Интерактивные практические занятия по математике, отделение Лечебное дело, группы № 111, № 112, №113

.

Занятие №2

Тема: «Дифференциальное исчисление функции двух переменных»

1. Нахождение области определения и построение линий уровня функции нескольких (двух) переменных

2.Нахождение частных производных, дифференциалов; полных производной и дифференциала функции двух переменных

3. Нахождение градиента функции двух переменных в точке с заданными координатами

     Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание: студентам 1 подгруппы – Вариант №1, студентам 2 подгруппы - Вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

        Ранее мы рассматривали функции одной переменной. Однако, многим явлениям, в том числе и медицинского профиля, присуща многофакторная зависимость такая, что значению одной переменной соответствуют значения нескольких независимых переменных. 

Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x,y). Соответствие(f), которое каждой паре чисел(x,y) сопоставляет единственное значение переменной(z)  называется функцией двух переменных  z= f(x,y)

Основные характеристики функции нескольких переменных

1. Область определения функции двух переменных – это такие значения xi, i=1, 2, при которых существует (z) . Обозначение: D(z)
2. Область значения функции двух переменных – это такие значения (z), которые могут получаться при всех допустимых значениях (xi, i=1, 2). Обозначение: E( z)
3.  График функции двух переменных – это плоская ограниченная или неограниченная область типа R2.

Способы задания функций нескольких переменных:

1. Аналитический (с помощью формулы);
2. Графический (с помощью графика);
3. Табличный (с помощью таблицы);
4. Алгоритмический (с помощью алгоритма (алгоритм – упорядоченная последовательность действий)).

Для функции z= f(x,y)вводится понятие частной производной по переменной

 (x) и по переменной ( y). Обозначение:)- частная производная функции z= f(x,y) по x и  ( ) – частная производная функции z= f(x,y) по y.

Если функция z= f(x,y) имеет непрерывные частные производные ) и  ( )

в точке М (x,y), то она дифференцируема в этой точке и её

- полная производная выражается формулой вида   =  +

- полный дифференциал выражается формулой вида  dz =dx z+ dy z,

 где (dx z и dy z) – частные дифференциалы и

dx z =   - частный дифференциал функции z= f(x,y)  по x

dy z,=  – частный дифференциал функции z= f(x,y) по y

Производная по направлению. Градиент

Производной   по направлению l функции двух переменных z=f(x,y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения  при стремлении последней к нулю.

Производная характеризует скорость изменения функции в направлении  l.

Градиентом  функции z=f(x, y), называется вектор с координатами

( ). Производная по направлению есть скалярное произведение градиента  и единичного вектора, задающего направление l.

Градиент функции  в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Grad z()=

1. Функция двух переменных: нахождение области определения и  линий уровня.

ПРИМЕР 1.1.

Найти область определения  и область значения  функции   z =

Решение. По определению квадратного корня имеем:

Таким образом, D(z)- это круг в ДСК радиуса 2, с центром в точке О (0,0)

E(z)-это сегмент, ограниченный: 0 z  2

ПРИМЕР 1.2.

Найти область определения  и область значения  функции  z =

Решение. По смыслу  xy , как знаменатель.

Имеем:   x  или  y

Таким образом,

D(z)- это плоскость (xOy)  ДСК

за исключением координатных осей (Ox ) и ( Oy);

E(z)- часть пространства за исключением плоскости (XOY)

ПРИМЕР 1.3.

Выяснить, чем является график функции  z= ?

Решение.

Сечения поверхности  z=  =  (выделяем полный квадрат) плоскостями, параллельными ( OYZ) и ( OXZ) есть параболы

например, при x=0     z=

                   при y=0      z=  -1

В сечении поверхности координатной плоскостью (XOY), то есть плоскостью  

z= 0 получаем окружность типа

Имеем параболоид

ПРИМЕР 1.4.

Построить линии уровня функции z=

Решение.

Линия уровня z=C –это кривая на плоскости (XOY), задаваемая уравнением типа

, или  ( после выделения полного квадрата имеем:

 )

Точка функции z=-1 и достигающемуся в точке

Таким образом, линии уровня – это концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом  z=C; причём, расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра.

                                                          Y

                                                                                                            Z= 0,5

                                                           Z=0                                               Z=1

                                              Z=0

                                                                                                            Z= 0

                                                                                                   X

       Z=-1

2.Нахождение частных производных функции двух переменных.

ПРИМЕР 2.1.

Дано: а)  z = x lny +                             

           б)  z=                                       Найти: ,  

Решение

a)  = lny+ y = lny -    ( y=Const)

 =  = x+ =     (x= Const)

б) = y        ( y=Const)

    = =              (x= Const)

ПРИМЕР 2.2.

Поток пассажиров (z)  выражается функцией Z=, где x-число жителей, y- расстояние (S) между городами.

Найти: ,   и пояснить их смысл.

Решение.

 показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение  потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей,

    показывает, что при одной  и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.

3. Нахождение градиента функции двух переменных

Градиент функции z=f (x,y)- это вектор, координаты которого равны соответственно   частным производным  ,    в точке М(x,y).

Обозначение градиента:  grad z=  

ПРИМЕР 3.1.

Дано:   а) z =  +5y  в точке  M (-3; 1);    б) z = 4 sin ( x+y ) в точке  А (2; -2)

Найти: grad z

Решение

  а) ,   = 2= -6

       =5                        Имеем:  grad z =  

  б)    = 4(= 4cos ( x+y),

       = 4 cos (2-2 ) = 4 cos0 = 4

         =4(= 4cos ( x+y),

       = 4 cos (2-2 ) = 4 cos0 = 4          Имеем:  grad z =

Задания для самостоятельного решения

1. Найти область определения  и область значения  функции  z =

2. Дано: а)  z = x  +                               б)  z= 2+8x                         

      Найти: ,  

3. Дано:   а) z = 8x3+5y  в точке  M (-1; 1); б) z = 9cos( x2+y ) в точке  А (2; -2)

    Найти: grad z

Проверочная работа (ТЕСТ)

Вариант №1

1. Дано:   z =3x4  +2y2  -7xy + 9                            

  Найти:  

  а) 3x4  +4y;               б) 12x3 – 7y;                      в) 2y2  -7x + 9                            .

2. Дано:   z = 3x4  +2y2  -7xy + 9

  Найти: 

  а) 12x3 – 7xy;            б) 3x4  +4y2;                      в) 4y-7x.

3. Дано:   z = 3x4  -7xy + 9

  Найти: 

  а) 12x3 – 7y – 7x;      б) 2y2  -7x + 7y;                в) 3x4  +4y – 7x.

4. Дано:   z = 3x4  +2y2 

  Найти: dz

  а) 3x4dx  +4y2dy;      б) 12x3dx + 4ydy              в) 12x3dy + 4ydx.

5. Дано:    z = -4x2+9y3+6

Найти: grad z   в точке  M (-4; 1)

  а);               б) ;                         в) .

Вариант №2

1. Дано:   z =2x3y +5y2  -7x + 12                            

  Найти:

  а) 6x3 +10y;               б) 2x3 – 7x +12;                      в) 6x2y-7.                            

2. Дано:   z = 2x3y +5y2  -7x + 12                            

  Найти: 

  а) 2x3 + 10y;            б) 6x2y  +5y2 -7;                      в) 4y-7x.

3. Дано:   z = 2x3y -7x

  Найти: 

  а) 12x3 – 7y – 7x;      б) 6x2y  -7 + 2x3;                в) 3x4  +4y – 7x.

4. Дано:   z = 2x3y +5y2 

  Найти: dz

  а) 3x4dx  +4y2dy;      б) 6x2ydx + 10ydy              в) 12x3dy + 4ydx.

5. Дано:   а) z = 3x3+5y4-13

Найти: grad z    в точке  M (-1; 2)

а);               б) ;                         в) .

Занятие №3

Тема: «Неопределённый интеграл»

1. Нахождение первообразных элементарных функций

2.Нахождение неопределённых интегралов табличным способом

3. Нахождение неопределённых интегралов методом разложения

4. Нахождение неопределённых интегралов методом замены переменных

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание: студентам 1 подгруппы – Вариант №1, студентам 2 подгруппы - Вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Первообразной функции для функции y=f(x) называется такая функция F(x), что имеет место равенство      F′(x) = f(x).

Неопределенный интеграл функции y=f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x).

Обозначается символом

∫f(x)dx=F(x)+C,

где ∫ – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование); f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; C – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; x – переменная интегрирования.

Интегрирование – это отыскание первообразной функции  по ее производной;

это -  действие, обратное дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2. ∫ df (x) = f(x) + C.

3. ∫Cf(x) dx = C ∫ f(x) dx – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. ∫ (f(x)  g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx – интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.

Основные способы интегрирования

1. Табличный;                                         2. Метод разложения;

3. Метод замены переменной;               4. Интегрирование по частям.

Таблица интегрирования основных элементарных функций:

1.  Нахождение первообразных элементарных  функций

ПРИМЕР 1.1.

Дано: а)  f(x)= cosx,   б)  g(x)=  3x2                                       Найти: F(x), G(x)

Решение:

а) F(x)= sinx,  так как (sinx)/  = cosx

б) G(x)= x3 ,так как (x3)/ = 3x2  

2. Нахождение неопределённых интегралов табличным методом.

ПРИМЕР 2.1. Найти неопределенный интеграл:    

Решение. Согласно свойствам интеграла представляем его в виде суммы интегралов, вынося постоянный множитель за знак интеграла, после чего используем табличные интегралы:

ПРИМЕР 2.2. Найти неопределенный интеграл:

 = dx =  +C = - +C

ПРИМЕР 2.3. Найти неопределенный интеграл:

dx = dx =  + C =  + C = .

ПРИМЕР 2.4. Найти неопределенный интеграл:

= dx =  +C = 2+C

3. Нахождение неопределённых интегралов методом разложения.

ПРИМЕР 3.1. Найти неопределенный интеграл:

 dx=  =  =

=8x +24+6-  +C.

ПРИМЕР 3.2. Найти неопределенный интеграл:

dx =dx =  

=  + - -8x +C.

ПРИМЕР 3.3. Найти неопределенный интеграл:

dx =  =  = x-cosx +C

ПРИМЕР 3.4. Найти неопределенный интеграл:

 dx = dx = dx =  =  =  -4 dx = x- 4  = x-2arctg  +C

4. Нахождение неопределённых  интегралов методом  подстановки

ПРИМЕР 4.1. Найти

Решение. Введем новую переменную  тогда  Подставим эти значения в интеграл.

Сделаем обратную замену

В этом примере был применен первый вариант замены.

ПРИМЕР 4.2. Найти

Решение. Обозначим новую переменную:  Отсюда . Тогда исходный интеграл можно записать:        

Сделаем замену переменной:    

5. Нахождение неопределённых  интегралов методом  интегрирования по частям

ПРИМЕР 5.1. Найти

Решение. , тогда ;

Отсюда

ПРИМЕР 5.2. Найти .

 Решение, , тогда

Отсюда

В интегралах вида:

 за и принимается

ПРИМЕР 5.3. Найти

Решение. В данном примере обозначим:

Применив формулу, найдем:

Тогда:

Проверочная работа

Занятие №4

Тема: «Определённый интеграл и его приложение»

1. Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница

    табличным способом с использованием основных свойств  

2. Вычисление площади криволинейной трапеции

3. Вычисление длины дуги плоской  кривой

4. Вычисление объёма тела вращения

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант; выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b].

Интегральная сумма S = ) ∆, где  - произвольная точка существующего отрезка.

Определенный интеграл обозначается:

lim)∆,

                                                             ∆x→0

где f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

Теорема. Если f(x)- первообразная функция для непрерывной функции y = f(x), т.е. F′(x) = f(x), то имеет место формула:

 = F(b) – F(a).

Это-формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так:

Определённый интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(x) при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Можно отметить разницу между определенным и неопределенным интегралами: определенный – это число, а неопределенный интеграл – это функция.

Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

)dx.

1. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:  = 0.                                                       
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 = (свойство аддитивности).

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функция f(x)≥0 всегда на отрезке [a, b], то  
6. Если f(x)≤g(x) всюду на отрезке [a, b], то   )dx.                       

Геометрическая интерпретация определенного интеграла.

     Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна.

Геометрический смысл заключается в вычислении площади  криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция – плоская фигура Декартовой системы координат, ограниченная: сверху -  графиком непрерывной функции y=f(x), снизу -  [a;b] Є (ox) , слева -  отрезком вертикальной прямой x=a , справа -      отрезком вертикальной прямой x=b.

Классическая криволинейная трапеция 

Вычисление длины дуги плоской кривой

Если кривая y=f(x)на отрезке [a;b] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле:

L=

Вычисление объёма тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной кривой y=f(x) и прямыми типа  x=a и x=b, вращается вокруг оси ( Оx), то объём вращения вычисляется по формуле:

V =

1.Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона-Лейбница.

ПРИМЕР 1.1. Найти

Решение. Найдем неопределенный интеграл, полагая С = 0.

Находим приращение первообразной:   

ПРИМЕР 1.2. Найти Решение: 

ПРИМЕР 1.3. Найти Решение.

2.Вычисление определённых интегралов различными методами.

Метод разложения

ПРИМЕР 2.1.

dx =  =  =

=   = (0 – cos 0) – () =( 0-1) – ( ) = -1 – ( ) =

=  -1-    = -2-                            

Метод замены переменной

ПРИМЕР 2.2.         

Вычислить  =A

Решение.

1) Пусть  t = 8-x, тогда dx = - dt

2) Найдём новые пределы интегрирования:

 при а= 0   ,              при  b= 7  

Имеем: А =   = - = dt = =  =  -= 3

ПРИМЕР 2.3. Найти

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную , тогда  При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен , нижний — . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:

3. Виды криволинейных трапеций и формулы расчёта их площадей.

ПРИМЕР 3.1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью 0х на участке

Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:

где — площадь при — площадь при

ПРИМЕР 3.2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х2, осью 0х и прямыми х = 0, х = 2.

Решение. Построим графики функций у = х2 и х = 2.

Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f(x) > 0, то

4. Вычисление длины дуги плоской кривой.

ПРИМЕР 4.1. Найти длину дуги кривой у2 = х3 на отрезке [0, 1] (у>0).

Решение. Уравнение кривой , тогда

Сделав замену  получим:        

Вернемся к первоначальной переменной:

5. Вычисление объёма тела вращения.

ПРИМЕР 5.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0.x полуволной синусоиды у = sin х, при 

Решение. Согласно формуле имеем:

Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования:  Тогда

ПРИМЕР 5.2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры, ограниченной функцией  и линиями x=2, х=4.

Решение. Фигура, объем которой надо найти, изображена на рисунке. Её объем равен:

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислить определённые интегралы

а)           б)       в)        г)  

2. Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону J = 20(мА). Длительность импульса равна 0,1е. Определить заряд, протекающий через тело животного.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y1 = x3 и y2 = 4x.

Изобразить эту площадь графически.

Проверочная работа

Вариант №1

1. Вычислить определённый  интеграл

а) ;    б) 0,5;    в) 0.

 2.  Вычислить определённый  интеграл

а) 3;    б) 2,5;    в) 6.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y=2x, x=2, x=3 и осью Ox.

а) 2();     б) 12 (ед2);      в) 5().

Вариант№2

1. Вычислить определённый  интеграл

а) 7;    б) 0,5;    в) 9.

2.

а) 3 - 3;    б) 3-3;    в) 3.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

y =x2, x=1, x=2 и осью Ox.

а) 4 ();     б) 2 (ед2);      в) 2 ().

Занятие №5

Тема: «Дифференциальные уравнения»

1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными и разделяющимися  переменными

2.Однородные функции к-того измерения; установление факта однородности функции

3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка

4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка

5.Решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и  вариант;  выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции:

F ( x,y, y/ , y// , …, y(n)) =0   (1)

Например,   2x+y -3y/ =0,         y/2  -4 = 0,          siny/  = cosxy,  y// = 2x

Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.

Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид

y/  = f1 (x) f2 (y).         (1)

Функция g (x, y) называется однородной функцией k-го измерения (k-й степени), если при любом  t (кроме, быть может, t=0) имеет место тождество

                                        g (tx, ty ) = tkg (x, y).                                (1)

Например, g (x, y)= 2x3-5xy2 – однородная функция третьего измерения, так как

g(tx, ty) = 2 (tx)3 – 5tx (ty)2 = t3 (2x3-5xy2)=t3g (x, y).

Дифференциальное уравнение первого порядка y` = f (x, y) называется однородным, если f (x, y) – однородная функция нулевого измерения.

Его можно представить в виде

        P (x, y) dx +Q (x, y) dy=0                       (2)

где P (x, y) и Q (x, y) –однородные функции одинакового измерения.

Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой

        y=zx,                (3)

где z=z(x) – новая известная функция.

Дифференциальное уравнение первого порядка y`=f (x, y) называется линейным, если имеет следующий вид:

y`+ P (x) y = Q(x),

где P(x) и  Q(x) – заданные функции от x.

Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка (1) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки   y=uv,                (2)

где u и v – неизвестные функции от x. Из (2) находим

        = =  +   .                                                                     (3)

Подставив значения y и y` в уравнении (1), получаем

u+v+P(x) uv=Q(x),  или     u+v+P(x) u)=Q(x).                  (4)

Так как искомая функция y подстановкой (2) представлена в виде произведения двух функций u и v, то одному из них, например u, мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u=0.

Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде записывается так:

F(x, y, y/ ,y//) = 0,

или, если это возможно, в разрешённом относительно y// виде: y// = f(x,y, y/) .

Решение задач

1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными переменными.

ПРИМЕР 1.1.

Найти общее решение дифференциального уравнения  2ydy = (1-3x2)dx

Решение.

2= dx

2= x-  +C

 +C

y =+C

ПРИМЕР 1.2.

Найти частное решение дифференциального уравнения 2ydy = (1-3x2)dx

в точке (1;3)

Решение

 +C – общий интеграл.

Подставив начальные условия y0 =3 и x0 = 1 в общий интеграл, найдём С:

32  =1 – 13 +С

С =9,  тогда y2 = x –x3 +9 – частное решение

Или  y2 - x +x3 -9 =0

2. Решение  дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.

ПРИМЕР 2.1. Найти  общее решение уравнения:

Решение. Данное уравнение разделим на множители, зависящие только от одной переменной:

Проинтегрируем левую и правую часть уравнения:

получим: arctg у =

Общее решение будет иметь вид

ПРИМЕР 2.2. Найти общее и частное решение уравнения , при

Решение. ; проинтегрируем обе части уравнения:  

Отсюда:

Потенцируя, получим  общее решение уравнения.

Подставим начальные условия найдем С.

Тогда частное решение у = 2(х + 2).

ПРИМЕР 2.3. Найти частное решение уравнения:  при

Решение. Проведем разделение переменных и проинтегрируем правую и левую части   . Введем новую переменную , тогда .

Тогда:

. Потенцируя, получим C(y3 +1) = ex. Подставим начальные условия

 Тогда .

ПРИМЕР 2.4. Найти общее решение уравнения:  .

Решение. Согласно формуле найдем

тогда 

3. Решение  однородных дифференциальных уравнений первого порядка.

Функция g(x;y) называется однородной функцией к-того измерения, если при любом t ( кроме, быть может, нуля)  имеет место тождество типа: g (tx; ty) = tk g( x;y)

ПРИМЕР 3.1.

Исследовать функцию на однородность

а) g(x;y) = 2x3 -5xy2 ;      б) f( x;y) = 2x +;    в) h( x;y)=  

Решение

а) g(x;y) = 2x3 -5xy2  однородная функция третьего порядка, т. к.

g(tx;ty) = 2(tx)3 -5tx(ty)2 = 2t3 x3  - 5tx t2 y2 =2t3 x3  - 5 t3 xy2  = t3 (2x3 -5xy2  ) =  t3  g(x;y)

б) f( x;y) = 2x + -однородная функция первого порядка, т. к.

f( tx;ty) = 2tx += 2tx+= 2tx+=

= 2tx+t= t (2x + ) = t1 f( x;y).

в)h( x;y)   =    - однородная функция нулевого порядка, т.к.

   h(t x;ty) =   =    =   =

ПРИМЕР 3.2.

Найти общий интеграл    

Решение.

                                                                       Шаг №1

Q(x;y) =

P(x;y) =

Проверим, являются ли эти функции однородными одного порядка

Q(tx;ty) = =  =

Имеем: функция Q(x;y)  однородная второго прядка

P(tx;ty) =  = 2

Имеем: функция P(x;y)  однородная второго прядка

                                                                         Шаг №2

Выполним замену переменной типа y=zx, где dy = zdx + xdz

Имеем: ( x2 – 2z2 x2 )dx +2xzx ( zdx+xdz)=0

x2 dx – 2z2 x2 dx+2z2 x2 dx +2zx3 dz =0 / разделим на x20

имеем:

dx +2zxdz =0 –это уравнение с разделяющимися переменными.

Так, как x0?, то разделим переменные на (x)

Имеем: 2zdz+ ( dx/x) =0

()  ( 2)

 ( x=C )

Но, так как  y=zx, то  z=    и  x= C  – общий интеграл

4. Решение  линейных дифференциальных уравнений первого порядка.

ПРИМЕР 4.1. Найти общее решение уравнения:  

Решение. Обозначим р(х) = х, q(x) = х . Тогда:

ПРИМЕР 4.2. Найти частное решение уравнения:

при х=1, у=1

Решение. Обозначим

Учитывая, что

Подставим начальные условия . Тогда частное решение имеет вид у = х2.

5. Решение простейших дифференциальных уравнение второго порядка.

ПРИМЕР 5.1.

Найти общее решение дифференциального уравнения  y// = cos2x

Решение.

Пусть y/ =p(x), тогда y// = p/  и p/ =cos2x  или  

1)  = cos2x  ;    dp = cos2x dx;     ;     p= sin2x +

Так как  p=, то  =sin2x +C1  или (    = sin2x +C1) 

 ( )+ C1 )

Имеем:  общий интеграл.

Проверочная работа

Вариант№1

1. Проверить, является ли  функция  (y = 2x2 +3x -5) решением дифференциального уравнения 2x - y = 6x2+3x  а) да;  б) нет
2. Определить вид дифференциального уравнения (ДУ) и найти его общее решение

 y

а) ДУ с разделёнными переменными; Ln= Ln+C;

б) ДУ с разделяющимися переменными;  Ln= Ln+C;

в) ДУ с разделяющимися переменными;  Ln= Ln+3;

3. Найти частное решение дифференциального  уравнения  

x2 dx +dy = 0,    если y=1 при x =0

а) x=2y+C;                  б) y = x2 -4;                      в) y = +1.

Вариант №2

1. Проверить, является ли функция  (y = x3 + x +С)  корнем дифференциального уравнения xy = 2         а) да;    б) нет
2. Определить вид дифференциального уравнения и найти его общее решение

 x2

а) ДУ с разделёнными переменными; y = ;

б) ДУ с разделяющимися переменными;  x = 2+C;

в) ДУ с разделёнными переменными; y = +C

3. Найти частное решение дифференциального уравнения

 ydy = 2x dx ,   если y= -1 при x =0

а) y = ;                  б) y = ;                      в) x = 2 +1.

Занятие №6

Тема: «Последовательности, пределы, ряды»

1. Нахождение первых n-членов числовой последовательности и задание общего члена последовательности формулой общего члена

2. Исследование числовых последовательностей на ограниченность

3. Вычисление пределов функции при  x 

4. Вычисление пределов функции при x   

5. Исследование числовых рядов с положительными членами на сходимость

4. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1 ; студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

       Числовая последовательность - это бесконечное множество чисел.

Например, последовательность приближенных значений :

Числовая последовательность – это множество вещественных чисел типа   …,, …

в случае, если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …n, …(n  поставлено в соответствие вещественное число элементы (члены) последовательности - ,…

Общий элемент последовательности  обозначается символом , где число n –его  номер.

Символ {} – это сокращенное обозначения последовательности .

Сходящая последовательность – это множество точек числовой прямой, если  =a.

Расходящаяся последовательность –это последовательность , не  имеющая предела, а так же имеющая своим пределом  +

        окрестность точки a –это множество точек числовой прямой, если  .

         Это означает, что при  n все элементы последовательности } находятся в – окрестности точки a.

Пусть функция  определена на некотором промежутке Х и пусть точка или . Составим из множества Х последовательность точек: ,,…,,…, сходящихся к .Значения функции в этих точках также образуют последовательность:

 •Число A называется пределом функции  в точке, если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Это записывают так:.

Основные теоремы о пределах функций

1.Если - постоянная величина, то .

2.Если - постоянная величина, то .

Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Пусть функции  имеют в точке  пределы :

                                , тогда

3.Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:

 4.Предел произведения равен произведению пределов:

5.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

♦Например:

Предел многочлена  равен…

Варианты ответов: а)11;  б)49;   в)0;   г)57.

                                                           Решение

Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной подставить значение , к которому оно стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.

 Числовым рядом называется выражение  вида

=

Числа  ( a1 , a2 , …, an ) называют членами числового ряда,

 а ( an) – общим членом ряда

Ряд Маклорена

Предположим, что функция, определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

=++++…++… .

Выразим коэффициенты ряда через. Найдем n производные функции , почленно дифференцируем ряд n раз:

=+2x+3+4+…+n+…

=2x+32x+43+…+ n+…

= 3+43x+…+n+…

= n32+… .

Полагая в полученных равенствах x=0, получим

=, =, =21=2!, =32=3!,… ,

=n!, откуда

, =, , =, …, =.

Подставляя значения коэффициентов , ,  , … , , получим ряд =+x+++…++…,

называемый рядом Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

1) y=

Имеем ==…==;

===…===1

=1+x+++…++… .

Область сходимости ряда

2) y=.

Имеем , =, =-,=-,

=, откуда  =0; =1; =0; =-1,

=0 и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка =0, а нечетного порядка =, i=1, 2, …

=x-++…++…

Область сходимости ряда

3) y=.

Рассматривая аналогично, получим

=1-+-…++… .

Область сходимости ряда

4) y=, где m- любое действительное число.

Имеем =,  =m, =m,

 =m,..., = m

.

При x=0 =1 , =m, =m, =m,… ,

= m…. По формуле (14.6).

=mx +++…++… (*)

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при x1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m) .

Ряд (*) называется биномиальным. Если m- целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю , т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5) y=1n.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

=1-x+-+…++…

Со знаменателем q=-x, который сходится при , т.е. при -1x1, к функции  ==.

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; x), где  , с учетом того  что =ln=ln (1+x), получим 

ln (1+x) =x-+--…++… .      

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;.

1. Числовые последовательности

ПРИМЕР 1.1.

№1.1. Дана формула общего члена последовательности  = . Написать пять первых членов этой последовательности.

Решение.

Полагая последовательно n = 1,2,3,4,5 в общем элементе , получаем  

=1/2; = 2/3; = ¾; = 4/5;  = 5/6.

ПРИМЕР №1.2. Написать пять первых членов  каждой из последовательностей, заданных формулой их общих членов:

1)  =        2) =      3) =      4) = 

Решение.

1) при n=1 имеем  =  = 1/3;  при n=2 имеем  =  =1/5;

    при n= 3 имеем  =  =1/7;  при n=4  имеем  =  =1/9;

    при n=5 имеем  =  =1/11;

ПРИМЕР 1.3.

Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего члена последовательности:

1) 1; ; ;; . . .    Ответ:  = ;

2) 1; ;  ;  ;  ; . . .    Ответ: =    .

ПРИМЕР 1.4.

Написать пять первых элементов и формулу общего члена элемента каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными соотношениями:

1)  =1,                       2)   =1,

Решение.

 =  = 1  =1;    =      =  1   =1;    имеем   =1   =1.

 = 1+3=5;  = 5+3= 8;  8+3=11;  = 11+3=14.

Исследовать на ограниченность последовательности:

1) 1, 2,3, 4, . . ., n, . . .;                                   2) -1, -2, -3,  . . . , -n, . . .;  

3) 1, ½, 1/3,  …, 1/n, ….;                               4) -1, 2, -3,  4, -5, . . . , n, . . .;  

Решение.

1) эта последовательность ограничена снизу ( m=1), но не ограничена сверху;

2) эта последовательность ограничена   сверху (M =-1), но не ограничена снизу;

3) эта последовательность ограничена  и снизу и сверху, так как 0   1 и m=0, M =1;

4) эта последовательность  неограниченная, так как для любого числа А  существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству типа | | A ( то есть либо A, либо A)

2. Предел функции одной переменной

2.1. Вычисление пределов функции при  x

2.2. Вычисление пределов функции при x

 ПРИМЕР 2.1. Найти

Решение.  Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:

 ПРИМЕР 2.2. Найти

Решение Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:

Определение Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

Функция f(x) может принимать бесконечно малое значение, если при , её числитель будет приближаться к нулю, или знаменатель стремиться к бесконечности.

ПРИМЕР 2.3. Найти

Решение 

ПРИМЕР 2.4. Найти

Решение 

Иногда встречаются ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида. Для нахождения таких пределов необходимо числитель и знаменатель разложить на множители.

ПРИМЕР 2.5. Найти

Решение. При подстановке х= -2, получаем:

Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель дроби:

Если при вычислении пределов возникает неопределенность вида , то в этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на х с наибольшим показателем степени.

ПРИМЕР 2.6. Найти

Решение. При подстановке х = 2 получаем:

Разделим числитель и знаменатель на х2:

3. Исследование числовых рядов с положительными членами  на сходимость.

ПРИМЕР 3.1.

а) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится.

Имеем:    следовательно, исходный ряд расходится

б) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения

1+ + … + … =  

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , имеем:  

Следовательно, данный ряд расходится.

ПРИМЕР 3.2.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Даламбера

+ + … + … =

Решение

 =  =   = ,    

Следовательно, данный ряд сходится.

ПРИМЕР 3.3.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Коши.

 =

Решение

 =  =  =   1

  Следовательно, данный ряд сходится.

ПРИМЕР 3.4.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя   интегральный признак

  = 1+  - гармонический ряд

Решение.

Рассмотрим функцию f(x) = , x которая

 а) непрерывна,     б) монотонно убывает и f(n) = 

Следовательно, условия интегрального признака выполнены.

Имеем:

Следовательно, несобственный интеграл  расходится.

Следовательно, расходится  гармонический числовой ряд  

ПРИМЕР 3.5.

Показать, что ряд     сходится.

Решение     Составим частичную сумму  первых  n членов ряда

=  

  =  +, отсюда   =

 в числителях обоих частей равенства, получаем A +B = 0, A =1, откуда A=1, B= -1, поэтому   =  - .

 принимают вид:

 = 1 - ;        = ;   = ;   . . . ;     = - .

Поэтому  =  (1 - ) + () + () + . . . + ( - ).

Приводя подобные члены, получаем  = 1 - .

Переходя к пределу, находим

 =  = 1-  =1-0 =1/

Таким образом, ряд сходится к числу 1.

ПРИМЕР  3.6.

Докажите, что гармонический ряд   расходится.

Решение.

Так, как   = =0, то для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено.

Докажем, что этот ряд расходится: действительно, если бы этот ряд сходился, то ( обозначив его сумму через S ) мы бы имели

 = 

Но
   =  n =, то есть

Из чего следует, что равенство  невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Таким образом, условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

1. Формула Тейлора:

f(x) =  f(x0) +  +  . . . +  +

где f(x) - (x) – остаточный член формулы Тейлора

2. Формула Маклорена:

f(x) =  f(0) +  +  . . . +  + ,

где t-промежуточная точка между 0 и x , причём  (t и x) –одного знака и

| t|

ПРИМЕР 4.1.

Разложить функцию  y=  ex  в ряд Маклорена

Решение           1) f/ (x) = ex, f// (x) = . . . = f(n) (x) = ex, …

                            2) f(0) =f/ (0) = f// (0) = . . . = f(n) (0) == e0 =1, …

3) ex + + … +  + …;      R =  = =

=

Следовательно, ряд сходится в интервале (- +)

4) Для всех (x) таких, что  x имеем | | = ex  = M,

То есть все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М =,

следовательно,(x) = 0 и

ex + + … +  + …      - разложение функции  y= ex в ряд Маклорена.

ПРИМЕР 4.2.

Разложить функцию  y=sinx    в ряд Маклорена

Решение 1) f/ (x) = cosx, f// (x) = -sinx , f// /(x) = -cosx,   f(n) (x) = sin (x + n), …

2) f(0) = sin0 = 0, f/ (0) =cos0 = 1,  f// (0) = - sin 0 = 0, f(n) (0) = , …

3)  sinx 

  Легко проверить, что полученный числовой ряд сходится на всей числовой оси, то есть при всех x

4) Любая производная функции y=sinx по модулю не превосходит единицы,

| | = | sin(x + n)|.

Следовательно, имеет место разложение типа sinx =  

Задачи для самостоятельного решения

Вариант №1

Вычислить пределы функций

1. ;            а) 1,7;  б) 0;     в) 2.
2. ;           а) 0;     б) ;     в).
3.  ;    а) 0;     б) 0,3;  в).
4. ;            а) ;      б) 0;     в).
5. ;    а) ;      б) 0;     в).
6. ;           а);     б) 0,3;   в) 0

Вариант №2

Вычислить пределы функций

1); а) 1,7;   б) 0;       в) 2.  

2);                         а) 0;      б)0,1;     в).

3);                     а) 1,2;       б) 0,3;    в).

4);                  а) ;         б) 0;       в) .

5)  ;                    а) 0;            б) -  ;      в).

6) ;                 а) ;            б) ;           в).

Занятие №1

Тема: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

План

1. Функция одной переменной и её основные  характеристики: нахождение области определения и области значения

2.Вычисление производной функции одной переменной

3. Вычисление дифференциала функции одной переменной

4. Применение дифференциала функции одной  переменной к элементарным приближённым вычислениям

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание для самостоятельного решения: студентам 1 подгруппы –Вариант №1, студентам 2 подгруппы- Вариант №2). Выслать на электронную почту преподавателя.

Понятие «функция»  появилось на рубеже 17-19 веков нашей эры на третьем этапе развития математики – этапе математики переменных величин и нашло свое воплощение и применение в теории Ньютона и  Лейбница (теория дифференциального и интегрального исчисления).

Функция типа  – это такая зависимость y от x, при которой каждому значению x (аргумент) соответствует единственное значение y (функция).

Основные характеристики функции: область определения, область значения E(y), график функции.

Область определения функции одной переменной D(y) - это такие значения независимой переменной х, при которых существует зависимая переменная y.

Область значения функции одной переменной E(y) - это такие значения зависимой переменной y, которые могут получаться при всех допустимых значениях независимой переменной x.

График функции – множество точек Декартовой системы координат на плоскости, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Производная функции(x) представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.

(x) =

Свойства производной функции одной переменной

Пусть функции u и v определены и непрерывны на некотором промежутке J и С – константа, тогда

=0       =C                  =

=                              ( =, v

Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием

Дифференциал функции – это произведение производной функции на приращение аргумента:                       dy =(x)    dx,    

Свойства дифференциала функции одной переменной

Пусть u=u(x) и (x)- некоторые дифференцируемые функции, С – вещественное число, тогда

dC=0,     d(u)= du    d(C)= Cdu,     d () =, v

d(u)= vdu               df(u)=, где u=

Нахождение  области определения и области значения   функции одной переменной

ПРИМЕР 1.1.  Дано: у = х2           Найти: D(y), E(y)

Решение. Независимая переменная х может принимать все действительные значения, т.е.  При этом у изменяется в пределах

ПРИМЕР 1.2.  Дано:     Найти: D(y), E(y)

Решение. Подкоренное выражение должно быть: . Следовательно, , тогда . Область определения: . При этих значениях у изменяется в пределах .

ПРИМЕР 1.3. Дано:   Найти: D(y), E(y)

Решение. В данном случае необходимо, чтобы подкоренное выражение было больше нуля, так как на нуль делить нельзя.

Область определения функции:

Область значений:

ПРИМЕР 1.4.   Дано: Найти: D(y), E(y)

Решение. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля, кроме того , т.е.

Отсюда   Область определения функции: .

Область значений:

Вычисление  производной  функции одной переменной

ПРИМЕР 2.1. Пусть численность популяции бактерий описывается функцией , где t — время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и её значение через 5 часов.

Решение. Скорость роста популяции бактерий представляет производную от функции

Таким образом, скорость роста популяции прямо пропорциональна времени и через 5 часов будет равна 1000 особей в час.

Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х0, называют дифференцируемой в этой точке.

ПРИМЕР 2.2. Найти производную функции у = х2 + sin х.

Решение.

Производная произведения двух функций равна сумме произведений второй функции, умноженной на производную первой, и первой функции — на производную второй:

ПРИМЕР 2.3. Найти производную функции

Решение

Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель — квадрат знаменателя:

ПРИМЕР 2.4. Найти производную функции:  Решение

Производная от сложной функции у = f(u), где , равна произведению производной функции у = f(u) по промежуточной переменной и (обозначается  ) на производную функции  по переменной х (обозначается ):

ПРИМЕР 2.5. Найти производную функции

Решение. Обозначим , тогда

Производная функции , которая является обратной функцией у = f(x), равна обратной величине производной данной функции, если эта производная не равна нулю.

ПРИМЕР 2.6. Дана функция . Найти производную обратной функции.

Решение.

Вычисление  дифференциала функции одной переменной

ПРИМЕР 3.1. Найти дифференциал функции: у = 2х + 3.

Решение. Находим производную функции и умножаем

на дифференциал аргумент:

ПРИМЕР 3.2. Найти дифференциал функции: y = 3x sinx + 4.

Решение.

ПРИМЕР 3.3. Найти дифференциал функции:  в точке х = 1.

Решение. 

В точке , тогда  или .

ПРИМЕР 3.4. Найти приближенное значение функции: у = 5х3 + 2 в точке х = 2,02.

Решение. Зададим х = 2 и . Согласно формуле найдем:

Тогда приближенное значение функции равно:

Найдем точное значение функции:

Абсолютная погрешность вычисления равна:

Относительная погрешность равна:

Как видно из этого примера, точность вычисления достаточно велика.

Применение дифференциала функции одной  переменной к приближённым вычислениям.

Основные формулы при :

 f( x+)- f(x)(x)                                   

tg (x +  )   tgx +                                                  +n           

ПРИМЕР 4.1.    Вычислить приближённое значение  

Решение  (x) == ,

   =  + . 0,07 = 1+0,035 = 1,035

 ПРИМЕР 4.2. Вычислить приближённое значение  

 =  =2*1,01 = 2,02

 ПРИМЕР 4.3. Вычислить приближённое значение tg 460  

По формуле:  tg (x + )   tgx +                        

Пусть  f(x)= tg x, тогда (x)=    

 Имеем: tg 460  = tg(460+10 )   tg 450+       =1+     = 1+ 0,0349   1,035   

    = 

Справка

• Существуют формулы, часто используемые на практике при  :

 ;            =1;                     

ПРИМЕР 4.4. Вычислить приближённое значение   1,00055

По формуле   имеем:

1,00055  = (1+ 0,0005)5  150,0005 = 1 +0,0025 = 1, 0025

ПРИМЕР 4.5. Вычислить приближённое значение   

 По формуле  имеем:  
Задание для самостоятельного решения

Вариант №1

1. Найти область определения функции  y =2x3

а) R; б) (-); в) [2;+.

2. Найти  область значения функции  y =2x3

а) (-); б) R; в) [2;+.

3. Найти  производную  функции  y =2x3

а) 2x6; б) 3x2; в) 6 x2.

4. Найти дифференциал функции  y =2x3

а) 6 x2dx; б) 2x6 dx; в) 2x3 dx.

Вариант №2

1. Найти область определения функции  y =3x2

а) (-); б) R; в) [(-.

2. Найти  область значения функции  y =3

а) [(-; б) (-);  в) [0;+.

3. Найти  производную  функции  y =3

а) 6x; б) 6 x2; в) 2x3.

4. Найти дифференциал функции  y=3  

а) 3 ; б) 6xdx; в) 2x6 dx.