Интерактивные практические занятия по математике Сестринское дело, группы № 151, № 152

Уважаемые студенты групп № 151 и № 152, срочно вышлите на мою электронную почту итоговый тест (на 2 варианта по подгруппам). При этом, указав «Итоговый тест по математике», ФИО, № группы, подгруппы, вариант и, собственно, ответы.

Занятие №3

Тема: «Последовательности, пределы, ряды»

1. Нахождение первых n-членов числовой последовательности и задание общего члена последовательности формулой общего члена

2. Исследование числовых последовательностей на ограниченность

3. Вычисление пределов функции при  x 

4. Вычисление пределов функции при x   

5. Исследование числовых рядов с положительными членами на сходимость

4. Разложение элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия и тему. Выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1 -  №1(1), №2(1-5), №3 (1-3); студентам 2 подгруппы -  вариант №2 - №1(2), №2(6-10), №3 (4-6);  . Выслать на электронную почту преподавателя.

       Числовая последовательность - это бесконечное множество чисел.

Например, последовательность приближенных значений :

Числовая последовательность – это множество вещественных чисел типа   …,, …

в случае, если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3, …n, …(n  поставлено в соответствие вещественное число элементы (члены) последовательности - ,…

Общий элемент последовательности  обозначается символом , где число n –его  номер.

Символ {} – это сокращенное обозначения последовательности .

Сходящая последовательность – это множество точек числовой прямой, если  =a.

Расходящаяся последовательность –это последовательность , не  имеющая предела, а так же имеющая своим пределом  +

        окрестность точки a –это множество точек числовой прямой, если  .

         Это означает, что при  n все элементы последовательности } находятся в – окрестности точки a.

Пусть функция  определена на некотором промежутке Х и пусть точка или . Составим из множества Х последовательность точек: ,,…,,…, сходящихся к .Значения функции в этих точках также образуют последовательность:

 •Число A называется пределом функции  в точке, если для любой сходящейся к  последовательности значений аргумента , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу А.

Это записывают так:.

Основные теоремы о пределах функций

1.Если - постоянная величина, то .

2.Если - постоянная величина, то .

Арифметические операции над функциями, имеющими предел в точке , приводят к функциям, также имеющим предел в этой точке.

Пусть функции  имеют в точке  пределы :

                                , тогда

3.Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:

 4.Предел произведения равен произведению пределов:

5.Предел отношения равен отношению пределов, если предел знаменателя отличен от нуля:

♦Например:

Предел многочлена  равен…

Варианты ответов: а)11;  б)49;   в)0;   г)57.

                                                           Решение

Для вычисления предела многочлена при надо вместо переменной подставить значение , к которому оно стремится, и подсчитать, используя соответствующие теоретические положения.

 Числовым рядом называется выражение  вида

=

Числа  ( a1 , a2 , …, an ) называют членами числового ряда,

 а ( an) – общим членом ряда

Ряд Маклорена

Предположим, что функция, определенная и n раз дифференцируемая в окрестности точки x=0, может быть представлена в виде суммы степенного ряда или, другими словами, может быть разложена в степенной ряд

=++++…++… .

Выразим коэффициенты ряда через. Найдем n производные функции , почленно дифференцируем ряд n раз:

=+2x+3+4+…+n+…

=2x+32x+43+…+ n+…

= 3+43x+…+n+…

= n32+… .

Полагая в полученных равенствах x=0, получим

=, =, =21=2!, =32=3!,… ,

=n!, откуда

, =, , =, …, =.

Подставляя значения коэффициентов , ,  , … , , получим ряд =+x+++…++…,

называемый рядом Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций.

1) y=

Имеем ==…==;

===…===1

=1+x+++…++… .

Область сходимости ряда

2) y=.

Имеем , =, =-,=-,

=, откуда  =0; =1; =0; =-1,

=0 и т.д.

Очевидно, что производные четного порядка =0, а нечетного порядка =, i=1, 2, …

=x-++…++…

Область сходимости ряда

3) y=.

Рассматривая аналогично, получим

=1-+-…++… .

Область сходимости ряда

4) y=, где m- любое действительное число.

Имеем =,  =m, =m,

 =m,..., = m

.

При x=0 =1 , =m, =m, =m,… ,

= m…. По формуле (14.6).

=mx +++…++… (*)

Интервал сходимости ряда (на концах интервала при x1 сходимость ряда зависит от конкретных значений m) .

Ряд (*) называется биномиальным. Если m- целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n=m+1 m-n+1=0, n-й член ряда и все последующие равны нулю , т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

5) y=1n.

Получить разложение для этой функции можно проще, не вычисляя непосредственно коэффициенты ряда (14.6) с помощью производных.

Рассмотрим геометрический ряд

=1-x+-+…++…

Со знаменателем q=-x, который сходится при , т.е. при -1x1, к функции  ==.

Интегрируя почленно равенство (14.12) в интервале (0; x), где  , с учетом того  что =ln=ln (1+x), получим 

ln (1+x) =x-+--…++… .      

Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;.

1. Числовые последовательности

ПРИМЕР 1.1.

№1.1. Дана формула общего члена последовательности  = . Написать пять первых членов этой последовательности.

Решение.

Полагая последовательно n = 1,2,3,4,5 в общем элементе , получаем  

=1/2; = 2/3; = ¾; = 4/5;  = 5/6.

ПРИМЕР №1.2. Написать пять первых членов  каждой из последовательностей, заданных формулой их общих членов:

1)  =        2) =      3) =      4) = 

Решение.

1) при n=1 имеем  =  = 1/3;  при n=2 имеем  =  =1/5;

    при n= 3 имеем  =  =1/7;  при n=4  имеем  =  =1/9;

    при n=5 имеем  =  =1/11;

ПРИМЕР 1.3.

Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего члена последовательности:

1) 1; ; ;; . . .    Ответ:  = ;

2) 1; ;  ;  ;  ; . . .    Ответ: =    .

ПРИМЕР 1.4.

Написать пять первых элементов и формулу общего члена элемента каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными соотношениями:

1)  =1,                       2)   =1,

Решение.

 =  = 1  =1;    =      =  1   =1;    имеем   =1   =1.

 = 1+3=5;  = 5+3= 8;  8+3=11;  = 11+3=14.

Исследовать на ограниченность последовательности:

1) 1, 2,3, 4, . . ., n, . . .;                                   2) -1, -2, -3,  . . . , -n, . . .;  

3) 1, ½, 1/3,  …, 1/n, ….;                               4) -1, 2, -3,  4, -5, . . . , n, . . .;  

Решение.

1) эта последовательность ограничена снизу ( m=1), но не ограничена сверху;

2) эта последовательность ограничена   сверху (M =-1), но не ограничена снизу;

3) эта последовательность ограничена  и снизу и сверху, так как 0   1 и m=0, M =1;

4) эта последовательность  неограниченная, так как для любого числа А  существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству типа | | A ( то есть либо A, либо A)

2. Предел функции одной переменной

2.1. Вычисление пределов функции при  x

2.2. Вычисление пределов функции при x

 ПРИМЕР 2.1. Найти

Решение.  Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:

 ПРИМЕР 2.2. Найти

Решение Заменяя переменную х её предельным значением, найдем:

Определение Функция f(x) называется бесконечно малой при , если

Функция f(x) может принимать бесконечно малое значение, если при , её числитель будет приближаться к нулю, или знаменатель стремиться к бесконечности.

ПРИМЕР 2.3. Найти

Решение 

ПРИМЕР 2.4. Найти

Решение 

Иногда встречаются ситуации, когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю. В этом случае говорят, что имеет место неопределенность вида. Для нахождения таких пределов необходимо числитель и знаменатель разложить на множители.

ПРИМЕР 2.5. Найти

Решение. При подстановке х= -2, получаем:

Для раскрытия этой неопределенности разложим на множители числитель дроби:

Если при вычислении пределов возникает неопределенность вида , то в этом случае числитель и знаменатель необходимо разделить на х с наибольшим показателем степени.

ПРИМЕР 2.6. Найти

Решение. При подстановке х = 2 получаем:

Разделим числитель и знаменатель на х2:

3. Исследование числовых рядов с положительными членами  на сходимость.

ПРИМЕР 3.1.

а) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , который расходится.

Имеем:    следовательно, исходный ряд расходится

б) Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак сравнения

1+ + … + … =  

Решение.

Сравним данный ряд с гармоническим рядом , имеем:  

Следовательно, данный ряд расходится.

ПРИМЕР 3.2.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Даламбера

+ + … + … =

Решение

 =  =   = ,    

Следовательно, данный ряд сходится.

ПРИМЕР 3.3.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя признак Коши.

 =

Решение

 =  =  =   1

  Следовательно, данный ряд сходится.

ПРИМЕР 3.4.

Исследовать числовую последовательность на сходимость, используя   интегральный признак

  = 1+  - гармонический ряд

Решение.

Рассмотрим функцию f(x) = , x которая

 а) непрерывна,     б) монотонно убывает и f(n) = 

Следовательно, условия интегрального признака выполнены.

Имеем:

Следовательно, несобственный интеграл  расходится.

Следовательно, расходится  гармонический числовой ряд  

ПРИМЕР 3.5.

Показать, что ряд     сходится.

Решение     Составим частичную сумму  первых  n членов ряда

=  

  =  +, отсюда   =

 в числителях обоих частей равенства, получаем A +B = 0, A =1, откуда A=1, B= -1, поэтому   =  - .

 принимают вид:

 = 1 - ;        = ;   = ;   . . . ;     = - .

Поэтому  =  (1 - ) + () + () + . . . + ( - ).

Приводя подобные члены, получаем  = 1 - .

Переходя к пределу, находим

 =  = 1-  =1-0 =1/

Таким образом, ряд сходится к числу 1.

ПРИМЕР  3.6.

Докажите, что гармонический ряд   расходится.

Решение.

Так, как   = =0, то для гармонического ряда необходимое условие сходимости выполнено.

Докажем, что этот ряд расходится: действительно, если бы этот ряд сходился, то ( обозначив его сумму через S ) мы бы имели

 = 

Но
   =  n =, то есть

Из чего следует, что равенство  невозможно, то есть гармонический ряд расходится.

Таким образом, условие является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда.

4. Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена.

1. Формула Тейлора:

f(x) =  f(x0) +  +  . . . +  +

где f(x) - (x) – остаточный член формулы Тейлора

2. Формула Маклорена:

f(x) =  f(0) +  +  . . . +  + ,

где t-промежуточная точка между 0 и x , причём  (t и x) –одного знака и

| t|

ПРИМЕР 4.1.

Разложить функцию  y=  ex  в ряд Маклорена

Решение           1) f/ (x) = ex, f// (x) = . . . = f(n) (x) = ex, …

                            2) f(0) =f/ (0) = f// (0) = . . . = f(n) (0) == e0 =1, …

3) ex + + … +  + …;      R =  = =

=

Следовательно, ряд сходится в интервале (- +)

4) Для всех (x) таких, что  x имеем | | = ex  = M,

То есть все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М =,

следовательно,(x) = 0 и

ex + + … +  + …      - разложение функции  y= ex в ряд Маклорена.

ПРИМЕР 4.2.

Разложить функцию  y=sinx    в ряд Маклорена

Решение 1) f/ (x) = cosx, f// (x) = -sinx , f// /(x) = -cosx,   f(n) (x) = sin (x + n), …

2) f(0) = sin0 = 0, f/ (0) =cos0 = 1,  f// (0) = - sin 0 = 0, f(n) (0) = , …

3)  sinx 

  Легко проверить, что полученный числовой ряд сходится на всей числовой оси, то есть при всех x

4) Любая производная функции y=sinx по модулю не превосходит единицы,

| | = | sin(x + n)|.

Следовательно, имеет место разложение типа sinx =  

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Маклорена функцию

1)  y= cosx          2) y=lnx          

2. Вычислить пределы функций

1);   2);   3);

4);   5);   6);   7);

8);   9);   10);

 3. Используя разложение функций  на множители, найти пределы

1);   2);   3);   4);

5);   6).

Законспектируйте в тетради ответы на контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение  ограниченной числовой последовательности.
2. Сформулируйте определения убывающей и невозрастающей последовательностей.
3. Какая последовательность называется постоянной?
4. В чём суть рекуррентного способа задания последовательности?

5.   Сформулируйте определение и сделать запись предела числовой последовательности.

6. Какие виды числовых последовательностей вы знаете?

Уважаемые студенты групп № 151 и № 152, срочно вышлите на мою электронную почту итоговый тест (на 2 варианта по подгруппам). При этом, указав «Итоговый тест по математике», ФИО, № группы, подгруппы, вариант и, собственно, ответы.

Практическое занятие №4

Тема: «Элементы комбинаторики, теорий множеств и графов»

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант;  выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

I Теория множеств

Определение. Множеством называют совокупность объектов, объединенных по определенному признаку.

О множестве известно, что оно состоит из элементов.

Способы задания множеств:

• Перечислением всех объектов, входящих в множество. Таким способом можно задать лишь конечные множества. Обозначение – список в фигурных скобках. Например, множество натуральных чисел, делителей числа 6: N = {1, 2, 3, 6}.
• Описанием характеристических свойств, которыми обладают все элементы множества. Обозначаются: N = {x│ P(x)} или N = {x: P(x)}.

Операции над множествами

Для наглядного представления операций над множествами применяют своего рода диаграммы. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов Эйлера, представляющих множества.

Вместо кругов Эйлера  определенные множества изображают любые другие замкнутые фигуры, и такую иллюстрацию называют диаграммами Венна.

Для рассуждений, связанных с множествами, будем использовать язык диаграмм Эйлера-Венна.

Область, представляющую то подмножество, которое нас интересует, отметим штрихами. На рисунке 1 первая диаграмма соответствует универсальному множеству U, вторая – его пустому подмножеству, третья – произвольному подмножеству A.

Рис. 1

ОПР. Объединением множества A1 и A2 называют множество B, состоящее их всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств A1, A2  (рис. 2). Тот факт, что B есть объединение A1 и A2, записывается: B = A1    A2, B = {x│ x  A1 или x A2}.

На рисунке 2 вся заштрихованная область представляет собой множество B.

ОПР. Пересечением множеств A1 и A2 называется множество B, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат и множеству A1, и множеству A2 одновременно (рис. 3).
То, что B есть пересечение A1 и A2, записывают так: B = A1  A2, B = {x│ x  A1 и x A2}.

ОПР. Разностью множеств A1 и A2 называют множество B, состоящее только из тех элементов множества A1 , которые не содержаться в A2 (рис. 4).

Разность множеств обозначается: B = A1\A2, B = {x│ x  A1,  x   A2}.

Разность - операция строго некоммутативная. В общем случае A1\A2  ≠ A2\A1.

Пусть U - универсальное множество такое, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

ОПР. Дополнением (до U) множества A называется множество A-  всех элементов, не принадлежит A, но принадлежит универсальному множеству U (рис. 5).

A- = U\A.

Свойства операций над множествами

1. Закон идемпотентности для объединения и пересечения множеств:

2. Закон коммутативности:

3. Закон ассоциативности:

4. Законы дистрибутивности:

5. Законы поглощения:

  6. Законы, описывающие свойства пустого и универсального множеств по отношению к объединению и пересечению:

7. Законы дополнения:  

8. Закон инволютивности дополнения:

9. Закон Де Моргана:  .

II  Элементы теории графов

Определение. Графом G называется совокупность двух множеств: вершин V и ребер E, между элементами которых определено отношение инцидентности – каждое ребро e E инцидентно ровно двум вершинам u и v, которые оно соединяет. Вершины u и v называют смежными, а о вершине u и ребре e говорят, что они инцидентны, так же как и v и e.

Определение. Если два ребра инцидентны одной и той же вершине, то они называются смежными.

Определение. Граф называется правильным, если его ребра не имеют общих точек, отличных от вершин графа.

ОПР. Правильно реализованные на плоскости графы называются плоскими. Граф G2 на рис.10 является плоским. Примером неплоского графа может служить граф G1 + G2  на рис. 19.

Чтобы реализовать неплоские графы в пространстве в микроэлектронике пришлось создать технологию многослойных печатных плат.

ОПР. Ребра, соединяющие  вершины сами с собой, называются петлями. На рисунке 11б петли обозначены e1, e2, e3.

ОПР. Ребра, инцидентные одной и той же паре вершин, называются параллельными, или кратными (m, p на рис. 11а  и  x, y, z – параллельны).

ОПР. Ребро, соединяющее две вершины, может иметь направление от одной вершины к другой, оно называется направленным, или ориентированным. На рисунке 12 представлены примеры графов с тремя вершинами и тремя дугами.

ОПР. Граф называется полным, если каждая пара вершин соединена ребром и граф не содержит петель и кратных ребер.

ОПР. Дополнением графа G называется граф , имеющий те же вершины, что и граф G, и содержащий только те ребра, которые надо добавить к графу G, чтобы получить полный граф.

ОПР. Подграфом графа G называется граф, у которого все вершины и ребра принадлежат G. На рисунке 13а изображен граф, а на рис. 13б – два его под графа.

ОПР. Графы G1 и  G2 называются равными (G1 = G2), если множества их вершин и ребер (выраженных через пары инцидентных им вершин) совпадают: V1 = V2  и  E1 = E2 (рис. 10).

ОПР. Графы, отличающиеся только нумерацией вершин, называются изоморфными. Изоморфизм есть отношение эквивалентности на графах, т.е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В математике понятие «изоморфизм» означает похожесть однотипных объектов. Запись G1 ? G2  означает, что графы G1 и  G2 – изоморфны. Изоморфные графы изображены на рис. 14.

ОПР. Локальной степенью ⍴(V) (или просто степенью) вершины графа G называют количество ребер, инцидентных вершине V.

Поскольку каждое ребро инцидентно двум вершинам, в сумму степеней вершин графа каждое ребро вносит двойку. Таким образом, мы приходим к утверждению, которое установлено Эйлером и является исторически первой теоремой теории графов.

ОПР. Сумма степеней вершин графа G равна удвоенному числу его ребер:  

В любом графе число вершин с нечетными степенями четно.

Для вершин орграфа (графа с ориентированными ребрами) определяются две локальные степени:

1.  ⍴1(V) – число ребер с началом в вершине V, или количество выходящих из вершины V ребер; 
2. ⍴2(V) – количество входящих в V ребер, для которых эта вершина является концом.

Петля дает вклад 1 в обе эти степени.

В орграфе суммы степеней всех вершин ⍴1(V) и ⍴2(V) равны количеству ребер m этого графа, а значит и равны между собой:

ОПР. Вершина графа называется изолированной, если ее локальная степень равна нулю: ⍴(V) = 0.

ОПР. Концевой называют вершину, локальная степень которой равна 1: ⍴(V) = 1.

ОПР. Графы, у которых все вершины имеют одинаковую степень, называются регулярными, или однородными.

Операции над графами

В ряде случаев удобно представить структуру  рассматриваемого графа с помощью графов меньшего размера и более простой структуры.

Пусть графы G1 и G2 имеют непересекающиеся множества вершин V1, V2  и непересекающиеся множества ребер E1 и  E2.

ОПР. Объединением графов G1  G2 называют граф, множеством вершин которого являются V =  V1  V2 , а множеством ребер – E =  E1  E2 (рис. 18).

Соединение графов G1 + G2 состоит из G1  G2  и всех ребер, соединяющих V1 и V2  (рис. 19).

Произведением графов G1 × G2 называется граф, вершины которого u = (u1, u2)   и        v = (v1, v2) смежны тогда и только тогда, когда [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины] или [u2 = v2 и u1, v1  - смежные вершины] (рис. 20).

Композицией G  = G1[G2] называют такой граф G, вершина которого u = (u1, u2) смежна с v = (v1, v2) тогда и только тогда, когда [u1  = v1 – смежные вершины]    или     [u1  = v1 и u2, v2 – смежные вершины].

Композиции графов G1 и G2 представлены на рис. 21.

III  Элементы комбинаторики

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ КОМБИНАТОРИКИ

1. РАЗМЕЩЕНИЯ

а) без повторений:  обозначение    Amn =mn;

                                                                           m!

б) с повторениями:  обозначение =  ( m - n)!

2. ПЕРЕСТАНОВКИ

а) без повторений:  обозначение         Pn=n!

б) с повторениями:  обозначение  P( k1, k2, k3 ,…,kn)   =    

     где к = к1+к2+к3+…+ кn;

3. СОЧЕТАНИЯ

              а)  без повторений:  обозначение    

б) с повторениями:  обозначение    =

4. БИНОМ НЬЮТОНА

Бином – иначе двучлен.

В школьной математике рассматривают степени бинома:

• При n = 0   ( a + b)0 =1,

• При n = 1  ( a + b)1 = a + b,
• При n = 2  (a + b )2 = a2+ 2ab +  b2,
• При n = 3  (a + b )3 = a3+ 3a2b + 3ab2 +  b3,

Если выписать все коэффициенты, то получим « Треугольник Паскаля»:

                                            1                                                                      

                                        1      1

                                   1       2      1

                              1       3       3      1

                        1       4         6       4     1

Любой коэффициент можно рассчитать также по формуле cочетаний  без повторений       

      Замечание:        n! – « эн факториал»;

Расчётная формула:    n!= 1  2  3   4   5  …   n.

0! = 1;                     4! =  12 3;

1! = 1;                     5! = 12 35 = 120 ;       и т. д.

2! =1  2 =2;

3! = 12 3 =6;

 ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ КОМБИНАТОРИКИ

1.  ЗАКОН СУММЫ

а) для непересекающихся множеств:

Теорема: Количество элементов в непересекающихся множествах     равно сумме количеств элементов этих множеств.

Запись:  n ( A   B) = n (A) + n (B).

б) для пересекающихся множеств:  

Теорема:  Количество элементов в пересекающихся множествах     равно сумме количеств элементов этих множеств  без количества элементов в их пересечении.

Запись:  n ( A   B) = n (A) + n (B) – n ( A  B).

Например, если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши , то выбрать один плод можно 7 + 4 = 11 способами, т.к.

А – множество яблок, n (A)= 7,

  B – множество груш ,   n (B)= 4,

А и В – непересекающиеся множества, поэтому:  n ( A   B) = n (A) + n (B) = 7 + 4 = 11

2. ЗАКОН ПРОИЗВЕДЕНИЯ.

Теорема:  Если множества  А  и  Б  конечны, то количество элементов в их Декартовом произведении равно произведению количеств элементов этих множеств.

Запись:  n (А В ) = n( A)  n (B).

Решение задач

1. Элементы теории множеств.

ПРИМЕР 1.1.

Прочесть выражения:

а) ( A) C        

б) F / ( G)        

в) ( H / X) 

г)  M )  ( B)

Решение

а) Объединение результата пересечения множеств А и В с множеством С.       

б) Разность множества  F  с результатом симметрической разности G и S.      

в) Симметрическая разность  результата разности множеств  H  и X и результата симметрической разности А и В.

г)Пересечение результата объединения дополнения  А до N и М с результатом пересечения множеств В и К.

ПРИМЕР 1.2.

По формуле построить диаграмму

а) ( A) C                               в) F / ( G)        

б) ( A) C                               г)   M

Решение.

а)                                                                                      б)  

 в)                                                                                     г)

ПРИМЕР 1.3.

По диаграмме составить  формулу

а)   б)  в) 

  ПРИМЕР 1.4.

Задать различными способами множество N всех натуральных чисел: 1,2,3,  . . .

Решение

Пересечением множество N задать нельзя, т. к. оно бесконечно.

Множество можно задать описанием характеристического свойства элементов множества:

N =  {x| x- целое положительное число}.

ПРИМЕР 1.5.

Оценить корректность определения множества А: А = { 1,2,3,3,4}

Решение

При перечислении элементов множества не следует указывать один и тот же элемент несколько раз.

Корректное определение: А = {1,2,3,4}

ПРИМЕР 1.6.

Пусть  X -множество студентов первого курса отделения « Лечебное дело», учащихся на «отлично» и «хорошо», а Y - множество студентов первого курса отделения « Сестринское дело», учащихся аналогично. Определить множество типа  

Решение

 - это множество студентов двух отделений, успевающих на «хорошо» и «отлично».

ПРИМЕР 1.7.

Дано: А1 = { a,b,c} ; A2 = {c,d,e,f}; U = { a,b,c,d,e,f }

Выполнить операции типа:;        б)  ;      в)    ;      г)    

Решение

 = { a,b,c,d,e,f } = U;

б)  = {c};

 в)     = { a,b} ; 

   г)     = { d,e,f }

2.Элементы теории графов

ПРИМЕР 2.1.

Задать граф, представленный на рисунке через множество вершин V

и рёбер E

Решение.

Множество поименованных вершин V =  {v1, v2, v3,v4 , v5, v6}

Множество поименованных рёбер E {e1, e2, e3, e4 ,e5}

Для задания графа требуется установить отношение инцидентности рёбер соответствующим вершинам.

Множество рёбер, каждое из которых представлено парой своих концевых вершин:

E = { (v1;v4), (v4; v3), (v3; v5), (v5; v2), (v2; v6)}.

Порядок указания вершин при описании ребра здесь безразличен, т. к. все рёбра в графе неориентированные.

ПРИМЕР 2.2.

Определить степени вершин графов, изображённых на рисунках.

Решение

Степени вершин неориентированного графа G1 таковы:

Сумма степеней всех вершин графа G1 равна 12, то есть вдвое больше числа рёбер

Степени вершин неориентированного графа G2 таковы:

 определяет количество выходящих  из вершины рёбер:

 определяет количество входящих в вершину рёбер:

Суммы степеней вершин первого и второго типов ориентированного графа G2 совпадают и равны числу рёбер графа: =  = m =6

ПРИМЕР 2.3.

Дано: G(V,E)- ориентированный,

n(V)=4, n(E)=4,одна из вершин- « висячая», одно из рёбер- петля.

Решение:

                        V1                                                               v4

                                     V2                                  v3

3. Решение задач на применение основных законов комбинаторики

 ПРИМЕР 3.1.

Если на блюде лежат 7 яблок и 4 груши, то сколькими способами наугад можно выбрать 1 фрукт?

Решение.

Пусть A – множество яблок, где n(A) = 7

 а B - множество груш, где n(B) = 4

По условию задачи эти множества непустые и дизъюнктные, следовательно, согласно закону суммы для дизъюнктных множеств, имеем:

n ( A B) = n(A) + n(B) = 7 + 4 = 11

Ответ: 11 различными способами можно выбрать 1 фрукт.

ПРИМЕР 3.2.

В  учебной группе  42 студента. Из них 16 посещают секцию по лёгкой атлетике, 24- играют в футбол, 15- ходят на шахматы, 11 человек-  заняты и  лёгкой атлетикой и футболом, 8 человек – заняты и шахматами и  лёгкой атлетикой 12 человек – футбол и шахматы, 6 человек посещают и лёгкую атлетику, и футбол, и шахматы. Остальные увлекаются туризмом.  Сколько студентов являются туристами?

Решение.

U –множество всех студентов группы, n( U) = 42,

A –множество студентов, увлекающихся лёгкой атлетикой, n(A) =16,

B- множество студентов, увлекающихся футболом, n( B) =24,

C- множество студентов, играющих в шахматы, n(C) = 15.

Кроме того, по условию задачи имеем:

n ( A B) = 11, n ( A C) =8, n ( B C) = 12, n ( B C)= 6.

Пусть X –множество туристов.

Требуется найти n( X)

По условию задачи имеем: U = A B C X, причём X  =

Тогда  n (A B C ) = n(A)+ n( B)+ n(C)- n ( A B)- n ( A C)- n ( B C)+ n ( B C)

Имеем: n (A B C ) =16+24+15-11-8-12+6 = 30

n( X) = n( U) - n (A B C ) = 42-30 = 12

Ответ: туризмом увлекаются 12 студентов.

ПРИМЕР 3.3.

Сколько автомобильных номеров, состоящих из 1 буквы, за которой следуют 3 цифры и ещё 2 буквы можно составить, используя 32 буквы и 10 цифр?

 Решение.

 Пусть А – множество букв, где n(A)= 32, В – множество цифр, где n( B)= 10,

 где множества А и В непустые и конечные, тогда

каждый номер требуемого вида – кортеж из Декартова произведения вида:

А.

Требуется определить количество номеров, т.е. найти

n (А )

Используя закон произведения для конечных непустых множеств, имеем:

n (А ) = n( A) *n( B)* n( B) *n( B)* n( A)* n( A)= 32*10*10*10*32*32 = =323 *1000

Ответ: искомое количество автомобильных номеров 323 *1000

Решение задач на применение основных формул комбинаторики.

ПРИМЕР 3.4. Сколько имеется вариантов расстановки 5 книг на одной полке?

Решение. Искомое число вариантов равно:

При нахождении факториалов следует помнить, что

Иногда задача заключается в упорядочении не всех п объектов, а лишь некоторой последовательности из А объектов. Такие упорядоченные последовательности называются размещениями из п элементов по к элементов.

Определение. Размещениями из п элементов по к в каждом называются такие последовательности, каждое из которых содержит к элементов, взятых из числа данных п элементов, и которые отличаются друг от друга либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из п элементов по k обозначается  (читается «А из п по k») и вычисляется по формуле:

ПРИМЕР 3.5. В конкурсе медсестер участвуют 12 человек. Имеется три призовых места (1, 2, 3 место). Сколько имеется вариантов распределения трех призовых мест.

Решение. В данной задаче имеют значение и выбор трех участников конкурса, и распределение мест среди них. Следовательно, необходимо найти размещение из 12 элементов по 3.

Иногда возникает необходимость не учитывать порядок следования элементов в размещении. Такие последовательности называются сочетанием.

Определение. Сочетанием из п элементов по к называются любые последовательности из к элементов, входящих в число данных п элементов, и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из п элементов по k обозначается  (читается «С из п по k») и вычисляется по формуле:

ПРИМЕР 3.6. В клетке содержится 10 мышей. Необходимо отобрать 4 мыши для проведения эксперимента. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Так как порядок выбранных мышей не имеет значения, то используем формулу для нахождения сочетаний из 10 по 4:

ПРИМЕР 3.7.

Сколько пятизначных номеров можно составить из 9 цифр : 1,2,3,4,5,6,7,8,9.?

Решение.

Такие номера являются кортежами длины 5, составленными из элементов множества

X = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9}/ Тогда их количество определим по формуле размещений с повторениями типа: =    имеем: = = 6561

ПРИМЕР 3.8.

Cколько слов можно получить, переставляя буквы в слове « МАТЕМАТИКА»?

Решение.

Слово « Математика» является кортежем длины 10, имеющим состав ( 2, 3, 2, 1, 1,1), т.к. буква « М» входит в слово  2 раза; буква « А» входит в слово  3 раза; буква « Т» входит в слово  2 раза; буква « Е» входит в слово  1 раз; буква « И» входит в слово  1 раз;

буква « К» входит в слово  1 раз.

Воспользуемся формулой перестановок с повторениями типа:

  =,  где k =

Имеем:  = =    =151200 « слов»

ПРИМЕР 3.9.

Сколько наборов из  7 пирожных можно составить, если в продаже имеются 4 сорта пирожных?

Решение.

 Воспользуемся формулой для вычисления количества сочетаний с повторениями типа:

=

Имеем: =  ==   =   = 120

Ответ: 120 наборов пирожных.

ПРОВЕРОЧНАЯ РАБОТА

Вариант №1

1. Изобразить неориентированный граф G(V,E)  по начальным условиям: n( V)= 4, n(E)=6, причём, одно из рёбер-петля.

2.В почтовом отделении продают открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить 12 открыток? 8 открыток? Сколькими способами можно купить 8 различных открыток?

3. Пусть A = {1,3}, B = {2,3,4}, C = {2,4}, U = {1,2,3,4}

Найти: а) ( A) ;      б) ( A) C

Вариант №2

1. Изобразить ориентированный граф G(V,E)  по начальным условиям: n( V)= 3, n(E)=3, причём, одна из вершин « висячая».                                                                                        

2.Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове «метаморфоза»?

3. Пусть A = {1,3}, B = {2,3,4}, C = {2,4}, U = {1,2,3,4}

Найти: а) (В\С) ;        б) (С)   

Домашнее задание

1. Прочесть выражения. По формуле построить диаграмму

а)  ( A) C:         б) ( H / X);      в) )  M

2. Вычислить а) ;    б);     в) ;     в) ;    г) ;     д)

3. По формуле бинома Ньютона разложить в многочлен   а) ; б)

4. Изобразить

а) неориентированный граф с 4 вершинами, одна из которых является петлёй ,и 6 рёбрами;

б) ориентированный граф с 5 вершинами, одна из которых является висячей, и 5 рёбрами.

Уважаемые студенты групп № 151 и № 152, срочно вышлите на мою электронную почту итоговый тест (на 2 варианта по подгруппам). При этом, указав «Итоговый тест по математике», ФИО, № группы, подгруппы, вариант и, собственно, ответы.

Практическое занятие №5

 Тема: «Элементы теории вероятностей и математической статистики»

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант;  выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Введение.

Сегодня мы рассмотрим основные элементы теории вероятностей. Освоим  расчёт вероятностей случайных событий; алгоритм решения задач на применение законов суммы и произведения.

Будут также рассмотрены элементы математической статистики такие, как: статистическое распределение выборки, полигоны, гистограммы.

   Справка

I Элементы теории вероятностей

Определение: Теория вероятностей-это наука , изучающая закономерности однородных случайных событий.

Определение:  События – это действия, которые могут произойти или не произойти при определённой совокупности условий.

Различают события:

 а) достоверные;                       б) невозможные;                    в) случайные. 

Определение: Вероятностью   P(A) события А называется отношение числа( m) элементарных событий, благоприятствующих событию А, к общему числу (n) равновозможных элементарных событий.

P(A)= m /n

Свойства вероятностей событий:

1.Если А-случайное событие, то 0 <= P(A)<=1 ,

2.Если А – достоверное высказывание, то P(A)=1.

3.Если А – невозможное высказывание, то P(A)=0.

Операции над событиями

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них в результате испытания:

 А+В – наступит или событие А, или событие В.

Например, в урне находятся  белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие В+С означает: вынут или красный или синий шар.

Произведением нескольких событий  называется событие, состоящее в  совместном наступлении всех событий в результате испытания:

А*В – наступят и событие А, и событие В.

Например, в урне находятся  белые, красные и синие шары. Возможны следующие события: А- вынут белый шар; В- вынут красный шар; С-вынут синий шар. Событие В*С означает: вынуты одновременно  и красный и синий шары.

Например, А-из колоды карт наугад вынута карта пиковой масти, С-из колоды карт наугад вынут валет. Тогда, событие А*С -  из колоды карт наугад вынут валет пик.

Разностью двух событий называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

(А-В)- А без В.

Например, при бросании игрального кубика событие А- выпадение чётных чисел типа ( 2,4,6), событие В- выпадение чисел, кратных 3, то есть  ( 3,6).Тогда событие

(А-В)- появление чисел 2,4;                                 ( В-А)- появление числа 3.

ТЕОРЕМЫ     СЛОЖЕНИЯ     ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение  :Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого.

Определение  :Два события называются совместными, если появление одного из них  не исключает появление другого

ТЕОРЕМА № 1: Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

Р ( А + В)=Р (А) + Р ( В).

ТЕОРЕМА № 2: Вероятность суммы двух совместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Р ( А + В)=Р (А) + Р ( В)- Р (А * В).

ТЕОРЕМЫ             УМНОЖЕНИЯ     ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Определение  :События А и В называют независимыми друг от друга , если вероятность наступления одного из них не зависит от того ,наступит другое событие или нет / и наоборот /.

ТЕОРЕМА № 3: Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий, т.е. Р ( А * В)=Р (А) * Р ( В).

Определение  :События А и В называют зависимыми друг от друга , если вероятность наступления одного из них  зависит от  того, наступит другое событие или нет /и наоборот / .

ТЕОРЕМА № 4: Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из этих событий этих событий на условную вероятность, т.е.  

                                       Р ( А * В)=Р (А) * Р ( В\А)        или

                                       Р ( А * В)=Р (В) * Р ( А\В)

  Р ( В\А) и Р ( А\В) – условные вероятности, где                                      

  Р ( В\А) – вероятность того, что событие В наступит при условии того , что событие А уже наступило.  

 Р ( А\В) -  вероятность того, что событие А наступит при условии того , что событие В уже наступило.  

II Элементы математической статистики

Определение.  Математическая  статистика-это раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений случайных массовых явлений, с целью выявления существующих закономерностей.

Т.О.

• В центре внимания математической статистики- массовые явления.
• Единственный способ получения информации- проведение эксперимента.
• Все характеристики случайных процессов и явлений получаются по экспериментальным данным.
• Определение. Наблюдаемые значения рассматриваемого признака  X называют вариантами ( обозначение :,,…).
• Определение. Последовательность вариант в порядке возрастания(убывания) называется вариационным рядом.

Определение. Объем выборки - это сумма частот вариант, то есть

 N=,-частота варианты , где значение признака Х наблюдалось раз,

значение x2 признака Х наблюдалось n2 раз и т.д.

Определение. Числа  называются частотами  вариант .

Определение.  Относительная частота варианты  это отношение частоты варианты к объёму выборки.

          где …,

Определение.  Статистическими распределениями выборки называется таблица, вида

Замечание. Зашифровать статистические данные – это значит построить статистическое распределение выборки, т.е.  таблицу указанного вида.

• Геометрическая интерпретация статистического распределения выборки.

Определение. Полигоны – ломанные в первой четверти системы координат, соединяющие точки с координатами:

•  для полигона частот                                                        
•  Для полигона относительных частот                              ( xi ,w i)

• Определение. Гистограммы-столбчатые фигуры в системе координат ( в первой четверти), состоящие из тесно примыкающих друг к другу прямоугольников, разных высот.            

• для гистограмма частот  ( высоты соответствуют частотам    
• для гистограмма относительных частот ( высоты соответствуют относительным частотам

Зам: Варианты задаются интервалами: конец предыдущего является началом последующего.

Решение задач.

1. Расчёт вероятностей случайных событий по определению

ПРИМЕР 1.1. Найти вероятность выпадения числа, кратного 3, при одном бросании игрального кубика.

Решение. Событие А — выпадение числа, кратного 3. Этому событию благоприятствуют два исхода: числа 3 и 6, т.е. т = 2. Общее число исходов состоит в выпадении чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, т.е. п = 6. Очевидно, что эти события равно-возможны и образуют полную группу. Тогда искомая вероятность, по определению, равна отношению числа благоприятствующих исходов к числу всех исходов:

ПРИМЕР 1.2. В урне 10 белых, 5 красных и 5 зеленых шаров. Найти вероятность того, что вынутый наугад шар будет цветным (не белым).

Решение. Число исходов, благоприятствующих событию А, равно сумме красных и зеленых шаров: т = 10. Общее число равновозможных несовместных исходов равно общему числу шаров в урне: п = 20. Тогда:

2. Решение задач теории вероятностей  на применение законов суммы и произведения.

ПРИМЕР 2.1. Найти вероятность выпадения цифры 2 или 3 при бросании игральной кости.

Решение. Событие А — выпадение цифры 2, вероятность этого события . Событие В — выпадение цифры 3, вероятность этого события . События несовместные, поэтому

В том случае, если события А и В являются совместными, справедлива следующая теорема.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления, т.е.

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А х В).

ПРИМЕР 2.2. Вероятность попадания в мишень одного стрелка равна 0,65, а второго — 0,6. Определить вероятность поражения мишени при одновременных выстрелах двух стрелков.

Решение. Так как при стрельбе возможно попадание в мишень двумя стрелками, то эти события совместные. Следовательно:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А *В) = 0,65+0,6 - 0,39 =0,86.

ПРИМЕР 2.3. В урне находятся 10 шаров: 3 белых и 7 черных. Первым был вынут черный шар, найти вероятность того, что второй шар будет черным.

Решение. Вероятность появления черного шара первый раз (событие В) равна Р(В) = 3/10; а вероятность появления его второй раз (событие А), при условии, что событие В произошло, равна Р(А/В) = 2/9, так как в урне осталось 9 шаров, из них 2 черных.

Рассмотрим закон умножения вероятностей для независимых событий.

Произведением двух событий А и В называют событие С = А х В, состоящее в совместном осуществлении этих событий.

Теорема. Вероятность произведения 2 независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Этот закон справедлив и для п независимых событий:

ПРИМЕР 2.4. В билете 3 раздела. Из 40 вопросов первого раздела студент знает 30 вопросов, из 30 вопросов второго — 15, из 30 вопросов третьего — 10. Определить вероятность правильного ответа студента по билету.

Решение. Учитывая, что ответ на каждые разделы есть независимые события A1 А2, и А3, а их вероятности соответственно равны:

Тогда вероятность правильного ответа на билет Р(В) можно найти по формуле

ПРИМЕР 2.5. В группе из 20 человек 5 студентов не подготовили задание. Какова вероятность того, что два первых студента, вызванные наугад, будут не готовы к ответу.

Решение. Вероятность того, что первый студент не готов к ответу, Р(А) = 5/2о; вероятность того, что и второй студент также не подготовлен, как и первый, Р(В/А)=4/19. Тогда для ответа на вопрос воспользуемся формулой:

ПРИМЕР 2.6. На аптечный склад поступили лекарственные средства от трех фирм-производителей. Первый производитель поставил 200 ампул, второй — 200 и третий — 400. Известно, что процент бракованной продукции составит: у первого поставщика 2%, у второго — 3%, у третьего — 1%.

Для контроля была взята 1 ампула. Какова вероятность, что она окажется бракованной?

Решение. Пусть событие А — взятая ампула оказалась бракованной. Тогда возможны следующие три гипотезы.

Гипотеза Н1: ампула изготовлена первым производите

Гипотеза Н2: ампула изготовлена вторым производите

Гипотеза Н3 ампула изготовлена третьим производителем и

Условные вероятности события А при этих гипотезах, согласно условию задачи, равны соответственно:

 Тогда по формуле имеем:

ПРИМЕР 2.7. Построить график ряда распределения значений частоты пульса в гипотетической группе из 47 человек (табл. 1).

Таблица 1

Решение. По данным таблицы построен график, который называется многоугольником распределения вероятностей.

Рис12

В ряде практических случаев вместо вероятности того, что случайная величинах принимает некоторое определенное значение xi, необходимо знать, что случайная величина Х меньше xi. Эта вероятность задается интегральной функцией распределения.

Определение. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина X принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е. F(x) = P(X

Функцию распределения F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Функцию F(x) можно получить, суммируя значения вероятностей по тем значениям случайной величины, которые меньше xi, т.е.

где неравенство X < xi,- под знаком суммы показывает, что суммирование распространяется на все значения Х меньше xi.

ПРИМЕР 2.8. Используя данные таблицы 5.5, получим интегральную функцию распределения частоты пульса.

Решение.

Таблица 2

Значения F{ xi) в таблице 3 получены следующим образом. Вероятность того, что

Р(Х < 65) = 0, так как значений меньше 65 нет.

Тогда:

График интегральной функции по данным таблицы 2

Таблица 3

Для дискретной случайной величины график функции распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию. Когда переменная х принимает какое-нибудь из своих возможных значений, функция распределения увеличивается скачкообразно на величину вероятности этого значения. Причем при подходе слева к точкам разрыва функция сохраняет свое значение. На графике это отмечено черной точкой. Сумма величин всех скачков функции Fix) равна 1.

1. Математическая статистика

3.1. Кодирование статистических данных.

ПРИМЕР 3.1.

 Закодировать статистические данные: 2,6,5,2,2,5,3,3,1,3,3,5

 Решение.

 Имеем:

3.2. Построение статистического распределения выборки.

ПРИМЕР 3.2. Ежедневное количество студентов, посещающих методический кабинет на протяжении ряда дней, следующее:

15,17, 16,18,20,21, 18, 17,20, 15,

18,17,16,19,17,16,18,19,18,19.

Составить статистическое распределение выборки.

Решение. В первой строке таблицы 4 укажем встречающиеся значения посещений, во второй — количество таких значений и, наконец, в третьей — относительную частоту этих значений.

3.3. Построение полигонов и гистограмм.

ПРИМЕР 3.3.1. Дано: статистическое распределение выборки

Решение.

Полигон частот можно получить из гистограммы путем соединения срединных значений классов . График полигона частот (или относительных частот) легко построить и по статистическому распределению. На оси вариант (О), из точек хi проводятся перпендикуляры высотой  и соединяются ломаной линией.

При неограниченном увеличении числа наблюдений и увеличении количества классов ширина прямоугольников гистограммы будет уменьшаться и середины верхних концов прямоугольников сольются в одну сплошную плавную линию, которая в пределе станет графиком плотности.

Проверочная работа

 Вариант №1

  1. Студент пришел на зачет, зная из 30 вопросов только 24. Какова вероятность сдать зачет, если после отказа отвечать на вопрос преподаватель задает еще один вопрос?

 2.Закодировать статистические данные: 3,5, 1,1,2,1, 2, 3, 3, 5, 3 и построить полигоны а) частот;  б) относительных частот.

3. Дано: статистическое распределение выборки типа:

Построить гистограмму частот.

Вариант №2

1. Вероятность того, что в летнюю сессию студент сдаст первый экзамен, равна 0,8; второй — 0,9; третий — 0,8. Найти вероятность того, что он сдаст только первый экзамен?

2.Закодировать статистические данные: 3,5, 1,3,2,1, 3, 4, 5 и построить полигоны а) частот;  б) относительных частот.

3. Дано: статистическое распределение выборки типа:

Построить гистограмму частот.

Уважаемые студенты групп № 151 и № 152, срочно вышлите на мою электронную почту итоговый тест (на 2 варианта по подгруппам). При этом, указав «Итоговый тест по математике», ФИО, № группы, подгруппы, вариант и, собственно, ответы.

Занятие №6

Тема: «Медицинская статистика»

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант;  выполнить задания проверочной работы: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

       Введение.

Сегодня мы рассмотрим основные элементы медицинской статистики такие, как медико-демографические показатели и статистические показатели для оценки деятельности поликлиники в формулах и задачах. Обратим особое внимание на алгоритмы вычисления : сальдо миграции; показатели интенсивности миграции (общая интенсивность миграции, интенсивность миграции прибывших, интенсивность миграции убывших, коэффициент  эффективности  миграции); основные показатели рождаемости и смертности ( летальности);  такие параметры, как: динамика посещений ; структура посещений, нагрузка на врачебную должность , активность посещений врачами пациентов на дому. Проведём расчёт параметров профилактической работы поликлиники таких, как: полнота охвата медицинскими осмотрами, процент  населения, осмотренного с целью выявления заболевания, частота выявленных заболеваний . Познакомимся  с показателями диспансеризации (полнота охвата, своевременность взятия на диспансерный учет, удельный вес вновь взятых под наблюдение, среднее число диспансеризуемых  на одном участке, исходы и эффективность диспансеризации). Выясним, как математически оценивается качество врачебной диагностики в поликлинике и стационаре. Узнаем, что преемственность работы поликлиники и стационара оценивается числом пациентов, подготовленных  к плановой госпитализации, и обменом документацией  до и после лечения их в стационаре.

   Справка

I Медико-демографические показатели

Сальдо миграции: D= ( M+)- ( M-), где М+  количество прибывших, M- количество убывших.

Интенсивность миграции:

Общая интенсивность миграции  , где S- численность населения.

Интенсивность миграции прибывших                   

Интенсивность миграции убывших  

Коэффициент  эффективности  миграции  Kэф.=

Общий показатель рождаемости =

Среднегодовая численность   населения  равна  

Общий показатель смертности   равен

Показатель смертности для умерших в данном месяце  

    =

Коэффициент детской смертности до года КДС(1) = , где

    число детей, умерших до года,

S - среднее число детей, родившихся в этом году

Коэффициент детской смертности после года      КДС = ,

где

 – число детей, родившихся в данном году;

           - число детей, родившихся в предыдущем году.

Показатель плодовитости    =    

( для женщин от 15 до 49 лет)

Показатель суммарной    плодовитости

 = (число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни)/ 1000

II Статистические показатели для оценки деятельности поликлиники.

Организация работы поликлиники оценивается по показателям, характеризующим:

• динамику посещений (отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100);
• структуру посещений – по поводу заболеваний или с профилактической целью (отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100);
• нагрузку на врачебную должность (отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей);
• активность посещений врачами пациентов на дому (отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100);

II(1) Профилактическая работа  поликлиники оценивается:

• полнотой охвата медицинскими осмотрами (отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100);
• процентом  населения, осмотренного с целью выявления заболевания (отношение числа осмотренных к численности населения);
• частотой выявленных заболеваний (отношение  числа выявленных заболеваний к числу осмотренных);
• показателями диспансеризации (полнота охвата, своевременность взятия на диспансерный учет, удельный вес вновь взятых под наблюдение, среднее число диспансеризуемых  на одном участке, исходы и эффективность диспансеризации).
• качество врачебной диагностики определяется на основе сравнения диагнозов, поставленных больным при направлении на госпитализацию, с диагнозами, установленными в стационаре. Преемственность работы поликлиники и стационара оценивается числом пациентов, подготовленных  к плановой госпитализации, и обменом документацией  до и после лечения их в стационаре.

III  Расчёт статистических показателей для оценки деятельности стационара.

Показателями деятельности стационара являются:

• обеспеченность населения стационарной помощью ( отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000);
•  нагрузка медицинского персонала (число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену);
• материально-техническая  и медицинская  оснащенность; использование коечного фонда;
• качество лечебно-диагностической стационарной помощи и ее эффективность.

Коечный фонд и его использование характеризуются следующими показателями:

• состав коечного фонда (отношение числа коек по отдельным профилям  к общему числу коек, в %);
• среднее число занятости койки в году (отношение  числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней);
• средняя длительность пребывания больного на койке (отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных); этот показатель рассчитывается по нозологическим формам, ориентировочный норматив длительности  пребывания  на терапевтической койке- 16-18 дней;
• оборот койки - функция койки (отношение числа пролеченных больных к числу коек, ориентировочный норматив- 17-20 больных в год).

    О качестве обслуживания больных в стационаре можно судить по показателям больничной  летальности (отношение числа умерших к числу пролеченных больных, умноженное на 100). В зависимости от отделений и состава больных этот показатель может быть от 1 до 3 на 100 больных.    Оценивается показатель послеоперационной летальности (отношение числа умерших среди прооперированных к числу прооперированных).

Частота послеоперационных осложнений определяется отношением числа осложнений к числу проведенных операций.

Замечание.

Показатели досуточной летальности (в первые 24 часа пребывания больного стационаре), процент совпадения диагнозов направления, клинического и патологоанатомического служат для характеристики качества врачебной диагностики.

     Решение задач

I Медико-демографические показатели

ПРИМЕР 1.1.

На территорию численностью в 987 человек за отчётный период прибыло 127 человек, а убыло 235 человек. Определить :

а) общую интенсивность миграции;

б) интенсивность миграции прибывших;

в) интенсивность миграции убывших;  

г) коэффициент  эффективности  миграции .

РЕШЕНИЕ

1) D= ( M+)- ( M-) = 127 – 235 = -108 –сальдо миграции

2) = (-108) / ( 987 * 1000) = - 0,00011 - общая интенсивность миграции

3)  = 127 / ( 987 *1000)  = 0,00013 - интенсивность миграции прибывших

4)    = 235 / ( 987 *1000)  = 0,00024  - интенсивность миграции убывших 

5) Kэф.=  = (-108)/ ( 127 + 235)* 1000 = - 0,00030 - коэффициент  эффективности  миграции  

ПРИМЕР 1.2.  Представить в виде линейной диаграммы ожидаемую продолжительность жизни в России с 1991 по 1997 год (Путь в XXI век: Стратегические проблемы и перспективы российской экономики. — М.: Экономика, 1999. — С. 285). Данные приведены в таблице .

Таблица

Линейная диаграмма позволяет более наглядно представить изменения анализируемого показателя. На рисунке для отображения различий показателей использована координатная сетка.

Столбиковая диаграмма отображает значения анализируемых величин в виде прямоугольных столбиков, высота которых пропорциональна их значению.

ПРИМЕР 1.3. Представить данные таблицы приме 1.2. в виде столбиковой диаграммы.

Решение. Столбиковая диаграмма изображена на рисунке , где высота каждого столбца соответствует значениям таблицы  примера 1.2.

Разновидностью столбиковых диаграмм являются ленточные диаграммы. В этом случае значения анализируемых величин откладываются по оси абсцисс.

ПРИМЕР 1.4. Данные таблицы примера 1.2. представить в виде ленточной диаграммы.

Решение. По оси ординат откладывают годы, а по оси абсцисс — возрастные показатели, причем справа мужчин, а слева — женщин (рис. 16).

Рис 16

Круговые диаграммы позволяют наглядно изобразить исследуемые величины, выраженные в процентных соотношениях или в относительных значениях. Для этого необходимо изобразить окружность произвольного радиуса и разбить сё на секторы, величина которых соответствует представляемым величинам. Начало отсчета начинается от верхней точки (12 часов) и далее по часовой стрелке, при этом 1% соответствует 3,6° окружности. Тогда значения величины в процентах или в относительных величинах умножают на 3,6° и получают угол сектора, соответствующий величине каждого показателя.

ПРИМЕР 1.5. Представить в виде круговой диаграммы данные о больных, поступивших в травматологическое отделение, из данной таблицы .

Таблица

Решение. Исходя из процентных соотношений находят углы секторов, соответствующие характерам повреждений:

1)44% • 3,6°= 158,4°;

2) 28% • 3,6° = 100,8°;

3)12% • 3,6° = 43,2°;

4) 16% • 3,6° = 57,6°.

Откладываем полученные величины нa круговой диаграмме начиная с верхней точки (12 часов) и соединяем с центром окружности. Наносим на секторы различные штриховки и указываем значения величин в процентах (рис. 17а).

Полученные значения можно представить в виде внутристолбиковой диаграммы (рис. 17б). Для этого берется прямоугольник произвольной высоты, которая принимается за 100%, и вся высота разбивается на участки, пропорциональные процентным соотношениям.

ПРИМЕР 1.6.

Рассчитать общий показатель рождаемости, ели  общее число , родившихся за год живыми 568 человек, а количество населения данной местности на 01.01 составило 45 000 человек, на 31. 12. Составило 45231 человек.

Решение.

1) (45000+ 45231) / 12 = 7520 ( чел) –среднегодовая численность населения.

2) Общий показатель рождаемости =  =

=  (568 * 1000) / 7525 = 76

ПРИМЕР 1.7.

Рассчитать общий показатель смертности, если  общее число умерших от всех причин за отчётный период данной местности составило 5648, а среднегодовая численность населения составила 86 124.

Решение.

 По формуле:

Имеем: (  5648 *1 000) / 86124  =66

ПРИМЕР 1.8.

Рассчитать показатель смертности для умерших в данном месяце, если количество умерших в данном месяце составило 365 человек, а общее число умерших в течение года – 89 457 человек.

Решение.

 По формуле типа:              имеем:

 (365*100) / 89457 = 0,41

ПРИМЕР 1.9.

Рассчитать КДС(1), если 162 человека -    число детей, умерших до года,

   8971 человек  - среднее число детей, родившихся в этом году.

Решение.

По формуле типа КДС(1) =  имеем КДС(1) =  (1000 * 162) / 8971 = 18

ПРИМЕР 1.10.

Рассчитать КДС , если  

 12488  человек - число детей, родившихся в данном году;

   9664 человек - число детей, родившихся в предыдущем году.

Решение.

По формуле типа КДС =   имеем: КДС = 457 / (2/3 *12488+ 1/3 * 9664) =

= 457 / ( 8325 +  3221)  =  457 / 11546 =  0, 05

ПРИМЕР 1.11.

Рассчитать показатель плодовитости, если общее число, родившихся за год живыми составило 4589 человек, а  средняя численность женщин от 15 до 49 лет составила  8963 человека.

Решение.

По формуле типа

 Показатель плодовитости    =    

имеем: (4589 *1000) / 8963 = 512

ПРИМЕР 1.12.

Рассчитать  показатель суммарной    плодовитости, если

 число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни составило 3 ребёнка.

Решение.

По формуле типа :  Показатель суммарной    плодовитости

 = (число детей, рождённых в среднем 1 женщиной за весь фертильный период её жизни)/ 1000   имеем:

Показатель суммарной    плодовитости = 3/1000 =0,003

II Статистические показатели для оценки деятельности поликлиники.

ПРИМЕР 2.1.

Определить динамику посещений поликлиники , если общее число посещений поликлиники в отчётном году составило 12 451, а в предыдущем году -12568.

Решение.

По формуле типа : отношение числа посещений поликлиники в данном году к числу посещений в прошлом году, умноженное на 100

имеем:  ( 12451 / 12568) * 100 = 99

ПРИМЕР 2.2.Определить структуру посещений поликлиники по поводу заболеваний или с профилактической целью, если число посещений по поводу заболевания или с профилактической целью составило 4589, а число всех посещений -14897.

Решение.

По формуле типа : отношение числа посещений по поводу заболеваний или с профилактической целью к числу всех посещений, умноженное на 100

имеем:  ( 4589 / 14897) * 100 = 31

ПРИМЕР 2.3.

Определить нагрузку на врачебную должность, если количество посещений всех врачей поликлиники за отчётный период составило 8975 при количестве занятых врачебных должностей - 8997.

Решение.

По формуле типа : отношение числа посещений всех врачей к числу занятых врачебных должностей

имеем:  8975 / 8997 = 0,99

ПРИМЕР 2.4.

Определить активность посещений врачами пациентов на дому, если  число активных посещений на дому  составило за отчётный период 56, а число всех посещений на дому – 71.

Решение.

По формуле типа: отношение числа активных посещений на дому к числу всех посещений на дому, умноженное на 100,

имеем: (56 /71) *100 = 79

ПРИМЕР 2.5.

Определить

а) полноту охвата медицинскими осмотрами;

б) процент  населения, осмотренного с целью выявления заболевания;

в) частоту выявленных заболеваний,

если общее число осмотренных за отчётный период составило 4235 человек;

численность населения данной местности 25000 человек; количество выявленных заболеваний-46; количество населения, подлежащее осмотру- 19788 человек.

Решение.

а)  По формуле типа: отношение числа осмотренных к числу населения, подлежащего осмотру, умноженное на 100

имеем: (4235/ 19788) *100 = 21;

б) По формуле типа: отношение числа осмотренных к численности населения

имеем:  4235 / 25000 = 0,2;

в) По формуле типа: отношение  числа выявленных заболеваний к числу осмотренных

имеем:  46 / 4235 =0,01.

3. Расчёт статистических показателей для оценки деятельности стационара

ПРИМЕР 3.1.

Рассчитать обеспеченность населения стационарной помощью, если число коек составило 2569, а численность населения – 189273 человек

Решение.

 Имеем: отношение числа коек к численности населения, умноженное на 10000

2569/ 189 273 = 0,014

ПРИМЕР 3.2.

Как рассчитать нагрузку медицинского персонала?

 Решение.

 Нагрузка медперсонала –это число коек на 1 должность врача и среднего медперсонала в смену.

ПРИМЕР 3.3.

Рассчитать состав коечного фонда в (%), если число коек по отдельным профилям  составил 2456, а общее число коек составило 1587.

Решение.

Имеем: отношение числа коек по отдельным профилям  к общему числу коек

2456 /1587 = 1,5 %

ПРИМЕР 3.4.

Рассчитать среднее число занятости койки в году, если количество койко-дней составило 37185, а количество  среднегодовых коек составило111.

Решение.

 Имеем: отношение  числа койко-дней к числу среднегодовых коек, ориентировочный норматив занятости терапевтической койки-330-340 дней;

37185 /111 = 335, что соответствует норме.

ПРИМЕР 3.5.

Рассчитать среднюю длительность пребывания больного на койке, если количество койко-дней составило 265, а число пролеченных – 314 человек.

Решение.

Имеем: отношение числа койко-дней к числу пролеченных больных

 265 /314 = 0,8

ПРИМЕР 3.6.

Рассчитать оборот койки, если число пролеченных больных за отчётный период составило 21690,а  число коек  в данном ЛПУ составило 1205.

Решение.

Имеем: отношение числа пролеченных больных к числу коек

21690 / 1205 = 18 больных в год, что соответствует ориентировочному нормативу, который составляет 17-20 больных в год.

Проверочная работа

Вариант№1

1. На территорию численностью в 15687 человек за отчётный период прибыло 1025 человек, а убыло 665 человек. Определить

а) общую интенсивность миграции;

б) интенсивность миграции прибывших;

в) интенсивность миграции убывших;  

г) коэффициент  эффективности  миграции .

2. Определить динамику посещений поликлиники , если общее число посещений поликлиники в отчётном году составило 16345, а в предыдущем году -14388.

3. Рассчитать КДС , если  

 12388  человек - число детей, родившихся в данном году;

   9646 человек - число детей, родившихся в предыдущем году.

 4. Рассчитать состав коечного фонда в (%), если число коек по отдельным профилям  составил 4256, а общее число коек составило 1875.

Вариант №2

1. На территорию численностью в 19578 человек за отчётный период прибыло 1127 человек, а убыло 925 человек. Определить

а) общую интенсивность миграции;

б) интенсивность миграции прибывших;

в) интенсивность миграции убывших;  

г) коэффициент  эффективности  миграции .

2. Определить динамику посещений поликлиники , если общее число посещений поликлиники в отчётном году составило 17435, а в предыдущем году -16318.

3. Рассчитать КДС , если  

 14387  человек - число детей, родившихся в данном году;

   9645 человек - число детей, родившихся в предыдущем году.

4. Рассчитать оборот койки, если число пролеченных больных за отчётный период составило 25620,а  число коек  в данном ЛПУ составило 1395.

Студентам 152 группы срочно сдать (выслать) итоговый тест!!!

Занятие №7

Тема: «Прикладные задачи в медицине»

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант;  выполнить задания: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Введение.

Сегодня мы рассмотрим

1. Вычисление процентов и  решение пропорций;

2. Алгоритмы  расчёта процентной концентрации растворов;

3.  Формулу определение цены деления шприца;

4. Приёмы стандартного  разведение  антибиотиков;

5. Набор в шприц заданной дозы инсулина.

Решение задач

1. Проценты, составление и решение пропорций.

 а) 1% -это  сотая часть числа.

УПРАЖНЕНИЕ 1.1.

Найти, сколько процентов составляет

а)  число 58 от числа    31    ?

б)  число 31 от числа   58     ?

Решение.

а)  

                                                            Имеем: x =   187 %  

б)       

                                             Имеем: y =   53 %  

Ответ: а) Число 58 составляет  187 %  от числа  31.

            б) Число 31 составляет  53 %  от числа    58.

УПРАЖНЕНИЕ 1.2.

Найти число по его проценту.

а) Найти число, которое составляет 48% от числа 13.

б) Найти число, которое составляет 201%от числа 36.

Решение.

а)                                                 Имеем:   x =         

б)                                                 Имеем: z  =  = 72,36

Ответ: а) Число 6,24 составляет 48% от числа 13;

            б) Число 72,36 составляет 201%от числа 36.

ПРИМЕР 1.3.  Отделение функциональной диагностики обслуживало 40 человек в день. После внедрения компьютерных технологий пропускная способность отделения увеличилась на 35%. Сколько человек стало обслуживать отделение?

Решение. Процент обследуемого населения составил:

100% + 35%о= 135%,

тогда пропускная способность отделения равна:

40 • 135 : 100 = 54 человека в день.

2. Чтобы найти исходное число по указанному проценту, необходимо данное число разделить на значение процента и умножить на 100.

ПРИМЕР 1.4. С наступлением холодов количество больных с острыми респираторными заболеваниями (ОРЗ) увеличилось до 15 человек в день, а до этого составляло около 10 человек. На сколько процентов возросло число больных с ОРЗ.

Решение. Вычислим, на сколько человек возросло количество больных с ОРЗ:

15-10 = 5 человек.

Определим, какой процент это составляет от 10 человек:

(5 : 10) • 100 = 50%.

ПРИМЕР 1.5.  Дана пропорция , найти х.

Решение,

ПРИМЕР 1.6.  Четверо пациентов получают в сутки 6 г бициллина-5. Сколько потребуется препарата в сутки, если поступают еще двое больных с аналогичным диагнозом.

Решение. 4 больных получают 6 г бициллина-5, а 6 больных — х г, тогда:

ПРИМЕР 1.7.  26 человек поступили в травмпункт с переломом конечностей, что составило 1 3% от всех обратившихся. Сколько человек поступило в травмпункт?

Решение. (26 : 13) • 100 = 200 человек.

3. Чтобы найти выражение одного числа в процентах другого, необходимо первое число разделить на второе и умножить на 100.

2. Расчёт процентной концентрации растворов.

ПРИМЕР 2.1. ( Приготовление раствора  заданной концентрации в данном количестве из сухого концентрата и воды)

Приготовить 312 мл. 40% раствора глюкозы, если имеется глюкоза в пороке ( сухой концентрат). Достаточно ли сухого концентрата, если в наличие 154 гр. Порошка глюкозы?

Решение.

1)

                                                                                               растворить в      

2)  

                                                                                                                                         Математическая

модель

Имеем:  )  ( x = )  гр.- необходимое количество сухого концентрата для приготовления 312 мл. раствора.

3)  312- 124,8 = 187,2( мл.) - необходимое количество  воды для приготовления 312 мл. раствора.

Таким образом, имеем:

 4) Так, как                                                                           растворить в

Так, как                                    больше                                  , то сухого  

                                                                                                   концентрата

                                                                                                    достаточно.

ПРИМЕР 2.2. ( Приготовление раствора  заданной концентрации в данном количестве из жидкого концентрата и воды)

Приготовить 125 мл 40 % раствора этилового спирта для согревающего компресса, если имеется 93% раствор этилового спирта в количестве 95 мл. Возможно ли реально приготовить этот раствор?

Решение.

1) Найдём необходимое количество жидкого концентрата (93% раствор этилового спирта):

Имеем:

                  ( x = ) ) мл. -

необходимое количество жидкого концентрата

2) Найдем необходимое количество воды:   125 -  54 71 ( мл.) – тёплой H2 O

 Имеем:    

                                                                                       развести    в

3) Так, как 

                         , то жидкого      

                                                        , то жидкого

 концентрата

достаточно.

ПРИМЕР 2.3. ( Приготовление раствора  заданной концентрации в данном количестве из  двух жидких о концентратов без  воды)

Приготовить  111 мл. 10% раствора NACl, если имеется два раствора  NACl: 56% и 32% концентрации соответственно.

Решение.

1) Правило « Креста»:  

                                                                                                                +

Имеем:  22 +46  = 68 (мл.) – общее количество  10% раствора NACl.

Где  68 мл. 111 (мл.)

2)

                                                                                                     Математическая модель

Имеем:  (   )  ( x = )  ( x ) мл.  потребуется 56% Na Cl  

3) 111 – 36      75( мл.)   -  потребуется 32% Na Cl   

Имеем:                                                        

ПРИМЕР 2.4. (Приготовление раствора  большей  концентрации в данном количестве из  раствора меньшей концентрации без  воды)

По рецепту требуется 5 мл. 70% уксусной эссенции. Сколько потребуется 4% раствора уксуса?

Решение.

 70%  / 4%  * 5 мл. =  87,5 мл.

Ответ: 5 мл. 70% уксусной эссенции можно заменить 87,5 мл. 4% раствора уксуса.

Дополнительно

ПРИМЕР 2.4. Сколько граммов NaCl и какой объем воды надо взять для приготовления 200 г 0,9% раствора?

Решение.

Плотность воды

, тогда

ПРИМЕР 2.5. 50 г вещества растворены в 200 г воды. Определить процентную концентрацию вещества.

Решение.

ПРИМЕР 2.6. Имеется 10 г растворенного вещества. Сколько необходимо взять воды для приготовления 20% раствора.

Решение. Так как на растворенное вещество приходится 20% раствора, а на воду — 80%, то можно составить пропорцию:

10 г вещества — 20%

х г воды — 80% ,

так как , то объем воды 40 мл.

Приготовление менее концентрированного раствора связано с добавлением растворителя, при этом масса растворенного вещества не меняется.

ПРИМЕР 2.7. Добавлено 50 мл воды к 100 г 30% раствора. Определить процентную концентрацию полученного раствора.

Решение.

3. Определение цены деления шприца.

Ц

 ПРИМЕР 3.1.

Определить цену деления шприца, если от подыгольного конуса до

а) цифры «10»  - 5 делений;         = 2  мл.

б) цифры «5 » - 10 делений;        = 0,5 мл

в) цифры «10» - 10 делений.         = 1 мл.шпр

4. Стандартное разведение антибиотиков.

Если растворитель в упаковке не предусмотрен, то при разведении антибиотика на 0,1 гр. ( 100 000 ЕД) порошка антибиотика берут 0,5 мл. растворителя.

Тогда, для

• разведении 0,2 гр. (200 000 ЕД) порошка антибиотика  потребуется  1 мл. растворителя;
• разведении 0,5 гр. (500 000 ЕД) порошка антибиотика  потребуется  2,5-3 мл. растворителя;
• разведении 1 гр. (1 000 000 ЕД) порошка антибиотика  потребуется  5 мл. растворителя.

5. Набор в шприц заданной дозы инсулина.

В 1 мл. раствора находится 40 ЕД инсулина.

Тогда,  

• в 0,1 мл. раствора находится 4 ЕД инсулина;
•  в 0,05 мл. раствора находится  2 ЕД инсулина.

Замечания

1. Капли

1 мл. водного раствора = 20 капель;

1 мл. спиртового раствора = 40 капель;

1 мл. спиртово-эфирного раствора = 60 капель.

2. Количество миллилитров в ложке

1 столовая ложка = 15 мл.;

1 десертная ложка = 10 мл.;

1 чайная ложка = 5 мл.

3. Доли грамма

0,1 гр. – дециграмм;

0,01 гр.- сантиграмм;

0,001 гр. –  миллиграмм;

0, 0001 гр. – децимиллиграмм;

0,00001гр. – сантимиллиграмм;

0,000001 гр. – миллимиллиграмм ( промили или микрограмм ( мкг)).

4. Меры объёма

1 литр = 1 кубический сантиметр;

1 литр = 1 000 мл.;

1 кубический дециметр = 1000 кубических сантиметров;

1 кубический метр = 1 000 000  кубических сантиметров;

1 кубический метр = 1 000   кубических дециметров;

1 грамм = 1 000 миллиграмм;

1 миллиграмм = 0,001 грамм

Задачи для самостоятельного решения

1.        Сколько времени потребуется для ЭКГ-обследования 15 пациентов, если на 4 пациентов было затрачено 1 час 20 минут.

2.        Сколько граммов соли и какой объем воды необходимо  взять для приготовления 80 г 10% раствора соли?

3.        10 г вещества растворены в 150 г воды. Вычислить процент растворенного вещества.

4.        Сколько воды необходимо взять для приготовления 20% раствора из 30 г пищевой соды.

Проверочная работа

Вариант №1

1. Приготовить 320 мл. 40% раствора этилового спирта, если имеется 250 мл. 93% раствора этилового спирта. Достаточно ли жидкого концентрата для приготовления раствора? Результаты расчётов округлять до целых.

2. Приготовить 125 мл.40% раствора глюкозы, если имеется 500 гр. порошка глюкозы и вода. Достаточно ли сухого концентрата глюкозы для приготовления раствора?

3. Найти 52% от числа 32.

Вариант№2

1. Приготовить 105 мл. 30% раствора поваренной соли, если имеются 45% и 62% растворы  (жидкие концентраты) поваренной соли (без воды). Результаты расчётов округлять до целых.

2. Сколько нужно взять 9% раствора уксуса, чтобы заменить десертную ложку 73% уксусной эссенции? Результаты расчётов округлять до целых.

3. Найти 152% от числа 23.

Студентам 152 группы срочно сдать (выслать) итоговый тест!!!

Занятие №8

Тема: «Приложения математики в медицине»

Задание. Освоить материал. Указав ФИО, № группы, № занятия, тему и вариант;  выполнить задания: студентам 1 подгруппы - вариант №1, студентам 2 подгруппы -  вариант №2. Выслать на электронную почту преподавателя.

Введение.

Сегодня мы рассмотрим задачи на

1. Вычисление жизненной ёмкости лёгких ;

2. Расчёт основных показателей сердечной деятельности.

ТЕКСТ

Жизненная ёмкость лёгких

       Введение

При выполнении своих профессиональных обязанностей медицинским работникам часто приходится производить различные математические вычисления. И от правильности проведенных расчетов зависит здоровье, а иногда и жизнь пациентов. Поэтому в этой главе рассмотрены наиболее часто встречающиеся ситуации, где необходимо применение математических методов, основы которых были заложены еще в средней школе.

         Основная часть

      Объем воздуха в легких и дыхательных путях зависит от конституционально-антропологических и возрастных характеристик человека, свойств легочной ткани, поверхностного натяжения альвеол, а также силы, развиваемой дыхательными  мышцам.

   Для оценки вентиляционной функции легких, состояния дыхательных путей, изучения паттерна (рисунка) дыхания применяются различные методы исследования: пневмография, спирометрия, спирография, пневмоскрин. С помощью спирографа можно определить и записать величины легочных объемов воздуха, проходящих через воздухоносные пути человека.  

ОЕЛ = ОО + РОвд + ДО +  РОвыд

   При спокойном вдохе и выдохе через легкие проходит сравнительно небольшой объем воздуха- это дыхательный объем (ДО), который у взрослого человека составляет примерно 500мл. При этом акт вдоха проходит несколько быстрее, чем акт выдоха. Обычно за 1 минуту совершается 12-16 дыхательных циклов. Такой тип дыхания обычно называется «эйпноэ», или «хорошее дыхание».

   При форсированном (глубоком) вдохе человек может дополнительно вдохнуть еще определенный объем воздуха-  этот резервный объем вдоха (РОвд)-  максимальный объем воздух, который способен вдохнуть человек после спокойного вдоха. Величина резервного объема вдоха составляет у взрослого человека примерно 1,8-2,0 л.

   После спокойного выдоха человек может при форсированном выдохе дополнительно выдохнуть еще определенный объем воздуха-  это резервный объем выдоха (РОвыд), величина которого составляет в среднем 1,2-1,4 л.

   Объем воздуха, который остается в легких после максимального выдоха и  в легких мертвого человека,- остаточный объем легких (ОО). Величина остаточного объема составляет 1,2-1,5 л.

Замечание. У аборигенов высокогорья из-за бочкообразной грудной клетки сохраняются более высокие величины этого показателя, благодаря чему удается сохранить в организме необходимое Содержание СО2, достаточное для регуляции дыхания в этих условиях.

Различают следующие емкости легких:

1.Общая емкость легких (ОЕЛ)- объем воздуха, находящегося в легких после максимального вдоха -  все четыре объема(ОО , РОвд , ДО ,  РОвыд )

2.Жизненная емкость легких (ЖЕЛ) включает в себя дыхательный объем, резервный объем вдоха и резервный объём  выдоха.

                                   ЖЕЛ=ДО+РОвд+ РОвыд.

ЖЕЛ составляет у мужчин 3,5-5,0 л, у женщин-3,0-4,0 л.

3.Емкость вдоха (Евд) равна сумме дыхательного объема и резервного объема вдоха, составляет в среднем 2,0-2,5 л:

                                          Евд=ДО+РОвд.

4.Функциональная остаточная емкость (ФОЕ)- объем воздуха в легких после спокойного выдоха.

                                       ФОЕ ==РОвыд+ОО

В легких при спокойном вдохе и выдохе постоянно содержится примерно 2500 мл воздуха, заполняющего альвеолы и нижние дыхательные пути. Благодаря этому газовый состав альвеолярного воздуха сохраняется на постоянном уровне.

• Исследование легочных объемов и лёгочных емкостей имеет большое медико-физиологическое значение не только для диагностики заболеваний (ателектаз, рубцовые изменения легких, поражения плевры), но и для экологического мониторинга местности и оценки состояния функции дыхания популяции в экологически неблагополучных зонах.
• Величина легочной вентиляции определяется глубиной дыхания и частотой дыхательных движений. Количественной характеристикой легочной вентиляции служит минутный объем дыхания (МОД)- это объем воздуха, проходящий через легкие за 1 минуту.

В покое частота дыхательных движений человека составляет примерно 16 в 1 минуту, а объем выдыхаемого воздуха составляет-около 500мл. Тогда:

МОД=ДО*ЧД,

Где ЧД-частота дыхания в минуту.

ОПР. МОД - объем воздуха ,который проходит через легкие за 1 минуту во время максимальных по частоте и глубине дыхательных движений. Максимальная вентиляция возникает

1)во время интенсивной физической работы,

2)при недостатке содержания  О2(гипоксия) и

3)избытке СО2 (гиперкапния) во вдыхаемом воздухе .

В этих условиях МОД может достигать 150-200 л в 1 минуту.

      Воздух, находящийся в воздухоносных путях( полость рта, носа, глотки, трахеи, бронхи и бронхиолы), не участвует в газообмене, и поэтому пространство воздухоносных путей называется вредным, или мертвым пространством (МП). 

     Во время спокойного вдоха объемом 500 мл в альвеолы поступает только 350 мл вдыхаемого атмосферного воздуха. Остальные 150 мл задерживаются в анатомическом мертвом пространстве. Составляя в среднем треть дыхательного объема, мертвое пространство снижает на эту величину эффективность альвеолярной вентиляции при спокойном дыхании.

МП = 1/3 ДО.

Часть дыхательного объема ,которая участвует в газообмене с легочной кровью ,называется дыхательным альвеолярным объемом:

ДАО=ДО – МП

Тогда минутная альвеолярная вентиляция легких:

МВЛ=(ДО-МП)*ЧД.

Пример.

Рассчитайте по формуле долженствующую жизненную емкость легких ребенка 14 лет, если дыхательный объем  составляет 400 мл ,резервный объем вдоха равен1,4;резервный объем воздуха -900 мл.

Решение.

  Жизненная

     емкость = Дыхательный  + Резервный + Резервный

     легких       объем                  объем           объем

                                                   вдоха           выдоха

400 мл+1400 мл+900мл= 2700 мл- соответствует возрастной норме.

Заключение.

         Сегодня мы рассмотрели основные понятия и формулы расчёта  жизненной ёмкости лёгких. Узнали о том, что  объем воздуха в легких и дыхательных путях зависит от конституционально-антропологических и возрастных характеристик человека, свойств легочной ткани, поверхностного натяжения альвеол, а также силы, развиваемой дыхательными  мышцам. Выяснили, что   для оценки вентиляционной функции легких, состояния дыхательных путей, изучения паттерна (рисунка) дыхания применяются различные методы исследования: пневмография, спирометрия, спирография, пневмоскрин.

Познакомились с такими понятиями, как  общая ёмкость лёгких

 дыхательный объём, остаточный объём, резервный объём вдоха, резервный объём выдоха и др. Нам также встретились клинические термины такие, как  

альвеолы,  плевра,  ателектаз ( заболевание), лёгочная вентиляция. экологический мониторинг местности и пр.

Термины:

1. Альвеолы
2. Плевра
3. Ателектаз ( заболевание)
4. Экологический мониторинг местности
5. Лёгочная вентиляция

Сокращения:

1. ОЕЛ – общая ёмкость лёгких
2. ДО – дыхательный объём
3. ОО – остаточный объём
4. РОвд  - резервный объём вдоха
5. РОвыд – резервный объём выдоха
6. ЖЕЛ –жизненная ёмкость лёгких
7. Евд  - ёмкость вдоха
8. ФОЕ – функциональная остаточная ёмкость
9. МОД – минутный объём дыхания
10. ЧД – частота дыхания в 1 минуту
11. ДАО – дыхательный альвеолярный объём
12. МВЛ – минутная ( альвеолярная ) вентиляция лёгких
13. МП – мёртвое пространство

Справка

1. Жизненная ёмкость лёгких

Общая ёмкость лёгких   ОЕЛ = ОО + РОвд + ДО +  РОвыд

Жизненная ёмкость лёгких      ЖЕЛ=ДО+РОвд+ РОвыд

Ёмкость вдоха    Евд=ДО+РОвд

Функциональная остаточная емкость      ФОЕ = РОвыд+ОО

Минутный объём дыхания      МОД=ДО*ЧД

Мёртвое пространство      МП = 1/3 ДО

Дыхательный альвеолярный объем          ДАО=ДО – МП

Минутная альвеолярная вентиляция легких     МВЛ=(ДО-МП)ЧД.

ТЕКСТ

Показатели сердечной деятельности

       Введение

Основные показатели, характеризующие сердечную деятельность человека, занимают важное место в медицине. На занятии будут рассмотрены понятия и расчётные формулы: сердечного выброса и минутного объёма кровообращения  ; понятие  и расчётная  формула систолического объёма крови ;понятия ударного объёма , ударного и сердечного  индексов ; понятие  фракции выброса ;показатели сердечной  деятельности у детей ; показатели  артериального давления.

         Основная часть

Под сердечным выбросом понимают количество крови, выбрасываемой сердцем в сосуды в единицу времени. В клинической литературе используют понятия: минутный объем кровообращения (МОК)  и систолический, или ударный объем крови.

      Минутный объем кровообращения характеризует общее количество крови, перекачиваемое правым или левым отделом сердца в течение одной минуты в сердечно-сосудистой системе (ссс). В системе транспорта кислорода аппарат  кровообращения является лимитирующим звеном, поэтому  соотношение максимальной величины МОК, проявляющейся при максимально напряженной мышечной работе,  с его  значением в условиях основного обмена дает представление о функциональном резерве  всей сердечно-сосудистой системы. Это же соотношение отражает и функциональный резерв самого сердца по его гемодинамической функции. Гемодинамический функциональный резерв сердца у здоровых людей составляет 300-400% -то означает, что МОК покоя может быть увеличен  в 3-4 раза.  У физически тренированных лиц функциональный резерв выше – он достигает 500-700%.

Для условий физического покоя и горизонтального положения  тела  испытуемого нормальные величины МОК соответствуют  диапазону 4-6 л/мин (чаще приводятся величины 5-5,5 л/мин). Средние величины сердечного индекса колеблются от 2 до 4    
    Так, ка объем крови у человека составляет только 5-6 л,то полный кругооборот всего объема крови  происходит примерно за 1 мин. В период тяжелой работы МОК у здорового человека может увеличиться до 25-30 л/мин.

Факторами, определяющими величину МОК, являются систолический объем крови, частота сердечных сокращений и венозный возврат крови.

ОПР.: Систолический объем крови - это объем, нагнетаемый каждым желудочком в магистральный сосуд (аорту или легочную артерию) при одном сокращении сердца.

В покое объем крови, выбрасываемый из желудочка, составляет в норме от трети до половины общего количества крови, содержащейся в этой  камере сердца к концу диастолы. Оставшийся в сердце после систолы резервный объем крови является своеобразным депо, обеспечивающим увеличение сердечного выброса при ситуациях, в которых требуется быстрая интенсификация гемодинамики сердца (например, при физической нагрузке, эмоциональном стрессе).

       Величина резервного объема крови  является одним из главных показателей функционального резерва сердца по его  специфической функции - перемещению крови в  ссс. При увеличении резервного объема, соответственно, увеличивается максимальный систолический объем,  который может быть выброшен из сердца в условиях его интенсивной деятельности. При адаптационных реакциях аппарата кровообращения/ изменения систолического объема достигаются с помощью механизмов саморегуляции под  влиянием экстракардиальных нервных механизмов. Регуляторные влияния реализуются на сократительную силу  миокарда.

Замечание. При уменьшении мощности сердечного сокращения систолический объем падает.

        У человека при горизонтальном положении тела в условиях покоя систолический объем составляет от 70 до 100 мл.

Основным показателем, характеризующим систолическую функцию сердца, является величина сердечного выброса.

ОПР.: Сердечный выброс (или минутный объем крови –МО) – это количество крови, выбрасываемой желудочком в минуту. В норме эта величина варьирует в широких пределах: при необходимости сердечный выброс может увеличиваться в 3-5 раз по сравнению с покоем.

 Сердечный выброс рассчитывается следующим образом:

МО=УО*ЧСС,

где МО-это минутный объем крови (сердечный выброс); УО - ударный объем ;ЧСС- частота сердечных сокращений.

Помимо величины сердечного выброса (МО) рассчитывают:

▪ударный объем (УО) -количество крови, выбрасываемой желудочком в магистральный сосуд при каждом сокращении:  

 , или УО = КДО – КСО,

где КДО-конечно-диастолический,       а КСО-конечно-систолический объемы желудка;

▪фракцию выброса (ФВ)  – отношение УО к конечно-диастолическому объему желудочка  ( в %):                   ФВ = ,           или ФВ =

Фракция выброса – важнейший интегральный показатель систолической функции сердца, указывающий, какая часть конечно-диастолического объема крови (КДО) выбрасывается из желудочков во время их систолы.

▪Сердечный индекс (СИ), который представляет собой отношение МО крови к площади поверхности тела.         СИ = (л / (мин* ))

При этом площадь поверхности тела (S) рассчитывают по специальной формуле;

▪Ударный индекс (УИ) - отношение ударного объема к площади поверхности тела(S,м2). УИ вычисляют по формуле:             УИ = (л / )

ПРИМЕР Минутный объём кровотока в покое составил 3900 мл. Рассчитайте минутный объём кровотока при физической нагрузке и оцените, как изменится данный показатель сердечной деятельности, если ударный объём кровотока возрос до 150 мл, а ЧСС составила 90 ударов в минуту

 РЕШЕНИЕ  Минутный объём кровотока = (Ударный объём)* ( ЧСС)

Имеем 1) 150 *90 =13 500 мл                                 2) 13 500 – 3 900 = 9 600 мл

ПОКАЗАТЕЛИ СЕРДЕЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ: УДАРНЫЙ И МИНУТНЫЙ ОБЪЁМ КРОВИ У ДЕТЕЙ

     Между весом ребёнка и весом его сердца существуют определённые возрастные взаимоотношения, отражающиеся и на функциональных особенностях сердечно-сосудистой системы у детей раннего возраста.

      У новорождённых сердце значительно больше – оно составляет 0,8% от веса тела ребенка.

- У новорождённых вес сердца составляет 20-24г.

-  в 5-6 месяц    - 0,4% от веса тела (- это (min) вес сердца)

- далее вес сердца и тела нарастают параллельно, но  сердце по весу составляет 0,05 веса тела

ОПР. Минутный объём сердца (МО) – количество крови, выбрасываемой сердцем в течении одной минуты.

- у новорождённого   - 330мл.                     Зам: газоаналитический метод

- к концу 1 года          - 1200мл.                            Н.А.Шалкова

- к 5 годам                   - 1800мл.                            даёт большие цифры.

- к 10 годам                 - 2500мл.

- к 15 годам                 - 3150мл.

* Минутный объём  ( МО) более менее пропорционален потребности организма в кислороде.

Пульс у детей значительно чаще, чем у взрослых.

Частота пульса у детей

Во время всего детства частота пульса постепенно убывает.

Кровеносное давление, скорость кровообращения  и  артериальное кровяное давление у детей тем ниже, чем младше ребёнок.

- При определении артериального давления  по звуковому методу   Короткова , имеем следующие показатели А/Д:

• у новорожденных оно  составляет 76 мм рт.ст.

• к концу 1г- 100мм рт.ст.
• в 5лет-110 мм рт.ст.
• в 10-12лет-120-125 мм рт.ст
• в 14-15лет-130 мм рт.ст.

Формула расчета А/Д у детей 1ого года жизни :

76+2n , где  n-число месяцев жизни

Формула расчета А/Д для детей старше 1года:

100+2n,  где  n-число лет

Минимальное  А/Д  по  Попову А.М.

• у новорожденного -34 мм рт.ст.
• К концу 1 года -58 мм. рт. ст.
• 9-10 лет -78-79 мм рт. ст
• 14-15 лет -86-88 мм рт.ст.

Эти цифры приближены к цифрам по методу Рива-Рочи

Существуют  также методики по А.Б.  Воловику, по А.А. Балуновой

ОПР.Пульсовое давление - это разница между(max) и(min) давлениями

• у новорожденного пульсовое давление составляет  42 мм рт.ст.
• в 1год-40 мм рт. ст
• в 5-6 лет- 44 мм рт ст
• в 9-10 лет-43 мм рт.ст.
• к14-15 лет -52 мм рт.ст.

Среднее артериальное давление:

• у новорожденного -  50-58 мм рт. ст.
• в 3-7 лет - 73-76 мм рт. ст.
• в 8-14 лет  - 81-86 мм рт. ст.

Следовательно, кровяное давление с возрастом возрастает.

Существуют следующие  виды А/Д:

-в пальцевых артериях;

-капиллярное давление;

-венозное давление.

Скорость кровообращения

Время полного кругооборота ( в сек.)

- у новорожденных 12 сек

- в 3года 15 сек

- в 14 лет 18,5 сек

- у взрослых 22 сек.

Термины

• Систола
• Диастола
• Гемодинамика
• Экстракардиальные нервные механизмы
• Миокард
• Сердечно-сосудистая система
• Кровообращение

Сокращения

1.ЧСС- частота сердечных сокращений

2. МОК – минутный объём крови

3.СИ – сердечный индекс

4. УИ – ударный индекс

5. УО – ударный объём

6. МО -  минутный объём ( сердечный выброс)

7. ФВ – фракция выброса

8. КДО – конечно-диастолический объём крови

9. КСО -  конечно- систолический объём крови

10. ссс –сердечно-сосудистая система

2.Показатели сердечной деятельности

Минутный объём  МО=УО*ЧСС

                             УО = КДО – КСО

КДО – конечно-диастолический объём крови

 КСО -  конечно- систолический объём крови

Фракция выброса ФВ =          

                           ФВ =

                                  Сердечный индекс  СИ = МО / S ()

Ударный индекс  УИ = (л / )

Решение задач

1. Жизненная ёмкость лёгких.

ПРИМЕР 1.1. Рассчитайте по формуле долженствующую жизненную емкость легких ребенка 14 лет, если дыхательный объем составляет 400 мл, резервный объем вдоха равен 1,4 л; резервный объем выдоха — 900 мл.

Решение.

400 мл + 1400 мл + 900 мл = 2700 мл — соответствует возрастной норме.

2. Расчёт основных показателей сердечной деятельности.

ПРИМЕР 2.1. Минутный объем кровотока в покое составил 3900 мл. Рассчитайте минутный объем кровотока при физической нагрузке и оцените, как изменится данный показатель сердечной деятельности, если ударный объем кровотока возрос до 150 мл, а частота сокращений сердца — 90 в минуту.

Решение.

Задачи для самостоятельного решения

1.        Рассчитайте долженствующий минутный объем дыхания ребенка 14 лет, если дыхательный объем составляет 400 мл, частота дыхания — 19 в минуту.

2.        Рассчитайте минутный объем кровотока и оцените показатели сердечной деятельности ребенка 14 лет, если ударный объем кровотока составляет 50 мл, а частота сокращений сердца — 78 в минуту.

3.        Рассчитайте минутный объем кровотока, если ударный объем кровотока (УОК) в покое составлял 50 мл, частота сокращений сердца (4CQ — 78 в минуту, а при физической нагрузке УОК достиг 150 мл, причем его повышение сопровождалось возрастанием ЧСС.

Проверочная работа

 Вариант №1

1. Рассчитайте сердечный индекс (СИ), если минутный объем кровотока (МО) составляет 5000 мл, а площадь поверхности (S) — 2,5 м2.

а) 2000;  б) 1000;  в) 1500.

 2.       Рассчитайте ДО (мл.), если, РО вд.= 1200 мл., РО выд. = 950мл.,

           ЖЕЛ =3150мл.

а) 2000;  б) 1000;  в) 1500.

3.    ________  определяется глубиной дыхания и частотой дыхательных движений.  

а) величина легочной вентиляции;

б) функциональная остаточная ёмкость лёгких;

в) жизненная ёмкость лёгких.

Вариант №2

1. Рассчитайте ударный сердечный индекс (УИ), если ударный объем кровотока  составляет 1500 мл, а площадь поверхности (S)-1,5 м2.

а) 2000;  б) 1000;  в) 1500.

2.        Рассчитайте ФОЕ, если РОвыд.= 720мл., ОО = 500мл.

а) 1220;  б) 2020;  в) 1500.

 3.       Минимальное  артериальное давление  у детей по  Попову А.М. к концу 1 года жизни составляет

                          а) 78-79 мм рт. ст;     б) 34 мм рт.ст.;       в) 58 мм. рт. ст.