Методическая копилка (математика)
методическая разработка по математике

Методическая копилка

1. 4 классы

Задачи-смекалки

1. На какой вопрос нельзя ответить «да»? Ответ: Ты спишь?

2. Когда сеть может вытянуть воду? Ответ: Когда вода замёрзнет и превратится в лёд. 50. Поле пахали 6 тракторов. 2 из них остановились. Сколько тракторов в поле? Ответ: 6 тракторов

51. Одно яйцо нужно варить 5 минут. Сколько времени потребуется, чтобы сварить 6 таких яиц? Ответ: 5 минут

52. Каким гребнем голову не расчешешь? Ответ: Петушиным.

53. Что бросают, когда нуждаются в этом, и поднимают, когда в этом нет нужды? Ответ: Якорь.

54. Вы сидите в самолёте, впереди вас лошадь, сзади автомобиль. Где Вы находитесь? Ответ: На карусели

3. Из какой посуды нельзя ничего поесть? Ответ: Из пустой

4. Ты да я, да мы с тобой. Сколько нас? Ответ: Двое

5. Как с помощью только одной палочки образовать на столе треугольник? Ответ: Положить ее на угол стола

8. Назовите пять дней, не называя чисел (1, 2, 3,..) и названий дней (понедельник, вторник, среда...) Ответ: Позавчера, вчера, сегодня, завтра, послезавтра

9. Что нужно делать, когда видишь зелёного человечка? Ответ: Переходить улицу (это рисунок на зелёном сигнале светофора)

10. Есть дорога, по которой может проехать только одна машина. По дороге едут две машины: одна с горы, другая под гору. Как им разъехаться? Ответ: Они обе едут вниз.

13. На столе в ряд стоят 6 стаканов. Первые три пустые, а последние три наполнены водой. Как сделать так, чтобы пустые стаканы и полные чередовались между собой, если касаться можно только одного стакана (толкать стакан стаканом нельзя)? Ответ: Взять пятый стакан, перелить его содержимое во второй и поставить стакан на место.

14. На столе лежит яблоко. Его разделили на 4 части. Сколько яблок лежит на столе? Ответ: одно яблоко

15. У мальчика в коробке было 7 мух. На две мухи он поймал двух рыбок. Сколько рыбок поймает мальчик, используя остальных мух? Ответ: неизвестно.

16. У человека — одна, у коровы — две, у ястреба – ни одной. Что это? Ответ: Буква О

17. Сидит человек, но вы не можете сесть на его место, даже если он встанет и уйдёт. Где он сидит? Ответ: На Ваших коленях

18. Каких камней в море нет? Ответ: Сухих

19. Может ли петух назвать себя птицей? Нет, он не умеет говорить.

20. Какой болезнью на земле никто не болел? Ответ: Морской

21. Можно ли предсказать счёт любого матча до его начала? Ответ: Да, 0 – 0

22. Какая рыба носит имя человека? Ответ: Карп

23. Что у коровы впереди, а у быка позади? Ответ: Буква К

24. Какая река самая страшная? Ответ: Тигр

25. Что не имеет длины, глубины, ширины, высоты, а можно измерить? Ответ: Температуру, время

26. Что все люди на земле делают одновременно? Ответ: Становятся старше

27. На грядке сидят 6 воробьев, к ним прилетели еще 5. Кот подкрался и схватил одного. Сколько птиц осталось на грядке? Ответ: нисколько. Остальные птицы улетели.

28. Что можно приготовить, но нельзя съесть? Ответ: Уроки

29. Васиного отца зовут Иван Николаевич, а дедушку - Семен Петрович. Какое отчество у Васиной мамы? Ответ: Семеновна

30. У трех братьев по одной сестре. Сколько всего детей в семье? Ответ: 4 ребенка

31. В каком месяце болтливая девочка говорит меньше всего? Ответ: В феврале

32. Что можно видеть с закрытыми глазами? Ответ: Сны

33. Петя и Лёня делают цветник квадратной формы. Петя сказал «Сделаем так, чтобы сторона нашего квадрата была на 12 м меньше его периметра». Какой будет длина стороны этого цветника. Ответ: 4 метра

34. Сын с отцом, да сын с отцом, да дедушка с внуком. Много ли их? Ответ: 3 человека

35. Чем оканчиваются день и ночь? Ответ: Мягким знаком

36. Росло 4 березы. На каждой березе по 4 больших ветки. На каждой большой ветке по 4 маленьких. На каждой маленькой ветке по 4 яблока. Сколько всего яблок? Ответ: Ни одного. На березе не растут яблоки

37. Как правильно говорить: «не вижу белый желток» или «не вижу белого желтка»? Ответ: Желток обычно жёлтый

38. Можно ли зажечь обычную спичку под водой, чтобы она догорела до конца? Ответ: Да, в подводной лодке

39. Что становится на треть больше, если его поставить вверх ногами? Ответ: Цифра 6

40. Какой узел нельзя развязать? Ответ: Железнодорожный

Задачи-шутки

1. Сколько ушей у 3 мышей? (6)
2. Как с помощью 2 палочек образовать на столе квадрат? (Положить их в угол стола.)
3. Ты да я да мы с тобой. Сколько нас всего? (Двое.)
4. Как с помощью только одной палочки образовать на столе треугольник? (Положить ее на угол стола.)
5. Может ли индюк назвать себя птицей? (Индюк не умеет говорить).
6.  Два конца, два кольца, а посредине гвоздик. (Ножницы.)
7. Четыре братца под одной крышей живут. (Стол.)
8. Пять братцев в одном домике живут. (Варежка.)
9. Стоит Антошка на одной ножке. Где солнце станет, туда он и глянет. (Подсолнух.)
10. Ног нет, а хожу, рта нет, а скажу: когда спать, когда вставать. (Часы.)
11. Сидит дед во сто шуб одет, кто его раздевает, тот слезы проливает. (Лук.)
13. Сколько концов у палки? У двух палок? У двух с половиной? (6.)
14. На столе лежат в ряд 3 палочки. Как сделать среднюю крайней, не трогая, ее? (Переложить крайнюю.)
15. Росло 4 березы. На каждой березе по 4 большие ветки. На каждой большой ветке по 4 маленькие. На каждой маленькой ветке - по 4 яблока. Сколько всего яблок? (Ни одного. На березах яблоки не растут.)
16. Может ли дождь идти 2 дня подряд? (Не может. Ночь разделяет дни.)
17. На столе лежало 4 яблока, одно из них разрезали пополам. Сколько яблок на столе? (4.)
18. Одного человека спросили, сколько у него детей. Ответ был такой; "У меня 6 сыновей, а у каждого есть родная сестра". (7.)
19. У какой фигуры нет ни начала, ни конца? (У кольца.)
20. Как можно сорвать ветку, не спугнув на ней птички? (Нельзя, улетит).
21. Какого вида камни нельзя найти в океане? (Сухие)
22. В красном домике сто братьев живут, все друг на друга похожи. (Арбуз.)
23. Нас 7 братьев, летами все равные, а именем разные. Отгадай, кто мы. (Дни недели.)
24. В году у дедушки 4 имени. Кто это? (Весна, лето, осень, зима.)
25. 12 братьев друг за другом ходят, друг друга не находят. (Месяцы.)
26. Кто в году 4 раза переодевается? (Земля.)
27. Много рук, а нога одна. (Дерево.)
28. Пять мальчиков, пять чуланчиков, разошлись мальчики в темные чуланчики. (Пальцы в перчатке.)
29. Чтоб не мерзнуть, 5 ребят в печке вязаной сидят. (Рукавица.)
30. Четыре ноги, а ходить не может. (Стол.)
31. На столе стояло 3 стакана с ягодами. Вова съел 1 стакан ягод и поставил его на стол. Сколько стаканов стоит на столе? (3.)
32. В комнате зажгли 3 свечи. Потом 1 из них погасили. Сколько свечей осталось? (1, 2 другие сгорели.)
33. 3 человека ждали поезда 3 часа. Сколько времени ждал каждый? (3 часа.)
34. Сколько ушей у 3 мышей? (6)
35. Серый, маленький, выглядит как слон. Что за животное? (Слоненок)

36. Олег увидел зеленого человечка. Что ему нужно сделать? (Перейти дорогу. Зеленый человечек – разрешающий знак пешеходного светофора)
37. Назовите пять дней недели таким образом, чтобы в ответе не звучали их названия или числовая последовательность. (Сегодня, завтра, позавчера, вчера, послезавтра)
38. Когда рыжему коту легче попасть в квартиру? (Когда в квартире открыта дверь)
39. Тройка лошадей пробежала 5 км. По сколько километров пробежала каждая лошадь? (По 5 км.)

Ребусы

Шарады

Наряду с ребусами, интерес представляют и другие словесные загадки, например шарады. Шарада – это загадка в стихах, в которой зашифрованное слово распадается на несколько частей. Сначала предстоит отгадать эти части, а потом уже составить из них ответ – длинное слово.

Задача 5.

Я состою из двух слогов.

Ты отгадать меня готов?

Сначала нота прозвучала,

Потом важнейшая приправа.

А вместе овощ я в саду,

В стручке на грядке я расту.

Решение.

Какие бывают ноты? Их всего 7: до, ре, ми, фа, соль, ля, си. А какая приправа является важнейшей? Конечно соль! Без соли невозможно приготовить ни одно блюдо! Значит, вторая часть слова – СОЛЬ. Какой это может быть овощ, растущий в стручке? Конечно, ФАСОЛЬ. А вот, кстати, и нота – ФА!

Ответ:

фасоль.

Решение шарад нельзя, к сожалению, описать какими либо правилами. Но именно благодаря своей нетривиальности и разнообразности, этот класс загадок очень хорошо развивает абстрактное мышление, сообразительность и знание русского языка.

1) Первую находим, вычисляем,

Много формул для неё мы знаем.

На второй же митинги, парады,

Погулять по ней всегда мы рады (площадь)

2) Первый слог - нота,

Второй слог - нота.

А в целом -

Только часть чего-то. (доля)

3)  Арифметический я знак,

В задачнике меня найдешь

Во многих строчках.

Лишь «о» ты вставишь, зная как,

И я - географическая точка. (плюс-полюс)

4) «В» - отрезок не простой -

С направлением, с длиной.

С «С» же станет частью круга,

Что дуга стянула туго.

5) Первую в школе все изучают,

Ну а второй из двустволки стреляют.

Третью исполнят нам два барабана

Иль каблуки отобьют её рьяно. (дробь)

Числовые ребусы

В числовых ребусах обычно дан пример, где некоторые (или все) цифры в числах заменены буквами или звёздочками. Нужно путём рассуждений понять, что именно было зашифровано, и написать правильный пример, уже полностью состоящий только из цифр. Цифр в математике десять: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. При этом нужно помнить два следующих правила:

Правило первое. Правило букв

Правило букв гласит, что в любом ребусе одинаковые буквы обозначают одну и ту же цифру, а разные буквы – разные цифры. Проиллюстрируем это на примере.

Задача 6.

Решите следующий ребус: 7 + Б = ВВ

Решение.

Мы видим, что к числу 7 прибавили какое-то однозначное число (цифру Б) и получили двузначное число (число ВВ). Чему может быть равна цифра В? Заметим, что сумма двух цифр всегда меньше 20 (действиительно, 9 – самая большая цифра, а 9 + 9 = 18). Значит, первая цифра числа ВВ может быть только 1. Но вторая цифра — тоже В., поэтому ВВ может быть равно только 11. Итак, В = 1. Значит, 7 + Б = 11. Именно поэтому Б = 11 – 7 = 4.

Ответ:

7 + 4 = 11.

Правило второе. Правило звёздочек

Правило звёздочек проще правила букв. Оно требует только того, чтобы каждая звёздочка заменяла ровно одну цифру. Однако с таким простым правилом гораздо сложнее решать ребусы: ведь мы совсем ничего не знаем про цифру, что спряталась за звёздочкой! Мы даже не знаем, одинаковые ли цифры, заменённые звёздочками, или разные. Известно только их количество. Но и этого достаточно для решения. Давайте решим одну из таких задач:

Задача 7.

Решите следующий ребус: ✻9 + ✻ + ✻ = 1✻

Решение.

Мы видим, что к двузначному числу прибавили две какие-то цифры и получили снова двузначное число, причём меньше 20 (так как первая цифра у него 1). Значит, и первое двузначное число должно быть меньше 20. Это возможно, только если первое двузначное число – это 19. К нему можно было прибавить только два нуля, чтобы сумма не превзошла двадцати, ведь 19 + 1 + 0 – это уже 20! Значит, наш пример выглядит так: 19 + 0 + 0 = 19.

Ответ:

19 + 0 + 0 = 19.

Он грызун не очень мелкий,

Ибо чуть побольше белки.

А заменишь «у» на «о» -

Будет круглое число.

(сурок - сорок)

Я приношу с собою боль,

В лице большое искаженье.

А «ф» на «п» заменишь коль,

То сразу превращусь я в знак сложенья.

(флюс - плюс)

Коль в треугольнике угол прямой,

Я называюсь его стороной.

Букву последнюю мне поменять -

Буду, как ветер, вас по морю мчать.

(катет - катер)

С буквой «р» - с овцы стригут,

В нити прочные прядут.

А без «р» - нужна для счёта,

Цифрой быть - её работа.

(шерсть - шесть)

И. Агеева

Число я меньше десяти.

Меня тебе легко найти.

Но если букве «я» прикажешь рядом встать,

Я всё: отец, и ты, и дедушка, и мать.

(семь- семья)

Читаем мы направо смело -

Геометрическое тело.

Прочтём же справа мы налево -

Увидим разновидность древа.

(куб - бук)

Рождаюсь на мебельной фабрике я

И в каждом хозяйстве нельзя без меня.

Отбросишь последнюю букву мою -

Названье большому числу я даю.

(стол - сто)

Я с «л» смягчённым - под землёй,

Бываю каменный и бурый.

А с твёрдым - в комнате твоей

И в геометрии фигура.

(уголь - угол)

С «д» - давно я мерой слала,

С «т» - уж нету выше балла.

(пядь - пять)

Счастливой цифру ту считают,

При счете её применяют.

А «м» вот на «т» поменяли -

И рыбы немало поймали.

(семь - сеть)

С «к» - для продуктов годна,

С «м» - для сложенья нужна.

(сумка - сумма)

С «ш» - для счёта я нужна,

С «м» - обидчикам страшна!

(шесть - месть)

С глухим шипящим -

Кругл, как мячик.

Со звонким -

Как огонь, горячий.

(шар - жар)

С глухим шипящим я -

Числительное.

Со звонким - имя

Существительное.

(шесть - жесть)

С «к» - фигура без углов,

С «д» - дружить с тобой готов.

(круг - друг)

И. Агеева

С «в» - отрезок не простой -

С направлением, с длиной.

С «с» же станет частью круга,

Что  дуга стянула туго.

(вектор - сектор)

И. Агеева

Геометрическое тело,

А в нём вода вскипела.

(куб)

Первый слог - нота,

Второй слог - нота.

А в целом -

Только часть чего-то.

(до + ля = доля)

Игра - в ней лошади нужны,

К игре проступок пристегни.

И называй, дружочек, смело

То, что давно уже не цело.

(поло + вина = половина)

Предлог стоит в моём начале,

В конце же - загородный дом.

А целое мы все решали

И у доски, и за столом.

(за + дача = задача)

Две ноты - два слога,

А слово - одно,

И меру длины

Означает оно.

(ми + ля = миля)

Вначале - двойка. Далее - мужчина,

Высокого он титула и чина.

А слово целиком - обозначенье,

Дробящее на дозы обученье.

(пара + граф = параграф)

Первую в школе все изучают,

Ну а второй из двустволки стреляют.

Третью исполнят  нам два барабана

Иль каблуки отобьют её рьяно.

 (дробь)

И. Агеева

Первая - такой многоугольник,

Знать который должен каждый школьник.

На второй гимнасты выступают,

Их она под купол поднимает.

(трапеция)

И. Агеева

Первую находим, вычисляем,

Много формул для неё мы знаем.

На второй же митинги, парады,

Погулять по ней всегда мы рады.

(площадь)

И. Агеева

Первый можно завязать,

Если галстук папин взять.

А второй, словарь листая, -

Мера скорости морская.

(узел)

И. Агеева

Первое - форма арбуза, Земли.

Все догадаться уже вы смогли?

А из второго вкусную кашу

Варит на завтрак мамочка ваша.

Целое музыку будет дарить,

Если за ручку тихонько крутить. (Шар-манка.)

И. Агеева

Арифметический я знак,

В задачнике меня найдешь

Во многих строчках.

Лишь «о» ты вставишь, зная как,

И я - географическая точка.

(Плюс - полюс.)

Софизмы

1)  Это вывернутый наизнанку каркас куба. Фигуру можно воспринять двояко (рис. 7). "Сумасшедший ящик", как и многие другие невозможные объекты, основан на неправильных соединениях, которые допущены при рисовании.

5) Первую невозможную фигуру (рис. 3) в 1934 году изобразил шведский художник Оскар Реутерсвард. Это «Невозможный треугольник», на самом деле такую фигуру невозможно составить из кубиков, но художник смог это сделать?

1. Имеем числовое тождество: 4:4=5:5;вынесем из каждой части общий множитель: 4(1:1)=5(1:1). Числа в скобках равны, значит, 4=5, а отсюда следует, что и 2*2=5.
2. Числа 3 и 4 – это два разных числа, 3 и 4 – это 7, следовательно, 7 – это два разных числа.

В данном внешне правильном и убедительном рассуждении смешиваются или отождествляются различные, нетождественные вещи: простое перечисление чисел (первая часть рассуждения) и математическая операция сложения (вторая часть рассуждения); между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т. е. налицо нарушение закона тождества.

3. Знаешь то, чего не знаешь

– Знаешь ли ты, о чём я хочу тебя спросить?

– Нет.

– Знаешь ли ты, что добродетель есть добро?

– Знаю.

– Об этом я и хотел тебя спросить. А ты, выходит, не знаешь то, что знаешь.

4. Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше.

5. Вор

Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего.

6. «Сколько дней в году мы работаем?

Будем вычитать из 365 дней те, которые мы не работаем. Останутся рабочие дни. софизм интеллектуальный мошенничество паралогизм

1)8 часов в день - сон. Это 122 дня ежегодно: 365 - 122 = 243.

2)8 часов в день - нерабочее время. Это тоже 122 дня ежегодно: 243 - 122 = 121.

3)В году 52 воскресенья и 52 субботы. Итого 104 выходных дня: 121 - 104 = 17.

4)В году 8 официальных праздников: 17 - 8 = 9.Отпуск 24 дня: 9 - 24 = -15».

А этот невозможный объект с тремя (или двумя?) зубцами в 1964 году стал популярен у инженеров и любителей головоломок. Два или три зубца изображено на картинки?

Рассмотрим несколько математических софизмов.

Софизм 1. «22 = 5»

Доказательство:

1)      16–36 = 25–45

2)      16–36 + = 25–45 +

3)      42–2  4  + ()2 = 52–2  5   + ()2

4)      (4 — )2 = (5 — )2

5)      4 —  = 5 —

6)      4 = 5

7)      2 x 2 = 5.

 Решение:   4 —  =  5 —

Софизм 2. «5 = 7»

Доказательство: Пусть даны два числа х и у, причём х больше у в 1,5 раза, то есть х = у. Умножим обе части равенства на 4 и получим: 4х = 6у.

Представим левую часть в виде: 4х = 14х — 10х

и правую: 6у = 21у — 15у.

Так как 4х = 6у, то 14х — 10 х = 21у — 15у или 15у — 10х = 21у — 14х.

В обеих частях вынесем общий множитель за скобки: 5(3у — 2х) = 7(3у — 2х).

Разделим обе части равенства на выражение 3у — 2х и получим, что 5 = 7.

Решение: если х = у, то 3у = 2х, то есть 3у — 2х = 0, а на 0 делить нельзя.

 Софизм 3. «Нуль больше любого числа»

 Если число а отрицательное, то утверждение очевидно. Пусть а — сколь угодно большое положительное число. Ясно, что а — 1 < а

 Умножим обе части неравенства почленно на -а, получим: -а2 + а < -а2. Прибавим к обеим частям полученного неравенства по а2, получим: -а2 + а + а2 < -а2 + а2, то есть а<0.

Следовательно, любое, даже сколь угодно большое положительное число меньше нуля.

Решение: при умножении обеих частей неравенства на отрицательное число знак неравенства надо поменять на противоположный. Е. И. Игнатьев говорил, что «Софизмы подобны приведениям, они не выносят света», попытаемся лишить их некой «таинственности» с пользой для себя, дабы потом не допускать этих ошибок при решении школьных задач

 При решении математических софизмов были выделены основные типы ошибок:

1. деление на 0;

2. неправильные выводы из равенства произведений или дробей;

3. неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения;

4. нарушения правил действия с именованными величинами;

5. неправильное вынесение общего множителя за скобки;

6.  неравносильный переход от одного равенства или неравенства к другому.

 Если знать точно формулировки теорем, математические формулы, правила и условия, при которых они выполняются, внимательно выполнять равносильные преобразования, всегда можно обнаружить ошибку, заложенную в софизме.

Поэтому у математически грамотного человека абсурдных результатов получиться не может. Математический софизм — это не обман, он побуждает нас к более внимательным и точным действиям, он предлагает идти нам по пути, выстроенному логически строго.

«Бесконечная лестница»

Эту фигуру называют еще "Лестницей Пенроуза" (по имени ее создателя), а также "Вечной лестницей" или "Непрерывно восходящей и нисходящей тропой" (рис.5). Перед нами предстает лестница, ведущая, казалось бы, вверх или вниз, но при этом человек, шагающий по ней, не поднимается и не опускается. Завершив свой визуальный маршрут, он окажется в начале пути

Математический софизм — это путь к верному открытию математики для каждого из нас как достаточно серьезного средства познания мира. Софизмы сыграли существенную роль и в истории развития математики. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Разбор софизмов прививает навыки правильного мышления, помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Обнаружение и анализ ошибки, заключенной в софизме, зачастую оказываются более поучительными, чем просто разбор решений “безошибочных”         задач.