Карточка-консультант по теме "Решение текстовых задач с помощью уравнений"
Карточка-консультант по теме "Решение текстовых задач с помощью уравнений"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 42.11 КБ |
Предварительный просмотр:
Решение текстовых задач с помощью уравнений
Теория
Задачи на движение. При решении задач на движение используется одна из трех формул:
, , . Необходимо помнить, что величины должны быть в одной системе единиц, что большую помощь может оказать рисунок, график, таблица.
Задачи на движение по реке. При решении задач на движение по реке необходимо учесть, что
,
где:
– скорость по течению реки;
– скорость объекта при движении против течения реки;
– собственная скорость движущегося объекта;
– скорость течения реки.
Решать их желательно, используя схемы или таблицы.
Задачи на бассейны и трубы. Такие задачи фактически являются задачами на движение. Работа или объем бассейна есть, условно говоря, путь, пройденный точкой; производительность, с которой выполняется работа или наполняется бассейн есть скорость.
Решение сложных задач целесообразно начать с повторения алгоритма решения системы уравнений с 2-мя неизвестными:
- Обозначить неизвестную величину переменной (при решении задачи с помощью системы уравнения вводят несколько переменных);
- Выразить через нее другие величины;
- Составить уравнение (или систему уравнений), показывающее зависимость неизвестной величины от других величин;
- Решить уравнение (или систему уравнений);
- Сделать проверку при необходимости;
- Выбрать из решений (или систему уравнений) те которые подходят по смыслу задачи;
- Оформить ответ.
Полезно вспомнить:
Задачи на сплавы и растворы. Основным понятием является часть числа, если задана величина , то ее -я часть равна , и определение : Процентом называется одна сотая часть величины , то есть 1% = 1/100 от целого. Значит, целое составляет 100%.
Например: ;
Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.Например, 125% = 125:100 = 1,25%
1. Из сосуда, доверху наполненного 88%-м раствором кислоты, отлили 2,5 литра жидкости и долили 2,5 литра 60%-го раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 80%-й раствор кислоты. Найдите вместимость сосуда в литрах.
Решение.
Пусть х (литров) – вместимость сосуда.
1) Т.к. сосуд был доверху наполнен 88%-м раствором кислоты, то кислоты в нем было 0,88х литров, а воды – 0,12х.
2) В 2,5 литрах жидкости содержится 2,5 · 0,88=2,2 литра кислоты и 0,3 литра воды.
3) В 2,5 литрах 60%-го раствора этой же кислоты будет литра кислоты и 1 литр воды.
4)Когда из первоначального сосуда отлили 2,5 л жидкости и долили 2,5 литров 60% раствора кислоты, то получилось 0,88х - 2,2 +1,5 литров кислоты и 0,12х - 0,3 +1 воды.
5) Т.к. в результате получается 80%-й раствор кислоты, то в нем будет 80% кислоты и 20% воды, т.е. выполняется условие 0,88х - 2,2 +1,5 = 4( 0,12х - 0,3 +1). Решая это уравнение, получим x = 8,75 литров – вместимость сосуда.
Ответ: 8,75.
2. Расстояние между городами А и В равно 900 км. Два поезда одновременно отправляются, один из А в В, другой из В в А. Они встречаются в пункте С. Первый поезд прибывает в город В через 4 часа после встречи со вторым поездом, в второй прибывает в город А через 16 часов после встречи с первым поездом. Определите расстояние АС.
Решение.
Расстояние от А до С в 2 раза больше расстояния от С до В. Добавим участок от А до D, тогда tАD=4 (часа). АВ поделим на 3 равных участка. 900:3=300 км, т.е. AD=DC=CB=300км. Итак, АС=AD+DC=600 км.
Ответ: 600.
3. Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35%, а во втором — 60% золота. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40% золота?
Решение. Пусть х — масса первого сплава, y — масса второго сплава. Тогда количество золота в первом сплаве составляет 0,3х, а во втором — 0,55у. Масса нового сплава равна , а количество золота в нем составляет 0,4(x+y) . Получим уравнение 0,3х + 0,55у=0,4(x+y) . . Преобразуем уравнение, получим: 30х + 55у=40x+40y , 6х + 11у=8x+8y , 3y =2x. Отсюда: x:y =3:2.
Ответ: в отношении 3:2. Ответ может быть дан и в другом виде, например =
.
4. И пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от А до В пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт В, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?
Решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4x-x=3x км/ч, а по течению 4x+x=5x км/ч. Следовательно, скорость катера против течения в 3 раза больше скорости плота, а по течению - в 5 раз больше скорости плота. Если плот до встречи проплыл S км, то катер — в 3 раза больше, т.е. 3S км. После встречи катер пройдет 3S км, а плот - 5 раз меньше, т.е. км. Всего плот пройдет S +
=
. Отношение пройденного плотом пути ко всему пути равно
=
.
Другое возможное решение. Пусть скорость течения реки (и плота) х км/ч. Тогда скорость катера против течения равна 4x-x=3x км/ч, а по течению 4x+x=5x км/ч. Скорость сближения катера и плота равна 3x+x=4x км/ч. Встреча произошла через ч. За это время плот проплыл x ·
=
км, а катер -
км. Обратный путь катер пройдет за
=
ч. Плот за это время проплывет расстояние равное x ·
=
км, а всего он проплывет
+
=
км.
Ответ: плот пройдет всего пути.
Задачи для самостоятельного решения
- Из пункта А в пункт В, расположенный выше по течению реки, вышла моторная лодка, собственная скорость которой в 5 раз больше скорости течения. Одновременно навстречу ей из пункта В отправился плот. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению реки. Какую часть пути от В до А пройдет плот к моменту возвращения лодки в пункт А?
- Из пункта А в пункт В, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта В вышла лодка, собственная скорость которой в 2 раза больше скорости течения. Встретив плот, лодка сразу повернула назад и пошла вниз по течению. Какую часть пути от А до В останется пройти плоту к моменту возвращения лодки в пункт В?
- При смешивании первого раствора соли, концентрация которого 40%, и второго раствора этой же соли, концентрация которого 48%, получился раствор с концентрацией 42%. В каком соотношении были взяты первый и второй растворы?
- Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй — 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
- На пост мэра города претендовало три кандидата: Андреев, Борисов, Васильев. Во время выборов за Васильева было отдано в 1,5 раза больше голосов, чем за Андреева, а за Борисова — в 4 раза больше, чем за Андреева и Васильева вместе. Сколько процентов избирателей проголосовало за победителя?
- Рыболов отправляется на лодке от пристани против течения реки с намерением вернуться назад через 5 ч. Перед возвращением он хочет побыть на берегу 2 ч. На какое наибольшее расстояние он может отплыть, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
- Моторная лодка отправилась по реке от одной пристани до другой и через 2,5 ч вернулась обратно, затратив на стоянку 15 мин. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки равна 18 км/ч, а расстояние между пристанями 20 км.
- Расстояние между двумя пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной пристани до другой и через 4 ч вернулась назад, затратив на стоянку 24 мин. Найдите собственную скорость моторной лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.
- Лодка может проплыть 15 км по течению реки и еще 6 км против течения за то же время, за какое плот может проплыть 5 км по этой реке. Найдите скорость течения реки, если известно, что собственная скорость лодки 8 км/ч,
- Катер проплывает 20 км против течения реки и еще 24 км по течению за то же время, за какое плот может проплыть по этой реке 9 км. Скорость катера в стоячей воде равна 15 км/ч. Найдите скорость течения реки.
- Клиент внес 3000 р. на два вклада, один из которых дает годовой доход, равный 8%, а другой — 10%. Через год на двух счетах у него было 3260 р. Какую сумму клиент внес на каждый вклад?