Разработки занятий внеурочной деятельности по программе «Математическая шкатулка»
презентация к уроку по математике (3 класс) по теме
Данная программа занятий по математике выражает целевую направленность на развитие и совершенствование познавательного процесса с внесением акцента на развитие у ребенка внимания, восприятия и воображения, памяти и мышления ребенка. На занятиях ребенок знакомится с одним из мировых имен в области математики, выполняет задания, способствующие развитию познавательной и умственной активности детей, развитию логического мышления, внимания, умению применять свои знания в новых условиях.
Цель занятий:
формирование математического мышления у учащихся начальных классов.
Задачи занятий:
1) развитие интереса к предмету математики;
2) расширение знаний учащихся об интересных событиях и именах великих людей в области математики;
3) развивать внимание, мышление, воображение, память, умение анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, конкретизировать, синтезировать, применять свои знания в нестандартных ситуациях и т. п.;
4) учить приемам исследовательской и творческой деятельности.
Скачать:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Было время, когда человек уже был человеком, но считать еще не умел. Точнее, он знал только два числа: «один» и «много». Потом это «много» стало отодвигаться все дальше и дальше — появились числа «два», «три»... — но это было так медленно, что на каждое новое число уходили столетия, а то и тысячелетия!
Представьте себе: человек уже делал замечательные каменные орудия, западни для диких животных, шил одежду из шкур, выкраивая ее на себя, а вот считать не умел. А причина была в том, что человек не умел сравнивать, не замечал сходство предметов! Считать ведь можно предметы, похожие чем-то друг на друга, а первобытному человеку все казалось различным.
Однако человек постепенно стал замечать сходство предметов, а когда люди стали замечать это, то появилась и потребность в счете. Самый важный шаг был сделан, когда человек догадался заменить при счете одни предметы другими, более удобными, потому что они всегда под рукой, например, камешками или раковинами. И когда человек заметил, что у двух шкур и двух камешков есть что-то общее, он сделал одно из величайших изобретений за всю человеческую историю — он изобрел число!
Со временем человек заметил, что для счета более всего удобно пользоваться пальцами. Так человек начал считать пятерками, десятками и двадцатками в ход шли и пальцы ног! Счет десятками сохранился и в нашей десятичной системе счисления. Сохранились и названия некоторых чисел, связанные с пальцами рук и ног: например, слово «пять» в русском языке происходит от древнеславянского слова «пясть» — рука. А у некоторых племен число «двадцать» называлось «весь человек»!
Записывали поначалу совсем просто: делали зарубки на куске дерева или кости. Когда понадобилось записывать большие числа, то для пятерок или десяток стали придумывать новые знаки. Со временем понадобились знаки для десятка десятков и так далее. Очень наглядной была система таких знаков у древних египтян:
Несмотря на свою громоздкость, такая запись чисел была довольно удобной. Однако у неё был очень большой недостаток. Хотите знать, какой? Попробуйте умножить или разделить два числа, записанных древнеегипетским способом! Запись чисел, похожую на египетскую, использовали и древние римляне, только цифры у них были другими и обозначались ими не только десятки, но и пятерки.
Запись чисел древними римлянами.
Римскими цифрами иногда пользуются и сегодня: например, ими часто нумеруют главы в книгах. Однако вычислять с помощью римских цифр так же неудобно, как и с помощью египетских. Казалось бы, удобные цифры должны были изобрести древние греки, которые создали математику как науку. Однако вычислениями греки не увлекались, и поэтому ограничились просто тем, что обозначили числа буквами алфавита. Так же, буквами, обозначались числа и в Древней Руси.
Разминка. Найди два числа, если: Их сумма равна 5 и одно из них на 1 больше другого. Их сумма равна 8 и одно из них на 2 больше другого. Их сумма равна 8 и одно из них на 4 больше другого. Их сумма равна 12 и одно из них на 2 больше другого.
Название числа, которое иногда получается при делении Наименьшее четырехзначное число Вывод, который ученик должен знать наизусть Особое число, которое записано с помощью двух чисел. 2 1 3 4
Реши задачу. Когда Аня, Женя и Нина спросили какие им поставили оценки за контрольную работу, учительница ответила: «Попробуйте догадаться сами, если я скажу, что в вашем классе двоек нет, а у вас разные оценки, причем: у Ани не 3, у Нины – не 3 и не 5. Какую оценку получила каждая из учениц?»
Реши задачу. На квадратном огороде, длина всех сторон которого 80м, посадили на цепь собаку и прикрепили цепь к столбу, торчащему в самом центре огорода. Длина цепи 9м 70см. Длина собаки от ошейника до передних зубов – 30см. Остались ли на огороде места, безопасные для воров?
Реши задачу. У котенка на лапе 5 когтей, а у цыпленка – 4. Во дворе находятся 10 котят и цыплят, а когтей у них у всех – 104. Сколько котят и сколько цыплят во дворе?
Освободи белку.
Найди массу каждого арбуза.
Расставь скобки, чтобы выражение было верным.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! В каменном веке, когда люди собирали плоды, ловили рыбу и охотились па животных, потребность в счете возникла так же естественно, как и потребность в добывании огня. Об этом свидетельствуют находки археологов на стоянках первобытных людей. Например, в 1937 году в Вестовице (Моравия) на месте одной из таких стоянок была найдена кость с 55 глубокими зарубками. Позже и в других местах находили столь же древние каменные предметы с точками и черточками, сгруппированными по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной , так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу.
Единичная система счисления первобытных людей, рисовавших палочки на стенах пещеры или делавших зарубки на костях животных и ветках деревьев, не забыта и во сей день. Как узнать, на каком курсе учится курсант военного училища? Сосчитайте, сколько полосок нашито на рукаве мундира. На Кубе на форме девочек на юбке, нашито столько полос, на каком курсе она учится. О количестве самолетов противника, сбитых асом в воздушных боях, говорит число звездочек, нарисованных на фюзеляже его самолета.
Поштучно считать предметы удобно тогда, когда их не очень много. Пересчитывать же таким образом большие совокупности скучно и утомительно, поэтому возникла идея объединять единицы в группы. Появился счет пятерками, десятками, двадцатками — но количеству пальцев рук и ног «счетовода». Сейчас существует всем вам известная десятичная система, и пока еще вам не известная двоичная система исчисления. 1111111 123456789 01010101 Единичная система исчисления Десятичная система исчисления Двоичная система исчисления
Разминка. У трех братьев по две сестры. Сколько всего детей в семье? Что тяжелее 1кг ваты или 1кг железа? Горело 7 лампочек. 3 из них погасли. Сколько осталось лампочек? Сколько яиц можно съесть натощак? Летела стая гусей. Один гусь впереди и два позади, один позади и два впереди, один между двумя и три в ряд. Сколько гусей летело? Сестре 4 года, а брату 6 лет. Сколько лет будет брату, когда сестре исполнится 6 лет? Сколько концов у четырех палок?
Математические головоломки. Как с помощью пяти единиц и только одного действия получить 100? Как с помощью четырех девяток и двух действий получить 10? Записано 99 чисел: 1, 2, 3, … 98, 99. Сколько раз в записи встречается цифра 5?
Реши задачу. Зайчиха разложила 42 морковки на 7 кучек так, что кучек с одинаковым количеством морковок не было. При этом, количество морковок в каждой кучке обозначается однозначным числом. Сколько морковок в каждой кучке?
Реши задачу. Четыре друга поделили между собой поровну 7 пакетов фруктовых соков емкостью 1л, 2л, 3л, 4л, 5л, 6л, 7л. Как они это сделали?
Найди три одинаковых рисунка.
Магический квадрат. Расставь в пустые клетки квадрата числа 11, 15, 19, 25, 29, 33, 39, 43, чтобы квадрат стал магическим ( сумма равна 87)
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Как читать Римские цифры? одно из правил записи римских чисел гласит: «Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются если же меньшая стоит перед большой (в этом случае меньшая цифра не может повторяться), то меньшая вычитается из большей». К примеру, V II = 5 + 1 + 1 = 7; I Х = 10 — 1 = 9. Пользуясь этим правилом, можно рассчитать, в каком году открылась станция метро «Римская»: МСМХС V = 1000 +(IООО 100) + (100 10) +5 = 1995.
В наши любую из римских цифр запрещается записывать, в одном числе более трех раз подряд. В связи с этим выражения VIIII , ХХХХ и т. п. считаются некорректными. Однако древние римляне о подобном ограничении ничего не ведали, и число 1995 скорее всего записали бы так: М D ЗСССС L ХХХХ V
Только что мы столкнулись с любопытным феноменом в <обществе» римских чисел: разрешив цифрам-кирпичикам при «сборке» новых чисел не только складываться, но и вычитаться, мы тем самым лишили римские числа одного из важных математических свойств - единственности представления. Что теперь мешает, например, записать дату открытия станции метро «Римская» как М V М, или как М DVD или еще несколькими другими способами?
Обозначение чисел римскими цифрами.
Таблица позволяет обозначить любое число от 1 до 3999. Сначала запишите число как обычно, в десятичной системе. Затем для цифр, стоящих в разрядах тысяч, сотен, десятков и единиц, по таблице подберите соответствующую кодовую группу. Например, вот как будет выглядеть число 3999: МММСМХСIХ. Запиши числа 2563, 1578.
Разминка. На сколько число 59 больше числа 32? На сколько число 72 меньше числа 17 К числу 31 прибавили число и получили 96. Какое число прибавили? Дополни число 39 до следующего десятка Задумали однозначное число, прибавили к нему 17, вычли 9. Из полученного результата вычли задуманное число и в результате получили 8. Проверь.
Добавь к овалам крючочки и палочки, чтобы получилось слово.
Реши задачу. Лиса Алиса и кот Базилио привели на пустырь Буратино. — Это поле чудес: если закопаешь золотые монеты, то наутро вырастет дерево, на котором в З раза больше золотых монет. Затем полученные монеты снова можно закопать в землю, и снова вырастет дерево с монетами. Так можно снять несколько урожаев. Мы можем посторожить ночью эти монеты. В награду за услуги лиса и кот потребовали отдавать после каждого урожая 9 монет. Подумав немного, Буратино не согласился с их требованиями. Он заявил, что после двух урожаев у него совсем не останется денег. Уж лучше он сам посторожит. Сколько золотых монет было у Буратино?
Чего больше: кругов или квадратов?
Реши задачу. Постоялец гостиницы обвинил слугу в краже всех его денег. Смекалистый слуга сказал так: «Это правда, я украл все, что он имел». Тогда слугу спросили о сумме украденных денег, и он отвечал: «Если к украденной мною сумме прибавить еще 10 рублей, то получится мое годовое жалованье. А если к сумме его денег прибавить 20 рублей получится вдвое больше моего жалования». Сколько денег имел постоялец, и сколько рублей в т-од получал слуга?
Какого кота не хватает?
Реши задачу. Школьники посадили за З дня 390 деревьев. В первый день они посадили 120 деревьев, во второй — на 50 деревьев больше, чем в первый, а в третий — все остальные деревья. Сколько деревьев посадили школьники в третий день?
Робин Гид славился своей меткостью, и шериф приказал стражникам схватить того, кто попадает точнее всех в центр мишени. Но Робин Гуд сумел выиграть соревнование, не выдав себя. В какую мишень стрелял Робин Гуд?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Кроме египетской и римской к иероглифической системам чисел относятся финикийская, пальмирская, критская, сирийская, греческая аттическая, или Геродианова (именно из сообщения грамматика Геродиана, жившего в III веке, западноевропейские историки впервые узнали о её существовании).
Известны также старокитайская, староиндийская, иероглифические системы. В них, как и в египетской римской системах, вводятся ключевые числа, для обозначения которых применяются специальные иероглифы. Все остальные числа образуются приписыванием с той или иной стороны ключевого числа других ключевых чисел, возможно, с некоторыми повторениями. Любопытно отметить, что у многих народов для обозначен числа 1 применялся один и тот же символ — вертикальная черточкой. Это самое древнее число в истории человечества. Оно возникло простой черты на земле, из зарубки на дереве или кости.
Разминка. Два отца и два сына съели 3 апельсина, причем каждый съел по апельсину. Как это возможно? Петя утверждает, что позавчера ему было 10 лет, а в будущем году исполнится 13. Возможно ли это? Три зайчонка: Прыг, Скок, Трусь – учились в разных классах лесной школы. Прыг был не старше Труся, а Скок не старше Прыга. Кто старше всех? Кто младше всех? Задумайте число больше 10, к нему прибавьте 28, из полученной суммы вычтите 16, из результата вычтите задуманное число. В результате получилось 12! Проверь. Веревку разрезали в пяти местах. Сколько частей получилось?
Боря гостил в деревне неделю и 2 дня. Сколько дней гостил Боря в деревне? Записано 99 чисел:1, 2, 3….98, 99. Сколько раз в записи встречается цифра 7? Если в 12 часов ночи идет дождь, то можно ли ожидать, что через 72 часа будет солнечная погода? Даша пронумеровала страницы в своей тетради, начиная с первой. При этом ей пришлось написать 39 цифр. Сколько страниц она пронумеровала? Квадрат со стороной 1м разрезали на квадратики со стороной 1см и выстроили их в ряд в виде полосы шириной 1см. Какой длины получилась полоса?
Реши задачу. В двух вазах было поровну конфет. Из первой вазы взяли 16 конфет. Во вторую положили 9 конфет. Потом во вторую положили еще 7 конфет. В обеих вазах вместе стало 40 конфет. Сколько конфет было в каждой вазе?
Математическая головоломка. Поставь между цифрами знаки «+» или «-» так, чтобы в результате получились верные равенства. 1 2 3 4 5 = 54 1 2 3 4 5 = 168
Реши задачу. В соревновании по бегу Антон, Володя и Сережа заняли призовые места. Какое место занял каждый, если Володя занял не второе и не третье место, а Сережа – не третье место.
Реши задачу. Возраст старика Хоттабыча записан числом с разными цифрами. Об этом числе известно: 1) Если первую и последнюю цифры зачеркнуть, то получится самое большое из возможных в данном случае двухзначное число, которое в сумме цифр, равна 13. 2) Первая цифра больше последней в 4 раза . Сколько лет старику Хоттабычу?
Реши задачу. Один из пяти братьев разбил окно. Андрей сказал: «Это или Витя, или Толя». Витя сказал: «Это сделал не я и не Юра». Дима сказал: «Нет, один из них сказал правду, а другой неправ». Юра сказал: «Нет, Дима, ты не прав». Их отец, которому, конечно, можно доверять, уверен, что не менее трех братьев сказали правду. Кто разбил стекло?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Самые ранние математические тексты, известные в наши дни, оставили две великие цивилизации – Египет и Месопотамия, или Междуречье. Именно там появились первые математические задачи, решения которых потребовала повседневная жизнь. Ведь невозможно без расчетов построить здание. И как поделить землю между родственниками, прибыль между торговцами, найти правильный путь в море или пустыне, если ты не знаком с правилами счета?
Несколько тысячелетий культура Египта развивалась без каких бы то ни было внешних влияний, и именно этим объясняется ее самобытность. Уровень древнегреческой математики был довольно высок. Древние греки, достижения которых лежат в основе современной науки, считали себя учениками египтян.
Вот как писал об этом в 5 веке до нашей эры знаменитый греческий историк Геродот: «Они (египетские жрецы) говорили, что царь разделил землю между всеми египтянами, дав каждому по равному прямоугольному участку; из этого он создал себе доходы, приказав ежегодно вносить налог. Если же от какого – нибудь надела река отнимала что – нибудь, то владелец, приходя к царю, сообщал о происшедшем. Царь же посылал людей, которые должны были осмотреть участок земли и измерить на сколько он стал меньше, чтобы владелец вносил с оставшейся площади налог, пропорционально установленному. Мне кажется, что так и была изобретена геометрия, которая затем из Египта была перенесена в Элладу»
Разминка. Число 100 обозначается тремя цифрами, название числа – тремя буквами. Когда еще название числа совпадает с количеством цифр в нем? Чем больше берут, тем больше становится. Что это? Не отрывая карандаша от бумаги, разделите изображенную фигуру на 6 равных треугольников.
Что становится легче, когда увеличивается в размере? Что общего между цифрами и буквами? 4 8 5 Г Ж Д У Марины, Наташи и Нади было две ручки и один карандаш. У кого что было, если у Нади с Наташей и у Марины с Наташей были разные предметы? Найди на чертеже все треугольники и все четырехугольники. Каких фигур больше?
Найди двух одинаковых Винни – Пухов.
Реши задачу. В очереди за билетами в кино стоят Юра, Миша, Володя, Саша и Олег. Известно, что: 1) Юра купит билет раньше, чем Миша, но позже Олега. 2) Володя и Олег не стоят рядом. 3) Саша не находится рядом ни с Олегом, ни с Юрой, ни с Володей. Кто за кем стоит?
Реши задачу. Мальчик идет к клетке со львом. Каждый раз, когда он делает два шага вперед, лев рычит, и мальчик делает шаг назад. За какое время мальчик дойдет до клетки, если до нее 5 шагов, а один шаг мальчик делает за 1 секунду?
Реши задачу. Маленький мук и королевский скороход соревнуются в беге по дорожке длиной 30км, которая шла вокруг леса. По условиям соревнования выигрывает тот, кто обгонит другого, пробежав на круг больше. Скороход делает круг за 10 минут, а Маленький мук – за 6 минут. Через сколько минут Маленький Мук обгонит скорохода?
Реши ребусы.
Расставь скобки, чтобы равенства стали верными. 120 : 3 + 3 * 3 + 12 = 61 120 : 3 + 3 * 3 + 12 = 5 120 : 3 + 3 * 3 + 12 = 22 120 : 3 + 3 * 3 + 12 = 72
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! В глубокой древности счет в Китае вели десятками. Примерно с 4 в. до н. э. стали считать с помощью специальных палочек. Они были в ходу на протяжении более полутора тысяч лет. Палочки раскладывали на счетной доске, которая, как полагают, была разлинована на строки и столбцы. Если какой-то разряд в числе отсутствовал, то соответствующая ячейка оставалась пустой.
К III в. До н. э. установилась и другая форма обозначения чисел иероглифическая. При записи числа, состоящего, например, из тысяч, сотен, десятков и единиц, сначала записывали число тысяч, затем справа или снизу иероглиф, обозначающий сотню, число десятков, знак десяти и, наконец, число единиц. Таблицу умножения от 1 х 1 до 9 х 9 заучивали Наизусть. Её декламировали или даже распевали на уроках. Были и другие числовые таблицы, включавшие произведения квадратов, кубов и четвертых степеней.
Издавна в Китае были известны дроби. Некоторые имели даже свои названия. Половина называлась «бань», треть — «шао бань» («малая половина»), две трети — «тай бань» («большая половина»). Позднее появилось специальное наименование для четвертой части — «слабая половина». Пользовались и десятичными дробями. При решении задач порой приходилось от меньшего количества отнимать большее. Так во II в. до н. э. появились отрицательные числа.
На счетной доске их выделяли палочками другого цвета или формы, а в рукописи — другими чернилами или косой чертой. Отрицательные числа назывались «фу», а положительные — «чжэн». Постепенно числа «фу» стали истолковывать как долг, недостаток. Введение отрицательных чисел и правил их сложения и вычитания можно считать одним из самых крупных открытий китайских ученых. В греческой математике это сделал Диофант в средине 3 в., и лишь в 7 в. отрицательные числа появились в индийской математике.
Разминка. Найди два числа: Сумма равна 7, а произведение 10 Сумма равна 7, а произведение 12 Сумма равна 10, а произведение 21 Сумма равна 10, а произведение 16 Сумма равна 10, а произведение 9 Сумма равна 9, а произведение 14 Сумма равна 9, а произведение 20
Какое число получится, если перемножить количество горбов у двугорбого верблюда, хоботов у слона, шей у вертишейки, панцирей у черепахи, клювов у дятла, крыльев у воробья, глаз у зайца, хвостов у головастика, гребешков у петушка, лап у медведя, бивней у мамонта, копыт у лошади, ног у сороконожки, щупалец у осьминога, зубов у крокодила, иголок у ежа и рогов у осла?
Один человек должен был перевезти через реку волка, козу и капусту. Но его лодка была такая маленькая, что он при каждом переезде мог взять с собой только одно животное или капусту. Между тем волка нельзя оставить на берегу одного с козой, так как он мог её съесть. Нельзя было также допустить, чтобы коза оставалась одна с капустой, так как она могла её съесть. Как при этих условиях перевезти все На другой берег?
Реши задачу. Четыре подруги пришли на каток, каждая со своим братом. Они разбились на пары и начали кататься. Оказалось, что в каждой паре «кавалер» выше «дамы», и никто не катается со своей сестрой. Самый высокий из компании – Юра Воробьев, следующий по росту – Андрей Егоров, потом Люся Егорова, Сережа Петров, Оля Петрова, Дима Крылов, Инна Крылова и Анна Воробьева. Кто с кем катался?
Реши задачу. Мама и две дочки весят 140кг. Мама весит на 10кг больше старшей дочери, а вместе они весят на 80кг больше, чем младшая дочка. Кто сколько весит?
Реши задачу. Отец и сыновья катались на трехколесных и двухколесных велосипедах. У всех велосипедов всего было 7 колес. Сколько сыновей у отца?
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Пожалуй, дату точного появления математики как науки можно определить довольно точно — 6 в до н. э. На протяжении 20—ЗО предыдущих веков народы древнего Востока сделали немало открытий в арифметике, геометрии и астрономии, но единой математической науки они не создали. Грекам же это удалось в течение одного столетия, что до сих пор кажется чудом.
На полтора столетия раньше — в середине УIII в. до н. э. — греки пережили настоящую культурную революцию. У них появился свой алфавит, включавший гласные буквы. Тогда же были созданы поэмы «Илиада» и «Одиссея». Гомеровский эпос позволил приобщиться к культуре всем, даже неграмотным. Ведь стихи нетрудно выучить наизусть. В эту же эпоху возникли Олимпийские игры. На них каждые четыре года встречались наиболее активные и просвещенные граждане городов Эллады (так называли свою родину сами греки).
С середины УIII в. до н. э. быстро росло число городов, особенно в заморских колониях. В поисках новых земель, пригодных для сельского хозяйства, сотни семей переправлялись за море и селились по всему побережью Средиземного и Черного морей — рядом с местными «варварами». Эллины знакомились с культурой соседних народов, учились у них и сами учили их.
Жители городских республик — полисов ежедневно обсуждали на улицах и площадях волновавшие их вопросы: от видов на урожай и настроений окрестных варваров до новостей, привезенных заезжими купцами.
Самые интересные известия приходили из государств Ближнего Востока — Египта и Ассирии, а после гибели Ассирийского царства — из поделивших его владения Вавилонии и Мидии. В середине УI в. до н. э. все эти земли попали под власть персов, которые установили прочный мир в своей огромной империи. Теперь многие любознательные эллины имели возможность безопасно путешествовать по землям Персидской державы: одни — с торговыми целями, другие — в надежде приобщиться к мудрости египтян и вавилонян.
Вернувшись домой, такой путешественник всегда возбуждал живое любопытство сограждан. Но не во всем ему верили на слово. Например, он говорил, будто в Египте стоят рукотворные холмы из камня — гробницы древних царей — высотой в 200 или ЗОО локтей.
Неужели он сам измерил их высоту? Каким образом? Пусть докажет, что его слова — правда! И еще: он сказал, что мудрые умеют предсказать срок будущего затмения Луны или Солнца. Пусть объяснит, как это они делают! И когда мы увидим очередное затмение в нашем городе? Видимо, первым из греков, кто научился убедительно отвечать на подобные Вопросы, был Фалес Милетский.
Разминка.
Их сумма равна 15 и одно из них на 1 больше другого. Их сумма равна 15 и одно из них на З больше другого. Их сумма равна 9 и одно из них в 2 раза больше другого. Их сумма равна 18 и одно из них в 2 раза больше другого. Их сумма равна 30 и одно из них в 2 раза больше другого. Их сумма равна 21 и одно из них в 2 раза больше другого.
Реши задачу. В булочную привезли 788кг белого и черного хлеба. К концу дня было продано 572кг белого, а черного – на 405кг меньше. Сколько хлеба осталось в булочной?
Реши задачу. Трое мальчиков имеют по некоторому количеству яблок. Первый из мальчиков дает другим столько яблок, сколько каждый из них имеет. Затем второй мальчик дает двум другим столько яблок, сколько каждый из них теперь имеет; в свою очередь и третий дает каждому из двух других столько, сколько есть у каждого в этот момент. После этого у каждого из мальчиков оказывается по 8 яблок.
Вставь недостающие цифры.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Любимым вопросом древних греков был вопрос «почему?», а с этого вопроса начинается любая наука. Греки начали доискиваться: почему надо применять в расчетах то или иное правило? Всегда ли оно дает правильный результат? Как доказать правильность? Древнегреческий ученый Фалес первым ввел в математику доказательства, и поэтому его считают первым математиком в истории.
Однажды греки решили подарить мудрейшему из людей золотую чашу, и этим мудрейшим был избран именно Фалес. Но Фалес передал подарок другому мудрецу, которого он считал более достойным, тот третьему, и так чаша обошла по кругу семерых мудрецов, вернувшись в конце концов снова к Фалесу.
В искусстве рассуждений греки превзошли всех, кто жил до них, и очень многих, кто жил после. Умению рассуждать и доказывать мы учимся у древних греков до сих пор: древнегреческая математика — единственная наука, которая прошла испытание тысячелетиями .
Когда греков завоевали римляне, развитие математики надолго остановилось — на целую тысячу лет! Возродили математику арабы, которые изучили и перевели на арабский язык книги древнегреческих ученых. Кстати, у арабов был и выдающийся поэт математик, звали его Омар Хайям. Омар Хайям
О некоторых его математических открытиях мы знаем, а вот стихи его мы не читали: Мне мудрость не была чужда земная, Разгадки тайн ища, не ведал сна я. За семьдесят перевалило мне, Что ж я узнал! Что ничего не знаю. Греки принесли не только в математику логику, по и воображение: они стали изучать числа и фигуры не только для «жизненных потребностей», но и просто потому, что это оказалось необычайно интересным.
Так числа и фигуры начали жить в воображении математиков своей жизнью, и вот что самое удивительное: открытия, сделанные в воображаемом мире, помогали открывать законы окружающего мира! Итальянский ученый Галилей писал: «Великая книга природы может быть прочитана только теми, кто знает язык, на котором она написана, и язык этот - математика». Галилей
Бывало, что проходили тысячелетия, прежде чем открытия математиков находили применение. Вот, наверное самый поразительный пример. За несколько веков до нашей эры греческие ученые Евклид, Архимед и Аполлоний из «чистого интереса» изучили свойства эллипса — фигуры, похожей на сплюснутую окружность. Прошло больше полутора тысяч лет, и немецкий астровом Кеплер обнаружил, что планеты движутся вокруг Солнца именно по эллипсам — тем самым «древнегреческим» эллипсам! Аполлоний Архимед
А через пятьдесят лет после Кеплера «чисто математическая» теория древних греков помогла английскому ученому Ньютону открыть закон всемирного тяготения, управляющий» движением планет. В начале ХIХ века трое ученых: русский математик Лобачевский, венгр Больяи и немец Гаусс — независимо друг от друга придумали (именно придумали) необычную геометрию, настолько необычную, что Гаусс, который считался тогда «королем математики», не решился даже обнародовать свою работу. Лобачевский Гаусс
Лобачевский же посвятил разъяснению своей геометрии всю жизнь, во так и не получил признания ученого мира — уж очень казалась странной «выдумка». Однако «обмана» в ней не было: геометрия Лобачевского не содержала противоречий! Идеи Лобачевского развил немецкий ученый Риман. Он показал, что можно построить бесконечно много разных геометрий, среди которых — и привычная «школьная» геометрия, и геометрия Лобачевского.
Гильберт придумал совсем уж странную вещь: он изобрел пространство, в котором не три измерения, как в нашем обычном пространстве, а бесконечное число измерений! Такое даже представить невозможно! Однако через четверть века оказалось, что без гильбертова пространства (так его называли) было бы невозможно описывать мир атомов. А поскольку все мы состоим из атомов, значит, в каждом из вас на самом деле существует это удивительное пространство с бесконечным числом измерений!
Разминка. Запишите число 35 посредством четырех пятерок. Запишите число 75 посредством четырех пятерок. Представьте число 545 пятерками. Напишите число 15 с помощью четырех пятерок (без скобок).
Напишите число 4 тремя пятерками. Изобразите число 6 тремя цифрами 5. Выразите число 7 посредством четырех пятерок. Представьте число 9 с помощью пяти цифр 5. Запишите число 12 посредством четырех пятерок. Напишите число 24 пятью цифрами 5.
Освободи белку.
Реши задачу. Большие любители поудить Митя, Петя и Витя пошли на рыбалку. Они поймали 15 рыб. Митя поймал столько рыб, что их количество можно было поделить поровну между тремя друзьями. Витя поймал больше на 1 рыбу, чем Митя, а Петя поймал рыбок меньше всех. Сколько рыбок поймал каждый мальчик?
Впиши цифры.
Тремя линиями раздели фигуры друг от друга.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! До наших дней дошли два произведения Диофанта, оба не полностью. Это «Арифметика» (шесть книг из тринадцати) и отрывки из трактата «О многоугольных числах». Но о самом авторе не известно почти ничего. Французский историк математики Поль Таннери, основываясь на косвенных данных, определил, что Диофант жил в середине 3 века. Однако ученые эпохи Возрождения, открывшие сочинения Диофанта в библиотеке Ватикана, относили время его жизни к середине 2 в.
Сохранился текст эпитафии (надписи на надгробном камне), из которой можно извлечь кое-какие сведения: Прах Диофанта гробница покоит: дивись ей - камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком, И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругою он обручился. С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец, Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным, и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года. Его «Арифметика» стала поворотным пунктом в развитии алгебры и теории чисел. Именно здесь произошел окончательный отказ от геометрической алгебры. Благодаря буквенной символике Диофанта алгебра обрела новый язык, гораздо более оперативный и удобный, чем язык геометрии.
«Арифметика» — это не теоретическое произведение, как «Начала» Евклида или «Конические сечения» Аполлония. Это сборник задач (всего их 189), каждая из которых снабжена одним или несколькими решениями и необходимыми пояснениями. В начале своего труда Диофант поместил краткое введение, ставшее первым изложением основ алгебры. В нем строится поле рациональных чисел и вводится буквенная символика, там же формулируются правила действий с многозначными числами.
В классической античной математике числами назывались множества единиц, т. е. натуральные числа. Диофант же хотя и дает определение числа как множества единиц, но на протяжении всех книг называет каждое положительное рациональное решение своих задач словом «число». Однако для построения алгебры одних только положительных дробей недостаточно, и Диофант делает решительный шаг вводит отрицательные числа.
Точно так же выглядит совершенно естественным, что гончар делает круглый сосуд, пользуясь вращающимся столиком. Но человек, который первым придумал это, вне всяких сомнений, совершил гениальное открытие. Фалес доказал равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Он установил и один из признаков равенства треугольников: если два треугольника имеют равную сторону и два равных угла, прилегающих к этой стороне, то эти треугольники равны.
Для этого оп выбирает метод, известный теперь как аксиоматический он определяет новый объект, который называет «недостатком», и формулирует правила действия с ним. Диофант пишет: «Недостаток, умноженный на недостаток, дает наличие; недостаток же, умноженный на недостаток же, умноженный на наличие, дает недостаток». Это «правило знаков», мы можем записать так: (--) х (--) = (+) (--) х (+) = (--)
Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, ОН просто пользуется ими в своих книгах, И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число. На следующем занятии мы рассмотрим и другие его открытия, способствующие развитию арифметики.
Разминка. На одной тарелке лежит На шесть абрикосов больше, чем на другой. Сколько абрикосов нужно переложить с одной тарелки на другую, чтобы абрикосов было поровну? В корзине 6 груш. Как разделить их между тремя мальчиками, чтобы каждому досталось по две груши и чтобы две груши остались в корзине? Как из трех спичек сделать шесть, не ломая их?
У Кости несколько персиков, а у Кати их в два раза больше. А всего персиков шесть. Сколько персиков у каждого? Груша дороже яблока в два раза. Что дороже: шесть груш или шесть яблок и во сколько раз? Какие цифры могут сказать про себя: «Перевернешь меня вверх (вниз) головой и стану цифрой я другой»? Площадь разделена на шесть полей, пять из них заняты мебелью, шестое — свободное. Требуется переставить мебель так, чтобы шкаф и диван поменялись местами, при этом на одном поле не могут стоять два предмета.
Реши задачу. У мамы в буфете спрятана банка варенья. В банке 650 г варенья. Маша узнала это и не удержалась, каждый день втихомолку съедала по 5 ложек малинового варенья. Сколько граммов варенья мама обнаружит, когда Маша через 20 дней закашляет? В ложку, которой Маша «выуживала» варенье, помещается 5 г.
Реши задачу. У Саши в альбоме 320 марок, у Пети — 180 марок. Саша подклеивает в месяц в альбом 70 марок, а Петя —105 марок. Через сколько месяцев у них в альбомах будет одинаковое количество марок?
Замени слова общим названием.
Сосчитай треугольники.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Правила сложения и вычитания для новых чисел Диофант не излагает, он просто пользуется ими в своих книгах. И все же отрицательные числа Диофант применяет только в промежуточных вычислениях, а в качестве решения всегда выбирает положительное рациональное число. Диофант впервые в математике получает возможность записывать уравнения или системы уравнений. Конечно, его записи уравнений нисколько не похожи на современные, однако это настоящие уравнения.
Наконец, во введении Диофант формулирует два основных правила преобразования уравнений: правило переноса члена уравнения из одной части в другую с обратным знаком и правило приведения подобных членов. Поскольку «Арифметика» — это сборник задач, может сложиться впечатление, что Диофант разработал остроумные приемы для решения частных случаев, но не создал общего метода. Однако при внимательном чтении можно убедиться: тщательный подбор задач направлены па то, чтобы проиллюстрировать применение общих методов.
Труды Диофанта имели фундаментальное значение для развития алгебры и теории чисел. С именем этого ученого связано появление и развитие алгебраической геометрии, проблемами которой впоследствии занимались Леонард Эйлер, Карл Якоби и другие авторы. Наиболее глубокое применение методы Диофанта нашли в работах замечательного математика конца ХIХ — начала ХХ в Анри Пуанкаре . На основе этих методов строится арифметика алгебраических кривых — область, интенсивно развивающаяся в конце ХХ столетия.
Разминка. Найдите произведение чисел 800 и 8. Найдите 1 / 4 часа. Из числа 270 вычесть частное чисел 120 и 3. В киноконцертном зале 4200 мест, половину заняли зрители. Сколько осталось мест? Найдите 2/5 килограмма.
На кондитерской фабрике выпускают 75 видов карамели, это на 25 видов меньше, чем шоколадных конфет. Сколько видов шоколадных конфет выпускает фабрика? Сторона квадрата составляет третью часть 1 дм 2 см. Чему равен периметр данного квадрата? Найдите пятую часть суммы 1дм и 5 см. Сумма трех чисел равна 100. Первое число — 35, второе —29. Чему равно третье число? Выразите в секундах десятую часть часа.
Реши задачу. Всадник без головы проезжает 72 км за б часов. Сколько часов понадобится ему, чтобы преодолеть 54 км, если будет двигаться пешком с вдвое меньшей скоростью, но с головой?
Реши задачу. Костя проснулся в 7часов 15 минут: 15 минут он умывался, 10 минут делал зарядку, 9 минут ел завтрак, 6 минут убирался в комнате, 5 минут собирал портфель и одевался, 20 минут добирался до школы. Сколько у него осталось времени, чтобы приготовится к уроку, если занятия начинаются в 8 часов 30 минут?
Найди путь пули, чтобы браконьер промахнулся.
Четырьмя линиями раздели все звезды.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! Уже в середине 3 тысячелетия до нашей эры в долине реки Инд существовала развитая цивилизация. Об уровне знаний той далекой эпохи можно судить по результатам археологических изысканий. археологических изысканий. Например, при раскопках были найдены обломок линейки с делениями и древнейшие в мире игральные кости кубической формы. На каждой стороне ямочками обозначены числа от одного до шести.
Торговцы тех далеких времен пользовались каменными гирями различной величины. Археологи обнаружили большое число предметов правильной геометрической формы. Для построения окружностей индейцы, по-видимому применяли инструмент, похожий на современный циркуль.
Многие черты роднят цивилизацию долины Инда с другими древними культурами — Египтом и государствами Междуречья. Везде возникали одинаковые проблемы: приходилось делать расчеты при строительстве дворцов, храмов, жилищ, складов для зерна, военных укреплений, определять размеры и очертания полей, учитывать количество материалов и продуктов -- словом, решать схожие математические задачи.
Во 2 -1 тысячелетиях до нашей эры появились религиозно-философские книги — веды (знания). Один из разделов индийской литературы назывался «Шульба-сутра» («Правила веревки»). Этот трактат, составленный в 7 - 6 веках до нашей эры, содержит правила измерений с помощью веревки, применяемые при строительстве жертвенных алтарей и храмов.
В первые века новой эры появились астрономические и математические труды — сиддханты (учения). Факты, изложенные в первых сиддхантах, заимствованы у древних греков. Труд «Пулисасиддханта» приписывается александрийскому астроному Паулосу. О греческом происхождении свидетельствует и название «Ромакасиддханта». В сиддхантах использованы некоторые греческие термины. Впрочем, научные связи Индии и Греции существовали еще в античные времена.
В средние века работали индийские математики и астрономы Ариабхата Брахмагупта, Магавира, Шридхара Бхаскара Нилаканта (ХУ—ХУТ вв.). Большинство трактатов индийцев написано на санскрите - языке науки, который объединял ученых, говоривших на разных наречиях. Многие труды изложены в стихах, для того, чтобы правила можно было заучивать наизусть. Научные труды обычно сопровождались подробными комментариями, где каждое правило тщательно объяснялось.
Разминка. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 всего три математических знака таким образом, чтобы в результате получилось 2. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 21. Изобразите число 24 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Напишите 25 посредством семи первых значащих цифр. Расставьте между цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7 знаки действий таким образом, чтобы в результате получилось 26. Можно ли с помощью цифр от 1 до 7 написать число 95? Двумя способами выразите число 100 с помощью единицы, двойки, тройки, четверки, пятерки, шестерки и семерки. Двумя способами изобразите число 35 с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8.
Реши задачу. В кондитерский магазин привезли 7 ящиков конфет по 15 кг в каждом, 5 ящиков печенья по 24 кг в каждом, халвы 165 кг. Сколько килограммов сладостей привезли в магазин?
Реши задачу. У бабушке во дворе гуляли внуки и кролики. Всего 8 голов и 26 ног. Сколько внуков и сколько кроликов у бабушки во дворе?
Реши задачу. Посередине участка квадратной формы устроена цветочная клумба, которая имеет форму квадрата. Площадь участка 100 м кв. Сторона клумбы в 2 раза меньше стороны участка. Чему равна площадь клумбы.
Найди числа.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Это интересно! С древнейших времен в Индии применялась десятичная система счисления. Для единиц существовали специальные знаки, а десятки и сотни записывали теми же цифрами, но в другой позиции. Помимо цифровых у чисел были и словесные обозначения. Так, нуль обозначал и словами «пустой», «небо» или дыра»; единицу — названиями единичных предметов:«Луна», «Земля»; двойку — названиями парных предметов: «близнецы», «глаза», «ноздри», «губы» и т. д.
Именно от индийской позиционной нумерации произошла привычная нам система счисления. Индейцы разработали правила арифметических действий, основанные на этой нумерации (первым их применил Ариабхата). Они умели складывать, вычитать, умножать, делить, возводить числа в квадрат и куб, извлекать квадратные и кубические корни. Европейцы называют цифры от О до 9 арабскими, так как заимствовали их у арабов. Но сами арабы именуют эти цифры индийскими, а арифметику, основанную на десятичной системе, индийским счетом.
Арифметические правила индийцев мало чем отличались от правил, изучаемых современными школьниками. Вот как Бхаскара описал операцию сложения: «Сложи цифры, стоящие на одних и тех же позиционных местах, в прямом или обратном порядке» (при прямом порядке сложение начинается с единиц, при обратном — со старших разрядов). действие вычитания Бхаскара определял так: «Вычитай числа в соответствии с их позиционными местами в прямом или обратном порядке».
А правила для сложения, вычитания и умножения дробей таковы: «Послё приведения дробей к общему знаменателю сложи числители»; «После приведения дробей к общему знаменателю следует взять разность между числителями»; «Произведение числителей, деленное на произведение знаменателей, есть результат умножения двух и более дробей».
Начиная с 7 века индийские математики пользовались отрицательными числами. Положительные числа они называли «дхана» или «сна» («имущество»), а отрицательные — «рина» или «кшайя» («долг»). Брахмангупта, проводя правила арифметических действий над отрицательными числами, еще не отмечает двузначность квадратного корня, но Магавира в I9 веке уже указывает на неё.
По преданию, он применял этот признак, чтобы определить расстояние до корабля в море. Ну и, конечно, надо отметить то утверждение, которое мы сейчас называем теоремой Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные отрезки, а затем через концы этих отрезков провести параллельные прямые, то на второй стороне угла при пересечении с этими прямыми также образуются равные между собой отрезки. Как доказывал эту теорему Фалес, можно только догадываться. По-видимому, он и здесь пользовался тем же признаком равенства треугольников.
Разминка.
Замени слова общим названием.
Реши задачу. Сошлись на ферме две птичницы, Марья да Дарья, и говорит Марья Дарье: «Отдай-ка ты мне одного индюка, тогда у меня будет индюков ровно вдвое больше, чем у тебя!» А Дарья ей отвечает: «Нет! Лучше ты мне отдай одного индюка, тогда у нас будет индюков поровну!» Сколько же было у каждой индюков?
Реши задачу. Четверо третьеклассников имеют некоторую сумму денег. Известно, что, сложившись без первого, они наберут 90 рублей, сложившись без второго – 85 рублей, сложившись без третьего – 80 рублей, сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько денег у каждого?
Найди два одинаковых корабля.
Посчитай треугольники и четырехугольники.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка занятия внеурочной деятельности пр программе "Смотрю на мир глазами художника"
Цели: - познакомить учащихся с основами цветоведения; - дать понятия цветового круга, основных, составных цветов, дополнительного цвета; - холодного и теплого цветов; светлоты, цветовог...
разработка занятия внеурочной деятельности "Удивительные животные" (проект)
конспект занятия ВУД "Удивительные животные". Завершающий этап проекта....
Презентация к занятию внеурочной деятельности по математике "Математические загадки" (3 класс)
Презентация к занятию №8 внеурочной деятельности по математике курса "Математика вокруг нас" для 3 класса. Содержит слайды с математическими загадками для третьеклассников....
Методическая разработка занятия внеурочной деятельности «Математический калейдоскоп»
Методическая разработка занятия внеурочной деятельности«Математический калейдоскоп»...
Методическая разработка занятия внеурочной деятельности в 4-х классах по программе "Музей - это интересно".
Занятие в рамках внеурочной деятельности в классепо программе «Музей – это интересно»Музей – это своеобразная модель системы культуры, играющая огромную роль в духовно-нр...
«Методическая разработка» занятия внеурочной деятельности по программе «Финансовая грамотность» Тема занятия: «Цена и стоимость покупки. Покупки оптом и в розницу».
Данная методическая разработка может быть использована на занятиях внеурочной деятельности по программе «Финансовая грамотность» во 2-3 классах при изучении раздела: «Ден...
Разработка занятия внеурочной деятельности в рамках ФГОС (начальная школа) Спортивно – оздоровительная направленность Рабочая программа «Азбука здоровья»
Знать: о важности и необходимости регулярного питания; о времени приёма полдника, о разнообразии и пользе кисломолочных и мучных кондитерских изделий; правилах личной гигиены и поведения за столом.Уме...