Интерактивные занятия, группа № 151В лекции

Текст лекции №1 «Роль и место математики в современном мире»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Усвоить терминологию.

ТЕКСТ лекции

Раздел 1.  Введение

 Тема 1.1.  Роль и место математики в современном  мире.

Вводная часть

Математика – это наука о количественных характеристиках любых объектов, одна из важных фундаментальных наук.

Слово «Математика» происходит от греческого « матема»-знание. Возникла М на первых этапах создания человеческой культуры в связи с практической деятельностью людей.

С древности , производя различные работы, люди встречались с необходимостью выделения и обозрения совокупностей объектов, участков земли, жил. помещений- т.е. там, где надо было устанавливать количественные оценки рассматриваемых множеств, определять формы плоских и объёмных фигур, измерять их площади и объёмы, сравнивать, вычислять, преобразовывать.

ОПР: Математика – это наука, в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы реально существующего мира.( Ф.Энгельс – основоположник научного коммунизма).

В результате многовековой деятельности людей возникли такие понятия, как:  число, фигура, функция и т. д.

Математика всегда развивалась в тесной связи с производством и общечеловеческой культурой и сегодня является стройной дедуктивной наукой.

Основная часть

Этапы развития математики

Академик Колмогоров выделил 4 основных этапа в истории развития математики:

1 этап: этап зарождения Математики, начало которого теряется в глубине тысячелетий истории человечества – по 6 – 5 века до  н.э.

Создаётся арифметика, зачатки геометрии, а математические сведения состоят из свода правил для решения практических задач.

2 этап: этап элементарной математики ( математика постоянных величин   )  с  6 – 5 века до н.э.  по 17 век н.э.

• Около 300 лет до н. э. др. греческий математик Евклид создаёт фундаментальный труд « Начала Евклида»- вся элементарная геометрия на базе аксиом.
• 9 век: среднеазиатский учёный Аль-Хорезми – общие приёмы решения алгебраических задач с помощью уравнений.

• 15 век: вместо громоздкого словесного описания мат. выражений стали употребляться знаки действий: +, -,  ( ), знаки степеней и корней.
• 16 век: Франсуа Виет применяет буквы для обозначения известных и неизвестных величин.

Т.О. к середине 17 века в основном сложилась алгебраическая символика и основы формального математического языка.

3 этап: этап  математика переменных величин. с 17 в.  по  середина 19 в.

• Основное понятие – ФУНКЦИЯ.
•  В работах Р. Декарта на базе метода координат создаётся аналитическая геометрия.
• В работах Ньютона и Лейбница завершается создание теории дифференциального  и интегрального исчисления.
• Большой вклад в дальнейшее развитие математики внёс Л.Эйлер

4 этап: этап современной математики   ( 20 гг. 19 века – наши дни).

Это  период проникновения современной математики и ЭВМ в другие науки и практику.

Например: математика + экономика   =

• эконометрика,
• ЭМММ( экономико – математические методы и модели).

Отличительная черта современного этапа развития математики: математизация всех знаний и компьютеризация всех сфер жизнедеятельности человека

Наиболее современное применение математики:

Нанотехнологии  и Искусственный интеллект

Искусственный интеллект

Сущность ИИ: изучение раз умного поведения людей, животных и машин и попытки найти способы моделирования подобного поведения в любом типе искусственно созданного механизма  -  это очень сложная и увлекательная задача, стоящая перед всем человечеством, т.к.разумное поведение открывается в самых разных областях.

Интеллект происходит от латинского « УМ, разум, рассудок».

Под ИИ мы понимаем способность автоматических систем брать на себя функции человека, выбирать и принимать оптимальные решения на основе ранее полученного жизненного опыта и анализа внешних воздействий.

Интеллект опирается на деятельность, а деятельность мозга – это мышление.

Основная проблема в создании ИИ: возможность или невозможность моделирования мышления взрослого человека или ребёнка.

Роботы и технологии ИИ:

     Роботов, выполняющих работу вместо  оперирующего хирурга, начали применять только с конца 90-ых годов 20-ого века, однако новая технология быстро распространилась по всему миру и к началу 21-ого века проникла во все области медицины и получила высокую оценку врачей.

     Перед операцией робота-хирурга программируют и он обеспечивает тончайшие траектории движения инструментов. Роботы не устают, не подвержены эмоциям, что свойственно обычному человеку ; они могут , как конвейер, работать  по 24 часа в сутки и при этом не имеют права на ошибку. Даже если у врача, дистанционно управляющего роботом, вдруг « дрогнет» рука , система заблокирует неправильную команду и укажет на проблему – это максимально повышает надёжность.

« Аккуратные щупальца с инструментами ювелирно, шаг за шагом разделяют ткани. Опухоль медленными выверенными движениями захватывается и удаляется из организма. Манипулируя камерой, металлический спрут проверяет качество работы. Убедившись, что всё в порядке, делает аккуратный шовчик и сам себе аплодирует. Так только что была закончена тяжелейшая гинекологическая операция, которую провёл . . . РОБОТ .»

« Технология Да Винчи в Израиле»:

В Израиле робототехника применяется хирургами иерусалимской клиники « Хадасса», в больнице проводятся такие операции, как гастропластика, холецистэктомия ( удаление желчного пузыря), аппендэктомия, пиелопластика , операции при варикоцеле, гинекологические операции и хирургическое лечение ожирения. Особенно успешны операции по удалению предстательной железы –это наиболее безопасный и травмотичный метод. Робот Да Винчи- самая крупная разработка в сфере хирургии за последние десятилетия для всех видов оперативных вмешательств. Аппарат расширяет хирургические возможности, многократно повышает надёжность оперирования и в несколько раз снижает продолжительность операции.

Робот Да Винчи - аналог человеческой руки повторяет все действия руки хирурга, который проводит операцию, находясь у монитора с 3D изображением – он снабжён системой подавления естественного дрожания руки, системой масштабирования, возможностью выведения на экран данных различных методов исследований , один « оператор » способен управлять четырьмя руками робота.

Нанотехнологии

Опр: Нанотехнология – это область прикладной науки и техники, имеющая дело с объектами размером менее 100 нанометров  ( 1 нанометр равен 10 -9метра). Нанотехнология применима там, где исследуются микроскопические явления на молекулярном и атомарном  уровнях.

      Учёные пока трудятся над созданием медицинских нанороботов- невидимого оружия современности. Наночастица- это величина, которая в сотни раз меньше длины волны видимого света и сопоставимая с размерами атомов.

Развитие современной  Нанотехнологии проводится в 3-ёх направлениях:

• изготовление электронных схем размером с молекулу( атом);
• разработка и изготовление машин;
• манипуляция атомами и молекулами.

Опр.Наномедицина – это слежение, исправление, конструирование и контроль над биологическими системами человека на молекулярном уровне с использованием нанороботов и наноструктур. Например,вместо операций на органах мы перейдём к операциям на молекулах; за считанные минуты сможем избавиться от вируса гриппа или раннего атеросклероза.

      С помощью нанотехнологий можно встраивать микроскопические датчики в кровяные клетки человека, которые будут предупреждать о признаках радиации или развития болезни и т.д. то есть  бороться с заболеванием или патологией на стадии диагностики, а не тогда, когда болезнь укоренилась и развилась в человеческом организме и мы видим её активные проявления.

      Созданы сенсоры тоньше человеческого волоса , которые в 1000 раз чувствительнее стандартных анализов ДНК

( наносенсоры): так для проведения целого спектра различных анализов, достаточно одной лишь капли крови; после чего наносенсор моментально пересылает результаты анализа на карманный КОМП. врача- специалиста.

Нанороботы проектируют для того, чтобы избежать сбоев в работе и уменьшить медицинский риск.

Основные области Нанотехнологии в медицине:

• диагностика:
• лекарственные препараты;
• протезирование;
• имплонтанты.

Ещё одним революционным открытием является БИОЧИП – небольшая пластинка с нанесёнными на неё в определённом порядке молекулами ДНК или белка, которые применяют для биохимических анализов.

Применяемые сегодня нанотехнологии безвредны: например, солнцезащитная косметика  на основе нанокристаллов.

Перспективы развития нанотехнологий велики: с их помощью мы надеемся побороть не только любую физическую болезнь, но и предотвратить её на стадии нанодиагностики.

Заключение.

• Сегодня мы познакомились с определением математики ( по Ф. Энгельсу) : математика – это наука, в которой изучаются количественные отношения и пространственные формы реально существующего мира.
• Рассмотрели основные этапы развития математики: 1 этап -  этап зарождения Математики; 2 этап- этап элементарной математики( математика постоянных величин); 3 этап- этап  математика переменных величин; 4 этап - этап современной математики.
• Отметили основную особенность современного этапа математики такую, как математизация всех знаний и информатизация всех сфер жизнедеятельности человека.
• Выделили и охарактеризовали основные направления современного этапа математики такие, как нанотехнологии, искусственный интеллект и робототехника, познакомившись с такими понятиями, как наномедицина, нанороботы, наносенсоры, нанотехнологии, нанодиагностика, нанокристаллы.
• Выявили сущность искусственного интеллекта и обрисовали основные проблемы возможности его создания.
• Рассмотрели примеры применения современных инновационных технологий  на базе математического моделирования в медицине.

Основные термины

1. Математика             2.Нанотехнологии

3. Наномедицина            4. Искусственный интеллект

Текст лекции №2 «ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Усвоить терминологию.
3.  Ответить письменно на контрольные вопросы (В программе Ms. Word создать документ Лекция №2. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы «Дифференциальное исчисление функции одной переменной». Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал и перед и после абзаца – полный ответ на поставленный вопрос.
4. Затем, с новой строки по центру ввести название темы «Интегральное исчисление функции одной переменной». Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал и перед и после абзаца – полный ответ на поставленный вопрос.

ТЕКСТ лекции «Функция одной переменной,  её производная и дифференциал »

Раздел 2.Математический анализ.

 Тема 2.1.  Дифференцирование функции одной переменной.

Введение.

В математике вводится понятие переменных и постоянных величин. Постоянные величины при заданных условиях принимают одно и то же значение. Постоянные величины- константы- обозначаются начальными строчными буквами латинского алфавита a,b,c,… . Переменные величины в данных условиях могут принимать множество различных числовых значений из некоторого множества.

Часть 1 Функции одной переменной: основные характеристики, свойства, способы задания.

Определение:  Функцией вида y = f(x) называется такая зависимость y от x, что каждому значению x соответствует единственное значение y ; при этом x- независимая переменная ( аргумент); y- зависимая переменная ( функция).                  Основные характеристики функций:

1. Область определения функции – это такие значения x, при которых существует y . Обозначение: D(y)
2. Область значения функции – это такие значения y, которые могут получаться при всех допустимых значениях  х. Обозначение :E( y)
3. График функции – это множество точек ДСК на плоскости, абсциссы которых соответствуют аргументам, а ординаты – соответствующим значениям функции.          

Способы задания функций:

1. Аналитический ( с помощью формулы);
2. Графический ( с помощью графика);
3. Табличный ( с помощью таблицы);
4. Алгоритмический ( с помощью алгоритма).

Основные свойства функций:

1. Чётность- нечётность функции: различают три вида функций: четные, нечётные; ни четные ни нечётные.

• Чётной называют функцию, для которой выполняются условия: область определения симметрична относительно нуля; f(-x)=f(x).
• Нечётной называют функцию, для которой выполняются условия: область определения симметрична относительно нуля; f(-x)= - f(x).
• Ни чётной ни нечётной называют функцию, для которой выполняются условия:

*или область определения  не симметрична относительно нуля;

*или область определения симметрична относительно нуля, но

  f(-x)  f(x) и    f(-x) - f(x)

2. Монотонность функции ( непрерывное возрастание, убывание)

3. Точки пересечения с координатными осями (оx) и (oy)

4.Промежутки знакопостоянства ( такие значения   x, для которых y строго больше или меньше нуля, т.е. такие значения х, для которых график функции находится или строго над или строго под осью абсцисс )

5. Экстремумы функции и точки экстремума функции 

• точки экстремума функции - это точки минимума хmin или точки максимума  хmax;
• экстремумы функции – это значения функции в точках экстремума, т.е. ymin = y(xmin ) и     ymax = y(xmax )

6.Выпуклость- вогнутость и точки перегиба

7. Асимптоты ( прямые ( или кривые), к которым график функции неограниченно приближается , но не пересекает)

8. Периодичность ( функция называется периодической с периодом Т

( Т больше нуля), если для каждого значения аргумента  x  из D(x) значение  (x +T) также принадлежит D(x)  и выполняется равенство:

 f( x+T) = f(x) )

Различают также функции         **ограниченные и неограниченные ;

                                                      ** сложные;

                                                      **  обратные;

                                                      **бесконечно малые и бесконечно большие.

Определение: функция вида Y=f( (g(x)) называется сложной функцией, где f(x) - внешняя,  g(x) - внутренняя функции.

Например:     Y = Sin 3x               G = (2x3 +5x)5

Основные элементарные функции

1.Линейная функция  вида  Y =kx +b ( прямая пропорциональность Y =kx )

2.Квадратичная функция вида Y =аx2 +bх +с

3. Степенная функция вида Y =kxп

4. Показательная функция вида Y = аx ( частный случай: y =ex , e-число Эйлера

5. Логарифмическая функция вида Y =Loga x

6. Тригонометрические функции вида ( y=sinx  y=cosx  y=tgx  y=ctgx)

7. обратные тригонометрические функции вида

 (y=arcsinx  y=arccosx  y=arctgx  y=arcctgx )

8. Обратная пропорциональность вида Y =k / x

Часть 2 Производная и дифференциал функции одной переменной

ОПР: Производная функции  в точке –это предел отношения приращения функции  в этой точке к соответствующему приращению аргумента .

Производная обозначается y`(«игрек штрих») или  («дэ от игрек по дэ икс»).

Геометрически производная представляет угловой коэффициент касательной к графику функции  в соответствующей точке  tg

Физический смысл производной.y`-это скорость изменения функции  относительно ее аргумента .Производная у` характеризует быстроту изменения функции, т.е. скорость убывания функции. Производная у` указывает на тенденции, характерные для изменения у и позволяет судить о том, что можно ожидать при дальнейшем изменении аргумента.

Производная 2-го порядка: (читается «дэ два игрек по дэ икс дважды»).

Производная n-го порядка -это производная от производной (n-1) порядка:

Например, ускорение a= –это первая производная от скорости по времени или вторая от перемещения по времени а=.

Линейная скорость v= -это первая производная от перемещения по времени.

Свойства производной функции одной переменной

1)С/ =0                     2) ( u+v)/ = u/ +v/                   3)  ( Cu)/ = C u/

4) ( uv)/ = u/ v+ uv/                 5)  ( u/v)/ = ( u/ v –uv/)/v2

Таблица производных функций одной переменной

Дифференциал функции

Дифференциал функции y=f(x) в точке -это главная часть приращения функции, линейная относительно приращения аргумента x.Обозначается

dy =y`. Дифференциал независимой переменной x равен ее приращению: dx=.Дифференциал функции dy =y`dx или dy= f `( равен ее призводной, умноженной на дифференциал аргумента.Дифференциал функции dy имеет четкий геометрической смысл: это приращение ординаты касательной к графику в точке .

Свойства дифференциала функции

1.d(с)=0.                        2. d ( u + v ) = du + dv.                       3. d(сu)=сd(u).

4.      5. d (uv) = vdu + udv.       6. df (u)= f `(u)du,где u=

Неопределенный интеграл

• Понятие первообразной функции

        Это понятие возникает из следующей задачи математического анализа: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой равна функции f(x).

        ► Первообразная функция для функции y=f(x) называется такая функция F(x), что имеет место равенство

F′(x) = f(x).

        Например: функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx  на бесконечном промежутке (-∞, ∞), так как для любых х справедливо равенство:  (sinx)′=cosx.

        ► Две первообразные одной функции отличаются друг от друга на постоянную. Другими словами, если F(x) – первообразная для функции f(x) то и функция F(x)+C, где С – произвольное постоянное число, так же первообразная для функции f(x), потому что (F(x) + C)′= f(x).

• Неопределенный интеграл

Неопределенный интеграл функции y=f(x) – это совокупность всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x).

Обозначается символом

∫f(x)dx=F(x)+C,

где ∫ – знак интеграла (это стилизованная латинская буква S, означающая суммирование); f(x) – подынтегральная функция; f(x)dx – подынтегральное выражение; C – постоянная интегрирования, способная принимать любое значение; x – переменная интегрирования.

        Интегрирование – это отыскание первообразной по ее производной. Это действие, обратное дифференцированию.

        Геометрический смысл неопределенного интеграла: это семейство кривых, зависящих от одного параметра С, которые получаются путем параллельного сдвига вдоль оси Oy. 

Кубическая парабола y = ∫ 3dx =  + C

Основные свойства неопределенного интеграла

1.

2. ∫ df (x) = f(x) + C.

3. ∫Cf(x) dx = C ∫ f(x) dx – постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.

4. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx – интеграл суммы равен сумме интегралов.

Основные способы интегрирования

1. Табличный;                                         2. Метод разложения;

3. Метод замены переменной;              4.Интегрирование по частям.

Особыми способами интегрируются рациональные дроби, тригонометрические функции, иррациональности.

Кроме того существуют так называемые «неберущиеся» интегралы:

Например: ∫dx;  ∫dx.

        Утверждение, что неберущиеся интегралы вычислить нельзя неверно, их можно вычислить, но приближенно ( теория рядов).

 При применении табличного способа вычисления НИ используют таблицу:

Таблица интегрирования основных элементарных функций:

• Определенный интеграл

Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции f(x) на отрезке [a, b].

        Интегральная сумма S = ) ∆, где  - произвольная точка существующего отрезка.

Определенный интеграл обозначается:

lim)∆,

                                                             ∆x→0

где f(x) – подынтегральная функция, x – переменная интегрирования.

        Теорема. Если f(x)- первообразная функция для непрерывной функции y = f(x), т.е. F′(x) = f(x), то имеет место формула:

 = F(b) – F(a).

Это формула Ньютона – Лейбница – основная формула интегрального исчисления, устанавливающая связь между определенным и неопределенным интегралом. Она читается так:

Определение. Определённый интеграл – это разность значений любой первообразной функции для f(x) при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Можно отметить разницу между определенным и неопределенным интегралами: определенный – это число, а неопределенный интеграл – это функция.

Основные свойства определенного интеграла

1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:

)dx.

1. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:  = 0.                                                       
2. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

 = (свойство аддитивности).

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.
5. Если функция f(x)≥0 всегда на отрезке [a, b], то

6. Если f(x)≤g(x) всюду на отрезке [a, b], то

)dx.                       

Геометрическая интерпретация определенного интеграла.

     Геометрический смысл определенного интеграла: он численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x=a, x=b, y=0 и частью графика функции y=f(x), взятой со знаком плюс, если функция положительна, и со знаком минус, если функция отрицательна.

Геометрический смысл заключается в вычислении ∫ криволинейной трапеции.

Криволинейная трапеция – плоская фигура Декартовой системы координат, ограниченная: сверху -  графиком непрерывной функции y=f(x), снизу -  [a;b] Є (ox) , слева -  отрезком вертикальной прямой x=a , справа -      отрезком вертикальной прямой x=b.

Классическая криволинейная трапеция 

Заключение.

Сегодня на занятии в рамках темы «Элементы дифференциального и интегрального исчисления» мы познакомились с

1)  аналитическим заданием функции одной переменной  в общем виде, её основными характеристиками, свойствами, способами задания, рассмотрев основные элементарные функции;

2) понятиями, определениями и формой математической записи производной  и дифференциала функции одной переменной  и  их свойствами; таблицей производных элементарных функций.

Узнали физический и геометрический смысл производной функции одной переменной.

3) понятиями: первообразная и  интеграл (неопределённый и определённый)

Таким образом, углубили и расширили свои школьные знания по данной теме.

Основные термины

Функция                                                              Производная функции

Приращение аргумента                                      Приращение функции

Предел функции                                                 Дифференциал функции

Первообразная функции                                         Криволинейная трапеция

Неопределённый интеграл                                      Определённый интеграл

Подынтегральная функция                                     Подынтегральное выражение

Контрольные вопросы по дифференциальному исчислению функции одной переменной

1.Сформулировать определение функции одной переменной.

2. Перечислить основные характеристики функции одной переменной.

3. Сформулировать определение области определения функции одной переменной.

4. Сформулировать определение области значения функции одной переменной.

5. Сформулировать определение графика функции одной переменной.

6. Перечислить способы задания функции одной переменной.

7. Перечислить основные свойства функции одной переменной.

8. Сформулировать определение производной функции одной переменной в точке, сделать математическую запись.

9. Сформулировать свойства производной функции одной переменной, сделать математическую запись.

10. В чём заключается геометрический смысл производной функции одной переменной?

11. В чём заключается физический смысл производной функции одной переменной?

12. Сформулировать определение дифференциала функции одной переменной, сделать математическую запись.

13. Перечислить свойства дифференциала функции одной переменной, записать математически.

Контрольные вопросы по  интегральному исчислению функции одной переменной

1. Сформулировать определение первообразной функции.

2. Сформулировать определение и представить математическую запись неопределённого интеграла.

3. Объяснить, почему интеграл называется «неопределённый».

4. Сформулировать определение и представить математическую запись определённого интеграла.

5. Записать и пояснить формулу Ньютона-Лейбница.

6. Объяснить, почему интеграл называется «определённый».

7. Сформулировать геометрический смысл неопределённого интеграла.

8. . Сформулировать геометрический смысл определённого интеграла.

9.Сформулировать определение криволинейной трапеции, сделав графическое изображение.

10. Записать расчётную формулу площади классической криволинейной трапеции.

11.Перечислить виды криволинейных трапеций, сделав графическую интерпретацию, и записать формулы вычисления их площадей.

Текст лекции №3 «Последовательности, пределы, ряды.»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Усвоить терминологию.
3.  Выполнить письменно тестовое задание(В программе Ms. Word создать документ Лекция №3. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название темы. Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, а рядом указывается буква, которой соответствует верный ответ.

ТЕКСТ лекции « Последовательности, пределы и ряды»

1. Числовые последовательности

    ОПР;  Числовая последовательность - это бесконечное множество чисел.

      Например, последовательность приближенных значений :  

      Числовая последовательность – это множество вещественных чисел   …,, …

 в случае , если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …n, …(n  поставлено в соответствие вещественное число  

       Элементы (члены) последовательности - ,…

       Общий элемент последовательности  обозначается символом , где число n –его  номер.

        Символ {} – это сокращенное обозначения последовательности .

       Например, } = –это последовательность чисел  1, 

        Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого его элемента.

       Например, общий элемент   задан формулой := -1 + .

      Это значит, задана последовательность 0, 2, 0, 2, …

       Геометрически последовательность изображается в виде последовательности точек на числовой оси. Координаты этих точек равны соответствующим членам последовательности.

      Например , на числовой оси представлена последовательность  {} .

       Число a называется пределом последовательности { } , если для любого сколь угодно малого положительного числа  существует такой номер N , что при всех n выполняется равенство  .

        Сходящая последовательность – это множество точек числовой прямой, если  =a.

        Расходящаяся последовательность –это последовательность , не  имеющая предела, а так же имеющая своим пределом  +

        окрестность точки a –это множество точек числовой прямой, если  .

         Это означает, что при  n все элементы последовательности } находятся в –окрестности точки a.

           Предел последовательности  часто называют точкой сгущения. Это следует из геометрической интерпретации: если последовательность , представляющая собой бесконечное множество чисел, сходится, то в любой  – окрестности точки a  на числовой прямой находится бесконечное число ее точек – элементов этой последовательности, тогда как вне  - окрестности остается конечное число элементов.

         Числовая последовательность может иметь только один предел.

         Последовательность называется ограниченной ,если существует постоянная М такая, что  

  М для всех n  N.

        Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

        Неограниченная последовательность не имеет конечного предела.     Однако она может иметь бесконечный предел:  =

     Если } – бесконечно малая последовательность , то { } –бесконечно большая последовательность , имеющая бесконечный предел , и наоборот.

Свойства сходящихся последовательностей

      (Сформулированы в виде теорем )  

  Пусть заданы две последовательности {} и {}. Пусть предел  {} равен a:   = предел {} равен b: =

1. Сумма двух сходящихся последовательностей {} и {} есть сходящаяся последовательность вид {+} , предел которой равен сумме пределов последовательностей  {} и {}:

                            = a+b .

2. Произведение сходящихся последовательностей {} и {}, есть сходящаяся последовательность видов{},предел которой равен произведению пределов последовательностей {} и {}:  

                      = ab.

3. Частное двух сходящихся последовательностей {} и {}, при условии, что предел последовательности  {} отличен от нуля , есть сходящиеся последовательности , предел которой равен частному пределов последовательностей {} и {}:

 = ,

       Если  0 для всех n N и b 

4.  Если элементы сходящиеся последовательности {} удовлетворяют неравенству  начиная с некоторого номера, то и предел а этой последовательности удовлетворяет неравенству a.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак предела :  =ca.
6. Если заданы три последовательности {} , {} и {} и предел {  равен с, то если  , a=c, то b=c.
7. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность или  на число есть бесконечно малая последовательность.
8. Произведение конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
9. Число е определяется как предел последовательности …,общий член которой выражается формулой  :

                       .

Эта последовательность монотонно возрастет и имеет предел:

                     = е.

      Е= 2,7182818… - иррациональное число.

   Это число играет большую роль в математике.

    Натуральный логарифм  ln a- это логарифм по основанию е:    ln a = a.

2. Предел функции одной переменной

  Пусть функция  определена на некотором промежутке Х и пусть точка или . Составим из множества Х последовательность точек: ,,…,,…, сходящихся к .Значения функции в этих точках также образуют последовательность:

 •Число A называется пределом функции  в точке, если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Это записывают так:.

Односторонние (левый и правый) пределы функции

  Левый предел-это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента слева от точки , т.е. .

  Символическая запись левого предела функции

  Правый предел - это односторонний предел функции, когда последовательность значений аргумента  справа от точки , т.е. .

       Символическая запись левого предела функции

                                            .

  Теорема. Функция имеет в точке предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют левый и правый пределы, и они равны. В таком случае предел функции равен односторонним пределам.

Основные теоремы о пределах функций

  На них основано вычисление пределов элементарных функций.

1.Если - постоянная величина, то .

2.Если - постоянная величина, то .

  Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

  Пусть функции  имеют в точке  пределы :

                                .

3.Прелел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:

    4.Предел произведения равен произведению пределов:

5.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

  ♦Например:

Предел многочлена  равен…

Варианты ответов:1)11;  2)49;   3)0;   4)57.

                                                           Решение:

   Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной подставить значение , к которому оно стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.

Два замечательных предела

  В математике и ее приложениях широко используются два замечательных предела функции

Теорема о первом замечательном пределе

  Предел функции  в точке  существует и равен единице:

                                        .

  ♦Например:

  Предел  равен …

  Варианты ответов:1)0  2)1   3)5   4)

                                                 Решение: 

  Чтобы использовать первый замечательный предел, надо преобразовать данную дробь так, чтобы в знаменателе был аргумент синуса. Для этого умножим и числитель, и знаменатель на 5 и только тогда можно будет применять первый замечательный предел.

Теорема о втором замечательном пределе

  Предел функции при  существует и равен

  Число  является одной из фундаментальных величин в математике.

  Логарифм числа  по основанию  называется натуральным логарифмом и обозначается  Показательная функция вида  называется экспонентой.

  Вычисляя пределы, можно использовать следующие равенства:

  ♦Например:

Предел  равен …

                                                       Решение:

Проведем замену переменно, полагая =

Тогда  при .

3. Ряды

При  изучении многих практических вопросов естествознания и техники применяется метод поэтапного исследования данного объекта:

- на первом этапе учитываются самые главные характеристики процесса-как говорят, выполняется этап первого приближения;

- на втором этапе учитывают новые или более точно-старые характеристики объектов.

   Одним из математических понятий, при помощи которого моделируются подобные ситуации, является понятие « СУММЫ БЕСКОНЕЧНОГО ЧИСЛА СЛАГАЕМЫХ» , за которым утвердилось название РЯДА.

С помощью рядов вычисляют значения различных функций, вычисляют ( приближённо) значения интегралов, решают дифференциальные уравнения и пр.

Числовые ряды

     ОПР. Числовым рядом называется выражение  вида

=

Числа  ( a1 , a2 , …, an ) называют членами числового ряда,

 а ( an) – общим членом ряда

Ряд считается заданным, если известен его общий член  =  ,

т.е. задана функция  натурального аргумента. Например, ряд с общим

членом =  имеет вид

 - + …+  + … .

Более сложной является обратная задача: по нескольким первым членам ряда написать общий член. Эта задача имеет бесконечно много решений, но иногда удаётся найти самое естественное решение.

Свойства сходящихся рядов.

  1. Если ряд ++… + +… сходится и имеет  сумму S , то и ряд  

ƛ  + ƛ+…+ ƛ+…(полученный умножением данного ряда на число ƛ) так сходится и имеет сумму S.

2.Если ряды  ++… + +… и  +… ++… сходятся и  их суммы соответственно равны  и , то и ряд

+… +  + +… (представляющий сумму данных рядов) также сходится, и его сумма равна + .

Свойства 1 и 2 непосредственно вытекают из свойств  пределов числовых последовательностей.

3.Если числовой  ряд сходится, то сходится и ряд , полученный из данного путем отбрасывания ( или приписывания) конечного числа членов .

Если сумму n-го остатка ряда обозначить через  , т.е.

= … + … = , то сумму ряда можно представить в виде  S=+

4.Для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно , чтобы при n= 0.

Это свойство вытекает из теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций.

 Необходимый признак сходимости.

Гармонический ряд.

Теорема (необходимый признак сходимости).

 Если ряд сходится, то предел его общего членапри n

= 0.

 т.е.

. Так как ряд сходится, то  и =S.  Поэтому

-=-= S - S=0.

 Ряды с положительными членами

Теорема (признак сравнения).

Пусть даны два ряда с положительными членами:

(1) и (2), причем члены первого ряда не превосходят членов второго, т.е. при любом n

.

Тогда: а) если сходится ряд 2), то сходится и ряд 1); б) если расходится ряд 1), то расходится и ряд 2).

Теорема (предельный признак сравнения).

Если  и  ряды с положительными  членами и существует конечный предел отношения их общих членов  = k≠0, то и ряды одновременно сходятся, либо расходятся.

Теорема ( признак Даламбера).

Пусть для ряда с положительными членами существует предел отношения (n+1) –го члена к n-му члену = l. Тогда, если , то ряд сходится; если , то вопрос о сходимости ряда остается нерешенным .

Теорема (интегральный признак сходимости).

Пусть дан ряд , члены которого положительны и не возрастают, т.е. ……, а функция , определенная при x1, =, =, … , =, … .        (13.13)

Тогда для сходимости ряда  необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл dx.

Ряды с членами произвольного знака.

Знакочередующиеся ряды. Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: -+-+…++… , где 0.

Теорема ( признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если

1)последовательность абсолютных величин ряда монотонно убывает;

2)общий член ряда стремится к нулю.

Знакопеременные ряды. Под знакопеременным рядом понимается ряд, в котором положительные и отрицательные члены расположены в произвольном порядке.

Теорема (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда).

Если ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда 

++…++… , сходится, то сходится и данный ряд.

Определение. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Определение. Ряд называется условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Таким образом, рассмотренный выше ряд     - условно сходящийся.

Грубо говоря, различие между абсолютно сходящимися и условно сходящимися рядами заключается в следующем: абсолютно сходящиеся ряды сходятся в основном в силу того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся – в результате того, что их члены быстро убывают, а условно сходящиеся - в результате того, что положительные и отрицательные слагаемые уничтожают друг друга.

Замечание: свойства абсолютно и условно сходящихся рядов существенно отличаются. Абсолютно сходящиеся ряды по своим свойствам  напоминают конечные суммы, их можно складывать, перемножать, переставлять местами члены ряда. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Возьмем, например, ряд 1- +-+…+  + … . Переставим члены местами и сгруппируем их следующим образом:

+++… .

Перепишем ряд в виде:

+++…=,

т.е. от перестановки членов ряда сумма его уменьшилась в 2 раза.

Замечание: можно показать (теорема Римана) , что от перестановки  членов условно сходящегося ряда можно получить ряд, имеющий любую наперед заданную сумму, и даже расходящийся ряд.

 Степенные ряды.

До сих пор мы рассматривали ряды, членами которых были числа, т.е. числовые ряды. Теперь перейдем к рассмотрению рядов, членами которых являются  функции, в частности, степенные функции

+ x++…++… (1)        

Такие ряды называются степенными, а числа , , …, - коэффициентами степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда.

Определение. Совокупность  тех значений x, при которых степенной ряд (1)  сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Теорема Абеля.

1)Если степенной ряд сходится при значении x=0 (отличном от нуля), то он сходится и, притом абсолютно, при всех значениях x таких, что .

2)Если степенной ряд расходится при x=, то он расходится при всех значениях x таких, что

Свойства степенных рядов.

Пусть функция  является суммой степенного ряда, т.е. =.

В подробных курсах математического анализа доказывается, что степенные ряды по своим свойствам напоминают конечные суммы ( многочлены): на любом отрезке , целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R;R), функция  является непрерывной, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке:

dx=++…++… .

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

=+2x+3+… .

При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R.

Ряд Маклорена.

Предположим, что функция, определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

=++++…++… .

Выразим коэффициенты ряда через. Найдем n производные функции , почленно дифференцируем ряд n раз:

=+2x+3+4+…+n+…

=2x+32x+43+…+ n+…

= 3+43x+…+n+…

= n32+… .

Полагая в полученных равенствах x=0, получим

=, =, =21=2!, =32=3!,… ,

=n!, откуда

, =, , =, …, =.

Подставляя значения коэффициентов , ,  , … , , получим ряд =+x+++…++…,

называемый рядом Маклорена  .

Следует отметить, что не все функции могут быть разложены в ряд Маклорена. Может оказаться, что ряд Маклорена, составленный формально для функции , является расходящимся либо сходящимся не к функции

Так же как и для числовых рядов, сумму  ряда Маклорена можно представить в виде   =+,

 где - n – я частичная сумма ряда;-n-й остаток ряда.

Тогда на основании свойства 4 сходящихся рядов можно сформулировать теорему.

Теорема.  Для того, чтобы ряд Маклорена сходился к функции  , необходимо и достаточно, чтобы при n остаток ряда стремился к нулю, т.е.

        (14.17)

Для всех значений x из интервала сходимости ряда.

Можно доказать, что если функция  разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

1)y=

Имеем ==…==;

===…===1

=1+x+++…++… .

Область сходимости ряда

2)y=.

Имеем , =, =-,=-,

=, откуда  =0; =1; =0; =-1,

=0 и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка =0, а нечетного порядка =, i=1, 2, …

=x-++…++…

Область сходимости ряда

3)y=. Рассматривая аналогично, получим

=1-+-…++… .

Область сходимости ряда

4)y=, где m- любое действительное число.

Имеем =,  =m, =m,

 =m,..., = m

.

При x=0 =1 , =m, =m, =m,… ,

= m…. По формуле (14.6).

=mx +++…++… (*)

Интервал сходимости ряда ( на концах интервала при x1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m) .

Ряд (*) называется биномиальным. Если m- целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю , т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5. y=1n.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

=1-x+-+…++…

Со знаменателем q=-x, который сходится при , т.е. при -1x1, к функции  ==.

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; x), где  , с учетом того , что =ln=ln (1+x), получим

ln (1+x) =x-+--…++… .      

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости ) есть (-1;.

Основные термины

Числовая последовательность                                

Сходящаяся  и расходящаяся числовая последовательность                                

Ограниченная и неограниченная числовая последовательность

Предел числовой последовательности

Односторонние пределы                                   « Замечательные пределы»

Гармонический ряд                                             Знакочередующийся числовой ряд

Знакопеременный числовой ряд                        Функциональный ряд

Степенной ряд                                                     Абсолютно  сходящийся степенной ряд

Условно сходящийся степенной ряд

Область сходимости степенного ряда               Ряд Маклорена

Тест  по теме « Последовательности, пределы и ряды»

ВАРИАНТ№1 (выполняют студенты первой подгруппы)

1. Для числовой последовательности вида  xn = f(n)   xn  называют

а) последовательным членом;  б) общим членом;  в) частичной суммой.

2. Числовая последовательность задаётся

а) формулой общего члена;  б) рекуррентным способом;  в)всё верно.

3. Равенство типа v = n2 + 1 задаёт последовательность

 а) vn = { 2,5,10, …, n2 +1, …};  б) vn = { 1, , , …, , …};

                                                                     в) vn = { -1, 2, -3, 4, …, (-1)n *n, …}.

4.  = ?                             а) 1;      б)  -1;    в)

5.  = ?                     а) 1;      б)   ;    в)

6. ? =    g( x)  

 а)*g( x) );      б) ;     в)  g( x) ).                                                                

7. Обычный предел (  существует тогда и только тогда, когда    . . .  

 а) существуют односторонние пределы функции y = в точке (x0);

 б) левый и правый пределы в точке (x0) существуют и равны;

 в) односторонние пределы y = в точке (x0) равны.

8. Числовым рядом называется выражение вида

а)   ;

б) ;                       в) .

9. Числовой ряд называется расходящимся, если

а)  не существует;  б)

в)

10.  Утверждение типа « Если  или этот предел не существует, то ряд  S =  расходится» является

а) необходимым условием расходимости ряда;

   б) достаточным условием расходимости ряда;

   в) достаточным условием сходимости ряда.

ВАРИАНТ№2 (выполняют студенты второй подгруппы)

1.Числовым рядом называется выражение вида

а)   ;

б) ;                       в) .

 = ?                     а) 1;      б)   ;    в)

3.Числовая последовательность задаётся

а) формулой общего члена;  б) рекуррентным способом;  в) всё верно.

4.Утверждение типа « Если  или этот предел не существует, то ряд  S =  расходится» является

а) необходимым условием расходимости ряда;

   б) достаточным условием расходимости ряда;

   в) достаточным условием сходимости ряда.

5.Равенство типа v = n2 + 1 задаёт последовательность

 а) vn = { 2,5,10, …, n2 +1, …};  б) vn = { 1, , , …, , …};

                                                                     в) vn = { -1, 2, -3, 4, …, (-1)n *n, …}.

6.Числовой ряд называется расходящимся, если

а)  не существует;  б)

в)

7.Для числовой последовательности вида  xn = f(n)   xn  называют

а) последовательным членом;  б) общим членом;  в) частичной суммой.

1. ? =    g( x)  

 а)*g( x) );      б) ;     в)  g( x) ).    

 = ?                             а) 1;      б)  -1;    в)

10.Обычный предел (  существует тогда и только тогда, когда    . . .  

 а) существуют односторонние пределы функции y = в точке (x0);

 б) левый и правый пределы в точке (x0) существуют и равны;

 в) односторонние пределы y = в точке (x0) равны.

Текст лекции №4 «Элементы дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики»

Задание.

1. Освоить материал.
2. Усвоить терминологию.
3. Выполнить письменно тестовое задание (В программе Ms. Word создать документ Лекция №4. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название «Элементы теории множеств». Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал и перед и после абзаца – полный ответ на поставленный вопрос.
4. Затем, с новой строки по центру ввести название темы «Элементы комбинаторики». Далее – вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал и перед и после абзаца – полный ответ на поставленный вопрос.
5. Далее, с новой строки по центру ввести название темы «Основные  понятия теории графов» и выполнить тест: с новой строки в столбик вводятся по левому краю: № вопроса, а рядом указывается буква, которой соответствует верный ответ.

ТЕКСТ лекции

Введение.

Дискретная математика- это раздел математики, в котором изучаются разрывные, не непрерывные, скачкообразные процессы и явления.

Сегодня мы познакомимся с элементами теории множеств, познакомившись с понятием множества, классификацией множеств: конечные, бесконечные, пустые; конечные – дизъюнктные и недизъюнктные; узнаем, что графическое изображение  множеств – это диаграммы Эйлера- Венна – замкнутые кривые линии на плоскости; рассмотрим основные операции над непустыми,

недизъюнктными, конечными множествами.

Далее мы перейдём к рассмотрению вопросов теории графов: сформулируем определение графа, дадим графическую интерпретацию графа, познакомимся с основными понятиями, определениями, операциями  и классификацией графов.

Часть 1. Множества и отношения

Основные понятия

В тех случаях, когда невозможно дать четкого определения  какому-либо предмету или явлению, люди пользуются понятиями. Основные понятия не определяются. У каждого из нас существуют интуитивные представления о них, основанные на личном опыте.

Введем понятие множества.

Определение. Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

О множестве известно, что оно состоит из элементов.

Например, множество студентов определенного колледжа, множество зрителей данного театра, множество слушателей в аудитории и т.п.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита  A, B, C,…, с индексами или без них. Элементы множества обозначают малыми латинскими буквами a, b, c,…, y, z в случае, если речь идет о множестве вообще, или же за ними сохраняют конкретные обозначения. Принадлежность элемента a к множеству N записывается так: a  N (читается «a принадлежит N»). Непринадлежность элемента b к множеству N обозначается b  N (читается «b не принадлежит N»).

Способы задания множеств:

• Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение – список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: N = {1, 2, 3, 6}.
• Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначаются: N = {x│ P(x)} или N = {x: P(x)}.

Например, множество N =  {1, 2, 3, 6} можно записать и таким образом:

N = {x│ x – натуральное число, делитель числа 6}.

Свойство P состоит в том, что объект есть натуральное число, на которое делится число 6.

Операции над множествами

Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.

Вместо кругов Эйлера  определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами. На рисунке 1 первая диаграмма соответствует универсальному множеству U, вторая – его пустому подмножеству, третья – произвольному подмножеству A.

Рис. 1

ОПР. Объединением множества A1 и A2 называют множество B, состоящее их всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A1, A2  (рис. 2). Тот факт, что B есть объединение A1 и A2, записывается: B = A1    A2, B = {x│ x  A1 или x A2}.

На рисунке 2 вся заштрихованная область представляет собой множество B.

ОПР. Пересечением множеств A1 и A2 называется множество B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A1, и множеству A2 одновременно (рис. 3).
То, что B есть пересечение A1 и A2, записывают так: B = A1  A2, B = {x│ x  A1 и x A2}.

ОПР. Разностью множеств A1 и A2 называют множество B, состоящее только из тех элементов множества A1 , которые не содержаться в A2 (рис. 4).

Разность множеств обозначается: B = A1\A2, B = {x│ x  A1,  x   A2}.

Разность - операция строго некоммутативная. В общем случае A1\A2  ≠ A2\A1.

Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

ОПР. Дополнением (до U) множества A называется множество A-  всех элементов, не принадлежит A, но принадлежит универсальному множеству U (рис. 5).

A- = U\A.

Свойства операций над множествами

1. Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:

2. Закон коммутативности:

3. Закон ассоциативности:

4. Законы дистрибутивности:

5. Законы поглощения:

  6. Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:

7. Законы дополнения:  

8. Закон инволютивности дополнения:

9. Закон Де Моргана:  .

2. Основные понятия теории графов

ОПР. Графические представления – удобный способ иллюстрации различных понятий, отображения исследуемого процесса.

Все более распространенным становится  представление количественных показателей в виде гистограмм, круговых и столбцовых диаграмм, по наглядным характеристикам которых (высота, ширина, площадь, радиус и т.д.) можно судить о количественных соотношениях сравниваемых объектов, значительно упрощая их анализ.

Мощным и наиболее исследованным классом объектов, относящихся к графическим представлениям, являются так называемые графы. В теории графов используется геометрический поход к изучению объектов. Основное понятие теории – граф – задается множеством вершин (точек) и множеством ребер (дуг), соединяющих некоторые пары вершин. Пример графа – схема метрополитена: множество станций (вершины графа) и соединяющие их линии (ребра графа).

Основоположником теории графов является Леонард Эйлер, опубликовавший в 1736г. решение задачи о кенигсбергских мостах. В городе Кёнигсберге было два острова, соединенных семью мостами так, как показано на рисунке 7. Задача состояла в следующем: найти маршрут прохождения всех четырех частей суши(A, B, C, D), который бы начинался с любой из них, кончался на ней же и только один раз проходил по каждому мосту.

Эйлер доказал, что задача не имеет решений. Для того он обозначил каждую часть суши точкой (вершиной), а каждый мост – линией (ребром). Получился граф, представленный на рисунке 8. Утверждение о невозможности нахождения указанного маршрута эквивалентно утверждению о невозможности обойти граф указанным образом.

Отправляясь от этого частного случая, Эйлер обобщил постановку задачи и нашел критерий обхода (специально маршрута): граф должен быть связанным, а каждая его вершина должна быть инцидентна четному числу ребер.

Существенный вклад в теорию графов внесли в первой половине ХХ в. Немецкие ученые Кирхгоф и Келли. Изучение Кирхгофом электрических цепей привело к разработке основных понятий и получению ряда теорем, касающихся деревьев в графах. Келли подошел к исследованию деревьев, решая задачи исследования химических веществ с различными типами молекулярных соединений. Однако широкое распространение теориям графов получила лишь с 50-х гг. в связи со становлением кибернетики и развитием вычислительной техники, когда теория графов существенно обогатилась новыми материалами и подходами. Тогда же началось системное изучение графов с различных точек зрения (структурная, информационная и др.). В это время формулировались проблематика и методы теории графов.

Графы находят применение при проектировании вычислительных машин, в теории программирования, в изучении химических, физических и технологических процессов, в решении задач сетевого планирования и управления, в лингвистических и социологических исследованиях и т.д.

Теория графов тесно связана с топологией, теорией чисел, комбинаторикой, алгеброй и другими разделами математики.

Теория графов решает большое число разнообразных задач. Эти задачи по анализу графов или их частей, обладающих определенными свойствами, решение транспортных задач, связанных с перевозкой грузов по сети и др. Отдельный класс составляют задачи по синтезу графов с заданными свойствами.

Часть 2. Графы. Основные определения

ОПР. Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро e E инцидентно ровно двум вершинам u и v, которые оно соединяет. Вершины u и v называют смежными, а о вершине u и ребре e говорят, что они инцидентны, так же как и v и e.

ОПР. Если два ребра инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными. На рисунке 9 вершины 1 и 2 – смежные, 1 и 3 – нет. Ребра e1 и e2 – смежные, а e1 и e3 – нет.

При изображении  графа не всего его детали одинаково важны. Несущественными являются геометрические  свойства ребра (длина, кривизна и т.д.) и взаимное расположение вершин на плоскости. На рисунке 10 приведены одинаковые графы        G1 и G2 (G1 = G2).

ОПР. Граф называется правильным, если его ребра не имеют общих точек, отличных от вершин графа. На рисунке 10 правильный граф G2 , граф G1 – неправильный, так как ребра, соединяющие вершины 1, 3 и 2, 4 имеют общую точку, которая не является вершиной графа (точка пересечения диагоналей прямоугольника).

Для любого графа существует его правильная реализация в пространстве, но не любой граф можно правильно реализовать на плоскости.

ОПР. Правильно реализованные на плоскости графы называются плоскими. Граф G2 на рис.10 является плоским. Примером неплоского графа может служить граф G1 + G2  на рис. 19.

Чтобы реализовать неплоские графы в пространстве в микроэлектронике пришлось создать технологию многослойных печатных плат.

ОПР. Ребра, соединяющие  вершины сами с собой, называются петлями. На рисунке 11б петли обозначены e1, e2, e3.

ОПР. Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными (m, p на рис. 11а  и  x, y, z – параллельны).

ОПР. Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой, оно называется направленным, или ориентированным. На рисунке 12 представлены примеры графов с тремя вершинами и тремя дугами.

ОПР. Граф, соединяющий ненаправленные ребра, называется неориентированным (рис. 8-11).

ОПР. Граф называется конечным, если множество его элементов (вершин и ребер) конечно, и пустым, если множество его вершин, а значит, и ребер пусто.

ОПР. Граф называется полным, если каждая пара вершин соединена ребром и граф не содержит петель и кратных ребер.

ОПР. Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые надо добавить к графу G, чтобы получить полный граф.

ОПР. Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат G. На рисунке 13а изображен граф, а на рис. 13б – два его под графа.

ОПР. Графы G1 и  G2 называются равными (G1 = G2), если множества их вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1 = V2  и  E1 = E2 (рис. 10).

ОПР. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными. Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В математике понятие «изоморфизм» означает похожесть однотипных объектов. Запись G1 ? G2  означает, что графы G1 и  G2 – изоморфны. Изоморфные графы изображены на рис. 14.

ОПР. Локальной степенью ⍴(V) (или просто степенью) вершины графа G называют количество ребер, инцидентных вершине V.

Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое ребро вносит двойку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое установлено Эйлером и является исторически первой теоремой теории графов.

ОПР. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер:  

В любом графе число вершин с нечетными степенями четно.

Для вершин орграфа (графа с ориентированными ребрами) определяются две локальные степени:

1.  ⍴1(V) – число ребер с началом в вершине V, или количество выходящих из вершины V ребер; 
2. ⍴2(V) – количество входящих в V ребер, для которых эта вершина является концом.

Петля дает вклад 1 в обе эти степени.

В орграфе суммы степеней всех вершин ⍴1(V) и ⍴2(V) равны количеству ребер m этого графа, а значит и равны между собой:

ОПР. Вершина графа называется изолированной, если ее локальная степень равна нулю: ⍴(V) = 0.

ОПР. Концевой называют вершину, локальная степень которой равна 1: ⍴(V) = 1.

ОПР. Графы, у которых все вершины имеют одинаковую степень, называются регулярными, или однородными.

Операции над графами

В ряде случаев удобно представить структуру  рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой структуры.

Пусть графы G1 и G2 имеют непересекающиеся множества вершин V1, V2  и непересекающиеся множества ребер E1 и  E2.

ОПР. Объединением графов G1  G2 называют граф, множеством вершин которого являются V =  V1  V2 , а множеством ребер – E =  E1  E2 (рис. 18).

Соединение графов G1 + G2 состоит из G1  G2  и всех ребер, соединяющих V1 и V2  (рис. 19).

Произведением графов G1 × G2 называется граф, вершины которого u = (u1, u2)   и        v = (v1, v2) смежны тогда и только тогда, когда [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины] или [u2 = v2 и u1, v1  - смежные вершины] (рис. 20).

Композицией G  = G1[G2] называют такой граф G, вершина которого u = (u1, u2) смежна с v = (v1, v2) тогда и только тогда, когда [u1  = v1 – смежные вершины]    или     [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины].

Композиции графов G1 и G2 представлены на рис. 21.

Часть 3. Элементы комбинаторики.

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, обладающие тем или иным свойством, располагать их в определённом порядке и т.п. – т.е. речь в них идёт о комбинации объектов. Такие задачи называются комбинаторными, а раздел математики _ комбинаторикой.

Примеры комбинаторных задач:

• Расположить 10 точек и 5 отрезков так, чтобы на каждом отрезке располагалось по 4 точки.
• Узнать, сколькими способами  из группы в 31 человек можно выбрать старосту и трёх бригадиров?
• Расположить натуральные числа от 1 до 9 так, чтобы они образовали «магический квадрат».

Различают 7 основных формул комбинаторики и 2 основных закона: сложения и умножения.

1. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

РАЗМЕЩЕНИЯ

а) без повторений:  обозначение    Amn =mn;

                                                                           m!

б) с повторениями:  обозначение Amn=  ( m - n)!

ПЕРЕСТАНОВКИ

а) без повторений:  обозначение         Pn=n!

                                                                                              K!

б) с повторениями:  обозначение  P( k1 k2 k3 …kn=)      k1!*k2!*…*kn;

     где к = к1+к2+к3+…кn;

СОЧЕТАНИЯ

                                                m!

              а)  без повторений:  обозначение   Cmn =   ( m -n)!*n!

б) с повторениями:  обозначение    Cmn= C m+N-1 ;

БИНОМ НЬЮТОНА

Бином – иначе двучлен.

В школьной математике рассматривают степени бинома:

• При n = 0   ( a + b)0 =1,

• При n = 1  ( a + b)1 = a + b,
• При n = 2  (a + b )2 = a2+ 2ab +  b2,
• При n = 3  (a + b )3 = a3+ 3a2b + 3ab2 +  b3,
• При n = 4   (a + b )3 = a4+ 4a3b +6a2b2 +4ab3 +  b4,

Если выписать все коэффициенты, то получим « Треугольник Паскаля»:

                                            1                                                                      

                                        1      1

                                   1       2      1

                              1       3       3      1

                        1       4         6       4     1

Любой коэффициент можно рассчитать также по формуле:

                                                           m!

              Сочетаний  без повторений            Cmn =   ( m -n)!*n!

Замечание:        n! – « эн факториал»;

Расчётная формула:    n!= 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * …*  n.

0! = 1;                     4!  = 1*2*3*4 =24;

1! = 1;                     5! = 1*2*3*4*5 = 120        и т. д.

2! =1 * 2 =2;

3! = 1*2*3 =6;

2. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.  ЗАКОН СУММЫ

а) для непересекающихся множеств:

Теорема: Количество элементов в непересекающихся множествах     равно сумме количеств элементов этих множеств.

Запись:  n ( A   B) = n (A) + n (B).

б) для пересекающихся множеств:  

Теорема:  Количество элементов в пересекающихся множествах     равно сумме количеств элементов этих множеств  без количества элементов в их пересечении.

Запись:  n ( A   B) = n (A) + n (B) – n ( A  B).

Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши , то выбрать один плод можно 7 + 4 = 11 способами, т.к.

А – множество яблок, n (A)= 7,

  B – множество груш ,   n (B)= 4,

А и В – непересекающиеся множества, поэтому:  n ( A   B) = n (A) + n (B) = 7 + 4 = 11

2. ЗАКОН ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

Теорема:  Если множества  А  и  Б  конечны, то количество элементов в их Декартовом произведении равно произведению количеств элементов этих множеств.

Запись:  n (А *В ) = n( A)* N (B).

Например:  сколько автомобильных номеров, в которых за 1 буквой следуют 3 цифры, а затем ещё 2 буквы можно составить из 28 букв русского языка и 10 цифр ?

Решение:

Пусть А – множество букв, где n (A) =28,

            B – множество цифр, где n (B) =10?

Тогда каждый номер требуемого вида – это ( А * В * В* В* А* А), а их количество: n ( А * В * В* В* А* А)= n (A)* n (B)* n (B)* n (B)*  *n(A)* n (A)= 28 * 10 *10* 10 *28 *28   =   21.952.000.

Ответ:   21.952.000  автомобильных номеров  требуемого вида можно составить при данных условиях. 

Заключение.

Мы рассмотрели элементы теории множеств, теории графов и элементы комбинаторики , как разделы дискретной математики. Узнали, что  дискретная математика- это раздел математики, в котором изучаются разрывные, не непрерывные, скачкообразные процессы и явления.

Знакомясь  с элементами теории множеств, мы сформулировали понятие множества и другие понятия и определения ; рассматривая классификацию множеств, узнали о конечных, бесконечных и пустых множествах;  выяснили, что конечные множества делятся на  два класса – дизъюнктные и недизъюнктные; работали с графическим  изображением  множеств – диаграммами  Эйлера- Венна ; рассмотрели  основные операции над непустыми, недизъюнктными, конечными множествами и их свойства.

Рассматривая  вопросы теории графов, мы сформулировали определение графа, представив  графическую интерпретацию графа; познакомились с основными понятиями, определениями, операциями  и классификацией графов.

Основные термины

Множество                                                  Граф

Подмножество                                            Подграф

Конечные множества                                 Вершина графа

Бесконечные множества                            Ребро графа

Пустые множества                                      Ориентированный граф

Равные множества                                      Неориентированный граф

Счётные множества                                    Полный граф

Дизъюнктные множества                           Равные графы

Недизъюнктные множества                       Изоморфные графы

Комбинаторная задача         Комбинаторика            Перестановки

 Размещения                           Сочетания                    Бином Ньютона

Контрольные вопросы по теме «Элементы теории множеств»

1. Сформулируйте определение множества.

2. Как обозначаются множества и их элементы?

3. Какие множества называются равными?

4. Сформулировать определение подмножества.

5. Классифицировать множества, привести примеры.

6. Сформулировать определение дизъюнктных множеств.

7. Сформулировать определение недизъюнктных множеств.

8. Перечислить операции над множествами, выполнить графику пояснений.

9. Что называется диаграммами Эйлера-Венна?

10. Сформулировать свойства операций над множествами.

Контрольные вопросы по теме «Элементы комбинаторики»

1. Сформулировать определение комбинаторики.

2.  Сформулировать определение комбинаторной задачи.

3.  Перечислить типы комбинаторных задач.

4. Перечислить, записав основные формулы комбинаторики.

5. Для чего используется формула бинома Ньютона?

6. Что можно определить с помощью треугольника Паскаля?

7. Представить алгоритм правой части разложения формулы бинома Ньютона.

8. Назвать и записать формулами законы комбинаторики.

9.Сформулировать закон суммы для а) дизъюнктных и б)недизъюнктных множеств.

10.Сформулировать закон произведения конечных непустых множеств 

Тест по теме «Основные понятия теории графов»

Задание: выбрать правильные ответы

1. Совокупность 2 непустых конечных множеств вершин и ребер называется         а)    графом;         б)   событием;  

                 в) высказыванием;         г) выборкой.

2. Основоположник теории графов  

 а)  Виет;   б) Эйлер;   в) Лейбниц;  г) Бернулли.

3. Если два ребра графа инцидентны одной и той же вершине, то они называются

а) несмежными; б) симметричными;   в) смежными;   г) параллельными.

4.Рёбра графа, соединяющие вершину саму с собой называются

а) дугами;     б) вершинами;    в) параболоидами;     г) петлями.

5. Кратными называются  . . .  рёбра.

а) параллельные;   б) инцидентные одной и той же вершине;

 в) перпендикулярные;     г) смежные.

6. Ребро, соединяющее 2 вершины и имеющее направление, называется

 а) петлёй;        б) дугой;        в) ориентированным ребром;  

  г) не ориентированным ребром.

7. Если локальная степень вершины G ( V,E) равна нулю, то вершина называется                                    а) регулярной;             б) однородной;  

                                                         в) пустой;               г) изолированной.

8. Сумма степеней вершины G ( V,E) равна

а)  удвоенному числу рёбер;                         б) утроенному числу рёбер;

  в)  4q;         г) 8q,                                                 где q – количество рёбер.

9. Замкнутый путь называется

 а) циклом;       б) контуром;       в) деревом;        г) маршрутом.

10. Максимальный связный подграф графа G ( V,E) называется

а) цепью графа G ;                                     б) маршрутом графа  G ;  

в)  компонентом графа  G ;                              г) циклом графа  G .  

Текст лекции №5 «Численные методы математической подготовки среднего медицинского персонала»

Итоговое лекционное занятие

Задание.

1. Освоить материал.
2. Усвоить терминологию.
3. Выполнить письменно итоговое тестовое задание (В программе Ms. Word создать документ Лекция №5. Открыть. Установить стиль Times New Roman, шрифт № 14, поля – по 2см со всех сторон. Ввести на первой строке: дату занятия по расписанию, ФИО, № группы. Ввести на второй строке по центру название «Итоговое тестовое задание». Далее –  Вариант № ___. Далее -вводятся по левому краю: № вопроса, сам вопрос; ниже курсивом , жирно, буквы синего цвета, расположение «по ширине», межстрочный интервал 1, удалить интервал и перед и после абзаца – полный ответ на поставленный вопрос.

ТЕКСТ лекции

1. «Медицинская статистика: основные задачи,

 разделы и методы исследования»

Введение

      Математическая статистика является основой применения количественных    методов в разных сферах человеческой деятельности. В зависимости от объекта исследования имеются различные направления применения методов математической статистики.

Большое  внимание уделяется применению статистических методов для обработки медико- биологических данных. Этими вопросами занимается медицинская статистика.

Основная часть

Определение. Медицинская статистика - это отрасль социальной статистики, которая изучает количественные характеристики состояния здоровья населения, развития системы здравоохранения; определяет степень интенсивности влияния на них социально-экономических факторов, а так же занимается приложением статистических методов к разработке и анализу результатов клинических и лабораторных исследований ( статистический словарь).

Основные задачи медицинской статистики

- своевременное получение и разработка данных о заболеваемости, смертности, инвалидности;

- своевременное получение и разработка данных о физическом развитии населения в целом и отдельных его групп;

- своевременное получение и разработка данных о размещении, состоянии, оснащении, медицинских кадрах учреждений здравоохранения;

- своевременное получение и разработка данных о клинических и лабораторных исследованиях.

Таким образом, медицинская статистика оценивает показатели здоровья населения, здравоохранения; состояния окружающей среды для определения её безопасности и влияния на здоровье человека.

Основные разделы медицинской статистики

1. Статистика  здоровья населения - изучает санитарно-демографические       процессы, динамику заболеваемости, физического развития( здесь даётся характеристика состояния здоровья различных групп населения в зависимости от социально- биологических факторов);

2. Статистика здравоохранения -  изучает деятельность медико- санитарных учреждений и медицинских кадров, а именно:

а) изучает состояние сети кадров ЛПУ,

б)   даёт оценку деятельности ЛПУ,

в) готовит мероприятия по охране здоровья населения.

  Источниками информации, позволяющими оценить основные показатели, являются:

• первичная учётная медицинская документация, которая ежедневно ведётся в учреждениях здравоохранения;
• статистическая отчётность;
• лабораторные и клинические обследования.

Государственная отчётность по здравоохранению позволяет количественно охарактеризовать состояние и изменение здоровья населения.

Годовая отчётность ЛПУ включает, например,

• отчёт об инфекционных и паразитарных заболеваниях

 ( форма № 2);

• сведения о больных туберкулёзом ( форма №33) и т. д.

Все формы годовой отчётности направлены на сбор данных

 - об определённых категориях лиц, получающих мед. помощь, а также

 -  о работе ЛПУ и их обеспеченности кадрами.

         В органы государственной  статистики поступают сводные данные о

 а) заболеваемости; б) смертности; в) деятельности ЛПУ.

        Перечень форм отчётности свидетельствует об учёте больных как традиционными, так и неизвестными заболеваниями, учёте психических расстройств и заболеваний, которые представляют первостепенную опасность для жизни людей.

     Вопросами сбора, обработки и хранения информации занимаются отделы статистики, которые входят в структуру медицинских организаций.

 Замечание: руководство МС в стране осуществляет Управление медицинской статистики и  вычислительной техники Минздрава России.

     2.  Медицинская статистика использует методы математической статистики, связанные с обработкой выборочных (выборка) данных. В основе сбора медико- биологических данных лежит закон больших чисел, позволяющий при массовых обследованиях выявить наличие объективных закономерностей, лежащих в основе эпидемиологических, социальных, медицинских процессов.

Рассмотрим статистические методы, применяемые в медицине.

• Метод- это способ достижения цели, регулирования деятельности.
• Метод конкретной науки – совокупность приёмов теоретического и практического познания действительности.

 Методология -совокупность методов исследования.                                         

Статистика населения – отраслевая статистика, основой  методологии которой является статистическая методология.

Типы  методов:

• методы общей теории статистики;
• математические методы;
• специальные методы,

к которым относятся также:

 - статистическое наблюдение.

 - исследование динамики,

 - графическое изучение явлений,

 -  индексный, выборочный и балансовый методы,

 -  методы реального и условного поколения.

 Замечание: широкое применение в изучении населения приобрели такие статистические методы как: * исследование динамики; * графическое изучение явлений; * индексный метод; *выборочный и балансовый метод, методы определения структуры населения и т. д.

• Применение абстрактных математических методов в статистике населения делает возможным статистическое моделирование  и анализ происходящих в населении процессов.
• Наибольшее число  математических методов и моделей , применяемых в статистике  населения, разработано для характеристики его динамики:

Широко используются такие  МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, как **экспоненциальные; ** логистические – за прошлый период;  ** модели  стационарного населения;**  модели  стабильного населения – на будущие периоды.

3. Этапы медико-статистического исследования

     Проведение любого научного исследования, в том числе и медико- биологического, необходимо начинать с выделения основных этапов работы. Это позволит конкретизировать необходимый объём работы на каждом этапе и наметить результаты, получение которых позволит перейти к следующему этапу. Любое медико-статистическое исследование состоит из определённых этапов. Рассмотрим их. Выделяют 4 этапа медико-статистического исследования:

1. Определение цели и задач исследования исходя из рабочей гипотезы или предположения, составление плана и программы исследования.
2. Организация и проведение сбора необходимых данных, группировка полученных материалов.
3. Статистическая обработка данных.
4. Анализ полученных результатов. Выводы.

Первый этап.

     Является основным, так как правильный выбор цели определяет весь ход дальнейшего исследования, а так же должен оправдывать затраты и время, потраченное на достижение поставленной цели.

     Целью большинства медико-биологических исследований является выявление влияния различных контролируемых факторов  на здоровье человека.

Определение. Контролируемые факторы – это различные внутренние или внешние причины, которые влияют на показатели здоровья населения и могут быть изменены в результате проводимого исследования.

К факторам могут относиться условия проживания, режим питания, концентрация вредных веществ, воздействие электромагнитных излучений, лекарственные вещества и пр.

Задачи исследования конкретизируют вопросы, решение которых приведёт к поставленной цели.

План исследования определяет решение организационных вопросов проведения исследования таких, как:

- определение объёма исследования;

- определение места и сроков проведения исследования;

-  выбор и обучение исполнителей;

- техническое и методическое обеспечение исследований;

- компьютерное и программное обеспечение автоматизации * сбора и * обработки данных.

Программа исследований предусматривает выбор единиц наблюдения, составление программы сбора, выбора математических методов обработки и анализ данных.

Определение.  Объём наблюдения – это совокупность единиц наблюдений или предметов, которые необходимо изучить( это то, сто в математической статистике называется статистической совокупностью).

Определение. Единица наблюдения- это элементы, входящие в статистическую совокупность.

Если речь идёт о здоровье населения, то единицей наблюдения будет конкретный испытуемый, а статистической совокупностью- контрольная группа испытуемых. При обследовании испытуемых производятся измерение и регистрация различных показателей, которые отражают реальное на данный момент состояние обследуемого. Эти показатели называются учётными признаками.

Например.    Для оценки функционального состояния испытуемого измеряются температура, артериальное давление, частота  пульса и частота дыхания. Учитывая то, что эти показатели могут отличаться как  у различных испытуемых, так и у одного испытуемого с течением времени, то эти учётные признаки относятся к случайным величинам.

Второй этап.

Второй этап исследования заключается в организации и проведении сбора необходимого материала исследования. По способу сбора возможны следующие варианты получения первичной информации об исследуемом объекте:

- непосредственное получение данных;

- выкопировка информации из отчётно-учётной документации

-опрос населения.

Непосредственное наблюдение связано с получением необходимых показателей с изучаемого объекта с помощью первичных преобразователей информации с дальнейшим их усилением и регистрацией.

Например.  Измерение биоэлектрической активности сердца, мозга, мышц; определение состава выдыхаемого воздуха; биохимический анализ жидкостей им пр.

Выкопировка  данных  основана на сборе информации из отчётно-учётной документации медицинских учреждений. К ним относятся:

- истории болезни;                                            

   - карта выбывшего из стационара;

- больничные листы и пр.

В последнее время большое внимание уделяется стандартизации отчётной документации на бумажных носителях и переводу её на электронные носители, что связано с разработкой и применением МИС, созданием электронных баз медицинских данных, электронных историй болезни, что значительно повышает оперативность получения необходимой информации, её полноту и достоверность.

Замечание.  Объединение БД позволит получить необходимую информацию по любому вопросу в масштабах всего региона или страны.

Опрос населения   основан с получением информации  от населения методом анкетирования, интервью или по переписи. Для этого используют стандартные опросные листы, которые позволяют автоматизировать ввод информации в компьютерные системы для обработки и анализа полученных данных.

Третий этап.

Здесь проводится обработка полученных данных, которая включает последовательное выполнение таких операций, как:

- контроль собранных данных;

- группировка собранных данных;

- сводка данных в статистические таблицы;

- статистическая обработка материала.

Контроль необходим для проверки правильности и полнота ответов на поставленные вопросы. Если необходимые данные отсутствуют в обследовании объекта, то их следует дополнить или исключить некачественное обследование из обработки.

Шифровка  применяется для условного обозначения тех или иных признаков обследуемого объекта с целью дальнейшей группировки.

Группировка связана с систематизацией первичного материала. Чаще всего группировка – это разделение анализируемых данных на группы по тем или иным признакам.

Например, распределение дольных по возрасту или по полу.

Иногда группировка необходима для объединения мелких однородных групп в более крупные. После группировки составляют статистические таблицы, которые облегчают дальнейшую обработку данных.

Статистическая обработка данных состоит в вычислении основных показателей, характеризующих выборку. При этом могут вычисляться абсолютные, относительные и средние величины.

Абсолютные показатели несут информацию о значении того или иного признака и широко используются для характеристики процесса или явления.

Например, численность населения нашей страны, результаты дорожно-транспортного происшествия в год в целом по стране; число больных СПИДом в стране и пр.

Сравнение ежегодных показателей позволяет выявить динамику этих данных и принять соответствующие меры по их улучшению.

Но если речь идёт о выборках различного объёма, то сравнивать абсолютные показатели нельзя – тогда рассматривают относительные величины, которые получаются путём различных отношений и сопоставлений.

• Если относительная величина умножается на 100, то показатель выражается в (%);
• Если относительная величина умножается на 1000, то показатель выражается в промилях ( %0);
• Если относительная величина умножается на 10000, то показатель выражается в продецимилях (%00).

Иногда некоторые  показатели в медицине выражаются в абсолютных единицах

на 1 000, 10 000 или 100 000 населения.

Для получения информации о наиболее часто встречаемом значении исследуемой величины необходимо найти выборочную среднюю

=  , где .

Для оценки разброса или отклонения изучаемого учётного признака относительно его среднего значения находят выборочное среднеквадратическое отклонение

                                  S =

Среднее квадратическое отклонение показывает границы колебания вариационного ряда . В математической статистике имеется правило « трёх сигм», которое говорит о том, что для нормального закона распределения в интервале :

• M  находится 99,7% всех вариант ряда;
• M  находится 95,5% всех вариант ряда;
• M     находится 68,1% всех вариант ряда .

Зная значение выборочного среднего квадратического отклонения и объём выборки, находят ошибку выборочного среднего:      = .

Тогда полученные значения выборочной средней можно представить в виде

                                                                                              ,

Что позволит оценить не только среднее значение исследуемой величины, но и её разброс относительно этого среднего значения.

Для наглядности представления полученных данных используется графическое изображение результатов анализа ( графики, гистограммы, полигоны и пр.)

Четвёртый этап.

На этом этапе медико- статистического исследования проводится анализ полученных результатов и делаются выводы или предположения по улучшению тех или иных показателей. Анализ результатов заключается в сравнении полученных данных с нормативами или стандартными показателями или в оценке динамики полученных значений.

( Основные направления статистики изучения народонаселения)

В последние десятилетия мы стали свидетелями быстрого развития доказательной медицины.

Определение. Доказательная медицина –  это направление медицины, которое в первую очередь подразумевает проверку эффективности терапевтических вмешательств в клинических испытаниях. Эти методы включают статистический анализ, на результаты которого и опираются исследователи в своих выводах.

Интенсификация труда медицинских работников требует систематического учёта и анализа лечебно- профилактической и противоэпидемической работы. Следовательно, повышается роль и значимость медицинской статистики в научной и практической работе ЛПУ. Умелое использование МС позволяет своевременно ставить « диагноз» общественному здоровью и эффективности проводимых лечебно- профилактических мероприятий.

МС изучает вопросы, связанные с медициной и здравоохранением и делится на 2 раздела:

- статистика здоровья  населения;

- статистика здравоохранения

Статистика изучения народонаселения ведётся в 2 основных направлениях:

• статика населения ;
• динамика населения.

4. СТАТИКА  НАСЕЛЕНИЯ.

 Оеделение. Статика населения – это наука, изучающая количественные закономерности явлений и процессов, происходящих в населении, в непрерывной связи с их качественной стороной.

Определение. Население – объект изучения  демографии.

Определение. Демография – раздел санитарной статистики,  в котором устанавливаются общие закономерности развития населения, а жизнедеятельность людей рассматривается во всех аспектах: историческом, экономическом , медицинском и т. д.

Статика населения рассматривается по ряду основных признаков населения:

*пол                           * возраст                      * социальные группы    *профессия              * язык                        *образование               * место жительства и др.

Статика населения изучает свой объект – население - в конкретных

 условиях места и времени, выявляя новые формы движения.

ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ НАСЕЛЕНИЯ

**1. Определение численности населения отдельных континентов и их частей, стран и экономических регионов стран и т. д.( при этом ведётся не арифметический , а статистический счёт – счёт категорий населения, т.е. статистически устанавливается число рождений, смертей, браков,  разводов, численность мигрантов( прибывших,  убывших) – т. е. определяется объём совокупности.

**2. Установление структуры населения и структуры демографических процессов( население разделяют по полу, возрасту, уровню образования, профессиональному, производственному признакам, по принадлежности к городскому населению и сельскому).

**3. *Изучение взаимосвязей, имеющих место в самом населении между его различными группами и

        *  исследование зависимости процессов , происходящих в населении,  от факторов среды, в которой эти процессы протекают.

**4. Рассмотрение динамики демографических процессов( изменение численности населения; изменение интенсивности процессов, происходящих в населении во времени и пространстве).

**5. Прогнозирование численности населения и его состава на будущее время

( ближайшая и далёкая перспективы).

Важной медико-демографической характеристикой является возрастная структура населения, которая показывает распределение населения по возрастным группам. Все население страны делится на 3 возрастные группы:  от 0 до 14 лет; от 15 до 49 лет, от 50 лет и старше. В зависимости от соотношения численности этих групп различают

• прогрессивный ( тип населения, в котором количество детей превышает контингент населения в возрасте от 50 лет и старше);
• регрессивный ( тип населения, в котором количество населения старше 50 лет превышает количество детей);
• стационарный (тип населения, в котором количество населения старше 50 лет равно количеству детей )  

типы населения.

Половая структура населения- это распределение населения по полу. Например, за период с 1990 по 1999 годы половая структура населения России не изменилась.

ДИНАМИКА НАСЕЛЕНИЯ

Определение. Динамика населения – это движение и изменение количества  населения.

Виды движения населения:

Определение . Естественное движение -  это изменение численности населения ввиду рождаемости и смертности, происходящие естественным путём (подразумеваются здесь также браки и разводы).

Рождаемость населения является важнейшим показателем воспроизводства населения. Для  оценки рождаемости определяется либо абсолютный показатель рождаемости, либо относительный общий показатель рождаемости, который определяется по формуле: ( Общее число, родившихся за год): ( Среднегодовая численность населения)* 1 000. Среднегодовая численность населения  рассчитывается как   полусумма численности населения на начало и конец календарного года.Критерий оценки уровня рождаемости приведен в таблице:

       Для оценки воспроизводства населения страны важную роль играет показатель смертности.  Смертность населения – процесс естественного сокращения численности людей за счёт случаев смерти.

(Общий показатель смертности) =  ( Общее число умерших за год) : ( Среднегодовая численность населения ) * 1 000.

Разница между общими показателями рождаемости и смертности за год отражает процесс воспроизводства населения. Этот показатель называется естественным приростом населения. 

Замечание: так, если смертность (летальность)превышает рождаемость, то численность населения убывает;

если рождаемость превышает смертность, то численность населения возрастает.

Определение. Механическое движение (миграционное) -  это перемещение людей через границы отдельных территорий с переменой  места жительства на длительное время или навсегда

Определение .Социальное движение  - это изменение социальных условий жизни населения, которое  выражается в изменении численности и составе социальных групп людей, имеющих общие интересы, ценности и нормы поведения, складывающиеся в рамках исторически определённого общества.

Замечание. Основным источником получения информации о численности и составе населения являются переписи населения.

5. ПОКАЗАТЕЛИ ЗДОРОВЬЯ НАСЕЛЕНИЯ.

Показатели здоровья населения включают:

• демографические показатели: (* средняя ожидаемая продолжительность     жизни при рождении;  * коэффициенты общей, повозрастной, младенческой смертности;   * показатели смертности и её причины);
• показатели заболеваемости;
•  показатели самооценки здоровья населения.

Все показатели должны рассматриваться в динамике за длительный промежуток времени, чтобы выявить устойчивые тенденции и определить период прогноза.

Замечание. Важным показателем уровня развития страны и здоровья населения выступают материнская и младенческая смертность 

Объективные показатели здоровья населения могут быть дополнены субъективными, полученными в результате опроса населения по самооценке состояния здоровья.

Заключение                                          

Выводы№1

 1. Обеспечение здоровья нации – главная задача государства.

 2. На здоровье населения влияет его образ жизни, экология, социальная среда, уровень здравоохранения и пр.

3. В С.С. проводятся специальные статистико –социологические обследования и разработки показателей по а) социальным типам,

б) образовательным группам; в) горожанам и жителям села;

 г) мужчинам и женщинам; д) семейным и одиноким.

4. В С.С. проводится  сравнительная оценка уровня здоровья населения разных социально – профессиональных и демографических групп с выявлением групп населения, требующих повышенного внимания со стороны

Выводы №2

Статика населения

- разрабатывает систему обобщающих показателей;

- указывает на необходимую информацию и способы расчёта;

- оценивает познавательные возможности статистических показателей, порядок записи, содержательную интерпретацию и условия их применения.

6. Перепись населения.  

7.Статистические таблицы и графические изображения 

Рассмотрим такой медико-демографический показатель, как перепись населения .                  

  Исторически, на стыке общей демографии и социальной медицины в конце 19 века выделилась смежная научная область - медицинская демография, которая изучает взаимосвязь процессов воспроизводства населения с социально-гигиеническими факторами и  разрабатывает медико-социальные меры, направленные на обеспечение благоприятного развития демографической ситуации и улучшения здоровья населения.

          Основным, наиболее достоверным источником сведений о численном составе населения, служат переписи, научные принципы организации которых были разработаны в течении 19 века.

Определение. Перепись населения

- это специальная научно организованная государственная статистическая операция по учёту и анализу данных о численности населения, его состава и распределения по территории;

 - это сбор, обобщение, изучение и распространение демографических, экономических и социальных данных.

Цель переписи населения: удовлетворение основных потребностей страны в статистических данных о *численности и *составе населения.

Единицы наблюдения переписи:

• семья
• отдельное лицо дом. хозяйство
• жилые помещения
• групповые хозяйства
• строения  .

Основной медико-демографический показатель- это численность населения.

Историческая справка

       Одна из первых известных попыток учёта населения была проведена в     Китае в 238 г. до н. э. ( аналогичные сведения относительно Палестины встречаются в Ветхом Завете).

       Первая перепись, отвечающая научным принципам учёта населения, была проведена в Бельгии в 1846 г.

       На Руси в основном проводился хозяйственный учёт населения в целях рационального налогооблажения.

       С 1718 по 1860 гг. на Руси прошло 10 « ревизий»:  типа « сколько и  в какой деревне душ мужского пола».

        Первая всеобщая перепись населения в России была проведена в 1897г. ( 7 млн. руб.)

 На протяжении 20 века в нашей стране прошло 8 всеобщих переписей: 1920, 1926, 1937, 1939, 1959, 1970, 1979, 1989(66% городского населения )

В 21 веке: 2002, 2010 ( октябрь).

Перепись проводится в осеннее –зимнее время, т.е. в период наименьшей миграции населения.

Перепись населения требует большой подготовительной работы, т. к. за короткий срок (8-10 дней) требуется провести опрос всего населения страны.

Основные научно - организационные методы, применяемые при переписи населения

Периодичность –перепись проводится каждые 10 лет, а в экономически развитых странах- каждые 5 лет.

Всеобщность – охват всего населения. Проживающего на обследуемой территории.

Единая программа сбора и обработки данных – всем обследуемым лицам предъявляются одни и те же вопросы ( в некоторых случаях части населения предъявляются дополнительные вопросы :  например, во время переписи 1989 г. были 2 вида опросных листов  : сплошной и выборочный. Первый документ содержал 20 вопросов и заполнялся на каждого опрашиваемого. Второй предлагался только 25% опрашиваемых, которых выбирали случайным образом- здесь содержались дополнительные к первому вопросы, которые касались места работы и должности, продолжительности проживания в данном населённом пункте и пр.

Одномоментность проведения переписи достигается   введением « критического» момента времени, т. е. точной даты и часа сбора информации. И хотя перепись продолжается несколько дней, но данные фиксируются на « критический» момент времени. Например, если в « критический момент времени» человек был на месте, а на момент заполнения переписного листа умер, то он регистрируется как живой.

Сбор сведений методом опроса , без подтверждении информации официальными документами- все сведения в опросный лист заносятся со слов опрашиваемого.

Поимённость при сборе информации -  но при дальнейшей обработке данные обезличиваются.

Строгое соблюдение тайны переписи – все собранные данные используются для получения итоговых показаний; доступ к первичной информации, т. е. к поимённым листам опроса ограничен.

Таким образом,    данные переписи населения необходимы для

• перспективных расчётов   численности населения ;
• планирования развития отраслей народного хозяйства;
• планирования развития здравоохранения;
• оценки санитарного состояния населения;
• расчёта различных показателей здоровья.

В санитарно- эпидемиологической службе данные переписи населения применяются для

• санитарно-эпидемиологического состояния района
• разработки приказов эпидемической ситуации       и пр.

 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ГРАФИЧЕСКИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ В  САНИТАРНОЙ СТАТИСТИКЕ.

 Для наглядности представления полученных медико-статистических данных используется  табличное и графическое изображение результатов анализа.

1) Статистические таблицы:

на основе собранных статистических данных составляются статистические таблицы, которые бывают 3-ёх видов:

*простые;                   * групповые;                  * комбинированные.

Каждая таблица имеет:

 - перечень объектов;

 - перечень признаков, характеризующих  эти объекты.

Определение. Таблица, которая содержит перечень объектов и имеет итоговую графу, называется простой.

Определение.  Таблица, которая содержит перечень объектов и их характеристики по группам, называется групповой таблицей.

Определение. Таблица,  в которой происходит сравнение объектов по одинаковым признакам, называется комбинированной таблицей.

2) Графические изображения в  Санитарной Статистике:

        Результаты статистических исследований обычно представляют в виде    одного или нескольких рядов чисел, сведённых в статистические таблицы,

        а для большей наглядности- в виде различных графических изображений.

Основными типами графических изображений являются ДИАГРАММЫ: 

     * линейные,

     * столбиковые,

     * секторные ( круговые и полосовые),

     * в системе полярных координат,

     * фигурные.

Линейная диаграмма  представляет собой прямоугольную систему координат ( по оси абсцисс обычно откладывают равные промежутки времени, а по оси ординат -  значение того или иного статистического показателя, в соответствующем масштабе).

Столбиковая диаграмма  отображает значения анализируемых величин в виде прямоугольных столбиков, высота которых пропорциональна их значению. Разновидностью столбиковых диаграмм являются ленточные диаграммы ( здесь значения анализируемых величин откладываются по оси абсцисс).

Круговые диаграммы позволяют наглядно изобразить исследуемые величины, выраженные в( %) соотношениях или в относительных значениях, для чего изображается окружность и разбивается на секторы, величина которых соответствует представляемым параметрам; начало отсчёта – от верхней точки и далее – по часовой стрелке ( 10  соответствует 3,60  окружности.) Тогда значение величины в процентах или в относительных величинах умножают на 3,6 и получают угол сектора, соответствующий величине каждого параметра.

Замечание. В качестве вспомогательного средства используют

* картограммы                    и           * картодиаграммы.

Основные термины

Медицинская статистика                                       Статистика  здоровья населения

Статистика здравоохранения                                                   Закон больших чисел  

Государственная отчётность по здравоохранению

Методы математической статистик

Метод                                                                                   Метод конкретной науки

Методология                                                                             Статистика населения

Методы общей теории статистики                                     Математические методы

Специальные методы                                    Абстрактные математические методы

Математические модели

Контролируемые факторы                                                         Задачи исследования

План исследования                                                                        Объём наблюдения

Программа медико- биологического исследований               Единица наблюдения

Учётные признаки                                                     Непосредственное наблюдение

Выкопировка  данных                                                                        Опрос населения  

Шифровка данных                                                                       Группировка данных

Статистическая обработка данных                                   Относительные величины

Абсолютные единицы                                                                Выборочная средняя

Выборочное среднеквадратическое отклонение

Среднее квадратическое отклонение                        Ошибка выборочного

Доказательная медицина                                                          Статистический анализ

Население                                                                                     Статистика населения Демография                                                                                    Динамика населения

Показатели самооценки здоровья населения                  Показатели заболеваемости

Демографические показатели                                                       Статистический счёт

Социальное движение                                                            Миграционное движение

Механическое движение                                                

Диаграммы                             Картограммы                    Картодиаграммы    

Перепись населения               Население                          Простая таблица

 Групповая таблица                Комбинированная таблица    

Периодичность                       Всеобщность  

Медицинская демография                        Единицы наблюдения переписи

Единая программа сбора и обработки данных

Одномоментность                     Поимённость при сборе

Динамика посещений

  Структура посещений                                                              

 Нагрузка на врачебную должность

 Активность посещений врачами пациентов на дому

Полнота охвата  населения медицинскими осмотрами

Процент  населения, осмотренного с целью выявления заболевания

Частота выявленных заболеваний

Показатели диспансеризации

Качество врачебной диагностики

Обеспеченность населения стационарной помощью

Нагрузка медицинского персонала

Материально-техническая  и медицинская  оснащенность     коечного фонда

 Лечебно-диагностическая стационарная помощи

Состав коечного фонда

Среднее число занятости койки в году

Средняя длительность пребывания больного на койке

Оборот койки

Основные формулы

1. Выборочная средняя             а)           =  ,

где .

                                                        б)      

2. Выборочное среднеквадратическое отклонение

                                  S =

3. Ошибка выборочного среднего         =

8. Статистические показатели в деятельности поликлиники и стационара.             

         Сегодня мы рассмотрим применение статистических показателей для оценки деятельности поликлиники и стационара, выясним характеристики коечного фонда и его использования в стационаре, узнаем, по каким показателям оценивается профилактическая работа поликлиники.

8. 1. При оценке деятельности поликлиники  обычно анализируются: общие данные о поликлинике; информация об организации работы поликлиники (прием пациентов, помощь на дому, нагрузка врачей); проведение профилактической работы и ее результаты (медицинские осмотры, диспансеризация); качество врачебной диагностики и лечения больных; преемственность работы поликлиники и стационара. Среди общих данных оцениваются среднее число населения, прикрепленного к  участку, укомплектованность  штатов и др. Организация работы поликлиники оценивается по показателям, характеризующим:

• динамику посещений (отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100);
• структуру посещений – по поводу заболеваний или с профилактической целью (отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100);
• нагрузку на врачебную должность (отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей);
• активность посещений врачами пациентов на дому (отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100);

8.2. Основные показатели работы стационара

   Показателями деятельности стационара являются: обеспеченность населения стационарной помощью ( отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000); нагрузка медицинского персонала (число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену); материально-техническая  и медицинская  оснащенность; использование коечного фонда; качество лечебно-диагностической стационарной помощи и ее эффективность.

9. Коечный фонд и его использование характеризуются следующими показателями:

• состав коечного фонда (отношение числа коек по отдельным профилям  к общему числу коек, в %);
• среднее число занятости койки в году (отношение  числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней);
• средняя длительность пребывания больного на койке (отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных); этот показатель рассчитывается по нозологическим формам, ориентировочный норматив длительности  пребывания  на терапевтической койке- 16-18 дней;
• оборот койки- функция койки 9отношение числа пролеченных больных к числу коек, ориентировочный норматив- 17-20 больных в год).

    О качестве обслуживания больных в стационаре можно судить по показателям больничной  летальности (отношение числа умерших к числу пролеченных больных, умноженное на 100). В зависимости от отделений и состава больных этот показатель может быть от 1 до 3 на 100 больных. Оценивается показатель послеоперационной летальности (отношение числа умерших среди прооперированных к числу прооперированных). Частота послеоперационных осложнений определяется отношением числа осложнений к числу проведенных операций. Показатели досуточной летальности (в первые 24 часа пребывания больного стационаре), процент совпадения диагнозов направления, клинического и патологоанатомического служат для характеристики качества врачебной диагностики.  

10. Профилактическая работа  поликлиники оценивается:

• полнотой охвата медицинскими осмотрами (отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100);
• процентом  населения, осмотренного с целью выявления заболевания (отношение числа осмотренных к численности населения);
• частотой выявленных заболеваний (отношение  числа выявленных заболеваний к числу осмотренных);
• показателями диспансеризации (полнота охвата, своевременность взятия на диспансерный учет, удельный вес вновь взятых под наблюдение, среднее число диспансеризуемых  на одном участке, исходы и эффективность диспансеризации).
• Качество врачебной диагностики определяется на основе сравнения диагнозов, поставленных больным при направлении на госпитализацию, с диагнозами, установленными в стационаре. Преемственность работы поликлиники и стационара оценивается числом пациентов, подготовленных  к плановой госпитализации, и обменом документацией  до и после лечения их в стационаре.

• Значимость математики в профессиональной деятельности медработника среднего звена

Роль математического образования в профессиональной подготовке медицинских работников очень велика.

Процессы, происходящие в настоящее время во всех сферах жизни общества, предъявляют новые требования к профессиональным качествам специалистов. Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности медицинского персонала, которое связано с широким применением математического моделирования, статистики и других важных явлений, имеющих место в медицинской практике. математика медицинский работник статистика

На первый взгляд медицина и математика могут показаться несовместимыми областями человеческой деятельности. Математика, по общему признанию, является "царицей" всех наук, решая проблемы химии, физики, астрономии, экономики, социологии и многих других наук. Медицина же, долгое время развиваясь "параллельно" с математикой, оставалась практически неформализованной наукой тем самым подтверждая, что "медицина - это искусство".

Основная проблема заключается в том, что нет общих критериев здоровья, а совокупность показателей для одного конкретного пациента (условия, когда он чувствует себя комфортно) может существенно отличаться от таких же показателей для другого. Часто медики сталкиваются с общими проблемами, сформулированными в медицинских терминах, с целью помочь больному, они не приносят готовых задач и уравнений, которые нужно решать.

При правильном применении математический подход не отличается существенно от подхода, основанного просто на здравом смысле. Математические методы просто более точны, и в них используются более чёткие формулировки и более широкий набор понятий, но, в конечном счете, они должны быть совместимы с обычными словесными рассуждениями, хотя, вероятно, идут дальше их.

Этап постановки задачи бывает трудоёмким и занимает достаточно много времени, а зачастую продолжается практически до получения решения. Но именно разные взгляды на проблему математиков и медиков, являющихся представителями двух отличных по своей методологии наук помогают получить результат.

Значение математики для медицинского работника

В настоящее время, согласно требованиям государственных стандартов и действующих программ обучения в медицинских учреждениях, основной задачей изучения дисциплины "Математика" является вооружение студентов математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения специальных дисциплин базового уровня, а в требованиях к профессиональной подготовленности специалиста заявлено умение решать профессиональные задачи с использованием математических методов. Такое положение не может не сказываться на результатах математической подготовки медиков. От этих результатов в определённой степени зависит уровень профессиональной компетентности медперсонала. Данные результаты показывают, что, изучая математику, в дальнейшем медработники приобретают те или иные профессионально-значимые качества и умения, а также применяют математические понятия и методы в медицинской науке и практике.

Профессиональная направленность математической подготовки в медицинских образовательных учреждениях должна обеспечивать повышение уровня математической компетентности студентов-медиков, осознание ценности математики для будущей профессиональной деятельности, развитие профессионально значимых качеств и приёмов умственной деятельности, освоение студентами математического аппарата, позволяющего моделировать, анализировать и решать элементарные математические профессионально значимые задачи, имеющие место в медицинской науке и практике, обеспечивая преемственность формирования математической культуры студентов от первого к старшим курсам и воспитание потребности в совершенствовании знаний в области математики и её приложений.

Математические методы и статистика в медицине

Вначале статистика применялась в основном в области социально-экономических наук и демографии, а это неизбежно заставляло исследователей более глубоко заниматься вопросами медицины.

Основателем теории статистики считается бельгийский статистик Адольф Кетле (1796-1874). Он приводит примеры использования статистических наблюдений в медицине: Два профессора сделали любопытное наблюдение относительно скорости пульса. Сравнив мои наблюдения с их данными, они заметили, что между ростом и числом пульса существует зависимость. Возраст может влиять на пульс только при изменении роста, который играет в этом случае роль регулирующего элемента. Число ударов пульса находится, таким образом, в обратном отношении с квадратным корнем роста. Приняв за рост среднего человека 1,684 м, они полагают число ударов пульса равным 70. Имея эти данные, можно вычислить число ударов пульса у человека какого бы то ни был роста.

Самым активным сторонником использования статистики был основоположник военно-полевой хирургии Н. И. Пирогов. Еще в 1849г., говоря об успехах отечественной хирургии, он указывал: Приложение статистики для определения диагностической важности симптомов и достоинства операций можно рассматривать как важное приобретение новейшей хирургии.

В 60-е годы XX века, после очевидных успехов прикладной статистики в технике и точных науках, вновь начал расти интерес к использованию статистики в медицине. В.В. Алпатов в статье О роли математики в медицине писал: Чрезвычайно важна математическая оценка терапевтических воздействий на человека. Новые лечебные мероприятия имеют право заменить собою мероприятия, уже вошедшие в практику, лишь после обоснованных статистических испытаний сравнительного характера. ... Огромное применение может получить статистическая теория в постановке клинических и неклинических испытаний новых терапевтических и хирургических мероприятий.

Прошли те времена, когда применение статистических методов в медицине ставилось под сомнение. Статистические подходы лежат в основе современного научного поиска, без которого познание во многих областях науки и техники невозможно. Невозможно оно и в области медицины.

Медицинская статистика должна быть нацелена на решение наиболее выраженных современных проблем в здоровье населения. Основными проблемами здесь, как известно, являются необходимость снижения заболеваемости, смертности и увеличения продолжительности жизни населения. Соответственно, на данном этапе основная информация должна быть подчинена решению этой задачи. Должны подробно проводиться данные, характеризующие с разных сторон ведущие причины смерти, заболеваемости, частоту и характер контактов больных с медицинскими учреждениями, обеспечение нуждающихся необходимыми видами лечения, включая высокотехнологичные.

Заключение.

1. Сегодня мы рассмотрели применение статистических показателей для оценки деятельности поликлиники и стационара, выяснили характеристики коечного фонда и его использования в стационаре, узнали, по каким показателям оценивается профилактическая работа поликлиники. Познакомились с формулами расчёта этих статистических показателей.

2. Медицинская наука, конечно, не поддаётся тотальной формализации, как это происходит, скажем, с физикой, но колоссальная эпизодическая роль математики в медицине несомненна. Все медицинские открытия должны опираться на численные соотношения. А методы теории вероятностей (учёт статистики заболеваемости в зависимости от различных факторов) - и вовсе вещь в медицине необходимая. В медицине без математики шагу не ступить. Численные соотношения, например, учёт дозы и периодичности приёма лекарств. Численный учёт сопутствующих факторов, таких как: возраст, физические параметры тела, иммунитет и пр.

Медики не должны «закрывать глаза»  хотя бы на элементарную математику, которая просто необходима для организации быстрой, четкой и качественной работы. Каждый студент  в процессе обучения должен отметить для себя значение математики и  понять, что  математические знания важны и не только упрощают жизнь, но повышают уровень качества  и скорость обслуживания пациентов

Итоговое тестовое  задание (выбрать один правильный ответ)

                                                              Вариант № 1 (для студентов первой подгруппы)

  1.ФУНКЦИЯ – ЭТО

    а) ЗАВИСИМОСТЬ ;         б ) КРИВАЯ;      в) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА.

2.РАЗНОСТЬ МЕЖДУ ДВУМЯ ЗНАЧЕНИЯМИ НАЗЫВАЕТСЯ

    а)  ГРАФИКОМ ;              б )  ПРИРАЩЕНИЕМ ;          в )   ОКРУЖНОСТЬЮ.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Y=3X РАВНА

      а) 2Ln X;                б)  3;                              в) Sin X.

 4. ПРОЦЕСС НАХОЖДЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ НАЗЫВАЕТСЯ

        а) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ;      б) СУММИРОВАНИЕМ;          в) ОБОБЩЕНИЕМ.

5. ПРОЦЕСС НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛА НАЗЫВАЕТСЯ

        а) АГРЕГИРОВАНИЕМ;          б )ИНТЕГРИРОВАНИЕМ;                 в) РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ.

6. ПРОИЗВОДНАЯ КОНСТАНТЫ РАВНА

        а) КОНСТАНТЕ (Const);            б)  е;                                     в) 0.

7. ПРЕДЕЛ КОНСТАНТЫ РАВЕН

       а) КОНСТАНТЕ(Const);              б)  1;                                     в) БЕСКОНЕЧНОСТИ.

8. ПРЕДЕЛ СУММЫ РАВЕН

        а) ОСИ OX;                                   б) ЧИСЛУ 456;                 в) СУММЕ ПРЕДЕЛОВ.

9. РАЗЛИЧАЮТ СОБЫТИЯ СЛЕДУЮЩИХ ВИДОВ

 а  ) СЛУЧАЙНЫЕ,ДОСТОВЕРНЫЕ,НЕВОЗМОЖНЫЕ;    б ) ОПАСНЫЕ,НЕВЕРОЯТНЫЕ;

                                    в ) ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ,АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ.

10.ОПЕРАЦИЕЙ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ В ЛОГИКЕ ЯВЛЯЕТСЯ

а) вычитание;                                         б) дизъюнкция;                  в) интегрирование.

11. СИМВОЛОМ   V    В ЛОГИКЕ  ОБОЗНАЧАЮТ

     а) ПРОИЗВОДНУЮ;          б) КОНЕЦ ПРЕДЛОЖЕНИЯ;            в) ДИЗЪЮНКЦИЮ.

12. ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО , ЧТО ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ МОНЕТЫ ВЫПАДЕТ « ГЕРБ» РАВНА  

 а) 0,5;                                          б)  0;                                                          в)  -10.

13.ЕСЛИ НА БЛЮДЕ ЛЕЖАТ 7 ЯБЛОК И 4 ГРУШИ,ТО СПОСОБОВ ВЫБОРА НАУДАЧУ ЛЮБОГО ФРУКТА а)  -3;                                           б) 11;                                                          в) 14526.

14.ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ ИМЕЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ РАВНУЮ

 а) -14;                                        б) 10,5(45);                                                  в) 1.

15. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА

 а) 0;                                            б) -12;                                                          в)  451.

16. ПОЛИГОНОМ НАЗЫВАЕТСЯ

 а) ЭЛЛИПС;                            б ) ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ;                         в) ПАРАБОЛА.

17.  ГИСТОГРАММОЙ НАЗЫВАЕТСЯ

 а) ПОЛОЖИТЕЛЬНОЕ ЧИСЛО;                                                                      б) ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ;

                                                                   в) СТОБЧАТАЯ ПЛОСКАЯ ФИГУРА.

18. СОВОКУПНОСТЬ ИССЛЕДУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ НАЗЫВАЕТСЯ

    а) ВЫБОРКОЙ;                                 б) ГРАФИКОМ;                                    в) СИСТЕМОЙ.

19. НАУКА, ЗАНИМАЮЩАЯСЯ  СБОРОМ И ОБРАБОТКОЙ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ НАЗЫВАЕТСЯ

   а) теорией вероятностей;                   б) СТАТИСТИКОЙ;                           в) АНАТОМИЕЙ.

20. 20% ОТ ЧИСЛА 18 СОСТАВЛЯЮТ         а)-5;          б)  0;            в) 3,6.

21.ЕСЛИ СМЕРТНОСТЬ ПРЕВЫШАЕТ РОЖДАЕМОСТЬ , ТО ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ  

   а) УБЫВАЕТ;                                       б) РАСТЁТ;                                          в) СТАБИЛЬНАЯ.

22. САНИТАРНАЯ СТАТИСТИКА ИЗУЧАЕТ ВОПРОСЫ , СВЯЗАННЫЕ С

   а) ПОЛИТИКОЙ;                    б) МЕДИЦИНОЙ;                            в) ЭКОНОМИКОЙ

                                                       
23. ОСНОВНЫМ МЕТОДОМ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ЯВЛЯЕТСЯ

 а) ОТВЛЕЧЁННЫЙ МЕТОД;      б) МЕТОД ТЕХНИЧЕСКОГО КОНТРОЛЯ;      в) ВЫБОРОЧНЫЙ    МЕТОД.

24.ОБЪЁМ ВЫБОРКИ РАВЕН  

  а) 11;         б)  0;         в) -56,12.

25. ИМЕЮТСЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ:

     1 , 2 , 1 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 ,         ИХ ЗАКОДИРОВАННЫМ ВАРИАНТОМ ЯВЛЯЕТСЯ

      а)  -1; 0 ; П;                      б) 4 ; 3 ; 2 ;                              в) Lne ; -125 ; Sin 2П

26. ЕСЛИ ИМЕЕТСЯ ВЫБОРКА ТИПА    1 , -2 , -5 , 4 ,  7 ,ТО ЕЁ ВАРИАЦИОННЫМ РЯДОМ ЯВЛЯЕТСЯ  а) П ; е ; SIN 30 ;       б) 1 ;100 ; 1000 ; 10000 ;

                                                                           в) -5 ; -2 ; 1 ; 4 ; 7 ;

27. К ОСНОВНЫМ ТИПАМ ГРАФИЧЕСКИХ ИЗОБРАЖЕНИЙ ОТНОСЯТ

                                             а) ЛИНЕЙНЫЕ , СЕКТОРНЫЕ , СТОЛБЧАТЫЕ ;

                                             б) ЦВЕТНЫЕ И ЧЁРНО-БЕЛЫЕ ;

                                             в) ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ.

28. ЧИСЛО  2  ОТ ЧИСЛА  4  СОСТАВЛЯЕТ а) 0 % ;       б) 50 % ;            в) -3,5 % .

29.НОРМАЛЬНОЕ АРТЕРИАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ ВЗРОСЛОГО ЗДОРОВОГО ЧЕЛОВЕКА СОСТАВЛЯЕТ  а)  200/ 800мм. рт. ст.;         б)  0 / -56 мм. рт. ст. ;       в) 120/80  мм. рт. ст.

30. ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 250 МЛ. 5% РАСТВОРА ГЛЮКОЗЫ ИЗ 40% РАСТВОРА ГЛЮКОЗЫ НЕОБХОДИМО ВЗЯТЬ КОНЦЕНТРАТАВ КОЛИЧЕСТВЕ РАВНОМ:

 а ) 62,5 мл. ;                       б) 12 мл. ;                            в) 100000000 мл.

ВАРИАНТ №  2 (для студентов второй подгруппы)

1. ПЕРВООБРАЗНАЯ  ФУНКЦИИ – ЭТО      

     б) ФУНКЦИЯ ;              а) КРИВАЯ ;    в) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА.                                                                                                                                                                                                                                

2. ПРИРАЩЕНИЕ – ЭТО           а) ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИГУРА ;                                                    

      б) РАЗНОСТЬ ЗНАЧЕНИЙ ;        в) ВЕРОЯТНОСТЬ.

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ Y= 5X РАВНА

     а) -56 lnX ;                  б) -3;                       в) 5.

4. ПРОЦЕСС НАХОЖДЕНИЯ  ПРОИЗВОДНОЙ   НАЗЫВАЕТСЯ

      а) ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕМ;                                                                                   в) 1.

  б) ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ;      в) СУММИРОВАНИЕМ.                                                                                                                        

5. ПРОЦЕСС НАХОЖДЕНИЯ ИНТЕГРАЛА НАЗЫВАЕТСЯ

      а) АГРЕГИРОВАНИЕМ;         б ) ИНТЕГРИРОВАНИЕМ;                       в) ПОТЕНЦИРОВАНИЕМ.

  6. ПРОИЗВОДНАЯ СОНСТАНТЫ РАВНА

     а) КОНСТАНТЕ;                       б) БЕСКОНЕЧНОСТИ;                              в) НУЛЮ

  7. ПРЕДЕЛ КОНСТАНТЫ РАВЕН

       а )КОНСТАНТЕ;                         б) число е ;                                                  в) 1.

8.ПРЕДЕЛ РАЗНОСТИ РАВЕН

        а) ОСИ (ОX);                         б) БЕСКОНЕЧНОСТИ;                             в) РАЗНОСТИ ПРЕДЕЛОВ.

9.РАЗЛИЧАЮТ СОБЫТИЯ СЛЕДУЮЩИХ ВИДОВ

                                             а) СЛУЧАЙНЫЕ , ДОСТОВЕРНЫЕ , НЕВОЗМОЖНЫЕ;

                                                      б) ОПАСНЫЕ , НЕВЕРОЯТНЫЕ;

                                                      в) МАТРИЧНЫЕ , СТОЛБИКОВЫЕ.

10.В ЛОГИКЕ ОПЕРАЦИЕЙ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ ЯВЛЯЕТСЯ

      а ) ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ;           б ) ИМПЛИКАЦИЯ;                       в) ЛОГАРИФМИРОВАНИЕ.

11.СИМВОЛОМ ^ В ЛОГИКЕ ОБОЗНАЧАЮТ

       а)  ПРОИЗВОДНУЮ;           б) КОНЕЦ   ПРЕДЛОЖЕНИЯ;                       в) КОНЪЮНКЦИЮ.

12.ВЕРОЯТНОСТЬ ТОГО ,ЧТО ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ ИГРАЛЬНОЙ КОСТИ ВЫПАДЕТ«5» РАВНА    а)1/6;                 б) 0;                        в) -10.

13. ЕСЛИ В КОРЗИНЕ ЛЕЖАТ 7 БАКЛАЖАНОВ И 4 ПОМИДОРА , ТО СПОСОБОВ ВЫБОРА ЛЮБОГО ОВОЩА НАУДАЧУ а) -3;       б) 11;         в) 14012.

14.ДОСТОВЕРНОЕ СОБЫТИЕ ИМЕЕТ ВЕРОЯТНОСТЬ РАВНУЮ

    а)-14;                                      б) 10,5(33);                                в) 1.

                                                                                                                                                                                                                                             15. ВЕРОЯТНОСТЬ НЕВОЗМОЖНОГО СОБЫТИЯ РАВНА

     а) 0 ;                                  б)-1\3;                                       в) 45.

16. ПОЛИГОНОМ НАЗЫВАЕТСЯ

    а) ФУНКЦИЯ;                   б ) ЛОМАНАЯ ЛИНИЯ;             в) ТРЕУГОЛЬНИК.

17. ГИСТОГРАММОЙ НАЗЫВАЕТСЯ

   а) ЧИСЛО БОЛЬШЕЕ НУЛЯ;    б) ДИФФЕРЕНЦИАЛ;   в) СТОЛБЧАТАЯ ПЛОСКАЯ ФИГУРА.

18. СОВОКУПНОСТЬ ИССЛЕДУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ НАЗЫВАЕТСЯ

    а) ВЫБОРКОЙ ;                 б) ГРАФИКОМ;                          в) ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФИГУРОЙ.

 19.НАУКА, ИЗУЧАЮЩАЯ КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ОТНОШЕНИЯ И              ПРОСТПРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ  РЕАЛЬНОГО МИРА НАЗЫВАЕТСЯ

       а) МАТЕМАТИКОЙ;       б) ИСТОРИЕЙ;                           в) АНАТОМИЕЙ.

20.  10% О ЧИСЛА 28 СОСТАВЛЯЮТ     а) -5 ;       б) 0;     в) 2,8.

                                                                                                                                       21.ЕСЛ СМЕРТНОСТЬ ПРЕВЫШАЕТ РОЖДАЕМОСТЬ , ТО ЧИСЛЕННОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ

     а) УБЫВАЕТ;                        б) РАСТЁТ;                                  в) СТАБИЛЬНАЯ.

22. САНИТАРНАЯ СТАТИСТИКА ИЗУЧАЕТ ВОПРОСЫ, СВЯЗАННЫЕ С

       а) ПОЛИТИКОЙ;              б) МЕДИЦИНОЙ;                         в ) ЭКОНОМИКОЙ.

23.ОСНОВНЫМ МЕТОДОМ ОБРАБОТКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ ЯВЛЯЕТСЯ

       а) ОТВЛЕЧЁННЫЙ МЕТОД;         б) МЕТОД ПОДБОРА;               в) ВЫБОРОЧНЫЙ МЕТОД.

24. ОБЪЁМ  ВЫБОРКИ

 РАВЕН       а)11;             б) 325987;               в) -0,214.

25. ИМЕЮТСЯ СТАТИСТИЧЕСКИЕ ДАННЫЕ  :   1 , 2 , 4 , 1 , 3 , 1 , 2 , 3 ,4.

ИХ ЗАКОДИРОВАННЫМ ВАРИАНТОМ ЯВЛЯЕТСЯ

    а) -1 , 0 , П;                б) 3 , 2 , 2 , 1;        в)100 , Sin 5.

  26. ЕСЛИ ИМЕЕТСЯ ВЫБОРКА: 1 ; -2 ; -5 ; 4 ; 7 , ТО ЕЁ ВАРИАЦИОННЫМ РЯДОМ     ЯВЛЯЕТСЯ :            

    а)  П ; е ; Sin 30 ;          б) 11 ; -2 ; 5 ; 3 ; 18 ;          в) -5 ; -2 ; 1 ;4 ; 7.

27  . К ОСНОВНЫМ  ТИПАМ  ГРАФИЧЕСКИХ  ИЗОБРАЖЕНИЙ  ОТНОСЯТСЯ                                                                

                                                а) ЛИНЕЙНЫЫЕ , СЕКТОРНЫЕ , СТОЛБЧАТЫЕ ;

                                                б) ЦВЕТНЫЕ И ЧЁРНО-БЕЛЫЕ ;

                                                в) ОТКРЫТЫЕ И ЗАКРЫТЫЕ.

                       28. ЧИСЛО 7 ОТ  ЧИСЛА 5 СОСТАВЛЯЕТ а) 0 %;         б)  160 % ;         в) -3 ,56 %.

                       29. НОРМАЛЬНОЕ АРТАР  ИАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ ВЗРОСЛОГО ЗДОРОВОГО  

                         ЧЕЛОВЕКА СОСТАВЛЯЕТ

                         а ) 132500/ 800   мм.рт.ст.      б)  0/-5  мм. рт. ст. ;    в )  120/80  мм. рт.ст.

                       30.КОЛИЧЕСТВО 40 % ГЛЮКОЗЫ ( В МЛ.) ДЛЯ ПОЛУЧЕНИЯ 52 МЛ. 10% РАСТВОРА

                               ГЛЮКОЗЫ  РАВНО

                              а) 13 МЛ. ;                                б) -12 МЛ. ;                 в) 10 000 МЛ.