Интерактивные практические занятия по математике, отделение Лечебное дело, группы № 111, № 112, №113
Практикум по математике и контрольные задания
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 72.6 КБ |
![]() | 746.44 КБ |
![]() | 205.58 КБ |
![]() | 128.15 КБ |
![]() | 133.42 КБ |
![]() | 226.57 КБ |
![]() | 149.18 КБ |
![]() | 174.17 КБ |
![]() | 38.73 КБ |
![]() | 61.24 КБ |
![]() | 219.26 КБ |
![]() | 141.72 КБ |
![]() | 158.97 КБ |
![]() | 127.56 КБ |
![]() | 277.73 КБ |
Предварительный просмотр:
.
Занятие №2
Тема: «Дифференциальное исчисление функции двух переменных»
1. Нахождение области определения и построение линий уровня функции нескольких (двух) переменных
2.Нахождение частных производных, дифференциалов; полных производной и дифференциала функции двух переменных
3. Нахождение градиента функции двух переменных в точке с заданными координатами
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание: студентам 1 подгруппы – Вариант №1, студентам 2 подгруппы - Вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Ранее мы рассматривали функции одной переменной. Однако, многим явлениям, в том числе и медицинского профиля, присуща многофакторная зависимость такая, что значению одной переменной соответствуют значения нескольких независимых переменных.
Пусть задано множество D упорядоченных пар чисел (x,y). Соответствие(f), которое каждой паре чисел(x,y) сопоставляет единственное значение переменной(z) называется функцией двух переменных z= f(x,y)
Основные характеристики функции нескольких переменных
- Область определения функции двух переменных – это такие значения xi, i=1, 2, при которых существует (z) . Обозначение: D(z)
- Область значения функции двух переменных – это такие значения (z), которые могут получаться при всех допустимых значениях (xi, i=1, 2). Обозначение: E( z)
- График функции двух переменных – это плоская ограниченная или неограниченная область типа R2.
Способы задания функций нескольких переменных:
- Аналитический (с помощью формулы);
- Графический (с помощью графика);
- Табличный (с помощью таблицы);
- Алгоритмический (с помощью алгоритма (алгоритм – упорядоченная последовательность действий)).
Для функции z= f(x,y)вводится понятие частной производной по переменной
(x) и по переменной ( y). Обозначение:)- частная производная функции z= f(x,y) по x и (
) – частная производная функции z= f(x,y) по y.
Если функция z= f(x,y) имеет непрерывные частные производные ) и (
)
в точке М (x,y), то она дифференцируема в этой точке и её
- полная производная выражается формулой вида =
+
- полный дифференциал выражается формулой вида dz =dx z+ dy z,
где (dx z и dy z) – частные дифференциалы и
dx z = - частный дифференциал функции z= f(x,y) по x
dy z,= – частный дифференциал функции z= f(x,y) по y
Производная по направлению. Градиент
Производной по направлению l функции двух переменных z=f(x,y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения
при стремлении последней к нулю.
Производная характеризует скорость изменения функции в направлении l.
Градиентом функции z=f(x, y), называется вектор с координатами
( ). Производная по направлению есть скалярное произведение градиента
и единичного вектора, задающего направление l.
Градиент функции в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.
Grad z()=
1. Функция двух переменных: нахождение области определения и линий уровня.
ПРИМЕР 1.1.
Найти область определения и область значения функции z =
Решение. По определению квадратного корня имеем:
Таким образом, D(z)- это круг в ДСК радиуса 2, с центром в точке О (0,0)
E(z)-это сегмент, ограниченный: 0 z
2
ПРИМЕР 1.2.
Найти область определения и область значения функции z =
Решение. По смыслу xy , как знаменатель.
Имеем: x или y
Таким образом,
D(z)- это плоскость (xOy) ДСК
за исключением координатных осей (Ox ) и ( Oy);
E(z)- часть пространства за исключением плоскости (XOY)
ПРИМЕР 1.3.
Выяснить, чем является график функции z= ?
Решение.
Сечения поверхности z= =
(выделяем полный квадрат) плоскостями, параллельными ( OYZ) и ( OXZ) есть параболы
например, при x=0 z=
при y=0 z= -1
В сечении поверхности координатной плоскостью (XOY), то есть плоскостью
z= 0 получаем окружность типа
Имеем параболоид
ПРИМЕР 1.4.
Построить линии уровня функции z=
Решение.
Линия уровня z=C –это кривая на плоскости (XOY), задаваемая уравнением типа
, или ( после выделения полного квадрата имеем:
)
Точка функции z=-1 и достигающемуся в точке
Таким образом, линии уровня – это концентрические окружности, радиус которых увеличивается с ростом z=C; причём, расстояния между линиями с одинаковым шагом уровня уменьшаются по мере удаления от центра.
Y
Z= 0,5
Z=0 Z=1
Z=0
Z= 0
X
Z=-1
2.Нахождение частных производных функции двух переменных.
ПРИМЕР 2.1.
Дано: а) z = x lny +
б) z=
Найти:
,
Решение
a) = lny+ y
= lny -
( y=Const)
=
= x
+
=
(x= Const)
б) = y
( y=Const)
=
=
(x= Const)
ПРИМЕР 2.2.
Поток пассажиров (z) выражается функцией Z=, где x-число жителей, y- расстояние (S) между городами.
Найти: ,
и пояснить их смысл.
Решение.
показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей,
показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами.
3. Нахождение градиента функции двух переменных
Градиент функции z=f (x,y)- это вектор, координаты которого равны соответственно частным производным
,
в точке М(x,y).
Обозначение градиента: grad z=
ПРИМЕР 3.1.
Дано: а) z = +5y в точке M (-3; 1); б) z = 4 sin ( x+y ) в точке А (2; -2)
Найти: grad z
Решение
а) ,
= 2
= -6
=5
Имеем: grad z =
б) = 4(
= 4cos ( x+y),
= 4 cos (2-2 ) = 4 cos0 = 4
=4(
= 4cos ( x+y),
= 4 cos (2-2 ) = 4 cos0 = 4
Имеем: grad z =
Задания для самостоятельного решения
1. Найти область определения и область значения функции z =
2. Дано: а) z = x + б) z= 2
+8x
Найти: ,
3. Дано: а) z = 8x3+5y в точке M (-1; 1); б) z = 9cos( x2+y ) в точке А (2; -2)
Найти: grad z
Проверочная работа (ТЕСТ)
Вариант №1
1. Дано: z =3x4 +2y2 -7xy + 9
Найти:
а) 3x4 +4y; б) 12x3 – 7y; в) 2y2 -7x + 9 .
2. Дано: z = 3x4 +2y2 -7xy + 9
Найти:
а) 12x3 – 7xy; б) 3x4 +4y2; в) 4y-7x.
3. Дано: z = 3x4 -7xy + 9
Найти:
а) 12x3 – 7y – 7x; б) 2y2 -7x + 7y; в) 3x4 +4y – 7x.
4. Дано: z = 3x4 +2y2
Найти: dz
а) 3x4dx +4y2dy; б) 12x3dx + 4ydy в) 12x3dy + 4ydx.
5. Дано: z = -4x2+9y3+6
Найти: grad z в точке M (-4; 1)
а); б)
; в)
.
Вариант №2
1. Дано: z =2x3y +5y2 -7x + 12
Найти:
а) 6x3 +10y; б) 2x3 – 7x +12; в) 6x2y-7.
2. Дано: z = 2x3y +5y2 -7x + 12
Найти:
а) 2x3 + 10y; б) 6x2y +5y2 -7; в) 4y-7x.
3. Дано: z = 2x3y -7x
Найти:
а) 12x3 – 7y – 7x; б) 6x2y -7 + 2x3; в) 3x4 +4y – 7x.
4. Дано: z = 2x3y +5y2
Найти: dz
а) 3x4dx +4y2dy; б) 6x2ydx + 10ydy в) 12x3dy + 4ydx.
5. Дано: а) z = 3x3+5y4-13
Найти: grad z в точке M (-1; 2)
а); б)
; в)
.
Предварительный просмотр:
Занятие №3
Тема: «Неопределённый интеграл»
1. Нахождение первообразных элементарных функций
2.Нахождение неопределённых интегралов табличным способом
3. Нахождение неопределённых интегралов методом разложения
4. Нахождение неопределённых интегралов методом замены переменных
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание: студентам 1 подгруппы – Вариант №1, студентам 2 подгруппы - Вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Первообразной функции для функции y=f(x) называется такая функция F(x), что имеет место равенство F′(x) = f(x).
Неопределенный интеграл функции y=f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x).
Обозначается символом
∫f(x)dx=F(x)+C,
где ∫ – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование); f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; C – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; x – переменная интегрирования.
Интегрирование – это отыскание первообразной функции по ее производной;
это - действие, обратное дифференцированию.
Основные свойства неопределенного интеграла
1.
2. ∫ df (x) = f(x) + C.
3. ∫Cf(x) dx = C ∫ f(x) dx – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.
4. ∫ (f(x) g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx – интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов.
Основные способы интегрирования
1. Табличный; 2. Метод разложения;
3. Метод замены переменной; 4. Интегрирование по частям.
Таблица интегрирования основных элементарных функций:
1 | ∫ n≠ -1 | 10 | ∫ n = 0, ±1, ±2,… |
2 | ∫dx = x + C | 11 | ∫ x≠n |
3 | ∫ x≠0 | 12 | ∫ -1 |
4 | ∫ | 13 | ∫ |
5 | ∫ | 14 | ∫ |
6 | ∫sinxdx = -cosx + C | 15 | ∫ a>0 |
7 | ∫cosxdx = sinx + C | 16 | ∫ |x|≠1; a≠0 |
8 | ∫tgxdx = ln|cosx| + C | 17 | ∫ |x|>a при a<0 |
9 | ∫ctgxdx = ln|sinx| + C |
1. Нахождение первообразных элементарных функций
ПРИМЕР 1.1.
Дано: а) f(x)= cosx, б) g(x)= 3x2 Найти: F(x), G(x)
Решение:
а) F(x)= sinx, так как (sinx)/ = cosx
б) G(x)= x3 ,так как (x3)/ = 3x2
2. Нахождение неопределённых интегралов табличным методом.
ПРИМЕР 2.1. Найти неопределенный интеграл:
Решение. Согласно свойствам интеграла представляем его в виде суммы интегралов, вынося постоянный множитель за знак интеграла, после чего используем табличные интегралы:
ПРИМЕР 2.2. Найти неопределенный интеграл:
=
dx =
+C = -
+C
ПРИМЕР 2.3. Найти неопределенный интеграл:
dx =
dx =
+ C =
+ C =
.
ПРИМЕР 2.4. Найти неопределенный интеграл:
=
dx =
+C = 2
+C
3. Нахождение неопределённых интегралов методом разложения.
ПРИМЕР 3.1. Найти неопределенный интеграл:
dx=
=
=
=8x +24+6
-
+C.
ПРИМЕР 3.2. Найти неопределенный интеграл:
dx =
dx =
=
+
-
-8x +C.
ПРИМЕР 3.3. Найти неопределенный интеграл:
dx =
=
= x-cosx +C
ПРИМЕР 3.4. Найти неопределенный интеграл:
dx =
dx =
dx =
=
=
-4
dx = x- 4
= x-2arctg
+C
4. Нахождение неопределённых интегралов методом подстановки
ПРИМЕР 4.1. Найти
Решение. Введем новую переменную тогда Подставим эти значения в интеграл.
Сделаем обратную замену
В этом примере был применен первый вариант замены.
ПРИМЕР 4.2. Найти
Решение. Обозначим новую переменную: Отсюда . Тогда исходный интеграл можно записать:
Сделаем замену переменной:
5. Нахождение неопределённых интегралов методом интегрирования по частям
ПРИМЕР 5.1. Найти
Решение. , тогда ;
Отсюда
ПРИМЕР 5.2. Найти .
Решение, , тогда
Отсюда
В интегралах вида:
за и принимается
ПРИМЕР 5.3. Найти
Решение. В данном примере обозначим:
Применив формулу, найдем:
Тогда:
Проверочная работа
ВАРИАНТ №1 | ВАРИАНТ №2 |
1. ОПРЕДЕЛИТЬ ПЕРВООБРАЗНУЮ ФУНКЦИИ | |
| 1. y = |
а) 0,25x4 + | а) - 3Sinx+2x; б) 3Sinx+2x; в) Cos3x |
2. y = 2Sinx - 1 | 2. y = |
а) -2Cosx-1; б) -2Sinx -x; в) -2Cosx-x
| а) |
2. НАЙТИ НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ | |
3. | 3. |
а)
| а) |
4. | 4. |
а) -
| а) 14Sinx +C; б) -14Cosx +C; в) 7Sinx+C |
Предварительный просмотр:
Занятие №4
Тема: «Определённый интеграл и его приложение»
1. Вычисление определённого интеграла по формуле Ньютона-Лейбница
табличным способом с использованием основных свойств
2. Вычисление площади криволинейной трапеции
3. Вычисление длины дуги плоской кривой
4. Вычисление объёма тела вращения
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант; выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b].
Интегральная сумма S = ) ∆
, где
- произвольная точка существующего отрезка.
Определенный интеграл обозначается:
lim
)∆
,
∆x→0
где f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.
Теорема. Если f(x)- первообразная функция для непрерывной функции y = f(x), т.е. F′(x) = f(x), то имеет место формула:
= F(b) – F(a).
Это-формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так:
Определённый интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(x) при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Можно отметить разницу между определенным и неопределенным интегралами: определенный – это число, а неопределенный интеграл – это функция.
Основные свойства определенного интеграла
- При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
)dx.
- Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
= 0.
- Отрезок интегрирования можно разбивать на части:
=
(свойство аддитивности).
- Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
- Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
- Если функция f(x)≥0 всегда на отрезке [a, b], то
- Если f(x)≤g(x) всюду на отрезке [a, b], то
)dx.
Геометрическая интерпретация определенного интеграла.
Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна.
Геометрический смысл заключается в вычислении площади криволинейной трапеции.
Криволинейная трапеция – плоская фигура Декартовой системы координат, ограниченная: сверху - графиком непрерывной функции y=f(x), снизу - [a;b] Є (ox) , слева - отрезком вертикальной прямой x=a , справа - отрезком вертикальной прямой x=b.
Классическая криволинейная трапеция
Вычисление длины дуги плоской кривой
Если кривая y=f(x)на отрезке [a;b] имеет непрерывную производную, то длина дуги этой кривой вычисляется по формуле:
L=
Вычисление объёма тела вращения
Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной кривой y=f(x) и прямыми типа x=a и x=b, вращается вокруг оси ( Оx), то объём вращения вычисляется по формуле:
V =
1.Вычисление определённых интегралов по формуле Ньютона-Лейбница.
ПРИМЕР 1.1. Найти
Решение. Найдем неопределенный интеграл, полагая С = 0.
Находим приращение первообразной:
ПРИМЕР 1.2. Найти Решение:
ПРИМЕР 1.3. Найти Решение.
2.Вычисление определённых интегралов различными методами.
Метод разложения
ПРИМЕР 2.1.
dx =
=
=
= = (0 – cos 0) – (
) =( 0-1) – (
) = -1 – (
) =
= -1- = -2-
Метод замены переменной
ПРИМЕР 2.2.
Вычислить =A
Решение.
1) Пусть t = 8-x, тогда dx = - dt
2) Найдём новые пределы интегрирования:
при а= 0 , при b= 7
Имеем: А = = -
=
dt =
=
=
-
= 3
ПРИМЕР 2.3. Найти
Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом замены переменной. Вводим новую переменную , тогда При введении новой переменной необходимо осуществить замену пределов интегрирования, так как новая переменная будет иметь другие границы изменения. Они находятся по формуле замены переменной. Так верхний предел будет равен , нижний — . Заменив переменную и пределы интегрирования, получим:
3. Виды криволинейных трапеций и формулы расчёта их площадей.
ПРИМЕР 3.1. Найти площадь фигуры, ограниченной функцией у = sin х и осью 0х на участке
Решение. Площадь фигуры будет равна сумме площадей:
где — площадь при — площадь при
ПРИМЕР 3.2. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у = х2, осью 0х и прямыми х = 0, х = 2.
Решение. Построим графики функций у = х2 и х = 2.
Заштрихованная площадь и будет искомой площадью фигуры. Так как f(x) > 0, то
4. Вычисление длины дуги плоской кривой.
ПРИМЕР 4.1. Найти длину дуги кривой у2 = х3 на отрезке [0, 1] (у>0).
Решение. Уравнение кривой , тогда
Сделав замену получим:
Вернемся к первоначальной переменной:
5. Вычисление объёма тела вращения.
ПРИМЕР 5.1. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0.x полуволной синусоиды у = sin х, при
Решение. Согласно формуле имеем:
Для вычисления этого интеграла сделаем следующие преобразования: Тогда
ПРИМЕР 5.2. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры, ограниченной функцией и линиями x=2, х=4.
Решение. Фигура, объем которой надо найти, изображена на рисунке. Её объем равен:
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить определённые интегралы
а) б)
в)
г)
2. Через тело животного проходит импульс тока, который изменяется со временем по закону J = 20(мА). Длительность импульса равна 0,1е. Определить заряд, протекающий через тело животного.
3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y1 = x3 и y2 = 4x.
Изобразить эту площадь графически.
Проверочная работа
Вариант №1
1. Вычислить определённый интеграл
а) ; б) 0,5; в) 0.
2. Вычислить определённый интеграл
а) 3; б) 2,5; в) 6
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y=2x, x=2, x=3 и осью Ox.
а) 2(); б) 12 (ед2); в) 5(
).
Вариант№2
1. Вычислить определённый интеграл
а) 7; б) 0,5; в) 9.
2.
а) 3 - 3; б) 3-3
; в) 3
.
- Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
y =x2, x=1, x=2 и осью Ox.
а) 4 (); б) 2
(ед2); в) 2
(
).
Предварительный просмотр:
Занятие №5
Тема: «Дифференциальные уравнения»
1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными и разделяющимися переменными
2.Однородные функции к-того измерения; установление факта однородности функции
3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка
4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка
5.Решение простейших дифференциальных уравнений второго порядка
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант; выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее независимую переменную, искомую функцию и производные этой функции:
F ( x,y, y/ , y// , …, y(n)) =0 (1)
Например, 2x+y -3y/ =0, y/2 -4 = 0, siny/ = cosxy, y// = 2x
Порядком дифференциального уравнения называется наибольший порядок производных, входящих в данное уравнение.
Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если имеет следующий вид
y/ = f1 (x) f2 (y). (1)
Функция g (x, y) называется однородной функцией k-го измерения (k-й степени), если при любом t (кроме, быть может, t=0) имеет место тождество
g (tx, ty ) = tkg (x, y). (1)
Например, g (x, y)= 2x3-5xy2 – однородная функция третьего измерения, так как
g(tx, ty) = 2 (tx)3 – 5tx (ty)2 = t3 (2x3-5xy2)=t3g (x, y).
Дифференциальное уравнение первого порядка y` = f (x, y) называется однородным, если f (x, y) – однородная функция нулевого измерения.
Его можно представить в виде
P (x, y) dx +Q (x, y) dy=0 (2)
где P (x, y) и Q (x, y) –однородные функции одинакового измерения.
Однородное дифференциальное уравнение приводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными подстановкой
y=zx, (3)
где z=z(x) – новая известная функция.
Дифференциальное уравнение первого порядка y`=f (x, y) называется линейным, если имеет следующий вид:
y`+ P (x) y = Q(x),
где P(x) и Q(x) – заданные функции от x.
Нахождение общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка (1) сводится к решению двух дифференциальных уравнений с разделенными переменными с помощью подстановки y=uv, (2)
где u и v – неизвестные функции от x. Из (2) находим
=
=
+
. (3)
Подставив значения y и y` в уравнении (1), получаем
u+v
+P(x) uv=Q(x), или u
+v
+P(x) u)=Q(x). (4)
Так как искомая функция y подстановкой (2) представлена в виде произведения двух функций u и v, то одному из них, например u, мы можем выбрать по нашему усмотрению, кроме u=0.
Дифференциальное уравнение второго порядка в общем виде записывается так:
F(x, y, y/ ,y//) = 0,
или, если это возможно, в разрешённом относительно y// виде: y// = f(x,y, y/) .
Решение задач
1. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделёнными переменными.
ПРИМЕР 1.1.
Найти общее решение дифференциального уравнения 2ydy = (1-3x2)dx
Решение.
2=
dx
2= x-
+C
+C
y =+C
ПРИМЕР 1.2.
Найти частное решение дифференциального уравнения 2ydy = (1-3x2)dx
в точке (1;3)
Решение
+C – общий интеграл.
Подставив начальные условия y0 =3 и x0 = 1 в общий интеграл, найдём С:
32 =1 – 13 +С
С =9, тогда y2 = x –x3 +9 – частное решение
Или y2 - x +x3 -9 =0
2. Решение дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными.
ПРИМЕР 2.1. Найти общее решение уравнения:
Решение. Данное уравнение разделим на множители, зависящие только от одной переменной:
Проинтегрируем левую и правую часть уравнения:
получим: arctg у =
Общее решение будет иметь вид
ПРИМЕР 2.2. Найти общее и частное решение уравнения , при
Решение. ; проинтегрируем обе части уравнения:
Отсюда:
Потенцируя, получим общее решение уравнения.
Подставим начальные условия найдем С.
Тогда частное решение у = 2(х + 2).
ПРИМЕР 2.3. Найти частное решение уравнения: при
Решение. Проведем разделение переменных и проинтегрируем правую и левую части . Введем новую переменную , тогда .
Тогда:
. Потенцируя, получим C(y3 +1) = ex. Подставим начальные условия
Тогда .
ПРИМЕР 2.4. Найти общее решение уравнения: .
Решение. Согласно формуле найдем
тогда
3. Решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка.
Функция g(x;y) называется однородной функцией к-того измерения, если при любом t ( кроме, быть может, нуля) имеет место тождество типа: g (tx; ty) = tk g( x;y)
ПРИМЕР 3.1.
Исследовать функцию на однородность
а) g(x;y) = 2x3 -5xy2 ; б) f( x;y) = 2x +; в) h( x;y)=
Решение
а) g(x;y) = 2x3 -5xy2 однородная функция третьего порядка, т. к.
g(tx;ty) = 2(tx)3 -5tx(ty)2 = 2t3 x3 - 5tx t2 y2 =2t3 x3 - 5 t3 xy2 = t3 (2x3 -5xy2 ) = t3 g(x;y)
б) f( x;y) = 2x + -однородная функция первого порядка, т. к.
f( tx;ty) = 2tx += 2tx+
= 2tx+
=
= 2tx+t= t (2x +
) = t1 f( x;y).
в)h( x;y) = - однородная функция нулевого порядка, т.к.
h(t x;ty) = =
=
=
ПРИМЕР 3.2.
Найти общий интеграл
Решение.
Шаг №1
Q(x;y) =
P(x;y) =
Проверим, являются ли эти функции однородными одного порядка
Q(tx;ty) = =
=
Имеем: функция Q(x;y) однородная второго прядка
P(tx;ty) = = 2
Имеем: функция P(x;y) однородная второго прядка
Шаг №2
Выполним замену переменной типа y=zx, где dy = zdx + xdz
Имеем: ( x2 – 2z2 x2 )dx +2xzx ( zdx+xdz)=0
x2 dx – 2z2 x2 dx+2z2 x2 dx +2zx3 dz =0 / разделим на x20
имеем:
dx +2zxdz =0 –это уравнение с разделяющимися переменными.
Так, как x0?, то разделим переменные на (x)
Имеем: 2zdz+ ( dx/x) =0
()
( 2
)
( x=C
)
Но, так как y=zx, то z= и x= C
– общий интеграл
4. Решение линейных дифференциальных уравнений первого порядка.
ПРИМЕР 4.1. Найти общее решение уравнения:
Решение. Обозначим р(х) = х, q(x) = х . Тогда:
ПРИМЕР 4.2. Найти частное решение уравнения:
при х=1, у=1
Решение. Обозначим
Учитывая, что
Подставим начальные условия . Тогда частное решение имеет вид у = х2.
5. Решение простейших дифференциальных уравнение второго порядка.
ПРИМЕР 5.1.
Найти общее решение дифференциального уравнения y// = cos2x
Решение.
Пусть y/ =p(x), тогда y// = p/ и p/ =cos2x или
1) = cos2x ; dp = cos2x dx;
; p=
sin2x +
Так как p=, то
=
sin2x +C1 или (
=
sin2x +C1)
(
)
+ C1
)
Имеем: общий интеграл.
Проверочная работа
Вариант№1
- Проверить, является ли функция (y = 2x2 +3x -5) решением дифференциального уравнения 2x
- y = 6x2+3x а) да; б) нет
- Определить вид дифференциального уравнения (ДУ) и найти его общее решение
y
а) ДУ с разделёнными переменными; Ln= Ln
+C;
б) ДУ с разделяющимися переменными; Ln= Ln
+C;
в) ДУ с разделяющимися переменными; Ln= Ln
+3;
- Найти частное решение дифференциального уравнения
x2 dx +dy = 0, если y=1 при x =0
а) x=2y+C; б) y = x2 -4; в) y = +1.
Вариант №2
- Проверить, является ли функция (y = x3 + x +С) корнем дифференциального уравнения xy = 2
а) да; б) нет
- Определить вид дифференциального уравнения и найти его общее решение
x2
а) ДУ с разделёнными переменными; y = ;
б) ДУ с разделяющимися переменными; x = 2+C;
в) ДУ с разделёнными переменными; y = +C
- Найти частное решение дифференциального уравнения
ydy = 2x dx , если y= -1 при x =0
а) y = ; б) y =
; в) x = 2
+1.
Предварительный просмотр:
Занятие №6
Тема: «Последовательности, пределы, ряды»
1. Нахождение первых n-членов числовой последовательности и задание общего члена последовательности формулой общего члена
2. Исследование числовых последовательностей на ограниченность
3. Вычисление пределов функции при x
4. Вычисление пределов функции при x
5. Исследование числовых рядов с положительными членами на сходимость
4. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1 ; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Числовая последовательность - это бесконечное множество чисел.
Например, последовательность приближенных значений :
Числовая последовательность – это множество вещественных чисел типа …,
, …
в случае, если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …n, …(n поставлено в соответствие вещественное число
элементы (члены) последовательности -
,…
Общий элемент последовательности обозначается символом , где число n –его номер.
Символ {} – это сокращенное обозначения последовательности .
Сходящая последовательность – это множество точек числовой прямой, если =a.
Расходящаяся последовательность –это последовательность , не имеющая предела, а так же имеющая своим пределом +
окрестность точки a –это множество точек числовой прямой, если
.
Это означает, что при n все элементы последовательности
} находятся в
– окрестности точки a.
Пусть функция определена на некотором промежутке Х и пусть точка
или
. Составим из множества Х последовательность точек:
,
,…,
,…, сходящихся к
.Значения функции в этих точках также образуют последовательность:
•Число A называется пределом функции в точке
, если для любой сходящейся к
последовательности значений аргумента
, соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.
Это записывают так:.
Основные теоремы о пределах функций
1.Если - постоянная величина, то
.
2.Если - постоянная величина, то
.
Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.
Пусть функции имеют в точке
пределы
:
, тогда
3.Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:
4.Предел произведения равен произведению пределов:
5.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:
♦Например:
Предел многочлена равен…
Варианты ответов: а)11; б)49; в)0; г)57.
Решение
Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной
подставить значение
, к которому оно стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.
Числовым рядом называется выражение вида
=
Числа ( a1 , a2 , …, an ) называют членами числового ряда,
а ( an) – общим членом ряда
Ряд Маклорена
Предположим, что функция, определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд
=
+
+
+
+…+
+… .
Выразим коэффициенты ряда через. Найдем n производные функции
, почленно дифференцируем ряд n раз:
=
+2
x+3
+4
+…+n
+…
=2
x+3
2
x+4
3
+…+ n
+…
= 3
+4
3
x+…+n
+…
= n
3
2
+… .
Полагая в полученных равенствах x=0, получим
=
,
=
,
=2
1
=2!
,
=3
2
=3!
,… ,
=n!
, откуда
,
=
,
,
=
, …,
=
.
Подставляя значения коэффициентов ,
,
, … ,
, получим ряд
=
+
x+
+
+…+
+…,
называемый рядом Маклорена.
Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.
1) y=
Имеем =
=…=
=
;
=
=
=…=
=
=1
=1+x+
+
+…+
+… .
Область сходимости ряда
2) y=.
Имеем ,
=
,
=-
,
=-
,
=
, откуда
=0;
=1;
=0;
=-1,
=0 и т.д.
Очевидно, что производные четного порядка =0, а нечетного порядка
=
, i=1, 2, …
=x-
+
+…+
+…
Область сходимости ряда
3) y=.
Рассматривая аналогично, получим
=1-
+
-…+
+… .
Область сходимости ряда
4) y=, где m- любое действительное число.
Имеем =
,
=m
,
=m
,
=m
,...,
= m
.
При x=0 =1 ,
=m,
=m
,
=m
,… ,
= m
…
. По формуле (14.6).
=mx +
+
+…+
+… (*)
Интервал сходимости ряда (на концах интервала при x
1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m) .
Ряд (*) называется биномиальным. Если m- целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю , т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
5) y=1n.
Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.
Рассмотрим геометрический ряд
=1-x+
-
+…+
+…
Со знаменателем q=-x, который сходится при , т.е. при -1
x
1, к функции
=
=
.
Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; x), где , с учетом того что
=ln
=ln (1+x), получим
ln (1+x) =x-+-
-…+
+… .
Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;.
1. Числовые последовательности
ПРИМЕР 1.1.
№1.1. Дана формула общего члена последовательности =
. Написать пять первых членов этой последовательности.
Решение.
Полагая последовательно n = 1,2,3,4,5 в общем элементе , получаем
=1/2;
= 2/3;
= ¾;
= 4/5;
= 5/6.
ПРИМЕР №1.2. Написать пять первых членов каждой из последовательностей, заданных формулой их общих членов:
1) =
2)
=
3)
=
4)
=
Решение.
1) при n=1 имеем =
= 1/3; при n=2 имеем
=
=1/5;
при n= 3 имеем =
=1/7; при n=4 имеем
=
=1/9;
при n=5 имеем =
=1/11;
ПРИМЕР 1.3.
Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего члена последовательности:
1) 1; ;
;
; . . . Ответ:
=
;
2) 1; ;
;
;
; . . . Ответ:
=
.
ПРИМЕР 1.4.
Написать пять первых элементов и формулу общего члена элемента каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными соотношениями:
1) =1,
2)
=1,
Решение.
=
= 1
=1;
=
= 1
=1; имеем
=1
=1.
= 1+3=5;
= 5+3= 8;
8+3=11;
= 11+3=14.
Исследовать на ограниченность последовательности:
1) 1, 2,3, 4, . . ., n, . . .; 2) -1, -2, -3, . . . , -n, . . .;
3) 1, ½, 1/3, …, 1/n, ….; 4) -1, 2, -3, 4, -5, . . . , n, . . .;
Решение.
1) эта последовательность ограничена снизу ( m=1), но не ограничена сверху;
2) эта последовательность ограничена сверху (M =-1), но не ограничена снизу;
3) эта последовательность ограничена и снизу и сверху, так как 0
1 и m=0, M =1;
4) эта последовательность неограниченная, так как для любого числа А существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству типа |
|
A ( то есть либо
A, либо
A)
2. Предел функции одной переменной
2.1. Вычисление пределов функции при x
2.2. Вычисление пределов функции при x
ПРИМЕР 2.1. Найти
Решение. Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:
ПРИМЕР 2.2. Найти
Решение Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:
Определение Функция f(x) называется бесконечно малой при , если
Функция f(x) может принимать бесконечно малое значение, если при , её числитель будет приближаться к нулю, или знаменатель стремиться к бесконечности.
ПРИМЕР 2.3. Найти
Решение
ПРИМЕР 2.4. Найти
Решение
Иногда встречаются ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида. Для нахождения таких пределов необходимо числитель и знаменатель разложить на множители.
ПРИМЕР 2.5. Найти
Решение. При подстановке х= -2, получаем:
Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель дроби:
Если при вычислении пределов возникает неопределенность вида , то в этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на х с наибольшим показателем степени.
ПРИМЕР 2.6. Найти
Решение. При подстановке х = 2 получаем:
Разделим числитель и знаменатель на х2:
3. Исследование числовых рядов с положительными членами на сходимость.
ПРИМЕР 3.1.
а) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится.
Имеем:
следовательно, исходный ряд расходится
б) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения
1+ +
… +
… =
Решение.
Сравним данный ряд с гармоническим рядом , имеем:
Следовательно, данный ряд расходится.
ПРИМЕР 3.2.
Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Даламбера
+
+ … +
… =
Решение
=
=
=
,
Следовательно, данный ряд сходится.
ПРИМЕР 3.3.
Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Коши.
=
Решение
=
=
=
1
Следовательно, данный ряд сходится.
ПРИМЕР 3.4.
Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя интегральный признак
= 1+
- гармонический ряд
Решение.
Рассмотрим функцию f(x) = , x
которая
а) непрерывна, б) монотонно убывает и f(n) =
Следовательно, условия интегрального признака выполнены.
Имеем:
Следовательно, несобственный интеграл расходится.
Следовательно, расходится гармонический числовой ряд
ПРИМЕР 3.5.
Показать, что ряд
сходится.
Решение Составим частичную сумму первых n членов ряда
=
=
+
, отсюда
=
в числителях обоих частей равенства, получаем A +B = 0, A =1, откуда A=1, B= -1, поэтому
=
-
.
принимают вид:
= 1 -
;
=
;
=
; . . . ;
=
-
.
Поэтому = (1 -
) + (
) + (
) + . . . + (
-
).
Приводя подобные члены, получаем = 1 -
.
Переходя к пределу, находим
=
= 1-
=1-0 =1/
Таким образом, ряд сходится к числу 1.
ПРИМЕР 3.6.
Докажите, что гармонический ряд расходится.
Решение.
Так, как =
=0, то для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено.
Докажем, что этот ряд расходится: действительно, если бы этот ряд сходился, то ( обозначив его сумму через S ) мы бы имели
=
Но
= n
=
, то есть
Из чего следует, что равенство невозможно, то есть гармонический ряд расходится.
Таким образом, условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.
4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.
1. Формула Тейлора:
f(x) = f(x0) + + . . . +
+
где f(x) -
(x) – остаточный член формулы Тейлора
2. Формула Маклорена:
f(x) = f(0) + + . . . +
+
,
где t-промежуточная точка между 0 и x , причём (t и x) –одного знака и
| t|
ПРИМЕР 4.1.
Разложить функцию y= ex в ряд Маклорена
Решение 1) f/ (x) = ex, f// (x) = . . . = f(n) (x) = ex, …
2) f(0) =f/ (0) = f// (0) = . . . = f(n) (0) == e0 =1, …
3) ex +
+ … +
+ …; R =
=
=
=
Следовательно, ряд сходится в интервале (- +
)
4) Для всех (x) таких, что x имеем |
| = ex
= M,
То есть все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М =,
следовательно,(x) = 0 и
ex +
+ … +
+ … - разложение функции y= ex в ряд Маклорена.
ПРИМЕР 4.2.
Разложить функцию y=sinx в ряд Маклорена
Решение 1) f/ (x) = cosx, f// (x) = -sinx , f// /(x) = -cosx, f(n) (x) = sin (x + n), …
2) f(0) = sin0 = 0, f/ (0) =cos0 = 1, f// (0) = - sin 0 = 0, f(n) (0) =
, …
3) sinx
Легко проверить, что полученный числовой ряд сходится на всей числовой оси, то есть при всех x
4) Любая производная функции y=sinx по модулю не превосходит единицы,
| | = | sin(x + n
)|
.
Следовательно, имеет место разложение типа sinx =
Задачи для самостоятельного решения
Вариант №1
Вычислить пределы функций
; а) 1,7; б) 0; в) 2.
; а) 0; б)
; в)
.
; а) 0; б) 0,3; в)
.
; а)
; б) 0; в)
.
; а)
; б) 0; в)
.
; а)
; б) 0,3; в) 0
Вариант №2
Вычислить пределы функций
1); а) 1,7; б) 0; в) 2.
2); а) 0; б)0,1; в)
.
3); а) 1,2; б) 0,3; в)
.
4); а)
; б) 0; в)
.
5) ; а) 0; б) -
; в)
.
6) ; а)
; б)
; в)
.
Предварительный просмотр:
Занятие №1
Тема: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»
План
1. Функция одной переменной и её основные характеристики: нахождение области определения и области значения
2.Вычисление производной функции одной переменной
3. Вычисление дифференциала функции одной переменной
4. Применение дифференциала функции одной переменной к элементарным приближённым вычислениям
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему, выполнить тестовое задание для самостоятельного решения: студентам 1 подгруппы –Вариант №1, студентам 2 подгруппы- Вариант №2). Выслать на электронную почту преподавателя.
Понятие «функция» появилось на рубеже 17-19 веков нашей эры на третьем этапе развития математики – этапе математики переменных величин и нашло свое воплощение и применение в теории Ньютона и Лейбница (теория дифференциального и интегрального исчисления).
Функция типа – это такая зависимость y от x, при которой каждому значению x (аргумент) соответствует единственное значение y (функция).
Основные характеристики функции: область определения, область значения E(y), график функции.
Область определения функции одной переменной D(y) - это такие значения независимой переменной х, при которых существует зависимая переменная y.
Область значения функции одной переменной E(y) - это такие значения зависимой переменной y, которые могут получаться при всех допустимых значениях независимой переменной x.
График функции – множество точек Декартовой системы координат на плоскости, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Производная функции(x) представляет собой предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю.
(x) =
Свойства производной функции одной переменной
Пусть функции u и v определены и непрерывны на некотором промежутке J и С – константа, тогда
=0
=C
=
=
(
=
, v
Процесс нахождения производной функции называется дифференцированием
Дифференциал функции – это произведение производной функции на приращение аргумента: dy =(x)
dx,
Свойства дифференциала функции одной переменной
Пусть u=u(x) и (x)- некоторые дифференцируемые функции, С – вещественное число, тогда
dC=0, d(u)= du
d(C
)= C
du, d (
) =
, v
d(u)= vdu
df(u)=
, где u=
Нахождение области определения и области значения функции одной переменной
ПРИМЕР 1.1. Дано: у = х2 Найти: D(y), E(y)
Решение. Независимая переменная х может принимать все действительные значения, т.е. При этом у изменяется в пределах
ПРИМЕР 1.2. Дано: Найти: D(y), E(y)
Решение. Подкоренное выражение должно быть: . Следовательно, , тогда . Область определения: . При этих значениях у изменяется в пределах .
ПРИМЕР 1.3. Дано: Найти: D(y), E(y)
Решение. В данном случае необходимо, чтобы подкоренное выражение было больше нуля, так как на нуль делить нельзя.
Область определения функции:
Область значений:
ПРИМЕР 1.4. Дано: Найти: D(y), E(y)
Решение. Выражение под знаком логарифма должно быть больше нуля, кроме того , т.е.
Отсюда Область определения функции: .
Область значений:
Вычисление производной функции одной переменной
ПРИМЕР 2.1. Пусть численность популяции бактерий описывается функцией , где t — время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и её значение через 5 часов.
Решение. Скорость роста популяции бактерий представляет производную от функции
Таким образом, скорость роста популяции прямо пропорциональна времени и через 5 часов будет равна 1000 особей в час.
Процедуру нахождения производной функции называют дифференцированием, а функцию, имеющую производную в точке х0, называют дифференцируемой в этой точке.
ПРИМЕР 2.2. Найти производную функции у = х2 + sin х.
Решение.
Производная произведения двух функций равна сумме произведений второй функции, умноженной на производную первой, и первой функции — на производную второй:
ПРИМЕР 2.3. Найти производную функции
Решение
Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность между произведениями знаменателя на производную числителя и числителя на производную знаменателя, а знаменатель — квадрат знаменателя:
ПРИМЕР 2.4. Найти производную функции: Решение
Производная от сложной функции у = f(u), где , равна произведению производной функции у = f(u) по промежуточной переменной и (обозначается ) на производную функции по переменной х (обозначается ):
ПРИМЕР 2.5. Найти производную функции
Решение. Обозначим , тогда
Производная функции , которая является обратной функцией у = f(x), равна обратной величине производной данной функции, если эта производная не равна нулю.
ПРИМЕР 2.6. Дана функция . Найти производную обратной функции.
Решение.
Вычисление дифференциала функции одной переменной
ПРИМЕР 3.1. Найти дифференциал функции: у = 2х + 3.
Решение. Находим производную функции и умножаем
на дифференциал аргумент:
ПРИМЕР 3.2. Найти дифференциал функции: y = 3x sinx + 4.
Решение.
ПРИМЕР 3.3. Найти дифференциал функции: в точке х = 1.
Решение.
В точке , тогда или .
ПРИМЕР 3.4. Найти приближенное значение функции: у = 5х3 + 2 в точке х = 2,02.
Решение. Зададим х = 2 и . Согласно формуле найдем:
Тогда приближенное значение функции равно:
Найдем точное значение функции:
Абсолютная погрешность вычисления равна:
Относительная погрешность равна:
Как видно из этого примера, точность вычисления достаточно велика.
Применение дифференциала функции одной переменной к приближённым вычислениям.
Основные формулы при :
f( x+)- f(x)
(x)
tg (x + )
tgx +
+n
ПРИМЕР 4.1. Вычислить приближённое значение
Решение (x) =
=
,
=
+
. 0,07 = 1+0,035 = 1,035
ПРИМЕР 4.2. Вычислить приближённое значение
=
=2*1,01 = 2,02
ПРИМЕР 4.3. Вычислить приближённое значение tg 460
По формуле: tg (x + )
tgx +
Пусть f(x)= tg x, тогда (x)=
Имеем: tg 460 = tg(460+10 ) tg 450+
=1+
= 1+ 0,0349
1,035
=
Справка
- Существуют формулы, часто используемые на практике при
:
;
=1
;
ПРИМЕР 4.4. Вычислить приближённое значение 1,00055
По формуле
имеем:
1,00055 = (1+ 0,0005)5 1
5
0,0005 = 1 +0,0025 = 1, 0025
ПРИМЕР 4.5. Вычислить приближённое значение
По формуле имеем:
Задание для самостоятельного решения
Вариант №1
- Найти область определения функции y =2x3
а) R; б) (-); в) [2;+
.
- Найти область значения функции y =2x3
а) (-); б) R; в) [2;+
.
- Найти производную функции y =2x3
а) 2x6; б) 3x2; в) 6 x2.
- Найти дифференциал функции y =2x3
а) 6 x2dx; б) 2x6 dx; в) 2x3 dx.
Вариант №2
- Найти область определения функции y =3x2
а) (-); б) R; в) [(-
.
- Найти область значения функции y =3
а) [(-; б) (-
); в) [0;+
.
- Найти производную функции y =3
а) 6x; б) 6 x2; в) 2x3.
- Найти дифференциал функции y=3
а) 3 ; б) 6xdx; в) 2x6 dx.
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №7
Тема: «Элементы теории множеств»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
I Теория множеств
Определение. Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.
О множестве известно, что оно состоит из элементов.
Способы задания множеств:
- Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение – список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: N = {1, 2, 3, 6}.
- Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначаются: N = {x│ P(x)} или N = {x: P(x)}.
Операции над множествами
Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.
Вместо кругов Эйлера определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.
Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.
Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами. На рисунке 1 первая диаграмма соответствует универсальному множеству U, вторая – его пустому подмножеству, третья – произвольному подмножеству A.
Рис. 1
ОПР. Объединением множества A1 и A2 называют множество B, состоящее их всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A1, A2 (рис. 2). Тот факт, что B есть объединение A1 и A2, записывается: B = A1 A2, B = {x│ x
A1 или x
A2}.
На рисунке 2 вся заштрихованная область представляет собой множество B.
ОПР. Пересечением множеств A1 и A2 называется множество B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A1, и множеству A2 одновременно (рис. 3).
То, что B есть пересечение A1 и A2, записывают так: B = A1 A2, B = {x│ x
A1 и x
A2}.
ОПР. Разностью множеств A1 и A2 называют множество B, состоящее только из тех элементов множества A1 , которые не содержаться в A2 (рис. 4).
Разность множеств обозначается: B = A1\A2, B = {x│ x A1, x A2}.
Разность - операция строго некоммутативная. В общем случае A1\A2 ≠ A2\A1.
Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.
ОПР. Дополнением (до U) множества A называется множество A- всех элементов, не принадлежит A, но принадлежит универсальному множеству U (рис. 5).
A- = U\A.
2. Освоить чтение формул ( составных высказываний) и исследование на истинность высказываний, используя таблицы истинности основных операций над высказываниями.
Свойства операций над множествами
1. Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:
2. Закон коммутативности:
3. Закон ассоциативности:
4. Законы дистрибутивности:
5. Законы поглощения:
6. Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:
7. Законы дополнения:
8. Закон инволютивности дополнения:
9. Закон Де Моргана: .
Решение задач
1. Элементы теории множеств.
ПРИМЕР 1.1.
Прочесть выражения:
а) (A)
C
б) F / (G)
в) (H / X)
г)
M)
(B
)
Решение
а) Объединение результата пересечения множеств А и В с множеством С.
б) Разность множества F с результатом симметрической разности G и S.
в) Симметрическая разность результата разности множеств H и X и результата симметрической разности А и В.
г)Пересечение результата объединения дополнения А до N и М с результатом пересечения множеств В и К.
ПРИМЕР 1.2.
По формуле построить диаграмму
а) (A)
C в) F / (G
)
б) (A)
C г)
M
Решение.
а) б)
в) г)
ПРИМЕР 1.3.
По диаграмме составить формулу
а) б) в)
ПРИМЕР 1.4.
Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2,3, . . .
Решение
Пересечением множество N задать нельзя, т. к. оно бесконечно.
Множество можно задать описанием характеристического свойства элементов множества:
N = {x| x- целое положительное число}.
ПРИМЕР 1.5.
Оценить корректность определения множества А: А = { 1,2,3,3,4}
Решение
При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз.
Корректное определение: А = {1,2,3,4}
ПРИМЕР 1.6.
Пусть X -множество студентов первого курса отделения « Лечебное дело», учащихся на «отлично» и «хорошо», а Y - множество студентов первого курса отделения « Сестринское дело», учащихся аналогично. Определить множество типа
Решение
- это множество студентов двух отделений, успевающих на «хорошо» и «отлично».
ПРИМЕР 1.7.
Дано: А1 = {a,b,c} ; A2 = {c,d,e,f}; U = {a,b,c,d,e,f }
Выполнить операции типа:; б)
; в)
; г)
Решение
= { a,b,c,d,e,f } = U;
б) = {c};
в) = { a,b} ;
г) = { d,e,f }
Заключение
На занятии в рамках темы «Элементы теории множеств» были рассмотрены вопросы:
1. Прочесть выражения.
2. По формуле построить диаграмму.
3. По диаграмме записать формулу.
Задание для самостоятельного решения
1.Пусть A = {1,3}, B = {2,3,4}, C = {2,4}, U = {1,2,3,4}
Найти: а) (A)
б) (A
)
C в) (A
)
г) (A
)
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ №1
- Пусть A = {1,3}, B = {2,3,4}, C = {2,4}
Найти: а) (A) а) {3} б) {2,4} в) {1,3}
б) (A)
C а) {1,2,3} б) {1,2,4} в) {1,3,4}
2. Прочесть выражение (FD) / (A
)
а) пересечение F и D без симметрической разности A и T;
б) разность результата пересечения F и D и результата симметрической разности A и T;
в) только результат объединения F и D и только результат разности A и T.
3. Изобразить диаграммой (A)
C
а) б) в)
ВАРИАНТ №2
- Пусть A = {1,3}, B = {2,3,4}, C = {2,4}, U = {1,2,3,4}
Найти: а) (В\С) а) {1,2.3,4}; б){2,4}; в){3}.
б) (С)/U а) {3,4}; б){1,2,4}; в)
.
2. Прочесть выражение (FD)
(A
)
а) пересечение F и D с объединением разности A и T;
б) пересечение результата объединения F и D с результатом разности A и T;
в) только результат объединения F и D и только результат разности A и T.
3. По формуле построить диаграмму (A)
C
а) б) в)
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №8
Тема: «Элементы теории графов»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
I Графы
Определение. Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро e E инцидентно ровно двум вершинам u и v, которые оно соединяет. Вершины u и v называют смежными, а о вершине u и ребре e говорят, что они инцидентны, так же как и v и e.
Определение. Если два ребра инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными.
Определение. Граф называется правильным, если его ребра не имеют общих точек, отличных от вершин графа.
ОПР. Правильно реализованные на плоскости графы называются плоскими. Граф G2 на рис.10 является плоским. Примером неплоского графа может служить граф G1 + G2 на рис. 19.
Чтобы реализовать неплоские графы в пространстве в микроэлектронике пришлось создать технологию многослойных печатных плат.
ОПР. Ребра, соединяющие вершины сами с собой, называются петлями. На рисунке 11б петли обозначены e1, e2, e3.
ОПР. Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными (m, p на рис. 11а и x, y, z – параллельны).
ОПР. Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой, оно называется направленным, или ориентированным. На рисунке 12 представлены примеры графов с тремя вершинами и тремя дугами.
ОПР. Граф называется полным, если каждая пара вершин соединена ребром и граф не содержит петель и кратных ребер.
ОПР. Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые надо добавить к графу G, чтобы получить полный граф.
ОПР. Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат G. На рисунке 13а изображен граф, а на рис. 13б – два его под графа.
ОПР. Графы G1 и G2 называются равными (G1 = G2), если множества их вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1 = V2 и E1 = E2 (рис. 10).
ОПР. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными. Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В математике понятие «изоморфизм» означает похожесть однотипных объектов. Запись G1 ? G2 означает, что графы G1 и G2 – изоморфны. Изоморфные графы изображены на рис. 14.
ОПР. Локальной степенью ⍴(V) (или просто степенью) вершины графа G называют количество ребер, инцидентных вершине V.
Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое ребро вносит двойку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое установлено Эйлером и является исторически первой теоремой теории графов.
ОПР. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер:
В любом графе число вершин с нечетными степенями четно.
Для вершин орграфа (графа с ориентированными ребрами) определяются две локальные степени:
- ⍴1(V) – число ребер с началом в вершине V, или количество выходящих из вершины V ребер;
- ⍴2(V) – количество входящих в V ребер, для которых эта вершина является концом.
Петля дает вклад 1 в обе эти степени.
В орграфе суммы степеней всех вершин ⍴1(V) и ⍴2(V) равны количеству ребер m этого графа, а значит и равны между собой:
ОПР. Вершина графа называется изолированной, если ее локальная степень равна нулю: ⍴(V) = 0.
ОПР. Концевой называют вершину, локальная степень которой равна 1: ⍴(V) = 1.
ОПР. Графы, у которых все вершины имеют одинаковую степень, называются регулярными, или однородными.
Операции над графами
В ряде случаев удобно представить структуру рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой структуры.
Пусть графы G1 и G2 имеют непересекающиеся множества вершин V1, V2 и непересекающиеся множества ребер E1 и E2.
ОПР. Объединением графов G1 G2 называют граф, множеством вершин которого являются V = V1
V2 , а множеством ребер – E = E1
E2 (рис. 18).
Соединение графов G1 + G2 состоит из G1 G2 и всех ребер, соединяющих V1 и V2 (рис. 19).
Произведением графов G1 × G2 называется граф, вершины которого u = (u1, u2) и v = (v1, v2) смежны тогда и только тогда, когда [u1 = v1 и u2, v2 – смежные вершины] или [u2 = v2 и u1, v1 - смежные вершины] (рис. 20).
Композицией G = G1[G2] называют такой граф G, вершина которого u = (u1, u2) смежна с v = (v1, v2) тогда и только тогда, когда [u1 = v1 – смежные вершины] или [u1 = v1 и u2, v2 – смежные вершины].
Композиции графов G1 и G2 представлены на рис. 21.
Решение задач
1. Элементы теории графов.
ПРИМЕР 1.1.
Задать граф, представленный на рисунке через множество вершин V и рёбер E
Решение.
Множество поименованных вершин V = {v1, v2, v3,v4 , v5, v6}
Множество поименованных рёбер E {e1, e2, e3, e4 ,e5}
Для задания графа требуется установить отношение инцидентности рёбер соответствующим вершинам.
Множество рёбер, каждое из которых представлено парой своих концевых вершин:
E = { (v1;v4), (v4; v3), (v3; v5), (v5; v2), (v2; v6)}.
Порядок указания вершин при описании ребра здесь безразличен, т. к. все рёбра в графе неориентированные.
ПРИМЕР 1.2.
Определить степени вершин графов, изображённых на рисунках.
Решение
Степени вершин неориентированного графа G1 таковы:
Сумма степеней всех вершин графа G1 равна 12, то есть вдвое больше числа рёбер
Степени вершин неориентированного графа G2 таковы:
определяет количество выходящих из вершины рёбер:
определяет количество входящих в вершину рёбер:
Суммы степеней вершин первого и второго типов ориентированного графа G2 совпадают и равны числу рёбер графа: =
= m =6
Задача для самостоятельного решения
В графе G , изображённом на рисунке, указать примеры маршрута, цепи, простой цепи, замкнутого маршрута, цикла, простого цикла.
V7
V2 V3 V4 V6 V8
V11
V1 V5 V9
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА v1 1 v 2
Вариант №1
1.Определить степень
вершины (V4) графа G (V,E)
v3 v4
а) 3 б) 2 в) 4
2. Изобразить неориентированный граф с 4 вершинами и 6 рёбрами, два из которых кратны и одно из которых является петлёй.
а) б) в)
- Вершина графа, локальная степень которой равна 1, называют
а) изолированной; б) концевой; в) висячей.
- _______есть отношение эквивалентности на графах
а) параллельность; б) ориентированность; в) изоморфизм.
Вариант №2 V1 V2
- Определить степень каждой из
вершин графа G (V,E)
а) 3 б) 2 в) 4
V3 V4
- Изобразить ориентированный граф с 5 вершинами, одна из которых является висячей, одна – концевой и 6 дугами, две из которых являются кратными.
б)
V2 V3
V1 V4
а) V5
V2 V3
V1 V4
V5
в) V2 V3
V1 V4
V5
- Граф Gi, у которого все вершины и ребра принадлежат графу G, называется а) изоморфным; б) пустым; в) подграфом.
- Операцией над графами является
а) композиция; б) сложение; в) отношение
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №9
Тема: «Элементы математической логики »
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справочный материал
Элементы математической логики
Основное понятие математической логики – высказывание.
Определение: высказывание – это утверждение, о котором в точности можно сказать истинное оно или ложное. Высказывания обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С, …
Например:
- Предложение: «Москва – столица России» является истинным утверждением, поэтому оно является высказыванием.
- Предложение: « Слон- это насекомое» является ложным утверждением, поэтому оно является высказыванием.
- Предложение: « В МГУ поступить легко» не является ни
истинным, ни ложным утверждением, поэтому оно не является высказыванием.
Выделяют следующие операции над высказываниями:
- Отрицание. Обозначение:
частица «не»;
Таблица истинности:
А | А |
Л | И |
И | Л |
- Сложение. Обозначение А+В; А
В - знак дизъюнкции;
Союз « или»;
читаем : «А или В»;
Теорема : Сумма высказываний А или В является истинным высказыванием, если хотя бы одно из высказываний А или В является истинным.
Таблица истинности:
А | В | А+В |
И | И | И |
Л | Л | Л |
И | Л | И |
Л | И | И |
- Умножение. Обозначение: А
В; А
В- знак конъюнкции
Союз « и»; Читаем: « А и В»;
Теорема : Произведение высказываний А и В является истинным высказыванием, если оба высказывания А и В являются одновременно истинными.
Таблица истинности:
А | В | А |
И | И | И |
Л | Л | Л |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
- Импликация. Обозначение: А
В
А – условие, В – заключение.
Читаем:« Ели А , то В»;
Теорема: Импликация :« Ели А , то В» является ложным высказыванием, если условие истинно, а заключение ложно.
Таблица истинности:
А | В | А |
И | И | И |
Л | Л | И |
И | Л | Л |
Л | И | И |
- Эквиваленция. Обозначение: А
В;
А – условие, В – заключение.
Читаем: «А тогда и только тогда, когда В».
Теорема: Эквиваленция А В является истинным высказыванием тогда, когда оба высказывания одновременно или истинны, или ложны.
Таблица истинности:
А | В | А |
И | И | И |
Л | Л | И |
И | Л | Л |
Л | И | Л |
Свойства логических операций:
- Коммутативность: А + В = В + А; А
В = В
А;
- Ассоциативность: А + В + С = (А + В) + С = А+ (В + С);
А В
С =( А
В)
С = А
( В
С);
3. Дистрибутивность: А + ( В С) =( А + В)
( А + С);
А ( В + С) = ( А
В) + ( А
С);
4. Закон исключённого третьего: А+ = истина;
5. Закон противоречия : А = ложь;
6. Закон тождества : А = А;
7. Закон двойного отрицания: = А;
8. Закон идемпотентности: А А = А + А = А;
9. Законы Де Моргана: =
;
=
Решение задач
УПРАЖНЕНИЕ №1.1.
Установите, какие из следующих предложений являются
а) высказываниями, б) высказывательными формами, в) ни тем, ни другим:
а) 3+2=5; б) 3в) 3x
г)
д) « Число слов в этом предложении равно семи»;
е) « Осень- лучшая пора года»; ж) « Знаете ли Вы украинскую ночь?»; з) « В четырёхугольнике противоположные стороны равны и параллельны»; и) «Во всяком четырёхугольнике противоположные стороны равны и параллельны»; к) «В некоторых четырёхугольниках противоположные стороны равны и параллельны»; л) « Существует число (х) такое, что х2 »; м) « Для всякого числа (х)
»; н) « В городе N более
100 млн. жителей»; о) « Существует наибольшее натуральное число»; п) H2O +SO3=H2SO4
УПРАЖНЕНИЕ №1.2.
Укажите, какие из высказываний в Упражнении №1 являются ИСТИННЫМИ, какие – ЛОЖНЫМИ,
Решение.
Высказывания | Высказывательная форма | Ни то, ни другое | |
А) И | Б) Л | Г) | Е) |
Д) И | И) Л | В) | Ж) |
Л) И | Л) Л | З) | |
П) И | М) Л | Н) | |
О)Л | |||
УПРАЖНЕНИЕ № 1.3.
В каждую высказывательную форму Упражнения №1 подставьте значение переменной так, чтобы получилось
а) истинное высказывание;
б) ложное высказывание.
Решение.
Г)
а) « При y= -56 »- И
б) ______________ -Л
В) 3x
а) « При х = -5 3x» - И
б) « При х = 2 3x» - Л
З) « В четырёхугольнике противоположные стороны равны и параллельны»;
а) « В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны» - И
б) «В трапеции противоположные стороны равны и параллельны » - Л
Н) «В городе N более 100 млн. жителей»
а) « В городе Москва более 100 млн. жителей » - И
б) «В городе Ессентуки более 100 млн. жителей » - Л
УПРАЖНЕНИЕ № 1.4.
Каждую высказывательную форму из Упражнения 31 превратите в истинное высказывание с помощью слова « Всякий » или « Существует»
Решение.
Г)
« Существует такое значение (y) , при котором »
В) 3x
«Существует такое значение (х) , при котором3x»
З) « В четырёхугольнике противоположные стороны равны и параллельны»;
«Существует четырёхугольник, в котором противоположные стороны равны и параллельны»
Н) «В городе N более 100 млн. жителей»
«Существует город, в котором более 100 млн. жителей»
УПРАЖНЕНИЕ № 1.5.
Придумайте по два примера
а) истинного высказывания; б) ложного высказывания; в) высказывательной формы с числовыми переменными; г) высказывательной формы с нечисловыми переменными;
д) предложения, не являющегося ни высказыванием, ни высказывательной формой.
Решение.
А) « Москва- столица России» ; « Дважды два - четыре»
Б) « Слон – это насекомое»; « Ноль в чётной степени есть отрицательное число»
В) « Число (х) кратно пяти»; « 3z3 »
Г) « Число делится на 7»; « Он курносый»
Д) « В МГУ поступить легко»; « Да здравствует День Победы!»
_____________________________________________________________________________
УПРАЖНЕНИЕ № 1.6.
Прочесть составные логические выражения
а) (A B)
C
б) (
G)
(H +A)
с) P
H)
Решение.
а) ( А и В) или С;
б) Если ( не F тогда и только тогда, когда G) ,то ( H или A)
с) P и ( если ( не L или K), то H)
УПРАЖНЕНИЕ № 1.7.
Исследовать на истинность сложные высказывания
а) (A B)
А; б) ( F+B)
( F
B); в) (A
B)
Решение.
а) (A B)
C = W
A | B | A | W(+) |
И | Л | Л | И |
Л | И | Л | Л |
И | И | И | И |
Л | Л | Л | Л |
б) ( F+B)( F
B)=G
F | B | F+B | F | G( |
И | Л | И | Л | Л |
Л | И | И | И | И |
И | И | И | И | И |
Л | Л | Л | И | Л |
в) (A B)
=X
A | B | A | Х( | |
И | Л | И | Л | И |
Л | И | Л | Л | И |
И | И | Л | И | Л |
Л | Л | И | Л | И |
ПРИМЕР 1.8. Представить логической формулой следующее сложное высказывание: «Снега нет, а на дорогах скользко».
Решение. Сложное высказывание состоит из двух простых. Первое — «Снега нет», второе — «На дорогах скользко». Первое из них, можно рассматривать как отрицание высказывания а — «Снега есть», тогда (не а) — «Снега нет», а второе ,B — «На дорогах скользко». Сложное высказывание будет истинным, если будет истинно и первое высказывание и второе. Следовательно, логической связкой этих двух высказываний будет операция конъюнкция:
Задание для самостоятельного решения
1. Исследовать сложные высказывания на истинность
а) ; б)
;
в) (); г)
+ (
)
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
ВАРИАНТ №1
- Исследовать сложное высказывание на истинность Q =
а)
A | B | … | Q |
и | и | … | л |
л | л | … | и |
л | и | … | л |
и | л | … | и |
б)
A | B | … | Q |
и | и | … | и |
л | л | … | и |
л | и | … | и |
и | л | … | л |
в)
A | B | … | Q |
и | и | … | л |
л | л | … | и |
л | и | … | и |
и | л | … | л |
2. Чем является утверждение типа «Он самоуверен»?
а) высказыванием; б) ни высказыванием, ни высказывательной формой;
в) высказывательной формой.
ВАРИАНТ №2
1. Исследовать сложное высказывание на истинность W =
а)
A | B | … | W |
и | и | … | л |
л | л | … | л |
л | и | … | л |
и | л | … | и |
б)
A | B | … | W |
и | и | … | л |
л | л | … | и |
л | и | … | л |
и | л | … | и |
в)
A | B | … | W |
и | и | … | и |
л | л | … | л |
л | и | … | и |
и | л | … | л |
- Чем является утверждение «Математику изучать легко»?
а) ни высказыванием, ни высказывательной формой; б) высказыванием;
в) высказывательной формой.
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №10
Тема: «Элементы комбинаторики»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ
1. РАЗМЕЩЕНИЯ
а) с повторениями: обозначение = mn;
б) без повторений: обозначение =
(m > n)
2. ПЕРЕСТАНОВКИ
а) без повторений: обозначение Pn=n!
б) с повторениями: обозначение P( k1, k2, k3 ,…,kn) =
где к = к1+к2+к3+…+ кn;
3. СОЧЕТАНИЯ
а) без повторений: обозначение (m > n)
б) с повторениями: обозначение =
4. БИНОМ НЬЮТОНА
Бином – иначе двучлен.
В школьной математике рассматривают степени бинома:
- При n = 0 (a + b)0 =1,
- При n = 1 (a + b)1 = a + b,
- При n = 2 (a + b)2 = a2+ 2ab + b2,
- При n = 3 (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2 + b3, и т. д.
Если выписать все коэффициенты, то получим « Треугольник Паскаля»:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Любой коэффициент можно рассчитать также по формуле cочетаний без повторений
Замечание: n! – « эн факториал»;
Расчётная формула: n!= 1 2
3
4
5
…
n.
0! = 1; 4! = 12
3
;
1! = 1; 5! = 12
3
5 = 120 ; и т. д.
2! =1 2 =2;
3! = 12
3 =6;
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ
1. ЗАКОН СУММЫ
а) для непересекающихся множеств:
Теорема: Количество элементов в непересекающихся множествах равно сумме количеств элементов этих множеств.
Запись: n ( A B) = n (A) + n (B).
б) для пересекающихся множеств:
Теорема: Количество элементов в пересекающихся множествах равно сумме количеств элементов этих множеств без количества элементов в их пересечении.
Запись: n (A B) = n (A) + n (B) – n ( A
B).
Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши , то выбрать один плод можно 7 + 4 = 11 способами, т.к.
А – множество яблок, n (A)= 7,
B – множество груш , n (B)= 4,
А и В – непересекающиеся множества, поэтому: n ( A B) = n (A) + n (B) = 7 + 4 = 11
2. ЗАКОН ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Теорема: Если множества А и Б конечны, то количество элементов в их Декартовом произведении равно произведению количеств элементов этих множеств.
Запись: n (А В ) = n( A)
n (B).
Решение задач
1) Решение задач на применение основных законов комбинаторики
ПРИМЕР 2.1.
Если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то сколькими способами наугад можно выбрать 1 фрукт?
Решение.
Пусть A – множество яблок, где n(A) = 7
а B - множество груш, где n(B) = 4
По условию задачи эти множества непустые и дизъюнктные, следовательно, согласно закону суммы для дизъюнктных множеств, имеем:
n ( A B) = n(A) + n(B) = 7 + 4 = 11
Ответ: 11 различными способами можно выбрать 1 фрукт.
ПРИМЕР 2.2.
В учебной группе 42 студента. Из них 16 посещают секцию по лёгкой атлетике, 24- играют в футбол, 15- ходят на шахматы, 11 человек- заняты и лёгкой атлетикой и футболом, 8 человек – заняты и шахматами и лёгкой атлетикой 12 человек – футбол и шахматы, 6 человек посещают и лёгкую атлетику, и футбол, и шахматы. Остальные увлекаются туризмом. Сколько студентов являются туристами?
Решение.
U –множество всех студентов группы, n( U) = 42,
A –множество студентов, увлекающихся лёгкой атлетикой, n(A) =16,
B- множество студентов, увлекающихся футболом, n( B) =24,
C- множество студентов, играющих в шахматы, n(C) = 15.
Кроме того, по условию задачи имеем:
n ( A B) = 11, n ( A
C) =8, n ( B
C) = 12, n (
B
C)= 6.
Пусть X –множество туристов.
Требуется найти n( X)
По условию задачи имеем: U = A B
C
X, причём X
=
Тогда n (A B
C ) = n(A)+ n( B)+ n(C)- n ( A
B)- n ( A
C)- n ( B
C)+ n (
B
C)
Имеем: n (A B
C ) =16+24+15-11-8-12+6 = 30
n( X) = n( U) - n (A B
C ) = 42-30 = 12
Ответ: туризмом увлекаются 12 студентов.
ПРИМЕР 2.3.
Сколько автомобильных номеров, состоящих из 1 буквы, за которой следуют 3 цифры и ещё 2 буквы можно составить, используя 32 буквы и 10 цифр?
Решение.
Пусть А – множество букв, где n(A)= 32, В – множество цифр, где n( B)= 10,
где множества А и В непустые и конечные, тогда
каждый номер требуемого вида – кортеж из Декартова произведения вида:
А.
Требуется определить количество номеров, т.е. найти
n (А )
Используя закон произведения для конечных непустых множеств, имеем:
n (А ) = n( A) *n( B)* n( B) *n( B)* n( A)* n( A)= 32*10*10*10*32*32 = =323 *1000
Ответ: искомое количество автомобильных номеров 323 *1000
2) Решение задач на применение основных формул комбинаторики.
ПРИМЕР 2.4. Сколько имеется вариантов расстановки 5 книг на одной полке?
Решение. Искомое число вариантов равно:
При нахождении факториалов следует помнить, что
Иногда задача заключается в упорядочении не всех п объектов, а лишь некоторой последовательности из А объектов. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из п элементов по к элементов.
Определение. Размещениями из п элементов по к в каждом называются такие последовательности, каждое из которых содержит к элементов, взятых из числа данных п элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.
Число размещений из п элементов по k обозначается (читается «А из п по k») и вычисляется по формуле:
ПРИМЕР 2.5. В конкурсе медсестер участвуют 12 человек. Имеется три призовых места (1, 2, 3 место). Сколько имеется вариантов распределения трех призовых мест.
Решение. В данной задаче имеют значение и выбор трех участников конкурса, и распределение мест среди них. Следовательно, необходимо найти размещение из 12 элементов по 3.
Иногда возникает необходимость не учитывать порядок следования элементов в размещении. Такие последовательности называются сочетанием.
Определение. Сочетанием из п элементов по к называются любые последовательности из к элементов, входящих в число данных п элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.
Число сочетаний из п элементов по k обозначается (читается «С из п по k») и вычисляется по формуле:
ПРИМЕР 2.6. В клетке содержится 10 мышей. Необходимо отобрать 4 мыши для проведения эксперимента. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Так как порядок выбранных мышей не имеет значения, то используем формулу для нахождения сочетаний из 10 по 4:
ПРИМЕР 2.7.
Сколько пятизначных номеров можно составить из 9 цифр: 1,2,3,4,5,6,7,8,9.?
Решение.
Такие номера являются кортежами длины 5, составленными из элементов множества
X = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}/ Тогда их количество определим по формуле размещений с повторениями типа: =
имеем:
=
= 6561
ПРИМЕР 2.8.
Cколько слов можно получить, переставляя буквы в слове « МАТЕМАТИКА»?
Решение.
Слово « Математика» является кортежем длины 10, имеющим состав ( 2, 3, 2, 1, 1,1), т.к. буква « М» входит в слово 2 раза; буква « А» входит в слово 3 раза; буква « Т» входит в слово 2 раза; буква « Е» входит в слово 1 раз; буква « И» входит в слово 1 раз;
буква « К» входит в слово 1 раз.
Воспользуемся формулой перестановок с повторениями типа:
=
, где k =
Имеем: =
=
=151200 « слов»
ПРИМЕР 2.9.
Сколько наборов из 7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?
Решение.
Воспользуемся формулой для вычисления количества сочетаний с повторениями типа:
=
Имеем: =
=
=
=
= 120
Ответ: 120 наборов пирожных.
Задача для самостоятельного решения
1. В отделе НИИ работают несколько человек, причём, каждый из них знает хотя бы один иностранный язык: 6человек- английский; 6 человек –немецкий; 7 человек- французский; 4- и английский и немецкий; 3- и немецкий и французский; 2—и французский и английский; 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский? Сколько знают лишь один язык?
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
Вариант №1
- В почтовом отделении продают открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?
а) 15 б) 45; в) 10
2. Вычислить
а) 15 б) 60 в) 75
3.Разложить в многочлен (используя бином Ньютона)
а) +
б)+
в)
Вариант №2
1. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «мрамор»?
а) 180 б) 45; в) 65
2. Вычислить
а) 20 б) -92 в) 56
- Разложить в многочлен (по правилу моделирования бинома Ньютона)
а) +
б)+
в)+
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №11
Тема: «Элементы теории вероятностей»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
Определение: Теория вероятностей-это наука, изучающая закономерности однородных случайных событий.
Определение: События – это действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий.
Различают события:
а) достоверные; б) невозможные; в) случайные.
Определение: Вероятностью P(A) события А называется отношение числа( m) элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу (n) равновозможных элементарных событий.
P(A)= m /n
Свойства вероятностей событий:
1.Если А-случайное событие, то 0 P(A)
1 ,
2.Если А – достоверное высказывание, то P(A)=1.
3.Если А – невозможное высказывание, то P(A)=0.
Операции над событиями
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания:
А+В – «наступит или событие А, или событие В».
Например, в урне находятся белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие В+С означает: вынут или красный или синий шар.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех событий в результате испытания:
АВ – « одновременно наступят и событие А, и событие В».
Например, в урне находятся белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие В*С означает: вынуты одновременно и красный и синий шары.
Например, А-из колоды карт наугад вынута карта пиковой масти, С-из колоды карт наугад вынут валет. Тогда, событие А*С - из колоды карт наугад вынут валет пик.
Разностью двух событий называется событие, состоящее из исходов, входящих в событие А, но не входящих в событие В.
(А-В)- «А без В».
Например, при бросании игрального кубика событие А- выпадение чётных чисел типа ( 2,4,6), событие В- выпадение чисел, кратных 3, то есть ( 3,6).Тогда событие
(А-В)- появление чисел 2,4; (В-А)- появление числа 3.
ТЕОРЕМЫ СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение: Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.
Определение: Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого
ТЕОРЕМА № 1: Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.
Р(А + В)=Р (А) + Р ( В).
ТЕОРЕМА № 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.
Р(А + В)=Р (А) + Р ( В) - Р (А В).
ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Определение: События А и В называют независимыми друг от друга, если вероятность наступления одного из них не зависит от того, наступит другое событие или нет / и наоборот /.
ТЕОРЕМА № 3: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р(А В)=Р (А)
Р ( В).
Определение: События А и В называют зависимыми друг от друга, если вероятность наступления одного из них зависит от того, наступит другое событие или нет /и наоборот /.
ТЕОРЕМА № 4: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий на условную вероятность другого, т.е.
Р(А В)=Р (А)
Р (В/А) или
P(А В)=Р (В)
Р (А/В)
Р( В/А) и Р ( А/В) – условные вероятности, где
Р ( В/А) – вероятность того, что событие В наступит при условии того , что событие А уже наступило.
Р ( А/В) - вероятность того, что событие А наступит при условии того , что событие В уже наступило.
Определение. Случайной называется величина , которая в результате опыта принимает с определённой вероятностью то или иное значение, зависящее от исхода опыта.
Определение. Случайная величина называется дискретной если множество её значений конечно или счётно.
Определение. Математическим ожиданием M(X) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности
: M(X) =
Определение. Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата её отклонения: D(X) = M( X – M(X))2
Определение. Отклонением называется разность между случайной величиной X и её математическим ожиданием: = X – M(X)
Определение. Среднеквадратическое отклонение случайных величины X – это корень квадратный из дисперсии:=
)
Решение задач.
1 Расчёт вероятностей случайных событий по определению
ПРИМЕР 1.1. Найти вероятность выпадения числа, кратного 3, при одном бросании игрального кубика.
Решение. Событие А — выпадение числа, кратного 3. Этому событию благоприятствуют два исхода: числа 3 и 6, т.е. т = 2. Общее число исходов состоит в выпадении чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, т.е. п = 6. Очевидно, что эти события равно-возможны и образуют полную группу. Тогда искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов:
ПРИМЕР 1.2. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).
Решение. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:
2. Решение задач на применение законов суммы и произведения.
ПРИМЕР 2.1. Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.
Решение. Событие А — выпадение цифры 2, вероятность этого события . Событие В — выпадение цифры 3, вероятность этого события . События несовместные, поэтому
В том случае, если события А и В являются совместными, справедлива следующая теорема.
Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А х В).
ПРИМЕР 2.2. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,65, а второго — 0,6. Определить вероятность поражения мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.
Решение. Так как при стрельбе возможно попадание в мишень двумя стрелками, то эти события совместные. Следовательно:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А *В) = 0,65+0,6 - 0,39 =0,86.
ПРИМЕР 2.3. В урне находятся 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Первым был вынут черный шар, найти вероятность того, что второй шар будет черным.
Решение. Вероятность появления черного шара первый раз (событие В) равна Р(В) = 3/10; а вероятность появления его второй раз (событие А), при условии, что событие В произошло, равна Р(А/В) = 2/9, так как в урне осталось 9 шаров, из них 2 черных.
Рассмотрим закон умножения вероятностей для независимых событий.
Произведением двух событий А и В называют событие С = А х В, состоящее в совместном осуществлении этих событий.
Теорема. Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:
Этот закон справедлив и для п независимых событий:
ПРИМЕР 2.4. В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго — 15, из 30 вопросов третьего — 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.
Решение. Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые события A1 А2, и А3, а их вероятности соответственно равны:
Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(В) можно найти по формуле
ПРИМЕР 2.5. В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.
Решение. Вероятность того, что первый студент не готов к ответу, Р(А) = 5/2о; вероятность того, что и второй студент также не подготовлен, как и первый, Р(В/А)=4/19. Тогда для ответа на вопрос воспользуемся формулой:
ПРИМЕР 2.6. На аптечный склад поступили лекарственные средства от трех фирм-производителей. Первый производитель поставил 200 ампул, второй — 200 и третий — 400. Известно, что процент бракованной продукции составит: у первого поставщика 2%, у второго — 3%, у третьего — 1%.
Для контроля была взята 1 ампула. Какова вероятность, что она окажется бракованной?
Решение. Пусть событие А — взятая ампула оказалась бракованной. Тогда возможны следующие три гипотезы.
Гипотеза Н1: ампула изготовлена первым производите
Гипотеза Н2: ампула изготовлена вторым производите
Гипотеза Н3 ампула изготовлена третьим производителем и
Условные вероятности события А при этих гипотезах, согласно условию задачи, равны соответственно:
Тогда по формуле имеем:
ПРИМЕР 2.7. Построить график ряда распределения значений частоты пульса в гипотетической группе из 47 человек (табл. 1).
Таблица 1
Значения случайной | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 |
величины уд/мин | |||||||||||
Значения | 2 | 2 | 4 | 5 | 7 | 7 | 6 | 4 | 4 | 3 | 3 |
вероятности p(xi) | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 |
Решение. По данным таблицы построен график, который называется многоугольником распределения вероятностей.
Рис12
В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величинах принимает некоторое определенное значение xi, необходимо знать, что случайная величина Х меньше xi. Эта вероятность задается интегральной функцией распределения.
Определение. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X
Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т.е.
где неравенство X < xi,- под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения Х меньше xi.
ПРИМЕР 2.8. Используя данные таблицы 1, получим интегральную функцию распределения частоты пульса.
Решение.
Таблица 2
Значения случайной | ||||||||||||
величины xi, уд/мин | 65 | 66 | 67 | 68 | 69 | 70 | 71 | 72 | 73 | 74 | 75 | 76 |
F(xi) | 0 | 2 | 4 | 8 | 13 | 20 | 27 | 33 | 37 | 41 | 44 | 1 |
47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 | 47 |
Значения F{ xi) в таблице 3 получены следующим образом. Вероятность того, что
Р(Х < 65) = 0, так как значений меньше 65 нет.
Тогда:
График интегральной функции по данным таблицы 2
Таблица 3
Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причем при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение. На графике это отмечено черной точкой. Сумма величин всех скачков функции Fix) равна 1.
3. Решение задач на применение формулы полной вероятности случайных событий.
ПРИМЕР 3.1
Имеются урны трёх составов:
1 5 урн 6 белых и 3 чёрных шара;
2 3урны 10 белых и 1 чёрный шар;
3 7 урн 0 белых и 10 чёрных шаров.
Все шары в каждой урне перемешаны.
Испытание – извлекается шар. Какова вероятность того, что при этом будет извлечён белый шар?
Решение.
В1 - «Извлечь любой шар из урны 1»;
В2 - «Извлечь любой шар из урны 2»;
В3 - «Извлечь любой шар из урны 3 ».
А – извлечь белый шар.
А = В1А + В2 А+ В3А , при этом события В1, В2, В3 - попарно несовместны.
По формуле полной вероятности
P( A) = P(В1) P(A/ В1) + P(В2) P(A/ В2)+ P(В3) P(A/ В3)
имеем:
P(В1)= 1/3; P(В2)= 1/5; P(В3)= 7/15.
P(A/ В1)= 6/9 = 2/3; P(A/ В2) = 10/11; P(A/ В3)= 0
Таким образом,
P( A) = 1/3*2/3 +1/5*10/11+ 7/15*0 = 40/99 =0,4
4. Расчёт математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения случайной величины
ПРИМЕР 4.1. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X, зная закон ее распределения.
Таблица 3
X | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
р | 0,05 | 0,2 | 0,4 | 0,3 | 0,05 |
Решение. По формуле находим:
ПРИМЕР 4.2. Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, зная закон ее распределения.
Решение. По формуле находим:
ПРИМЕР 4.3. Случайная величина задана плотностью вероятности:
Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение. Математическое ожидание найдем по формуле:
Далее по формуле получаем:
ПРИМЕР 4.4.
Найти дисперсию и среднеквадратическое отклонение числа выбитых очков для каждого стрелка, если известны законы распределения случайных величин X и Y – числа очков, выбиваемых 1-ым и 2-ым стрелками.
X:
xi | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
pi | 0,15 | 0,11 | 0,04 | 0,05 | 0,04 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,05 | 0,12 | 0,20 |
Y:
yj | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
pj | 0,01 | 0,03 | 0,05 | 0,09 | 0,11 | 0,24 | 0,21 | 0,10 | 0,10 | 0,04 | 0,02 |
Решение.
1) Найдём математические ожидания случайных величин X и Y и оценим качество стрельбы первым и вторым стрелками:
M(X) =0*0,15 +1*0,11+ 2*0,04+3*0,05+ . . . + 9*0,12 + 10*0,20 = 5,36
M( Y)= 1*0,01+1*0,03+2*0,05+3*0,09+ . . . +9*0,04+ 10*0,02 =5,36
то есть среднее число выбиваемых очков одинаково.
2) Найдём дисперсии случайных величин X и Y и выясним, кому из стрелков нужно целиться лучше
D(X)= ( 0-5,36)2 * 0,15 + (1- 5,36)2 * 0,11 + . . . + ( 10-5,36)2 * 0,20 = 13,61
D(Y) =(0-5.36)2 *0,01 + (1-5.36)2 * 0,03+… + (10-5.36)2 *0,02 = 4,17
Таким образом, при равенстве средних значений числа выбиваемых очков
(M(X) = M( Y)), его дисперсия, т.е. характеристика рассеяния относительно среднего значения, меньше у второго стрелка ( D(Y) меньше D(X) )и, очевидно, ему для получения более высоких результатов стрельбы по сравнению с первым стрелком нужно сместить « центр» распределения выбиваемых очков, т.е. увеличить M( Y), научившись лучше целиться в мишень.
3) Найдём среднеквадратическое отклонение случайных величин X и Y
=
) =
= 3,69
=
) =
= 2,04
Проверочная работа
Вариант №1
1. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения.
-1 | 1 | 2 | 3 | |
Pi | 0,48 | 0,01 | 0,09 | 0,42 |
а) 0,97; б) 0,79; в) 1,24.
2. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос, преподаватель задаст еще один вопрос?
а) ; б)
; в)
.
3. Бросают две монеты. Какова вероятность того, что обе монеты упадут «решкой» кверху?
а) 0,01; б) 0,5; в) 0,25.
4. Из урны, содержащей 10 белых и 8 чёрных шаров, вынимают подряд все имеющиеся в ней шары. Найти вероятность того, что второй вынутый по порядку шар окажется белым.
а) ; б)
; в)
.
Вариант №2
1. Найти математическое ожидание случайной величины X, зная закон ее распределения.
Xt | -2 | -1 | 1 | 2 |
Pi | 0,42 | 0,01 | 0,04 | 0,56 |
а) 0,09; б) 0,31; в) 1,24.
2. Вероятность того, что в зимнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй — 0,9; третий — 0,8. Найти вероятность того, что студент сдаст хотя бы один экзамен?
а) 0,996; б) 0,31; в) 1,84.
3. Все натуральные числа от 1 до 30 написаны на одинаковых карточках и сложены в урну. После тщательного перемешивания вынимается одна карточка. Какова вероятность того, что число на этой карточке окажется кратным числу 5?
а) 0,09; б) 0,25; в) 0,2.
4. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал её наугад. Какова вероятность того, что он дозвонится до адресата?
а) 0,1; б) 0,01; в) 0,2.
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №12
Тема: «Элементы математической статистики»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
Определение. Математическая статистика-это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей.
Т.О.
- В центре внимания математической статистики- массовые явления.
- Единственный способ получения информации- проведение эксперимента.
- Все характеристики случайных процессов и явлений получаются по экспериментальным данным.
- Определение. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака X называют вариантами ( обозначение :
,
,…
).
- Определение. Последовательность вариант в порядке возрастания(убывания) называется вариационным рядом.
Определение. Объем выборки - это сумма частот вариант, то есть
N=,
-частота варианты
, где значение
признака Х наблюдалось
раз,
значение x2 признака Х наблюдалось n2 раз и т.д.
Определение. Числа называются частотами вариант
.
Определение. Относительная частота варианты это отношение частоты варианты к объёму выборки.
где
…,
Определение. Статистическими распределениями выборки называется таблица, вида
… | -вариационный ряд | ||||
… | N= | ||||
… |
|
Замечание. Зашифровать статистические данные – это значит построить статистическое распределение выборки, т.е. таблицу указанного вида.
- Геометрическая интерпретация статистического распределения выборки.
Определение. Полигоны – ломанные в первой четверти системы координат, соединяющие точки с координатами:
- для полигона частот
- Для полигона относительных частот
( xi ,w i)
- Определение. Гистограммы-столбчатые фигуры в системе координат ( в первой четверти), состоящие из тесно примыкающих друг к другу прямоугольников, разных высот.
- для гистограмма частот ( высоты соответствуют частотам
- для гистограмма относительных частот ( высоты соответствуют относительным частотам
Зам: Варианты задаются интервалами: конец предыдущего является началом последующего.
Определение. Интервальная оценка – это
Решение задач
1. Кодирование статистических данных.
ПРИМЕР 1.1.
Закодировать статистические данные: 2,6,5,2,2,5,3,3,1,3,3,5
Решение.
Имеем:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | вариационный ряд | |
ni | 1 | 2 | 4 | 0 | 3 | 1 | N=1+2+4+0+3+1=11 |
wi | 1/11 | 2/11 | 4/11 | 0 | 3/11 | 1/11 |
|
2. Построение статистического распределения выборки.
ПРИМЕР 2.1. Ежедневное количество студентов, посещающих методический кабинет на протяжении ряда дней, следующее:
15,17, 16,18,20,21, 18, 17,20, 15,
18,17,16,19,17,16,18,19,18,19.
Составить статистическое распределение выборки.
Решение. В первой строке таблицы 4 укажем встречающиеся значения посещений, во второй — количество таких значений и, наконец, в третьей — относительную частоту этих значений.
Значения признака хi | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
Частота встречаемости ni | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 2 | 1 |
Относительная частота wi | 0,1 | 0,15 | 0,2 | 0,25 | 0,15 | 0,1 | 0,05 |
3. Построение полигонов и гистограмм.
ПРИМЕР 3.1. Дано: статистическое распределение выборки
Интервал | 14,5-15,5 | 15,5-16,5 | 16,5-17,5 | 17,5-18,5 | 18,5-19,5 | 19,5-20,5 | 20,5-21,5 |
mi | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 2 | 1 |
fi | 0,1 | 0.15 | 0,2 | 0,25 | 0,15 | 0,1 | 0,05 |
Построить полигон и гистограмму относительных частот |
Решение.
Полигон частот можно получить из гистограммы путем соединения срединных значений классов . График полигона частот (или относительных частот) легко построить и по статистическому распределению. На оси вариант (О), из точек хi проводятся перпендикуляры высотой и соединяются ломаной линией.
При неограниченном увеличении числа наблюдений и увеличении количества классов ширина прямоугольников гистограммы будет уменьшаться и середины верхних концов прямоугольников сольются в одну сплошную плавную линию, которая в пределе станет графиком плотности.
4. Интервальная оценка.
ПРИМЕР 4.1. Имеется выборка: 2, 4, 5, 3, 6, 4. Найти выборочную среднюю, выборочную дисперсию и ошибку выборочной средней.
Решение.
ПРИМЕР 4.2. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
хi | 4 | 5 | 6 | 7 |
mi | 10 | 12 | 6 | 2 |
Найти оценки математического ожидания и дисперсии.
Решение.
ПРИМЕР 4.3. Для данных примера 4.2. найти доверительный интервал математического ожидания с вероятностью 0,95.
Решение.
Из решения примера 4.2. имеем:
В таблице Стьюдента найдем .
Тогда:
ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА
Вариант №1
1.Закодировать статистические данные: 3,5, 1,1,2,1, 2, 3, 3,3
а)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | вариационный ряд | |
3 | 2 | 4 | 0 | 1 | объём выборки N =10 | |
0,3 | 0,2 | 0,4 | 0 | 0,1 |
|
б)
1 | 2 | 3 | 5 | вариационный ряд | |
3 | 2 | 4 | 1 | объём выборки N =10 | |
0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
|
в)
5 | 4 | 3 | 1 | вариационный ряд | |
2 | 2 | 3 | 1 | объём выборки N =8 | |
|
2. Из генеральной совокупности извлечена выборка:
хi | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
mi | 3 | 2 | 4 | 2 | 5 | 4 |
Найти оценки математического ожидания и дисперсии.
а) = 5; S2
; б)
= 5,8; S2
; в)
= 1,8; S2
;
3.Дано статистическое распределение выборки
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
ni | 2 | 3 | 4 | 5 | 0 | 2 |
Построить полигон частот |
а) б)
в)
Вариант №2
1.Закодировать статистические данные: 5,3,5, 1,3,2,1, 3, 4, 5
а)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | вариационный ряд | |
3 | 2 | 4 | 0 | 1 | объём выборки N =10 | |
0,3 | 0,2 | 0,4 | 0 | 0,1 |
|
б)
1 | 2 | 3 | 5 | вариационный ряд | |
3 | 2 | 4 | 1 | объём выборки N =10 | |
0,3 | 0,2 | 0,4 | 0,1 |
|
в)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | вариационный ряд | |
2 | 1 | 3 | 1 | 3 | объём выборки N =10 | |
0,2 | 0,1 | 0,3 | 0,1 | 0,3 |
|
2. Дано статистическое распределение выборки
4 | 5 | 6 | 7 | |
3 | 6 | 7 | 1 |
Вычислить значения относительных частот
а)
4 | 5 | 6 | 7 | |
б)
4 | 5 | 6 | 7 | |
в)
4 | 5 | 6 | 7 | |
3. Вычислить выборочное среднее для выборки
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
1 | 1 | 3 | 4 | 11 | 5 |
а) 4,01; б) 4,44; в) 4,52
Предварительный просмотр:
Раздел IV. Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении
Практическое занятие №13
Тема: «Медицинская статистика»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Справка
I Медико-демографические показатели
Сальдо миграции: D= ( M+) - ( M-), где М+ количество прибывших, M- количество убывших.
Интенсивность миграции:
Общая интенсивность миграции , где S- численность населения.
Интенсивность миграции прибывших
Интенсивность миграции убывших
Коэффициент эффективности миграции Kэф.=
Общий показатель рождаемости =
Среднегодовая численность населения равна
Общий показатель смертности равен
Показатель смертности для умерших в данном месяце
=
Коэффициент детской смертности до года КДС(1) = , где
число детей, умерших до года,
S - среднее число детей, родившихся в этом году
Коэффициент детской смертности после года КДС = ,
где
– число детей, родившихся в данном году;
- число детей, родившихся в предыдущем году.
Показатель плодовитости =
(для женщин от 15 до 49 лет)
Показатель суммарной плодовитости
= (число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни)/ 1000
II Статистические показатели для оценки деятельности поликлиники.
Организация работы поликлиники оценивается по показателям, характеризующим:
- динамику посещений (отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100);
- структуру посещений – по поводу заболеваний или с профилактической целью (отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100);
- нагрузку на врачебную должность (отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей);
- активность посещений врачами пациентов на дому (отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100);
Профилактическая работа поликлиники оценивается:
- полнотой охвата медицинскими осмотрами (отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100);
- процентом населения, осмотренного с целью выявления заболевания (отношение числа осмотренных к численности населения);
- частотой выявленных заболеваний (отношение числа выявленных заболеваний к числу осмотренных);
- показателями диспансеризации (полнота охвата, своевременность взятия на диспансерный учет, удельный вес вновь взятых под наблюдение, среднее число диспансеризуемых на одном участке, исходы и эффективность диспансеризации).
- качество врачебной диагностики определяется на основе сравнения диагнозов, поставленных больным при направлении на госпитализацию, с диагнозами, установленными в стационаре. Преемственность работы поликлиники и стационара оценивается числом пациентов, подготовленных к плановой госпитализации, и обменом документацией до и после лечения их в стационаре.
Решение задач
I Медико-демографические показатели
ПРИМЕР 1.1.
На территорию численностью в 987 человек за отчётный период прибыло 127 человек, а убыло 235 человек. Определить :
а) общую интенсивность миграции;
б) интенсивность миграции прибывших;
в) интенсивность миграции убывших;
г) коэффициент эффективности миграции .
РЕШЕНИЕ
1) D= ( M+)- ( M-) = 127 – 235 = -108 –сальдо миграции
2) = (-108) / ( 987 * 1000) = - 0,00011 - общая интенсивность миграции
3) = 127 / ( 987 *1000) = 0,00013 - интенсивность миграции прибывших
4) = 235 / ( 987 *1000) = 0,00024 - интенсивность миграции убывших
5) Kэф.= = (-108)/ ( 127 + 235)* 1000 = - 0,00030 - коэффициент эффективности миграции
ПРИМЕР 1.2. Представить в виде линейной диаграммы ожидаемую продолжительность жизни в России с 1991 по 1997 год (Путь в XXI век: Стратегические проблемы и перспективы российской экономики. — М.: Экономика, 1999. — С. 285). Данные приведены в таблице .
Таблица
Годы | 1991 | 1992 | 1993 | 1994 | 1995 | 1996 | 1997 |
Мужчины | 63,5 | 62,0 | 58,9 | 57,4 | 58,2 | 59,7 | 61,0 |
Женщины | 74,3 | 73,3 | 71,9 | 71,0 | 71,7 | 79,5 | 73,1 |
Линейная диаграмма позволяет более наглядно представить изменения анализируемого показателя. На рисунке для отображения различий показателей использована координатная сетка.
Столбиковая диаграмма отображает значения анализируемых величин в виде прямоугольных столбиков, высота которых пропорциональна их значению.
ПРИМЕР 1.3. Представить данные таблицы приме 1.2. в виде столбиковой диаграммы.
Решение. Столбиковая диаграмма изображена на рисунке , где высота каждого столбца соответствует значениям таблицы примера 1.2.
Разновидностью столбиковых диаграмм являются ленточные диаграммы. В этом случае значения анализируемых величин откладываются по оси абсцисс.
ПРИМЕР 1.4. Данные таблицы примера 1.2. представить в виде ленточной диаграммы.
Решение. По оси ординат откладывают годы, а по оси абсцисс — возрастные показатели, причем справа мужчин, а слева — женщин (рис. 16).
Рис 16
Круговые диаграммы позволяют наглядно изобразить исследуемые величины, выраженные в процентных соотношениях или в относительных значениях. Для этого необходимо изобразить окружность произвольного радиуса и разбить сё на секторы, величина которых соответствует представляемым величинам. Начало отсчета начинается от верхней точки (12 часов) и далее по часовой стрелке, при этом 1% соответствует 3,6° окружности. Тогда значения величины в процентах или в относительных величинах умножают на 3,6° и получают угол сектора, соответствующий величине каждого показателя.
ПРИМЕР 1.5. Представить в виде круговой диаграммы данные о больных, поступивших в травматологическое отделение, из данной таблицы .
Таблица
Характер повреждения | Количество больных | % |
1. Изолированные травмы | 22 | 44 |
2. Множественные травмы | 14 | 28 |
3. Сочетанные травмы | 6 | 12 |
4. Прочие | 8 | 16 |
Итого | 50 | 100 |
Решение. Исходя из процентных соотношений находят углы секторов, соответствующие характерам повреждений:
1)44% • 3,6°= 158,4°;
2) 28% • 3,6° = 100,8°;
3)12% • 3,6° = 43,2°;
4) 16% • 3,6° = 57,6°.
Откладываем полученные величины нa круговой диаграмме начиная с верхней точки (12 часов) и соединяем с центром окружности. Наносим на секторы различные штриховки и указываем значения величин в процентах (рис. 17а).
Полученные значения можно представить в виде внутристолбиковой диаграммы (рис. 17б). Для этого берется прямоугольник произвольной высоты, которая принимается за 100%, и вся высота разбивается на участки, пропорциональные процентным соотношениям.
ПРИМЕР 1.6.
Рассчитать общий показатель рождаемости, ели общее число , родившихся за год живыми 568 человек, а количество населения данной местности на 01.01 составило 45 000 человек, на 31. 12. Составило 45231 человек.
Решение.
1) (45000+ 45231) / 12 = 7520 ( чел) –среднегодовая численность населения.
2) Общий показатель рождаемости = =
= (568 * 1000) / 7525 = 76
ПРИМЕР 1.8.
Рассчитать показатель смертности для умерших в данном месяце, если количество умерших в данном месяце составило 365 человек, а общее число умерших в течение года – 89 457 человек.
Решение.
По формуле типа: имеем:
(365*100) / 89457 = 0,41
ПРИМЕР 1.9.
Рассчитать КДС(1), если 162 человека - число детей, умерших до года,
8971 человек - среднее число детей, родившихся в этом году.
Решение.
По формуле типа КДС(1) = имеем КДС(1) =
(1000 * 162) / 8971 = 18
ПРИМЕР 1.10.
Рассчитать КДС , если
12488 человек - число детей, родившихся в данном году;
9664 человек - число детей, родившихся в предыдущем году.
Решение.
По формуле типа КДС = имеем: КДС = 457 / (2/3 *12488+ 1/3 * 9664) =
= 457 / ( 8325 + 3221) = 457 / 11546 = 0, 05
ПРИМЕР 1.11.
Рассчитать показатель плодовитости, если общее число, родившихся за год живыми составило 4589 человек, а средняя численность женщин от 15 до 49 лет составила 8963 человека.
Решение.
По формуле типа
Показатель плодовитости =
имеем: (4589 *1000) / 8963 = 512
ПРИМЕР 1.12.
Рассчитать показатель суммарной плодовитости, если
число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни составило 3 ребёнка.
Решение.
По формуле типа : Показатель суммарной плодовитости
= (число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни)/ 1000 имеем:
Показатель суммарной плодовитости = 3/1000 =0,003
II Статистические показатели для оценки деятельности поликлиники.
ПРИМЕР 2.1.
Определить динамику посещений поликлиники , если общее число посещений поликлиники в отчётном году составило 12 451, а в предыдущем году -12568.
Решение.
По формуле типа : отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100
имеем: ( 12451 / 12568) * 100 = 99
ПРИМЕР 2.2.
Определить структуру посещений поликлиники по поводу заболеваний или с профилактической целью, если число посещений по поводу заболевания или с профилактической целью составило 4589, а число всех посещений -14897.
Решение.
По формуле типа: отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100
имеем: (4589 / 14897) * 100 = 31
ПРИМЕР 2.3.
Определить нагрузку на врачебную должность, если количество посещений всех врачей поликлиники за отчётный период составило 8975 при количестве занятых врачебных должностей - 8997.
Решение.
По формуле типа : отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей
имеем: 8975 / 8997 = 0,99
ПРИМЕР 2.4.
Определить активность посещений врачами пациентов на дому, если число активных посещений на дому составило за отчётный период 56, а число всех посещений на дому – 71.
Решение.
По формуле типа: отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100,
имеем: (56 /71) *100 = 79
ПРИМЕР 2.5.
Определить
а) полноту охвата медицинскими осмотрами;
б) процент населения, осмотренного с целью выявления заболевания;
в) частоту выявленных заболеваний,
если общее число осмотренных за отчётный период составило 4235 человек;
численность населения данной местности 25000 человек; количество выявленных заболеваний-46; количество населения, подлежащее осмотру- 19788 человек.
Решение.
а) По формуле типа: отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100
имеем: (4235/ 19788) *100 = 21;
б) По формуле типа: отношение числа осмотренных к численности населения
имеем: 4235 / 25000 = 0,2;
в) По формуле типа: отношение числа выявленных заболеваний к числу осмотренных
имеем: 46 / 4235 =0,01.
3. Расчёт статистических показателей для оценки деятельности стационара.
Показателями деятельности стационара являются:
- обеспеченность населения стационарной помощью ( отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000);
- нагрузка медицинского персонала (число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену);
- материально-техническая и медицинская оснащенность; использование коечного фонда;
- качество лечебно-диагностической стационарной помощи и ее эффективность.
Коечный фонд и его использование характеризуются следующими показателями:
- состав коечного фонда (отношение числа коек по отдельным профилям к общему числу коек, в %);
- среднее число занятости койки в году (отношение числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней);
- средняя длительность пребывания больного на койке (отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных); этот показатель рассчитывается по нозологическим формам, ориентировочный норматив длительности пребывания на терапевтической койке- 16-18 дней;
- оборот койки - функция койки (отношение числа пролеченных больных к числу коек, ориентировочный норматив- 17-20 больных в год).
О качестве обслуживания больных в стационаре можно судить по показателям больничной летальности (отношение числа умерших к числу пролеченных больных, умноженное на 100). В зависимости от отделений и состава больных этот показатель может быть от 1 до 3 на 100 больных. Оценивается показатель послеоперационной летальности (отношение числа умерших среди прооперированных к числу прооперированных).
Частота послеоперационных осложнений определяется отношением числа осложнений к числу проведенных операций.
Замечание.
Показатели досуточной летальности (в первые 24 часа пребывания больного стационаре), процент совпадения диагнозов направления, клинического и патологоанатомического служат для характеристики качества врачебной диагностики.
Решение задач
Расчёт статистических показателей для оценки деятельности стационара
ПРИМЕР 3.1.
Рассчитать обеспеченность населения стационарной помощью, если число коек составило 2569, а численность населения – 189273 человек
Решение.
Имеем: отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000
2569/ 189 273 = 0,014
ПРИМЕР 3.2.
Как рассчитать нагрузку медицинского персонала?
Решение.
Нагрузка медперсонала –это число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену.
ПРИМЕР 3.3.
Рассчитать состав коечного фонда в (%), если число коек по отдельным профилям составил 2456, а общее число коек составило 1587.
Решение.
Имеем: отношение числа коек по отдельным профилям к общему числу коек
2456 /1587 = 1,5 %
ПРИМЕР 3.4.
Рассчитать среднее число занятости койки в году, если количество койко-дней составило 37185, а количество среднегодовых коек составило111.
Решение.
Имеем: отношение числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней;
37185 /111 = 335, что соответствует норме.
ПРИМЕР 3.5.
Рассчитать среднюю длительность пребывания больного на койке, если количество койко-дней составило 265, а число пролеченных – 314 человек.
Решение.
Имеем: отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных
265 /314 = 0,8
ПРИМЕР 3.6.
Рассчитать оборот койки, если число пролеченных больных за отчётный период составило 21690,а число коек в данном ЛПУ составило 1205.
Решение.
Имеем: отношение числа пролеченных больных к числу коек
21690 / 1205 = 18 больных в год, что соответствует ориентировочному нормативу, который составляет 17-20 больных в год.
Проверочная работа
Вариант №1
- Рассчитать общий показатель смертности, если общее число умерших от всех причин за отчётный период данной местности составило 5648, а среднегодовая численность населения составила 86 124.
а) 78; б) 66; в) 95
- Рассчитать КДС , если
12388 человек - число детей, родившихся в данном году;
9646 человек - число детей, родившихся в предыдущем году.
а) 08; б)
66; в)
0,04.
- Рассчитать состав коечного фонда в (%), если число коек по отдельным профилям составил 1256, а общее число коек составило 1875.
а) ; б)
66; в)
1,5.
4. На территорию численностью в 15687 человек за отчётный период прибыло 1025 человек, а убыло 665 человек. Определить коэффициент эффективности миграции.
а) ; б)
; в)
-1,001.
- Определить динамику посещений поликлиники, если общее число посещений поликлиники в отчётном году составило 16345, а в предыдущем году 14388.
а) ; б)
; в)
114.
6. Что определяется по формуле типа (отношение числа умерших к числу пролеченных в ЛПУ больных, умноженное на 100)?
а) больничная летальность; б) послеоперационная летальность;
в) досуточная летальность.
Вариант №2
1. Рассчитать общий показатель рождаемости, ели общее число, родившихся за год живыми 865 человек, а количество населения данной местности на 01.01 составило 54 000 человек, на 31. 12. составило 54231 человек.
а) ; б) )
76; в) )
2. Рассчитать оборот койки, если число пролеченных больных за отчётный период составило 28562, а число коек в данном ЛПУ составило 1395. Соответствует ли этот показатель ориентировочному нормативу?
а); б)
21; не соответствует; в)
3.На территорию численностью в 19578 человек за отчётный период прибыло 1127 человек, а убыло 1925 человек. Определить общую интенсивность миграции.
а) ; б)
; в)
-0,00004.
4. Определить нагрузку на врачебную должность, если количество посещений всех врачей поликлиники за отчётный период составило 9875 при количестве занятых врачебных должностей - 9897.
а) ; б)
; в)
0,09.
5. Число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену в ЛПУ называется
а) обеспеченность населения стационарной помощью;
б) нагрузка медперсонала; в) оборот койки.
6. Определить полноту охвата медицинскими осмотрами;
если общее число осмотренных за отчётный период составило 2453 человек;
численность населения данной местности 25000 человек; количество выявленных заболеваний-46; количество населения, подлежащее осмотру- 29877человек.
а) ; б)
; в)
8.
Предварительный просмотр:
Раздел V.Основные численные математические методы в профессиональной деятельности среднего медицинского работника
Практическое занятие №14
Тема: «Прикладные задачи в медицине»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Введение.
Сегодня мы рассмотрим
1. Вычисление процентов и решение пропорций ;
2. Алгоритмы расчёта процентной концентрации растворов ;
3. Формулу определение цены деления шприца ;
4. Приёмы стандартного разведение антибиотиков ;
5. Набор в шприц заданной дозы инсулина.
Решение задач
1. Проценты, составление и решение пропорций.
а) 1% -это сотая часть числа.
УПРАЖНЕНИЕ 1.1.
Найти, сколько процентов составляет
а) число 58 от числа 31 ?
б) число 31 от числа 58 ?
Решение.
а)
Имеем: x =
187 %
б)
Имеем : y =
53 %
Ответ: а) Число 58 составляет 187 % от числа 31.
б) Число 31 составляет 53 % от числа 58.
УПРАЖНЕНИЕ 1.2.
Найти число по его проценту.
а) Найти число, которое составляет 48% от числа 13.
б) Найти число, которое составляет 201%от числа 36.
Решение.
а) Имеем: x =
б) Имеем: z = = 72,36
Ответ: а) Число 6,24 составляет 48% от числа 13;
б) Число 72,36 составляет 201%от числа 36.
ПРИМЕР1.3. Отделение функциональной диагностики обслуживало 40 человек в день. После внедрения компьютерных технологий пропускная способность отделения увеличилась на 35%. Сколько человек стало обслуживать отделение?
Решение. Процент обследуемого населения составил:
100% + 35%о= 135%,
тогда пропускная способность отделения равна:
40 • 135 : 100 = 54 человека в день.
2. Чтобы найти исходное число по указанному проценту, необходимо данное число разделить на значение процента и умножить на 100.
ПРИМЕР 1.4. С наступлением холодов количество больных с острыми респираторными заболеваниями (ОРЗ) увеличилось до 15 человек в день, а до этого составляло около 10 человек. На сколько процентов возросло число больных с ОРЗ.
Решение. Вычислим, на сколько человек возросло количество больных с ОРЗ:
15-10 = 5 человек.
Определим, какой процент это составляет от 10 человек:
(5 : 10) • 100 = 50%.
ПРИМЕР1.5. Дана пропорция , найти х.
Решение,
ПРИМЕР 1.6. Четверо пациентов получают в сутки 6 г бициллина-5. Сколько потребуется препарата в сутки, если поступают еще двое больных с аналогичным диагнозом.
Решение. 4 больных получают 6 г бициллина-5, а 6 больных — х г, тогда:
ПРИМЕР 1.7. 26 человек поступили в травмпункт с переломом конечностей, что составило 1 3% от всех обратившихся. Сколько человек поступило в травмпункт?
Решение. (26 : 13) • 100 = 200 человек.
3. Чтобы найти выражение одного числа в процентах другого, необходимо первое число разделить на второе и умножить на 100.
2. Расчёт процентной концентрации растворов.
ПРИМЕР 2.1. ( Приготовление раствора заданной концентрации в данном количестве из сухого концентрата и воды)
Приготовить 312 мл. 40% раствора глюкозы, если имеется глюкоза в пороке ( сухой концентрат). Достаточно ли сухого концентрата, если в наличие 154 гр. Порошка глюкозы?
Решение.
1)
растворить в
2)
Математическая
модель
Имеем: )
( x =
)
гр.- необходимое количество сухого концентрата для приготовления 312 мл. раствора.
3) 312- 124,8 = 187,2( мл.) - необходимое количество воды для приготовления 312 мл. раствора.
Таким образом, имеем:
4) Так, как
Так, как больше , то сухого
концентрата
достаточно.
ПРИМЕР 2.2. ( Приготовление раствора заданной концентрации в данном количестве из жидкого концентрата и воды)
Приготовить 125 мл 40 % раствора этилового спирта для согревающего компресса, если имеется 93% раствор этилового спирта в количестве 95 мл. Возможно ли реально приготовить этот раствор?
Решение.
1) Найдём необходимое количество жидкого концентрата (93% раствор этилового спирта):
Имеем:
( x = )
) мл. -
необходимое количество жидкого концентрата
2) Найдем необходимое количество воды: 125 - 54 71 ( мл.) – тёплой H2 O
Имеем:
развести в
3) Так, как
, то жидкого
, то жидкого
концентрата
достаточно .
ПРИМЕР 2.3. ( Приготовление раствора заданной концентрации в данном количестве из двух жидких о концентратов без воды)
Приготовить 111 мл. 10% раствора NACl, если имеется два раствора NACl: 56% и 32% концентрации соответственно.
Решение.
1) Правило « Креста»:
+
Имеем: 22 +46 = 68 (мл.) – общее количество 10% раствора NACl.
Где 68 мл. 111 (мл.)
2)
Математическая модель
Имеем: ( )
( x =
)
( x
) мл. потребуется 56% Na Cl
3) 111 – 36 75( мл.) - потребуется 32% Na Cl
Имеем:
ПРИМЕР 2.4. (Приготовление раствора большей концентрации в данном количестве из раствора меньшей концентрации без воды)
По рецепту требуется 5 мл. 70% уксусной эссенции. Сколько потребуется 4% раствора уксуса?
Решение.
70% / 4% * 5 мл. = 87,5 мл.
Ответ: 5 мл. 70% уксусной эссенции можно заменить 87,5 мл. 4% раствора уксуса.
Дополнительно
ПРИМЕР 2.4. Сколько граммов NaCl и какой объем воды надо взять для приготовления 200 г 0,9% раствора?
Решение.
Плотность воды
, тогда
ПРИМЕР 2.5. 50 г вещества растворены в 200 г воды. Определить процентную концентрацию вещества.
Решение.
ПРИМЕР 2.6. Имеется 10 г растворенного вещества. Сколько необходимо взять воды для приготовления 20% раствора.
Решение. Так как на растворенное вещество приходится 20% раствора, а на воду — 80%, то можно составить пропорцию:
10 г вещества — 20%
х г воды — 80% ,
так как , то объем воды 40 мл.
Приготовление менее концентрированного раствора связано с добавлением растворителя, при этом масса растворенного вещества не меняется.
ПРИМЕР 2.7. Добавлено 50 мл воды к 100 г 30% раствора. Определить процентную концентрацию полученного раствора.
Решение.
3. Определение цены деления шприца.
Ц
ПРИМЕР 3.1.
Определить цену деления шприца, если от подыгольного конуса до
а) цифры «10» - 5 делений; = 2 мл.
б) цифры «5 » - 10 делений; = 0,5 мл
в) цифры «10» - 10 делений. = 1 мл.шпр
4. Стандартное разведение антибиотиков.
Если растворитель в упаковке не предусмотрен, то при разведении антибиотика на 0,1 гр. ( 100 000 ЕД) порошка антибиотика берут 0,5 мл. растворителя.
Тогда, для
- разведении 0,2 гр. (200 000 ЕД) порошка антибиотика потребуется 1 мл. растворителя;
- разведении 0,5 гр. (500 000 ЕД) порошка антибиотика потребуется 2,5-3 мл. растворителя;
- разведении 1 гр. (1 000 000 ЕД) порошка антибиотика потребуется 5 мл. растворителя.
5. Набор в шприц заданной дозы инсулина.
В 1 мл. раствора находится 40 ЕД инсулина.
Тогда,
- в 0,1 мл. раствора находится 4 ЕД инсулина;
- в 0,05 мл. раствора находится 2 ЕД инсулина.
Замечания
1. Капли
1 мл. водного раствора = 20 капель;
1 мл. спиртового раствора = 40 капель;
1 мл. спиртово-эфирного раствора = 60 капель.
2. Количество миллилитров в ложке
1 столовая ложка = 15 мл.;
1 десертная ложка = 10 мл.;
1 чайная ложка = 5 мл.
3. Доли грамма
0,1 гр. – дециграмм;
0,01 гр.- сантиграмм;
0,001 гр. – миллиграмм;
0, 0001 гр. – децимиллиграмм;
0,00001гр. – сантимиллиграмм;
0,000001 гр. – миллимиллиграмм ( промили или микрограмм ( мкг)).
4. Меры объёма
1 литр = 1 кубический сантиметр;
1 литр = 1 000 мл.;
1 кубический дециметр = 1000 кубических сантиметров;
1 кубический метр = 1 000 000 кубических сантиметров;
1 кубический метр = 1 000 кубических дециметров;
1 грамм = 1 000 миллиграмм;
1 миллиграмм = 0,001 грамм
Проверочная работа
Вариант №1
- Приготовить 320 мл. 10% раствора NaCl, если имеется поваренная соль в сухом виде. Достаточно ли сухого концентрата для приготовления этого раствора, если в наличии 125 г. NaCl?
а) 27 гр NaCl растворить в 88 мл воды; достаточно.
б) 0,25 NaCl растворить в 49,75 мл воды; не достаточно.
в) 32 г NaCl растворить в 288 мл воды; достаточно.
2. Приготовить 200 мл 40% раствора этилового спирта, если имеется 500 мл 93% жидкий концентрат этилового спирта и вода. Достаточно ли жидкого концентрата этилового спирта для приготовления требуемого раствора?
а) жидкого концентрата развести в
144 мл воды; достаточно.
б) жидкого концентрата развести в
215 мл воды; достаточно.
в) жидкого концентрата развести в
464 мл воды; не достаточно.
3. Приготовить 120 мл 3% раствора инсулина из двух жидких концентратов инсулина: 5% и 10% без воды. Реально ли приготовить раствор, если имеется 50 мл 10% инсулина и 70 мл 5% инсулина?
а) 5% концентрата инсулина смешать с
93 мл 10% концентрата инсулина; реально раствор приготовить нельзя.
б) 10% концентрата инсулина смешать с
93 мл 5% концентрата инсулина; реально раствор приготовить нельзя.
в) 5% концентрата инсулина смешать с
93 мл 10% концентрата инсулина; реально раствор приготовить можно.
4. Сколько потребуется 15% раствора серной кислоты для того, чтобы приготовить 25 мл 82% раствора серной кислоты?
а) ; б)
; в)
.
Вариант№2
- Приготовить 90 мл. 30% раствора глюкозы, если имеется 150 гр. глюкозы в порошке. Достаточно ли сухого концентрата глюкозы для приготовления раствора?
а) 27 г сухого концентрата растворить в 63 мл воды; достаточно;
б) 30 г сухого концентрата растворить в 70 мл воды; достаточно;
в) 27 г сухого концентрата растворить в 63 мл воды; не достаточно.
- Приготовить 2 столовые ложки 71% раствора уксусной эссенции, если в наличии имеется 7% раствор уксуса.
а) потребуется
б) потребуется
в) потребуется
3. Достаточно ли 45 мл 53% жидкого концентрата физраствора для приготовления 300 мл 15% физраствора?
а) жидкого концентрата развести в
144 мл воды; достаточно.
б) жидкого концентрата развести в
215 мл воды; не достаточно.
в) жидкого концентрата развести в
464 мл воды; не достаточно.
4. Приготовить 65 мл 0,5% раствор хлорной извести из двух жидких концентратов хлорной извести: 10% и 45%. Реально ли приготовить этот раствор, если имеется 40 мл 10% хлорной извести и 70 мл 45% хлорной извести?
а) 45% концентрата хлорной извести смешать с
54 мл 10% концентрата хлорной извести; реально раствор приготовить можно.
б) 45% концентрата хлорной извести смешать с
54 мл 10% концентрата хлорной извести; реально раствор приготовить нельзя.
в)
45% концентрата хлорной извести смешать с
11 мл 10% концентрата хлорной извести; реально раствор приготовить можно.
Предварительный просмотр:
Раздел V.Основные численные математические методы в профессиональной деятельности среднего медицинского работника
Практическое занятие №15 Итоговое занятие
Тема «Приложение математики в медицине»
Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы (теста) по вариантам: студентам 1 подгруппы - вариант №1; студентам 2 подгруппы - вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.
Введение
Сегодня на занятии мы
1) рассмотрим задачи на
- вычисление жизненной ёмкости лёгких;
- расчёт основных показателей сердечной деятельности;
- математическую оценку физического развития детей;
- способы расчёта питания (калорийный и объёмный) грудных детей.
2) выполним итоговую контрольную работу.
Справка
1. Жизненная ёмкость лёгких
Общая ёмкость лёгких ОЕЛ = ОО + РОвд + ДО + РОвыд
Жизненная ёмкость лёгких ЖЕЛ=ДО+РОвд+ РОвыд
Ёмкость вдоха Евд=ДО+РОвд
Функциональная остаточная емкость ФОЕ ==РОвыд+ОО
Минутный объём дыхания МОД=ДО*ЧД
Мёртвое пространство МП = 1/3 ДО
Дыхательный альвеолярный объем ДАО=ДО – МП
Минутная альвеолярная вентиляция легких МВЛ=(ДО-МП)ЧД.
2.Показатели сердечной деятельности
Минутный объём МО=УО*ЧСС
УО = КДО – КСО
КДО – конечно-диастолический объём крови
КСО - конечно- систолический объём крови
Фракция выброса ФВ =
ФВ =
Сердечный индекс СИ = МО / S (л / (мин* ))
Ударный индекс УИ = (л /
)
3.Математическая оценка физического развития детей
Длина тела – отражение системного процесса развития человека.
У доношенных новорождённых длина тела колеблется от 46 до 60 см;
в среднем – 48-52 см, но адаптивным показателем роста считают 50-52 см.- это означает, что адаптация во внутриутробном периоде произошла не только на организменном уровне , но и на уровне органном и ферментативном.
За первый год ребёнок прибавляет в росте в среднем 25 см , так что к году его рост составляет в среднем 75 – 76 см. При правильном развитии ребёнка месячная прибавка роста может колебаться в пределах ±1 см, однако к 6 месяцам и к году эти колебания роста не должны превышать 1 см.
Для определения прибавки длины тела от 1 года до 10 лет можно пользоваться формулой:
Длина тела = 100 см + 6 ( n - 4)
Где n – число лет , 6 – средняя ежегодная прибавка длины тела, см.
Наиболее интенсивный рост наблюдается в 5 -7 лет и в период начала полового созревания.
Масса тела
Особенно интенсивно прибавка в массе тела происходит в первую четверть года. Масса тела доношенных новорождённых колеблется от 2600 до 4000 г и в среднем ровна 3 – 3,5 кг. Однако адаптивная масса тела составляем 3250 – 3650 граммов. В норме у большинства детей к 3 – 5 дню жизни отмечается «физиологическая» убыль в массе до 5 %. Это объясняется большей потерей воды при недостаточном количестве молока. Восстановление физиологической потери массы тела происходит максимум к 2 неделям.
Масса тела ребёнка к 4-4,5 мес. удваивается, к году – утраивается.
В первый месяц ребёнок прибавляет 600 г, во второй и третий – 800 г.
Норму прибавки массы тела ребёнка после третьего месяца за каждый последующий месяц жизни можно рассчитать, вычитая от прибавки предыдущего месяца 50 г, или по формуле:
X = 800 – 50 ▪ ( n – 3 ),
Где X – ожидаемая ежемесячная прибавка массы тела; n – число месяцев. Темп увеличения массы тела у детей после года ослабевает и в среднем составляет 2 кг ежегодно.
- Ожидаемую массу тела ребёнка от 1 года до 10 лет можно рассчитать по формуле:
P = Масса тела ребёнка в 1 год + 2 кг ▪ ( n – 1 )
где P – ожидаемая масса; n – число лет.
- Массу тела ребёнка старше 10 лет можно определить с помощью формулы И.М. Воронцова:
- Масса тела
детей старше = Возраст ▪ 3 = Последняя цифра числа лет.
10 лет
В среднем к одному году масса ребёнка равна 10 – 15 кг.
Окружность головы
При рождении окружность головы у доношенных детей 33-37,5 см, она не должна превышать окружность грудной клетки больше, чем на 1-2 см. В первые 3-5 месяцев ежемесячная прибавка составляет 1-1,5 см, а затем - (0,5-0,7) см в месяц.
К году окружность головы увеличивается на 10-12 см и достигает 46-48 см. Окружность головы ребенка в возрасте 1-3 лет увеличивается на 1 см в год. С 4 лет окружность головы ежегодно увеличивается на 0,5 см, а за последующие годы увеличивается на 5-6 см. в год.
Окружность грудной клетки. Для характеристики физического развития ребенка большое значение имеет правильная оценка особенностей его грудной клетки, так как жизнедеятельность внутренних органов во многом зависит от
* формы и *размеров последней. Нарастание окружности грудной клетки наиболее интенсивно происходит на первом году жизни, особенно в первые 6 месяцев.
Окружность грудной клетки у новорожденных – 33-35 см. Ежемесячная прибавка на первом году жизни составляет в среднем 1,5-2 см. К году окружность грудной клетки увеличивается на 15-20 см, затем интенсивность нарастания этого показателя снижается, и к дошкольному возрасту окружность грудной клетки в среднем увеличивается на 3 см, а в школьном – на 1-2 см в год. Переднезадний размер грудной клетки у большинства доношенных новорожденных меньше поперечного размера или равен ему. Уже в конце первого года жизни поперечный размер начинает превышать переднезадний и форма грудной клетки начинает приближаться к конфигурации взрослого, т. е. уплощается.
Периоды перекрёста окружностей грудной клетки и головы
Для индивидуальной оценки физического развития ребенка важно знать периоды перекреста окружности головы и грудной клетки.
У здоровых детей этот перекрест происходит приблизительно в 3-4 месяца, а детей, у которых в 5-7 мес. не наступил перекрест, нужно брать на учет и анализировать у них динамику развития грудной клетки и головы.
Более ранний перекрест может свидетельствовать о развивающейся микроцефалии, поэтому необходимо следить за сроками закрытия большого родничка. Большой родничок должен зарастать к концу первого года у 80% детей, у остальных детей – к полутора годам.
Способы расчёта питания грудных детей
В течение первых трёх дней жизни дети высасывают от 5 до 30-35 гр. за одно кормление, что составляет в сутки в среднем 150-200 гр. молока.
С 3-4 дня количество высасываемого молока возрастает и к 8-9 дню достигает 450-550 гр. за сутки.
Расчётная формула потребляемого суточного количества молока в первые 7-8 дней жизни: X= 10n*7,
Где X- суточное количество молока; n- день жизни ребёнка.
Начиная со второй недели необходимое количество пищи рассчитывается , исходя из веса: оно должно колебаться между 1/5 и 1/6 веса тела ребёнка.
Вопрос о достаточной лактации в период новорождённости разрешается повторным контрольным взвешиванием, весовой кривой, общим состоянием и самочувствием ребёнка.
8-10-дневный ребёнок высасывает за 1 сутки около 500 мл. молока.
К двум месяцам это количество достигает 800 мл.
К 5-6 месяцам- 900-1000 мл.
Расчёт потребляемого суточного молока по А.Н. Шкарину:
8-недельный ребёнок в течение 1 суток должен получать 800 мл. молока.
Если ребёнок младше, то на каждую неделю, не достающую до указанного возраста, надо уменьшить количество молока на 50 мл.
Если ребёнок старше, то надо увеличить количество молока на 50 мл. но не на неделю, а каждый следующий месяц жизни сверх 2 месяцев текущего возраста.
Например, ребёнок 4 недель должен получать за 1 сутки:
- (800 - ( 50*4)) мл. молока ;
А ребёнок 4 месяцев должен получать за 1 сутки:
- ( 800 + (50*2))мл. молока
Суточное количество молока, рассчитывают по следующим формулам.
Для доношенных детей первых 7-8 дней жизни пользуются формулой
Финкельштейна (несколько измененной):
при массе ребенка меньше 3200г: МП=n*70;
при массе ребенка более 3200г: МП=n*80,
где МП-количество молока в сутки; n-день жизни ребенка.
Объем каждого кормления вычисляют, разделив полученную цифру на число кормлений. К 8-10-му дню жизни ребенок высасывает за сутки в среднем 500мл. Замечание. Недоношенным детям на каждое кормление дают
- в первый день 5-10мл,
- на второй-10-15мл,
- на третий-15-20мл.
- Затем количество молока на сутки рассчитывают по формуле: МП=n*10(на каждые 100г массы тела),
Где МП-количество молока в сутки; n-число дней жизни.
Ориентировочный расчет количества молока в сутки на каждый месяц первого жизни производят по двум формулам (можно пользоваться одной из них или брать средний результат).
Объемный метод учитывает не только возраст, но и массу ребенка. Он должен получать следующее количество молока:
- от 2 до 6 нед.-1/5 веса,
- от 6 нед. до 4 мес.- 1/6 веса,
- от 4 до 6 мес.- 1/7 веса,
- от 6 до 9 мес.-1/8 веса.
Калорийный метод ( самый точный)
-исходя из того, что ребёнок
- в первой четверти года должен получать около 130-120 ккал/кг,
- во второй- около 120-110 ккал/кг,
- в третьей- 110-100 ккал/кг,
- в четвёртой- около 100-90 ккал/кг
- и ,зная, что 1 литр женского молока содержит около 700 Ккал,
можно легко рассчитать необходимое суточное количество молока .
Замечание. Общее количество молока, получаемое ребёнком к 1 году в сутки не должно превышать 1 литра.
Решение задач
1. Жизненная ёмкость лёгких.
ПРИМЕР 1.1. Рассчитайте по формуле долженствующую жизненную емкость легких ребенка 14 лет, если дыхательный объем составляет 400 мл, резервный объем вдоха равен 1,4 л; резервный объем выдоха — 900 мл.
Решение.
400 мл + 1400 мл + 900 мл = 2700 мл — соответствует возрастной норме.
2. Расчёт основных показателей сердечной деятельности.
ПРИМЕР 2.1. Минутный объем кровотока в покое составил 3900 мл. Рассчитайте минутный объем кровотока при физической нагрузке и оцените, как изменится данный показатель сердечной деятельности, если ударный объем кровотока возрос до 150 мл, а частота сокращений сердца — 90 в минуту.
Решение.
3. Оценка физического развития детей.
ПРИМЕР 3.1. Рассчитайте долженствующую массу тела ребенка в 5 месяцев, если масса тела при рождении составляла 3000 г.
Решение.
Масса тела = Масса тела при рождении (г) + 800 • N , где N— число месяцев.
3000 г + 800 х 5 = 7000 г,
что соответствует возрастной норме (табл.)
Таблица №1
Продолжение таблицы №1
Кроме роста и массы тела для оценки физического развития имеют значение правильные пропорции тела. Одним из комплексных методов оценки физического развития детей является метод регрессионного анализа. Метод заключается в вычислении зависимостей, где в качестве переменных используются антропометрические данные — длина тела и масса, длина тела и окружность грудной клетки. Вычисленные индексы сравниваются с табличными данными (табл. №2) для каждой возрастной группы.
Таблица №2
4. Способы расчёта питания грудных детей
ПРИМЕР 4.1. Какое количество молока в среднем по норме должен получать ребенок в первой четверти года.
Решение. Составим пропорцию:
тогда
Проверочная работа
Вариант №1
- Рассчитайте долженствующую массу тела ребенка в 7 месяцев, если масса тела при рождении составляла 3000 г.
а) 7300г.; б) 5 кг.; в) 7900г.
2. Рассчитайте количество молока, необходимое на сутки ребенку 3 месяцев жизни, массой 5800 г, объемным методом.
а) 967 мл.; б) 500 мл.; в)
790г.
- Какое количество молока в среднем по норме должен получать ребенок во второй четверти года?
а) 130 мл; б)
; в)
(143 - 157)мл.
- Рассчитать в среднем по норме рост ребёнка двух с половиной лет.
а) ≈ 130см; б) ≈ 88 см; в) ≈ 96 см.
5.Рассчитайте сердечный индекс (СИ), если минутный объем кровотока (МО) составляет 5000 мл, а площадь поверхности (S) — 2,5 м2.
а) 2000; б) 1000; в) 1500.
6. Рассчитайте ДО (мл.), если, РО вд.= 1200 мл., РО выд. = 950мл.,
ЖЕЛ =3150мл.
а) 2000; б) 1000; в) 1500.
7. ________ определяется глубиной дыхания и частотой дыхательных движений.
а) величина легочной вентиляции;
б) функциональная остаточная ёмкость лёгких;
в) жизненная ёмкость лёгких.
Вариант №2
- Рассчитайте долженствующую окружность груди ребенка в 8 месяцев, если в 6 месяцев она составляла 45 см.
а) от 48 до 49 см; б) от 50 до 51 см; в) от 52 до 53 см.
2. Рассчитайте количество молока, необходимое на сутки ребенку 2,5 месяцев жизни калорийным методом.
а) от 165 мл до 171 мл; б) от 171 мл до 185 мл; в) от 200 мл до 250 мл.
3. Рассчитать среднюю по норме длину тела ребёнка десяти лет.
а) 98 см; б) 100 см; в) 135 см.
4. Сколько килокалорий содержит 1 литр женского молока?
а) 1000 Ккал; б)
500 Ккал в)
700 Ккал.
- Рассчитайте ударный сердечный индекс (УИ), если ударный объем кровотока составляет 1500 мл, а площадь поверхности (S)-1,5 м2.
а) 2000; б) 1000; в) 1500.
6. Рассчитайте ФОЕ, если РОвыд.= 720мл., ОО = 500мл.
а) 1220; б) 2020; в) 1500.
7. Минимальное артериальное давление у детей по Попову А.М. к концу 1 года жизни составляет
а) 78-79 мм рт. ст; б) 34 мм рт.ст.; в) 58 мм. рт. ст.
Итоговая контрольная работа
ВАРИАНТ №1
- Вычислить производную функции y = 2Sinx+6x3 -15
а) -2cosx + 6x2 – 15; б) 2sinx + 3x2; в) 2cosx + 18x2
- Найти интегралы
а) а)
+ C; б)
в) 15x2 +C.
б) а) -15; б)
в) 0.
- Найти пределы а)
; б)
а) ¾; ; б)
в) 0; 2.
- Пусть X -множество студентов первого курса отделения « Лечебное дело», учащихся на «отлично» и «хорошо», а Y - множество студентов первого курса отделения « Сестринское дело», учащихся аналогично. Определить множество типа X ∪Y
а) X ∪Y - это множество студентов двух отделений, успевающих на «хорошо» и «отлично»;
б) X ∪Y - это множество студентов двух отделений, успевающих на «хорошо»;
в) X ∪Y - это множество студентов двух отделений, успевающих на «отлично».
- Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости. а)
б)
в)
.
- Ежедневное количество студентов, посещающих библиотеку на протяжении ряда дней, таково: 15,17,16,15,18,20,16,16,21,20,17,19,19,20. Составить статистическое распределение выборки.
а)
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | Вариационный ряд | |
ni | 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 2 | N = 10 |
wi | 1/5 | 0,3 | 1/6 | 1/12 | 0 | 0,2 |
|
б)
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | Вариационный ряд | |
ni | 2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 3 | 1 | N = 14 |
wi | 1/7 | 3/14 | 1/7 | 1/14 | 1/7 | 3/14 | 1/14 |
|
в)
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | Вариационный ряд | |
ni | 2 | 3 | 2 | 1 | 0 | 2 | 3 | N = 13 |
wi | 1/13 | 3/13 | 1/6 | 1/12 | 0 | 0,2 | 0,3 |
|
- Сколько времени в среднем по норме требуется для проведения ЭКГ-обследования 12 пациентов, если на 4 пациентов было затрачено 1 час 15 минут? а) 3 часа 45 минут; б) 4 часа 15 минут; в) 5 часов 10 минут.
- Физиологическая убыль массы новорождённого ребёнка считается в норме до 10%. Ребёнок родился весом 3500 гр., а на третьи сутки его масса составила 3300гр. Вычислить процент потери веса. Определить, в норме ли физиологическая убыль массы тела?
а)
б)
в) около 3%; .
- Приготовить 300 мл. 15% раствора глюкозы из 450 мл. 53% концентрата глюкозы. Выяснить при этом, достаточно ли концентрата?
а) для приготовления раствора необходимо мл жидкого концентрата глюкозы развести в
мл воды; достаточно;
б) для приготовления раствора необходимо мл жидкого концентрата глюкозы развести в
мл воды; не достаточно;
в) для приготовления раствора необходимо мл жидкого концентрата глюкозы развести в
мл воды; достаточно;
- Рассчитайте ударный объем кровотока, если минутный объем кровотока составляет 3900 мл, а частота сокращений сердца — 78 в минуту.
а) 65 б) 55
; в) 50
.
ВАРИАНТ №2
- Вычислить производную функции y = 3Cosx +4x3 -8
а) -3cosx + 12x2 – 8; б) -3sinx + 12x2; в) 3cosx + 3x4
- Найти интегралы
а) а)
+ C; б)
в) 9x2 +C.
б) а) 0; б)
в) 25
.
- Найти пределы а)
; б)
а) ¾; ∞ ; б) -4; 6; в) 0; 6.
- В конкурсе медицинских сестёр участвуют 12 человек. Имеется 3 призовых места ( первое, второе, третье). Сколько имеется вариантов распределения призовых мест? а) 36; б) 1320; в)220.
- Найти вероятность выпадения « орла» при подбрасывании монеты.
а) 0,5; б) 0,1; в) 0,9.
- Зашифровать статистические данные: 3,2,1,7,4,1,5,4,7,2,5,6,1,3,5,1.
а)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | Вариационный ряд | |
ni | 4 | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | 2 | Объём выборки N = 16 |
wi | 1/4 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 3/16 | 1/16 | 1/8 |
|
б)
7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | Вариационный ряд | |
ni | 4 | 2 | 2 | 2 | 1 | 1 | 2 | Объём выборки N = 14 |
wi | 2/7 | 1/7 | 1/7 | 1/7 | 1/14 | 1/14 | 1/7 |
|
в)
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | Вариационный ряд | |
ni | 4 | 2 | 2 | 2 | 3 | 1 | Объём выборки N = 14 |
wi | 1/4 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 3/16 | 1/16 |
|
- Рассчитать полноту охвата медицинскими осмотрами населения в поликлинике, если число осмотренных составляет 35 000 человек, а население, подлежащее осмотру, составляет 45 000 человек.
а) б)
; в) 4800.
- Физиологическая потеря крови в родах в норме составляет 0,5% от массы тела роженицы. Определите кровопотерю роженицы массой 67 кг.
а) 350 мл; б) 500 мл; в) 0,335 л.
- Приготовить 200 мл. 40% раствора этилового спирта из 500 мл. 93% концентрата этилового спирта. Выяснить при этом, достаточно ли концентрата?
а) для приготовления раствора необходимо ≈86 мл жидкого концентрата этилового спирта развести в ≈114 мл воды; достаточно;
б) для приготовления раствора необходимо≈114 мл жидкого концентрата этилового спирта развести в ≈86 мл воды; не достаточно;
в) для приготовления раствора необходимо ≈86 мл жидкого концентрата этилового спирта развести в ≈114 мл воды; не достаточно;
10. Рассчитайте частоту сокращений сердца, если минутный объем кровотока составляет 3900 мл, а ударный объем кровотока 50 мл.
а) 78 уд/мин; б) 87 уд/мин; в) 55 уд/мин.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
Мы закончили изучение математики – науки о количественных отношениях и пространственных формах реального мира, рассмотрев такие разделы, как:
- математический анализ – дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и двух переменных;
- последовательности, пределы и ряды;
- основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранения;
- основные численные математические методы в профессиональной деятельности среднего медицинского работника.
Впереди вас ожидают 7 семестров изучения клинических дисциплин, где вам многократно выпадет возможность показать, чему вы научились на занятиях по математике. А далее – в профессиональной деятельности - вы должны будете реализовать теоретический запас математических знаний непосредственно на практике в ЛПУ различных профилей и типов. ЖЕЛАЮ УСПЕХОВ!