссектриса.

2) ВС ||  AD, АЕ – секущая  2 =3 (как накрест лежащие).

3)   1 = 2 = 4 = 5.

4) Из пункта 2 и 3 следует 3 = 4.

5) Рассмотрим АЕ и СF, ВС – секущая.

   АЕ ||  CF

Сумма углов параллелограмма.

                         ∠A+∠B+∠C+∠D=360°.

Периметр параллелограмма.

Периметр – сумма длин всех сторон параллелограмма. По свойству параллелограмма – противоположные стороны равны.

                             Р = 2 (АВ + ВС )

Площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению стороны параллелограмма на высоту, проведённую к этой стороне.

                              S = AD · BF

Площадь параллелограмма равна произведению его сторон на синус угла между ними.

                             S =  AB· AD· sin α

Выводы: изучив историю вопроса, связанного с параллелограммом,  я обнаружил, что  первые геометрические понятия приобретены людьми в глубокой древности. Они возникли из потребности определять вместимость различных предметов и площади земельных участков. Слово «геометрия» греческого происхождения («ге» - земля, «метрео» - мерю) и означает «землемерие».  Возникновение геометрии связано с практической деятельностью людей.  Термин «параллелограмм» – греческого происхождения и, согласно математику Проклу (5в.), был введен Евклидом. Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны еще пифагорейцам. Исследуя свойства параллелограмма на уроках, мы изучаем только часть материала. Некоторые факты остаются за рамками учебной программы. И возможно они могли бы нам помочь находить более простые решения задач. А насколько важно уметь решать геометрические задачи, мы убеждаемся на каждом уроке.

Виды задач с параллелограммом, встречающиеся в экзаменационной работе и общие приемы их решения.

Задачи на подсчет углов.

№ 1877 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 И.В Ященко)

Диагональ АС параллелограмма АВСD образует с его сторонами углы, равные 25 ° и 30°. Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

    Дано: ABCD – параллелограмм, ∟ВАС = 25°, ∟САD = 30°.        

    Найти: ∟В.

Решение:

Сумма односторонних углов параллелограмма равна 180°. Поэтому величина большего угла параллелограмма будет равна:  ∟В = 180°-25°-30°. Значит, 125°.

Ответ: 125°.

№ 1905 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике/все задания части 1 И.В Ященко)

Сумма двух углов параллелограмма равна 50°. Найдите один из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

             В                         С                  Дано:  АВСЕ — параллелограмм,

        ∠A+∠C=50°  

А        D        Найти: ∠ B.
                                                               

                  Решение:

Известно, что сумма градусных мер параллелограмма равна 360 градусам. Сумма двух соседних углов параллелограмма равна  180°,  значит, у нас сумма двух противоположных углов параллелограмма равна 50°. По свойству параллелограмма  ∠A = ∠C = 50 : 2 = 25 (°) .

Из того, что ∠A+∠В =180°  , следует, что ∠В = 180 – 25 = 155(°)  

Ответ:155°

№ 1909 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ И.В Ященко)

Один угол параллелограмма больше другого на 52°.         Найдите больший угол. Ответ дайте в градусах.

                                                                         Дано: ABCD-параллелограмм,  ∠A+52°= ∠B                                                                                                         Найти: ∠B.

        Решение.

Пусть  ∠A = х°, тогда ∠B = х + 52°. По условию задачи, известно что сумма углов параллелограмма равна 180 градусов .

                                 Составим и решим уравнение:

x+x+52=180;   2x=128 ;    х=64 (°) - ∠A

∠B = 52+64 = 116 (°)

Ответ:116°.

№ 1913 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1 /И.В Ященко)

Найдите больший угол параллелограмма, если два его угла относятся как 5: 31. Ответ дайте в градусах.

Дано: АВСD – параллелограмм, ∠A: ∠B = 5:31

Найти: ∠B

                                                         Решение:

Пусть x (°) -одна часть , тогда ∟A = 5x °, ∟ B=31x °. Известно, что сумма углов параллелограмм равна 180 градусов.

                                         Составим и решим уравнение:

5x+31x=180 ;   36x=180;

 х=5 (°) - одна часть

∠A=25(°),  ∠B=155(°)

Ответ: 155°.

Вариант 23 №15 (Математика 9-й класс подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов / под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Один из углов параллелограмма равен 35°. Найдите больший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

        В        С

        Дано: ∠A=35 °.

        А        D        Найти: ∠B.

         Решение:

Одно из свойств параллелограмма – сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

∠A+∠B = 180, тогда ∠B = 180 – 35  = 145 (°)

Ответ: 145°

Вариант 37 №15 ( математика 9-й класс подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов / под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Найдите острый угол параллелограмма АВСD, если биссектриса угла образует со стороной ВС угол, равный 27°. Ответ дайте в градусах.

        B        М        C

        Дано:   ABCD-параллелограмм,

        ∠ВAМ  = ∠ МАD , ∠BМА = 27°

        А        D        Найти: ∠А.

                                                      Решение:

Рассмотрим треугольник ABM, который является равнобедренным (∠ВAМ  = ∠ МАD (т.к. АМ – биссектриса ∠ВAD), ∠AМВ  = ∠ МАD – как накрест лежащие при ВС || АD и секущей АМ). Следовательно, ∠BMA=∠BAM=27°. Так как AM – биссектриса, то ∟A = 27+27=54 (°)  является острым углом параллелограмма ABCD.

Ответ: 54°.

Задачи на нахождение элементов параллелограмма.

№ 1887 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/И.В. Ященко)

Периметр параллелограмма равен 100. Одна сторона параллелограмма на 8 см больше другой. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

        Дано: АВСD – параллелограмм; Р = 100;  ВС = АВ +8.

        Найти: АВ.

        Решение:

Р = АВ + ВС + СD + DC.

По свойствам параллелограмма АВ = СD, ВС =  AD. Тогда Р = 2 (АВ + ВС).

Пусть АВ = х, тогда ВС = 8 + х.

Составим и решим уравнение:

2 (х + 8 + х) = 100

2х + 8 = 50

2х = 42

х = 21.

АВ = 21.

Ответ: 21.

Вариант 15, № 15 (Математика 9-й класс подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов / под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Диагонали АС и BD параллелограмма АВСD пересекаются в точке О, АС = 28, BD = 32 CD 15. Найдите DO.

     Дано: АВСD – параллелограмм,  АС = 28, BD = 32, CD = 15.

     Найти: DO.

                                                         Решение:

По свойствам параллелограмма диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, значит BD = 2 OD.  Тогда OD = 32: 2 = 16.

Ответ: 1,5.

Банк заданий ФИПИ

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK = 7, CK = 12.

                                Решение:

Углы BKA и KAD равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых, поэтому углы BAK и BKA также равны. Следовательно, треугольник ABK — равнобедренный, откуда AB = BK = 7. Противоположные стороны параллелограмма равны. Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон P = 2(BC + AB) = 2(7 + 12 + 7) = 52.

Ответ: 52.

Задачи на нахождение площадей фигур. 

Часть 2. ⸹ 2 № 11 (математика ОГЭ – 2020. 9-1 класс. Тренажер для подготовки к экзамену. Алгебра, геометрия/под ред. Ф.Ф. Лысенко)

Одна из сторон параллелограмма равна 31, а опущенная на нее высота равна 7. Найдите площадь параллелограмма.

        В        С

                                                                       Дано: АВСD – параллелограмм, ВН – высота,

                                                  АD = 31,   ВН = 7

        A            H                     D                        Найти: SABCD

                Решение:

Воспользуемся формулой площади параллелограмма. S = AD · ВН.

S = 31 · 7 = 217.

Ответ: 217.

№ 1977 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/И.В. Ященко)

Стороны параллелограмма равны 44 и 88. Высота, опущенная на первую сторону, равна 66. Найдите высоту, опущенную на вторую сторону параллелограмма.

        Решение:

Воспользуемся формулой площади параллелограмма.

 S = AD · BK ,   S = DC · BM.

Из двух последних равенств следует, что AD · BK = DC · BM.

88 · ВК = 44 · 66, ВК = 33.

Ответ: 33.                        

№ 2001 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ И. В Ященко)

Найдите площадь параллелограмма, если две его стороны равн 12 и 11, а угол между ними равен 30°.

           В        С         Дано : параллелограмм АВСD,.

         АВ = 12см, АD = 11см, ∟А = 30°

                                                                                              ВH – высота

       А                                    D

        Н        Найти: S.

        Решение:

1 способ.

Если ∟ А = 30°, то катет ВH равен половине гипотенузы АВ в треугольнике АВH, значит ВH = 12 : 2 = 6см.

S = АD * BH = 6 * 11 = 66см

Ответ: 66 см.

2 способ.

Воспользуемся формулой площади параллелограмма.

S = AB · AD · sin 30 = 12 · 11·  = 66.

Ответ: 66.

Часть 2 ⸹2 №15 (математика ОГЭ-2020 9-й класс.Тренажер для подготовки  к экзамену . Алгебра , геометрия(под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Одна из сторон параллелограмма равна 88, другая равна 15, а синус одного из углов равен . Найдите площадь параллелограмма.

                  В        С

                                                                                  Дано:   AB=88, AВ=15 sin∠A=

        А        D                         Найти: S

Решение:

Формула: S = АВ · АD · sin ∟A;

S = 88 ·15·  = 480.

Ответ:480

Тренировочная работа 1, № 3 (Математика ОГЭ. Модуль   «Геометрия». Теория. Задания /Абросимова Т.В).

Диагональ АС параллелограмма АВСD образует со стороной AD угол, равный 30°. Найдите площадь параллелограмма, если известно, что АС = 10, АD = 6.

        В               С

                                                   Дано: ABCD-параллелограмм,  ∟CАD = 30°                    

                           AC =10см, AD = 6см

                                                                     Найти: S

        А             D

        Решение:

Известно, что диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Найдем S параллелограмма при помощи S треугольника(ACD).

S(АCD) = ⋅ АС ⋅ АD ⋅ sin30 =  ⋅ 60 ⋅  = 15см²

S(АBCD) = 15 ⋅ 2 = 30см²

Ответ: 30 см2.

Вариант 21 №17 (Математика 9-й класс подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов / под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Высота ВН параллелограмма АВСD делит его сторону АD на отрезки АН = 14 и НD = 16. Диагональ параллелограмма BD равна 65. Найдите площадь параллелограмма.

        В        С

                                                                         Дано: АВСD – параллелограмм, АН = 14, НD = 16

        BD = 65.         

                                                                         Найти: S

       А                D

                      H        

 Решение:

1. В прямоугольном треугольнике BDH высота ВН является катетом.        

     Найдем его длину по теореме Пифагора.

     ВН = √ВD² - DН² = √29² - 21² = √841 - 441 = √400 = 20см

2. АD = 14 + 21 = 35см
3. S = АD⋅ВН = 35 · 20 = 700см²

    Ответ:700см²

Часть 2 параграф 2 №17 (математика ОГЭ-2020 9-й класс. Тренажер для подготовки  к экзамену . Алгебра , геометрия/под редакцией Ф.Ф Лысенко).

Площадь параллелограмма равна 65, две его стороны равны 5 и 100. Найдите большую высоту этого параллелограмма.

                                                                      Дано: S=65, а = 5, b = 100.

                                   Найти: ha

        Решение:

Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту.

65=100⋅hb ;   hb=0.65

65=5⋅ha

ha=13

Ответ:ha=13.

 Задачи на квадратной  сетке.

№ 1685 (ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике.  Все задания части 1 И.В Ященко).

На клетчатой бумаге с размером клетки 1 х 1 изображен параллелограмм. Найдите его площадь.                                

                                                       Решение:

S = a⋅h ; S = 6⋅5; S = 30

Ответ: 30

Часть 2 параграф 2 №92 (математика ОГЭ-2020 9-й класс. Тренажер для подготовки  к экзамену. Алгебра, геометрия /под редакцией Ф.Ф Лысенко)

Найдите (в см2) площадь фигуры , изображенной на клетчатой бумаге с размером  клетки              2 см х 2 см.

                                                           Решение:

S=a⋅h ;  S=8⋅6 ; S=48см²

Ответ:48см²

Математика. Краевая диагностическая работа. Краснодар (вар.5)

На рисунке изображен параллелограмм  . Используя рисунок, найдите  .

                Решение:

Рассмотрим треугольник АНВ – прямоугольный. По теореме Пифагора найдем АВ.

АВ2 = АН2 + НВ2

АВ2 = 9 + 16

АВ2 =  25.

АВ = 5.

 =  ;  = 0,6.

Ответ: 0,6.

ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа № 2.(5 вар)

На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты. Ответ дайте в сантиметрах.

                 Решение:

 По рисунку видно, что большая высота будет опущена на сторону, равную 3 клеткам.    Следовательно, будет равна 5 клеток.

Ответ: 5.

Задания на выбор верных утверждений.

1. Диагонали параллелограмма равны (неверно для любого параллелограмма)
2.  В параллелограмме противоположные стороны равны (верно,   свойство параллелограмма)
3. В параллелограмме есть 2 равных угла (верно, потому что в параллелограмме противоположные углы равны)
4. Любой параллелограмм можно вписать в окружность (неверно, потому что в окружность можно вписать только правильный четырехугольник)
5.  Площадь любого параллелограмма равна произведению длин его сторон (неверно, потому что S параллелограмма равна a⋅h)
6.  Если диагонали параллелограмма равны, то это ромб (неверно, так как в ромбе диагонали не равны.)

Выводы: изучив, все задачи на параллелограмм, встречающиеся в экзаменационной работе в формате ОГЭ, я обнаружил, что их можно разделить на несколько типов: задачи на подсчет углов, задачи на нахождение элементов параллелограмма, задачи на нахождение площади, задачи на квадратной сетке (или квадратной решетке), задания на определение истинности высказывания. К каждому типу задач подобрал  определенные приемы решения. В ходе выбора решения, обнаружил, что одну и ту же задачу можно решать несколькими  способами. Кроме того, я определил, что успешное выполнение заданий первой части экзаменационной работы невозможно без знания теоретического материала по данной теме. Знание свойств, связанных с углами параллелограмма, позволяют решать задачи на нахождение неизвестных углов параллелограмма. Знание свойств о сторонах  и диагоналях параллелограмма,  позволяет решать задачи на нахождение сторон параллелограмма и  периметра.  Знание формул площади параллелограмма, позволяют решать такие задачи, как нахождение площади параллелограмма; нахождение высоты параллелограмма, если известны площадь и сторона параллелограмма; нахождение неизвестной высоты параллелограмма, если известные две стороны и одна высота параллелограмма. Умение работать с квадратной решеткой, позволяет находить площадь параллелограмма, высоту, углы. Владение  теоретическим материалом по теме «Параллелограмм» позволит успешно справиться с определением истинности высказываний в задании 19 экзаменационной работы.

Анализ результатов. Выводы.

В своей работе я изучил основной теоретический материал по теме «Параллелограмм».  Рассмотрел основные понятия и свойства, связанные с параллелограммом, признаки параллелограмма,  изучаемые в курсе основной школы и необходимые для решения задач:

• определение параллелограмма;
• свойства параллелограмма;
• признаки параллелограмма;
• частные виды параллелограмма;
• сумма углов параллелограмма;
• периметр параллелограмма;
• площадь параллелограмма. 

            Рассмотрел свойства биссектрис параллелограмма, которые не рассматриваются в школьном курсе.

В ходе выполнения работы смог отсортировать типовые задачи на параллелограмм, встречающиеся в экзаменационной работе и  разобрать основные приемы их решения. Все основные задачи разбил на четыре большие группы:

• задачи на подсчет углов (нахождение неизвестных углов параллелограмма);
• задачи на нахождение сторон параллелограмма (нахождение элементов параллелограмма, сторон,  периметра)
• задачи на нахождение площади (нахождение площади по одной из двух формул, нахождение высоты, если известна площадь и сторона, нахождение неизвестной высоты, если известны две стороны и высота, нахождение угла параллелограмма);
• задачи на квадратной сетке (нахождение площади, нахождение  высоты, угла параллелограмма);
• задание на определение истинности высказывания (высказывания, связанные с определением параллелограмма, свойствами параллелограмма, суммой углов параллелограмма)

 Работа над проектом показала, чтобы появилась возможность успешно решать задачи по теме «Параллелограмм», встречающиеся в экзаменационной работе  необходимо знание теоретического материала, а также знакомство с основными приемами решения задач по данной теме.

Выводы:

• по теме «Параллелограмм» есть основные термины, свойства, признаки,   знание которых необходимо, чтобы разобраться в условии задачи;
• владение основными понятиями, связанными с параллелограммом, знание свойств, признаков параллелограмма, основных формул  позволяет выбрать прием решения задачи;
• нет единого способа решения задач на параллелограмм, встречающихся в первой части экзаменационной работы;
• разобрав различные типовые задачи  № 15,17, 18, 19 из различных источников и приемы их  решения, можно успешно выполнить это задание на экзамене;
• теоретического материала изложенного в школьном учебнике достаточно, чтобы решать задачи, связанные с параллелограммом  из первой части экзаменационной работы.  

В ходе выполнения работы с поставленными целями и задачами справился. Мне удалось обобщить и систематизировать изученный теоретический материал по данной теме. Рассмотрев различные приемы решения задач с параллелограммом, появилась возможность решить задание № 15, 17, 18, 19 в экзаменационной работе, в котором будет задание на параллелограмм.  Кроме этого подготовил задачник по теме «Параллелограмм.  Задачи первой части экзаменационной работы». Работа над проектом показала, что нет универсальных приемов решения для всех задач из первой части, связанные с параллелограммом, но владея теоретическими знаниями по теме можно найти рациональный способ решения.

Данный материал можно рекомендовать учителям как методическое пособие при проведении занятий по подготовке к ОГЭ.

Материал будет полезен тем, кто готовиться к экзамену по математике в 9 классе в формате ОГЭ.

 Список источников:

1. Википедия. Свободная энциклопедия. [Электронный ресурс] URL: https://ru.wikipedia.org
2. Геометрия. 7 – 9 классы: учеб. для общеобразоват. организаций/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев др. – М. : Просвещение, 2017 – 383 с.
3. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов для проведения в 2021 году основного государственного экзамена по математике. Подготовлен Федеральным государственным бюджетным научным учреждением «Федеральный институт педагогических измерений».
4. Математика: сборник формул. – М. : АСТ: Астрель: Полиграфиздат, 2010 – 159 с.
5. Математика. 9 –й класс. Подготовка к ОГЭ – 2021. 40 тренирвоочных вариантов по демоверсии 2021 года: учебно – методическое пособие: / под ред. Ф.Ф. Лысенко, С.О. Иванова . – Ростов н/Д: Легион, 2020 – 384 с.
6. Математика. ОГЭ. Модуль «Геометрия». Теория. Задания. – Саратов: Лицей, 2017 – 64 с.
7. ОГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания части 1/ под ред. И.В. Ященко – М.: Издательство «Экзамен», МЦНМО, 2018 – 479 с.
8. Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам. Математика.   [Электронный ресурс] https://oge.sdamgia.ru

муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №2» г. Сафоново Смоленской области

Индивидуальный проект

по профильной ориентации

«Выбери верный путь»

Автор проекта:

ученица 9 «А» класса Лукьянова Мария

Руководитель проекта:

классный руководитель Пикулицкая Н.С

2021

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………..

Название проекта…………………………………………………………………………….

Предмет……………………………………………………………………………………

Класс……………………………………………………………………………………………

Продолжительность проекта…………………………………………………………………..

Цель……………………………………………………………………………………………

Задачи………………………………………………………………………………………

Гипотеза………………………………………………………………………………………………

Вид проекта…………………………………………………………………………………

Объект исследования………………………………………………………………………

Методы исследования…………………………………………………………………….

Ожидаемые результаты…………………………………………………………………..

Вопросы, направляющие проект…………………………………………………………….

Этапы работы над проектом

1 этап работы над проектом. Сбор информации

• Информация о профессиях  ……………………………………………………….
• Методы профориентирования……………………………………………………….

2 этап работы над проектом. Обработка данных. Результаты анкетирований ……….

3 этап работы над проектом. Анализ результатов

• Анализ результатов. Выводы……………………………………………………………

Список источников……………………………………………………………………………

«Как хорошо когда у человека есть возможность выбрать себе профессию не по необходимости, а сообразуясь с душевными склонностями.»

 Апшерони А.

           То, чем будет заниматься человек в будущем, существенно будет влиять на финансовое положение, социальный статус, общество, с которым придется пересекаться и общаться, на всю жизнь в целом. Однако перед тем как стать специалистом в определенной отрасли, приходится проделать немалый путь, начиная от самой мысли "кем быть" и заканчивая получением всех необходимых знаний и опыта для работы.

 Актуальность данной темы состоит в проблеме выбора профессии, достижения в ней мастерства, реализации в профессиональной деятельности способностей и возможностей человека, получения удовлетворения от своего труда. Внутренний мир человека, его индивидуальность и неповторимость во многом влияют на его развитие, и, безусловно, на выбор профессии. На сегодняшний день существует много профессий, и любой школьник, в том числе и я, стоит перед сложным выбором, решая, с какой деятельностью связать свою жизнь, где учиться и куда пойти работать. Сейчас я должна определиться не только душевными порывами, но и здравым разумом – ведь я должна быть уверена, что выбранная профессия обеспечит мне и моим близким стабильное будущее.

Название проекта: «Выбери верный путь»

Предмет: Профильная ориентация

Класс: 9 «А» класс

Продолжительность проекта: 6 месяцев

Цель: приобретение знаний и умений, необходимых для выбора будущей профессии.

Задачи:

• Изучить проблему выбора профессий. Узнать мнения специалистов о том, как правильно выбрать профессию.
• Узнать у выпускников школы как они определились с выбором профессии с помощью "Анкеты-опроса".
• Перечислить лучшие варианты поиска профессии по изученным данным.
• Разработать схему выбора профессии для выпускника.
• Определиться с выбором моей будущей профессии по разработанной схеме выбора профессии

Гипотеза: после окончания школы, перед обучающимися возникает проблема: куда пойти учиться? От того, какой путь они выберут, будет зависеть их профессиональное будущее. Правильный выбор профессии позволит так построить свою будущую карьеру, чтобы достичь выдающихся успехов в ней.

Вид проекта: исследовательский

Объект исследования: профессиональная карьера выпускника.

Предмет исследования: процесс выбора профессии выпускником школы.

Методы исследования: анализ источников информации, опрос, анкетирование.

Ожидаемые результаты: повышение готовности выпускника школы к профессиональному самоопределению.

Вопросы, направляющие проект

1. основополагающий:

•  достаточно ли, знать какие существуют профессии, чтобы выбрать профессию себе;

2. проблемные вопросы:

•  правильный выбор профессии позволит построить удачную карьеру.

3. учебные вопросы:

• что такое профессия;
• классификация профессий;
• факторы, которые влияют на выбор профессии.

Этапы работы над проектом

1. Сбор информации:

• Изучение поставленных задач
• Подбор источников информации
• Сбор информации

2) Обработка данных:

• Прохождение методик для профориентирования.

3) Анализ данных:

• Анализ результатов
• Формулирование выводов.

Первый этап работы над проектом. Сбор информации.

Что такое профессия.

Профессия — это устойчивый и относительно широкий вид трудовой деятельности, являющийся источником дохода, предусматривающий определенную совокупность теоретических знаний, практического опыта и трудовых навыков и определяемый разделением труда, а также его функциональным содержанием; большая группа людей, объединенных общим родом занятий, трудовой деятельностью.

Выбор профессии.

Правильно выбрать профессию сложно даже тем, у кого есть любимый школьный предмет. Скажем, подросток любит биологию, а она открывает широкий простор для выбора: ветеринар, агроном, биолог, преподаватель и т. д. Поэтому судить о профессиональной склонности по школьным предпочтениям не совсем верно.

Когда стоишь на перепутье, кажется, что перед тобой множество дорог. Но, изучая карту, понимаешь, что одна из них закрыта для проезда, вторая существует только виртуально, третья слишком разбита прохожими, четвертая заросла кустарником, и лишь на паре остальных уложен асфальт. Никто не утверждает, что идти нужно исключительно по асфальту. Принц прорывался сквозь заросли, чтобы разбудить спящую красавицу. Решайте, что ближе вам: что проще или что заманчивее.

Классификация профессий.

1) по характеру рабочей нагрузки субъекта деятельности и его усилий по реализации трудовых задач на (преимущественно) физический или умственный труд;

2) по характеристикам цели труда, рабочей нагрузки, организации трудового процесса   умственный труд подразделяется на управленческий, операторский, творческий (стандартный и нестандартный), эвристический; динамический и статический; однообразный и разнообразный;

3) в зависимости от условий деятельности – на комфортный, в необычных, неблагоприятных и в экстремальных условиях;

4) по форме организации деятельности – на регламентированный, нерегламентированный и смешанный; индивидуальный и коллективный.

Возможно использование и целого ряда других классификационных признаков – по характеристикам орудий труда, типу трудовых задач, виду исходного и конечного продукта деятельности и т. д. Различные сочетания признаков трудовой деятельности создают своеобразный облик конкретных профессий. Научно-практическая деятельность определяет необходимость сопоставления и классификацию профессий по психологическим, гигиеническим, экономическим и другим признакам. При решении психологических задач диагностики и прогнозирования профессиональной пригодности такая необходимость в классификации профессий определяется потребностью использования методического аппарата, разработанного и обоснованного для какой-либо одной профессии, при решении аналогичной задачи в родственной профессии (профессиях).

Е. А. Климов предложил четырехъярусную классификацию профессий, которая построена на основе многофакторного принципа Первый ярус составляют пять типов профессий по признаку различий их объектных систем) человек – живая природа (Ч-П) – агроном, микробиолог и т. п.;
2) человек – техника (Ч-Т) – слесарь, механик, оператор ЭВМ и т. п.;
3) человек – человек (Ч-Ч) – врач, учитель, продавец и т. п.;
4) человек – знаковая система (Ч-З) – математик, редактор и т. п.;
5) человек – художественный образ (Ч-Х) – дирижер, художник, артист и т. п.

Во втором ярусе в пределах каждого типа профессий выделяются три класса по признаку целей труда:
1) гностические профессии (Г) – дегустатор (Ч-П), контролер (Ч-Т), социолог (Ч-Ч), корректор (Ч-З), искусствовед (Ч-Х) и т. п.;
2) преобразующие профессии (П) – мастер-животновод (Ч-П), токарь (Ч-Т), учитель (Ч-Ч), бухгалтер (Ч-З), цветовод-декоратор (Ч-Х) и т. п.; 3) изыскательские профессии (И) – летчик-наблюдатель (Ч-П), инженер-конструктор (Ч-Т), воспитатель (Ч-Ч), программист (Ч-З), композитор (Ч-Х) и т. п.

На третьем ярусе каждый из предыдущих трех классов профессий разделяется на четыре отдела по признаку основных орудий (средств) труда:

1) профессии ручного труда (Р) – контролер слесарных работ (Г-Ч-Т), лаборант химического анализа (Г-Ч-П), ветеринар (П-Ч-П), слесарь (П-Ч-Т) и т. п.;

2) профессии машинно-ручного труда (М) – токарь, водитель автомобиля, машинист экскаватора и т. п.;              

3) профессии, связанные с применением автоматических и автоматизированных систем (А), – оператор станков с программным управлением, авиадиспетчер, сменный мастер АЭС и т. п.;
4) профессии, связанные с преобладанием функциональных средств труда (Ф), – актер, акробат и т. п.

На четвертом ярусе в каждом из четырех отделов профессий выделяются четыре группы профессий по признаку условий труда:

• работа в помещении с нормальным микроклиматом (Б) – лаборанты, бухгалтеры и т. п.;
• работа на открытом воздухе (О) – агроном, монтажник, инспектор ГИБДД и т. п.;
• работа в необычных условиях (Н) – водолаз, высотник, шахтер, пожарный и т. п.;
• работа в условиях повышенной ответственности (М) – воспитатель детсада, учитель, следователь и т. п.

Выделенные четыре группы (яруса) признаков являются частично совпадающими, но не взаимоисключающими. Предложенная классификация позволяет, во-первых, дать обзорную схему карты мира профессий и, во-вторых, составить (используя условные литерные обозначения) примерную формулу определенной профессии.

Предложенная классификация предназначена не для того, чтобы разложить все профессии по своим ячейкам, а для определения их близости, общности по совокупности признаков. Эта задача, конечно, весьма условна, потому что большинство профессий характеризуется множеством разнотипных признаков. Но в любом сложном множестве, как отмечает Е. А. Климов, полезно проводить некоторые хотя бы ориентировочные различия и отождествления.

Качества личности, которые препятствуют  профессиональной деятельности:

• безответственность;
• невнимательность;
• эгоистичность;
• эмоциональная несдержанность;
• жестокость;
• брезгливость;
• нетерпимость;
• рассеянность.

Выбор профессии – дело сложное и важное, ведь современный человек большую часть жизни проводит на работе. Поэтому знание себя – своих интересов, способностей и желаний – главное условие психологической готовности к выбору профессии.

Человек, выбирающий профессию, должен определить для себя, что для него важнее, и в соответствии с этим решить, какая профессия позволит удовлетворить наиболее важные для него мотивы и потребности, которые связаны с его жизненными ценностями.

Факторы, влияющие на выбор профессии.

1. Мнение родителей, представление о себе, наличие способностей и особых личностных черт, а также практические соображения, продиктованные складывающимися обстоятельствами.

2. Представление молодого человека о самом себе. Многие психологи полагают, что именно стремление к самоактуализации, то есть к наибольшему проявлению всех своих ресурсов и потенциалов, определяет выбор профессии.

3. Наличие способностей и особых личностных черт.

4. Практические соображения, продиктованные обстоятельствами.

Какие профессии пользуются популярностью у молодежи.

Чтобы быстро найти работу и правильно выбрать профиль обучения, нужно владеть самой свежей информацией. Цена товара на рынке определяется не только его качеством, но и соотношением спроса и предложения. Поэтому, например, мы не можем утверждать, что высшее образование – залог высокого заработка. В этой ситуации выпускники имеют относительно низкую конкурентоспособность на рынке труда, обусловленную недостатком профессиональных знаний и квалификации, отсутствием привычки к работе в соответствии с правилами работодателя. Многие профессии, которые считались престижными, потеряли лидирующие позиции на рынке труда.

Список наиболее востребованных специальностей, по мнению исследователей всего мира:

• СМИ и развлечения. Около сорока процентов молодых специалистов связывают свою жизнь именно с этой нишей труда. Журналист, писатель новостей, издатель, публицист, диджей, ведущий программы - это лишь немногие творческие специальности, на которые стоит обратить внимание.
• Профессиональные услуги. Согласно данным статистики, чуть больше тридцати процентов всех работников трудятся именно в этой сфере. Профессиональные услуги могут быть разными. Сюда включены такие специальности, как юриспруденция, бухгалтерский учет, консалтинг и другие.
• Здравоохранение и фармацевтика Еще одна востребованная отрасль, где так нужны настоящие профессионалы. Около тридцати процентов всех трудящихся работают именно в больницах, клиниках, аптеках и фармпроизводствах.
• Архитектура и проектирование Эта отрасль трудовых отношений популярна как никогда. Создание различных архитектурных проектов и технического оснащения требует определенных навыков и творческого подхода.
• Розничная и потребительская продукция Что бы мы делали без продавцов, барменов, официантов, парикмахеров и подобных им профессионалов? Ответ очевиден - нам нужны такие специалисты.

А теперь определимся, какие именно специальности являются востребованными в нашем регионе. По мнению российских специалистов, рынок труда переполнен психологами, дизайнерами, экономистами и управленцами. Что же делать молодежи? Специалисты приходят к выводу, что в России не хватает: инженеров; IT-специалистов; врачей;  специалистов сельского хозяйства (ветеринары, агрономы); маркетологов-аналитиков; научных сотрудников; технологов; учителей; финансистов.  

Что такое профориентация.

В профориентации традиционно выделяют следующие направления: профинформация, профагитация, профпросвещение, профдиагностика и профконсультация. Профориентация способствует созданию условий для повышения готовности подростков к социальному, профессиональному и культурному самоопределению.

Чтобы освоить определенную профессию и затем успешно трудиться, человек должен обладать определенными качествами, отвечающими тем требованиям, которая предъявляет эта профессия к личности работающего.

Наряду с хорошо разработанной информационной ориентацией чрезвычайно важно умение разбираться в себе, своих способностях, мотивах выбора профессии, интересах, склонностях, предпочтениях. Эти данные могут быть получены с помощью традиционных психологических методов наблюдения, беседы, опроса. Но более стандартизованный и надежный вид они приобретают после проведения специального психодиагностического обследования, особенно при диагностике способностей и потенциальных возможностей.

Методики профориентации.

Различные методики профориентации основаны на разных теоретических подходах, поэтому результаты, полученные с их помощью, не всегда могут совпадать между собой. Скорее данные методики дополняют друг друга.

Методика ДДО базируются на психологической классификации профессий по предмету труда, являющейся наиболее популярной, практически общепринятой в России, разработанной Е.А. Климовым. Согласно этой классификации все профессии делятся на пять типов, в зависимости от того, с чем имеет депо работник в процессе своего труда. Это типы профессий "человек - человек", "человек - техника", "человек-знаковая система" "человек - художественный образ" и "человек - природа". При этом методика ДДО является более короткой по сравнению с методикой ОПГ и основана на выборе одного из двух суждений (всего из 20 пар суждений).

Простота использования этой методики для клиента и консультанта позволяет характеризовать методику ДДО как методику наиболее широкого спектра действия, пригодную для тестирования различных категорий взрослого населения и лиц юношеского и даже подросткового возраста. Эта методика позволяет достаточно успешно определять профессиональную направленность даже у людей, страдающих определенными расстройствами интеллектуальной деятельности.

1. Человек - техника (Ч-Т).

Труд людей этой группы профессий связан с:

• преобразованием деталей, изделий, механизмов (изготовление деталей, машин, механизмов вручную, на станках и автоматических линиях, слесарно-сборочные работы монтажные и электромонтажные, строительно-отделочные, работы по добыче и переработке промышленного сырья, изготовление пищевых продуктов);
• обслуживанием технических объектов (наладка и обслуживание оборудования, управление станками, машинами, механизмами, транспортными средствами и строительными машинами);
• восстановлением (восстановление и ремонт технического оборудования, изделий);
• изучением (контроль и анализ качества изделий и механизмов, испытание качества изделий).

2. Человек - человек (Ч-Ч).

Труд людей этой группы профессий связан с:

• воспитанием, обучением, тренировкой других людей (воспитатель дошкольных учреждений, детских домов, преподаватель в школах и других учебных заведениях, мастер производственного обучения, тренер по спорту и др.);
• медицинским обслуживанием людей и уходом за ними (врач, зубной техник, медицинская сестра);
• правовой помощью (судья, адвокат, юрисконсульт, работник милиции т.д.)
• организацией людей, руководством и управлением ими (администратор, менеджер и пр.);
• изучением, описанием, исследованием других людей (социолог, психолог, журналист, следователь и пр.).

З. Человек - знаковая система (Ч-З).

Труд людей этой группы профессий связан с:

• преобразованием, расчетом, сортировкой (бухгалтер, экономист, почтальон и пр.):
• шифровкой, дешифровкой, распознаванием символов (стенографист, радист, лингвист, филолог, историк, математик, библиотекарь и пр.);
• управлением движением (диспетчер, инспектор ГИБДД и пр.);
• составлением и хранением документации (нотариус, архивариус, делопроизводитель и пр.);
• восстановлением, устранением искажений (корректор, редактор и пр.).

4. Человек - природа (Ч-П).

Труд людей этой группы профессий связан с:

• преобразованием, переработкой (садовник, технолог пищевой промышленности, рыбообработчик и пр.);
• обслуживанием, охраной флоры и фауны (работник лесного хозяйства, цветовод, птицевод, животновод и пр.);
• заготовкой продуктов, эксплуатацией природных ресурсов (охотник, рыбак, лесоруб, агроном, зоотехник и пр.);
• восстановлением, лечением (ветеринар, эколог, лесовод и пр.);
• изучением, описанием, изысканием (генетик, геолог, ботаник, зоолог, метролог и пр.).

5. Человек - художественный образ (Ч-Х).

Труд людей этой группы профессий связан с:

• преобразованием, созданием (архитектор, дизайнер, скульптор, модельер. художник, режиссер, композитор и пр.);
• исполнением, изготовлением изделий по образцу в единичном экземпляре (дирижер, музыкант, вокалист, актер, ювелир. реставратор, оформитель и пр.);
• с воспроизведением, копированием, размножением художественных произведений (мастер по росписи, шлифовщик по камню, маляр и пр.).

Л.А. Йовайша выделяет в структуре личности четыре компонента, определяющие выбор профессии: активность, возможность, стиль и направленность.

Личность изучается по проявлениям активности (в том числе при выборе профессии) и характеру самовыражения (целостная организация индивида, представленная в направленности, возможностях и стиле деятельности человека).

Все эти качества личности проявляются во всех областях жизнедеятельности, в том числе в профессиональной деятельности и при выборе профессии. При этом в выборе профессии основополагающее значение принадлежит системе ценностей человека, определяемых его глубокими, коренными потребностями.

Каждая конкретная личность характеризуется своей иерархией типов ценностей и направленностью активности в соответствии с преобладающими у нее потребностями. Л.А. Иовайша выделяет следующие типы ценностей: общение (тип социальной коммуникативности), интеллектуальную активность, практико-технический тип, художественную активность, соматический тип, материально-экономический тип.

Методика «Профиль» предназначена для изучения интересов и склонностей человека к различным сферам деятельности. Максимальный балл – пять – говорит о ярко выраженном интересе к предмету или виду деятельности. Чем меньше балл, тем слабее интерес. Если сумма баллов ни в одном столбце не превышает два балла, значит, ваши профессиональные интересы еще не сформированы.

Соответственно этим двум способам измерения К. Томас выделял следующие способы регулирования конфликтов:

1. Соперничество (конкуренция) или административный тип, как стремление добиться удовлетворения своих интересов в ущерб другому.
2. Приспособление (приспосабливание), означающее, в противоположность соперничеству, принесение в жертву собственных интересов ради интересов другого человека.
3. Компромисс или экономический тип.
4. Избегание или традиционный тип, для которого характерно как отсутствие стремления к кооперации, так и отсутствие тенденции к достижению собственных целей.
5. Сотрудничество или корпоративный тип, когда участники ситуации приходят к альтернативе, полностью удовлетворяющей интересы обеих сторон.

Он полагал, что при избегании конфликта ни одна из сторон не достигнет успеха. При таких формах поведения как конкуренция, приспособление и компромисс или один участник оказывается в выигрыше, а другой проигрывает, либо проигрывают оба, так как идут на компромиссные уступки. И только в ситуации сотрудничества обе стороны оказываются в выигрыше.

Все рассматриваемые выше методики изучения личности в целях выявления потребностей, интересов, способностей могут помочь определить в конечном итоге дальнейшую профессиональную ориентацию

В исследовании проекта я выяснила, что выбрать профессию не так-то просто. Существует множество методик выбора профессии, и на выбор профессии влияют множество факторов. В своем проекте я хочу составить свой план выбора профессии для выпускника используя данные опроса учеников школы. Для этого я составила и провела опрос.

Второй этап работы над проектом. Обработка результатов.

В исследовании проекта я выяснила, что выбрать профессию не так-то просто. Существует множество методик выбора профессии, и на выбор профессии влияют множество факторов. В своем проекте я хочу составить свой план выбора профессии для выпускника используя данные опроса учеников школы. Для этого я составила и провела опрос.

Вопросы анкеты для выпускников

1. Ты выбрал профессию?
2. Каким образом ты определился с выбором профессии?
3. Что тебе помогло определиться с выбором профессии?
4. Что ты делаешь, для того чтобы осуществить данный выбор профессии?

Я провела анкетирование в выпускном 9 «А» классе. Анкетирование проходили 17 учеников.

Вывод по проведенному опросу:

• Большинство выпускников определились с выбором профессии, что является хорошим показателем в выпускных классах.
• Если посмотреть на ответы вопроса "Каким образом ты определился с выбором профессии" больше половины учеников выбрали профессию самостоятельно.
• У выпускников  для определения с выбором профессии в большинстве никто не помогал, но и помогли их собственные вкусы.
• Для того чтобы осуществить данный выбор профессии большая часть ориентирована на развитие    

Сопоставив изученный материал по профессиям и опрос выпускников, я предлагаю следующую схему выбора профессии:

1. Пройти дифференциально – диагностический опросник  Е.Л. Климова, по ней определить свою профессиональную ориентацию, самооценку, интересы, подходящий тип профессии.
2. Пройти Методику Йовайши. По полученным данным выписать подходящие профессии.
3. Определить свои увлечения, любимые занятия.
4. Проанализировать профессии, в которых возможно применить свои увлечения.
5. Сопоставить профессии выбранные с помощью пройденных методик и список профессий выбранных по своим увлечениям. Выписать совпавшие профессии.
6. Пройти тест Томаса.
7. Выбрать какая из этих профессий принесёт больший и стабильный доход и будет в радость.
8. Какие предметы необходимо знать, чтобы поступить в учебное заведение для получения данной профессии.
9. В каком направлении, и по каким предметам нужно приложить больше усилий.
10. Представить себя специалистом выбранной профессии и понять это ли нужно!
11. Если не нравишься себе, начать выбор с начала.

Мой план выбора профессии        

Методика «Профиль»

 Поведение в конфликте. Тест Томаса.

Больше всего баллов у меня в столбце 2, то есть Сотрудничество, или кооперация.

Опросник Климова.

Ключи к тесту:

          При интерпретации результатов наибольшая сумма набранных баллов составляет в столбце «Ч-Х», а именно 17 баллов. Соответственно, мне более соответствует профессия типа «Ч-Х», так как в данном столбце только одни плюсы и их наибольшее количество по сравнению с другими столбцами, а минусы отсутствуют вовсе.

Анализ теста и интерпретация результатов

           Полученный результат является показателем степени выраженности осознанной склонности к типу профессий Ч-X — профессии типа «человек — художественный образ».

           Моё увлечение- творчество. Мне нравится рисовать ,создавать что-то новое, в дальнейшем мне бы хотелось воплощать все свои идеи в реальную жизнь.

           Моё увлечения можно применить в следующих профессиях (наиболее популярных): Графический дизайнер
Дизайнер( в разных направлениях)
художник-постановщик
архитектор
иллюстратор
3D-моделлер
Реставратор
Мультипликатор
Игровой художник
Модельер
Свободный художник
           В результате пройденных мною методик, в особенности по опроснику Климова мне подходит  профессии Человек — Художественный образ (Ч-Х).
Труд людей этой группы профессий связан с:
♣ преобразованием, созданием (архитектор, дизайнер, скульптор, модельер, художник, режиссер, композитор и пр.);
♣ исполнением, изготовлением изделий по образцу в единичном экземпляре (дирижер, музыкант, вокалист, актер, ювелир, реставратор, оформитель и пр.)
♣ с воспроизведением, копированием, размножением художественных произведений (мастер по росписи, шлифовщик по камню, маляр и пр.).
           Из моих собственных увлечений мне нравятся такие профессии, как модельер, архитектор, дизайнер, художник.
           Эти профессии описаны в опроснике Климова, значит, я могу уже не переживать о том, что именно они мне подходят.
           Работа дизайнера приносит хороший финансовый доход. Но хорошо зарабатывать может только тот, кто работает качественно, иногда сверх нормы, не всегда вкусы заказчика и исполнителя совпадают , бесконечные усилия для поиска новых идей могут привести к внутреннему выгоранию или депрессии.
           Прием в ссузы осуществляется после проведения стандартного конкурса аттестатов. Высокий средний балл – гарантия поступления на бюджет. В ссузах можно выбрать следующие направления:
• «Графический дизайн»;
• «Дизайн (по отраслям)»;
• «Садово-парковое и ландшафтное строительство»;
• «Художник по костюму»;
• «Флористика» и другие.
           На некоторых специальностях есть творческие испытания такие ,как рисунок, живопись, композиция, поэтому обязательно нужно уточнять информацию перед подачей документов.
           Профессия дизайнера интерьера неразрывно связана с творчеством. По сути, только человек, наделённый фантазией, воображением, чувством понимания прекрасного сможет достичь успехов на этом поприще.
           Что должен знать и уметь дизайнер интерьера? Прежде всего, человек данной профессии должен быть вооружён различными знаниями и умениями. Так, он должен знать технологию различных строительных операций, свойства и характеристики материалов. Важно разбираться в проектировании, быть в курсе современных тенденций дизайнерского искусства. Кроме того, дизайнер должен понимать теорию цветоведения, светотехники, знать принципы планировки жилого пространства. Ему необходимо уметь разрабатывать проект дизайна помещения, оформлять интерьер, подбирать отделочные материалы, подбирать мебель и, конечно, прекрасно разбираться в стилях оформления интерьера.
Важная составляющая работы дизайнера интерьера — общение с клиентами, поставщиками материалов, строителями, подрядчиками. Дизайнер интерьера должен уметь грамотно подать свои идеи, то есть защитить свой проект, объяснив целесообразность тех или иных проектных, дизайнерских решений.
            Чтобы со всеми поддерживать конструктивные рабочие отношения, дизайнер должен быть хорошим дипломатом. А в работе с клиентами — ещё и психологом, дабы точно понять и предсказать, какие идеи они хотят внедрить.

 На сегодняшний день дизайнер интерьера — очень востребованная и хорошо оплачиваемая профессия. Дизайн интерьера способен влиять на производительность труда, здоровья людей, их безопасность. Поэтому многие с удовольствием пользуются услугами профессионала-дизайнера. Время стандартизации прошло, и каждому человеку хочется жить в доме, который отличается от других, как внешне, так и внутренне. Поэтому профессионал, способный индивидуализировать пространство для жизни, работы или отдыха всегда будет пользоваться заслуженным спросом.
            Специалисты-дизайнеры могут сами выбрать путь своей реализации: или работать в дизайнерском бюро, или открыть собственную дизайн-студию.
            Безусловно, работа дизайнера интерьера очень интересна. Она приносит довольствие, позволяет раскрыть творческий потенциал человека, а кроме того, вызывает восхищение и уважение в обществе.
           Я считаю важным, чтобы моя работа была современной и престижной. Поэтому моя будущая профессия — дизайнер интерьера.

Анализ результатов. Выводы.

Выбор профессии – один из главных жизненных выборов, совершаемых человеком в юном возрасте, так как выбирая профессию, он выбирает и образ жизни. Будущая профессия является основным звеном для осуществления нормальной жизнедеятельности человека.  Поэтому очень важно выбирать профессии именно ту, где можно проявить себя с хорошей стороны, быть нужным для общества.  Необходимо оценивать реальную возможность получения профессии. Необходимо четко осознавать разницу между рынком труда, когда работали мама и папа , и нынешним, о котором они возможно не полностью осведомлены. Можно воспользоваться интернетом и изучить ситуацию, почитать отзывы людей разных профессии или попросить знакомых люде поделиться своим опытом. Будущую профессию надо выбирать с учетом только личных качеств и способностей.

Определяясь с выбором своей профессии, я очень долго думала, а кем мне хочется быть. Я поняла, что необходимо составить алгоритм выбора. Стала обдумывать критерии. И из всего разнообразия выбрал самое важное и из них составила свою схему выбора профессии, которая является продуктом моего проекта.

Выводы:

1. Профессия – род человеческой деятельности, требующий специальных знаний и навыков в той или иной области, которые человек приобретает в результате обучения, теоретической и практической подготовки, а также опыта, получаемого в процессе работы.
2. Выбор профессии надо начинать осуществлять за несколько лет до поступления в профессиональное учебное заведение, так как у школьника будет возможность попробовать себя в интересующих сферах деятельности в качестве волонтера, во время летнего трудоустройства.
3. Жизнь показывает, что в случае правильного выбора молодым человеком профессии в выигрыше оказывается не только общество, получившее активного, целеустремленного деятеля общественного производства, но, главное — личность, испытывающая удовлетворение и получающая широкие возможности для самореализации.
4. Трудовая биография каждого человека складывается по-разному. Но люди чувствуют себя хорошо, здоровы и счастливы, если занимаются делом, которое им по душе и соответствует их способностям. Значит, каждому человеку очень важно найти свое место в трудовой жизни, используя личные качества, способности, ценности, ориентации.
5. Творческий созидательный труд — главный источник всех богатств, которыми владеет общество и сама личность. Выбирая профессию, каждый молодой человек или девушка должны осознавать, что они проектируют не только свою судьбу, но и формируют общество, его экономику.

 В результате работы над проектом с поставленными целями и задачами справилась. Выполнение данного проекта помогло мне точно определиться, кем я хочу быть. Я уверена в своих силах и точно поставила перед собой цель – стать дизайнером. Уже сейчас я думаю о своей дальнейшей судьбе, поэтому я стараюсь учиться и хочу успешно сдать вступительные экзамены, ведь именно в это время я покажу всё своё умение.

Каждый школьник может воспользоваться моей схемой выбора профессии и помочь себе определиться.

Список литературы

1. Бодров, В.А. Психология профессиональной пригодности. Учебное пособие для вузов / В.А. Бодров. – М.: ПЕР СЭ, 2001 – 511 с – (Современное образование).
2. Вачков, И.В. Я и мой внутренний мир. Психология для старшеклассников / И.В. Вачков. – Санкт-Петербург.: Подростки — Психологические исследования — Популярные издания, 2009. – 188 с.
3. Джуринский А.Н. Развитие образования в современном мире: Учеб. пособие для студ. высш. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Гуманит. Изд. центр ВЛАДОС, 2003. - 240 с.
4. Козловский О. В. Как правильно выбрать профессию: методики, тесты, рекомендации. - Донецк: БАО, 2006. - 798 с.
5. Лебединцева, Л.А. Социология профессий: учебник и практикум для бакалавриата и магистратуры / Л. А. Лебединцева [и др.]; под ред. Л. А. Лебединцевой. — М.: Издательство Юрайт, 2016. — 273 с. — Серия: Бакалавр и магистр. Академический курс.
6. Лопатина А. Секреты мастерства: 62 урока о профессиях и мастерах. - Москва: Амрита-Русь, 2005. - 350 с.
7. Парнов, Д.А. Кем быть? Секреты выбора профессии. Книга, с которой начинается карьера / Д.А. Парнов. – М.: Книжный мир, 2014. – 256 с.

          муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2» г. Сафоново Смоленской области








   Индивидуальный проект по математике

«Решение текстовых задач алгебраическими методами»

Автор проекта: ученик 9 «Б» класса

 Бурко Егор

Руководитель проекта: учитель математики

 Пикулицкая Н.С.

2021 г.

Содержание

Введение………………………………………………………………………………………..

Название проекта…………………………………………………………………………….

Предмет……………………………………………………………………………………

Класс……………………………………………………………………………………………

Продолжительность проекта…………………………………………………………………..

Цель……………………………………………………………………………………………

Задачи………………………………………………………………………………………

Гипотеза………………………………………………………………………………………………

Вид проекта…………………………………………………………………………………

Объект исследования………………………………………………………………………

Методы исследования…………………………………………………………………….

Ожидаемые результаты…………………………………………………………………..

Вопросы, направляющие проект…………………………………………………………….

Этапы работы над проектом

1 этап работы над проектом. Сбор информации …………………………………………

2 этап работы над проектом. Обработка данных………………………………………….

3.  этап работы над проектом. Анализ результатов. Выводы ………………………..

Список источников……………………………………………………………………………

Математика включает в себя очень много разделов – это и начальная математика, и алгебра, и геометрия, и тригонометрия, и математический анализ и т.д. любой из этих разделов содержит текстовые задачи, которые в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи – показатель обученности и развитости учащихся. Научиться решать тестовые задачи очень важно, так как, зная подходы к решению математических задач, учащиеся тем самым обучаются взаимодействию с любой задаче, которых достаточно много в других школьных предметах или жизни. Тем самым формируется жизненная позиция ученика как активной, самостоятельной личности. Тестовые задачи входят в ОГЭ и ЕГЭ. Таким образом, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике.

Название проекта: Решение текстовых задач алгебраическими методами
Предмет: алгебра

Класс: 9 Б

Продолжительность: 6 месяцев
Цель проекта: обобщение и систематизация разнообразия текстовых задач и методов решения текстовых задач
Задачи проекта:

1. изучить дополнительную литературу и другие источники информации по данной теме;
2. определить основные типы текстовых задач, решаемых алгебраическими методами;
3. найти приемы решения основных типов текстовых задач, встречающихся в ОГЭ по математике;
4. повысить уровень математический грамотности;
5. подготовить задачник по данной теме.

Гипотеза: с помощью уравнений можно упростить и ускорить процесс решения текстовых задач.

Вид проекта: информационно-исследовательский.

Объект исследования: текстовые задачи

Предмет исследования: способ решения текстовых задач с помощью уравнений.

Методы исследования: анализ источников и информации; наблюдение; сравнение
Ожидаемые результаты: в результате работы над проектом рассмотреть основные типы текстовых задач, найти основные приемы решения задач  алгебраическим методом; выбрать текстовые задачи, решаемые алгебраическими методами, встречающиеся в экзаменационной работе; составить задачник по теме проекта.

Вопросы, направляющие проект:

1. Основополагающий вопрос:

• как и каким образом можно решать определённые текстовые задачи.

2. Проблемный вопрос:

• как решать задачи быстро и просто с помощью алгебраического метода.

3.   Учебные вопросы:

• что такое задача;
• что значит решить  математическую задачу;
• что такое уравнение;
• что значит решить уравнение;
• типы задач, решаемых алгебраическим методом;
• приемы  решения текстовых задач алгебраическим методом.

Этапы работы над проектом

1. Сбор информации. Изучение поставленных задач, определение значимых понятий, подборе источников информации, сбор информации.
2. Обработка данных. Практическое применение приемов решения текстовых задач алгебраическими методами.
3. Анализ данных. Анализ результатов, формулировка выводов.

История появления текстовых задач

В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. Применение текстовых задач идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников. Долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания вместе с их решениями.

Одна из причин повышенного внимания к текстовым задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия числа - еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи. В арифметике Л. Ф Магницкого, например, дроби рассматривались как именованные числа (не просто (1/2), а (1/2) рубля, метра и т. д.), а действия с дробями изучались в процессе решения задач. Эта традиция сохранялась довольно долго. Даже много позже встречались задачи с неправдоподобными числовыми данными, например: Заяц в 1,35 часа пробегает 14,13855 км. Которые были вызваны к жизни не потребностями практики, а потребностями обучения вычислениям.

Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Немаловажную роль играла также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, графических образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин.

Вот как описывал И. В. Арнольд практику обучения решению задач, сложившуюся в нашей стране к середине 40-х годов: “Учеников в том или ином порядке знакомят с соответствующими типами задач, причем обучение решению задач, сплошь и рядом сводится к натаскиванию, к пассивному запоминанию учениками небольшого количества стандартных примеров решения и узнаванию по тем или иным признакам, какой из них надо применить в том или ином случае”. Количество задач, которые ученики решают действительно самостоятельно, с тем напряжением мысли, которое и должно являться источником полезности процесса решения задачи, ничтожно. В итоге - полная беспомощность и неспособность ориентироваться в самых простых арифметических ситуациях, при решении чисто практических задач. К середине 50-х годов 20 века текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном процессе разработана, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось.

Есть еще один момент, который невозможно обойти, когда мы говорим о решении задач. Обучение и развитие ребенка во многом напоминают этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет мотивацию учения, развивает творческий потенциал. Кроме того, разнообразные способы решения будят фантазию детей, позволяют организовать поиск решения каждый раз новым способом, что создает благоприятный эмоциональный фон для обучения.

В середине 20 века в СССР возобладал узко практический подход в использовании текстовых задач. Тогда считалось, что обучать детей нужно с учетом возможностей применения изученных способов действий на практике или в дальнейшем обучении.

Традиционные для российской школы арифметические способности решения задач считались устаревшими и перешли к раннему использованию уравнений. Такой подход казался более современным и научным.

Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

Теоретические сведения

Определение математической задачи.

Задача - проблемная ситуация с явно заданной целью, которую необходимо достичь; в более узком смысле задачей также называют саму эту цель, данную в рамках проблемной ситуации, то есть то, что требуется сделать.

Что значит решить  математическую задачу.

Решить математическую задачу - это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, теорем, правил, законов, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче - её ответ.

Алгебраический метод решения задач

Под алгебраическим методом решения задач понимается такой метод решения, когда неизвестные величины находятся в результате решения уравнения или системы уравнений, решения неравенства или системы неравенств, составленных по условию задачи.

Определение уравнения.

Уравнение - это равенство, содержащее одну или несколько переменных

Что значит решить уравнение. 

Решить уравнение – значит, найти его корни или показать, что их нет.

Типы задач, решаемых алгебраическим методом.

1. Задачи на движение.
2. Задачи на движение по реке.
3. Задачи на работу
4. Задачи на проценты и смеси.

Алгоритм решения текстовых задач.

1. Анализ условия задачи и составление уравнения или неравенства по условию задачи.
2. Решение составленного уравнения или систему уравнений, неравенства или системы   неравенств.
3. Проверка решения по условию задачи.

Выводы: изучив историю появления математических задач, выяснил, что целью обучения  детей арифметике было освоение ими определенным набором вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, а это повышало эффективность обучения математике и смежных дисциплин. В ходе работы выяснил, что существует несколько способов решения текстовых задач : алгебраический, аналитический, комбинированный. Все задачи, решаемые алгебраическим методом можно разделить на несколько групп: задачи на движение, задачи на движение по реке, задачи на работу, задачи на проценты и смеси. При решении задач алгебраическим методом основная мыслительная деятельность сосредотачивается на первом этапе решения задачи: на разборе условия задачи и составления уравнений или неравенств по условию задачи. Вторым этапом является решение составленного уравнения или системы уравнений, неравенств или системы неравенств. Третьим важным этапом является проверка решения задач, которая приводится по условию задачи.

Виды задач, решаемых алгебраически методом.

Задачи на движения.

Задачи на движение,  как правило, представляют собой задачи с использованием объектов, совершающих какое – либо действие. Это могут быть пешеходы, велосипедисты, автомобили, лодки и так далее. Существуют 3 вида задач на движение: движение двух объектов навстручу друг другу, движение в противоположных и обратных направлениях, движение из одной точки в одном направлении. Доминирующими понятиями в таких задачах являются скорость, время, расстояние и формула, связывающая эти понятия: S = V · t.

Движение навстречу друг другу.

Задание №21. (ГИА по математике 28.05.2013. Основная вола. Вариант 1309)

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость второго пешехода. Скорость первого - (х+1)км/ч. Т.к. встретились пешеходы в 9 км от пункта А, путь первого составил 9 км, а путь второго - 10 км. Значит, второй пешеход провел в пути (10/х) часов, а первый (9/(х+1)+0,5) часов, полчаса из которых потратил на остановку.

Уравнение:

D = 81

x = 5 (км/ч) - скорость второго пешехода

6 км/ч - скорость первого 

Ответ: 6км/ч.

Задание №21. (ГИА-2013. Математика. Диагностическая работа №2. (1 вариант)

Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город с находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе C и повернул обратно. Когда он вернулся в А автомобиль прибыл в B. Найдите расстояние от А до С.

Решение:

Обозначим скорость (в км/ч) автомобиля за  v, v больше 0, а время (в часах), за которое мотоцикл проезжает от А до С за  t,  t больше 0.

Составим таблицу по данным задачи:

Тогда имеем  

Поскольку весь путь от А до В автомобиль преодолел за время   получаем:

Значит, расстояние от А до С равно  75*3=225 (км).

Ответ: 225 км.

• Движение из одной точки в одном направлении.

Задание №21 вар. 20 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Дорога между посёлками состоит из подъема и спуска и вся её длина равна 49 км. Турист прошёл весь путь за 9 часов, причём спуск занял 4 часа. С какой скоростью турист шёл на спуске, если его скорость на подъёме меньще скорости на спуске на 1км/ч?

Решение:

Пусть x км/ч – скорость при подъёме, тогда скорость при спуске x+1 км/ч. По условию известно, что длина пути равна 49 км. Турист прошёл весь путь за 9 часов, причём спуск занял 4 часа, значит за 9-4=5 часов турист прошёл подъём. Составим и решим уравнение.

4(x+1)+5x=49

9x=45

x=5

5+1=6 (км/ч) – скорость туриста при спуске.

Ответ: 6км/ч

Задание №21 вар. 22 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Два грузовика отправляются в 924-километровый автопробег. Первый едет на 18 км/ч быстрее, чем второй, и прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Найдите скорость первого грузовика.

Решение:

Пусть x км/ч скорость второго, тогда скорость первого x+18 км/ч. По условию задачи известно, что весь путь равен 924 км, и первый грузовик прибывает к финишу на 3 часа раньше второго. Составим и решим уравнение.

-3х2 – 54х + 16632 = 0

х2 +18х – 5544 = 0

x2+84x-66x-5544=0

x(x+84)-66(x+84)=0

(x+84)(x-66)=0

х1=-84 – не подходит по условию

x2=66 (км/ч) – скорость второго

66+17=84(км/ч) – скорость второго

Ответ: 84 км/ч

Задачи на движение по реке.

Задание №21 (ГИА – 2013. Математика. Диагностическая работа №2)

Расстояние между пристанями А и В равно 80км. Из А в B по течению реки отправился плот, а через 2 часа вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот прошёл 22км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч - скорость яхты, тогда  х+2 км/ч - её скорость по течению,
х-2 км/ч - её скорость против течения
22:2 = 11(ч) шёл плод.

11-2 = 9(ч) шла яхта

По условию задачи известно, что яхта прошла дошла до пункта В и вернулась обратно за 9 часов.

Составим и решим уравнение:

 
80(х-2)+80(х+2)=9(х²-4)
80х-160+80х+160=9х²-36
9х²-160х-36=0
D=160²+4*9*36=25600+1296=26896=164²
х₁ = (160-164)/18=-2/9 не подходит по условию
х₂ = (160+164)/18=324/18=18 км/ч
Ответ: 18 км/ч

Задание №21 (Банк заданий ФИПИ)

Баржа прошла по течению реки 48 км и, повернув обратно, прошла ещё 36км, затратив на весь путь 6 часов. Найдите собственную скорость баржи, если скорость течения реки равна 5км/ч.

Решение:

Пусть собственная скорость баржи равна х км/ч, тогда скорость против течения равна (x-5) км/ч, а по течению - (x+5) км/ч. Время движения баржи против течения равно 36/(x-5) ч, а по течению - 48/(х+5) ч. На весь путь баржа затратила 6 часов. Составим и решим уравнение:

По теореме Виета:

x1=-1 - не удовлетворяет условию

x2=15 (км/ч) - собственная скорость баржи.

Ответ: 15 км/ч.

Задачи на работу.

К задачам работу относятся задачи, в которых несколько (один) механизм или один (несколько) человек совершают некоторую работу за определенное время.  Основными величинами  в этих задачах являются р – производительность, t – время, А – объем работы,  и формула, выражающая зависимость А = р · t.

Задание №21 вар.9 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Три бригады изготовили вместе 1040 деталей. Известно, что первая бригада изготовила деталей в 3 раза меньше, чем вторая, и на 100 деталей больше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила вторая бригада, чем первая?

Решение:

Пусть x деталей – изготовила первая бригада, тогда 3x деталей – изготовила вторая бригада, x-100 деталей  изготовила третья. 5x-100 деталей – изготовили все бригады. По условию известно, что все бригады изготовили 1040 деталей. Составим и решим уравнение.

5x-100=1040

5x=1140

x=1140:5

x=228(д) – изготовила первая бригада.

228*3=684(д) – изготовила вторая бригада.

684-228=456(д) – на столько больше деталей изготовила вторая бригада, чем первая.

Ответ: 456 деталей

Задание №21 вар.11 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Андрей Павлович за час делает на 18 деталей больше, чем Иван Николаевич, и заканчивает работу над заказом, состоящим из 187 деталей, на 2 часа раньше, чем Иван Николаевич, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает Андрей Павлович?

Решение:

Пусть x деталей - делает второй рабочий, тогда х+18 деталей  – первый рабочий. По условию задачи известно, что заказ состоит из 187 деталей.

Составим и решим уравнение.

 =

2 х2 +36x-3366=0

х2+18x-1683=0

x2+51x-33x-1683=0

x(x+51)-33(x+51)=0

(x+51)(x-33)=0

х1=-51 – не подходит по условию

x2=33

33+18=51(д) – делает в час Андрей Палович

Ответ: 51 деталь.

2.4. Задача 5 (Алгебра. Задачи ОГЭ с развернутым ответом. 9-й класс (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Обезьяны Мими и Руру почистят ящик бананов за 30 минут. Обезьяны Мими и Тото почистят такой же ящик бананов за 1 час, а Руру и Тото - за 40 минут. За какое время обезьяны почистят ящик бананов втроём?

Решение: 

За одну минуту Мими и Руру почистят -   часть ящика бананов, Мими и Тото -   часть ящика, Руру и Тото -   часть ящика бананов. Если производительность Мими Руру и Тото за одну минуту - x, y, z соответственно, то можно составить уравнения

х + y =   , x + z =  , y + z =

Если обезьяны чистят бананы вместе, то  их общая производительность равна x+y+z. Сложим три составленных уравнения

2x + 2y + 2z =

2x + 2y + 2z =

Тогда x + y + z =

Втроём обезьяны почистят ящик бананов за   = = 27   минут, то есть 26 минут 40 секунд.

Ответ: 26 мин 40с.

Задание №22 вар.11 (ОГЭ-2020. Математика. 38 вариантов. Типовые варианты экзаменационных заданий (под ред. И.В.Ященко)

Первая труба пропускает на 6 литров воды в минуту меньше, чем вторая труба. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 140 литров она заполняет на 3 минуты дольше, чем вторая труба.

Решение:

Пусть х  литров - пропускает 2-ая труба в минуту, тогда (х-6) литров - пропускает 1-ая труба в минуту. По  условию задачи известно, что первая труба заполняет резервуар на 3 минуты дольше, чем вторая.

 Составим и решим уравнение.

 
140х-140(х-6)=3(х²-6х)
140х-140х+840-3х²+18х=0
-3х²+18х+840=0 I : (-3)
х²-6х-280=0
D=b²-4ac=(-6)²-4·(-280)=36+1120=1156
х₁=(-b+√D)/2a=(6+34)/2=20 л - воды в минуту пропускает 2-ая труба
х₂=(-b-√D)/2a=(6-34)/2=-14 - не подходит
20-6=14 л - воды в минуту пропускает 1-ая труба

Ответ: 14 литров.

Задачи на проценты, сплавы и смеси.

В задачах этого типа обычно присутствуют три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение: концентрация (доля чистого вещества в смеси); количество чистого вещества в смеси (и ли сплаве); масса смеси (сплава). Соотношение между этими величинами следующее: масса смеси · концентрация = количество чистого вещества.

Задание №21 вар.13 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Имеются два сосуда, содержащие 25кг и 21кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 39% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 42% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Пусть концентрация первого раствора - х, концентрация второго раствора - y.

Составим систему уравнений согласно условию задачи:

0,075·25=1,875кг – кислоты в первом растворе

Ответ: 1,875кг.

Задание №21 вар.15 (Математика. 9-й класс. Подготовка к ОГЭ-2021. 40 тренировочных вариантов (под ред. Ф.Ф.Лысенко)

Свежие бананы содержат 76,6% воды, а высушенные – 6%. Сколько требуется свежих бананов для получения 5кг высушенных бананов?

Решение:

1)100-6=94(%) - твёрдой части в сушёных бананах

2)5·94:100=4,7(кг) – твёрдой части в 5кг бананов

3)100-76,5=23,4(%) – твёрдой части в свежих бананах

4)4,7:23,4·100=20,1 (кг)
Ответ: 20,1 кг.

Задание №21 (Банк заданий ФИПИ)

На пост главы администрации города претендовало три кандидата : Журавлёв , Зайцев , Иванов . Во время выборов за Иванова было отдано в 2 раза больше голосов , чем за Журавлёва , а за Зайцева — в 3 раза больше , чем за Журавлёва и Иванова вместе . Сколько процентов голосов было отдано за победителя ?

Решение:

Пусть x - кол-во процентов голосов, отданных за Иванова и Журавлёва, тогда за Зайцева  отдано 3x голосов по условию задачи известно, что всего голосов 100 процентов.

Составим и решим уравнение:

x + 3x = 100

4x = 100

x = 100:4 = 25 (%) -  голосов отдано за Иванова и Журавлева.

25 · 3 = 75 (%) – отдано за Зайцева.

Ответ: 75%

Задание №21 (Банк заданий ФИПИ)

При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получился раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?

Решение:

Пусть первый раствор взят в количестве x грамм, тогда он содержит 0,2x грамм чистой кислоты, а второй раствор взят в количестве y грамм, тогда он содержит 0,5y грамм чистой кислоты. При смешивании двух этих растворов получится раствор массой x + y грамм, по условию задачи, он содержит 0,3(x + y) чистой кислоты. Следовательно, можно составить уравнение:

0,2x+0,5y=0,3(x+y)

Выразим x через y: x=2y.

Следовательно, отношение, в котором были взяты растворы:   .

Ответ: 2:1

Задание №21 (Банк заданий ФИПИ)

Первый сплав содержит 5% меди, второй 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.

Решение:

Пусть масса первого сплава x кг. Тогда масса второго сплава (x + 4) кг, а третьего — (2x + 4) кг. В первом сплаве содержится 0,05x кг меди, а во втором — 0,13(x + 4) кг. В третьем сплаве содержится 0,1(2x + 4) кг меди.

Составим и решим уравнение:

0,05x+0,13(x+4) = 0,1(2x+4)

0,02x = 0,12

 x=6.

Значит, масса первого сплава равна 6 кг, тогда масса второго сплава равна 10 кг и масса третьего сплава равна 16 кг.

Ответ: 16кг.

Задание №21 (Банк заданий ФИПИ)

Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение:

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи и решим ее:

Таким образом, в первом растворе содержится 10*0,87=8,7 килограмма кислоты.

Ответ: 8,7кг.

Выводы: в ходе работы над содержанием задач, определил, что при решении задач определенного типа необходимо владеть знаниями основных величин и зависимостей между ними, о которых идут речь в задаче. При решении текстовых задач алгебраическим методом, пришел к выводу, что решение задачи необходимо начинать  с анализа ее содержания. Этот этап состоит из  поиска пути решения задачи и составление плана ее решения, осуществление плана решения и проверка решения задач и исследование. На этапе анализа задачи рекомендуется  использовать следующие приемы: представление той жизненной ситуации, которая описана в задаче; постановка специальных вопросов и поиск ответов на них; переформулировка текста задачи, при  необходимости краткая запись условия, таблица, рисунок; моделирование ситуации, описанной в задаче, с помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей.

В ходе работы над проектом, я понял, что при решении текстовых задач можно столкнуться с рядом сложностей: непонимание физических, химических, экономических законов; непонимание связи между расстоянием, скоростью и временем при равномерном движении или между работой, производительностью  труда и временем; неправильный выбор величин, относительно которых составляется уравнение;  нахождение соответствия между различными величинами, применительно к которым формулируется вопрос задачи; решение уравнения, неравенства  или их систем нерациональным способом.

Анализ результатов. Выводы.

Учебные математические задачи являются очень важным эффективным и часто  незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики. Велика роль практико – ориентированных задач в развитии мышления и в математическом воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в практических применениях математики. Решение задач служить достижению все тех целей, которые ставятся перед обучением математики.

При решении математических задач учащиеся обучаются применять математические знания к практическим нуждам, готовятся к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой и повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии.

При решении текстовых задач могут помочь  следующие советы:

1. Не просто прочитайте, а тщательно изучите условие задачи. Попытайтесь полученную информацию представить в другом виде – это может быть рисунок, таблица или краткая запись условия задачи.
2. Выбор неизвестных.
3. Составление и решение математической модели. Очень важно не только составить уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств, но и решить составленное.
4. Решение сложной текстовой задачи – процесс творческий. Иной раз требуется вернуться к самому началу задачи, учитывая и анализируя уже полученные результаты.

При решении задач можно выделить семь вопросов, которые дают верное направление:

• О каком процессе идет речь? Какими величинами характеризуется этот процесс?  
• Сколько процессов в задаче?
• Какие величины известны? Что надо найти?
• Как связаны величины в задаче?
• Какую величину (величины) удобно выбрать в качестве неизвестной или неизвестных?
• Какие условия используются для составления модели?
• Легко решить полученное?