Лекции по математике отд. "Сестринское дело", группы № 151, № 152 осенний семестр

Лекция №1

 Тема: «Роль и место математики в современном мире»

Задание

1. Освоить материал.
2. Выучить определения.

3)        Ответить письменно на контрольные вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №1. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон, нумарация страниц внизу по центру. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы. Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал  перед и после абзаца – полный ответ на вопрос).

Текст лекции

Математика – это наука о количественных характеристиках любых объектов, одна из важных фундаментальных наук.

Слово «Математика» происходит от греческого «матема»-знание.

 Возникла М на первых этапах создания человеческой культуры в связи с практической деятельностью людей.

.

ОПР: Математика – это наука, в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы реально существующего мира.( Ф.Энгельс – основоположник научного коммунизма).

Академик Колмогоров выделил 4 основных этапа в истории развития математики:

1 этап: этап зарождения Математики, начало которого теряется в глубине тысячелетий истории человечества – по 6 – 5 века до  н.э.

Создаётся арифметика, зачатки геометрии, а математические сведения состоят из свода правил для решения практических задач.

2 этап: этап элементарной математики ( математика постоянных величин   )  с  6 – 5 века до н.э.  по 17 век н.э.

• Около 300 лет до н. э. др. греческий математик Евклид создаёт фундаментальный труд «Начала Евклида», вы котором собрана  вся элементарная геометрия на базе аксиом.
• 9 век: среднеазиатский учёный Аль-Хорезми – предложил общие приёмы решения алгебраических задач с помощью уравнений.

• 15 век: вместо громоздкого словесного описания мат. выражений стали употребляться знаки действий: +, -, ( ), знаки степеней и корней.
• 16 век: Франсуа Виет применяет буквы для обозначения известных и неизвестных величин.

Т.О. к середине 17 века в основном сложилась алгебраическая символика и основы формального математического языка.

3 этап: этап  математика переменных величин. с 17 в.  по  середина 19 в.

• Основное понятие – ФУНКЦИЯ (зависимость).
•  В работах Р. Декарта на базе метода координат создаётся аналитическая геометрия.
• В работах Ньютона и Лейбница завершается создание теории дифференциального  и интегрального исчисления.
• Большой вклад в дальнейшее развитие математики внёс Л.Эйлер

4 этап: этап современной математики  (20 гг. 19 века – наши дни).

Это  период проникновения современной математики и ЭВМ в другие науки и практику.

Например: математика + экономика   =

• эконометрика,
• ЭМММ (экономико – математические методы и модели).

Отличительная черта современного этапа развития математики: математизация всех знаний и компьютеризация всех сфер жизнедеятельности человека.

Основные направления современной математики:

• Нанотехнологии
• Искусственный интеллект
• Робототехника

Опр: Нанотехнология – это область прикладной науки и техники, имеющая дело с объектами размером менее 100 нанометров  (1 нанометр равен

10 -9метра). Нанотехнология применима там, где исследуются микроскопические явления на молекулярном и атомарном  уровнях.

Опр. Наномедицина – это слежение, исправление, конструирование и контроль над биологическими системами человека на молекулярном уровне с использованием нанороботов и наноструктур.

Сущность ИИ: изучение разумного поведения людей, животных и машин и попытки найти способы моделирования подобного поведения в любом типе искусственно созданного механизма. Интеллект происходит от латинского « УМ, разум, рассудок».

Под ИИ мы понимаем способность автоматических систем брать на себя функции человека, выбирать и принимать оптимальные решения на основе ранее полученного жизненного опыта и анализа внешних воздействий.

Опр. Робот – это искусственно созданный механизм, которым управляет компьютер.

 Роботов, выполняющих работу вместо  оперирующего хирурга, начали применять только с конца 90-ых годов 20-ого века, однако новая технология быстро распространилась по всему миру и к началу 21-ого века проникла во все области медицины и получила высокую оценку врачей.

Роботы не устают, не подвержены эмоциям, что свойственно обычному человеку ; они могут , как конвейер, работать  по 24 часа в сутки и при этом не имеют права на ошибку. Даже если у врача, дистанционно управляющего роботом, вдруг « дрогнет» рука , система заблокирует неправильную команду и укажет на проблему – это максимально повышает надёжность. Например, робот-хирург Да Винчи (разработка израильской клиники Хадасса)

Основные термины

1. Математика
2. Нанотехнологии
3. Наномедицина
4. Искусственный интеллект
5. Робот

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение математики.
2. Когда и в связи с чем появилась математика?
3. Кто выделил  этапы развития математики?
4. Назовите каждый этап развития математики и указать его временные рамки.
5. Охарактеризуйте  каждый этап развития математики.
6. В чём заключается отличительная черта современного этапа математики?
7. Сформулируйте основные направления современной математики.
8. В чём заключается сущность искусственного интеллекта?
9. Опишите алгоритм функционирования робота-хирурга.
10.  Расскажите о технологии Да-Винчи.
11.  Что мы понимаем под искусственным интеллектом?
12.  Сформулируйте определение нанотехнологии.
13.  Сформулируйте определение наномедицины.
14.  В каких направлениях проводится развитие современной  нанотехнологии?
15.  Сформулируйте определение наноробота.
16.  Сформулируйте  определение наночастицы.
17.   Где и как применяют нанороботов и наносенсоры?
18.  Перечислите основные области применения нанотехнологии в медицине.

Лекция №2 

Тема: «Дифференциальное исчисление функции одной переменной»

Задание

1. Освоить материал.
2. Усвоить основные формулы.
3. Выучить определения.

4)         Ответить письменно на контрольные вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №2. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон, нумерация страниц внизу справа. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы. Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал  перед и после абзаца – полный ответ на вопрос.

Текст лекции

Раздел 2.Математический анализ.

 Тема 2.1.  Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Введение.

В математике вводится понятие переменных и постоянных величин. Постоянные величины при заданных условиях принимают одно и то же значение. Постоянные величины- константы- обозначаются начальными строчными буквами латинского алфавита a,b,c,… . Переменные величины в данных условиях могут принимать множество различных числовых значений из некоторого множества.

Часть 1 Функции одной переменной: основные характеристики, свойства, способы задания.

Определение:  Функцией вида y = f(x) называется такая зависимость y от x, что каждому значению x соответствует единственное значение y ; при этом x- независимая переменная ( аргумент); y- зависимая переменная ( функция).                  Основные характеристики функций:

1. Область определения функции – это такие значения x, при которых существует y . Обозначение: D(y)
2. Область значения функции – это такие значения y, которые могут получаться при всех допустимых значениях  х. Обозначение :E( y)
3. График функции – это множество точек ДСК на плоскости, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты – соответствующим значениям функции.          

Способы задания функций:

1. Аналитический (с помощью формулы);
2. Графический (с помощью графика);
3. Табличный (с помощью таблицы);
4. Алгоритмический (с помощью алгоритма).

Основные свойства функций:

1. Чётность- нечётность функции: различают три вида функций: четные, нечётные; ни четные ни нечётные.

• Чётной называют функцию, для которой выполняются условия: область определения симметрична относительно нуля; f(-x)=f(x).
• Нечётной называют функцию, для которой выполняются условия: область определения симметрична относительно нуля; f(-x)= - f(x).
• Ни чётной ни нечётной называют функцию, для которой выполняются условия:

*или область определения  не симметрична относительно нуля;

*или область определения симметрична относительно нуля, но

  f(-x)  f(x) и    f(-x) - f(x)

2. Монотонность функции ( непрерывное возрастание, убывание)

3. Точки пересечения с координатными осями (оx) и (oy)

4.Промежутки знакопостоянства ( такие значения   x, для которых y строго больше или меньше нуля, т.е. такие значения х, для которых график функции находится или строго над или строго под осью абсцисс )

5. Экстремумы функции и точки экстремума функции 

• точки экстремума функции - это точки минимума хmin или точки максимума  хmax;
• экстремумы функции – это значения функции в точках экстремума, т.е. ymin = y(xmin ) и     ymax = y(xmax )

6.Выпуклость- вогнутость и точки перегиба

7. Асимптоты ( прямые ( или кривые), к которым график функции неограниченно приближается , но не пересекает)

8. Периодичность ( функция называется периодической с периодом Т

( Т больше нуля), если для каждого значения аргумента  x  из D(x) значение  (x +T) также принадлежит D(x)  и выполняется равенство:

 f( x+T) = f(x) )

Различают также функции     **ограниченные и неограниченные

                                                      ** сложные

                                                      **  обратные

                                                      **бесконечно малые и бесконечно большие

Определение: функция вида Y=f( (g(x)) называется сложной функцией, где f(x) - внешняя,  g(x) - внутренняя функции.

Например:     Y = Sin 3x               G = (2x3 +5x)5

Основные элементарные функции

1.Линейная функция  вида  Y =kx +b ( прямая пропорциональность Y =kx )

2.Квадратичная функция вида Y =аx2 +bх +с

3. Степенная функция вида Y =kxп

4. Показательная функция вида Y = аx ( частный случай: y =ex , e-число Эйлера

5. Логарифмическая функция вида Y =Loga x

6. Тригонометрические функции вида ( y=sinx  y=cosx  y=tgx  y=ctgx)

7. обратные тригонометрические функции вида

 (y=arcsinx  y=arccosx  y=arctgx  y=arcctgx )

8. Обратная пропорциональность вида Y =k / x

Часть 2 Производная и дифференциал функции одной переменной

ОПР: Производная функции  в точке –это предел отношения приращения функции  в этой точке к соответствующему приращению аргумента .

Производная обозначается y`(«игрек штрих») или  («дэ от игрек по дэ икс»).

Геометрически производная представляет угловой коэффициент касательной к графику функции  в соответствующей точке  tg

Физический смысл производной.y`-это скорость изменения функции  относительно ее аргумента .Производная у` характеризует быстроту изменения функции, т.е. скорость убывания функции. Производная у` указывает на тенденции, характерные для изменения у и позволяет судить о том, что можно ожидать при дальнейшем изменении аргумента.

Производная 2-го порядка: (читается «дэ два игрек по дэ икс дважды»).

Производная n-го порядка -это производная от производной (n-1) порядка:

Например, ускорение a= –это первая производная от скорости по времени или вторая от перемещения по времени а=.

Линейная скорость v= -это первая производная от перемещения по времени.

Свойства производной функции одной переменной

1)С/ =0                     2) ( u+v)/ = u/ +v/                   3)  ( Cu)/ = C u/

4) ( uv)/ = u/ v+ uv/                 5)  ( u/v)/ = ( u/ v –uv/)/v2

Таблица производных функций одной переменной

Дифференциал функции

Дифференциал функции y=f(x) в точке -это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента x.Обозначается

dy =y`. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению: dx=.Дифференциал функции dy =y`dx или dy= f `( равен ее призводной, умноженной на дифференциал аргумента.Дифференциал функции dy имеет четкий геометрической смысл: это приращение ординаты касательной к графику в точке .

Свойства дифференциала функции

1.d(с)=0.                        2. d ( u + v ) = du + dv.                       3. d(сu)=сd(u).

4.      5. d (uv) = vdu + udv.       6. df (u)= f `(u)du,где u=

Заключение

Сегодня мы познакомились с

1)  аналитическим заданием функции одной переменной  в общем виде, её основными характеристиками, свойствами, способами задания, рассмотрев основные элементарные функции;

2) понятиями , определениями и формой математической записи производной  и дифференциала функции одной переменной  и  их свойствами; таблицей производных элементарных функций.

Узнали физический и геометрический смысл производной функции одной переменной. Таким образом, углубили и расширили свои школьные знания по данной теме.

Основные термины

Функция                                                              Производная функции

Приращение аргумента                                      Приращение функции

Предел функции                                                 Дифференциал функции

Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение функции одной переменной.

2. Перечислите основные характеристики функции одной переменной.

3. Сформулируйте определение области определения функции одной переменной.

4. Сформулируйте определение области значения функции одной переменной.

5. Сформулируйте определение графика функции одной переменной.

6. Перечислите способы задания функции одной переменной.

7. Перечислите основные свойства функции одной переменной.

8. Сформулируйте определение производной функции одной переменной в точке, сделать математическую запись.

9. Сформулируйте свойства производной функции одной переменной, сделать математическую запись.

10. В чём заключается геометрический смысл производной функции одной переменной?

11. В чём заключается физический смысл производной функции одной переменной?

12. Сформулируйте определение дифференциала функции одной переменной, сделать математическую запись.

13. Перечислите свойства дифференциала функции одной переменной, записать математически.

Лекция №3

Тема: «Интегралы»

Задание

1. Освоить материал.
2. Усвоить основные формулы.
3. Выучить определения.

4)         Ответить письменно на контрольные вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №3. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы. Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал  перед и после абзаца – полный ответ на вопрос).

Текст лекции

1. Неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции

        Это понятие возникает из следующей задачи математического анализа: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

        ► Первообразная функция для функции y=f(x) называется такая функция F(x), что имеет место равенство

F′(x) = f(x).

        Например: функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx  на бесконечном промежутке (-∞, ∞), так как для любых х справедливо равенство:  (sinx)′=cosx.

        ► Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x) то и функция F(x)+C, где С – произвольное постоянное число, так же первообразная для функции f(x), потому что (F(x) + C)′= f(x).

• Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл функции y=f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x).

Обозначается символом

∫f(x)dx=F(x)+C,

где ∫ – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование); f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; C – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; x – переменная интегрирования.

        Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

        Геометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются путем параллельного сдвига вдоль оси Oy. 

Кубическая парабола y = ∫ 3dx =  + C

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2. ∫ df (x) = f(x) + C.

3. ∫Cf(x) dx = C ∫ f(x) dx – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx – интеграл суммы равен сумме интегралов.

Основные способы интегрирования

1. Табличный;                                         2. Метод разложения;

3. Метод замены переменной;              4.Интегрирование по частям.

Особыми способами интегрируются рациональные дроби, тригонометрические функции, иррациональности.

Кроме того существуют так называемые «неберущиеся» интегралы:

Например: ∫dx;  ∫dx.

        Утверждение, что неберущиеся интегралы вычислить нельзя неверно, их можно вычислить, но приближенно ( теория рядов).

 При применении табличного способа вычисления НИ используют таблицу:

Таблица интегрирования основных элементарных функций:

• Определенный интеграл

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b].

        Интегральная сумма S = ) ∆, где  - произвольная точка существующего отрезка.

Определенный интеграл обозначается:

lim)∆,

                                                             ∆x→0

где f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

        Теорема. Если f(x)- первообразная функция для непрерывной функции y = f(x), т.е. F′(x) = f(x), то имеет место формула:

 = F(b) – F(a).

Это формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так:

Определение. ǁОпределённый интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(x) при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Можно отметить разницу между определенным и неопределенным интегралами: определенный – это число, а неопределенный интеграл – это функция.

Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

)dx.

1. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:  = 0.                                                       
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 = (свойство аддитивности).

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функция f(x)≥0 всегда на отрезке [a, b], то

6. Если f(x)≤g(x) всюду на отрезке [a, b], то

)dx.                       

Геометрическая интерпретация определенного интеграла.

     Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна.

Геометрический смысл заключается в вычислении ∫ криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция – плоская фигура Декартовой системы координат, ограниченная: сверху -  графиком непрерывной функции y=f(x), снизу -  [a;b] Є (ox) , слева -  отрезком вертикальной прямой x=a , справа -      отрезком вертикальной прямой x=b.

Классическая криволинейная трапеция 

Основные термины

        Первообразная функции                              Криволинейная трапеция

      Неопределённый интеграл                          Определённый интеграл

Подынтегральная функция                        Подынтегральное выражение

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение первообразной функции.

2. Сформулируйте определение и представить математическую запись неопределённого интеграла.

3. Объясните, почему интеграл называется «неопределённый».

4. Сформулируйте определение и представить математическую запись определённого интеграла.

5. Запишите и поясните формулу Ньютона-Лейбница.

6. Объясните почему интеграл называется «определённый».

7. Сформулируйте геометрический смысл неопределённого интеграла.

8. Сформулируйте геометрический смысл определённого интеграла.

9.  Сформулируйте определение криволинейной трапеции, сделав графическое изображение.

10. Запишите расчётную формулу площади классической криволинейной трапеции.

11. Перечислите виды криволинейных трапеций, сделав графическую интерпретацию, и запишите формулы вычисления их площадей.

Лекция № 4

Тема: «Последовательности, пределы и ряды»

Задание

1. Освоить материал.
2. Усвоить основные формулы.
3. Выучить определения.

4)         Ответить письменно на тестовые вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №4. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ.

    Текст лекции

1. Числовые последовательности

    ОПР;  Числовая последовательность - это бесконечное множество чисел.

      Например, последовательность приближенных значений :  

      Числовая последовательность – это множество вещественных чисел   …,, …

 в случае , если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …n, …(n  поставлено в соответствие вещественное число  

       Элементы (члены) последовательности - ,…

       Общий элемент последовательности  обозначается символом , где число n –его  номер.

        Символ {} – это сокращенное обозначения последовательности .

       Например, } = –это последовательность чисел  1, 

        Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого его элемента.

       Например, общий элемент   задан формулой := -1 + .

      Это значит, задана последовательность 0, 2, 0, 2, …

       Геометрически последовательность изображается в виде последовательности точек на числовой оси. Координаты этих точек равны соответствующим членам последовательности.

      Например , на числовой оси представлена последовательность  {} .

       Число a называется пределом последовательности { } , если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует такой номер N , что при всех n выполняется равенство  .

        Сходящая последовательность – это множество точек числовой прямой, если  =a.

        Расходящаяся последовательность –это последовательность , не  имеющая предела, а так же имеющая своим пределом  +

        окрестность точки a –это множество точек числовой прямой, если  .

         Это означает, что при  n все элементы последовательности } находятся в –окрестности точки a.

           Предел последовательности  часто называют точкой сгущения. Это следует из геометрической интерпретации: если последовательность , представляющая собой бесконечное множество чисел, сходится, то в любой  – окрестности точки a  на числовой прямой находится бесконечное число ее точек – элементов этой последовательности, тогда как вне  - окрестности остается конечное число элементов.

         Числовая последовательность может иметь только один предел.

         Последовательность называется ограниченной, если существует постоянная М такая, что  

  М для всех n  N.

        Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

        Неограниченная последовательность не имеет конечного предела.     Однако она может иметь бесконечный предел:  =

     Если } – бесконечно малая последовательность , то { } –бесконечно большая последовательность , имеющая бесконечный предел , и наоборот.

Свойства сходящихся последовательностей

      (Сформулированы в виде теорем )  

  Пусть заданы две последовательности {} и {}. Пусть предел  {} равен a:   = предел {} равен b: =

1. Сумма двух сходящихся последовательностей {} и {} есть сходящаяся последовательность вид {+} , предел которой равен сумме пределов последовательностей  {} и {}:

                            = a+b .

2. Произведение сходящихся последовательностей {} и {}, есть сходящаяся последовательность видов{},предел которой равен произведению пределов последовательностей {} и {}:  

                      = ab.

3. Частное двух сходящихся последовательностей {} и {}, при условии, что предел последовательности  {} отличен от нуля , есть сходящиеся последовательности , предел которой равен частному пределов последовательностей {} и {}:

 = ,

       Если  0 для всех n N и b 

4.  Если элементы сходящиеся последовательности {} удовлетворяют неравенству  начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству a.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела :  =ca.
6. Если заданы три последовательности {} , {} и {} и предел {  равен с, то если  , a=c, то b=c.
7. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или  на число есть бесконечно малая последовательность.
8. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
9. Число е определяется как предел последовательности …,общий член которой выражается формулой  :

                       .

Эта последовательность монотонно возрастет и имеет предел:

                     = е.

      Е= 2,7182818… - иррациональное число.

   Это число играет большую роль в математике.

    Натуральный логарифм  ln a- это логарифм по основанию е:    ln a = a.

2. Предел функции одной переменной

  Пусть функция  определена на некотором промежутке Х и пусть точка или . Составим из множества Х последовательность точек: ,,…,,…, сходящихся к .Значения функции в этих точках также образуют последовательность:

 •Число A называется пределом функции  в точке, если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Это записывают так:.

Односторонние (левый и правый) пределы функции

  Левый предел-это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента слева от точки , т.е. .

  Символическая запись левого предела функции

  Правый предел - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента  справа от точки , т.е. .

       Символическая запись левого предела функции

                                            .

  Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Основные теоремы о пределах функций

  На них основано вычисление пределов элементарных функций.

1.Если - постоянная величина, то .

2.Если - постоянная величина, то .

  Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

  Пусть функции  имеют в точке  пределы :

                                .

3.Прелел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:

    4.Предел произведения равен произведению пределов:

5.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

  ♦Например:

Предел многочлена  равен…

Варианты ответов:1)11;  2)49;   3)0;   4)57.

                                                           Решение:

   Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной подставить значение , к которому оно стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.

Два замечательных предела

  В математике и ее приложениях широко используются два замечательных предела функции

Теорема о первом замечательном пределе

  Предел функции  в точке  существует и равен единице:

                                        .

  ♦Например:

  Предел  равен …

  Варианты ответов:1)0  2)1   3)5   4)

                                                 Решение: 

  Чтобы использовать первый замечательный предел, надо преобразовать данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 5 и только тогда можно будет применять первый замечательный предел.

Теорема о втором замечательном пределе

  Предел функции при  существует и равен

  Число  является одной из фундаментальных величин в математике.

  Логарифм числа  по основанию  называется натуральным логарифмом и обозначается  Показательная функция вида  называется экспонентой.

  Вычисляя пределы, можно использовать следующие равенства:

  ♦Например:

Предел  равен …

                                                       Решение:

Проведем замену переменно, полагая =

Тогда  при .

3. Ряды

При  изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта:

- на первом этапе учитываются самые главные характеристики процесса-как говорят, выполняется этап первого приближения;

- на втором этапе учитывают новые или более точно-старые характеристики объектов.

   Одним из математических понятий, при помощи которого моделируются подобные ситуации, является понятие « СУММЫ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ» , за которым утвердилось название РЯДА.

С помощью рядов вычисляют значения различных функций, вычисляют ( приближённо) значения интегралов, решают дифференциальные уравнения и пр.

Числовые ряды

     ОПР. Числовым рядом называется выражение  вида

=

Числа  ( a1 , a2 , …, an ) называют членами числового ряда,

 а ( an) – общим членом ряда

Ряд считается заданным, если известен его общий член  =  ,

т.е. задана функция  натурального аргумента. Например, ряд с общим

членом =  имеет вид

 - + …+  + … .

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удаётся найти самое естественное решение.

Свойства сходящихся рядов.

  1. Если ряд ++… + +… сходится и имеет  сумму S , то и ряд  

ƛ  + ƛ+…+ ƛ+…(полученный умножением данного ряда на число ƛ) так сходится и имеет сумму S.

2.Если ряды  ++… + +… и  +… ++… сходятся и  их суммы соответственно равны  и , то и ряд

+… +  + +… (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна + .

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств  пределов числовых последовательностей.

3.Если числовой  ряд сходится, то сходится и ряд , полученный из данного путем отбрасывания ( или приписывания) конечного числа членов .

Если сумму n-го остатка ряда обозначить через  , т.е.

= … + … = , то сумму ряда можно представить в виде  S=+

4.Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно , чтобы при n= 0.

Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций.

 Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд.

Теорема (необходимый признак сходимости).

 Если ряд сходится, то предел его общего членапри n

= 0.

 т.е.

. Так как ряд сходится, то  и =S.  Поэтому

-=-= S - S=0.

 Ряды с положительными членами

Теорема (признак сравнения).

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1) и (2), причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом n

.

Тогда: а) если сходится ряд 2), то сходится и ряд 1); б) если расходится ряд 1), то расходится и ряд 2).

Теорема (предельный признак сравнения).

Если  и  ряды с положительными  членами и существует конечный предел отношения их общих членов  = k≠0, то и ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Теорема ( признак Даламбера).

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1) –го члена к n-му члену = l. Тогда, если , то ряд сходится; если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным .

Теорема (интегральный признак сходимости).

Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. ……, а функция , определенная при x1, =, =, … , =, … .        (13.13)

Тогда для сходимости ряда  необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл dx.

Ряды с членами произвольного знака.

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: -+-+…++… , где 0.

Теорема ( признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если

1)последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает;

2)общий член ряда стремится к нулю.

Знакопеременные ряды. Под знакопеременным рядом понимается ряд, в котором положительные и отрицательные члены расположены в произвольном порядке.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда 

++…++… , сходится, то сходится и данный ряд.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Таким образом, рассмотренный выше ряд     - условно сходящийся.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся - в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Замечание: свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам  напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Возьмем, например, ряд 1- +-+…+  + … . Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

+++… .

Перепишем ряд в виде:

+++…=,

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Замечание: можно показать (теорема Римана) , что от перестановки  членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

 Степенные ряды.

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются  функции, в частности, степенные функции

+ x++…++… (1)        

Такие ряды называются степенными, а числа , , …, - коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда.

Определение. Совокупность  тех значений x, при которых степенной ряд (1)  сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

1)Если степенной ряд сходится при значении x=0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях x таких, что .

2)Если степенной ряд расходится при x=, то он расходится при всех значениях x таких, что

Свойства степенных рядов.

Пусть функция  является суммой степенного ряда, т.е. =.

В подробных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы ( многочлены): на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), функция  является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

dx=++…++… .

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

=+2x+3+… .

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

Ряд Маклорена.

Предположим, что функция, определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

=++++…++… .

Выразим коэффициенты ряда через. Найдем n производные функции , почленно дифференцируем ряд n раз:

=+2x+3+4+…+n+…

=2x+32x+43+…+ n+…

= 3+43x+…+n+…

= n32+… .

Полагая в полученных равенствах x=0, получим

=, =, =21=2!, =32=3!,… ,

=n!, откуда

, =, , =, …, =.

Подставляя значения коэффициентов , ,  , … , , получим ряд =+x+++…++…,

называемый рядом Маклорена  .

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции

Так же как и для числовых рядов, сумму  ряда Маклорена можно представить в виде   =+,

 где - n – я частичная сумма ряда;-n-й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов можно сформулировать теорему.

Теорема.  Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции  , необходимо и достаточно, чтобы при n остаток ряда стремился к нулю, т.е.

        (14.17)

Для всех значений x из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция  разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

1)y=

Имеем ==…==;

===…===1

=1+x+++…++… .

Область сходимости ряда

2)y=.

Имеем , =, =-,=-,

=, откуда  =0; =1; =0; =-1,

=0 и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка =0, а нечетного порядка =, i=1, 2, …

=x-++…++…

Область сходимости ряда

3)y=. Рассматривая аналогично, получим

=1-+-…++… .

Область сходимости ряда

4)y=, где m- любое действительное число.

Имеем =,  =m, =m,

 =m,..., = m

.

При x=0 =1 , =m, =m, =m,… ,

= m…. По формуле (14.6).

=mx +++…++… (*)

Интервал сходимости ряда ( на концах интервала при x1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m) .

Ряд (*) называется биномиальным. Если m- целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю , т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5. y=1n.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

=1-x+-+…++…

Со знаменателем q=-x, который сходится при , т.е. при -1x1, к функции  ==.

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; x), где  , с учетом того , что =ln=ln (1+x), получим

ln (1+x) =x-+--…++… .      

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости ) есть (-1;.

Основные термины

Числовая последовательность                                

Сходящаяся  и расходящаяся числовая последовательность                                

Ограниченная и неограниченная числовая последовательность

Предел числовой последовательности

Односторонние пределы                                      

 «Замечательные пределы»

Гармонический ряд

Знакочередующийся числовой ряд

Знакопеременный числовой ряд

Функциональный ряд

Степенной ряд

Абсолютно  сходящийся степенной ряд

Условно сходящийся степенной ряд

Область сходимости степенного ряда                                    

Ряд Маклорена

Тест  

ВАРИАНТ №1(выполняют студенты первой подгруппы)

1. Для числовой последовательности вида  xn = f(n)   xn  называют

а) последовательным членом;  б) общим членом;  в) частичной суммой.

2. Числовая последовательность задаётся

а) формулой общего члена;  б) рекуррентным способом;  в)всё верно.

3. Равенство типа v = n2 + 1 задаёт последовательность

 а) vn = { 2,5,10, …, n2 +1, …};  б) vn = { 1, , , …, , …};

                                                                     в) vn = { -1, 2, -3, 4, …, (-1)n *n, …}.

4.  = ?                             а) 1;      б)  -1;    в)

5.  = ?                     а) 1;      б)   ;    в)

6. ? =    g( x)  

 а)*g( x) );      б) ;     в)  g( x) ).                                                                

7. Обычный предел (  существует тогда и только тогда, когда    . . .  

 а) существуют односторонние пределы функции y = в точке (x0);

 б) левый и правый пределы в точке (x0) существуют и равны;

 в) односторонние пределы y = в точке (x0) равны.

8. Числовым рядом называется выражение вида

а)   ;

б) ;                       в) .

9. Числовой ряд называется расходящимся, если

а)  не существует;  б)

в)

10.  Утверждение типа « Если  или этот предел не существует, то ряд  S =  расходится» является

а) необходимым условием расходимости ряда;

   б) достаточным условием расходимости ряда;

   в) достаточным условием сходимости ряда.

ВАРИАНТ№2 (выполняют студенты второй подгруппы)

1.Числовым рядом называется выражение вида

а)   ;

б) ;                       в) .

 = ?                     а) 1;      б)   ;    в)

3.Числовая последовательность задаётся

а) формулой общего члена;  б) рекуррентным способом;  в) всё верно.

4.Утверждение типа « Если  или этот предел не существует, то ряд  S =  расходится» является

а) необходимым условием расходимости ряда;

   б) достаточным условием расходимости ряда;

   в) достаточным условием сходимости ряда.

5.Равенство типа v = n2 + 1 задаёт последовательность

 а) vn = { 2,5,10, …, n2 +1, …};  б) vn = { 1, , , …, , …};

                                                                     в) vn = { -1, 2, -3, 4, …, (-1)n *n, …}.

6.Числовой ряд называется расходящимся, если

а)  не существует;  б)

в)

7.Для числовой последовательности вида  xn = f(n)   xn  называют

а) последовательным членом;  б) общим членом;  в) частичной суммой.

1. ? =    g( x)  

 а)*g( x) );      б) ;     в)  g( x) ).    

 = ?                             а) 1;      б)  -1;    в)

10.Обычный предел (  существует тогда и только тогда, когда    . . .  

 а) существуют односторонние пределы функции y = в точке (x0);

 б) левый и правый пределы в точке (x0) существуют и равны;

 в) односторонние пределы y = в точке (x0) равны.

Раздел №4 Основы дискретной математики, теории вероятностей,

математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении

Лекция №5

Тема: «Элементы теории множеств и графов. Комбинаторика»

ЧАСТЬ №1 Тема: «Элементы теории множеств»

Задание

1. Освоить материал.
2. Выучить основные понятия, определения, формулы, законы.
3. Ответить письменно на контрольные вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №5, Часть №1. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы. Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал  перед и после абзаца – полный ответ на вопрос)

Текст лекции

Дискретная математика- это раздел математики, в котором изучаются разрывные, не непрерывные, скачкообразные процессы и явления.

Сегодня мы познакомимся с элементами теории множеств, познакомившись с понятием множества, классификацией множеств: конечные, бесконечные, пустые; конечные – дизъюнктные и недизъюнктные; узнаем, что графическое изображение  множеств – это диаграммы Эйлера- Венна – замкнутые кривые линии на плоскости; рассмотрим основные операции над непустыми,

недизъюнктными, конечными множествами.

Далее мы перейдём к рассмотрению вопросов теории графов: сформулируем определение графа, дадим графическую интерпретацию графа, познакомимся с основными понятиями, определениями, операциями  и классификацией графов.

1. Множества и отношения

Основные понятия

В тех случаях, когда невозможно дать четкого определения  какому-либо предмету или явлению, люди пользуются понятиями. Основные понятия не определяются. У каждого из нас существуют интуитивные представления о них, основанные на личном опыте.

Введем понятие множества.

Определение. Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

О множестве известно, что оно состоит из элементов.

Например, множество студентов определенного колледжа, множество зрителей данного театра, множество слушателей в аудитории и т.п.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита  A, B, C,…, с индексами или без них. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c,…, y, z в случае, если речь идет о множестве вообще, или же за ними сохраняют конкретные обозначения. Принадлежность элемента a к множеству N записывается так: a  N (читается «a принадлежит N»). Непринадлежность элемента b к множеству N обозначается b  N (читается «b не принадлежит N»).

Способы задания множеств:

• Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение – список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: N = {1, 2, 3, 6}.
• Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначаются: N = {x│ P(x)} или N = {x: P(x)}.

Например, множество N =  {1, 2, 3, 6} можно записать и таким образом:

N = {x│ x – натуральное число, делитель числа 6}.

Свойство P состоит в том, что объект есть натуральное число, на которое делится число 6.

Операции над множествами

Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.

Вместо кругов Эйлера  определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами. На рисунке 1 первая диаграмма соответствует универсальному множеству U, вторая – его пустому подмножеству, третья – произвольному подмножеству A.

Рис. 1

ОПР. Объединением множества A1 и A2 называют множество B, состоящее их всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A1, A2  (рис. 2). Тот факт, что B есть объединение A1 и A2, записывается: B = A1    A2, B = {x│ x  A1 или x A2}.

На рисунке 2 вся заштрихованная область представляет собой множество B.

ОПР. Пересечением множеств A1 и A2 называется множество B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A1, и множеству A2 одновременно (рис. 3).
То, что B есть пересечение A1 и A2, записывают так: B = A1  A2, B = {x│ x  A1 и x A2}.

ОПР. Разностью множеств A1 и A2 называют множество B, состоящее только из тех элементов множества A1 , которые не содержаться в A2 (рис. 4).

Разность множеств обозначается: B = A1\A2, B = {x│ x  A1,  x   A2}.

Разность - операция строго некоммутативная. В общем случае A1\A2  ≠ A2\A1.

Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

ОПР. Дополнением (до U) множества A называется множество A-  всех элементов, не принадлежит A, но принадлежит универсальному множеству U (рис. 5).

A- = U\A.

Свойства операций над множествами

1. Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:

2. Закон коммутативности:

3. Закон ассоциативности:

4. Законы дистрибутивности:

5. Законы поглощения:

  6. Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:

7. Законы дополнения:  

8. Закон инволютивности дополнения:

9. Закон Де Моргана:  .

Основные термины

Множество                                                  

Подмножество                                            

Конечные множества                                

Бесконечные множества                          

Пустые множества                                      

Равные множества                                      

Счётные множества                                    

Дизъюнктные множества                          

Недизъюнктные множества                      

Контрольные вопросы по теме «Элементы теории множеств»

1. Сформулируйте определение множества.

2. Как обозначаются множества и их элементы?

3. Какие множества называются равными?

4. Сформулировать определение подмножества.

5. Классифицировать множества, привести примеры.

6. Сформулировать определение дизъюнктных множеств.

7. Сформулировать определение недизъюнктных множеств.

8. Перечислить операции над множествами, выполнить графику пояснений.

9. Что называется диаграммами Эйлера-Венна?

10. Сформулировать свойства операций над множествами.

ЧАСТЬ №2 Тема: «Основные понятия теории графов»

Задание

1.Освоить материал.

2.Выучить основные понятия, определения, формулы, законы.

3.Ответить письменно на тестовые вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №5, Часть №2. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ.

Введение

На занятии «Основные понятия теории графов» в рамках темы «Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении» будут рассмотрены следующие вопросы:

1. Определение, математическая запись и виды графов

2. Основные понятия теории графов

3. Графическая интерпретация графов

 Основные понятия теории графов

ОПР. Графические представления – удобный способ иллюстрации различных понятий, отображения исследуемого процесса.

Все более распространенным становится  представление количественных показателей в виде гистограмм, круговых и столбцовых диаграмм, по наглядным характеристикам которых (высота, ширина, площадь, радиус и т.д.) можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы. В теории графов используется геометрический поход к изучению объектов. Основное понятие теории – граф – задается множеством вершин (точек) и множеством ребер (дуг), соединяющих некоторые пары вершин. Пример графа – схема метрополитена: множество станций (вершины графа) и соединяющие их линии (ребра графа).

Основоположником теории графов является Леонард Эйлер, опубликовавший в 1736г. решение задачи о кенигсбергских мостах. В городе Кёнигсберге было два острова, соединенных семью мостами так, как показано на рисунке 7. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырех частей суши(A, B, C, D), который бы начинался с любой из них, кончался на ней же и только один раз проходил по каждому мосту.

Эйлер доказал, что задача не имеет решений. Для того он обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром). Получился граф, представленный на рисунке 8. Утверждение о невозможности нахождения указанного маршрута эквивалентно утверждению о невозможности обойти граф указанным образом.

Отправляясь от этого частного случая, Эйлер обобщил постановку задачи и нашел критерий обхода (специально маршрута): граф должен быть связанным, а каждая его вершина должна быть инцидентна четному числу ребер.

Существенный вклад в теорию графов внесли в первой половине ХХ в. Немецкие ученые Кирхгоф и Келли. Изучение Кирхгофом электрических цепей привело к разработке основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев в графах. Келли подошел к исследованию деревьев, решая задачи исследования химических веществ с различными типами молекулярных соединений. Однако широкое распространение теориям графов получила лишь с 50-х гг. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники, когда теория графов существенно обогатилась новыми материалами и подходами. Тогда же началось системное изучение графов с различных точек зрения (структурная, информационная и др.). В это время формулировались проблематика и методы теории графов.

Графы находят применение при проектировании вычислительных машин, в теории программирования, в изучении химических, физических и технологических процессов, в решении задач сетевого планирования и управления, в лингвистических и социологических исследованиях и т.д.

Теория графов тесно связана с топологией, теорией чисел, комбинаторикой, алгеброй и другими разделами математики.

Теория графов решает большое число разнообразных задач. Эти задачи по анализу графов или их частей, обладающих определенными свойствами, решение транспортных задач, связанных с перевозкой грузов по сети и др. Отдельный класс составляют задачи по синтезу графов с заданными свойствами.

Графы. Основные определения

ОПР. Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро e E инцидентно ровно двум вершинам u и v, которые оно соединяет. Вершины u и v называют смежными, а о вершине u и ребре e говорят, что они инцидентны, так же как и v и e.

ОПР. Если два ребра инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. На рисунке 9 вершины 1 и 2 – смежные, 1 и 3 – нет. Ребра e1 и e2 – смежные, а e1 и e3 – нет.

При изображении  графа не всего его детали одинаково важны. Несущественными являются геометрические  свойства ребра (длина, кривизна и т.д.) и взаимное расположение вершин на плоскости. На рисунке 10 приведены одинаковые графы        G1 и G2 (G1 = G2).

ОПР. Граф называется правильным, если его ребра не имеют общих точек, отличных от вершин графа. На рисунке 10 правильный граф G2 , граф G1 – неправильный, так как ребра, соединяющие вершины 1, 3 и 2, 4 имеют общую точку, которая не является вершиной графа (точка пересечения диагоналей прямоугольника).

Для любого графа существует его правильная реализация в пространстве, но не любой граф можно правильно реализовать на плоскости.

ОПР. Правильно реализованные на плоскости графы называются плоскими. Граф G2 на рис.10 является плоским. Примером неплоского графа может служить граф G1 + G2  на рис. 19.

Чтобы реализовать неплоские графы в пространстве в микроэлектронике пришлось создать технологию многослойных печатных плат.

ОПР. Ребра, соединяющие  вершины сами с собой, называются петлями. На рисунке 11б петли обозначены e1, e2, e3.

ОПР. Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными (m, p на рис. 11а  и  x, y, z – параллельны).

ОПР. Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой, оно называется направленным, или ориентированным. На рисунке 12 представлены примеры графов с тремя вершинами и тремя дугами.

ОПР. Граф, соединяющий ненаправленные ребра, называется неориентированным (рис. 8-11).

ОПР. Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если множество его вершин, а значит, и ребер пусто.

ОПР. Граф называется полным, если каждая пара вершин соединена ребром и граф не содержит петель и кратных ребер.

ОПР. Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые надо добавить к графу G, чтобы получить полный граф.

ОПР. Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат G. На рисунке 13а изображен граф, а на рис. 13б – два его под графа.

ОПР. Графы G1 и  G2 называются равными (G1 = G2), если множества их вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1 = V2  и  E1 = E2 (рис. 10).

ОПР. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными. Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В математике понятие «изоморфизм» означает похожесть однотипных объектов. Запись G1 ? G2  означает, что графы G1 и  G2 – изоморфны. Изоморфные графы изображены на рис. 14.

ОПР. Локальной степенью ⍴(V) (или просто степенью) вершины графа G называют количество ребер, инцидентных вершине V.

Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое ребро вносит двойку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое установлено Эйлером и является исторически первой теоремой теории графов.

ОПР. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер:  

В любом графе число вершин с нечетными степенями четно.

Для вершин орграфа (графа с ориентированными ребрами) определяются две локальные степени:

1.  ⍴1(V) – число ребер с началом в вершине V, или количество выходящих из вершины V ребер; 
2. ⍴2(V) – количество входящих в V ребер, для которых эта вершина является концом.

Петля дает вклад 1 в обе эти степени.

В орграфе суммы степеней всех вершин ⍴1(V) и ⍴2(V) равны количеству ребер m этого графа, а значит и равны между собой:

ОПР. Вершина графа называется изолированной, если ее локальная степень равна нулю: ⍴(V) = 0.

ОПР. Концевой называют вершину, локальная степень которой равна 1: ⍴(V) = 1.

ОПР. Графы, у которых все вершины имеют одинаковую степень, называются регулярными, или однородными.

Операции над графами

В ряде случаев удобно представить структуру  рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой структуры.

Пусть графы G1 и G2 имеют непересекающиеся множества вершин V1, V2  и непересекающиеся множества ребер E1 и  E2.

ОПР. Объединением графов G1  G2 называют граф, множеством вершин которого являются V =  V1  V2 , а множеством ребер – E =  E1  E2 (рис. 18).

Соединение графов G1 + G2 состоит из G1  G2  и всех ребер, соединяющих V1 и V2  (рис. 19).

Произведением графов G1 × G2 называется граф, вершины которого u = (u1, u2)   и        v = (v1, v2) смежны тогда и только тогда, когда [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины] или [u2 = v2 и u1, v1  - смежные вершины] (рис. 20).

Композицией G  = G1[G2] называют такой граф G, вершина которого u = (u1, u2) смежна с v = (v1, v2) тогда и только тогда, когда [u1  = v1 – смежные вершины]    или     [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины].

Композиции графов G1 и G2 представлены на рис. 21.

Заключение.

      Мы рассмотрели элементы теории графов , как раздел дискретной математики. Узнали, что  дискретная математика- это раздел математики, в котором изучаются разрывные, не непрерывные, скачкообразные процессы и явления.

       Рассматривая  вопросы теории графов, мы сформулировали определение графа, представив  графическую интерпретацию графа; познакомились с основными понятиями, определениями, операциями  и классификацией графов.

Основные термины

Граф

Подграф

Вершина графа

Ребро графа

Ориентированный граф

Неориентированный граф

Полный граф

Равные графы

Изоморфные графы

Тест по теме «Основные понятия теории графов»

1. Совокупность 2 непустых конечных множеств вершин и ребер называется         а)  графом;       б) событием;     в) высказыванием;    г) выборкой.

2. Основоположник теории графов  

 а) Виет;   б) Эйлер;   в) Лейбниц;  г) Бернулли.

3. Если два ребра графа инцидентны одной и той же вершине, то они называются

а) несмежными; б) симметричными;   в) смежными;   г) параллельными.

4.Рёбра графа, соединяющие вершину саму с собой называются

а) дугами;     б) вершинами;    в) параболоидами;     г) петлями.

5. Кратными называются  . . .  рёбра.

а) параллельные;   б) инцидентные одной и той же вершине;

 в) перпендикулярные;     г) смежные.

6. Ребро, соединяющее 2 вершины и имеющее направление, называется

 а) петлёй;        б) дугой;        в) ориентированным ребром;  

  г) не ориентированным ребром.

1. Если локальная степень вершины G (V,E) равна нулю, то вершина называется                                    а) регулярной;             б) однородной;  

                                                         в) пустой;               г) изолированной.

2. Сумма степеней вершины G (V,E) равна

а) удвоенному числу рёбер;                         б) утроенному числу рёбер;

  в) 4q;         г) 8q,  где q – количество рёбер.

9. Замкнутый путь называется

 а) циклом;       б) контуром;       в) деревом;        г) маршрутом.

10. Максимальный связный подграф графа G ( V,E) называется

а) цепью графа G ;                                     б) маршрутом графа  G ;  

в)  компонентом графа  G ;                       г) циклом графа  G.

ЧАСТЬ №3 Тема: «Элементы комбинаторики»

Задание

1.Освоить материал.

2.Выучить основные понятия, определения, формулы, законы.

3.Ответить письменно на тестовые вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №5, Часть №3. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ.

Текст лекции

Введение

На занятии  «Элементы комбинаторики» в рамках темы «Основы дискретной математики, теории вероятностей, математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении»  будут рассмотрены следующие вопросы:

1. Определение комбинаторики.

2. Основные понятия комбинаторики.

3.Формулы и законы комбинаторики.

 Элементы комбинаторики.

      При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать их в определённом порядке и т.п. – т.е. речь в них идёт о комбинации объектов. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики - комбинаторикой.

Примеры комбинаторных задач:

• Расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке располагалось по 4 точки.
• Узнать, сколькими способами  из группы в 31 человек можно выбрать старосту и трёх бригадиров?
• Расположить натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы они образовали «магический квадрат».

Различают 7 основных формул комбинаторики и 2 основных закона: сложения и умножения.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

РАЗМЕЩЕНИЯ

а) с повторениями:   = mn

б) без повторений:       =

ПЕРЕСТАНОВКИ

а) без повторений:           = n!

б) с повторениями:   = ,

где

СОЧЕТАНИЯ

а)  без повторений:   = , где m>n

б) с повторениями:     = C m+n-1 ;

БИНОМ НЬЮТОНА

Бином – иначе двучлен.

В школьной математике рассматривают степени бинома:

• При n = 0   ( a + b)0 =1,

• При n = 1  ( a + b)1 = a + b,
• При n = 2  (a + b )2 = a2+ 2ab +  b2,
• При n = 3  (a + b )3 = a3+ 3a2b + 3ab2 +  b3,
• При n = 4   (a + b )3 = a4+ 4a3b +6a2b2 +4ab3 +  b4,

Если выписать все коэффициенты, то получим « Треугольник Паскаля»:

                                            1                                                                      

                                        1      1

                                   1       2      1

                              1       3       3      1

                        1       4         6       4     1

Любой коэффициент можно рассчитать также по формуле  сочетаний  без повторений     = , где m>n

Замечание:        n! –  читаем « эн факториал»;

Расчётная формула:    n!= 1  2  3   4   5   …  n.

0! = 1;                     4!  = 1 2 3 4 =24;

1! = 1;                     5! = 1 2 3 4 5 = 120        и т. д.

2! =1   2 =2;

3! = 1 2 3 =6;

2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ

ЗАКОН СУММЫ

а) для непересекающихся  (дизъюнктных) множеств:

Теорема: Количество элементов в  объединении непересекающихся конечных множеств     равно сумме количеств элементов этих множеств.

Запись:  n (A   B) = n (A) + n (B).

б) для пересекающихся (недизъюнктных ) множеств:  

Теорема:  Количество элементов в  объединении пересекающихся конечных множеств     равно сумме количеств элементов этих множеств  без количества элементов в их пересечении.

Запись:  n (A   B) = n (A) + n (B) – n (A B).

Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то выбрать  наудачу один плод можно 7 + 4 = 11 способами, т.к.

А – множество яблок, n (A)= 7,

B – множество груш , n (B)= 4,

А и В – непересекающиеся  конечные множества, поэтому, используя закон суммы для дизъюнктных множеств, имеем  n ( AB) = n (A) + n (B) = 7 + 4 = 11

ЗАКОН ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Теорема:  Если множества  А  и  Б  конечны, то количество элементов в их Декартовом произведении равно произведению количеств элементов этих множеств.

Запись:  n (А В) = n( A) n (B).

Например:  сколько автомобильных номеров, в которых за 1 буквой следуют 3 цифры, а затем ещё 2 буквы можно составить из 28 букв русского языка и 10 цифр?

Решение:

Пусть А – множество букв, где n (A) =28,

            B – множество цифр, где n (B) =10?

Тогда каждый номер требуемого вида – это ( А В В В А А), а их количество: n ( А  В  В В АА)= n (A) n (B) n (B) n (B)n(A)n (A)= 28  10 10 10 28 28   =   21 952 000

Ответ:   21 952 000  автомобильных номеров  требуемого вида можно составить при данных условиях.

Заключение

На занятии были рассмотрены основные понятия и определения комбинаторики; основные формулы и законы комбинаторики.

Основные термины

Комбинаторика      

Комбинаторная задача

Перестановки

 Размещения

Сочетания                                                                          

  Бином Ньютона

ТЕСТ

ВАРИАНТ№1

1. Запись n(A) означает:

а) количество элементов в множестве А;

б) вероятность события А;

в) объединение.

2. К одному из типов комбинаторных задач относятся задачи, в которых требуется найти:

а) вероятность события;   б) количество решений;  в) хотя бы одно решение.

3. Закон суммы вида n (A   B) = n(A)  + n(B) « работает»  при условии

а) А   В =       ;    б) А  В        ;    в) А и В конечные множества.

4. Закон произведения «работает» при условии:

а) А и В конечны и непусты;  б) количество множеств конечно;  в) А =   и В =    .

5. Формула бинома Ньютона позволяет

а) возводить двучлен в натуральную степень;

б) находить перестановки без повторений;

в) решать комбинаторные задачи, в которых требуется найти хотя бы одно решение.

В комбинаторике рассматриваются  . . .   основных закона и   . . . основных формул.

а) 2; 4;        б) 2; 7;        в) 1;  8.

      ВАРИАНТ№2

1. В комбинаторике закон суммы формулируется для . . .  множеств.

а) конечных и бесконечных;  б) пересекающихся и непересекающихся;  в) дизъюнктных.

2.   Комбинаторными называются такие задачи, в которых

а) приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать их в определённом порядке и т.п.;

б) находят дифференциал функции;

в) в которых применяют основные законы комбинаторики.

3. В комбинаторике рассматриваются  . . .   основных закона и   . . . основных формул.

а) 2; 4;    б) 1;  8;    в) 2; 7.

4. Что обозначает запись типа    n (A   B) = n (A) + n (B) – n (A B)?  

а) закон суммы для недизъюнктных множеств;

б) закон суммы для дизъюнктных множеств;

в) закон произведения.

5. Что означает термин «бином Ньютона»?

а) квадрат многочлена;

б)  степень двучлена;    в) цифру 2.

Раздел «Основы дискретной математики, теории вероятностей,

математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении»

Лекция №6  

Тема: «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

ЧАСТЬ №1     «Элементы теории вероятностей»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Выучить основные понятия, определения, формулы, законы.
3. Выполнить тестовое задание (В программе Ms. Word создать документ Лекция №6, Часть №1. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ)

Введение

Определение: Теория вероятностей-это наука, изучающая закономерности однородных случайных событий.

Основными понятиями теории вероятностей являются «событие» и «вероятность события».

Определение:  События – это действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий.

Всякое событие является следствием очень многих причин. Например, выпадение «герба» или цифры при подбрасывании монеты зависит от силы, с которой брошена монета, её формы, сплава; попадание или промах при стрельбе зависит от расстояния до мишени, формы и веса пули (снаряда), от направления и силы ветра и других случайных причин. В связи с этим невозможно заранее предсказать, произойдёт единичное событие или нет. Иначе обстоит дело при изучении многократно повторяющихся опытов. Оказывается, что однородные случайные события при многократном повторении опыта подчиняются определённым закономерностям. Изучением этих закономерностей и занимается теория вероятностей, которая возникла в 17 веке. У истоков ТВ стояли Б. Паскаль, П. Ферма и голландский математик Х. Гюйгенс. ТВ началась с анализа азартных игр, где и зародились основные понятия и определения. Сегодня методы ТВ находят широкое применение в различных отраслях науки и техники. Наука о случайных явлениях проникла и укоренилась в медицине, медицинской статистике.

Основная часть

Теория вероятностей-это наука, изучающая закономерности однородных случайных событий. События – это действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий. События обозначают заглавными печатными буквами латинского алфавита: A,B,C,D и т. д.

Различают события:

 а) достоверные;                       б) невозможные;                    в) случайные. 

Определение:  Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет при определённой совокупности условий.

Определение:  Невозможным называется такое событие, которое никогда не  произойдет при определённой совокупности условий.

Определение: Случайным называется такое событие, которое либо произойдёт, либо не  произойдет при определённой совокупности условий.

ЧАСТОТА И ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ

Определение: Отношение числа (m) опытов, в которых событие А появилось, к общему числу(n) проведённых опытов называется частотой события А.

W(A)= m /n

Определение: Вероятностью   P(A) события А называется отношение числа( m) элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу (n) равновозможных элементарных событий.

P(A)= m /n

Свойства вероятностей событий:

1.Если А-случайное событие, то 0 < P(A)<1

2.Если А – достоверное  событие, то P(A)=1

3.Если А – невозможное событие, то P(A)=0

Таким образом, для любого события имеет место неравенство типа

0 P(A)1

Например.                  В урне (непрозрачный ящик) находятся  3 белых и 9 чёрных шара. Из неё наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется   а) чёрным;   б) белым;   в) красным?

                               Решение:

 а)Пусть событие  А - вынутый шар оказался  чёрным;  

Имеем: n = 12,  m = 9,      P (A) =9/12 =3/4.

б)Пусть событие  В - вынутый шар оказался  белым;  

Имеем: n = 12,  m = 3,      P (В) =3/12 =1/4.

в)Пусть событие  С - вынутый шар оказался  красным;  

Имеем: n = 12,  m = 0,      P (С) =0/12 =0 следовательно, событие С является невозможным.

Операции над событиями

1. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания:

 А+В – наступит или событие А, или событие В.

Например, в урне находятся  белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие В+С означает: вынут или красный или синий шар.

2. Произведением нескольких событий  называется событие, состоящее в  совместном наступлении всех событий в результате испытания:

АВ – наступят и событие А, и событие В.

Например, в урне находятся  белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие ВС означает: вынуты одновременно  и красный и синий шары.

Например, А-из колоды карт наугад вынута карта пиковой масти, С-из колоды карт наугад вынут валет. Тогда, событие АС -  из колоды карт наугад вынут валет пик.

3. Разностью двух событий называется событие, состоящее из исходов, входящих в событие А, но не входящих в  событие В.

(А-В)-  читаем «А без В».

Например, при бросании игрального кубика событие А- выпадение чётных чисел типа ( 2,4,6), событие В- выпадение чисел, кратных 3, то есть  ( 3,6).Тогда событие

(А-В)- появление чисел 2,4;                                 (В-А)- появление числа 3.

ТЕОРЕМЫ     СЛОЖЕНИЯ     ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение  :Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Определение  :Два события называются совместными, если появление одного из них  не исключает появление другого

ТЕОРЕМА № 1: Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р (А + В)=Р (А) + Р ( В).

ТЕОРЕМА № 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Р (А + В)=Р (А) + Р ( В)- Р (А В).

ТЕОРЕМЫ             УМНОЖЕНИЯ     ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение  :События А и В называют независимыми друг от друга , если вероятность наступления одного из них не зависит от того ,наступит другое событие или нет / и наоборот /.

ТЕОРЕМА № 3: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р (АВ)=Р (А) Р ( В).

Определение: События А и В называют зависимыми друг от друга, если вероятность наступления одного из них  зависит от  того, наступит другое событие или нет /и наоборот /.

ТЕОРЕМА № 4: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий этих событий на условную вероятность, т.е.  

                                       Р (АВ)=Р (А) Р ( В\А)        или

                                       Р (АВ)=Р (В) Р ( А\В)

  Р ( В\А) и Р ( А\В) – условные вероятности, где                                      

  Р ( В\А) – вероятность того, что событие В наступит при условии того , что событие А уже наступило.  

 Р ( А\В) -  вероятность того, что событие А наступит при условии того , что событие В уже наступило.  

Заключение.

      Итак, Теория вероятностей - это наука , изучающая закономерности однородных случайных событий.  События – это действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий. Различают достоверные,  невозможные,  случайные события. Среди случайных событий выделяют * совместные и несовместные события, * зависимые и независимые события. 

      Мы сформулировали определения и записали формулы частоты и вероятности события; рассмотрели свойства вероятности события; выяснили, какие операции осуществимы над событиями, а именно: сложение, умножение и разность.

      Рассмотрели теоремы сложения и умножения вероятностей случайных событий, познакомившись с понятием относительной частоты события.

Основные термины

Теория вероятностей                                             Событие

Достоверное событие                                            Невозможное событие

Случайное событие                                               Частота события

Вероятность события                                            Сумма событий

Разность событий                                                  Произведение событий

Относительная вероятность события                  Совместные события

Несовместные события                                         Зависимые события

Независимые события

Основные формулы

W(A)= m /n, где m –число опытов, в которых событие А проявилось.

                              n- общее число проведённых опытов.                            

  P(A)= m /n, где m – число событий, благоприятствующих событию А

                              n- общее число всех элементарных равновозможных событий.

Р (А + В)=Р (А) + Р ( В), если А и В – несовместные события

Р (А + В)=Р (А) + Р ( В)- Р (А * В), если А и В – совместные события

Р (А  В)=Р (А) Р ( В), если А и В – независимые события

Р (А  В)=Р (А)  Р ( В\А)  или

Р (А В)=Р (В) Р ( А\В), если А и В – зависимые события.

ТЕСТ

Вариант №1

1. Как называется наука, изучающая закономерности однородных случайных событий?

а) комбинаторика;

б) теория вероятностей

в) математическая логика.

2. Как называются действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий?

а) события;  б) высказывания;  в) комбинации объектов.

3. Если  А – случайное событие, то а) P(A)=1;  б) P(A)=0;  в) 0 < P(A)<1.

4. Как  называется математическая запись типа

     Р (АВ)=Р (А) Р ( В\А)?

а) теорема умножения несовместных событий;

б) теорема умножения зависимых событий;

в) теорема умножения независимых событий.

5. Что означает запись   Р( В\А)?

а) вероятность того, что  событие В наступит при условии того , что событие А уже наступило;  

б) вероятность того, что  событие А наступит при условии того , что событие В уже наступило;

в) условная вероятность события А.  

Вариант №2

1. Разновидности случайных событий

а) совместные и несовместные, зависимые и независимые;

б) достоверные и невозможные;

в) дизъюнктные и недизъюнктные.

2. Вероятностью  события А называется 

а) отношение общего числа (n) равновозможных элементарных событий  к числу ( m) элементарных событий, благоприятствующих событию А;

б) отношение числа( m) элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу (n) равновозможных элементарных событий;

в) относительная частота проявления события  А.

3. При каком условии выполняется равенство типа Р(А В)=Р (В) Р ( А\В)? 

а) если А и В – независимые события;

б) если А и В – несовместные события;

в) если А и В – зависимые события.

4. Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна

а) сумме вероятностей этих событий;

б) сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления;

в) произведению вероятностей этих событий.

ЧАСТЬ №2  «Элементы математической статистики»

Задание

1.        Освоить материал.

2.        Выучить основные понятия, определения, формулы, законы.

3.        Выполнить тестовое задание (В программе Ms. Word создать документ Лекция №6, Часть №2. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ)

ТЕКСТ лекции

Введение.

Определение. Математическая  статистика-это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей.

Т.О.

• В центре внимания Математической Статистики- массовые явления.
• Единственный способ получения информации- проведение эксперимента.
• Все характеристики случайных процессов и явлений получаются по экспериментальным данным.

Но всякий эксперимент связан с ошибками *наблюдений, *измерений и количество экспериментальных данных ограничено.

• Всё это влияет на точность выводов.
• Одна из основных задач Математической Статистики:  - по экспериментальным данным

  а)сделать выводы о параметрах распределения(т.е.  провести

  статистическое оценивание параметров распределения        

  случайной величины);

  б) провести статистическую проверку гипотез*.

(*Гипотеза - научное предсказание).

Историческая справка.

-Математическая статистика возникла в 18 веке в работах Бернулли и Лапласа.

-Большой вклад внесли наши соотечественники: Марков, Чебышев, Колмогоров.

-Сегодня Математическая Статистика бурно развивается в связи с

  применением ЭВМ:

• статистические методы распознавания образов
• определение характеристик САУ(системы автоматизированного  управления )

-Сегодня математическая статистика активно применяется в медицине    

Например, (математическая статистика)+(медицина)=Санитарная Статистика (Медицинская статистика)

Следовательно, в математической статистике исследование проводят на групповых объектах, объединенных по какому-либо признаку (однородные объекты)- т.е. на совокупностях.

В медицинской статистике:

1) анализируют часть объектов,  взятых из совокупности и  затем

2) судят о совокупности в целом.

Основная часть.

Рассмотрим основные определения и понятия математической статистики

Определение.  Генеральная совокупность-совокупность всех мыслимых наблюдений или мысленно возможных объектов (понятие абстрактное).

Например:

 К генеральной совокупности относят все людей, больных гриппом в          

                                                    Ставропольском крае.    

                        Исследование:   дать ответ об эффективности арбидола  для

                                                    лечения гриппа (того или иного препарата).

                          На практике:    клиническая апробация проводится на  

                                           ограниченном контенгенте больных гриппом

                                           (например в г.Ессентуки), т.е на выборочной  

                                            совокупности объектов, т.е на выборке.  

Виды выборок.

• Репрезентативная(та, которая наиболее полно характеризует свойства                         и особенности генеральной совокупности).
• Повторная (объекты исследования возвращаются в выборку).
• Бесповторная (объекты исследования не возвращаются в выборку).
• Простая (из выборки извлекают по 1 объекту для исследования).
• Типическая (отбор объектов производится по типу).
• Механическая (отбор через определенные интервалы  времени t)
• Серийная (выборка состоит из серии объектов ).

Свойства выборок.

1.Типичность

2.Объективность

Методы исследования.

1.Повторный  метод (все выбранные объекты возвращаются в выборку)

2.Бесповторный  метод (все выбранные объекты не возвращаются в выборку)

• Основные понятия, определения и формулы математической статистики.

Определение. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака  X называют вариантами (обозначение:,,…).

Определение. Последовательность вариант в порядке возрастания (убывания) называется вариационным рядом.

Определение. Объем выборки- это сумма частот вариант, то есть

 N=,-частота варианты , где значение признака Х наблюдалось раз,

значение x2 признака Х наблюдалось n2 раз и т.д.

Определение. Числа  называются частотами  вариант .

Определение.  Относительная частота варианты  это отношение частоты варианты к объёму выборки.

          где …,

Определение.  Статистическими распределениями выборки называется таблица, вида

Замечание. Зашифровать статистические данные – это значит построить статистическое распределение выборки, т.е. таблицу указанного вида.

Задание: Зашифровать статистические данные: 2,2,1,2,2,1,4,5,5,2,1,1,2

Решение.

• Геометрическая интерпретация статистического распределения выборки.

Определение. Полигоны – ломанные в первой четверти системы координат, соединяющие точки с координатами:

•  для полигона частот                                                        
•  Для полигона относительных частот                              ( xi ,w i)

Например:

Дано:

Имеем: трёхзвенная ломаная А1 А2  А3 А4 – полигон частот.

• Определение. Гистограммы - столбчатые фигуры в системе координат (в первой четверти), состоящие из тесно примыкающих друг к другу прямоугольников, разных высот.            

• для гистограмма частот  (высоты соответствуют частотам    
• для гистограмма относительных частот (высоты соответствуют относительным частотам

Зам: Варианты задаются интервалами: конец предыдущего  интервала является началом последующего.

Например: дано статистическое распределение выборки типа

Построить гистограмму частот

Заключение.

     Сегодня мы рассмотрели ключевые понятия и определения математической статистики такие, как генеральная и выборочные совокупности, виды выборок ;

 группировку статистических данных; познакомились с определением статистических ( выборочных) распределений и их геометрической интерпретацией - полигоном  и гистограммой .

     Выяснили, что математическая  статистика-это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей.

     Отметили, что в центре внимания математической статистики- массовые явления, а единственный способ получения информации- проведение эксперимента, так как все характеристики случайных процессов и явлений получаются по экспериментальным данным.

      Сегодня математическая статистика бурно развивается в связи с применением ЭВМ:

• статистические методы распознавания образов;
• определение характеристик САУ(системы автоматизированного  управления )

Сегодня математическая статистика активно применяется в медицине.    

Основные термины

 Математическая статистика                              Генеральная совокупность

 Выборка                                                                        Статистические данные

Варианта                                                                                  Вариационный ряд

Статистическое распределение выборки                                             Полигон

Гистограмма                                                                          Частота варианты

Относительная частота варианты

ТЕСТ

Вариант №1

1. Раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей

а) дискретная математика;

б) теория вероятностей;

в) математическая статистика.

2. Совокупность всех мыслимых наблюдений или мысленно возможных объектов  

а) генеральная совокупность;

б) выборочная совокупность;

в) градиентная совокупность.

3. Последовательность вариант в порядке возрастания (убывания) называется

а) объёмом выборки;

б) вариационным рядом;

в)  частотой варианты.

4. Как называется таблица  указанного типа?

а) статистическое распределение выборки;

б) полигон;

в) гистограмма.

5. Столбчатые фигуры в системе координат (в первой четверти), состоящие из тесно примыкающих друг к другу прямоугольников, разных высот.

а) статистическое распределение выборки;

б) полигон;

в) гистограмма.

Вариант №2

1. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака  X называют 

а) вариантами (обозначение: ,,…);

б) вариационным рядом;

в) относительными частотами вариант.

2. Что называется объёмом выборки?

а) сумма всех относительных частот заданных вариант;

б) отношение частот к относительным частотам заданных вариант;

в) сумма всех частот заданных вариант.

3. Что собой представляет геометрическая интерпретация статистического распределения выборки?

а) графики и диаграммы;

б) полигоны и гистограммы;

в) всевозможные разновидности диаграмм.

4. Зашифровать статистические данные – это значит

а) построить статистическое распределение выборки;

б) построить полигон частот;

в) построить гистограмму относительных частот.

5. Относительная частота варианты  - это

а) отношение объёма выборки к частоте варианты;

б) отношение частоты варианты к объёму выборки;

Раздел «Основы дискретной математики, теории вероятностей,

математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении»

Лекция №7

Тема: «Медицинская статистика: задачи, разделы, методы и этапы медико – статистического исследования»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Выучить определение медицинской статистики.
3. Выписать в рабочую тетрадь основные термины и формулы.

ТЕКСТ лекции

№ 1 Медицинская статистика

(Основные задачи ,  разделы и методы исследования)

Введение

      Математическая статистика является основой применения количественных    методов в разных сферах человеческой деятельности. В зависимости от объекта исследования имеются различные направления применения методов математической статистики.

Большое  внимание уделяется применению статистических методов для обработки медико- биологических данных. Этими вопросами занимается медицинская статистика.

Основная часть

Определение. Медицинская статистика - это отрасль социальной статистики, которая изучает количественные характеристики состояния здоровья населения, характеристики  развития системы здравоохранения; определяет степень интенсивности влияния на них социально-экономических факторов, а так же занимается приложением статистических методов к разработке и анализу результатов клинических и лабораторных  медицинских исследований.

 Выучить, ответить!!!!!

Основные задачи медицинской статистики

- своевременное получение и разработка данных о заболеваемости, смертности, инвалидности;

- своевременное получение и разработка данных о физическом развитии населения в целом и отдельных его групп;

- своевременное получение и разработка данных о размещении, состоянии, оснащении, медицинских кадрах учреждений здравоохранения;

- своевременное получение и разработка данных о клинических и лабораторных медицинских исследованиях.

Таким образом, медицинская статистика оценивает показатели

а) здоровья населения; б) здравоохранения; в) состояния окружающей среды для определения её безопасности и влияния на здоровье человека.

Основные разделы медицинской статистики

1. Статистика  здоровья населения - изучает санитарно-демографические       процессы, динамику заболеваемости, динамику физического развития( здесь даётся характеристика состояния здоровья различных групп населения в зависимости от социально- биологических факторов);

2. Статистика здравоохранения -  изучает деятельность медико - санитарных учреждений и медицинских кадров, а именно:

а) изучает состояние сети кадров ЛПУ,

б)   даёт оценку деятельности ЛПУ,

в) готовит мероприятия по охране здоровья населения.

Источники  информации в МС

Источники информации в МС позволяют оценить основные медико-биологические показатели. К ним относятся:

• первичная учётная медицинская документация, которая ежедневно ведётся в учреждениях здравоохранения;
• статистическая отчётность;
• лабораторные и клинические  медицинские обследования.

Государственная отчётность по здравоохранению позволяет количественно охарактеризовать состояние и изменение здоровья населения.

Годовая отчётность ЛПУ включает, например,

- отчёт об инфекционных и паразитарных заболеваниях  ( форма № 2);

- сведения о больных туберкулёзом ( форма №33) и т. д.

Все формы годовой отчётности направлены на сбор данных

 - об определённых категориях лиц, получающих медицинскую помощь, а также

 -  о работе ЛПУ и их обеспеченности  медицинскими кадрами.

         В органы государственной  статистики поступают сводные данные о

 а) заболеваемости; б) смертности; в) деятельности ЛПУ.

        Перечень форм отчётности свидетельствует об учёте больных а) как традиционными, так и неизвестными заболеваниями; б) учёте психических расстройств и в) тех  заболеваний, которые представляют особую опасность для жизни людей.

     Вопросами сбора, обработки и хранения информации занимаются отделы медицинской  статистики, которые входят в структуру медицинских организаций.

 Замечание: руководство МС в стране осуществляет Управление медицинской статистики и  вычислительной техники Минздрава России.

Методы исследования в МС

       Медицинская статистика использует методы математической статистики, связанные с обработкой выборочных (выборка) данных. В основе сбора медико- биологических данных лежит закон больших чисел, позволяющий при массовых обследованиях выявить наличие объективных закономерностей, лежащих в основе эпидемиологических, социальных, медицинских процессов.

Определение 1. Метод - это способ достижения цели, регулирования деятельности.

Определение 2. Метод конкретной науки –  это совокупность приёмов теоретического и практического познания действительности.

 Определение 3. Методология – это совокупность методов исследования.                                         

 Определение. Статистика населения – отраслевая статистика, основой  методологии которой является статистическая методология.

Типы  методов:

• методы общей теории статистики;
• математические методы;
• специальные методы,

к которым относятся также:

 - статистическое наблюдение.                                                  - исследование динамики,

 - графическое изучение явлений,              -  методы реального и условного поколения,

 -  индексный, выборочный и балансовый методы.

Замечание: широкое применение в изучении населения приобрели такие статистические методы как: * исследование динамики; * графическое изучение явлений; * индексный метод; *выборочный и балансовый метод, методы определения структуры населения и т. д.

• Применение абстрактных математических методов в статистике населения делает возможным статистическое моделирование  и анализ происходящих в населении процессов.
• Наибольшее число  математических методов и моделей , применяемых в статистике  населения, разработано для характеристики его динамики:

Широко используются такие математические модели, как **экспоненциальные; ** логистические – за прошлый период;  ** модели  стационарного населения;**  модели  стабильного населения – на будущие периоды.

Население – это объект изучения демографии.

Демография – это раздел МС, в котором устанавливаются общие закономерности развития населения.

№2 Медицинская статистика

 (Этапы медико-статистического исследования)

Введение

     Проведение любого научного исследования, в том числе и медико- биологического, необходимо начинать с выделения основных этапов работы. Это позволит конкретизировать необходимый объём работы на каждом этапе и наметить результаты, получение которых позволит перейти к следующему этапу. Любое медико-статистическое исследование состоит из определённых этапов. Рассмотрим их.

Основная часть

Выделяют 4 этапа медико-статистического исследования:

1. Определение цели и задач исследования исходя из рабочей гипотезы или предположения, составление плана и программы исследования.
2. Организация и проведение сбора необходимых данных,  шифровка и группировка полученных материалов.
3. Статистическая обработка данных.
4. Анализ полученных результатов. Выводы.

Первый этап является основным, так как правильный выбор цели определяет весь ход дальнейшего исследования, а так же должен оправдывать затраты и время, потраченное на достижение поставленной цели.

     Целью большинства медико-биологических исследований является выявление влияния различных контролируемых факторов  на здоровье человека.

Определение. Контролируемые факторы – это различные внутренние или внешние причины, которые влияют на показатели здоровья населения и могут быть изменены в результате проводимого исследования.

К  контролируемым факторам могут относиться условия проживания, режим питания, концентрация вредных веществ, воздействие электромагнитных излучений, лекарственные вещества и пр.

Задачи исследования конкретизируют вопросы, решение которых приведёт к поставленной цели.

План исследования определяет решение организационных вопросов проведения исследования таких, как:

- определение объёма исследования*;

- определение места и сроков проведения исследования;

-  выбор и обучение исполнителей;

- техническое и методическое обеспечение исследований;

- компьютерное и программное обеспечение автоматизации

                                                                                    * сбора и * обработки данных.

Программа исследований предусматривает выбор единиц наблюдения*, составление программы сбора, выбора математических методов обработки и анализ данных.

Определение.  Объём наблюдения – это совокупность единиц наблюдений или предметов, которые необходимо изучить ( это то, сто в математической статистике называется статистической совокупностью).

Определение. Единица наблюдения - это элементы, входящие в статистическую совокупность.

Если речь идёт о здоровье населения, то единицей наблюдения будет конкретный испытуемый, а статистической совокупностью - контрольная группа испытуемых. При обследовании испытуемых производятся измерение и регистрация различных показателей, которые отражают реальное на данный момент состояние обследуемого. Эти показатели называются учётными признаками.

Например.    Для оценки функционального состояния испытуемого измеряются температура, артериальное давление, частота  пульса и частота дыхания. Учитывая то, что эти показатели могут отличаться как  у различных испытуемых, так и у одного испытуемого с течением времени, то эти учётные признаки относятся к случайным величинам.

Второй этап исследования заключается в организации и проведении сбора необходимого материала исследования. По способу сбора возможны следующие варианты получения первичной информации об исследуемом объекте:

1) непосредственное получение данных ( наблюдение);

2) выкопировка информации из отчётно-учётной документации

3) опрос населения.

1)Непосредственное наблюдение связано с получением необходимых показателей с изучаемого объекта с помощью первичных преобразователей информации с дальнейшим их усилением и регистрацией.

Например.  Измерение биоэлектрической активности сердца, мозга, мышц; определение состава выдыхаемого воздуха; биохимический анализ жидкостей им пр.

2) Выкопировка  данных  основана на сборе информации из отчётно-учётной документации медицинских учреждений. К ним относятся:

- истории болезни;                                            

   - карта выбывшего из стационара;

- больничные листы и пр.

В последнее время большое внимание уделяется стандартизации отчётной документации на бумажных носителях и переводу её на электронные носители, что связано с разработкой и применением МИС, созданием электронных баз медицинских данных, электронных историй болезни, что значительно повышает оперативность получения необходимой информации, её полноту и достоверность.

Замечание.  Объединение БД позволит получить необходимую информацию по любому вопросу в масштабах всего региона или страны.

3) Опрос населения   основан на  получении информации  от населения методами: анкетирования, интервью или по переписи. Для этого используют стандартные опросные листы, которые позволяют автоматизировать ввод информации в компьютерные системы для обработки и анализа полученных данных.

Третий этап.

Здесь проводится обработка полученных данных, которая включает последовательное выполнение таких операций, как:

- контроль собранных данных;

-  шифровка и группировка собранных данных;

- сводка данных в статистические таблицы;

- статистическая обработка материала.

1. Контроль необходим для проверки правильности и полнота ответов на поставленные вопросы. Если необходимые данные отсутствуют в обследовании объекта, то их следует дополнить или исключить некачественное обследование из обработки.

2 .Шифровка  применяется для условного обозначения тех или иных признаков обследуемого объекта с целью дальнейшей группировки.

3. Группировка связана с систематизацией первичного материала. Чаще всего группировка – это разделение анализируемых данных на группы по тем или иным признакам.

Например, распределение больных по возрасту или по полу.

Иногда группировка необходима для объединения мелких однородных групп в более крупные.

 4. После группировки составляют статистические таблицы, которые облегчают дальнейшую обработку данных.

5. Статистическая обработка данных состоит в вычислении основных показателей, характеризующих выборку. При этом могут вычисляться

* абсолютные,   *относительные и    *средние величины.

• Абсолютные показатели несут информацию о значении того или иного признака и широко используются для характеристики процесса или явления.

Например; численность населения нашей страны, численность дорожно-транспортных происшествий в год в целом по стране; число больных СПИДом в стране и пр.

Сравнение ежегодных показателей позволяет выявить динамику этих данных и принять соответствующие меры по их улучшению.

• Но если речь идёт о выборках различного объёма, то сравнивать абсолютные показатели нельзя – тогда рассматривают относительные величины, которые получаются путём различных отношений и сопоставлений.

• Если относительная величина умножается на 100, то показатель выражается в (%);
• если относительная величина умножается на 1000, то показатель выражается в промилях ( %0);
• если относительная величина умножается на 10000, то показатель выражается в продецимилях (%00).

Замечание. Иногда некоторые  показатели в медицине выражаются в абсолютных единицах    на 1 000, 10 000 или 100 000 населения.

• Для получения информации о наиболее часто встречаемом значении исследуемой величины необходимо найти выборочную среднюю

=  , где .

Для оценки разброса или отклонения изучаемого учётного признака относительно его среднего значения находят выборочное среднеквадратическое отклонение

                                  S =

Среднее квадратическое отклонение показывает границы колебания вариационного ряда . В математической статистике имеется правило « трёх сигм», которое говорит о том, что для нормального закона распределения в интервале :

• M  находится 99,7% всех вариант ряда; 
• M  находится 95,5% всех вариант ряда;
• M     находится 68,1% всех вариант ряда .

Зная значение выборочного среднеквадратического отклонения и объём выборки, находят ошибку выборочного среднего:      = .

Тогда полученные значения выборочной средней можно представить в виде

                                                                                              ,

что позволит оценить не только среднее значение исследуемой величины, но и её разброс относительно этого среднего значения.

Для наглядности представления полученных данных используется графическое изображение результатов анализа ( графики, гистограммы, полигоны и пр.)

Четвёртый этап.

На этом этапе медико- статистического исследования  

1) проводится анализ полученных результатов и 2) делаются выводы или предположения по улучшению тех или иных показателей.

Анализ результатов заключается в 1) сравнении полученных данных с нормативами или стандартными показателями или  2) в оценке динамики полученных значений.

Основные термины

Медицинская статистика                                       Статистика  здоровья населения

Статистика здравоохранения                                               Закон больших чисел  

Государственная отчётность по здравоохранению

Методы математической статистик

Метод                                                                               Метод конкретной науки

Методология                                                                   Статистика населения

Методы общей теории статистики                                     Математические методы

Специальные методы                                    Абстрактные математические методы

Математические модели

Контролируемые факторы                                                         Задачи исследования

План исследования                                                                        Объём наблюдения

Программа медико- биологического исследований               Единица наблюдения

Учётные признаки                                                     Непосредственное наблюдение

Выкопировка  данных                                                                        Опрос населения  

Шифровка данных                                                                       Группировка данных

Статистическая обработка данных                                   Относительные величины

Абсолютные единицы                                                                Выборочная средняя

Выборочное среднеквадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение                        Ошибка выборочного среднего

Основные формулы

1. Выборочная средняя             а)           =  ,

где .

                                                        б)      

2. Выборочное среднеквадратическое отклонение

                                  S =

3. Ошибка выборочного среднего         =

Заключение №1

Сегодня мы познакомились с определением медицинской статистики; рассмотрели основные задачи и разделы медицинской статистики, выявили  источники информации для оценки основных санитарных показателей  и основные акценты  Государственной  отчётности по здравоохранению , узнали о методах и  математической статистики и их типах, применяемых в медицинской статистике.

Заключение №2

Мы рассмотрели  также  основные этапы медико-статистического исследования такие, как: определение цели и задач исследования исходя из рабочей гипотезы или предположения, составление плана и программы исследования; организация и проведение сбора необходимых данных, группировка полученных материалов; статистическая обработка данных; анализ полученных результатов и выводы ;дали им характеристики; познакомились с формулами математической статистики, применяемыми для определения относительных, абсолютных и средних величин медико-биологических показателей.

На следующем занятии мы рассмотрим основные разделы медицинской статистики, а именно: статистику здоровья населения и статистику здравоохранения

Раздел «Основы дискретной математики, теории вероятностей,

математической статистики и их роль в медицине и здравоохранении»

Лекция №8 Итоговое занятие

Тема: « Применение статистических показателей  для оценки деятельности работы поликлинике и стационара»

Задание.

1. Освоить лекционный  материал.
2. Выполнить тестовое задание (В программе Ms. Word создать документ Лекция №8. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы, на третьей строке –Тест,  Вариант №__ (студенты первой подгруппы выполняют первый вариант, студенты второй подгруппы – второй вариант).  Далее – вводятся по левому краю в столбик номера вопросов, а рядом – буква, которой соответствует правильный ответ)
3. ТЕКСТ лекции

 Медицинская статистика

 ( Применение статистических показателей для оценки деятельности поликлиники и  стационара)

       Введение

         Сегодня мы рассмотрим применение статистических показателей для оценки деятельности поликлиники и стационара, выясним характеристики коечного фонда и его использования в стационаре, узнаем, по каким показателям оценивается профилактическая работа поликлиники.

Основная часть

1. При оценке деятельности поликлиники  обычно анализируются: общие данные о поликлинике; информация об организации работы поликлиники (прием пациентов, помощь на дому, нагрузка врачей); проведение профилактической работы и ее результаты (медицинские осмотры, диспансеризация); качество врачебной диагностики и лечения больных; преемственность работы поликлиники и стационара. Среди общих данных оцениваются среднее число населения, прикрепленного к  участку, укомплектованность  штатов и др. Организация работы поликлиники оценивается по показателям, характеризующим:

• динамику посещений (отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100);
• структуру посещений – по поводу заболеваний или с профилактической целью (отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100);
• нагрузку на врачебную должность (отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей);
• активность посещений врачами пациентов на дому (отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100);

Профилактическая работа  поликлиники оценивается:

• полнотой охвата медицинскими осмотрами (отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100);
• процентом  населения, осмотренного с целью выявления заболевания (отношение числа осмотренных к численности населения);
• частотой выявленных заболеваний (отношение  числа выявленных заболеваний к числу осмотренных);
• показателями диспансеризации (полнота охвата, своевременность взятия на диспансерный учет, удельный вес вновь взятых под наблюдение, среднее число диспансеризуемых  на одном участке, исходы и эффективность диспансеризации).
• Качество врачебной диагностики определяется на основе сравнения диагнозов, поставленных больным при направлении на госпитализацию, с диагнозами, установленными в стационаре. Преемственность работы поликлиники и стационара оценивается числом пациентов, подготовленных  к плановой госпитализации, и обменом документацией  до и после лечения их в стационаре.

Основные показатели работы стационара

   Показателями деятельности стационара являются: обеспеченность населения стационарной помощью ( отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000); нагрузка медицинского персонала (число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену); материально-техническая  и медицинская  оснащенность; использование коечного фонда; качество лечебно-диагностической стационарной помощи и ее эффективность.

Коечный фонд и его использование характеризуются следующими показателями:

• состав коечного фонда (отношение числа коек по отдельным профилям  к общему числу коек, в %);
• среднее число занятости койки в году (отношение  числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней);
• средняя длительность пребывания больного на койке (отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных); этот показатель рассчитывается по нозологическим формам, ориентировочный норматив длительности  пребывания  на терапевтической койке- 16-18 дней;
• оборот койки- функция койки 9отношение числа пролеченных больных к числу коек, ориентировочный норматив- 17-20 больных в год).

    О качестве обслуживания больных в стационаре можно судить по показателям больничной  летальности (отношение числа умерших к числу пролеченных больных, умноженное на 100). В зависимости от отделений и состава больных этот показатель может быть от 1 до 3 на 100 больных. Оценивается показатель послеоперационной летальности (отношение числа умерших среди прооперированных к числу прооперированных). Частота послеоперационных осложнений определяется отношением числа осложнений к числу проведенных операций. Показатели досуточной летальности (в первые 24 часа пребывания больного стационаре), процент совпадения диагнозов направления, клинического и патологоанатомического служат для характеристики качества врачебной диагностики.                    

Заключение.

Сегодня мы рассмотрели применение статистических показателей для оценки деятельности поликлиники и стационара, выясним характеристики коечного фонда и его использования в стационаре, узнаем, по каким показателям оценивается профилактическая работа поликлиники. Познакомились с формулами расчёта этих статистических показателей.

Основные термины

 Динамика посещений

  Структура посещений                                                              

 Нагрузка на врачебную должность

 Активность посещений врачами пациентов на дому

Полнота охвата  населения медицинскими осмотрами

Процент  населения, осмотренного с целью выявления заболевания

Частота выявленных заболеваний

Показатели диспансеризации

Качество врачебной диагностики

Обеспеченность населения стационарной помощью

Нагрузка медицинского персонала

Материально-техническая  и медицинская  оснащенность     коечного фонда

 Лечебно-диагностическая стационарная помощи

Состав коечного фонда

Среднее число занятости койки в году

Средняя длительность пребывания больного на койке

Оборот койки

ТЕСТОВОЕ ЗАДАНИЕ ПО

РАЗДЕЛУ 4.  ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ И ИХ РОЛЬ В МЕДИЦИНЕ И ЗДРАВООХРАНЕНИИ

Выбрать один правильный ответ

Вариант №1

1. Что является множеством?

а) совокупность;   б) вероятность;   в) объект.

2. Что является операцией над множествами?

а) импликация;   б) объединение;   в) сложение.

3. Дискретная математика - это раздел математики, изучающий … процессы.

а) не непрерывные;  б) непрерывные;  в) стационарные.

4. К одному из типов комбинаторных задач относятся задачи, в которых требуется найти: а) вероятность события;   б) количество решений;  в) хотя бы одно решение.

5. Закон суммы вида n (A   B) = n(A)  + n(B) « работает»  при условии

а) А   В ;       б) А   В = ;    в) А и В конечные непустые множества.

6. Сумма высказываний истинна, если а) все высказывания истинны; б) хотя бы одно из высказываний ложно; в) хотя бы одно из высказываний истинно.

7. Как в математике обозначается Граф?

  а) Graf;                  б) Г(е,в);                      в) G (E,V).              

8.  Для каких множеств в комбинаторике формулируется закон суммы?

а) конечных и бесконечных;  б) пересекающихся и непересекающихся;

в) дизъюнктных.

9. Как в математической логике  называется предложение, о котором в точности можно сказать истинно оно или ложно?

а) теоремой;   б) определением;  в) высказыванием.

10. Чем в математической логике является выражение типа: A B?

а) конъюнкцией;      б) импликацией;    в) дизъюнкцией.

11. Сформулируйте определение теории вероятностей

а) это раздел дискретной математики, в котором изучаются закономерности однородных случайных событий;

б) это раздел математического анализа, в котором изучаются закономерности переменных величин;

в) это раздел дискретной математики, в котором изучаются закономерности случайных высказываний.

12. Сформулируйте определение события

а) это утверждение, о котором в точности можно сказать истинно оно или ложно;

б) это действие, которое произойдёт или не произойдёт при определённой совокупности условий;

в) это определённая совокупность условий.

13. Сформулируйте определение математической статистики

а) это раздел медицинской статистики, в котором изучаются закономерности однородных случайных событий;

б) это раздел дискретной математики, в котором изучаются закономерности однородных случайных событий;

в) это раздел математики, который изучает методы сбора, систематизации, обработки и использования статистических данных  для получения научно обоснованных выводов и принятия решения.

14. …называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов рассматриваемой совокупности

а) Выборочной совокупностью (выборкой);

б) Генеральной совокупностью;

в) Вариантой.

15. Что изучает динамика населения?

а)  естественное, механическое и социальное движения населения;

б) численный состав населения, структуру населения по полу, возрасту, уровню образования, национальному, семейному положению и пр.

в) прогрессивный, регрессивный и стационарный типы населения.

16. Что определяет данная формула ?

а) абсолютный показатель рождаемости;

б) общий показатель рождаемости;

в) относительный показатель рождаемости.

17. Формула полноты охвата медицинскими осмотрами в профилактической работе поликлиники

а)  отношение числа осмотренных к числу населения,  подлежащего осмотру, умноженное на 100;

б) отношение числа осмотренных к численности населения;

в) отношение числа выявленных заболеваний к числу осмотренных.

18.  Формула расчёта обеспеченности населения стационарной помощью

а) отношение числа  койко-дней  к численности населения, умноженное на 1000;

б) отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10 000;

в) отношение числа коек по отдельным профилям к общему числу коек, в %.

Вариант №2

1. Классификация множеств:

а) зависимые, счётные, бесконечные;

б) простые и составные;

в) конечные, бесконечные, пустые.

2. Что в теории множеств означает запись n(A)?

а) количество элементов в множестве А;

б) вероятность события А;

в) истинность высказывания А.

3.  При каком условии в комбинаторике « работает»  закон произведения  множеств А и В?

а) А и В конечны;  б) количество множеств бесконечно;      в) А =   и В .

4. Формула бинома Ньютона позволяет

а) возводить двучлен в натуральную степень;

б) находить перестановки без повторений;

в) решать комбинаторные задачи.

5. Высказывание – это основное понятие

а) математики;  б) логики;  в) геометрии.

6. Чему равна сумма степеней вершин графа?

а) удвоенному числу его рёбер;  б) утроенному числу его рёбер;  в) нулю.

7. Как называется граф, соединяющий ненаправленные ребра?

а) орграфом;

б) неориентированным;

в) ориентированным.

8. Предложение, о котором в точности можно сказать истинно оно или ложно в логике называется

а) теоремой;   б) определением;  в) высказыванием.

9. Сформулируйте определение вероятности события

а) вероятностью события А называется произведение  числа элементарных событий, благоприятствующих событию А на общее число всех элементарных, равновозможных событий;

б) вероятностью события А называется отношение  числа элементарных событий, благоприятствующих событию А к общему числу всех элементарных, равновозможных событий;

в) вероятностью события А называется относительная частота появления события А.

10. Как определяется вероятность случайного события  A по свойству?

а) P(A)1;

б) P(A)=1;

в) P(A)=0.

11. Сформулируйте определение  вариационного ряда.

а) это наблюдаемые значения рассматриваемого признака;

б) это совокупность относительных частот  данных вариант;

в) это наблюдаемые значения рассматриваемого признака, записанные в порядке возрастания или убывания.

12. … называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот

а) Статистическим распределением;

б) Объёмом выборки;

в)  Генеральной совокупностью.

13. Какие разделы медицинской статистики Вы знаете?

а) демография  и статика населения;

б) статистика здоровья населения и статистика здравоохранения;

в) динамика и статика населения.

14. Формула расчёта нагрузки медицинского персонала в стационаре

а) число коек на одну должности врача и среднего медперсонала в одну смену;

б) количество койко-дней на одну должности врача и среднего медперсонала;

в)  число развёрнутых коек по отделениям.

15. Какие показатели характеризуют  коечный фонд в стационаре?

а) количество развёрнутых коек,  оборот койки;

б) обеспеченность населения стационарной помощью, нагрузка медицинского персонала, качество лечебно-диагностической стационарной помощи и её эффективность;

в) состав коечного фонда, среднее число занятости койки в году, средняя длительность пребывания больного на койке, оборот койки.

16. Что определяет отношение числа умерших в стационаре к пролеченным больным, умноженное на 100?

а) больничную летальность;

б) послеоперационную летальность;

в) досуточную летальность.

17. Как в математической логике  называется предложение, о котором в точности можно сказать истинно оно или ложно?

а) теоремой;   б) определением;  в) высказыванием.

18. …называется множество числовых значений некоторого признака всех объектов рассматриваемой совокупности

а) Выборочной совокупностью (выборкой);

б) Генеральной совокупностью;

в) Вариантой.