Геометрия одной задачи: разбор и оформление второй части ОГЭ

     Экзамен по математике в 9-м классе – это итог совместной работы ученика и учителя на протяжении пяти лет обучения в школе.  Математика – одна из самых сложных школьных дисциплин и вызывает трудности у многих учащихся.  Обучающиеся одного и того же класса имеют разный уровень подготовки по предмету, различную учебную мотивацию, различный психологический настрой. Для нас, учителей,  успешно сдать экзамен это, прежде всего, написать его без двоек. А число учеников этой «группы риска», к сожалению, только растет.  Поэтому работа по подготовке к ОГЭ со слабоуспевающими учениками для нас актуальна и отнестись к ней нужно со всей ответственностью, но при этом не следует забывать и о сильных в математике детках. А также для учителей математики не секрет, что дети задания из раздела геометрии, решают хуже. Поэтому уроки по геометрии выстраиваю следующим образом: начиная с 8 класса, включаю в уроки задачи второй части ОГЭ. Подбираю задачи, близкие по теме, затем даю возможность детям внимательно прочитать задачу, вдуматься в текст, и разложить ее по составляющим, то есть вспомнить теорию, которая может встретиться при решении. После этого переходим к оформлению задачи, но прежде вспомним о требованиях, которые используют при оценки второй части эксперты ОГЭ.

Общие требования к оформлению решения геометрической задачи:

- Аккуратно выполненный рисунок, отражающий условие задачи.

- Точное описание условия задачи (Дано, Найти/Доказать, Решение/Доказательство, Ответ/конец доказательства – ч.т.д.).

- Запись решения должна быть математически верная, каждый этап должен быть аргументирован.

- Если в задаче требуются дополнительные построения, их следует пояснять (например, «Проведем отрезок AF, где Fー середина DC»).

- Перед применением какой-либо теоремы следует обосновывать возможность её применения. Например, перед применением теоремы о свойствах параллельных прямых следует указать, почему прямые параллельны.

- Свойства, теоремы записываются в явном виде. Применяя какую-либо теорему, следует указать её название из школьного курса или же записать её формулировку (например, «по свойству смежных углов» или «так как вертикальные углы равны»).

- Все рассматриваемые фигуры должны быть названы.

- Математические факты, изложенные в учебнике, используются без доказательства.

- Применяя известные формулы школьного курса, следует сначала выписывать их в общем виде или указывать название («Согласно формуле площади квадрата…» или «по формуле S = a2»).

Задание № 23

Проверяемые умения:

- уметь выполнять действия с геометрическими фигурами;

- проводить доказательные рассуждения при решении задач.

Задача № 1.

Биссектриса угла А параллелограмма АВСД пересекает сторону ВС в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если ВК=11, СК=20.

Наводящие вопросы:

1. Что такое параллелограмм?

2. Перечислите свойства и признаки параллелограмма.

3. Что такое биссектриса?

4. Перечислите углы, образованные сторонами параллелограмма ВС и АD секущей АК. Какие свойствами обладают данные углы?

5. Какой треугольник называется равнобедренным? Перечислите свойства и признаки равнобедренного треугольника.

6. Что такое периметр параллелограмма?

Дано: АВСD-параллелограмм, АК – биссектриса, АКВС=К, ВК=11, СК=20.

Найти: РАВСD.

Решение: АВСD – параллелограмм, ВСАD (опр. параллелограмма), АК – секущая, значит, D=АКВ – накрест лежащие.

ВАК=D, АК – биссектриса, следовательно, АВК – равнобедренный (по признаку), АВ=ВК=11.

ВС=АD=11+20=32, АВ=DС=11 – противоположные стороны параллелограмма.

 РАВСD=2·(32+11)=86.

Ответ: 86.

Задача № 2.

Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.

Наводящие вопросы:

1. Сформулируйте определение ромба, перечислите его признаки и свойства.

2. Какой отрезок мы принимаем за расстояние?

3. АКН какой? Расскажите, какими свойствами обладает прямоугольный треугольник, перечислите его признаки.

Дано: АВСD – ромб, КН – высота, КН=19, АС=76.

Найти: углы ромба.

Решение: АВСD – ромб, а значит и параллелограмм, АСВD, АК=КС=76:2=38 (свойство ромба).

АНК – прямоугольный, КНАD (КН – высота), АК=38, КН=19  КАН=30° (если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°).

А=С=60° (свойство ромба), =180°- 60°=120° ( - односторонние при пересечении параллельных прямых АD и ВС секущей АВ).     Ответ: А=С=60°, =120°.

Задача № 3.

Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=15 и CH=2. Найдите высоту ромба.

Наводящие вопросы:

1. Сформулируйте определение ромба, перечислите его признаки и свойства.

2. Что такое высота ромба?

3. АDН какой? Расскажите, какими свойствами и признаками обладает прямоугольный треугольник.

4. Сформулируйте теорему Пифагора.

Дано: ABCD – ромб, АН – высота, DH=15, CH=2.

Найти: АН.

Решение: ABCD – ромб, АВ=ВС=СD=АD (по определению ромба), АН – высота, АНD - прямоугольный, АD=DС=15+2=17, DH=15,  по теореме Пифагора: АD2=АН2+НD2,   АН=.

Ответ: 7.

Задача № 4.

Катеты прямоугольного треугольника равны 18 и 24. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.

Наводящие вопросы:

1. Какой треугольник называется прямоугольным?

2. какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

3. Какая теорема работает только для прямоугольного треугольника?

4. Что такое высота треугольника?

5. Какие пары треугольников образуются при проведении высоты к гипотенузе?

6. Перечислите признаки подобия треугольников.

Дано: АВС, А=90°, АН – высота, АВ=18, АС=24

Найти: АН

Решение: 

АВС, А=90°, по теореме Пифагора ВС2=АВ2+АС2,

ВС===30.

 АВСАНС – по двум углам (АНВС, ВАС=АНС=90°, С – общий), , ,    АН=.

Ответ: 14,4.

Задача № 5.

Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH=5, AC=45.

Наводящие вопросы:

1. Какой треугольник называется прямоугольным?

2. Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

3. Что такое высота треугольника?

4. Какие пары треугольников образуются при проведении высоты к гипотенузе?

5. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

Дано: АВС, В=90°, ВН – высота, АН=5, АС=45

Найти: АВ

Решение: АВСАВН – по двум углам (ВНАС, АВС=АНВ=90°, А – общий), , ,    АВ2=5·45, АВ=

Ответ: 15.

Задача № 6.

Найдите боковую сторону AВ трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 30° и 120°, а CD=25.

Наводящие вопросы:

1. Что такое трапеция?

2. Перечислите виды трапеции и их свойства.

3. Основания трапеции параллельны, то …, D=…

4. Каким свойством обладает прямоугольный треугольник с углом в 30°?

5. Сформулируйте теорему Пифагора.

Дано: АВСD – трапеция, АВС=30°, ВСD=120°, СD=25.

Найти: АВ

Решение: Опустим на сторону АD высоту СК, СКАD, СКВС, ВСАD – основания трапеции, рассмотрим СDК – прямоугольный, КСD=ВСD-ВСК=120°-90°=30, КD=СD= (сво-во прямоугольного треугольника), по теореме Пифагора СD2=КC2+СD2, КС=.

Опустим высоту АН на основание ВС, получим АНСК – прямоугольник, АН=СК= и АВН - прямоугольный треугольник, АВН=30°, АВ=·2=25 (сво-во прямоугольного треугольника).

Ответ: 25.

Задача № 7.

Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.  Найдите AB, если AF=12, BF=5. 

Наводящие вопросы:

1. Что такое трапеция?

2. Перечислите виды трапеции и их свойства.

3. Основания трапеции параллельны, то …, D=…

4. Что такое биссектриса угла?

5. Свойство углов прямоугольного треугольника.

6. Сформулируйте теорему Пифагора.

Дано: АВСD – трапеция, АF и ВF – биссектрисы, АFF=F, АF=12, ВF=5.

Найти: АВ

Решение: ВСАD – основания трапеции (по определению), АВ – секущая, 180° - односторонние (свойство параллельных прямых), =АВF – прямоугольный (признак прямоугольного треугольника). По теореме Пифагора АВ=

Ответ: 13.

 Задача № 8.

Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK=18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Наводящие вопросы:

1. Что такое окружность? Хорда?

2. Сформулируйте свойство вписанного в окружность четырехугольника.

3. Сформулируйте признаки подобия треугольников.

4. Какой угол называют внешним углом треугольника?

5. Какие углы называются смежными? Свойство смежных углов.

Дано: АВС, окружность пересекает сторону АС в точке Р, сторону АВ в точке К, АК=18, АС в 1,2 раза больше ВС.

Найти: КР

Решение: Так как точки К, Р, В и С лежат на окружности, то четырехугольник КРСВ – вписанный, (свойство описанного четырехугольника), (смежные),    АВСАРК – по двум углам, , ,  (АС в 1,8 раза больше ВС, значит, АС=1,8·ВС)  18ВС=1,8ВС·КР, РК=

Ответ: 10.

Задача № 9.

Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN=12, AC=42, NC=25.

Наводящие вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Сформулируйте свойства и признаки параллельных прямых.

3. Что вы можете сказать о треугольниках АВС и ВMN?

4. Перечислите признаки подобия треугольников.

Дано: АСMN, MN=12, AC=42, NC=25.

Найти: BN

Решение: АСMN, АВ – секущая,  – соответственные при пересечении параллельных прямых секущей, АВСВMN – по двум углам, , ,  42=12·(),  (42-12)·ВN=12·25, BN=10.

Ответ: 10.

Задача № 10.

Отрезки AB и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки AC и  BD  пересекаются в точке M. Найдите MC,  если AB=14, DC=42, AC=52.

Наводящие вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?

2. Сформулируйте свойства и признаки параллельных прямых.

3. Какие углы называются вертикальными? Свойство вертикальных углов.

4. Что вы можете сказать о треугольниках АВМ и ВDС?

5. Перечислите признаки подобия треугольников.

Дано: АВDC, АСВD=М, AB=14, DC=42, AC=52.

Найти: МС.

Решение: АВDC, АС – секущая, ),  - вертикальные, ),  - вертикальные (вертикальные углы равны) АВМDMС – по двум углам, ,  AB=14, DC=42, AC=АМ+МС=52, АМ=52-МС, , , МС=156-3МС, 4МС=156, МС=39.

Ответ: 39.

Задача № 11.

Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 8,4, а AB=4.

Наводящие вопросы:

1. Что такое окружность? Радиус окружности? Диаметр? Касательная к окружности?

2. Сформулируйте свойство касательной к окружности.

3. Сформулируйте теорему Пифагора.

Дано: Окружность, CD=8,4 – диаметр окружности, АВ=4 – касательная к окружности. 

Найти: АС.

Решение: Проведем ВО – радиус окружности, ОВАВ (свойство касательной к окружности)  АВО - прямоугольный, ОВ=ОС=ОD=8,4:2=4,2 – радиусы одной окружности равны, АВ=4, по теореме Пифагора: АО2=АВ2+ВО2, АО=.

АС=АО+СО=5,8+4,2=10.

Ответ: 10.

Подготовка к ГИА – это всегда трудоемкий процесс. И от того, насколько грамотно он будет построен, зависит результат.                                                              

      Подготовка к урокам, подборка заданий, подготовка самостоятельных и контрольных работы в соответствии с КИМами,  занимают много времени и сил, но, если правильно организовать свою деятельность, то вся проведенная работа принесёт положительный результат. Надеюсь, что мой опыт будет полезен вам, и, возможно,  пригодится  в дальнейшей работе.

Система подготовки обучающихся к сдаче ВПР по математике.

       В настоящее время оценочной процедурой Всероссийской системы качества образования в школе являются: Всероссийские проверочные работы (ВПР).

       Цель ВПР - обеспечение единства образовательного пространства Российской Федерации и поддержки введения Федерального государственного образовательного стандарта за счет предоставления образовательным организациям единых проверочных материалов и единых критериев оценивания учебных достижений.

      Всероссийские проверочные работы (ВПР) проводятся в целях осуществления мониторинга результатов перехода на ФГОС и направлены на выявление качества подготовки обучающихся. Назначение КИМ для проведения проверочной работы по математике – оценить качество общеобразовательной подготовки обучающихся 5-8 классов в соответствии с требованиями ФГОС. КИМ ВПР позволяют осуществить диагностику достижения предметных и метапредметных результатов обучения, в том числе овладение межпредметными понятиями и способность использования универсальных учебных действий (УУД) в учебной, познавательной и социальной практике. Результаты ВПР в совокупности с имеющейся в общеобразовательной организации информацией, отражающей индивидуальные образовательные траектории обучающихся, могут быть использованы для оценки личностных результатов обучения. Результаты ВПР могут быть использованы образовательными организациями для совершенствования методики преподавания математики, муниципальными и региональными органами исполнительной власти, осуществляющими государственное управление в сфере образования, для анализа текущего состояния муниципальных и региональных систем образования и формирования программ их развития. Не предусмотрено использование результатов ВПР для оценки деятельности образовательных организаций, учителей, муниципальных и региональных органов исполнительной власти, осуществляющих государственное управление в сфере образования.

Что дают ВПР

Специалисты утверждают, что ежегодное проведение ВПР в результате позволит:

• Психологически подготовить учащихся к экзаменам в старших классах, в частности к ОГЭ и ЕГЭ.
• Определить количество и уровень знаний, которые были получены в течение пройденного года обучения.
• Даст стимул к систематическим занятиям в течение всех лет обучения, а не только в выпускных классах.
• Будут видны недостатки учебной программы по проверяемым предметам.
• Родители будут в курсе уровня знаний своего ребёнка.
• Даст возможность улучшить общую систему обучения.

Как помочь учащимся подготовиться к ВПР?

1. При составлении плана текущего урока не забывать обращать внимание на устный счет.

Провожу систематически устный счет фронтально, предварительно записав примеры на доски, или зачитываю задачи на восприятие устной речи учителя. Наряду с устным счетом провожу письменный устный счет, где дети индивидуально демонстрируют свои вычислительные навыки, после проверки на руки получают результат своей работы. В дальнейшем также возвращаемся к некоторым заданиям и отрабатываем наиболее чаще встречаемые ошибки.

2. Учу ребят работать с критериями оценки заданий.

Показываю простой пример демонстрационного задания и разбираю подробно, как оно будет оцениваться. Понимая критерии оценки, учащимся будет легче понять, как выполнить то или иное задание.

3. Хвалю часто своих учеников.

Любому учащемуся важно опираться на свои сильные стороны и чувствовать себя уверенно на предстоящих проверочных работах. Однако похвала должна быть искренней и по существу. Стараюсь убедиться, что ученики имеют реалистичные цели в отношении предстоящих проверочных работ.

4. Общаюсь с коллегами!

Используя ресурсы профессионального сообщества, знакомлюсь с опытом коллег, их идеями и разработками, применяю их на практике.

5. Поддерживаю внеучебные интересы учащихся.

Личное пространство, не связанное с учебой, дает возможность переключаться на другие виды деятельности и в конечном итоге быть более эффективными при подготовке к ВПР.

    Подготовку к ВПР я веду на уроке, а также использую дополнительные занятия. В своей работе применяю различные учебные пособия, демоверсии работ, которые можно найти на просторах Интернета.

   В конце сентября провожу входные проверочные работы по математике. После проведения анализа этих работ, определён круг пробелов в знаниях учащихся. С учащимися провожу работу над ошибками.

    Работа по подготовке к Всероссийским проверочным работам ведётся постоянно, но я стараюсь часто не употреблять эти магические буквы, чтобы дети ни нервничали, не боялись, вели себя спокойно и верили в свои силы и знания. Ведь важно не просто натренировать или как ещё принято выражаться «натаскать» ученика на определённый тип работы, а помочь ему понять, насколько хорошо он усвоил материал, как у него получается выполнять разные по типу задания, переключать своё внимание и выбирать наилучший путь для выполнения работы.

МБОУ «Оконешниковская средняя школа»

Выступление на тему:

«Из опыта работы по подготовке учащихся к ЕГЭ                                                   по математике»

                                                                                    Подготовила:

                                                                                              учитель математики

                                                                                              Козякова Светлана Ивановна

2021-2022 г

Математика открывает свои тайны

только тому, кто занимается ею

ради ее собственной красоты...

Архимед

       Единый государственный экзамен на сегодняшний день является единственной формой итоговой аттестации выпускников средней школы. И как бы к нему не относились ЕГЭ приходиться сдавать всем выпускникам. Получение аттестата о среднем образовании не возможно без успешной сдачи ЕГЭ по математике. Математика является не только важным учебным предметом, но и весьма сложным. Математическими способностями обладают далеко не все школьники, а от успешной сдачи экзамена зависит дальнейшая судьба как технарей, так и гуманитариев.

        Для эффективной подготовки к ЕГЭ нужна тренировка, тренировка и еще раз тренировка, чтобы довести решение любой задачи до автоматизма.

       Подготовка к сдаче ЕГЭ по математике должна идти через приобретение и освоение конкретных математических знаний. Только это обеспечит выпускнику успешную сдачу экзамена.

      В своей работе применяю следующие принципы подготовки к ЕГЭ.

• Принцип первый: устный счет. На каждом уроке уделяю 10-15 минут на повторение. Это различные задания из открытого банка ЕГЭ, которые можно решить на основе изученного материала как базового уровня сложности, так и профильного. Задания готовлю заранее на доске или карточки в виде раздаточного материала. При подготовке к экзаменам соблюдаю принцип от простых типовых заданий к сложным.
• Принцип второй: тренировочный. При изучении материала учебника решаем не только задания из учебника, но и делаю подборку заданий из ЕГЭ, показываю применение полученных знаний на практике. Составляю различные самостоятельные работы для контроля полученных знаний.
• Принцип третий:  индивидуальный. Начиная со второй четверти, дети самостоятельно тренируются, решая тесты ЕГЭ, выполняя которые могут не только оценить свои знания, но и получить необходимую индивидуальную консультацию по решению тех заданий, которые вызвали затруднения, при этом к детям обязательное требование: писать решение в тетради, чтобы могла увидеть не только способ решения, но и возможные вычислительные ошибки.
• Принцип четвертый: контролирующий. В течении учебного года провожу тренировочные работы,  с ограничением времени, чтобы учащиеся могли не только контролировать себя - за какое время сколько заданий они успевают решить, но и обращаю внимание на оформление работы: написание символов в пределах клетки тетрадного листа.

     Таким образом формирую у учеников навыки самообразования, самоорганизации, самостоятельной работы и самоконтроля.

При подготовке к экзаменам считаю важным:

1. Вычислительные навыки. Пользоваться калькулятором запрещаю, показываю ребятам некоторые способы быстрого умножения чисел, возведения в степень, извлечения корней др.
2. Обязательное знание правил и формул. Для этого после изучения теоретических вопросов темы, даю пятиминутки, в которых проверяю часть теоретических вопросов и простейшие примеры на их применение.
3. Постоянное совершенствование учебных навыков на практике.
4. Проверка знаний и умений учащихся. Каждый месяц провожу диагностические работы, позволяющие проверить уровень усвоения материала.  Для подготовки к экзаменам заведены папки, в которых находятся КИМы, подборки заданий по темам.
5. Знакомлю учащихся со структурой КИМов, временными рамками, нормами оценивания экзаменационной работы, условиями проведения экзамена.

Во время экзамена советую детям обратить внимание на следующее:

• пробежаться  глазами по всем заданиям, чтобы увидеть, какого они типа.  Это поможет настроиться на работу;
• внимательно прочитать вопрос до конца и понять его смысл (характерная ошибка не дочитав задание до конца, по первым словам уже предполагают ответ и торопятся его вписать);
• если не знаешь ответа на вопрос или не уверен, пропусти его и отметь, чтобы потом к нему вернуться;
• если не смог в течение отведенного времени ответить на вопрос, есть смысл положиться на свою интуицию и указать наиболее вероятный вариант.

Одним из немаловажных факторов качественной подготовки к ЕГЭ и ОГЭ, на мой взгляд, является работа кабинета математики, где мною оформлен информационный стенд, отражающий общую информацию, связанную с итоговой аттестацией. Имеются материалы ЕГЭ и ОГЭ по математике: демонстрационный вариант КИМ, инструкция по выполнению работы, инструкция по заполнению бланков, спецификация экзаменационной работы по математике, методические и психолого-педагогические рекомендации подготовки к сдаче ЕГЭ. В кабинете математики собраны образцы демоверсий экзаменационных работ, диагностические работы за предшествующие годы, литература для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ.

Среди источников информации для подготовки к ЕГЭ по математике опираюсь на образцы демоверсий экзаменационных работ, также опираюсь на следующую литературу:

1. ЕГЭ-2022. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень. 14 вариантов. Под редакцией И.В.Ященко и др.
2. ЕГЭ-2022. МАТЕМАТИКА. Профильный уровень. 36 вариантов. Под редакцией И.В.Ященко и др.
3. ЕГЭ-2022. МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 12 вариантов. Под редакцией И.В.Ященко
4. ЕГЭ-2022. МАТЕМАТИКА. Базовый уровень. 30 вариантов. Под редакцией А.В.Семенов, И.В.Ященко и др.
5. https://www.time4math.ru/ege
6. https://math-ege.sdamgia.ru
7. http://egemath.ru
8. https://math100.ru
9. https://vpr-ege.ru
10. https://yagubov.ru/egeb