Учебно методическая разработка по математике: Решение текстовых задач с помощью моделирования
методическая разработка по математике (3 класс) по теме

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

средняя общеобразовательная школа № 34

 г. Сургут

Учебно-методическая разработка по математике

Решение текстовых задач

с помощью моделирование

Учитель начальных классов:

Хоружа Анжелика Анатольевна

г. Сургут 2012г.

Введение.

Что такое развивающее обучение.

В наше время вновь актуальна проблема развивающего обучения школьников. Говориться вновь, потому что идея развития ребенка была основной для русской народной школы второй половины XIX в.- начала XX в. Все методическое поиски по совершенствованию народной школы имели своей целью усиление развивающей роли учебно-воспитательного процесса. 

Творчество и творческая деятельность определяют ценность человека, поэтому формирование творческой личности приобретает и сегодня не только теоретический , но и практический смысл. Эффективность работы школы в настоящее время определяется тем, в какой мере учебно-воспитательный процесс обеспечивает развитие творческих способностей каждого ученика, формирует творческую личность и готовит её к творческой, познавательной, общественно-трудовой деятельности. Активизация творческой познавательной деятельности учащихся зависит в большей степени от методов обучения, которые использует учитель на уроке. Развитие творческих возможностей учащихся важно на всех этапах школьного обучения, но особое значение имеет формирование творческого мышления в младшем школьном возрасте.

Бесспорно, не любое обучение развивает ребенка. Как пишет Д.Б.Эльконин "...что сами категории обучения и развития разные. Эффективность обучения, как правило, измеряется количеством и качеством приобретенных знаний, а эффективность развития измеряется уровнем, которого достигают способности учащихся, т.е. тем, насколько развиты у учащихся основные формы их психической деятельности, позволяющей быстро, глубоко и правильно ориентироваться в явлениях окружающей действительности. Давно замечено, что можно много знать, но при этом не проявлять никаких творческих способностей, т.е. не уметь самостоятельно разобраться в новом явлении, даже из относительно хорошо известной сферы науки". Вопросами психического развития ребенка занимается психология, но при построении развивающего обучения методика упирается на результаты исследований этой науки.

Как пишет Давыдов В.В. "...психологическое развитие человека - это, прежде всего становление его деятельности сознания и, конечно, всех "обслуживающих" их психологических процессов (познавательных процессов, эмоций, и т.д.)"   Отсюда следует, что развитие учащихся во многом зависит от той деятельности, которую они выполняют в процессе обучения.  Эта деятельность может быть репродуктивной и продуктивной. Они тесно связаны между собой, но в зависимости от того, какой вид деятельности преобладает, обучение оказывает различное влияние на развитие детей. 

Репродуктивная деятельность характеризуется тем, что ученик получает готовую информацию, воспринимает её, понимает, запоминает, затем воспроизводит. Основная цель такой деятельности - формирование у школьника знаний, умений и навыков, развитие внимания и памяти. Продуктивная деятельность связана с активной работой мышления и находит свое выражение в таких мыслительных операциях, как анализ и синтез, сравнение, классификация, аналогия, обобщение. Эти мыслительные операции в педагогической литературе принято называть логическими приемами умственных действий.

 Включение этих операций в процесс усвоения математического содержания - одно из важнейших условий построения развивающего обучения, т.к. продуктивная (творческая) деятельность оказывает положительное влияние на развитие всех психологических функций: "...организация развивающего обучения предполагает создание условий для овладения школьниками приемами умственной деятельности. Овладение ими не только обеспечивает новый уровень усвоения, но и дает существенные сдвиги в умственном развитии ребенка. Овладев этими приемами, ученики становятся более самостоятельными в решении учебных задач, могут рационально стоить свою деятельность по усвоению знаний

Приемы умственных действий в развивающем обучении.

Важнейшими мыслительными операциями являются анализ и синтез. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез - это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. В мыслительной деятельности человека анализ и синтез дополняют друг друга, т.к. анализ осуществляется через синтез, а синтез через анализ. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, увидеть в них новые функции.

 Формированию этих умений может способствовать: рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий; постановка различных заданий к данному математическому объекту. Особую роль в организации продуктивной деятельности младших школьников в процессе

обучения математике играет прием сравнения. Формирование умения пользоваться этим

приемом следует осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного

содержания.  

Целесообразно, например, ориентироваться на такие этапы:

• выделение признаков или свойств одного объекта;
• установление сходства и различия между признаками двух объектов;
• выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов.       
• Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие -основа приема классификации.                                                                         

Понятие "аналогичный" в переводе с греческого языка означает "сходный". Понятие аналогия - сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий. Используя аналогию, ученики находят новые способы деятельности и проверяют свою догадку. Формируя у младших школьников умение  выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

• аналогия основывается на сравнении, поэтому успех её применения зависит от того,

насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и

различие между ними;

• для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким-либо признакам;
• для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противоположном случае вывод может быть неверным.                                                                                                                             

Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений - основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение. Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по-разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения - о теоретическом и эмпирическом.

Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. Эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичные, в них что-то утверждается или отрицается относительно одного предмета (число 12 - четное, квадрат не имеет естественных углов). Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. (Частные: уравнение х+3=10 решается на основании взаимосвязи целого и части; общие: в прямоугольнике противоположные стороны равны). Умение последовательно, четко и непротиворечиво излагать свои мысли, тесно связано с умением представлять сложное действие в виде организованной последовательности простых. Такое умение называется алгоритмическим. Оно находит свое выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или алгоритм, в результате выполнения которого цель будет достигнута.

Место текстовой задачи в развивающем обучении математики.                                         

    Все эти приемы умственных действий применяются мною при обучении решению задач. Решая задачи, дети учатся доказывать, рассуждать, у учащихся вырабатывается умение составлять алгоритм, план решения. Любое математическое задание можно рассматривать как задачу, выделив в нем условие, т.е. ту часть, где содержаться сведения об известных и неизвестных значениях величин, об отношениях между ними, и требование (т.е. указание на то, что нужно найти).                   

  Для выполнения каждого требования применяю определенный метод или способ действия, в зависимости от которого выделяют различные виды математических задач: на построение, доказательство, преобразование, комбинаторные задачи, арифметические.       В начальном курсе математики понятие "задача" обычно используется тогда, когда речь идет об арифметической задаче. Арифметические задачи формулируются в виде текста, в котором находят отражение количественные отношения между реальными объектами. Поэтому их называют "текстовыми", "сюжетными", "вычислительными".   При обучении младших школьников математике, решению этих задач я уделяю большое внимание.

Это обусловлено следующим:

• в сюжетах находят отражение практические ситуации, имеющие место в жизни ребенка;
• это помогает ему осознать реальные количественные отношения между различными объектами (величинами) и тем самым углубить и расширить свои представления о реальной действительности;
• решение этих задач позволяет ребенку осознать практическую значимость тех

            математических понятий, которыми он овладевает в начальном курсе;                  

• в процессе их решения у ребенка можно формировать умения, необходимые для решения любой математической задачи (выделять данные и искомое, условие и вопрос;
• устанавливать зависимость между ними, строить умозаключения, моделировать,

            проверять полученный результат). 

Организуя деятельность учащихся, направленную на формирование умения решать  задачи, стараюсь ориентироваться на следующие этапы:

 1.Подготовительная работа.

2.Чтение и осмысление текста.

3. Поиск пути решения (разбор).

4.Запись решения и ответа.                                                                                                                                           

На каждом этапе использую различные методические приемы, выбор которых обуславливается содержанием задачи, уровнем подготовки учащихся, дидактическими, воспитательными и развивающими целями урока. Методических приемов работы над задачей много, назовем основные:

• фронтальная беседа;
• наглядная интерпретация; (краткая запись, таблица, схематический рисунок т.д.);
• сравнение задач (условий, вопросов, текстов, решений);
• преобразование задачи (изменение данных, условий);
• рассмотрение текстов с недостающими или лишними данными;
• составление задач учащимися;
• решение задач разными способами;
• проверка решения задачи;
• выбор правильных решений из группы правильных и неправильных и т.д.                         

В системе развивающего обучения Д.Б.Эльконина В.В.Давыдова, авторы программы по математике и учебников А.М.Захарова, Т.И.Фещенко, задачам уделяется большое внимание.

Решение задач включается во все темы, а в 3 (4) классе выделена тема "Анализ решения текстовых задач и уравнений".Но не смотря на это, я, как учитель испытывала следующие трудности: в подборе материала. Приходилось использовать задачи из учебников первого - четвертого классов и дидактический материал традиционной системы.

Активизации детей при закреплении материала. 

Если постановочные уроки, урокивыведения формул, способов решения всегда вызывают у детей интерес, то на урокахзакрепления активность падает. Чтобы этого не случалось, необходимо использоватьтворческие задания, решение каждой задачи должно стать для учащихся маленьким

открытием.

 Интерес к решению текстовых задач возник у меня после занятий по методике математики. Изучив методическую литературу по вопросам обучения решения задач, познакомившись со статьями журналов, в которых авторы выступают за более широкое и активное включение детей в решение задач, я решила проверить методику на практике.

В практике большинство учителей мало уделяют внимание решению задач. Учащиеся нередко не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу; составить план решения; выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственно цели - получение ответа на вопрос задачи.

Так же в курсе математики в начальной школе масса времени посвящается вычислению уже по готовым математическим моделям, то есть по знакомому описанию, какого либо явлению с помощью математической символики. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, а не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся. Так же после того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Надо подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию. Что часто не успевает сделать на уроке учитель.

Среди причин определяющих недостаточный уровень у учащихся умений решать задачи, я выделяю следующее:

Первая заключается в методике обучения, которая в данное время ориентировала учащихся не на формирование у учащихся обобщенных умений, а на "разучивание" способов решения задач определенных видов.

Вторая причина кроется в том, что учащиеся объективно отличаются друг от друга характером умственной деятельности, осуществляемой при решении задач. На уроке учитель должен выбрать вариант организации и содержания решения задачи, а ученики должны выбрать способы решения задач.                                                                      Существуют такие способы решения задач:

I.        Арифметический способ;

II.        Алгебраический способ;

3. Графический способ;
4. Практический способ;

Так же текстовые задачи на уроках математики в начальных классах могут быть использованы для самых разных целей: для подготовки к ведению новых понятий (в частности, арифметических действий); для ознакомления с новыми понятиями, свойствами понятий, для углубления и расширения формируемых математических знаний и умений; для вычислительных навыков; для обучения методам и приемам решения задач на разных этапах этого обучения и для многих других целей. Очевидно, что и методика работы с задачей на уроке должна определяться, прежде всего, тем, с какой целью эта задача включена в урок.

Анализ практики показывает, что далеко не всегда характер работы с задачей на уроке соответствует той цели, ради достижения которой она рассматривается на уроке. Чтобы решить данные цели, мне удалось выделить возможные виды работы с задачами на уроке математики, которые хоть чем-то отличаются друг от друга. Главное - представить все многообразие возможных ситуаций с задачами на уроке, дав тем самым учителю право и возможность выбирать. Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появляются различные типы школ, вводятся альтернативные программы и учебники.

Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л.В. Занкова. Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей, студентов (даже те, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принципы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией на практике. И также хотелось бы проанализировать некоторые затруднения, возникающие у учителя и учащегося при решении текстовых задач.

Но кроме системы М.И. Моро, М.А. Байтовой, Л.В. Занкова существует еще система Д.Б. Эльконина и В.В. Давыдова. Эта система по своей сути также сложна и вызывает затруднения у учителей и учащихся. При решении задач возникает много трудностей, порой, кажется, что невозможно составить краткую запись задачи, а о решении и речи не может быть. Я хотела бы помочь разрешить все затруднения при решении текстовых задач.

Но хотелось бы добавить, что какую бы задачу мы не решали, во всех случаях это очень трудное дело.

1. Теоретическая часть.

1.1. Ознакомление с текстовыми задачами.

В начальном обучении математике велика роль текстовых задач. Решая задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления. Большое значение имеет решение задач и в воспитании личности учащегося. Поэтому важно, чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами. Существуют простые и составные задачи. Задачи, которые решаются в одно действие называются простыми задачи, решающиеся в два и более - составные. Текстовая задача есть описание некоторой ситуации (ситуаций) на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между ее компонентами или определить вид этого отношения.

Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии сообщаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи - это указание того, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной (Найти площадь прямоугольника) или вопросительной форме (Чему равна площадь прямоугольника?).

Рассмотрим задачу: "На тракторе "Кировец" колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе "Казахстан" - за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора. За сколько дней будет вспахано поле?" Условие этой задачи. "На тракторе "Кировец" колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе "Казахстан" - за 15 дней. На вспашку поставлены оба трактора". В нем описываются отношения между тремя величинами: объемом работы, производительностью труда и временем выполнения работы, причем в трех различных ситуациях.                                                                                                                                 Первая ситуация. Некоторый объем работы выполняется только на тракторе "Кировец" с

определенной производительностью. Известно значение одной величины, а именно время

работы - 10 дней. Значения других величин известны.

Вторая ситуация. Тот же объем работы выполняется только на тракторе "Казахстан" с

определенной производительностью. Известно время работы - 15 дней. Значения других

величин неизвестны.

Третья    ситуация.    Тот    же    объем    работы    выполняется    двумя    тракторами    с

соответствующей    каждому    производительностью.    Значения    всех    трех    величин

неизвестны.

Требование (вопрос) задачи: "За сколько дней будет вспахано поле?" В нем указывается, что нужно найти одно из неизвестных значений величин, а именно время совместной работы. Это же требование должно быть сформулировано в повелительной форме: "Найти число дней, которое потребуется для вспашки поля двумя тракторами при совместной работе". В данной задаче пять неизвестных значений величин, одно из которых заключено в требовании задачи. Это значение величины назовем искомым.

Иногда задачи формулируются таким образом, что часть условия или все условие включены в одно предложение с требованием задачи. Например, приведенная выше задача может быть дана в такой формулировке: "На тракторе "Кировец" колхозное поле можно вспахать за 10 дней, а на тракторе на "Казахстан" - за 15 дней. За сколько дней можно вспахать это если будут работать оба трактора?" В ней часть условия ("будут работать оба трактора") помещена в предложение с требованием задачи. В следующем тексте все условие делается в одном предложении с вопросом: "За сколько дней вспашут поле тракторы "Кировец" и "Казахстан", работая вместе, если на одном из них поле может быть вспахано за 10 дней, а на другом - за 15 дней?"

В реальной жизни довольно часто возникают самые разнообразные заданные ситуации. Сформулированные на их основе задачи могут содержать избыточную информацию, т.е. такую, которая не нужна для выполнения требования задачи. Например,

в рассмотренной выше задаче для выполнения ее требования не имеют значения названия марок тракторов. Здесь важно лишь, что в задаче речь идет о двух тракторах с разной производительностью.

В задаче "Девочка нашла 10 белых и 5 подберезовиков, а мальчик 7 белых грибов. Сколько белых грибов нашли дети?" содержится избыточная информация о подберезовиках. Данное "5 подберезовиков" оказывается лишним. На основе возникающих в жизни задачных ситуаций могут быть сформулированы и задачи, в которых недостаточно информации для выполнения требований. Так, в задаче "Найти длину и ширину участка прямоугольной формы, если известно, что длина больше ширины на 3 м" недостаточно данных для ответа на ее вопрос. Чтобы можно было решить задачу, необходимо ее дополнить недостающими данными. Такими данными может быть значение площади или некоторые данные, по которым можно было бы определить одну из искомых сторон. Одна и та же задача может рассматриваться как задача с избыточными (недостающими) данными и как задача с достаточным числом данных в зависимости от имеющихся у решающего знаний. Например, ученик, не имеющий знаний о вспашке поля как задачу с недостающей информацией. Решить ее он сможет, если в эту задачу ввести, например, значение о площади вспахиваемого поля. При наличии знаний о дробях и действиях с ними ответить на вопрос задачи можно и, не зная площади поля.

Ключ к решению задачи - это анализ ее решения, на основе которого устанавливается зависимость между данными и искомыми значениями величин.   Традиционный основной прием анализа задач - разбор от вопроса и от числовых данных. Обратим внимание на толкование этих понятий. Разбор задачи от вопроса - это суждение, которое состоит в том, чтобы подобрать два числовых значения одной или разных величин таким образом, чтобы дать ответ на вопрос задачи. Одно из значений или оба могут быть неизвестными. Для их нахождения подбираются два других, и так продолжается процесс подбора, пока не приходим к известным числовым значениям величин. В результате такого разбора учащиеся устанавливают зависимость между числовыми значениями величин, расчленяют ее на простые задачи и составляют план ее решения.

Установить связь между числовыми данными задачи и расчленить ее на ряд простых, можно и путем разбора от числовых данных. Разбор задачи от числовых данных состоит в том, что к двум числовым данным подбирается вопрос, затем к следующим двум данным, одно из которых может быть результатом первого действия, подбирается следующий вопрос. И этот процесс продолжается, пока не будет получен ответ на вопрос задачи. В некоторой методической литературе разбор задачи от вопроса называется «аналитическим методом разбора, а разбор задачи от числовых данных - «синтетическим методом разбора».

Но и первый и второй методы разбора есть анализ условия задачи, поскольку оба они направлены на расчленение составной части задачи на простые. Указанные способы разбора задач являются средством раскрытия пути их решения. При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить этапы. На первом этапе необходимо:

1. научить детей анализировать условие составной задачи и проводить рассуждение при
   ее разборе от вопроса;
2. довести до сознания учащихся, что для ответа на вопрос задачи необходимо, чтобы в ее
   условии было дано не менее двух числовых данных.

Достигнуть этого можно путем решения серий простых задач на все четыре действия без числовых данных, с неполными и полными данными. Затем решаются простые задачи разных видов, связанные с действиями вычитания, умножения и деления. Учитель на доске, а учащиеся в тетрадях чертят схемы. Дается установка: прямоугольники со знаком вопроса задачи начертить длиной в две клетки и высотой в одну; на одну клетку ниже начертить два других прямоугольника так, чтобы расстояние между ними было в две клетки, и соединить их между собой отрезками.

В результате решения простых задач с графической иллюстрацией учащиеся убеждаются, что для решения задачи необходимо, чтобы в ее условии было дано не менее двух числовых данных одной или нескольких величин, а также приобретают навыки правильно формулировать вопросы при анализе задачи. На втором этапе решаются задачи в два и три действия с полным анализом и его графической иллюстрацией.                        Таким образом, чтобы сформировать у учащихся понятие анализа составных задач и выработать умение вести рассуждение, необходимо решить значительное количество задач разной структуры. При фронтальном разборе задачи схему на доске чертит учитель, а учащиеся анализируют условие задачи. В тетрадях дети чертят схемы по указанию учителя, главным образом при ознакомлении с новым видом задач и при выполнении домашнего задания.

Схема дает наглядное представление о разбиении составной задачи на простые и служит опорой мыслительной деятельности учащихся при анализе задачи, как от вопроса, так и от числовых данных. При этом создаются благоприятные условия для повторения           анализа.                                                                                                                                      На третьем этапе, когда учащиеся овладели полным анализом задачи от вопроса и от числовых данных, возникают условия для дальнейшего развития абстрактного мышления учащихся и повышения эффективности работы над задачей, используя неполный анализ при разборе задач.

Полный анализ задачи, решаемой в 4— 5 действий, является многословным, забирает много времени. В учебниках для начальных классов значительное количество составляют задачи с прямым указанием на выполнение действия, г. е. задачи, «прозрачные». Применение к таким задачам полного анализа тормозит движение мысли учащихся, так как большинство детей сразу могут составить план решения, если задача сокращенно записана в удобной форме. Анализ условия прозрачных задач способом разбора от числовых данных целесообразно сочетать с сокращенной записью их условия. При этом учащиеся с начала знакомятся с содержанием задачи и затем составляют сокращенную запись одновременно с анализом ее условия. Такое сочетание дает четкое представление о полезности работы по сокращенной записи условия задачи, при которой записываются не только числа, но и математические выражения, укорачивает ее запись.

Предпосылкой для такой работы является умение учащихся устанавливать связь между данными и искомыми в простых задачах, которой они овладевают в процессе их решения в I—II классах. В зависимости от подготовки учащихся часто бывает полезно провести подготовительную работу к решению составной задачи. С этой целью предлагается решить устно несколько простых задач тех видов, с которыми они будут соприкасаться при решении составной задачи. Сочетание составления краткой записи условия задачи с его анализом, при котором записываются как числа, так и соответствующие выражения, дает возможность не только уяснить содержание задачи, но и выявить зависимость между числовыми значениями величина наметить порядок действий, сократить рассуждение, используя неполный анализ, при котором числовые выражения воспринимаются как известные данные.

Для  учащихся,  которые затрудняются  составить план решения,  ведется  более подробный анализ.

В учебнике имеются задачи, требующие найти сумму нескольких значений одной величины, в которых каждое последующее значение больше или меньше предыдущих значений на несколько единиц. Составление сокращенной записи условия таких задач с их анализом, при котором записываются не только числа, но и выражения, не только укорачивает условие задачи, но и делает более прозрачный путь к ее решению. Решая задачи, которые включают в себя простые задачи, сокращенная запись условия задачи, при которой записываются выражения. Учащиеся не только воспроизводят знания связей между числовыми значениями простых задач, но и обогащаются знаниями о новых связях, на основе которых сочетаются простые задачи.

В курс математики начальных классов включены составные задачи, которые имеют несколько числовых значений различных величин и связанных различными зависимостями. В решении таких задач многие учащиеся затрудняются. Сокращенная запись условия задачи, при которой «прозрачные» связи зависимости между числовыми значениями величин записываются с помощью математических выражений, значительно облегчает разбор и решение задачи. При этом задача разделяется на две части: на «прозрачную» часть и часть, в которой зависимость между числовыми значениями величин дана в завуалированном виде.

При решении многих задач учащиеся допускают ошибки из-за того, что не умеют представить жизненную ситуацию, описанную в задаче, и не умеют осознать отношения между величинами.

Ко всем ли задачам нужна краткая запись? Конечно, нет. В учебниках имеются задачи с небольшими числами, кратко сформулированные, решение которых дети могут легко записать с помощью математического выражения.

Таким образом, планируя на уроке решение составных задач, следует творчески использовать в работе различные методические приемы.

Сочетание сокращенной записи условия задачи с ее анализом, когда записываются не только числа, не и выражения, предполагающие определенные действия, делают задачу более «прозрачной» в поиске ее решения. При этом создаются условия для экономии времени и повышения эффективности и самостоятельности работы учащихся.

Кроме этого, возникают условия для дифференцированной работы учащихся. Дети, которые после сокращенной записи условия задачи умеют составить план решения задачи, приступают к самостоятельному его выполнению, а для учащихся, которые затрудняются, ведется более подробный анализ условия задачи с использованием наглядности.

После того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Полезно подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на трудности при поиске решения задачи, проанализировать неверно найденное решение, выявить новую и полезную для учащихся информацию.

Такой подход к обучению решению задач будет способствовать формированию приемов работы над задачей, элементов творческого мышления учащихся наряду с реализацией непосредственных целей обучения.

Программой по математике для начальной школы предусмотрено использование различных приемов работы, и это нашло отражение в учебниках математики. Предлагаются задания: реши задачу другим способом, составь и реши обратную задачу, измени вопрос так, чтобы задача решалась в одно (два) действие и др. Каждый из приемов применяется с определенной учебной и развивающей целью. Однако такие задания выполняются в том случае, когда в учебнике дано соответствующее указание. Принято считать, что развитию математического мышления и творческой активности учащихся способствует решение нестандартных задач.

Действительно, задачи такого рода вызывают у детей интерес, активизируют мыслительную деятельность, формируют самостоятельность, не шаблонность мышления. Но ведь почти каждую текстовую задачу можно сделать творческой при определенной методике обучения решению.

Существуют приемы и формы организации работы при обучении младших школьников решению задач, которые, как показывает опыт, способствуют развитию творческой активности и мышления учащихся, вырабатывают стойкий интерес к решению текстовых задач и которые недостаточно часто применяются в практике работы. Один из таких приемов работы над задачей — изменение вопроса задачи. Этот прием используется с различной дидактической целью. Такой прием находит отражение в учебниках математики для I и II классов.

Крайне редко используется прием по изменению вопроса в III классе, несмотря на то, что применение его приносит большую пользу и позволяет более полно использовать условие той или иной задачи.

Поиск различных способов решения задачи - один из эффективных приемов, позволяющих глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно направить деятельность учащихся на поиск решения, их сравнения и выбор рационального. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и умения решать задачи. Однако большую помощь для более глубокого осмысления взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, окажет постановка продуманных вопросов и поиск ответов на них.

Целесообразность применения того или иного приема работы над задачей требует от учителя тщательного продумывания цели решения задачи, изучения содержания задачи, особенности ее решения.

                       1.2. Моделирование и способы решения текстовых задач.                                                                 

Решить задачу - это значит через логически верную последовательность действий и операций с имеющимися в задаче явно или косвенно числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).

В качестве основных в математике различают арифметические и алгебраические способы решения задач. При арифметическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате выполнения арифметических действий над числами. Различные арифметические способы решения одной и той же задачи отличаются отношения между данными, данными и неизвестными, данными и искомым, положенными в основу выбора арифметических действий, или последовательностью использования этих отношений при выборе действий. Решение текстовой задачи арифметическим способом - это сложная деятельность, содержание которой зависит как от конкретной задачи, так и от умений решающего. Тем не менее, в ней можно выделить несколько этапов:

1. Восприятие и анализ содержания задачи.
2. Поиск и составление плана решения задачи.
3. Выполнение плана решения. Формулировка вывода о выполнении требования
   задачи (ответа на вопрос задачи).
4. Проверка решения и устранение ошибок, если они есть.

Формулировка окончательного вывода о выполнении требования за дачи или ответа на вопрос задачи. Следует подчеркнуть, что в реальном процессе решения задачи, отмеченные этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются одинаково полно. Так, иногда уже при восприятии задачи решающий может обнаружить, что данная задача - известного ему вида, и он знает, как ее решать. В том случае поиск решения не вычленяется в отдельный этап и обоснование каждого шага при выполнении первых трех этапов делает необязательной проверку после выполнения решения. Однако полное, логически завершенное решение обязательно содержит все этапы. А знание возможных приемов выполнения каждого из этапов делает процесс решения любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, и более успешным.

Основная цель первого этапа решения - понимание решающим в целом ситуации, описанной в задаче, понимание условия задачи, ее требование или вопроса, смысла всех терминов и знаков, имеющих в тексте.

Известно несколько приемов, применение которых способствует пониманию содержания   задачи.

Прочитаем, например, такую задачу:

          По дороге в одном и том же направлении идут два мальчика. Вначале расстояние между      ними было 2 км, но так как скорость идущего впереди мальчика 4 км/ч, а скорость второго 5 км/ч, то второй нагоняет первого. Сначала движения до того, как второй мальчик догонит первого, между ними бегает собака со средней скоростью 8 км/ч, от идущего позади мальчика она бежит к идущему впереди, добежав, возвращается обратно и так бегает до тех пор, пока мальчики не окажутся рядим. Какое расстояние пробежит за это время собака? Разобраться в содержании этой задачи, вычленить условие и требование ее можно, если задать специальные вопросы по тексту и ответить на них.

1. О чем эта задача? (Задача о движении двух мальчиков и собаки. Это движение характеризуется   для   каждого   его   участника   скоростью,   временем   и   пройденным расстоянием.)

2.Что  требуется  найти  в  задаче?  (В  задаче требуется  найти расстояние,  которое
                         пробежит собака за все это время.)

3.Что означают слова "за все это время"? (В задаче говорится, что собака бегает между
мальчиками с "с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого". Поэтому слова "за все это время" означают "за все то время с начала движения до того, как второй мальчик догонит первого".)

4.Что в задаче известно о движении каждого из участников?

  (В задаче известно, что: 1) мальчики идут в одном направлении; 2) до начала движения   расстояние между мальчиками было 2 км; 3) скорость первого мальчик, идущего впереди, 4 км/ч; 4) скорость второго мальчика, идущего позади, 5 км/ч; 5) скорость бега собаки 8 км/ч; 6) время движения всех участников одинаково: это время от начала движения, когда расстояние между мальчиками было 2 км, до момента встречи мальчиков, т.е. до момента, когда расстояние между ними стало 0 км.

5. Что дальше известно? (В задаче неизвестно, в течении какого времени второй мальчик догонит первого, т.е. неизвестно время движения всех его участников. Неизвестно также, с какой скоростью происходит сближение мальчиков. И неизвестно расстояние, которое  пробежала собака, - это требуется узнать в задаче.)

  6. Что является искомым: число, значение величины, вид некоторого отношения?
 (Искомым является значение величины - расстояния, которое пробежала собака за общее   для всех участников время движения.)                                                             Большую помощь в осмыслении содержания задачи и создания основы для поиска решения задачи оказывает переформулировка текста задачи - замена данного в нем описания ситуации другим, сохраняющим все отношения, связи и количественные характеристики, но и более явно их выражающим.

                Особенно эффективно использование этого средства в сочетании с разбиением текста на смысловые части.

Направления переформулировки могут быть следующие: отбрасывание несущественной, излишней информации; замена описания некоторых понятий соответствующими терминами и, наоборот, замена некоторых терминов описанием смысла соответствующих понятий; переорганизация текста задачи в форму, удобную для поиска решения. Результатом переформулировки должно быть выделение основных ситуаций. Так, заметив, что речь в приведенной выше задаче идет о движении, ее можно переформулировать следующим образом: "Скорость первого мальчика 4 км/ч, а скорость догоняющего его второго мальчика 5 км/ч (первая часть задачи). Расстояние, на которое мальчики сблизились, 2 км (вторая часть). Время ходьбы мальчиков - это время, в течение которого второй мальчик пройдет на 2 км больше, чем первый (третья часть). Скорость бега собаки 8 км/ч. Время бега собаки равно времени ходьбы мальчиков до встречи. Требуется определить расстояние, которое пробежала собака.". Учащиеся с первых дней учатся решать текстовые арифметические задачи. Но более глубокое изучение текстовых арифметических задач происходит в 3 классе.

В третьем классе продолжается работа по формированию у учащихся умения решать как простые, так и составные текстовые арифметические задачи различных видов. К этому времени учащиеся усваивают общее умение решать арифметические задачи: умеют анализировать задачу, выделяя данные и искомое, устанавливать соответствующие связи, на основе которых выбирают арифметические действия, выполнять решение и проверять его, умеют по разному оформлять решение. Это позволяет в большей мере, чем прежде, привлекать детей к самостоятельному решению не только задач знакомой структуры, но и новой, а следовательно, и закреплять это общее умение. С начала учебного года в этих целях можно использовать известную памятку "Как решать задачу". За предшествующие два года обучения дети, кроме того, научились решать простые задачи различных видов, а также составлять задачи в два или три действия. Для закрепления умения решать эти задачи их надо предлагать в течение года для самостоятельного решения устно или с записью. При этом для развития учащихся весьма полезны упражнения творческого характера: составление задач и их решение, преобразование данных задач и их решений, сравнение задач, сравнение решений задач и т.п. Включая такие упражнения, важно соблюдать дифференцированный подход, учитывая разную степень готовности учащихся к их выполнению.

В 3 классе вводятся новые виды простых и составных задач. В методике работы по решению каждой из них просматриваются, как и ранее, определенные этапы. Сначала идет подготовка к введению задач нового вида, которая сводится к выполнению специальных упражнений, предусмотренных в учебнике или составленные учителем. Далее идет ознакомление с решением задач нового вида: под руководством учителя, с большей или меньшей долей самостоятельности, ученики решают задачу или несколько задач. В дальнейшем ведется работа по совершенствованию умения решать задачи рассмотренного вида. Как правило, на этом этапе ученики решают задачи самостоятельно устно или с записью решения, при этом используют различные формы записи: отдельными действиями с пояснением в утвердительной или вопросительной форме, а также без пояснений, в виде выражения. Здесь также эффективны различные упражнения текстового характера. Очень важно научить детей выполнять проверку решения задач новых видов и чаще побуждать их проверять решения. Сообразуясь с целями работы, следует каждый раз подбирать соответствующую форму организации занятий: продумать, будут ли дети решать задачи индивидуально или объединяться группами (парами, тройками или по-другому). 

Рассмотрим особенности методики обучения решению каждой из задач ново математической структуры.

  К новым видам простых задач относятся задачи на увеличение (уменьшение) данного числа или значения величины на несколько единиц или в несколько раз, сформулированные в косвенной форме; задачи на вычисление времени; задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием. Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформулированные в косвенной форме, задачи на вычисление времени, задачи, с помощью которых раскрывается связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием. Задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц выраженных в косвенной форме надо воспроизвести знание этого отношения. Ученики сами могут сформулировать соответствующий вывод после решения задачи на разностное сравнение с двумя вопросами.

Например: "В школьном шахматном турнире участвовало 46 мальчиков и 24 девочки. На сколько больше мальчиков, чем девочек участвовало в турнире? На сколько меньше девочек, чем мальчиков участвовало в турнире?" Решив задачу, ученики объясняют, что девочек было на столько же меньше, чем мальчиков, на столько мальчиков было больше, чем девочек. В результате ряда аналогичных наблюдений ученики могут сформулировать вывод в обобщенном виде. При ознакомлении с решением задач, сформулированных в косвенной форме, можно сначала решить задачу, сформулированную в прямой форме, а от нее перейти к задаче того же вида, сформулированной в косвенной форме. Аналогично вводятся задачи на увеличение и уменьшение числа в несколько раз, сформулированные в косвенной форме. При этом надо предусмотреть их сравнение с соответствующими задачами на увеличение и уменьшения числа на несколько единиц. Задачи на вычисление времени трех видов (нахождение продолжительности события, его начала и конца) рассматривались и ранее, но их решение выполнялось подсчетом минут, часов, дней (суток) по циферблату часов или календарю. Здесь же при решении таких задач выполняются арифметические действия - сложение или вычитание. Циферблат или календарь также можно использовать как для решения, так и для проверки решения. С помощью решения простых задач, включающих в величины: скорость, время и расстояние, раскрывается связь между этими величинами при равномерном движении, что служит подготовкой к введению составных задач на движение.

В 3 классе вводятся также составные задачи новой математической структуры: задачи на пропорциональное деление разных видов, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям разных видов, задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях, задачи на совместную работу.

Раскроем особенности работы по решению этих составных задач.

   Задачи на пропорциональное деление вводятся по-разному: можно предложить для решения готовую задачу, а можно сначала составить ее, преобразовав задачу на нахождение четвертого пропорционального. В том и другом случае успех решения задач на пропорциональное деление будет определяться твердым умением решать задачи на нахождение четвертого пропорционального, поэтому в качестве подготовки надо предусмотреть решение задач соответствующего вида на нахождение четвертого пропорционального. Именно поэтому предпочтительней второй из названных вариантов введения задач на пропорциональное деление.

              Переходя к решению готовых задач из учебника, а также задач, составленных учителем, включающих различные группы величин, сначала надо установить, о каких величинах идет речь в задаче, затем записать задачу кратко в таблице, предварительно расчленив вопрос задачи на два вопроса, если в нем есть слово каждый. Решение, как правило, ученики выполняют самостоятельно, разбор ведется только с отдельными учениками.

Вместо краткой записи можно сделать рисунок. Например, если в задаче говорится о кусках материи, мотках проволоки и т.п., то их можно изобразить отрезками, записав соответствующие числовые значения данных величин. Заметим, что не следует каждый раз выполнять краткую запись или рисунок, если ученик, прочитав задачу, знает, как ее решить, то пусть решает, а краткой записью или рисунком воспользуются те, кто затрудняется решить задачу. Постепенно задачи должны усложняться путем введения дополнительных данных (например: "В первом куске было 16 м материи, а во втором в 2 раза меньше...") или постановкой вопроса (например: "На сколько метров материи было больше в первом куске, чем во втором9).

При ознакомлении с решением задачи на непропорциональное деление можно иди другим путем: сначала решить готовые задачи, а позднее выполнить преобразование задачи на нахождение четвертого пропорционального в задачу на пропорциональное деление и после их решения сравнить как сами задачи, так и их решения.

Обобщению    умения     решать     задачи     рассмотренного     вида    помогают упражнения творческого характера. Назовем некоторые из них.

До решения полезно спросить, на какой из вопросов задачи получится в ответе большее число и почему, а после решения проверить, соответствую ли этому виду полученные числа, что явится одним из способов проверки решения. Можно далее выяснить, могли ли получиться в ответе одинаковые числа и при каких условиях. Полезны

упражнения на составление задач учащимися с последующим решением их, а также упражнения по преобразованию задач. Это, прежде всего, составление задач, аналогичных решенной. Так, после решения задачи с величинами: ценой, количеством и стоимостью -предложить составить и решить похожую задачу с теми же величинами или с другими, например скоростью, временем и расстоянием. Это составление задач по их решению, записанному как в виде отдельных действий, так и в виде выражения, это составление и решение задач по их краткой схематической записи (см. приложение 1). Ученики называют величины, подбирают и называют соответствующие числовые данные, формулируют вопрос и решают составленную задачу. Такую схематическую запись можно выполнить на листе бумаги, причем название величин можно записать на карточках и вставить их в верхнюю графу (цена, количество, стоимость; масса одного предмета, число предметов, общая масса и др.).

Можно предлагать для составления задач краткую запись с числовыми данными или рисунок. Позднее, после рассмотрения задач на пропорциональное деление второго вида и задач на нахождение неизвестных по двум разностям можно выполнить упражнения на преобразование задачи одного вида в другой, а после их решения выполнить сравнение самих задач и решений этих задач.

Работа по ознакомлению с решением задач на пропорциональное деление второго вида может быть проведена аналогично рассмотренной. При решении задач этого вида ученики должны выполнять работу с большей долей самостоятельности, поскольку эти задачи сходны с задачами ранее рассмотренного вида (их решение отличается последними действиями: если ранее это было умножение, то здесь - деление). Однако сходство задач приводит к ошибкам: некоторые ученики смешивают решения этих задач, выполняя вместо деления умножение. Одним из средств предупреждения таких ошибок служит решение пар задач различного вида и последующее сравнение самих задач, а также их решений. Приведем пару таких задач

               1) В столовую в первую неделю привезли 4 одинаковых мешка крупы, а во вторую - 5 таких же мешков. Всего за эти две недели привезли 540 кг крупы. Сколько килограммов крупы привезли в каждую неделю?

               2) В столовую за две недели привезли 9 одинаковых мешков крупы. В первую неделю привезли 240 кг крупы, а во вторую - 300 кг. Сколько мешков крупы привезли в каждую неделю.

Записав каждую задачу кратко, ученики легко установят, в чем их сходство и в чем различие. После решения этих задач дети должны установить сначала сходство решений (обе задачи решаются четырьмя действиями, два первых действия одинаковые), а затем -различие (в первой задаче два последних действия - умножение, а во второй - деление). Заметим, что пары таких задач включены в учебник.

До ознакомления с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям важно предусмотреть специальные подготовительные упражнения, с помощью которых раскрывается основная проблема задачи.

После подготовительных упражнений можно перейти к ознакомлению с решением задач на нахождение неизвестных по двум разностям. Здесь, как и при ознакомлении с задачами на пропорциональное деление, можно использовать различные пути: можно сначала составить задачу на нахождение неизвестных по двум разностям, преобразовав знакомую задачу на нахождение четвертого пропорционального, а можно сразу предложить готовую задачу. В том и в другом случае надо записать кратко в таблице или выполнить рисунок и после того коллективного составления плана записать решение (лучше отдельными действиями с пояснениями).

                  На этапе закрепления умения решать задачи на нахождение неизвестных по двум разностям можно использовать упражнения аналогичные тем, которые предлагались при решении задач на пропорциональное деление. После введения задач на нахождение неизвестных по двум разностям второго вида.

               По аналогичной методике следует провести работу по сравнению задач этих двух видов и сравнению их решении. Полезны также упражнения по сравнению задач на пропорциональное деление и задач соответствующего вида на нахождение неизвестных по двум разностям. После того как в процессе решения простых задач ученики усвоят связи между величинами: скоростью, временем и расстоянием, включаются составные задачи с этими величинами различной математической структуры. Причем задачи этих видов были введены ранее, но они на встречное движение и в противоположных направлениях. Содержание этих задач включает новый элемент: здесь представлено совместное движение двух тел, что требует специального рассмотрения.  До введения задач на встречное движение важно провести соответствующую подготовительную работу. Надо познакомить с движением двух тел навстречу друг другу. Такое движение могут продемонстрировать в классе вызванные ученики.

               Например, два ученика-пешехода начинают двигаться одновременно от двух противоположных стен навстречу друг другу, а при встрече останавливаются. Ученики наблюдают, что расстояние между пешеходами все время уменьшалось, что, встретившись, они прошли все расстояние от стены до стены и что каждый затратил на движение до встречи одинаковое время. Под руководством учителя выполняется чертеж. Можно провести наблюдение на улице за движением автомашин, пешеходов, велосипедистов и т.п.

                   Расширить представления учащихся о встречном движении можно попутно с решением задач из учебника. С помощью упражнений надо выяснить, что значит «вышли одновременно» пешеходы, автомашины и т. п. и что при этом они были в пути до встречи одинаковое время. Необходимо также, чтобы ученики твердо усвоили связь между величинами: скоростью, временем и расстоянием при равномерном движении, т. е. умели решать соответствующие простые задач и.

                    При ознакомлении с решением задач на встречное движение можно на одном уроке ввести три взаимно обратные задачи. Сначала предложить задачу на нахождение расстояния, которое пройдут до встречи при одновременном выходе пешеходы, велосипедисты, поезда и т. п., если известны скорость каждого и время движения до встречи.

Ознакомление с задачами на движение в противоположных направлениях может быть проведено аналогично введению задач на встречное движение. Проводя подготовительную работу, надо, чтобы ученики пронаблюдали движение двух тел (пешеходов, автомашин и т. п.) при одновременном их выходе из одного пункта. Ученики должны заметить, что при таком движении расстояние между движущимися телами увеличивается.

 При этом надо показать, как выполняется чертеж.

При ознакомлении с решением задач этого вида тоже можно на одном уроке решить три взаимно обратные задачи, после чего выполнить сначала сравнение задач, а затем их решении. На этапе закрепления умения решать такие задачи ученики выполняют различные упражнения, как и в других случаях, в том числе проводят сравнение соответствующих задач на встречное движение и движение в противоположных направлениях, а также сравнение решений этих задач. Эффективны на этом этапе упражнения на составление различных задач на движение по данным в таблице значениям величин и соответствующим выражениям.

                 В 3 классе ученики знакомятся с новым для них способом на нахождение четвертого пропорционального - способом отношения. Поскольку математическая структура этих задач знакома учащимся, то представляется возможность создать при их решении проблемную ситуацию, а именно: предложить решить задачу уже известным способом. В дальнейшем ученики решают задачи преимущественно самостоятельно, причем при затруднении можно предложить им записать задачу кратко. Разбор и здесь проводится с теми учащимися, которые сами не могут решить задачу.

В программе по математике нет ограничений в отношении подбора задач, поэтому учитель может по своему усмотрению включать задачи и другой математической структуры. Вместе с тем надо учитывать основные требования программы в отношении уровня умений решать текстовые арифметические задачи учащимися, оканчивающими начальную школу: они должны приобрести твердые умения решать простые арифметические задачи на все действия, а также должны уметь решать несложные составные задачи в 2—3 действия. При алгебраическом способе ответ на вопрос задачи находится в результате составления решения уравнения. При решении любой задачи алгебраическим способом после анализа содержания задачи выбирается неизвестное, обозначается буквой, вводится в текст задачи, а затем на основе выделенных в содержании задачи зависимостей составляются два выражения, связанные отношением равенства, что позволяет записать соответствующее уравнение. Найденные в результате решения уравнения корни осмысливаются с точки зрения содержания задачи, а корни не соответствующие условию задачи отбрасываются. Если буквой обозначено искомое, оставшиеся корни могут сразу дать ответ на вопрос задачи. Если буквой обозначено неизвестное, не являющееся искомым, то искомое находится на основе взаимосвязей его с тем неизвестным, которое было обозначено буквой.

                    В начальном курсе обучения дети также знакомятся с графическим способом. Опираясь только на чертеж легко дать ответ на вопрос задачи. Иногда решение задачи графическим способом связано не только с построением отрезков, но и с измерением их длин.

                   При обучении решению текстовых задач необходимо достигнуть двух взаимосвязанных целей — обучить:

                      1) решению определенных видов задач;

                      2) приемам поиска решения любой задачи.

Первая из них важна потому, что дает необходимый опыт и возможность выделить в решаемой задаче те подзадачи, решение которых известно. Кроме того, при решении каждой новой задачи можно использовать те способы и приемы, которые давали прежде положительные результаты. Но на практике приходится встречаться с задачами, при поиске решения которых никакой прежний опыт не помогает и требуется догадка, «открытие». Можно ли помочь ученику прийти к такой догадке, дать ему некоторое средство, помогающее «открытию?» При реализации идей развивающего обучения такая цель представляется даже более важной, так как помогает развитию таких когнитивных способностей, как умение проанализировать новую ситуацию, на основе проведенного анализа принять правильное решение, выработать план действий и суметь осуществить его.

                             Для того чтобы решить поставленную задачу, необходимо построить ее математическую модель, а затем применить известные методы для нахождения числового значения искомых величин. При этом основная трудность как раз и состоит в переходе от текста к математической модели. Для построения математической модели необходимо, прежде всего, реконструировать в воображаемом внутреннем плане описываемую в задаче ситуацию, затем выделить в ней существенные признаки и абстрагироваться от всего того, что является несущественным с точки зрения поиска ответа на поставленный вопрос.

Например: «Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 р. Спрашивается, сколько аршин того и другого сукна купил купец, если синее сукно стоило 5 р. за аршин, а черное — Зр. за аршин?» Сначала он пытается разделить 540 на 138, затем 540 на 5 и т. п. Существенным является то, что речь идет о купце, о сукне синего и черного цвета. Поэтому задача не изменится, если ее сформулировать так: куплено два сорта материи по цене 3 р. и 5 р. за метр. Сколько куплено материи каждого сорта, если всего было куплено 138 м, а вся покупка стоила 540 р.? Несущественным является и то, что речь идет о некоторой коммерческой операции. Задачу можно было бы сформулировать и так: из 540 м материи сшили 138 платьев и блузок. Сколько сшили платьев и сколько блузок, если известно, что на платье расходовали по 5 м ткани, а на блузку — по 3 м? Что же существенно? То, что в задаче рассматриваются величины, связанные прямой пропорциональной зависимостью: количество купленной материи и ее стоимость (количество сшитых изделий и израсходованная ткань); то, что известна стоимость покупки (количество затраченной ткани), цена каждого вида материи (норма расхода на каждый вид изделия), количество всей купленной материи (вся израсходованная ткань); то, что неизвестно, сколько материи каждого вида куплено (сколько изделий каждого вида сшито). Для поиска решения необходимо выявить зависимости между указанными величинами. Согласно существующей методике это делается с помощью некоторого рассуждения. Но, как показывает практика, подобное рассуждение трудно воспринимается младшими школьниками. Возникает вопрос, как провести необходимое для поиска решения задачи рассуждение наиболее доступным младшему школьнику образом. Для этого можно представить всю существенно важную информацию в наглядной и легко обозримой форме — в виде картинки, т. е. построить некоторую промежуточную графическую модель. Почему предпочтение отдается графическим методам? Графическая информация легче для восприятия, более емкая (любой рисунок достаточно долго пришлось бы описывать словами), и, вместе с тем, может быть достаточно условной.

                          Требования, предъявляемые к графической модели предметной области задачи, можно сформулировать так. Она должна:

• «опредмечивать» абстрактные понятия;
• нести информацию лишь о существенных признаках задачи;

—давать     возможность     непосредственно     усматривать     зависимость                      между величинами, о которых идет речь в задаче;

• допускать ее практические преобразования;
• строиться на основании анализа текста задачи;
• не предъявлять неумеренных требований к графическим навыкам учащихся.
  Рисование графической схемы, во-первых, (вставляет ученика внимательно читать текст задачи;   во-вторых,   позволяет   перенести   часть   умственных   действий   в   действия практические и закрепить результат в  виде материального объекта;  в-третьих, дает возможность искать решение самостоятельно.

 Рассмотрим задачу: «В колхозе 40 автомашин - легковых и грузовых, причем на каждую легковую машину приходится четыре грузовые. Сколько легковых и сколько грузовых машин в колхозе?»

Изобразим каждую машину палочкой (40 машин - 40 палочек) известно, что на каждую легковую машину приводится 4 грузовые. Поэтому отложим одну палочку - это легковая машина. Под ней положим 4 палочки - это 4 грузовые машины. Будем поступать так до тех пор, пока все 40 палочек не окажутся разложены. Чтобы ответить на вопрос задачи, достаточно сосчитать, сколько палочек положено в верхнем ряду и сколько палочек положено в нижнем ряду. Такое решение задачи можно назвать практическим. Это еще один из способов решения текстовых задач.

               Обучение детей решению задач разными способами важно. Эта работа                                 развивает логическое мышление, интерес к уроку математики.                              Одним из основных приемов в анализе задачи является моделирование, которое помогает ученику не только понять задачу, но и самому найти рациональный способ ее решения.                                                                                                                                                       Что понимается под моделированием текстовой задачи? 

Моделирование в широком смысле слова - это замена действий с реальными предметами действиями с их уменьшенными образцами: моделями, муляжами, макетами, а также с их графическими заменителями: рисунками, чертежами, схемами и т.п. В роли моделей выступают не конкретные предметы, о которых идет речь в задаче, аих обобщенные заменители (например, круги, квадраты, отрезки, точки и т.п.). Показывая взаимоотношения величин с помощью отрезков с соблюдением масштаба, мы используем чертеж. Если же взаимосвязи и взаимоотношения передаются приблизительно, без точного соблюдения масштаба, то я работаю со схематическим чертежом или схемой»        Предметное и графическое моделирование математической ситуации при решении текстовых задач давно применяется в школьной практике, но без должной системы и последовательности, что объясняется неправильным пониманием роли наглядности в обучении и развитии учащихся. До сих пор многие учителя неправильно полагают, что наглядность обязательно должна быть только на начальном этапе обучения, а с развитием абстрактного мышления у детей она свое значение теряет. А между тем наглядность, особенно графическая, нужна на всем протяжении обучения как важное средство развития более сложных форм конкретного мышления и формирования математических понятий.

Моделирование при ознакомлении с решением задач на сложение и вычитание

Задачи на нахождение суммы и остатка являются первыми задачами, с которыми встречаются дети, и важно, чтобы каждый ребенок понял, каким действием решается задача и почему.

Работу по освоению детьми моделирования текстовых задач можно условно разбить на три этапа:

 1этап. Обучение детей преобразованию предметных действий в работающую модель. Задача учителя на данном этапе - показать учащимся стандартные операции с множествами: объединение двух непересекающихся множеств, удаление из множества его подмножества, а так же отношения между множествами: эквивалентность множеств, множество - собственное подмножество (целое - часть).

                         II этап. Обучение детей составлению обратных задач к данной на основе
работы с моделью, группировка задач и моделей по видовым группам (неизвестно целое; неизвестна часть).

  III этап. Творческая работа детей над задачей на основе использования
модели: подбор модели к задаче и задачи к модели, модификация сюжета задачи, составление аналогичной задачи с тем, чтобы она решалась по той или иной модели, обоснование правильности решения задачи на основе модели, исключение из текста задачи лишних условий и дополнение содержания задачи недостающими данными.

Рассмотрим подробнее каждый из перечисленных этапов работы над задачей.

Обучение детей преобразованию предметных действий в работающую модель

Вот как я  организую работу при знакомстве детей с простейшим предметным моделированием условия задачи на сложение, например:

* У мальчика было 3 красных мяча и 2 синих. Сколько мячей было у мальчика?

                   Ребенок, повторяя yусловие задачи, берет 3 красных мяча, показывает их детям, кладет в коробку, находит карточку с обозначением числа 3. Затем берет 2 синих мяча и, показав их детям, находит карточку с обозначением числа 2.

Учитель. О чем спрашивается в задаче?

Дети. Сколько мячей было у мальчика.

У. Что нужно сделать с синими мячами в нашей задаче, чтобы мячи были все вместе?

Д. Их нужно сложить вместе с красными. (Дети кладут синие мячи в коробк\>, где лежит 3 красных мяча.)

У. Сколько красных мячей было в коробке?

Д. Три красных мяча.

У. А теперь мячей в коробке стало больше или меньше?

Д. Стало больше.

У. Почему?

Д. Мы к трем мячам добавили еще два мяча.

У. Как мы это запишем?

Д. Три плюс два (3 + 2).

У. Сколько же всего мячей было у мальчика?

 Д. У мальчика было пять мячей.

У. Как вы узнали?

Д. К трем прибавили два, получили пять.

   У. А как можно узнать по-другому?

  Д. К трем прибавить один, будет четыре, и еще один, будет пять.

  У. Давайте проверим, правильно ли мы решили задачу: достанем мячи из коробки и             пересчитаем.

                  Дети вынимают мячи из коробки и пересчитывают их. Они убеждаются, что мячей             действительно пять.

                Затем переходим от предметного к графическому моделированию.

                 У. Давайте запишем задачу и ее решение в тетради. Как можно изобразить в тетради мячи?

 Д. Кружками.

 У. Сколько красных кружков вы нарисуете?

 Д. Три красных кружка.

 У. А сколько синих?

 Д. Два синих кружка.

 Дети рисуют 3 красных кружка, а рядом 2 синих.

У. Что спрашивается в задаче?

 Д. Сколько всего мячей?

                      У. Как мы это покажем? Давайте изобразим это вот такой большой скобкой: как будто две руки собирают все мячи вместе. (Дети рисуют скобку.} Но ведь в задаче это еще не известно, а только спрашивается. Напишем под скобкой вопросительный знак.

              В результате у детей в тетради получается графическая модель задачи.

У. Закройте кружки полоской бумаги. Как узнать, сколько всего кружков, не пересчитывая их?   Что нужно сделать?

Д. Нужно сложить числа 3 и 2.

У. Запишем под рисунком решение: 3 + 2 = 5 (м.). Сколько всего мячей у мальчика?

Д. У мальчика пять мячей.

Учитель подводит итог: целое определяли по известным частям, целое больше своих    частей.

Для разъяснения смысла вычитания мы также используем моделирование и представление       детей о соотношении целого и части. Вот как мы работаем, например, с задачей:

• У Маши было 6 яблок. 2 яблока она дала Тане. Сколько яблок осталось у Маши?

Предметное моделирование задачи выполняется одновременно с ее анализом, так как только  в этом случае, как показала практика, оно будет действенным средством, оказывающим реальную помощь в обучении детей самостоятельному решению задач.

У. Сколько яблок было у Маши?

Д. У Маши было шесть яблок.

Учитель или кто-то из детей берет бумажные модели 6 яблок и кладет их в корзину.

У. Нарисуйте в тетрадях столько же кружков, сколько яблок было у Маши. (Рисует на доске 6 кружков, дети рисуют столько же кружков в тетрадях.) Сколько яблок Маша отдала Тане?

Д. Два яблока.

 Ребенок или педагог вынимают из корзины 2 яблока.

У. Как это отметить на рисунке? Зачеркните столько кружков, сколько яблок Маша отдала  Тане.

Педагог на доске, а дети в тетрадях выполняют задание. В результате получается            графическая модель условия задачи.

 У. Покажите оставшиеся яблоки на рисунке, обозначьте их скобкой и поставьте под нею знак вопроса.

У. (закрывая полоской бумаги оставшиеся яблоки). Как же узнать, сколько яблок осталось у Маши?

Д. Надо из шести вычесть два (6 - 2).

Дети под рисунком записывают решение (6-2 = 4 (яб.)) и ответ (У Маши осталось 4 яблока.) Вынимают из корзины оставшиеся яблоки и считают их, убеждаясь в правильности ответа. Под руководством педагога дети выясняют, что б яблок - это целое, которое состоит из двух частей: яблоки, которые отданы, и яблоки, которые остались.

Практика показала: дети охотно выполняют такие рисунки, объясняют и записывают по ним решение.

Моделирование применялось мной и при ознакомлении детей с решением задач на нахождение неизвестного слагаемого.

Рассмотрим такую задачу:

* Девочка вымыла 3 большие чашки и несколько маленьких. Всего она вымыла 5 чашек. Сколько маленьких чашек вымыла девочка?

Педагог достает из коробки в произвольном порядке чашки по одной и пересчитывает их вместе с детьми. Они убеждаются, что в коробке всего 5 чашек. Педагог складывает чашки в коробку, затем вынимает 3 большие чашки и ставит их на стол.

У. Я достал большие чашки. Сколько их?

Д. Три большие чашки.

У. Это все чашки или часть?

Д. Это не все чашки. Это часть чашек.

У. Какие еще чашки в коробке?

Д. Маленькие.

У. Мы знаем, сколько их?

Д. Нет, не знаем.

У. Сколько всего было чашек в коробке?

 Д. В коробке было пять чашек.

 У. Что мы сделали, чтобы остались только маленькие чашки?

Д. Вынули из коробки большие чашки, и в коробке остались только маленькие.

По предложению детей чашки было решено обозначить квадратами, в результате получился схематический рисунок.

  У. Как же узнать, сколько маленьких чашек вымыла девочка?

   Д. Нужно из пяти вычесть три, получится два, то есть из всех чашек вычесть большие, получим маленькие.

Дети под схемой записывают решение (5-3 = 2 (чаш.)) и дают ответ на вопрос задачи.

Как видим, объяснение выбора арифметического действия такое же, как и при решении задач  на нахождение остатка.

 Покажем, как мы моделировали задачи на нахождение неизвестного уменьшаемого. 

Рассмотрим это на примере такой задачи:

• Когда с полки сняли 2 книги, там осталось 4. Сколько книг лежало на  полке сначала?

У. Как мы изобразим книги?

Д. Прямоугольниками.

У. Сколько книг осталось на полке?

 Д. Четыре книги.

У. Изобразим их.

 Педагог рисует на доске и выставляет в верхней части наборного полотна 4 прямоугольника, дети рисуют их у себя в тетрадях

   У. Почему книг на полке стало меньше?

  Д. С полки сняли две книги.

  У. Изобразим две книги внизу, под скобкой.

 Педагог выставляет 2 прямоугольника в нижней части наборного полотна и рисует эти же фигуры на доске, а дети в тетрадях.

 -  Где были раньше эти книги?

 Д. Лежали на полке.

У. Покажем, где они лежали.

Изобразим две книги пунктиром рядом с четырьмя прямоугольниками.

 -Как же узнать, сколько всего книг было на полке?

  Д. Нужно сложить книги, которые остались на полке, и те, которые сняли, то есть к четырем прибавить два (4 + 2).

  Педагог переставляет 2 прямоугольника в верхнюю часть наборного полотна. Под рисунком дети записывают решение (4 + 2 = 6 (кн.)) и дают ответ на вопрос задачи.

В подобных задачах дети при выборе арифметического действия рассуждают так же, как    при решении задач на нахождение суммы.

Обучение детей составлению обратных задач к данной на основе работы с моделью

    Моделирование создает большие возможности для организации работы детей по преобразованию задачи из одного вида в другой. При обучении детей составлению обратных задач к данной на основе работы с моделью желательно знакомить их сразу с группой задач, которые разбиваются на три блока.

Первый блок. Основная задача - на конкретный смысл действия сложения; обратные - на нахождение неизвестного слагаемого.

Второй блок. Основная задача - на конкретный смысл действия вычитания; обратные - на нахождение неизвестного уменьшаемого или вычитаемого.

Третий блок. Основная задача - на увеличение числа на несколько единиц в прямой форме; обратные - на уменьшение числа на несколько единиц в косвенной форме и на разностное сравнение.

Рассмотрим работу над основной задачей первого блока - на конкретный смысл действия сложения:

• В вазу положили 5 красных яблок и 3 зеленых яблока. Сколько яблок лежит в вазе?

Одновременно с разбором задачи один из учеников, вызванный к доске, моделирует задачу на наборном полотне с помощью кругов двух цветов: красного и зеленого. Остальные учащиеся рисуют круги цветными карандашами у себя в тетради. На фланелеграфе получается такая схема.

Под рисунком записывают решение (5 + 3-8 (яб.)) и ответ. Далее учитель вместо вопросительного знака ставит цифру 8 и закрывает красные яблоки чистым листом бумаги.

У. Известно ли теперь нам число красных яблок?

Д. Они закрыты. Их не видно. Неизвестно сколько их.

У. Как на модели мы обозначаем неизвестную величину?

Д. Знаком вопроса.

Педагог дополняет модель вопросительным знаком и предлагает детям нарисовать у себя в тетради модель-схему и составить задачу по ней.

Дети предлагают свои формулировки задач, например:

• В вазу положили яблоки: красные и зеленые. Красных не
  знаем сколько. Зеленых - 3. Всего в вазе лежит 8 яблок. Сколько
  красных яблок положили в вазу?

• Сколько красных яблок положили в вазу? Зеленых поло
  жили 3, а всего положили 8 яблок.
• Сколько красных яблок положили в вазу, если всего поло
  жили 8, а зеленых - 3?

Как видим, мы получили задачу другого вида - на нахождение неизвестного первого слагаемого. Дети записывают решение задачи и ответ.

У. Какое число мы получили в ответе? Прочитайте ответ.

Д. Пять красных яблок.

У. Это число нам было известно в предыдущей задаче? Кто помнит?

Д. Да. Нам было известно число красных яблок. Их было пять.

У. Значит, мы верно решили эту задачу.

Аналогично, преобразуя модель, работаем над задачей на нахождение неизвестного второго слагаемого. В результате такой работы дети получают первые представления о задачах, обратных к данным, о проверке задачи через составление и решение обратной задачи.

Рассмотрим пример основной задачи второго блока:

» В вазе лежало 7 яблок, за обедом съели 3 яблока. Сколько яблок осталось в вазе?

У. Известно ли, какие яблоки лежали в вазе?

Д. Неизвестно. Только известно, что их лежало семь.

У. Как же мы обозначим яблоки?

Д. Можно белыми кругами.

 У. Сколько яблок съели за обедом?

Д. За обедом съели три яблока.

Совместно с детьми создается модель задачи на наборном полотне или фланелеграфе

У. Как это показать на модели?

Д. Отодвигаем три яблока вправо.

У. Давайте закроем те яблоки,, которые остались в вазе, чтобы нам не было видно их. О   чем спрашивается в задаче?

Д. Сколько яблок осталось?

У. Значит, это будем определять, это нам неизвестно. Поставим знак вопроса. (Модель к задаче приобретает следующий вид.)

Объяснение выбора действия аналогично предыдущему примеру. Разница в том, что здесь находим не целое, а часть. Под рисунком записывают решение (7-3 = 4 (яб.)) и ответ. Далее учитель вместо вопросительного знака ставит цифру 4 и убирает карточку с цифрой 7.

У. Что нам теперь неизвестно?

Д. Неизвестно, сколько всего было яблок в вазе.

У. Обозначьте на модели неизвестную величину знаком вопроса.

Дет и в тетрадях, а учитель на модели ставит внизу знак вопроса.

Далее по полученной схеме дети составляют задачи:

*        В вазе лежало несколько яблок. За обедом съели 3 яблока. После этого в вазе осталось 4 яблока. Сколько яблок лежало в вазе?

* После того как за обедом съели 3 яблока, в вазе осталось 4 яблока. Сколько яблок было в вазе до обеда?

*        Сколько яблок лежало в вазе, если после обеда там осталось 4 яблока, а за обедом съели 3 яблока?

Внимание детей обращается на то, что все задачи составлены по одной модели, а значит, они имеют одно и то же решение.

Под рисунком  решение (3 + 4 = 7 (яб.)) и ответ.        

Как видим, мы получили задачу другого вида - на нахождение неизвестного уменьшаемого.

Аналогично, преобразуя модель, составляем задачу на нахождение неизвестного вычитаемого. Для этого учитель вместо вопросительного знака ставит цифру 7 и убирает карточку с цифрой 3, заменяя при этом 3 круга 1 прямоугольником.

У. Что нам теперь неизвестно?

Д. Неизвестно, сколько яблок из вазы съели за обедом.

У. Обозначьте на модели неизвестную величину знаком вопроса.

Дети в тетрадях, а учитель на модели ставит знак вопроса сверху над прямоугольником, обозначающим съеденные яблоки.

По полученной схеме дети вновь составляют задачи:

• В вазе лежало 7 яблок, за обедом сколько-то яблок съели. Сколько яблок съели, если после этого там осталось 4 яблока?
• За обедом съели несколько яблок, после этого в вазе осталось еще 4 яблока. Всего в вазе лежало 7 яблок. Сколько яблок из вазы съели за обедом?
• Сколько яблок из вазы съели за обедом, если их там осталось 4, а всего было 7 яблок?

Под рисунком записывают решение (7-4 = 3 (яб.)) и ответ.

По окончанию описанной работы с моделями второго блока желательно иметь их все перед глазами для того, чтобы провести сравнение моделей и закрепить объяснение выбора арифметического действия к каждой задаче.

У (показывая на одну из моделей). Каким действием решалась задача и почему?

Д. На модели мы видим, что нам неизвестна часть. Чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую часть. Задачу решаем вычитанием. На модели мы видим, что нам неизвестно целое. Чтобы найти целое нужно сложить части - решаем задачу сложением.

Рассмотрим пример основной задачи третьего блока - на увеличение числа несколько единиц:

Сестра посадила 3 куста смородины, а брат на 2 куста
больше, чем сестра. Сколько кустов смородины посадил брат?

У. Как изобразим кусты?

Д. Треугольниками.

У. Сколько кустов посадила сестра?

Д. Три куста.

У. Нарисуйте три треугольника. А что сказано про кусты брата?

Д. Их на два больше, чем посадила сестра.

У. Что значит на два больше?

Д. Значит, столько же, да еще два.

У. А известно ли, сколько всего кустов посадил брат?

Д. Нет. Это нужно найти.

Совместно с детьми на доске создается модель задачи.

У. Как же узнать, сколько кустов посадил брат?

 Д. Нужно к трем прибавить два.

Под моделью записывается решение (3+2-5 (кус.)) и ответ. Далее учитель вместо вопросительного знака ставит цифру 5 и убирает (стирает) треугольники из первого прямоугольника модели.

У. Что нам теперь неизвестно?

Д. Неизвестно, сколько кустов посадила сестра.

У. Обозначьте на модели неизвестную величину знаком вопроса. Дети в тетрадях, а учитель на модели ставит в прямоугольнике знак

вопроса.

По полученной схеме дети предлагают формулировки задач:

• Сестра посадила несколько кустов смородины, а брат посадил 5 кустов, что на 2 куста больше, чем сестра. Сколько кустов смородины посадила сестра?
• Сколько кустов смородины посадила сестра, если брат по садил 5 кустов, что на 2 куста больше, чем сестра?

  *   Брат посадил 5 кустов смородины. Сколько кустов смородины посадила сестра, если брат посадил больше ее на 2 куста?

Под рисунком записывают решение (5-2 = 3 (кус.)) и ответ. Так я познакомила  детей с задачами, выраженными в косвенной форме. Чтобы перейти к третьему виду задач данного блока учитель вместо знака вопроса записывает цифру 3 и убирает оставшиеся треугольники, заменяя при этом цифру  2 на знак вопроса. Получаем следующую модель обратной задачи.

   5

Дети предлагают следующие формулировки задач по полученной модели:

 « Сестра посадила 3 куста смородины, а брат на несколько кустов больше, чем сестра. На сколько кустов смородины брат посадил больше сестры, если он посадил 5 кустов?

*        Сестра посадила 3 куста смородины, а брат 5 кустов. На сколько кустов смородины брат посадил больше сестры?

•        На сколько кустов смородины брат посадил больше сестры, если он посадил 5 кустов, а сестра 3?

Подмоделью записывается решение задачи (5-3 = 2 (кус.)) и ответ.

Таким образом  я  познакомила детей с задачами на разностное сравнение.        

Творческая работа детей над задачей на основе использования модели

Я не только использую моделирование для объяснения выбора действия, но и предлагаю детям по готовой модели составить задачу, определить, соответствует ли данная модель прочитанной задаче, выбрать из предложенных моделей ту, которая соответствует данной задаче, найти ошибки в рисунках и т. п.

Так, например, предлагаю детям внимательно рассмотреть модель, изображенную на рисунке, и составить по ней задачу.

9

Дети на первых этапах выполнения данного вида заданий предлагают следующие формулировки задач на конкретный смысл действия вычитания:

* в коробке лежало 9 конфет. Маша взяла из коробки 6 конфет. Сколько конфет осталось в коробке?

• Во дворе играли 9 ребят. 6 из них ушли домой. Сколько ребят осталось во дворе?
• На ветке сидело 9 птиц. 6 из них улетели. Сколько птиц
  осталось?

Мне требуется стимулировать желание детей составить непохожую (трудную) задачу по предложенной схеме. Дети тренируются составлять задачи разных видов. По предложенной схеме можно составить и другие задачи, например, на нахождение неизвестного  вычитаемого:

• В коробке лежало 9 конфет. После того как Маша взяла из коробки несколько конфет, в ней осталось 6. Сколько конфет Маша взяла из коробки?
• После того как Маша взяла из коробки несколько конфет, то в ней осталось 6. Сколько конфет Маша взяла из коробки, если вначале их было 9?
• В коробке оставалось несколько конфет после того, как Маша взяла оттуда 6. Сколько оставалось в коробке конфет, если первоначально их было 9?

Задания на выбор модели из предложенного набора к данной задаче, или наоборот, выбор задачи, подходящей к заданной модели, могут служить тестом на понимание детьми условия задачи. Как правило, если дети справляются с данным видом задания, то у них не возникает проблемы в решении текстовых задач. Например, детям предлагается следующая задача.

*        На ветке сидело несколько птиц. После того как 5 птиц улетело, их осталось 9. Сколько птиц сидело на ветке?

Требуется выбрать для нее подходящую модель из списка предложенных.

С логической точки зрения, если не принимать во внимание отношение больше - меньше при сравнении отрезков, изображающих слагаемые 9 и 5, правильными являются две последние модели. Однако я считаю целесообразным обращать внимание детей на эти отношения слагаемых, и поэтому к данной задаче подходит только четвертая модель.

Чтобы подчеркнуть возможность перестановки слагаемых в нахождении суммы, я  предлагаю детям в дальнейшем и пятую модель, которая так же, "четвертая, полностью соответствует условию задачи

Опыт показывает, что обучение с применением творческих заданий о моделированию повышает активность мыслительной деятельности учащихся, помогает понять задачу, осознать выбор арифметического действия, найти самостоятельно рациональный путь решения, определить условия, при которых задача имеет или не имеет решения.

Моделирование при ознакомлении с решением задач на умножение и деление

Задачи, раскрывающие конкретный смысл действий умножения и деления

К задачам, раскрывающим конкретный смысл действий умножения и деления относятся задачи на:

• нахождение суммы одинаковых слагаемых;
• деление по содержанию;
• деление на равные части.

Задачи на нахождение суммы одинаковых слагаемых являются средством скрытая конкретного смысла действия умножения. Подготовительная работа к введению этих задач начинается в 1 -м классе при изучении сложения и вычитания и может проходить в следующем порядке:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ ОДИНАКОВЫХ СЛАГАЕМЫХ.

У. Положите по два квадрата три раза. Сколько всего квадратов положили? Как получили?

У. Что можно сказать о слагаемых этой суммы?

Д. Слагаемые одинаковые.

У.  Сколько в этой сумме одинаковых слагаемых?

 2 . РЕШЕНИЕ СЮЖЕТНЫХ ЗАДАЧ

 В 3 коробках по 4 карандаша. Сколько всего карандашей?

Дети под руководством учителя моделируют задачу.

У. Сколько всего карандашей в трех коробках?

Д. Двенадцать (4 + 4 + 4=12).

У. Что можно сказать о слагаемых суммы?

Д. Они одинаковые.

У. Сколько слагаемых?

Д. Три.

3. ВЫБОР МОДЕЛИ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЙ УСЛОВИЮ ЗАДАЧИ.

* Оля, Вера, Таня и Лена собирали грибы. Оля нашла столько же грибов, сколько Вера; Таня столько же, сколько Оля; Лена столько же, сколько Таня. Сколько всего грибов нашли девочки?

У. Найдите ту модель, которая отражает содержание этой задачи.

При ознакомлении с решением задач на нахождение произведения учащиеся усваивают то, что если мы при решении задачи получаем сумму одинаковых слагаемых, то задачу можно решить умножением. И здесь моделирование поможет им понять выбор действия. Например, предлагается задача:

• 4 ученика сделали по 2 кубика каждый. Сколько кубиков сделали ученики?

Задача иллюстрируется предметным моделированием: вызванный к доске ученик берет по 2 кубика 4 раза и складывает в коробку, сопровождая свои действия словами: «Эти кубики сделал первый ученик, эти кубики сделал второй ученик...»

Учитель с классом проводит беседу, задавая следующие вопросы для обсуждения:

У. По сколько кубиков он брал за один раз?

Д. По два.

У. Сколько раз он брал по два кубика?

Д. Четыре раза.

    У. Как мы изобразим кубики в тетради?

Д.. Квадратами.

 У.  Нарисуйте два квадрата и обведите их. Эти кубики он взял первый раз.

 У. Он брал еще три раза по столько же. Мы не будем рисовать еще три все квадраты, а покажем овалом, что он брал по столько же, а сверху ищем что он брал четыре раза. Внизу изобразим скобку и вопросительный знак, так как в задаче спрашивается, сколько кубиков сделали ребята. В результате в тетрадях получается модель задачи в виде схематического рисунка.

4 раза

На мой вопрос, «Как можно решить эту задачу?», дети рассуждают: «Чтобы узнать, сколько всего кубиков, надо к двум прибавить два, еще прибавить два и еще прибавить два, получиться восемь. Но здесь четыре одинаковых слагаемых, значит, задачу можно решить умножением: по два взять четыре раза, или два умножить на четыре; получится восемь».

Решение задач на первых порах следует записывать сложением и умножением, чтобы учащиеся лучше усвоили смысл каждого компонента. Переходить к записи решения только умножением следует тогда, когда сами дети будут сразу предлагать ее, минуя запись в виде суммы.

С целью предупреждения ошибок на перестановку множителей в записи решения задачи, можно предложить задания: составить модель задачи по выражению 3x4.

Выбери схему к задаче и реши ее:

* В 4 кучках по 3 морковки. Сколько всего морковок?

Подготовительная работа к решению задач на деление по содержанию начинается в 1-м классе. На этом этапе можно применить практическое выполнение упражнений вида:

а) Возьмите 8 кружков и разложите их по 2. Сколько раз по 2 кружка получилось?

б) 12 карандашей разложили в коробки по 6 карандашей в каждую Сколько потребовалось коробок?

Учащиеся выполняют соответствующие операции и находят результат, сосчитав, сколько раз по 2 кружка получилось или сколько потребовал коробок. При этом следует обратить внимание детей, что карандашей в коробках получается поровну.

Во 2-м классе посредством решения таких задач происходит знакомство действием деления, и учащиеся знакомятся с арифметическим методом решения этих задач.

Проследим процесс построения схематических рисунков на примерах задач:

* 12 морковок связали в пучки, по 4 морковки в каждом. Сколько пучков получилось?

У. Сколько всего морковок нужно связать в пучки?

Д. Двенадцать.

У. Нарисуем их в виде треугольников.

Дети выполняют рисунок.

У. По сколько морковок брали в один пучок?

Д. По четыре.

У. Давайте отделим четыре морковки и покажем овалом пучок.

У. Отделим следующие четыре морковки и т.д.

Дети дополняют рисунок.

Такая модель дает возможность детям уяснить путем конкретного действия смысл деления по содержанию, когда заранее неизвестно число частей (кучек, пучков и т.д.), которые должны получиться в результате деления.

Отделяя по 4 морковки в каждый пучок, дети убеждаются, что получаются три таких пучка, и записывают решение (12 : 4 = 3 (п.)) и ответ (3 пучка).

Подготовкой к решению задач на деление на равные части будет практическое выполнение, начиная с 1 -го класса, упражнений вида:

6 кружков разложите в 2 ряда поровну. Сколько кружков в каждом ряду? ") Юра разложил 12 карандашей в 2 коробки поровну. Сколько карандашей в каждой коробке?

Работой руководит учитель:

    У. Сколько надо взять кружков, чтобы положить в каждый ряд по одному кружку?

Д. Два.

У. Почему надо взять два кружка?

Д. Потому что рядов два.

У. Возьмите два кружка и положите в каждый ряд по одному.

Возьмите еще столько кружков, чтобы положить в каждый ряд по одному и разложите их.      Все ли кружки разложили?

Д. Нет.

У. Возьмите еще столько же кружков, чтобы положить в каждый ряд по одному, и разложите их. Все ли кружки разложили?

Д. Да.

У. По сколько кружков в каждом ряду?

Д. Шесть кружков разделили на две равные части и получили по три кружка в каждой части.

При таком оперировании предметами явно выступает связь между делением на равные части и делением по содержанию: в каждой части будет по столько кружков, сколько раз по 2 кружка содержится в 6 кружках. Деление предметов дети выполняют на данном этапе практически без записи решения, а результат находят с помощью счета.

Во 2-м классе вводится арифметический способ решения задач на деление на равные части. Методические особенности этой работы те же, что и для задач деления по содержанию:

1. Выполнение решения путем предметного моделирования, после чего записывается решение.

Например, задача:

* 12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей у каждого?

Рассуждение ученика: «Беру столько карандашей, чтобы каждому ученику дать по одному. Беру три карандаша и даю по одному. Беру еще три карандаша и даю по одному каждому. Беру еще три карандаша и даю по одному каждому. У меня осталось три карандаша, даю каждому по одному. Всего каждый получил по четыре карандаша».

Решение: 12:3 = 4 (кар.) (12 карандашей разделили на 3 равные части).

Ответ: 4 карандаша.

2, Работа над задачей с помощью схематического моделирован Например, задача:

* 10 тетрадей раздали 5 ученикам поровну. Сколько тетрадей получил каждый?

У. На сколько равных частей будем делить тетради? Почему?

-        Сколько возьмем тетрадей? По сколько тетрадей дадим каждому?

-        Сколько еще возьмем тетрадей? Раздайте каждому по одной.

-        Все ли тетради раздали? По сколько тетрадей получил каждый?
Д. Каждый поучил по две тетради.

Рассмотрим переход от предметного к графическому моделированию на основе решения следующей задачи:

-        Мама раздала 6 груш 3 детям поровну. Сколько груш получил каждый ребенок?

На наборном полотне выставляются 6  контурных фигур груш.

К доске вызывается одна девочка и три мальчика. Девочке поручается роль мамы. Она будет брать фигурки груш и раздавать 3 детям поровну.

 У. По сколько груш нужно раздать сначала?                                                                                                    Д. По одной.

У. Сколько груш ты возьмешь с полки?

Д. Три груши.

У. Сколько еще осталось?

Д. Три груши.

У. Можно ли еще по одной груше раздать всем поровну?

Д. Можно.

 У. Раздайте.

У. По сколько груш получил каждый?

 Д. По две

 У. Покажите классу, что вы получили по две груши. (Дети показывают.)

 У. Изобразим нашу задачу и ее решение в тетради. Нарисуем шесть груш, а троих детей изобразим кружочками, ведь надо делить на три части или на три кучки, на три тарелки и т.п. О чем спрашивается в задаче?

Д. По сколько груш получил каждый ребенок.

У. Поставим в кружочках три вопроса. Это нам неизвестно.

- А теперь будем раздавать груши поровну на каждую тарелку. Сначала раздадим по сколько?

     Д. По одной.

У. Остались еще груши?

Д. Да.

У. Раздадим еще по одной. Хватит?

Д. Да.

У. По сколько же груш получил каждый?

У.  По сколько груш получил каждый?

Д. Мы узнали, сколько раз по три содержится в шести, по столько груш и получил каждый.

Такие рисунки можно использовать и при коллективном, и при самостоятельном решении задач на деление.

Далее надо осуществлять переход от использования схематических рисунков к изображению условий таких задач в отрезках.

Рассмотрим задачу:

* Из 12м ткани в мастерской сшили платья, расходуя на каждое по 3 м ткани. Сколько платьев получилось из этого куска ткани?

Построим по ней чертеж, изображая 1 м ткани с помощью отрезка, длина которого равна длине одной клетки ученической тетради. Тогда, чтобы изобразить графически 12 м ткани, надо отложить на прямой отрезок, по длине равный 12 клеткам тетради, отделяя при этом единичные отрезки небольшими черточками.

Затем проводятся примерно такие рассуждения: «Отмечу на построенном отрезке черточкой (размером чуть побольше тех черточек, которые отделяют единичные отрезки) сначала 3 м, потом еще 3 м, затем еще 3 м и наконец, еще 3 м».

Выполняется рисунок.

1м

Задача решается графически, так как чертеж наглядно иллюстрирует и решение, и ответ задачи: 12 : 3 =4 (пл.).

Приведенный выше материал показывает, что рисунки и чертежи используются не только для иллюстрации условия задачи, но и как средство их графического решения.

Необходимость в таком использовании рисунков и чертежей отпадает тогда, когда дети смогут решать задачи по представлению. В дальнейшем графический способ решения таких задач может выступать как средство преодоления затруднений, с которыми встречаются некоторые ученики, как средство проверки правильности решения задачи арифметическим способом.

Учащиеся допускают ошибки, смешивая деление по содержанию и деление на равные части. С целью их предупреждения полезно, начиная с проведения подготовительных упражнений, перемежать упражнения: одно упражнение на деление по содержанию, другое - на деление на равные части.

Следует требовать развернутой формулировки ответа, например: «Каждый ученик получил по две тетради» или «Карандаши получили четыре ученика».

Задачи, раскрывающие понятие кратного отношения

Рассмотрим задачу на увеличение числа в несколько раз;

* У Вовы было 4 простых карандаша, а цветных в 3 раза больше. Сколько цветных карандашей было у Вовы?

У. Как изобразим карандаши?

Д. Вертикальными отрезками.

У. Сколько простых карандашей у Вовы?

Д.Четыре.

У.А что сказано про цветные карандаши?

Д. Их в три раза больше.

У. А что значит в три раза больше?

Д. Их три раза по столько, сколько простых.

.

У. Изобразим это схематическим рисунком.

У. Каким же действием решим задачу?

Д. Умножением.

Задачи на уменьшение числа в несколько раз вводятся после того, как дети приобретут умение решать задачи на деление на части, усвоят двоякий смысл отношения: если первое число больше второго в несколько раз, то второе меньше первого во столько же раз. Это соотношение дети должны узнать в процессе работы над задачами на увеличение числа в несколько раз.

Рассмотрим задачу:

• Дети вырастили 10 цыплят, а утят в 5 раз меньше, чем цыплят. Сколько утят вырастили дети?

У. Условимся обозначать цыплят кружочками. Сколько мы нарисуем кружочков?

Д. Десять.

У. А что сказано про утят?

Д. Их в пять раз меньше.

У. Как же их обозначить? Что для этого нужно сделать?

Д. Надо десять кружков разделить на пять равных частей. А утят будет столько, сколько цыплят в одной такой части.

У. Покажем это на схеме.

Моделирование при решении задач на кратное сравнение помогает детям уяснить смысл кратного отношения, выраженного словами «во сто т то раз меньше». Рассмотрим задачу:

* У брата 3 художественные открытки, а у сестры - 12. Во сколько раз больше открыток у сестры, чем у брата?         '    °

У. Сколько открыток у брата?

Д. Три.

У. Как изобразим открытки?

Д. Прямоугольниками.

У. Сколько прямоугольников нужно, чтобы изобразить открытки сестры?

Д. Двенадцать.

У. Что спрашивается в задаче?

Д. Во сколько раз у сестры открыток больше, чем у брата.

У. Покажите это скобкой с вопросительным знаком.

Получается примерно такая схема.

У. Как же узнать, во сколько раз у сестры открыток больше, чем у брата?

Д. Нужно 12 открыток разделить по три открытки и посмотреть, сколько раз будет в 1 2 по три.

У. Разделите на схеме 1 2 прямоугольников по три вертикальной чертой.

12

У. Сколько же раз содержится в 12 по три?

Д. Четыре раза.

У. Каким же действием решается задача?

Д. Делением.

В процессе упражнения дети все время должны встречаться с задачами различных видов. Это исключит возможность выработки вредных штампов: дети с самого начала будут поставлены перед необходимостью каждый раз производить основательный анализ задачи, прежде чем выбрать иное действие для ее решения. При этом необходимо проводить сравнение задач в целях выяснения сходства или различия в их условиях, моделях этих задач и способах их решения. Для осознания сходства задач том или ином отношении, а также для разграничения близких понятий большую пользу может принести предметное или графическое моделирование.

Например:

•        Два мальчика расчищали дорожки. Один мальчик расчистил 5м, а другой -на Зм больше. Какой длины дорожку расчистил другой мальчик?

*        Один мальчик расчистил 5 м дорожки, а другой в 3 раза
больше. Какой длины дорожку расчистил другой мальчик?

В задачах дан сходный сюжет, одни и те же числа. Составляя графические модели этой пары задач, дети легко заметят, чем вызваны различия в их решении.

Надо отметить, что нельзя изображать числовые данные в задачах на кратное и разностное сравнение чисел в виде двух отрезков произвольной длины. Однако при иллюстрации задач на кратное сравнение оказывается полезным следующий прием построения схематического чертежа: меньшее из сравниваемых чисел изображается отрезком произвольной длины (над ним записывается соответствующее число), для изображения большего из сравниваемых чисел на параллельной прямой последовательно откладываются отрезки, равные меньшему. Откладывая каждый новый отрезок, ученик должен всякий раз подсчитывать, какое число изображает весь полученный отрезок.

Творческая работа детей над задачей на основе использования модели

После того как дети осмыслят решение простых задач и научатся иллюстрировать их, можно предлагать им и задания творческого характера.

Пусть, например, ученикам предложена для решения задача на увеличение числа в несколько раз:

* Мальчики собрали 9 книг, а девочки в 3 раза больше. Сколько книг собрали девочки?

Ученики иллюстрируют ее с помощью схематического чертежa.

После решения задачи учитель последовательно    

модель, а учащимся предлагается составить по измененной модели текс задачи.

В соответствии с новыми схематическими чертежами ученики составляют задачи:

« Мальчики собрали 9 книг, а девочки 27 книг. На сколько дольше книг собрали девочки, чем мальчики?(Рис. 1)

•        Мальчики собрали 9 книг, а девочки 27 книг. Во сколько
раз больше книг собрали девочки, чем мальчики? (Рис. 2)

« Сколько книг собрали мальчики, если девочки собрали больше на 3 книги? А всего девочки собрали 27 книг. (Рис. 3)

*        Девочки собрали 27 книг, что на 3 книги больше, чем со
брали мальчики. Сколько книг собрали мальчики? (Рис. 3)

» Сколько книг собрали мальчики, если девочки собрали книг больше в 3 раза? А всего девочки собрали 27 книг. (Рис. 4)

« Девочки собрали 27 книг, что в 3 раза больше, чем собрали мальчики. Сколько книг собрали мальчики? (Рис. 4)

После решения этих задач открывается большой простор для выявления сходства и различия между ними, выбор действия становится более осознанным для каждого ученика.

Описанную работу по преобразованию и сравнению задач можно провести и по-другому: после решения исходной задачи учитель изменяет знак арифметического действия в ее решении (9 - 3; 9 + 3; 9 : 3), а учащимся предлагает
внести соответствующие изменения в условие и графическую модель задачи. Затем задачи сравниваются.        

Научив детей правильно выбирать действие в задаче, я могу начать работу и по подведению детей к обобщению, выявляя при этом, какие задачи решаются данным способом.

Аналогичным образом графические модели могут быть использованы и при обобщении простых задач, решаемых другими действиями.

         1.3.Особенности работы над задачами.                                                                                Начальная школа все дальше и дальше уходит от традиционной методики математики. Появляются различные типы школ, вводятся альтернативные программы и учебники. Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л. В. Занкова. Эту систему учитель выбирает не только потому, что она привлекает своими принципами: обучение должно вестись на высоком уровне трудности, в быстром темпе; ведущая роль в обучении математике отводится теории, причем теоретические знания тесно связаны с обязательным осознанием учащимися процесса обучения. Однако наблюдение за работой учителя, анализ результатов самостоятельных и контрольных работ говорит о том, что именно эти принципы в практике обучения реализуются недостаточно полно.

Прежде всего, настораживает то, что зачастую наряду с учебниками математики И. Н. Аргинской на партах лежат и учебники М. И. Моро и др. Конечно, творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а будет стремиться использовать все богатство заданий других пособий, методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. И с этим нельзя не согласиться. Однако учитель должен задуматься и над тем, что обучение учащихся по двум учебникам, сильно отличающимся как содержанием, так и методическими подходами, приводит к нарушению целостности научно-обоснованной системы и порождает формализм и поверхностное изучение материала, приводит к перегрузке учащихся. Особенно это

заметно при обучении решению текстовых задач, ибо, как показывает практика, именно здесь у учителя и учащихся возникают затруднения.

Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей (даже тем, кто прослушал курс переподготовки, где рассматривались и раскрывались принципы обучения, приемы и методы работы) нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией в практике.

Попытаюсь    проанализировать    некоторые   затруднения,    возникающие   у учителя и учащихся при решении текстовых задач.

Алгебраический метод решения задач вводится с I класса и уже к TTI классу становится основным методом решения. Как известно, алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Видимо, эти преимущества и привели к тому, что значительная часть учителей отдает предпочтение при решении задач алгебраическому методу.

Однако существует и другое мнение о том, что арифметический метод решения задач развивает мышление не в меньшей степени, так как ученику необходимо разбить составную задачу на простые и на основе логически строгих рассуждении в определенной последовательности решить их. Арифметический способ решения требует большего умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Именно поэтому арифметический метод решения задач должен быть если не ведущим, то хотя бы полноправным методом решения задач в начальных классах.

Следует отметить, что арифметический способ решения школьника ноет наглядно-образный характер. Конкретное мышление младших школьников проявляется Е том, что они могут успешно решить ту или иную задачу в том случае, если опираются НЕ действия с реальными предметами. Поэтому для осознанного выбора действия, посредством которого решается задача, необходимо иллюстрировать задачную ситуацию, чтобы учащиеся осознали, почему и зачем выполняется то или иное действие.

Работу по формированию умения решать задачи "на предположение" арифметическим способом целесообразно начинать с первых задач, включенных в учебник математики, так как они содержат небольшие данные и задачную ситуацию можно легко проиллюстрировать. Особого внимания и творческого подхода требуют задачи, предлагаемые в конце учебника. Именно на данном этапе обучения должно проявляться умение применять различные приемы и методы решения задач, умение анализировать, рассуждать, предлагать и проверять эти предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении задач учителю необходимо организовать работу таким образом, чтобы учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный.

Однако значительная часть учителей, следуя указаниям, предложенным к данной задаче, проводит работу над задачей, которая недостаточно полно реализует как обучающие, так и развивающие функции. Чтобы усилить развивающий аспект обучения, полезно решить задачу арифметическим способом. Осознать выбор действий, посредством которых решается задача, поможет правильно выбранная наглядная интерпретация задачи. Метод перебора при решении задач оказывает положительное влияние на развитие мышления учащихся, так как выбор предполагаемого ответа, соотнесение этого данного с условием задачи помогает осмыслению связей и зависимостей между величинами, входящими в задачу, развивает умение предвидеть, вырабатывает интуицию и последовательность рассуждении. При сравнении способов решения выясняется, что одни учащиеся отдали предпочтение арифметическому способу, другие - по способу подбора. Тем не менее систематическая работа по решению задач разными способами, сравнение решений и их обсуждение, выбор рационального дает возможность лучше осознать связи и зависимости между величинами, формирует умение рассуждать, делать выводы и обосновывать их.

Все сказанное дает основание предполагать, что затруднения возникающие у учителя в процессе работы порождают мнение о том, что по данной системе развивающего обучения могут работать лишь избранные учителя. Однако это не так. Учителю нужны методическая помощь, методические разработки и рекомендации, которые позволили бы сэкономить время на подготовку к уроку, сохранить уверенность, силу и энергию, необходимую для плодотворной и творческой работы.

1.4. Как составить и решить задачу по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.                                                              Начнем с очень простого, на первый взгляд, вопроса: "Что такое задача?" Или "Как узнать задачу?" Дети обязательно скажут: "Это там, где слова", "Задача - это вопрос", "В ней обязательно что-то происходит". Правда, у нас очень умные дети? Тогда предложите им выбрать из предложенных записей задачу:

1. На склад привезли 3 т картофеля.
2. Сколько цветов в букете?
3. На празднике было 20 красных шаров, 10 зеленых и 15 синих. Сколько всей шаров было
   на празднике9
4. На сколько ящик Массой 15 кг тяжелее ящика массой 8 кг?
5. В вазе 5 яблок и 7 груш. Найди общее количество фруктов.

С пунктами 1 и 2 не возникает проблемы, так как в первом нет вопроса, а во втором нет данных ("ничего неизвестно"). Текст под номером 3 позволяет сформулировав основные элементы задачи - условие и вопрос. А дальше, не давая детям опомниться вычеркнем тексты под номером 4 ("в нем нет условия") и номера 5 ("нет вопроса") и попросите оценить ваши действия. При внимательном рассмотрении окажется, что условие и вопрос задачи могут быть сформулированы в одном вопросительном предложении, а бывает и так, то вопрос "спрятан" в указание совершить какие-либо действия Итак, казалось бы, простой вопрос о задаче открывает целую серию исследовательских уроков. Они будут продолжены по мере накопления возможных оснований для сравнения и классификации задач. Завершить данный урок можно открытием "маленькой тайны" (чем успокоим того ребенка, которого в задаче пока волнуют только действующие лица): задача имеет сюжет. Это слово может стать вашим, "подарком" детям, а так как принято благодарить за презент, попросите ребят придумать разные задачки на какую-либо тему (тему дети могут выбрать сами).

Чтобы избавиться от "текстового страха", поставим перед собой первую задачу: научиться читать так, чтобы видеть за скорлупой слов математическое ядро. В схеме решения задачи появляется первый шаг: "Читаю задачу". Для учителя не является секретом, что текст читается дважды: цель первого прочтения - общее знакомство с задачей, второго - структурирование текста с помощью логических пауз, выделения голосом данных. Наш первый шаг относится к первому чтению задачи. Как же зафиксировать на бумаге результат второго? Если мы сумеем научить этому наших детей, то можно смело утверждать: половина проблем в решении задач снята!

По моему убеждению, каждый ученик должен "понимать", то есть уметь обрабатывать текст задачи.

Итак, выделив математическое ядро, читаем ее второй раз и ставим перед собой очень важную задачу: выделение величин и отношений между ними, которые заключены, как говорят дети, "в главных словах и числах (буквах)". Это второй шаг в решении любой задачи. Можно с ребятами договориться подчеркивать эти слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо - это цель наших действий. Вот что получается: Трусливый охотник перед охотой подкрепился двумя булочками, но струсил и так ослабел, что решил на охоту не идти. Подкрепившись еще тремя булочками, он осмелел, даже зарядил ружье, но снова струсил. Пришлось ему опять восстанавливать свои силы двумя булочками. Сколько всего булочек истратил охотник булочками на поддержку своих сил? Текст уже не пугает; зрительно делается акцент на выделенные слова, а их стало во много раз меньше. Многие дети вздохнули с облегчением: "Задача-то - проще не бывает". Но "расслабиться" нам не дал ученик, которому математика дается труднее, чем остальным, и этот факт, как это ни парадоксально, помогает всем остальным более осознанно выполнять свои действия (как в поговорке "Не было бы счастья, да несчастье помогло"). Его вопрос: "Ребята, и все-таки, как узнать в тексте главные слова?11 - слегка поубавил радость от кажущейся легкости. Этот ученик задал самый главный вопрос урока, заставив отрефлексировать способ действия. И не оказалось такого ученика, его роль должны взять на себя вы и попросить детей обсудить, по какому признаку они выделяют величины. Первое, что предложили ученики, - это проверить, правильно ли в данной задаче они выделили слова. Ход был гениально простой: стереть с доски все слова, кроме выделенных. Получилось следующее: ...двумя булочками ... тремя булочками ... двумя булочками. Сколько всего булочек? Исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть мы совершенно безболезненно можем понять, а следовательно, решить данную задачу. Немного погодя у нас родился второй способ выделения величин: не подчеркивание важных слов, а удаление несущественных (обратите внимание: дети сами нашли для себя более простой метод - метод исключения). Ученики подтолкнули меня к созданию нового вида заданий: каждая группа получает свой текст задачи; надо закрасить маркером все слова, оставив только важные. Соблюдается условие: текст с закрашенными словами передается по кругу другой группе, которая должна будет понять и решить задачу. Критерием правильности выступает возможность восстановления математической модели (не сюжетной!). В процессе обсуждения выясняем, что выделять следует составные: числа (буквы) и наименование при них; действующие лица там, где есть сравнение; слова, указывающие на действия. Последнее указание надо тоже изучить подробно. Хочу заметить, что процесс обработки текста важен не только в решении задач. Существует у учеников еще один любимый "штамп": "Я не понял задание". А что это значит? Казалось бы, текст написан по-русски, чего же тут не понять? Проблема в том, что его нужно "перевести" с русского на математический язык и наоборот. Ребенок не выделяет для себя понятие, не видит указаний на совершение действий. Итак, начав с решения простейшей задачи для первого класса, мы с вами столкнулись с более значимой проблемой -проблемой текста в математике. Каждый новый ответ в решении этой проблемы порождает несколько новых вопросов. Мы прошли нелегкий путь знакомства с математическим текстом, а также важным шагом выделения величин.                       Познакомимся со следующими шагами:

1. Фиксирую условие схемы.
2. Пишу формулы.
3. Вычисляю, записываю ответ.
4. Возвращаюсь к тексту задачи, делаю проверку.

Причем такие важные моменты, как фиксация условия задачи схемы, запись формулы и вычисление с записью ответа, следует рассматривать в комплексе. Для того чтобы увидеть, действительно ли ребенок умеет соотнести текст и схему, удобно воспользоваться обратной задачей: не по тексту изобразить схему, а по схеме восстановить текст. На уроках контроля можно предложить проверить, правильно ли составлена схема по задаче. В этом случае можно воспользоваться приемом, предложенным Э.И. Александровой для установления взаимнооднозначного соответствия, - это проведение "дорожек" от слова к его изображению в схеме. Для формирования действия контроля за результатом отлично подходят задачи, содержащие несколько вопросов или задачи, в которых идет указание на поиск нескольких величин словами "Найдите каждый...". Последний шаг - это оценка правдоподобности результата. Действие оценки можно выделить в самостоятельные задания, которые могут звучать так:

"Прочитав задачу, исключи те варианты ответов, которые противоречат сюжету", "Выбери те варианты, которые могут появиться в результате". Отдельно следует рассматривать чисто математическую прикидку, которая будет зависеть от модели задачи. Чаще всего она заключается в соотнесении частей и целого, проверке использования различных величин в одном действии, а также в проверке используемых мер или наименований.

 Практическая часть.

Учитель должен на практике руководствоваться теоретическими основами. Теория и практика неразрывно связана между собой и не могут существовать друг без друга. Рассмотрев и ознакомившись с теоретической основой решения задач, хотела бы полученные знания на практике. То есть рассмотреть, как лучше поставить вопрос к задаче, сделать краткую запись, как проанализировать задачу, каким способом легче решить задачу. А также рассмотреть задачи решаемые в третьем классе: задачи на увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц, сформированные в косвенной форме, задачи на пропорциональное деление, задачи на нахождение неизвестных по двум разностям, задачи на встречное движение и в противоположных направлениях и другие. При анализе задачи от вопроса и от числовых данных можно выделить несколько этапов, достигнуть которые можно путем решения простых задач:

1. В одной стопке были несколько тетрадей и в другой стопке были тетради. Сколько тетрадей в двух стопках?

2. На одной тарелке лежало б яблок и на другой лежало несколько яблок. Сколько яблок лежало на двух тарелках?

3. На одном кусте 4 помидора, а на другом 5. Сколько всего помидоров на двух
кустах?        

Рассматривается первая задача. Ведется беседа:

—        Условимся, что при анализе вопрос задачи будем обозначать прямоугольником со
знаком вопроса. Чтобы дать ответ   на вопрос задачи, что надо знать? (Сколько было
тетрадей в первой стопке и сколько во второй.) В прямоугольнике ставим знак вопроса —
вопрос задачи. От этого прямоугольника проведем два отрезка и начертим два, других
прямоугольника. Поскольку этих чисел в задаче не дано, то в прямоугольниках ставим
знаки вопроса.

         Рассматривается вторая задача.

- Чтобы ответить на вопрос задачи, какие числа нам надо знать? (Сколько яблок лежало
на каждой тарелке.)

—        На первой тарелке лежало 5 яблок, поэтому в одном прямоугольнике пишем число 5.
Сколько  яблок  было  на  второй  тарелке,   в  задаче  не  сказано,   поэтому  во  втором
прямоугольнике ставим знак вопроса.

Учащиеся убеждаются в том, что и вторую задачу решить нельзя. Наконец, рассматривается третья задача. Учитель чертит на доске схему  и ведет беседу.

• Чтобы ответить на вопрос третьей задачи, что нам надо знать? (Сколько помидоров
  было на первом и втором кустах.)
• Можем мы эту задачу решить? (Да, можем.)

—Что мы запишем в прямоугольниках? (В одном запишем число 4, а в другом — число 5) После этого учащиеся должны повторить рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько помидоров было на первом кусте и сколько помидоров было на втором кусте. Оба эти числа нам известны. Чтобы решить задачу, надо к 4 прибавить 5, получится 9. Ответ 9 помидоров. Затем решаются задачи в два и в три действия: «Отец и сын окапывали кусты смородины. Отец в час окапывал 5 кустов, а сын 3. Сколько времени они должны работать вместе, чтобы окопать 24 куста?» После уяснения и сокращения записи условия задачи учащиеся под руководством учителя разбирают ее подобно тому, как разбирали простые задачи. Затем ведется фронтальная беседа:

—        Вопрос задачи обозначим знаком вопроса, записанным в прямоугольнике

Чтобы ответить на него, какие два числа надо знать? (Сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов окапывали вместе за час отец и сын.)

• От прямоугольника со знаком вопроса на одну клетку ниже чертим два других
  прямоугольника.  Что мы в них запишем? (В одном запишем число 24,  а в другом
  поставим знак вопроса, так как неизвестно, сколько в час окапывали кустов отец и сын
  вместе.)
• Чтобы узнать, сколько в час окапывают кустов отец и сын вместе, что надо знать?
  (Сколько отдельно кустов окапывает отец — 5 к. и сын — 3 к.)
• От прямоугольника со знаком  вопроса на одну клетку ниже начертим еще два
  прямоугольника. Что мы в них запишем?

(В одном запишем число 5 — количество кустов, окапываемых в час отцом, а в другом число 3 — количество кустов, окапываемых в час сыном.)

После фронтального анализа учащиеся повторяют рассуждение в связной форме: чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько кустов надо окопать (24 к.) и сколько кустов в час окапывают вместе отец и сын. Для этого надо знать, сколько кустов отдельно окапывает в час отец (5 к.) и сколько кустов окапывает в час сын (3 к.)

В первом вопросе узнаем, сколько кустов вместе окапывают в час отец и сын, в втором — сколько времени они окапывали.

Если  разбор этой задачи ведется с числовых данных, то он сопровождается беседой:

• Если отец в час окапывает 5 кустов, а сын 3 куста, то, что можно узнать? (Сколы
  кустов в час они окапывают вместе.)
• Зная это и то, что им надо окопа 24 куста, что можно узнать? (Сколь времени, они
  должны работать вместе)       •

Далее решаются задачи в 4 и в 5 действий: «Птицефабрика должна отправить в магазины

6000 яиц.

Она уже отправила 10 ящиков по 350 яиц и 4 ящика по 150 яиц. Сколько яиц осталось

отправить в магазины?»

Записывая сокращенно условие задачи с использованием числовых выражений, ведем

рассуждение: если было 10 ящиков по 350 яиц в каждом, то яиц было 350-10. Отправила

также 4 ящика по 150 яиц, это составляет (150-4) яиц. Отправили: (350-10) яиц (150- 4) яиц

6000 яиц. Осталось?

Выполняя неполный анализ от вопроса, учащиеся рассуждают примерно так: «Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько всего яиц надо отправить (6000 яиц) и сколько яиц птицефабрика уже отправила. Чтобы узнать, сколько яиц фабрика отправила, надо знать, сколько, она отправила в первый и во второй раз. В первом вопросе узнаем, сколько птицефабрика отправила яиц в 10 ящиках, во втором — сколько она отправила яиц в 4 ящиках, в третьем — сколько всего яиц птицефабрика отправила и в четвертом — сколько яиц осталось отправить. Схемы полного анализа (рис. 5) и неполного (рис. 6) наглядно показывают преимущество и недостатки каждого из них.

Учащиеся, умеющие составлять план решения задачи, самостоятельно записывают решение   по   указанию   учителя   или   в   форме   математического   выражения,   или   по отдельным действиям. Используя прием сравнения, приведем пример решения задачи:

1) Нужно покрасить 150 рам. Один маляр может это сделать за 15 дней, а другой — за 10 дней. За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, если будут работать вместе?

2) Библиотеке нужно переплести 1 500 книг. Одна мастерская может переплести эти книги за 15 дней, а другая — за 10. За сколько дней закончат работу эти мастерские, работая вместе? Решение этих задач вызывает трудность у учащихся и поэтому традиционный поиск

решения проводится под руководством учителя. Сначала ученики называют величины и

записывают задачу кратко в виде таблицы.

Красили в день-

Время работы-

Всего покрасили рам-

Затем, опираясь на записи в таблице, проводится разбор задачи, чаще всего от данных к вопросу, так как разбор задачи от вопроса вызывает затруднения у учащихся, а подобная краткая запись не помогает, а скорее тормозит поиск решения задачи. Действительно, знак фигурной скобки направляет на ложный путь выбора первого действия, так как дети прочно усвоили смысл этого знака, как суммы, как объединения множеств. И поэтому на вопрос: «Что нужно знать, чтобы ответить на вопрос задачи?» — довольно часто можно услышать ответ: «Нужно найти, сколько всего дней они работали». Первую задачу решаем коллективно с подробным анализом, а вторую предлагаем для самостоятельного решения. Нельзя ли продумать и организовать деятельность учащихся при решении задачи несколько иначе? Да, возможен другой подход, основанный на сравнении задач и их решений, тем более что содержание, структура задач и данные в их условии являются тем благодатным материалом для использования приема сравнения. Для этого можно предложить детям прочитать задачи, сравнить их условия, вопросы. Выяснить, чем похожи и чем отличаются задачи. Предложить подумать, можно ли, не решая задачи, установить одинаковые или разные числа получатся в ответе. Пусть учащиеся попробуют объяснить свои предположения. Если одинаковы, то почему? Если разные, то, в каком отношении будут находиться эти числа, в какой задаче число в ответе будет больше и во сколько раз? Устанавливая сходства и различия, на основе применения необоснованной аналогии (чем больше объем выполненной работы, тем больше потребуется времени для ее выполнения) большинство учащихся высказывают предположение (которое в данном случае оказывается ошибочным), что в ответе второй задачи число будет больше в 10 раз, чем в первой. В этом случае полезно провести беседу, в процессе которой попытаться убедить детей, что такого быть не может.

Вопросы, предлагаемые детям, могут быть примерно такими:

• Сколько дней потребуется первому маляру, чтобы выполнить всю работу? (15 дней.)
• А второму? (10 дней.)

—        Если оба маляра будут работать вместе, то больше или меньше потребуется им
времени для выполнения всей работы? (Меньше, чем 10 дней).

Аналогичные   вопросы   предлагаются   и   для   второй   задачи.   Выясняется,   что   для выполнения всей работы двум, мастерским потребуется меньше, чем 10 дней. Таким образом, число в ответе второй задачи не может быть больше числа, которое получается в ответе первой задачи. В процессе анализа задач учащиеся находят решения и записывают их: Задача 1

1. 150: 15= 10 — рам красил первый маляр за один день.
2. 150:10= 15—рам красил второй маляр за один день.
3. 10+15=25 — рам красили оба маляра за один день.
4. 150: 25 =6 — за 6 дней выполнят всю работу оба маляра,
   работая вместе. Задача 2

1. 1500:15= 100 — книг переплетает одна мастерская за
   один день.
2. 1500:10= 150 — книг переплетает другая мастерская за
   один день.
3. 100+150=250 — книг переплетают обе мастерские за один
   день, работая вместе.
4. 1500:250= б — за 6 дней закончат работу обе мастерские, работая вместе.

Решение    задачи    дает    возможность    убедиться,    что    предположение    детей    либо

подтвердилось,     либо     опровергалось.     Для     более     глубокого     понимания     сути

рассматриваемого вопроса, решения задачи, зависимости между величинами, входящими

в задачу,   полезно  показать детям  графическое решение.  Для этого учитель заранее

выполняет чертеж.

Пояснить построение чертежа можно примерно так:

«Обозначим число рам длиной данного отрезка. Эту работу маляр может выполнить за 15 дней. Значит, в день он выполняет 1/5 часть (показывает на чертеже). Второй выполняет эту " работу за 10 дней, в день он выполняет 1/10 часть (показать на чертеже). За сколько дней выполнят эту работу оба маляра, работая вместе? Будем считать: I — пятнадцатую часть, II — десятую (показывается на чертеже), во второй день—пятнадцатую часть первый и десятую — второй и т. д. Дети считают число дней и убеждаются, что и в первой и во второй задаче получится одинаковое число дней, независимо от объема выполненной работы.

Такая деятельность по решению задач будет в большей мере способствовать формированию творческой активности и мышления учащихся, возможности глубже осмысливать взаимосвязи между величинами, входящими в задачу, формированию осознанного поиска решения задач. Высокую умственную активность проявляют учащиеся, выполняя анализ неверного решения. Обратимся еще раз к рассмотренной выше задаче. Дело в том, что многие учащиеся, не вдумываясь в условие задачи, решают ее следующим образом: 150: (15+10) =6.

Как поступить учителю в этом случае? Оставить без внимания неверное решение или обсудить его со всеми учащимися? Некоторые идут по первому пути, указывают ученику, что решение его неверно, и в процессе беседы подводят к нужному правильному решению, т. е. показывают образец рассуждений при решении данной задачи. Таким образом, методика обучения решению задач сводится к обучению по образцу.

Думается, что такой подход к обучению решению задач не всегда эффективен. Учитель должен внимательно относиться к каждой из совершаемых проб поиска пути решения задачи и в случае неудачи использовать ее с обучающей целью, с целью активизации мыслительной деятельности учащихся, т. е. каждое неверное решение должно быть проанализировано и установлена причина ошибочного решения. В данном случае можно поступить следующим образом. Записать решение на доске и, используя фронтальную беседу, доказать необоснованность данного решения. Для этого нужно предложить детям проверить, правильно ли выбраны действия. Обратить внимание на первое действие и, соотнеся его с условием задачи, выяснить, что обозначает каждое число.

• Что обозначает число 15? (За 15 дней первый маляр может выполнить всю работу.)
• Что обозначает число 10? (За 10 дней второй маляр может выполнить всю работу.)
• Если оба маляра будут работать вместе, больше или

меньше они затратят времени, чтобы покрасить 150 рам? (Меньше; меньше, чем 10 дней.)

—        Что же могло обозначать число 25, полученное в данном действии? (Число дней,
которое необходимо для покраски 300 рам, при условии, что первый маляр красит 50 рам,
затем начинает работать другой маляр, и заканчивают свою работу за 10 дней.)

Полезно рассмотреть и второе действие. Выяснить, что при делении числа рам (150) на число дней (25) в результате случается число рам (6), а в задаче спрашивается о числе дней, за которое могут окрасить оба маляра 150 рам, работая месте. Такое обсуждение активизирует мыслительную деятельность учащихся, вырабатывает привычку не начинать поиск решения задачи без глубокого, полного анализа задачи, создает условия для эффективного формирования общего умения решать задачи. Задачи на пропорциональное деление. Первой лучше включить задачу с величинами: ценой, количеством и стоимостью, поскольку связи между ними усвоены учащимися лучше, чем связи между другими величинами. Учитель предлагает составить задачу по ее краткой записи (запись выполнена на доске):

Ученики составят примерно такую задачу:

«Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, а второй 5 марок. Марки первого мальчика стоили 35 к. Сколько стоили марки второго мальчика?»

Ученики устно решают эту задачу и узнают, что марки второго мальчика стоили 25 к. Учитель записывает это число. В таблице вместо вопросительного знака и предлагает найти сумму чисел, обозначающих стоимость марок. Выясняется, что 60 к. уплатили за марки оба мальчика. В краткую запись вносятся изменения: Ученики составляют задачу по этой краткой записи: «Два мальчика купили марки по одинаковой цене. Первый купил 7 марок, второй — 5 марок. Всего они уплатили 60 к. Сколько стоили марки первого мальчика? Сколько стоили марки второго мальчика?» Учитель предлагает детям попытаться самостоятельно решить задачу, ответив на первый вопрос. С теми, кто затруднится это сделать, проводит разбор, предлагая вопросы:

«Что требуется узнать в задаче? Можно ли сразу узнать, сколько стоили марки первого мальчика? Почему нельзя? Можно ли сразу узнать, сколько марок купили на 60 к.? Почему можно? Что узнаете первым действием? вторым? третьим? четвертым?» Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями.

Для проверки решения можно выполнить сложение чисел, полученных в ответе, если их сумма будет равна числу 60, то решение выполнено, верно. Надо пояснить, что два вопроса в таких задачах обычно заменяют одним вопросом со словом каждый, например: «Сколько стоили марки каждого мальчика?» Важно подчеркнуть, что здесь два вопроса и при решении будет два ответа. Задачи на нахождение неизвестных по двум разностям. Пусть надо решить задачу: «В киоске продали по одинаковой цене 12 синих стержней для ручек и 8 черных. За синие стержни получили на 32 к. больше, чем за черные. Сколько стоили синие стержни? Сколько стоили черные стержни?» Выделив величины, данные в задаче, ученики записывают задачу кратко на доске и в тетрадях:

Проводится беседа: «Почему за синие стержни уплатили больше денег, чем за черные? (Синих стержней купили больше.) За сколько синих стержней уплатили столько же, сколько за все черные стержни? (За 8 стержней.) Сколько уплатили за остальные синие стержни? (32 к.) Нельзя ли узнать, сколько стержней купили на 32 к.? (Можно.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, сколько стержней стоили 32 к., выполнив вычитание; затем узнаем, сколько стоил 1 стержень, выполнив деление; далее узнаем, сколько стоили синие стержни и сколько стоили черные стержни действием умножения.)»

Задачи на встречное движение и движение в противоположных направлениях. Например:

«Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу из двух поселков и встретились через 2 ч. Скорость одного из них 11 км/ч, а другого 13 км/ч. Найти расстояние между поселками». После чтения задачи выполняется под руководством учителя чертеж: Выясняется, что каждый велосипедист был в пути до встречи 2 ч, что первый пройдет до встречи меньшее расстояние, так как он двигался с меньшей скоростью, и что расстояние между поселками складывается из расстояний, пройденных каждым из велосипедистов до встречи.

После этого, как правило, ученики сами составляют план решения: узнаем расстояние, пройденное первым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; затем узнаем расстояние, пройденное вторым велосипедистом до встречи, выполнив умножение; после чего найдем расстояние между поселками, сложив оба расстояния. Решение лучше записать отдельными действиями с пояснениями.

Для разбора решения этой задачи другим способом можно проиллюстрировать движение, вызвав к чертежу двух учеников. Учитель ведет объяснение: «Вы будете велосипедистами. Покажите указкой, откуда вы начали движение. Вы начали двигаться одновременно и ехали 1 ч. Сколько километров проехал за это время каждый из вас9 (11 км и 13 км.) Подпишем 11 км и 13 км на чертеже. На сколько километров вы сблизились за 1 ч? (На 24 км.) прошел еще 1 ч. На сколько километров вы еще сблизились? (На 24 км.) Встретились ли велосипедисты? (Да.) Составьте план решения. (Сначала узнаем, на сколько километров сближались велосипедисты в час, выполнив сложение; затем найдем расстояние между поселками, выполнив умножение.)» Эти два способа решения надо сравнить и. оценить, какой из них рациональнее.

Задачи, обратные данной, ученики могут составить сами по преобразованным чертежам, которые выполняет учитель. Сначала искомым становится время движения до встречи, а затем скорость одного из велосипедистов. Вот эти измененные чертежи: План решения той и другой задачи ученики могут составить сами. Решение лучше записать отдельными действиями. Затруднение обычно вызывает один из способов решения последней задачи (48:2=24, 24-13= 11). В этом случае, обращаясь к иллюстрации, надо показать, что в каждый час велосипедисты сближались на одинаковое расстояние, поэтому легко узнать, на сколько километров они сближались в час, выполнив деление (48:2=24), зная это и скорость одного из них, можно найти скорость другого (24—13=1 Г).

Теперь полезно сравнить задачи, выявив сходное (все задачи на встречное движение, в них одинаковые величины) и различное (в первой задаче находили расстояние по известным скорости каждого велосипедиста и времени движения до встречи;

во второй задаче находили время движения до встречи по известным расстоянию и скорости каждого велосипедиста;

в третьей задаче находили скорость одного из велосипедистов по известным расстоянию, времени движения до встречи и скорости другого велосипедиста). Сравнив решения, ученики должны заметить, что каждую задачу можно решить двумя действиями, причем в этом случае первым действием находили, на сколько километров сближались велосипедисты в час, но при решении первой и второй задачи это находили сложением, а при решении третьей задачи — делением. Далее, как и в других случаях, на последующих уроках ученики решают задачи этих видов сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. Здесь так же, как и при решении других задач, полезно предлагать различные упражнения творческого характера. В частности, ставить вопросы вида: «Могли ли велосипедисты (теплоходы и т. п.) встретиться на середине пути? При каких условиях? Если велосипедисты после встречи продолжат движение, то какой из них приедет раньше к месту выхода другого велосипедиста, если будет двигаться с той же скоростью?»

Рассмотрим задачу, решающуюся несколькими способами:

«В зале 8 рядов стульев, по 12 стульев в каждом ряду. В зал пришли ученики из двух классов, по 42 ученика в каждом. Хватит ли стульев для учеников? Если останутся незанятые, то сколько?»

Используя разбор задачи от данных к вопросу, дети легко получили решение, рассуждая следующим образом: «Зная, что в зале 8 рядов по 12 стульев в каждом ряду, найдем, сколько всего стульев в зале: 1278=96. Теперь определим, сколько стульев будет занято, т. е. узнаем, сколько учеников в двух классах. Столько же будет занято и стульев: 42?2= 84. Сравним теперь число всех стульев - 96 и число стульев, которые займут ученики двух классов, - 84. 96>84, значит, стульев хватит. 96—84=12. 12 стульев останутся незанятыми».

Чтобы отыскать другие способы решения, я предложила детям представить, как могли ученики двух классов войти в зал и в соответствии с этим дополнить условие задачи. Рассуждая, сопоставляя, дети отыскали три способа решения. И эти три способа записали в тетрадь:

II способ

1)2.8=96

2) 96-42=54

3)54—42=12

Ответ. 12 стульев останутся незанятыми. Вначале свои места заняли ученики одного

класса, а затем другого.

III        способ

Всех учащихся рассадили так, чтобы все места в ряду были заняты, т. е. в каждом ряду было по 12 человек:

1. 4272=84 — места займут ученики двух классов;
2. 84:12= 7 — рядов займут ученики двух классов;
3. 8-7= 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми.
   Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

IV        способ

Стулья в зале распределили поровну между классами, т. е. по 48. Поэтому сначала узнаем, сколько незанятых стульев осталось у каждого класса.

1. 1278== 96 — всего стульев в зале;
2. 96:2=48—стульев для каждого класса;
3. 48-42== 6 — незанятых стульев у каждого класса;
4. 6»2== 12 — всего незанятых стульев. Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

Дети были удивлены, что задача имеет столько способов решения, и довольны, что нашли их. Но когда я сказала, что эта задача имеет еще столько же и даже больше решений, удивлению не было границ. Ребятам захотелось тут же отыскать их, но поскольку урок подходил к концу, они попросили остаться после уроков, чтобы в тот же день попытаться выявить все способы. На этом дополнительном занятии опиралась на способных ребят, вовлекала их в самостоятельный поиск, предлагая им представить, как еще можно рассадить учеников: чтобы все ряды заполнялись учениками равномерно и каждый ряд был хотя бы частично занят; чтобы все места в рядах были заняты; чтобы оба класса рассаживались одновременно; рассаживались порознь; чтобы для каждого класса выделялось поровну мест в зале или поровну (по 6) в каждом ряду Чтобы дети лучше могли представить все ситуации, на доске нарисовали 8 рядов, по 12 кружков в каждом ряду. Вот какие решения мы нашли, причем некоторые способы отыскали сами дети. V способ 1) 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, оставшихся 6 учеников посадили в 4-й ряд;

2. 12-6= 6 —учеников из другого класса тоже посадили в 4 ряд;
3. 42-6= 36 — учеников остается посадить на другие ряды;
4. 36:12=3 —еще 3 ряда займут ученики другого класса;
5. 4+3= 7—рядов занято;
6. 8-7 = 1 — ряд или 12 стульев не заняты.
   Ответ: 12 стульев останутся незанятыми.

VI        способ

1. 42:12=3 (ост. 6)—3 ряда занято, 6 учеников не посажено;
2. 42+6== 48—учеников осталось посадить;
3. 48:12== 4—ряда займут оставшиеся ученики;
4. 4+3== 7—рядов занято;
5. 8-7= 1 — ряд или 12 стульев не занято.

VII        способ

1. 8:2== 4 — ряда для каждого класса;
2. 12 • 4= 48 — стульев выделили для каждого класса;
3. 48-42== 6—стульев остается незанятыми в каждой части зала, выделенной каждому классу;
4. 6-2== 12—стульев останутся незанятыми.

VIII        способ

1. 4272= 84—ученика нужно посадить;

84:8== 10 (ост. 4) — 10 учеников в каждом ряду и 4 учеников пока не посадили, если будем сажать поровну на каждый ряд;

3. 12-10= 2 — по 2 стула осталось незанятыми в каждом ряду;
4. 2-8== 16—всего 16 стульев осталось после того, как рассадили по 10 учеников в каждом ряду;
5. 16-4== 12 — стульев остались незанятыми, после того как 4 оставшихся учеников посадили на места из оставшихся 16;

IX        способ

1. 12-8== 96—всего стульев в зале;
2. 96:42=2 (ост. 12)—2 класса можно посадить и 12 мест останутся незанятыми.

X        способ

1)        12:2=6 — по 6 стульев в ряду выделили для класса, если будем рассаживать на каждый ряд поровну учеников из одного и другого класса;

2. 42:6== 7 — рядов займет каждый класс;
3. 8—7== 1 — ряд или 12 стульев останутся незанятыми

Дети просто были потрясены таким обилием способов. И поскольку ситуация задачи несложна для представления (тем более что на рисунке на доске показывали, как они «рассаживают» учеников), записывали мы только некоторые способы с самой короткой записью. Остальные выполняли устно с показом на рисунке, определяли самый рациональный способ. Потом оказалось, что эта задача имеет еще по крайней мере, четыре способа решения. Приведем один из них.

XI        способ

1)        42-2 ==84—ученика в двух классах и 84 стула нужно для всех;

2)        96:84= 1 (ост.  12) — 1 раз по 84 стула содержится в зале и 12 стульев останутся
незанятыми. Работа по отысканию разных способов решения задач так заинтересовала
детей, что если даже на уроке не планировалось решение задач несколькими способами,
учащиеся самостоятельно находили их. Всегда были дети, которые стремились решить
задачу нетрадиционным способом.

Рассмотрим несколько задач, решаемых по системе Л.В. Занкова арифметическим и алгебраическим способом:

Задача №1

"Из 560 листов бумаги сделали 60 тетрадей двух сортов. На каждую тетрадь первого сорта расходовали по 8 листов, а на каждую тетрадь второго сорта - по 12 листов. Сколько сделали тетрадей каждого сорта?" К задаче даны два указания:

1. Решить задачу алгебраическим способом.
2. Предложить свое задание к задаче.

Следуя указанию учебника, учитель подводит учащихся к составлению уравнения, рассуждая примерно так: "Обозначим буквой х - число тетрадей первого сорта, тогда тетрадей второго сорта будет (60 - х). Известно, что на тетрадь первого сорта расходовали 8 листов, значит, (8х) листов расходовали на тетради первого сорта. На тетрадь второго сорта расходовали 12 листов. Следовательно, на тетради второго сорта израсходовано 12 (60-х) листов. Теперь можно найти, сколько всего листов израсходовано: (8х + 12 (60-х), а это по условию равно 560. Составим уравнение: 8х + 12 (60 - х) = 560. Используя дистрибутивный закон (правило умножения числа на разность), дети записывают уравнение: 8х + 720 - 12х = 560. И если составление уравнения не вызывает затруднений у учащихся, то при его решении возникают определенные трудности. Действительно, действия с отрицательными числами будут изучаться позднее, а решение требует выполнения операций над ними.

Приведем образец решения уравнений.

8х+ 12 (60-х) =560

8х+720-12х=560

8х + 720 - 720 - 12х = 560 - 720 (из обеих частей уравнения вычли по 720)

8х- 12х=-160

(8 - 12)х = - 160 (применили дистрибутивный закон умножения относительно вычитания,

вынесли неизвестное число х за скобки)

-4х=-160

Х =(-160):(-4)

Х =40

Итак, чтобы найти неизвестное число, нужно обе части уравнения разделить на (- 4), т.е.    необходимо   провести   операции   с   отрицательными   числами,   а   понятие   об отрицательном числе будет изучаться позднее. Чтобы избежать этого, учитель может попытаться решить это уравнение следующим образом:

8х+ 12(60-х)=560

8х+720- 12х=560

8х+720+12х-12х=560+12х прибавим 12х

8х+720=560+ 12х

8х - 8х + 720 = 560 + 12х - 8х вычитаем из обеих частей 8х

720 = 560 + (12 - 8)х выносим за скобки х

720 - 560 = 560 - 560 + 4х вычитаем из обеих частей 560

160=4х

Х = 160:4

Х =40

Согласитесь, что подобные рассуждения слишком громоздки и затруднительны. Зная это,  учитель  подводит учащихся  к  другому  уравнению,  решение  которого легче и понятнее детям. Рассуждения примерно таковы: "Пусть х - число тетрадей второго сорта. Тогда (60-х) - число тетрадей первого сорта. На тетради второго сорта пошло 12х листов, а на тетради первого -8 (60 - Х) листов. На все тетради пошло 12х + 8 (60 - Х) листов бумаги. По условию задачи это равно 560 листам". Составляем уравнение: 12х+8 (60-х) =560 12х+480-8х=560 12х-8х =560-480 (12-8)х=80 4х=80 Х = 80: 4 х=20

Ответ: 20 тетрадей второго сорта, 40 тетрадей первого сорта (60 - 20 = 40). Рассуждения учителя и учащихся могут быть примерно такими: "Предположим, что все тетради были тетрадями первого сорта. Тогда потребовалось бы 8 • 60 = 480 листов бумаги. Но в условии задачи сказано, что пошло 560 листов, т.е. израсходовано больше, чем предположили, на 80 листов (560 - 480 = 80) за счет того, что были тетради другого сорта, на которые шло по 12 листов. На одну тетрадь второго сорта расходовали больше на 4 листа. Итак, на все тетради второго сорта израсходовали на 80 листов больше, а на каждую тетрадь - на 4 листа больше. Это значит, тетрадей второго сорта будет столько, сколько раз укладывается 4 в числе 80: 80:4 — 20 (тетрадей). Чтобы найти число тетрадей первого сорта, нужно из 60 вычесть 20". Затем записывается решение задачи: 1)80-60-480

2. 560 - 480 = 80
3. 12-8=4
4. 80: 4 = 20

5) 60 - 20 = 40

Второй арифметический способ решения основан на предположении, что все тетради

были второго сорта. Аналогичные рассуждения приводят к решению:

1. 12-60 = 720 тетрадей
2. 720 - 560 = 160 тетрадей
3. 12-8 =4 тетради

70484480. 160 : 4 = 40 тетрадей
70484481. 60 - 40 = 20 тетрадей

Ответ: 40 тетрадей первого сорта, 20 тетрадей второго

сорта.

Возможны и другие способы решения задачи.

Например:

1)12.60=720

2)720-560=160

3)12-8-4

4. 160:4=40
5. 8 • 40 = 320
   6)560 - 320 = 240
   7)240: 12=20
   Задача №2

«На запасных путях стояло 2 железнодорожных состава. В первом составе было на 12 вагонов больше, чем во втором. Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось в 4 раза больше вагонов, чем во втором. Сколько вагонов было в каждом составе?» К данной задаче даны три указания: 1) решить задачу алгебраически; 2) найти среди решенных раньше задач похожую на данную решением; 3) составь свою задачу, которая будет иметь такое же решение.

При решении задачи алгебраическим способом учащиеся обозначают буквой х -число вагонов в первом составе, тогда во втором составе число вагонов (х - 12). В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов. Во втором составе оказалось (х -18) вагонов, а в первом (х - 6) вагонов. В первом составе в 4 раза больше вагонов, чем во втором. Составим уравнение: х - 6 = 4 (х - 18). При решении уравнения у учащихся появляются затруднения, связанные с тем, что возникает необходимость в выполнении действий с отрицательными числами:

х _ б = 4х- - 72  

х - 4х = - 72 + 6

-        Зх = - 66

х = (- 66): (- 3) х=22

Чтобы избежать таких недоразумений, учитель предлагает на основе изученных свойств числовых равенств (вернее, равносильности уравнений) неизвестное перенести в правую часть уравнения: х-6=4 (х- 18)

х -6 = 4х - 72

-6 = 4х-х-72

-6=(4-1)х-72

• 6 = Зх - 72
• 6 + 72 = Зх
  72 - 6 = Зх
  66=3 х

Как видим, решение уравнения вызывает затруднения у учащихся, и, предвидя это, учитель в процессе рассуждения подводит детей к уравнению, решение которого проще:

4 (х- 18)=х-6

4х - 72 = х - 6

4х-х-72=х-х-6

(4- 1)х-72=-6

Зх = 72-6

х - 66: 3

х = 22 (вагона в первом составе)

Ответ: в первом составе - 22 вагона, во втором - 10.

Обозначив буквой х число вагонов второго состава,  в процессе рассуждении можно

получить уравнение:

4 (х - 6) = х + 6

4х - 24 = х + 6

Зх = 6 + 24

Зх=30

х- 10

Таким образом, можно с уверенностью сказать, что при решении задач алгебраическим способом учителю необходимо продумать, какое неизвестное обозначить буквой, и подвести учащихся к уравнению, решение которого будет проще и понятнее для них.

Выполнение второго задания, предложенное автором, для данной задачи сводится к отысканию (узнаванию) среди решенных похожей задачи, что отнимает много времени и недостаточно эффективно с точки зрения развития умственных способностей.

Третье задание (составить задачу, похожую на данную) преследует такую же цель, как и второе. Думается, в данном случае целесообразно решить задачу арифметическим способом. Для осознанного поиска решения задачи необходимо проиллюстрировать задачную ситуацию с помощью чертежа. Например, изобразить число вагонов второго состава отрезком АВ. От состава отцепили 6 вагонов (показываем на чертеже). Оставшееся число вагонов будет соответствовать отрезку СВ. В задаче сказано, что вагонов осталось в первом составе в 4 раза больше, чем во втором. Значит, числу оставшихся вагонов первого состава будет соответствовать отрезок в 4 раза больше, чем отрезок СВ (показываем на чертеже отрезок ММ). Первоначально в первом составе было на 6 вагонов больше (показываем на чертеже). DN -отрезок, соответствующий 6 вагонам, тогда ОМ соответствует числу вагонов первого состава). Рассматривая чертеж, необходимо обратить внимание детей на то, что отрезку КМ соответствует 12 вагонов. В задаче сказано "на 12 вагонов больше", и эти 12 вагонов приходятся на три равные части, каждая из которых равна отрезку СВ (числу вагонов, оставшихся во втором составе).

После такой наглядной  интерпретации задачи дети самостоятельно записывают решение и поясняют каждое выполняемое действие: 1)4-1=3 (на 3 части больше осталось вагонов в первом составе)

2. 12:3=4 (вагона осталось во втором составе)
3. 4 + 6 = 10 (вагонов было во втором составе)
4. 10 + 12 = 22 (вагона было в первом составе)

При сравнении способов решения учащиеся приходят к выводу, что арифметический способ легче и понятнее, чем алгебраический.

Интересным для учащихся будет и решение данной задачи методом перебора.

Прежде всего, определим, с какого числа можно (да и нужно) начинать подбор чисел. В задаче сказано, что от каждого состава отцепили по 6 вагонов и при этом вагоны еще остались. Значит, вагонов в составе было больше шести. В задаче также сказано, что в первом составе осталось вагонов в 4 раза больше, чем во втором. Значит, осталось четное число вагонов (любое число, умноженное на четное, есть число четное). Если отцепили 6 вагонов (а 6 -число четное), значит, вначале было тоже четное число вагонов (сумма двух четных чисел есть число четное). Во втором составе на 12 вагонов меньше, а это значит, что и во втором составе четное число вагонов. Итак, для пробы будем брать следующие числа: 8, 10, 12 и т.д.

Пусть во втором составе было 8 вагонов, тогда в первом их было 20 (8 н- 12 = 20). Когда от каждого состава отцепили по 6 вагонов, в первом оказалось 14(20-6=14), а во втором-2 (8-6 = 2).

Проверяем, во сколько раз 14 больше, чем 2(14:2=7)-в7 раз. Это не соответствует условию задачи, так как число оставшихся вагонов первого состава должно быть в 4 раза больше, чем число вагонов второго состава. Пусть 10 число вагонов второго состава. Тогда число вагонов первого состава 22 (10 + 12 = 22). От каждого отцепили по 6 вагонов: во втором осталось 4, в первом - 16(10-6 = 4, 22-6= 16). Проверяем, во сколько раз больше осталось вагонов в первом составе, чем во втором, и получаем 4(16:4=4), что соответствует условию задачи. Ответ: в первом составе было 22 вагона, во втором — 10. Заключение.

Решение текстовых задач и нахождение разных способов их решения на уроках математики способствуют развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности; для развития умения кратко, четко и правильно излагать свои мысли.

Решение задач разными способами, получение из нее новых, более сложных задач и их решение в сравнении с решением исходной задачи создает предпосылки для формирования у ученика умения находить свой «оригинальный» способ решения задачи, воспитывает стремление вести «самостоятельно поиск решения новой задачи», той, которая раньше ему не встречалась.

Задачи с многоспособовыми решениями весьма полезны так же для внеклассных занятий, так как при этом открываются возможности по настоящему дифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехом использоваться в качестве индивидуальных дополнительных знаний для тех учеников, которые легко и быстро справляются с задачей на уроке, или для желающих в качестве дополнительных домашних заданий.

1.5. Особенности работы над задачами по системе Л.В. Занкова.

Наиболее распространенной среди альтернативных систем является дидактическая система, разработанная под руководством академика Л. В. Занкова. Эту систему учитель выбирает не только потому, что она привлекает своими принципами: обучение должно вестись на высоком уровне трудности, в быстром темпе; ведущая роль в обучении математике отводится теории, причем теоретические знания тесно связаны с обязательным осознанием учащимися процесса обучения.

Однако наблюдение за работой учителя, анализ результатов самостоятельных и контрольных работ говорит о том, что именно эти принципы в практике обучения реализуются недостаточно полно. Прежде всего, настораживает то, что зачастую наряду с учебниками математики И. Н. Аргинской на партах лежат и учебники М. И. Моро и др.

Конечно, творчески работающий учитель никогда не ограничится одним учебником, а будет стремиться использовать все богатство заданий других пособий, методических приемов, выбирая то, что наиболее подходит именно для его учеников. И с этим нельзя не согласиться.

Однако учитель должен задуматься и над тем, что обучение учащихся по двум учебникам, сильно отличающимся как содержанием, так и методическими подходами, приводит к нарушению целостности научно-обоснованной системы и порождает формализм и поверхностное изучение материала, приводит к перегрузке учащихся. Особенно это заметно при обучении решению текстовых задач, ибо, как показывает практика, именно здесь у учителя и учащихся возникают затруднения.

Это порождает крайне неверное мнение, что по системе Л. В. Занкова могут обучаться лишь избранные дети и работать избранные учителя.

Не будем утверждать или дискутировать о том, усваивают или не усваивают дети материал (известно, что методическая система Л. В. Занкова зарекомендовала себя и доказала высокую эффективность усвоения математических знаний и развития мышления учащихся), как и то, все или не все учителя смогут работать по данной системе.

Хотелось бы обратить внимание на то, что значительному большинству учителей нужна основательная помощь, которая заключалась бы в конкретизации методических приемов и методов работы, ибо отсутствие таковых приводит к противоречию между предлагаемыми принципами и их реализацией в практике.

Попытаемся проанализировать некоторые затруднения, возникающие у учителя и учащихся при решении текстовых задач.

Алгебраический метод решения задач вводится с I класса и уже к III классу становится основным методом решения. Как известно, алгебраический метод решения задач развивает теоретическое мышление, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и, кроме того, обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время. Видимо, эти преимущества и привели к тому, что значительная часть учителей отдает предпочтение при решении задач алгебраическому методу.

Однако существует и другое мнение о том, что арифметический метод решения задач развивает мышление не в меньшей степени, так как ученику необходимо разбить составную задачу на простые и на основе логически строгих рассуждении в определенной последовательности решить их. Арифметический способ решения требует большего умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Именно поэтому арифметический метод решения задач должен быть если не ведущим, то хотя бы полноправным методом решения задач в начальных классах.

Следует отметить, что арифметический способ решения доступен не всем учащимся так как мышление младшего школьника носит наглядно-образный характер. Конкретное мышление младших школьников проявляется в том, что они могут успешно решить ту или иную задачу в том случае, если опираются на действия с реальными предметами. Поэтому для осознанного выбора действия, посредством которого решается задача, необходимо иллюстрировать задачную ситуацию, чтобы учащиеся осознали, почему и зачем выполняется то или иное действие.

Особого внимания и творческого подхода требуют задачи, предлагаемые в конце учебника. Именно на данном этапе обучения должно проявляться умение применять различные приемы и методы решения задач, умение анализировать, рассуждать, предлагать и проверять эти предположения, делать соответствующие выводы. Поэтому при решении задач учителю необходимо организовать работу таким образом, чтобы учащиеся находили различные способы решения, сравнивали их и выбирали наиболее легкий и рациональный.

Учителю нужны методическая помощь, методические разработки и рекомендации, которые позволили бы сэкономить время на подготовку к уроку, сохранить уверенность, силу и энергию, необходимую для плодотворной и творческой работы.

1.6. Как составить и решить задачу по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

Начнем с очень простого, на первый взгляд, вопроса: "Что такое задача?" Или "Как узнать задачу?" Дети обязательно скажут: "Это там, где слова", "Задача - это вопрос", "В ней обязательно что-то происходит". Правда, у нас очень умные дети? Тогда предложите им выбрать из предложенных записей задачу:

1. На склад привезли 3 т картофеля.
2. Сколько цветов в букете?

70484864. На празднике было 20 красных шаров, 10 зеленых и 15 синих. Сколько всей шаров
          было на празднике?
70484865. На сколько ящик массой 15 кг тяжелее ящика массой 8 кг?
70484866. В вазе 5 яблок и 7 груш. Найди общее количество фруктов.

С пунктами 1 и 2 не возникает проблемы, так как в первом нет вопроса, а во втором нет данных ("ничего неизвестно"). Текст под номером 3 позволяет сформулировав основные элементы задачи - условие и вопрос. А дальше, не давая детям опомниться вычеркнем тексты под номером 4 ("в нем нет условия") и номера 5 ("нет вопроса") и попросите оценить ваши действия. При внимательном рассмотрении окажется, что условие и вопрос задачи могут быть сформулированы в одном вопросительном предложении, а бывает и так, то вопрос "спрятан" в указание совершить какие-либо действия. Итак, казалось бы, простой вопрос о задаче открывает целую серию исследовательских уроков. Они будут продолжены по мере накопления возможных оснований для сравнения и классификации задач. Завершить данный урок можно открытием "маленькой тайны" (чем успокоим того ребенка, которого в задаче пока волнуют только действующие лица): задача имеет сюжет. Это слово может стать вашим "подарком" детям, а так как принято благодарить за презент, попросите ребят придумать разные задачки на какую-либо тему (тему дети могут выбрать сами).

Чтобы избавиться от "текстового страха", поставим перед собой первую задачу: научиться читать так, чтобы видеть за скорлупой слов математическое ядро. В схеме решения задачи появляется первый шаг: "Читаю задачу". Для учителя не является секретом, что текст читается дважды: цель первого прочтения -общее знакомство с задачей, второго -структурирование текста с помощью логических пауз, выделения голосом данных. Наш первый шаг относится к первому чтению задачи. Как же зафиксировать на бумаге результат второго? Если мы сумеем научить этому наших детей, то можно смело утверждать: половина проблем в решении задач снята!

По моему убеждению, каждый ученик должен "понимать", то есть уметь обрабатывать текст задачи.

Итак, выделив математическое ядро, читаем ее второй раз и ставим перед собой очень важную задачу: выделение величин и отношений между ними, которые заключены, как говорят дети, "в главных словах и числах (буквах)". Это второй шаг в решении любой задачи.

Можно с ребятами договориться подчеркивать эти слова карандашом в книге и цветным мелом на доске. Вопрос задачи всегда выделяем особо - это цель наших действий. Вот что получается:

Трусливый охотник перед охотой подкрепился двумя булочками, но струсил и так ослабел, что решил на охоту не идти. Подкрепившись еще тремя булочками, он осмелел, даже зарядил ружье, но снова струсил. Пришлось ему опять восстанавливать свои силы двумя булочками. Сколько всего булочек истратил охотник булочками на поддержку своих сил?

Текст уже не пугает; зрительно делается акцент на выделенные слова, а их стало во много раз меньше. Многие дети вздохнули с облегчением: "Задача-то - проще не бывает". Но "расслабиться" нам не дал ученик, которому математика дается труднее, чем остальным, и этот факт, как это ни парадоксально, помогает всем остальным более осознанно выполнять свои действия (как в поговорке "Не было бы счастья, да несчастье помогло"). Его вопрос: "Ребята, и все-таки, как узнать в тексте главные слова?" - слегка поубавил радость от кажущейся легкости. Этот ученик задал самый главный вопрос урока, заставив отрефлексировать способ действия. И не оказалось такого ученика, его роль должны взять на себя вы и попросить детей обсудить, по какому признаку они выделяют величины.

Первое, что предложили ученики, - это проверить, правильно ли в данной задаче они выделили слова. Ход был гениально простой: стереть с доски все слова, кроме выделенных. Получилось следующее:

...двумя булочками ... тремя булочками ... двумя булочками.

Сколько всего булочек?

Исключение части слов не повлияло на математическую модель задачи, то есть мы совершенно безболезненно можем понять, а следовательно, решить данную задачу. Немного погодя у нас родился второй способ выделения величин: не подчеркивание важных слов, а удаление несущественных (обратите внимание: дети сами нашли для себя более простой метод - метод исключения). Ученики подтолкнули меня к созданию нового вида заданий: каждая группа получает свой текст задачи; надо закрасить маркером все слова, оставив только важные. Соблюдается условие: текст с закрашенными словами передается по кругу другой группе, которая должна будет понять и решить задачу. Критерием правильности выступает возможность восстановления математической модели (не сюжетной!).

В процессе обсуждения выясняем, что выделять следует составные: числа (буквы) и наименование при них; действующие лица там, где есть сравнение; слова, указывающие на действия. Последнее указание надо тоже изучить подробно.

Хочу заметить, что процесс обработки текста важен не только в решении задач. Существует у учеников еще один любимый "штамп": "Я не понял задание". А что это значит? Казалось бы текст написан по-русски, чего же тут не понять? Проблема в том, что его нужно "перевести" с русского на математический язык и наоборот. Ребенок не выделяет для себя понятие, не видит указаний на совершение действий.

Для того чтобы увидеть, действительно ли ребенок умеет соотнести текст и схему, удобно воспользоваться обратной задачей: не по тексту изобразить схему, а по схеме восстановить текст.

На уроках контроля можно предложить проверить, правильно ли составлена схема по задаче. В этом случае можно воспользоваться приемом, предложенным Э.И. Александровой для установления взаимнооднозначного соответствия, - это проведение "дорожек" от слова к его изображению в схеме.

Для формирования действия контроля за результатом отлично подходят задачи, содержащие несколько вопросов или задачи, в которых идет указание на поиск нескольких величин словами "Найдите каждый...". Последний шаг - это оценка правдоподобности результата.

Действие оценки можно выделить в самостоятельные задания, которые могут звучать так: "Прочитав задачу, исключи те варианты ответов, которые противоречат сюжету", "Выбери те варианты, которые могут появиться в результате".

Памятка

В задаче дано (говорится, что...)...

Спрашивается...

Рассуждаю (ребенок может выбрать способ рассуждения сам):

а)        от данных к искомой величине (перфокарта 1);

б)        от искомого к данным (перфокарта 2);
Решаю.

Проверяю.

Приложение 2.

Перфокарта №1

1. Зная, что красных шаров 7, а синих - на 3 больше.
2. Я могу узнать: синие шары - 7+3.
3. А чтобы узнать количество синих и красных шаров вместе, надо к красным шарам (7 штук) прибавить синие
   (10 штук). 7+10=17
4. Проверяю: 17-7=10, 10-7=3
   Перфокарта №2

1.        Для ответа на вопрос надо знать:

а)        количество красных шаров.

б)        количество синих шаров.

2.        В задаче известно: красных шаров - 7 штук.
Неизвестно: количество красных шаров.

Но сказано, что их на 3 штуки больше (7+3).

3.        Значит, сначала узнаю количество синих шаров.
7+3=10 шт.

Затем узнаю количество красных и синих шаров вместе: 7+10= 17 шт.

4.        Проверяю: 17-7=10, 10-7=3

Приложение 3.

Схемы-формулы, используемые при решении задач по системе Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова.

Больше на ... больше в ... раз

х=А+В у=АхВ

меньше на ... меньше в ... раз

х=М-К у=М:К

Приложение 4.

Виды кратких записей задач.

Карточка №1. Задачи на нахождение суммы.

Карточка №2. Задачи на увеличение или уменьшение числа на несколько единиц.

Карточка №3. Задачи на нахождение остатка.

Приложение 5.

При решении задач на цену, количество и стоимость можно использовать данную схему:

При решении задач на движение можно использовать следующую схему (запомним, что латинской буквой "S" обозначается расстояние, буквой "t" - время, буквой "v" -скорость).

Приложение 6.

1. На каждой из двух полок было по 3 книги. Когда несколько книг добавили на вторую полку, то на ней стало 9 книг. Сколько книг добавили на вторую полку?
2. На первой полке было 3 книги, на второй - 9 книг. Во сколько раз уменьшили число книг на второй полке, если их стало столько же, сколько и на первой?
3. На двух полках книг было поровну. Когда число книг на второй полке увеличили в 3 раза, то их на второй полке стало 9, сколько книг сначала было на каждой полке?
4. На двух полках книг было поровну. Когда на вторую полку поставили еще 6 книг, то на второй полке стало 9 книг. Сколько книг было сначала на каждой полке?

5. На первой полке было 3 книги, на второй  полке -         9        книг.
Когда взяли несколько книг со второй полки, то их стало столько же, сколько на первой.  Сколько книг взяли на второй полке?
Приложение 7.

Порядок работы с задачей.

УСЛОВИЕ – ЗАДАЧА -  РЕШЕНИЕ -  ПРОВЕРКА -  ОТВЕТ – ВОПРОС

Приложение 8.

Задача №1:

Рабочему поручено изготовить 30 деталей за 10 ч. Но рабочий, экономя время, успевал делать одну деталь за 15 мин.

Сколько деталей сверх задания сделал рабочий за счет сэкономленного времени?  (При решении 10 ч заменить минутами.)

Дополнительные задания:

1. Найдите два способа решения задачи.
2. Объясните, как рассуждал ученик, который решил эту задачу таким способом:

I        способ

10 ч-600 мин 1)600:15=40-деталей 2) 40-3 0-10-деталей

II        способ
1)600:30=20 -минут

2. 20-15=5 - минут
3. 5-30=150-минут
4. 150:15=10 - деталей

3.        Решите эту задачу другими способами, отвечая на поставленные вопросы:

III        способ

1. Сколько деталей стал делать рабочий за 1 ч?
2. Сколько деталей сделал рабочий за 10 ч?
3. Сколько деталей сделал рабочий сверх задания?

IV        способ

1. Сколько минут должен был тратить рабочий на изготовление одной детали?
2. Сколько деталей сделал рабочий за 1 ч сначала?
3. Сколько деталей он стал делать потом?
4. На сколько больше деталей стал делать рабочий за 1 ч?
5. Сколько деталей сделал рабочий сверх задания?
   4. Так  задача допускает еще и другой способ решения:

1. 15-30=450 - минут затратил рабочий на изготовление 30 деталей, расходуя на каждую по 15 мин.
2. 600-450= 150 - минут осталось у рабочего на изготовление дополнительных деталей.
3. 150:15=10 - деталей сделал рабочий сверх задания, то можно предложить детям найти этот способ решения задачи.

Задачи, воспитывающие гибкость мышления, когда по одному действию требуется восстановить весь дальнейший ход рассуждения.

Задача №2:

Нужно привезти 540 т угля на трех машинах. За сколько дней это можно сделать, если на каждую грузить по 3 т и делать по 5 поездок в день?

Дополнительные задания:

1.        Эту задачу можно решить разными способами. Закончите решение задачи другими способами:

I        способ

1) 3-5=15 - тонн перевезет одна машина в день.

2)...

3)...

II        способ

1) 3-3=9 - перевезут три машины за одну перевозку. 2)...

III        способ

1) 540:3=180 -тонн нужно перевезти каждой машине.

2)...

3)...

2.        Найдите еще другие способы решения этой задачи (их не менее 12).

2. Анализ хода.

А можно ли научить самостоятельно решать задачи каждого ученика? Проведенные нами исследования убеждают, что это возможно. Следует, прежде всего, улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметических действий каждым ребенком.

Главное для каждого ученика на этом этапе - понять задачу, т.е. уяснить, о чем эта задача, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми параметрами и т.п.

Для этого по возможности следует применять моделирование и учить этому детей.

Почему учащиеся испытывают трудности в решении текстовых задач?

Действующая программа обучения математике требует развития у детей самостоятельности в решении текстовых задач. Каждый выпускник начальной школы должен уметь кратко записывать условие задачи, иллюстрируя ее с помощью рисунка, схемы или чертежа, обосновывать каждый шаг в анализе задачи и ее решении, проверять правильность решения. Однако на практике требования программы выполняются далеко не полностью, что приводит к серьезным пробелам в знаниях и навыках учащихся. Чтобы выяснить, каков уровень усвоения программных требований выпускниками начальных классов в области решения текстовых задач, учащимся начальных классов города Шуи (по согласованию с учителями) была предложена письменная работа. Каждый ученик должен был решить две задачи, подобные которым ранее решались в классе или дома. Несмотря на то, что задачи были знакомы, многие ученики не справились с их решением и допустили большое количество ошибок. Нам было интересно проанализировать, какие же ошибки были допущены учащимися?

Рассмотрим несколько задач, предложенных детям, и варианты правильных и ошибочных решений.

• В школьном математическом кружке занимается 18 учеников. В танцевальном кружке на 12 учеников больше, чем в математическом, а в спортивном на 5 учеников меньше, чем в танцевальном. Сколько учеников в спортивном кружке?

Задача близка жизненному опыту детей, но и она вызвала затруднения.

Правильные решения:

Вариант!        Вариант2

1)18+12 = 30(уч.)        (18+12)-5 = 25(уч.)

2) 30- 5 = 25 (уч.)

Ошибочные решения: Вариант 1 1)18+12 = 30 (уч.) 2)30-5 = 25 (уч.) 3)30-25 = 5 (уч.)

Вариант 3 1)18+12 = 30 (уч.) 2) 30-5 =25 (уч.)

Вариант 2

     1) 18+12 = 30 (уч.)

2) 30:5 = 5(уч.)

        3)30+ 25 = 55 (уч.)
* В первый день для ремонта школы привезли 28 бревен, а во второй день привезли на 4 машинах по 10 бревен. Сколько бревен привезли за эти 2 дня?
Правильные решения:
Вариант1        Вариант2

1) 28+10x4 = 68(б.)        1)10x4 = 40(б.)

                                                     2)28 + 40 = 68(6.)

Ошибочные решения:

Вариант   1        Вариант 2        Вариант 3

4+10=14(6.)        28:4 = 7(6.)        28:4 = 7(6.)

28+14 = 42(6.)        7 + 10=17(6.)   7x10 = 70(6.)

Наибольшее число ошибок допустили учащиеся в решении задачи на пропорциональные величины.

*        В 3 одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?

Правильные решения:
Вариант 1        Вариант 2

(21:3)х8 = 56(кг)        1)21:3 = 7(кг)

                                                 2)7х8 = 56(кг)

Ошибочные решения:

Вариант2        Вариант 3        Вариант4

1)21-3 = 7(кг)        21+8 = 29(кг)        1)21-3 = 18(кг)

2)7 + 8=15(кг)                2)18 + 8 = 26(кг)

Аналогичную работу я провела с пятиклассниками и поняла, что ошибки повторяются. Наибольшее число ошибок допустили пятиклассники в решении следующей задачи.

*        В три магазина привезли 3840 кг масла. После того, как первый магазин продал 568 кг, второй 624 кг и третий 401 кг, масла осталось во всех магазинах поровну. Сколько килограммов масла получил каждый магазин?

Правильные решения:

Вариант 2

1. 3840-568 = 3272 (кг)
2. 3272-624=2648 (кг)
3. 2648-401 =2247 (кг)
4. 2247:3 = 749 (кг)
5. 749 + 568= 1317(кг)
6. 749+ 624 =1373 (кг)
7. 749+401 = 1150 (кг)

Вариант   1

1. 568+ 624 =1192 (кг)
2. 1192+401 = 1593 (кг)
3. 3840-1593 = 2247 (кг)
4. 2247:3 = 749(кг)
5. 749 + 568= 1317(кг)
6. 749+ 624 =1373 (кг)
7. 749+401 = 1150 (кг)

Вариант 2

1. 3840-568 = 3272 (кг)
2. 3840-624 = 3216 (кг)
3. 3840-401 =3439 (кг)

Ошибочные решения: Вариант  1

1. 568+ 624 =1192 (кг)
2. 1192+ 401 = 1593 (кг)
3. 3840-1593 = 2247 (кг)
4. 2247:3 = 749(кг)

Вариант  3

Вариант   4

1. 3840-568 = 3272 (кг)
2. 624-401 =223 (кг)
3. 3272-223 = 3056 (кг)
4. 3840:3 =1280(кг)
5. 1280+ 568 =1848 (кг)
6. 1280+ 624 =1904 (кг)
7. 1280+ 401 = 1681 (кг)

* Во время летних каникул Женя, Федя и Зина собирали лекарственные травы. Женя собрал 1030 г, Федя на 180 г больше, чем Женя, а Зина на 640 г меньше, чем Женя и Федя вместе. Сколько граммов лекарственных трав собрали дети вместе?

Правильное решение:

1. 1030+180= 1210(г)
2. 1030+1210 = 2240(г)
3. 2240-640 =1600 (г)
4. 2240+1600 = 3840 (г)

Выявлено 9 вариантов ошибочных решений. Приводим примеры наиболее характерных. Ошибки вычислительного характера мы не учитывали.
Ошибочные решения:
Вариант!        Вариант 2

1. 1030-180 = 850 (г)        1)    1030+ 180 =1210(г)
2. 1030+ 850 =1880 (г)        2)    1210-640 = 570 (г)
3. 1880+ 640 = 2520 (г)        3)    1210 + 570= 1780 (г)

Вариант 4

1. 1030+180 =1210 (г)
2. 1030-640 = 390 (г)
3. 1210 + 390 =1600(г)

Вариант  3

1. 1030+180 =1210 (г)
2. 1030+1210 = 2240(г)
3. 1030-640 = 390 (г)
4. 2240+ 390 = 2630 (г)

Рассмотренные ошибки свидетельствуют о том, что ученики, не справившиеся с решением задачи, не смогли четко представить жизненную ситуацию, отраженную в задаче, не уяснили отношения между величинами в ней, зависимость между данными и искомыми, а поэтому механически манипулировали числами.

Почему же учащиеся допустили так много ошибок даже при повторном решении знакомых задач? Психология уже свыше ста лет занимается исследованием процесса решения задач человеком. В результате этих исследований открыто много интересных закономерностей и найдены важные характеристики процессов решения задач.

Отечественный психолог Сергей Леонидович Рубинштейн характеризовал решение задач человеком как процесс их переформулирования, в котором непрерывно производится анализ условий и требований задачи через синтетический акт их соотнесения. Мои наблюдения, анализ результатов проделанной работы, беседы с учителями, учащимися позволяют сделать вывод о том, что одна из основных причин допускаемых детьми ошибок в решении текстовых задач - неправильная организация первичного восприятия учащимися условия задачи и ее анализа, которые проводятся без должной опоры на жизненную ситуацию, отраженную в задаче, без ее графического моделирования.

Как правило, в целях экономии времени в процессе анализа используют разные виды краткой записи или готовые схемы, а создание модели задачи на глазах у детей или самими детьми в процессе решения задачи применяют крайне редко.

  Я считаю что для устранения отмеченных недостатков следует решительно улучшить методику организации первичного восприятия и анализа задачи, чтобы обеспечить осознанный и доказательный выбор арифметических действий всеми учащимися.

Так, анализируя задачу: «В школьном математическом кружке...», обычно кратко записывают ее примерно в таком виде:

В мат. кр. - 18 уч.

В танц. кр. - ? , на 1 2 уч. больше, чем в математическом.

В спорт, кр. - ? , на 5 уч. меньше, чем в танцевальном.

Такая запись при первичном анализе нерациональна, так как не раскрывает наглядно взаимозависимостей между данными и искомыми, не помогает в выборе действий.

 Анализируя условие задачи, дети выясняют, что в танцевальном кружке учащихся на 12 больше, чем в математическом, то есть их столько же, да еще 12, поэтому отрезок на схеме, изображающий численность учащихся в танцевальном кружке, имеет большую длину, чем отрезок, показывающий численность учащихся в математическом кружке. А так как численность учащихся в спортивном кружке на 5 меньше, чем в танцевальном, то есть их столько же, но без 5, то и отрезок, показывающий численность учащихся в спортивном кружке, должен быть меньше, чем отрезок, показывающий численность учащихся в танцевальном кружке. Анализируя эту схему, дети самостоятельно записывают решение.

Моделирование составных текстовых задач

Составные задачи, как и простые, иллюстрируются с помощью реальных предметов, рисунков и чертежей. При этом учитель не должен забывать, что следует постепенно переходить от более конкретных форм наглядности к менее конкретным, схематическим, условным.

Как отмечает Л.Ш. Левенберг, «...рисунки, схемы и чертежи не только помогают учащимся в сознательном выявлении скрытых зависимостей между величинами, но и побуждают активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения задач, помогают не только усваивать знания, но и овладевать умением применять их» (Рисунки, схемы и чертежи в начальном курсе математики. М., 1978).

Рассмотрим, как можно использовать графические модели при решении составных задач. Анализируя задачу: «Впервый день для ремонта школы привезли...», обычно записывают ее кратко в таком виде:

1. д.-28б.
2. д. - ?, на 4 маш. по 106.

Эта задача была предложена учащимся нескольких начальных классов. И хотя ранее она уже решалась в классе, многие ученики с ней не справились. Дело в том, что краткая запись, которую использовали ученики, не отражала жизненной ситуации с достаточной наглядностью. Лучше смоделировать условие задачи в виде схематического рисунка:

По такой модели даже слабый ученик сможет записать решение, если не так:

28+10x4 = 68(6.), то хотя бы так:

1)10+10+10+10 = 40(6.)

2)28 + 40 = 68(6.)

Опыт показывает, что действия, отработанные при решении простых задач не гарантируют правильного решения составных задач. Рассмотрим следующую задачу.

• Всовхозе работают 37 трактористов, шоферов на 8 больше, чем трактористов, а комбайнеров на 5 меньше, чем шоферов. Сколько комбайнеров работает в совхозе?

Обычная краткая запись этой задачи выглядит так: X. - 37 чел.

Ш. - ?, на 8 больше, чем трактористов. К. - ?, на 5 меньше, чем шоферов.

Такая запись при первичном анализе задачи нерациональна, так как не раскрывает наглядно взаимоотношения величин и не помогает в выборе действий. Целесообразнее не записывать задачу кратко, а сделать модель:

37 чел.

Такая модель дает наглядное представление об отношениях между данными и искомыми величинами в задаче. Анализируя задачу, дети выясняют, что шоферов на 8 больше, чем трактористов, то есть их столько, да еще 8. Поэтому отрезок на схеме, изображающий численность шоферов, они чертят большей длины, чем отрезок, изображающий численность трактористов. А так как численность комбайнеров на 5 меньше, чем шоферов, то есть их столько же, но без 5, то и отрезок, показывающий численность комбайнеров, должен быть меньше отрезка, показывающего численность шоферов. При таком моделировании выбор действий будет понятным и обоснованным, учащиеся не будут действовать наугад, механически манипулируя числами.

Решение задачи ученики записывают так:

Вариант   1        Вариант 2

1)37 + 8 = 45(ш.)        (37+ 8)-5 = 40 (к.)

2) 45-5 = 40 (к.)

Сильным ученикам можно предложить по модели выявить новые отношения между данными и искомыми величинами и найти другой способ решения. Если дети затрудняются, то можно провести беседу.

Учитель. Что требуется узнать в задаче? Посмотрите на модель задачи и определите, больше или меньше комбайнеров, чем трактористов.

Дети. Больше.

У. А на сколько больше? Как узнать?

 Д. Надо из восьми вычесть пять.

 У. А теперь можно определить, сколько комбайнеров?

 Д. Можно.

У.Запишите решение.

Дети записывают: 37 + (8 - 5) = 40 (к.).

Условие задачи с пропорциональными величинами обычно кратко записывают в таблицу.  Например, следующим образом.

* В 3 одинаковых ящиках 21 кг апельсинов. Сколько килограммов апельсинов в 8 таких ящиках?

Таблица - это тоже модель задачи, но более абстрактная, чем схематический рисунок или чертеж. Она предполагает уже хорошее знание учащимися взаимозависимостей пропорциональных величин, так как сама таблица этих взаимозависимостей не показывает. Поэтому при первичном знакомстве с такой задачей таблица мало помогает представить математическую ситуацию и выбрать нужное действие.

При первичном знакомстве с таким видом задач целесообразно смоделировать условие в виде схематического рисунка или чертежа.

По такой модели решение задачи становится более понятным для всех учащихся: чтобы узнать, сколько килограммов апельсинов в 8 ящиках, нужно знать, сколько килограммов апельсинов в одном ящике.

Рассмотрим задачу.

• Из двух кусков ткани сшили 18 одинаковых занавесок. В первом куске было 30 м, во втором - 24 м. Сколько занавесок сшили из каждого куска?

Условие обычно записывают в таблицу:

Вариант!        Вариант2        Вариант 3

1) 30+ 24 = 54(м)        1) 30 + 24 = 54(м)        1) 30+ 24 = 54(м)

2)54:18 = 3(м)        2)54:18 = 3(м)        2)54:18 = 3(м)

3)30:3 = 10(3.)        3)30:3=10(3.)        3)24:3 = 8(з.)

4)24:3 = 8(3.)        4)18-10 = 8(3.)        4) 18-8= 10 (з.)

При решении задач на нахождение неизвестного по двум разностям для выявления связей между величинами, для осознания особенности задач этого вида так же поможет графическая модель. Рассмотрим задачу.

• С первой яблони собрали 3 одинаковые корзины яблок, а со второй - 5 таких же корзин, причем со второй яблони собрали на 40 кг яблок больше, чем с первой. Сколько килограммов яблок собрали с каждой яблони?

Схематический рисунок этой задачи позволяет наглядно убедиться, что
разница в 40 кг возникла потому, что        

число корзин с яблоками, собранны
ми со второй яблони, на две больше,
чем с первой. Главное при решении -        

понять, что в этих двух корзинах и было 40 кг. Поняв это, дети записывают решение.

Вариант 1

1. 5-3 = 2(к.)
2. 40:2 = 20(кг)
3. 20x5 = 100(кг)
4. 20хЗ = 60(кг)

Вариант 3

1. 5-3 = 2(к.)
2. 40:2 = 20(кг)
3. 20хЗ = 60(кг)
4. 60+40= 100(кг)

                 Вариант2

1. 5-3 = 2(к.)
2. 40:2 = 20(кг)
3. 20х5=100(кг)
4. 100-40 = 60(кг)

Модели помогают найти разные способы решения одной и той же задачи.

• Группа экскурсантов разместилась в 2 катерах по 16 человек в каждом и в 2 лодках по 4 человека в каждой. Сколько всего человек было в группе?

Учитель предложил решить задачу разными способами. Это вызвало затруднение у многих учащихся. Было решено составить схематический рисунок к задаче. В результате коллективного обсуждения получилась такая схема:

Схема даже без дополнительного разбора помогла детям самостоятельно увидеть и записать два способа решения задачи:

Вариант!        Вариант2

16х2 + 4х2 = 40(чел)        (16+ 4) х2-40 (чел)

Еще пример.

• В овощной киоск привезли яблоки, 5 ящиков по 8 кг в каждом и столько же ящиков по 10 кг в каждом. Сколько яблок привезли в ларек?

В результате анализа задачи получилась схема:

Учитель. Представим себе, что ящики находятся в машине и расположены в кузове так, как на схематическом рисунке. Какие будут предложения по их разгрузке (или по загрузке в машину)?

Дети предлагают сначала открыть один борт, затем другой - получают такое решение :

8х5+10х5 = 90(кг).

Некоторые предложили открыть задний борт, получить такой способ решения:

(8 + 10) х 5 = 90 (кг).

Дети сами увидели разные способы решения. Этому помогла модель.

Рассмотрим возможности моделирования на примере такой задачи для второго класса:

Школьники посадили за Здня 390 деревьев. В первый день „„„посадили 120 деревьев, во второй на 50 деревьев больше а в третий все остальные деревья. Сколько деревьев посадили в третий день?

Дети предложили смоделировать задачу так:

I        день

II        день

III          день

50 д.

120 д.

390 д.

По такой модели  Вариант 1

1. 120 + 50-170(д.)
2. 120+170=290(д.)
3. 390-290 =100 (д.)

Вариант 3

1. 120+ 50 =170 (д.)
2. 390-170 = 220 (д.)
3. 220-120 =100 (д.)

найдены следующие решения:

                                                       Вариант 2

1. 120+ 50 =170 (д.)
2. 390-120 = 270 (д.)
3. 270-170 =100 (д.)

Вариант 4

1. 120x2 = 240 (д.)
2. 240+ 50 = 290 (д.)
3. 390-290 =100 (д.)

Роль модели при отыскании различных способов решения задачи

Практика показывает, что моделирование следует применять при обучении детей нахождению различных способов решения задачи, а также нахождению среди них оптимального. Рассмотрим этот процесс на примере задачи.

* В трех кусках 127 метров шпагата. Когда от первого куска отрезали 21 метр, от второго - 9 метров, а от третьего -7 метров, то во всех кусках шпагата стало поровну. Сколько метров шпагата было в первом куске сначала?

Реши задачу разными способами. Выбери из них более удобной. Почему ты выбрал этот способ? Докажи, что он удобнее других.

Графическая модель задачи выглядит следующим образом:

По этой модели были найдены следующие решения:        

Вариант!        Вариант2        Вариант 3    

1. 21+9 = 30(м)        1)21+7 = 28(м)        1)7+9=16(м)
2. 30 + 7 = 37(м)        2)28 + 9 = 37(м)        2) 16 + 21 =37(м)
3. 127-37 = 90 (м)        3) 127-37 = 90 (м)        3) 127-37 = 90 (м)
4. 90:3 = 30(м)        4)90:3 = 30(м)        4)90:3 = 30(м)
5. 30 + 21 =51 (м)        5) 30 + 21=51(м)        5) 30 + 21 =51 (м)
   Что же является теоретической основой разных способов решения задачи?

Чтобы узнать, сколько шпагата осталось во всех трех кусках, нужно из того, что было в трех кусках, вычесть то, что отрезали от трех кусков. Чтобы узнать, сколько шпагата отрезали от трех кусков, нужно сложить три числа, а именно, найти сумму 21+9 + 7.

Это выражение можно преобразовать в тождественно равное ему, используя законы и свойства арифметических действий: 21+9 + 7 = 21+ 7 + 9 = 21+(9 + 7).

Эти преобразования и определили три способа решения задачи. Все эти способы легко найти, используя модель. Обозначим длину всего шпагата как d, как а - то, что отрезали от первого куска, как b - то, что отрезали от второго куска, как с - то, что отрезали от третьего. Тогда, чтобы узнать, сколько осталось шпагата во всех трех кусках, нужно из длины всего шпагата вычесть то, что отрезали от трех кусков. Обозначив остаток через k, получим:

k = d-(a + b + c).

Найти значение этого выражения можно разными способами. Заменим правую часть тождественно равными выражениями. Используя законы и свойства арифметических действий, получим 15 способов определения значения этого выражения. Следовательно, задача имеет 15 способов решения:

1. d-(a + b + c)        6)   d-(b + c)-a        И) d-a-c-b
2. d-(a + (b+c)y        7)   d-a-(b + c)        12) d-b-a-c
3. d-(b + (a + c))        8)   d-b-(a + c)        13) d-b-c-a
   4)d-(a + b)-c                   9)   d-c-(a + b)                 I4)d-c-a-b
   5) d-(a + c)-b                   I0)d-a-b-c                    15) d-c-b-a
   Во всех этих способах решения сначала мы определяем, что осталось от

всего шпагата после того, когда от каждого куска отрезали определенное число метров, то есть когда в каждом куске шпагата стало поровну.

Рассмотрим еще одну задачу.

* Три сборщика собрали 160 кг ягод шиповника. Первый собрал 63 кг, а первый и второй вместе - 112 кг. Сколько килограммов ягод шиповника собрал второй и сколько третий сборщик?

Найдены следующие решения:

Вариант   1                          Вариант 2    

1) 160-112 = 48(кг)        1) 160-63 = 97(кг)

2 )  112-63 = 49(кг)             2) 112-63 = 49(кг)

             3) 97-49 = 48 (кг)

Таким образом, на примере последних трех задач я наблюдала как модель помогла детям увидеть различные способы решения и, что особенно важно, выделить наиболее рациональный.

Работа с моделью задачи.

Рассмотрим задачу.

* Из 24 м шелка сшили платье, блузку и 2 халата. На блузку пошло 4 м ткани, на платье - на 8 м больше, чем на блузку, а на халаты - остальной шелк. Сколько метров шелка пошло на халаты? Какие данные лишние?

Для выяснения этого вопроса детьми была предложена следующая модель;

^

С ее помощью можно получить следующие варианты решения:
Вариант   1        Вариант  2

1. 4 + 8 = 12(м)        1) 24-4 = 20(м)
2. 12 + 4=16(м)        2) 8 + 4=12(м)
3. 24-16 = 8(м)        3) 20-12 = 8(м)

Вариант  3        Вариант 4

1. 4 + 8 = 12(м)        1) 4x2 = 8(м)
2. 24-12= 12(м)        2) 8 + 8=16(м)
3. 12-4 = 8(м)        3) 24-16 = 8(м)

После того, сравнивая решение с условием задачи, дети назвали лишними данные о количестве халатов.

Далее детям можно предложить ответить на такой вопрос: как изменится решение и будут ли в условии задачи лишние данные, если вопрос будет таким: «Сколько метров ткани пошло на один халат?».

Дети преобразуют модель:

А затем составляют решение новой задачи (дополняют любой из вариантов четвертым действием: 8:2=4 (м)).

Можно предложить детям изменить вопрос задачи так, чтобы лишние данные стали другими.

Рассмотрим методику работы с моделью на примере следующей задачи.

* В первом куске 16м шелка, во втором в 3 раза больше, чем в первом, а в третьем в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько метров шелка в трех кусках?

Для решения задачи дети строят схему:

16м

После решения задачи учитель вносит в схему изменения: 16м

Учитель просит составить и решить новую задачу, соответствующую измененной схеме, но с тем же сюжетом. Анализ и сравнение двух задач происходит при составлении задачи, в процессе решения и при записи ответа. Если позволяет время на уроке и уровень учебно-познавательного интереса учащихся, можно еще раз преобразовать схему или предложить преобразовать схему самим учащимся. Например, так:

16м

Снова составляется задача. В процессе анализа конструируются понятия, связанные и с математическим содержанием, и с действием моделирования, бее эти примеры демонстрируют многообразие приемов успешного формирования действия моделирования при решении текстовых задач.

Наряду с решением простых и составных задач надо включать задания на подбор задач к схеме и, наоборот - составление задач по данной схеме:

Подбери нужную схему к каждой задаче и реши ее:

2. Придумай задачи к схемам.

в)         a

1. На первой полке 26 книг. На второй - на 10 книг больше,
   чем на первой. Сколько книг на двух полках?
2. На первой полке 26 книг. На второй на 10 книг больше,
   чем на первой. Сколько книг на второй полке?

Особенно большую роль играет моделирование при решении задач на движение. При этом модели должны создавать сами учащиеся под руководством учителя. Рассмотрим пример такого моделирования.

• Из двух городов, расстояние между которыми 520 км, одновременно навстречу друг другу вышли два поезда, которые встретились через 4 часа. Один поезд шел со скоростью 60 км в час. С какой скоростью шел второй поезд?

Учитель в беседе с учащимися выясняет, о каком движении говорится в задаче, что об этом движении известно, и предлагает начертить схему движения. Вызванный ученик, повторяя содержание задачи, под наблюдением класса моделирует описанную в ней жизненную ситуацию. Расстояние между городами он обозначает отрезком. Направление встречного движения показывает стрелками, а место встречи обозначает флажком. То, что поезда встретились через 4 часа, ученик отмечает вертикальными штрихами на схеме движения каждого поезда, а также обозначает цифрами расстояние между городами и скорость движения первого поезда. Схема приобретает такой вид:  60км/ч

                                              520 км

Решение задачи детям предлагается записать самостоятельно выражением или по действиям, при этом нужно объяснить выбор действия. С помощью выражения можно записать решение задачи таким образом:

Вариант)        Вариант2

(520 - 60 х 4): 4 = 70 (км/ч)        (520:4) - 60 - 70 (км/ч)

Такое моделирование, когда модель возникает на глазах детей, имеет явное преимущество перед применением готовых рисунков и схем.

Рассмотрим задачу.

« Навстречу друг другу одновременно из двух деревень вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, а другого 4 км/ч. Через 2 часа они встретились. Какое расстояние между деревнями?

При решении задач на движение в схему могут быть сразу введены условные обозначения, например: для s - сплошная дуга, для v - стрелка, для t - пунктирная дуга.

v - 5 км/ч        ,. - 9        v - 4 км/ч

/=2ч        /=2ч

Четкие условные обозначения помогают детям строить сложные схемы, видеть в них нужные формулы, отношения для решения задачи. Иногда четкое соблюдение условных обозначений в схеме позволяет не запутаться в числовых значениях составной задачи и предотвращает многие ошибки. Анализируя модель, можно увидеть несколько способов решения задачи. В данном случае наиболее рациональным является такой: (4 + 5) х 2 = 18 (км).

Использование моделирования при решении нестандартных задач

Наибольшие затруднения у учащихся вызывает, как правило, решение нестандартных задач, то есть задач, алгоритм решения которых учащимся неизвестен. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в зависимости от того, обучал ли учитель решению аналогичных задач учащихся или нет.

Вообще, любая задача, взятая изолированно, сама по себе является нестандартной, но если рядом поместить несколько подобных задач, она становится стандартной. Ценность нестандартных задач, таким образом, заключается в том, что поиск их решения не может сводиться к воспроизведению уже известного способа решения подобных задач. Такой поиск требует от учащихся включиться в активную деятельность, а следовательно, в большей степени направлен на формирование общих умений решать задачи, нежели работа над типовыми, стандартными задачами. Решение нестандартных задач позволяет учащимся накапливать опыт в сопоставлении, наблюдении, выявлять несложные математические закономерности, высказывать догадки, нуждающиеся в доказательстве. Тем самым создаются условия для выработки у учащихся потребности в моделировании задач.

Для успешного решения нестандартных задач необходимо, с одной стороны, сформировать у учащихся общее умение решать задачи, а с другой стороны, познакомить их с некоторыми специальными способами решения задач. Например, справиться с решением многих нестандартных задач помогает применение метода моделирования.

Рассмотрим задачу.

• На двух полках одинаковое количество книг. С первой полки переложили на вторую 4 книги. На сколько книг на второй полке стало больше, чем на первой?

При решении этой задачи мы использовали такую модель:

Если дети первоначально затруднялись в решении, то по модели они очень легко смогли выполнить его: 4 + 4 = 8 (кн.).

Модель помогает найти арифметическое решение и таких задач, которые не предусмотрены программой начальной школы.

Рассмотрим задачу.

* За два дня посадили 14 яблонь. Во второй день посадили на 2 яблони больше, чем в первый день. Сколько яблонь посадили в первый день?

К этой задаче можно составить такую модель:

Анализируя модель, ученики проявили гибкость мышления и найти решение: (14 -2): 2 = 6 (ябл.).

Рассмотрим и такую задачу.

• Груша дороже яблока в 2 раза. Что дороже: 4 яблока или 2 груши?

Строим модель задачи (чертеж):

•        • цена яблока

•        •        • цена груши

•        •        •        •        • стоимость 4 яблок

На основе анализа модели мы можем сразу записать ответ, не выполняя никаких вычислений: стоимость 4 яблок и 2 груш одинаковая. Этот способ решения является графическим.

Иногда начать построение модели целесообразно самому учителю, с тем чтобы подчеркнуть ее необычность.

Рассмотрим задачу.

* Банка с медом весит 500 г. Та же банка с керосином весит 350 г. Керосин легче меда в 2 раза. Сколько весит пустая банка?

При выполнении схемы учителю целесообразно обратить внимание детей на массу пустой банки и на то, как связаны масса меда и масса керосина

в такой же банке.

500 г

Б. + М.

Б.+ К.

На основе построенной модели можно найти два способа решения. Вариант 1

1. 500 -350=150 (г)- разница между массой меда и массой керосина;
2. 150 х 2 = 300 (г) - масса меда;
3. 500 - 300 = 200 (г) - масса банки.

Вариант2

Некоторые учащиеся предложили изменить построенную модель

1. 500 - 350 = 150 (г) - масса керосина.

2) 350 - 150 = 200 (г) - масса банки

Модель получена на основании предположения, что банок с керосином было две. И мы получили новый способ решения задачи:

350 х 2 = 700 (г) - масса двух банок с керосином;

700 - 500 = 200 (г) - масса банки.

Как видим, грамотно выполненная схема подсказывает решение задачи. Если дети уже знакомы с решением задач при помощи уравнений, желательно решить ее этим способом.

Рассмотрим задачу, по модели которой легко находятся разные варианты решения.

» Три брата купили вместе 9 тетрадей. Младший брат взял на одну тетрадь меньше, чем средний, а старший - на одну тетрадь больше, чем средний. Сколько тетрадей взял каждый брат?

Смоделируем задачу:

Можно обсудить с учащимися следующие вопросы.

Учитель. Если бы все братья взяли тетрадей столько, сколько младший, то общее количество тетрадей было бы больше или меньше, чем девять? На сколько меньше?

Дети. На три.

      У. Сколько было бы всего тетрадей, если бы все взяли тетрадей столько, сколько взял младший брат?

     Д. Шесть тетрадей.

У. Как разделить эти шесть тетрадей между тремя братьями?

Д. Поровну.

     У. Можно ли узнать, сколько тетрадей взял каждый?

Решение:

Вариант 1

1)1 + 1=2 (т.) - на столько больше тетрадей взял старший брат, чем

младший;

2. 1 + 2 = 3 (т.) - на столько было бы меньше тетрадей всего, если бы
   каждый из трех братьев взял столько тетрадей, сколько взял младший;
3. 9 - 3 = 6 (т.) - было бы, если бы все взяли тетрадей столько, сколько взял
   младший брат.
4. 6:3 = 2 (т.) - взял младший брат;
5. 2 + 1 = 3 (т.) - взял средний брат;
6. 3 + 1 = 4 (т.) - взял старший брат.

Вариант2

1. 9:3 = 3 (т.) - взял средний брат;
2. 3 -1 = 2(т.) - взял младший брат;  '
3. 3 + 1 = 4 (т.) - взял старший брат.

Вариант 3

Сравним всех со старшим братом:

1)1 + 1=2 (т.) - на столько тетрадей меньше у младшего брата, чем у старшего;

2. 2 + 1 = 3 (т.) - на столько тетрадей было бы больше, если бы каждый из
   трех братьев взял столько тетрадей, сколько взял старший;
3. 9 + 3 = 12 (т.) - было бы, если бы каждый взял столько, сколько взял
   старший брат;
4. 12:3=4 (т.) - взял старший брат;
5. 4 - 1 = 3 (т.) - взял средний брат;
6. 3 - 1 = 2 (т.) - взял младший брат.
   

Рассмотрим задачу.

» В двух вазах на 7 яблок больше, чем в первой. Сколько яблок во второй вазе?

Составим модель - изобразим количество яблок в каждой вазе отрезками

произвольной длины:

По этим схемам дети сразу ответили на вопрос задачи: «Во второй вазе 7 яблок»

Оценка.

Я использовала моделирование и с целью обобщения теоретических знаний. Обобщая знания о переместительном и сочетательном законах умножения, повторяя правило вычитания суммы из числа и деления суммы на число, мы предлагаем детям решить такую задачу.

• Построили три одинаковых шестнадцатиэтажных дома, на каждом этаже по 20 квартир. В трех домах 180 однокомнатных квартир, 270 - двухкомнатных. Сколько в трех домах трехкомнатных квартир?

Рассмотрим более подробно методику работы с этой задачей.

В методике преподавания математики определены два способа разбора текстовых задач: «от вопроса к данным» и «от данных к вопросу». Готовясь к уроку, учитель должен продумать, какому способу разбора отдать предпочтение. Ни один из них не может считаться универсальным. При разборе задачи любым способом нельзя упускать из виду основной вопрос. Важно продумать и наглядность. Верно подмечено, что разбор задачи должен быть таким, чтобы учащиеся испытывали удовлетворение от самостоятельного преодоления трудностей, учились бы рассуждать, овладевать умением вести поиск решения задачи. Как помочь ученику найти самостоятельно путь решения задачи? Что может способствовать этому? Ответ на все эти вопросы - постепенное создание модели вместе с учащимися в процессе беседы.

К этой модели учащиеся приходят, отвечая на вопросы:

• О чем говорится в задаче?
• Сколько новых домов построено?
• Какие это дома?
• Давайте изобразим эти дома в виде прямоугольников.
• Сколько этажей в каждом доме?
• Сколько и каких квартир на каждом этаже?

Что еще известно в задаче?

• А какие квартиры еще есть в этих домах?
• Все квартиры изобразим в виде прямоугольников.
• Где отметить число однокомнатных квартир, число двухкомнатных квартир?
• Это числа входят в общее число квартир?

Такая модель позволяет ученику увидеть задачу в целом. Как лучше поступить дальше? Как провести разбор задачи? Даю возможность высказаться детям. Выслушиваю их предложения. Дети, как правило, предлагают вести разбор «от данных к вопросу», сопровождая объяснения рассуждениями вида: «зная... и зная..., можно узнать...».

 Могу выяснить с учащимися, что для ответа на вопрос задачи нужно определить общее число квартир в трех домах. А ответить на этот вопрос можно тремя способами, которые дети находят самостоятельно:

1. Зная количество квартир на этаже и количество этажей в доме, можно определить количество квартир в доме; зная, что дома одинаковые и что их три, можно определить количество квартир в трех домах.
2. Зная количество этажей в доме и количество домов, можно определить количество этажей в трех домах, а зная, что на каждом этаже одинаковое количество квартир, можно узнать количество квартир в трех домах.
3. Зная количество квартир на каждом этаже и что дома одинаковые, можно узнать, сколько квартир на одном этаже во всех трех домах. Определив количество квартир на каждом этаже в трех домах и зная, что в каждом доме одинаковое число этажей, можно узнать, сколько всего квартир в трех домах.

Таким образом, существует три способа определения общего числа квартир в трех домах, а именно:

1. (20х16)хЗ;
2. 20 х (16x3);
3. (20хЗ)х16.

Почему получен один и тот же результат? Вот здесь я и могу сделать обобщение. Спросить учащихся, знание каких законов поможет доказать, почему результаты получились одинаковые.

Далее следует выяснить с учащимися, сколькими способами можно определить количество трехкомнатных квартир в трех домах, если знать общее число квартир, число однокомнатных квартир, число двухкомнатных квартир. Оказывается, что и здесь существует три способа ответа на вопрос. Все они хорошо видны на модели:

1. можно определить общее число однокомнатных и двухкомнатных квартир, потом узнать, сколько всего трехкомнатных квартир, то есть ответить на вопрос задачи;

     2) можно определить общее число однокомнатных и трехкомнатных квартир, потом узнать, сколько всего трехкомнатных квартир;

3) можно определить общее число двухкомнатных и трехкомнатных квартир, потом узнать, сколько всего трехкомнатных квартир.

Здесь можно сделать обобщение о разных способах вычитания суммы из
числа.        J

Комбинируя описанные три способа вычисления общего числа квартир в трех домах с тремя способами определения числа трехкомнатных квартир в трех домах, получим:

Вариант 2

1. 20х16 = 320(кв.)
2. 320x3 = 960 (кв.)
3. 960-180 = 780 (кв.)
4. 780-270 = 510 (кв.)

Вариант 4 1)-16хЗ = 48(эт.)

2. 20x48 = 960 (кв.)
3. 180+ 270 = 450 (кв.)
4. 960-450 = 510(кв.)

Вариант 6

1. 16хЗ = 48(эт.)
2. 20x48 = 960 (кв.)
3. 960-270 = 690 (кв.)
4. 690-180 = 510(кв.)

Вариант 8

1. 20хЗ = 60(кв.)
2. 60x16 = 960 (кв.)
3. 960 -180 = 780 (кв.)
4. 780-270 = 510(кв.)

Вариант 1

1. 20x16 = 320 (кв.)
2. 320x3 = 960(кв.)
3. 180+ 270 = 450 (кв.)
4. 960-450 = 510(кв.)

Вариант 3

1. 20x16 = 320 (кв.)
2. 320x3 = 960(кв.)
3. 960-270 = 690 (кв.)
4. 690-180 = 510 (кв.)

Вариант 5

1. 16хЗ = 48(эт.)
2. 20x48 = 960 (кв.)
3. 960-180 = 780 (кв.)
4. 780-270 = 510(кв.)

Вариант 7

1. 20хЗ = 60(кв.)
2. 60x16 = 960 (кв.)
3. 180+ 270 = 450 (кв.)
4. 960-450 = 510 (кв.)

Вариант 9

1. 20хЗ = 60(кв.)
2. 60x16 = 960 (кв.)
3. 960-270 = 690 (кв.)

4) 690-180 = 510 (кв.)

Получили 9 способов решения этой задачи, каждый из которых состоит из четырех действий. Далее мы предлагаем детям записать решение задачи самостоятельно, поощряем умение найти несколько способов решения.

После оформления задачи в тетрадях, если дети не предложили другие способы ее решения, кроме рассмотренных выше, учитель может спросить:

Чтобы ответить на главный вопрос задачи, обязательно ли определять общее число квартир в трех домах?

Может быть, этого вопроса будет вполне достаточно, чтобы хотя бы один ученик догадался, что существует другой способ, ход мысли, а именно: сначала можно узнать, сколько трехкомнатных квартир в каждом доме, а затем сколько трехкомнатных квартир в трех домах.

Если этого вопроса недостаточно, то учитель подробно рассматривает понятие «одинаковые дома». Что это означает? Это означает не только то, что дома имеют одинаковое число квартир на каждом этаже (указано в условии задачи), но и то, что на каждом из них одинаковое число однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир.

Этому может помочь такая модель:

Домов - 3

Всего однокомн. - 180 кв.

Всего двухкомн. - 270 кв.

Всего трехкомн. - ?

Она также возникает на глазах у детей в результате соответствующей беседы. Рассматривая эту модель, можно получить еще ряд способов решения:

Вариант 10

1. 20x16 = 320 (кв.)
2. 180+ 270 = 450 (кв.)
3. 450:3 = 150(кв.)
4. 320-150 =170 (кв.)
5. 170x3 = 510 (кв.)

                                      Вариант 11

1. 20x16 = 320 (кв.)
2. 180:3 = 60(кв.)
3. 270:3 = 90 (кв.)
4. 60+ 90 =150 (кв.)
5. 320-150 =170 (кв.)

      Вариант 12

1. 20 х 16 = 320 (кв.)        4) 320 - 90 = 230 (кв.)
2. 180:3 = 60 (кв.)        5) 230-60= 170 (кв.)
3. 270:3 = 90(кв.)        6) 170x3 = 510(кв.)

Здесь тоже интересно сделать обобщение о разных способах деления. суммы на число и вычитания суммы из числа.

Заключение

  Я считаю, что освоение детьми процесса моделирования является одной из основных задач обучения детей математике в курсе начальной школы. Моделирование - это один их ведущих методов обучения решению задач и важное средство познания действительности. Процесс решения текстовых задач служит благоприятнейшей средой, где отрабатывается действие моделирования, причем умение решать задачи может выступать в качестве одного из критериев сформированности этого действия.

Модели являются эффективным средством поиска решения задачи. В процессе решения детям приходится переходить от одной формы записи к другой и находить среди них оптимальную. Однако не всякая запись будет являться моделью задачи. Для построения модели и ее дальнейшего преобразования необходимо научиться выделять в задаче цель, данные величины, все отношения между величинами, пренебрегать несущественными связями для того, чтобы с опорой на эту модель можно было продолжить анализ, позволяющий найти пути решения.

Процесс моделирования текстовой задачи повышает мыслительную активность детей, способствует развитию вариативности мышления, а значит, делает решение задач более приятным и интересным.

Чтобы самостоятельно решать задачи, ученик должен освоить различные виды моделей, научиться выбирать модель, соответствующую предложенной задаче, и переходить от одной модели к другой.

Построению графической модели следует специально учить детей. Для этого можно использовать следующую «Памятку».

1. Что будем изображать?        ,
2. Как будем изображать?
3. Что в первую очередь будем изображать?
4. Как числа, данные в задаче, помогут построить модель?
5. Как расположим модель?
6. Как на модели обозначим данные?

7. Что теперь полезно изобразить (до тех пор, пока не будут отражены все данные и все отношения между данными и искомыми параметрами)?

     8. Как на модели обозначим вопрос задачи?

Чтобы проверить, все ли данные задачи отражены на модели, можно прочитать задачу, показывая все на модели. В процессе обучения графическому моделированию можно использовать следующие упражнения:

• Сделай рисунок (чертеж) данной задачи.
• Я прочитаю две задачи, а вы определите, к какой из них полезно сделать
  рисунок (чертеж).
• Прочитайте задачу, показывая все данные на чертеже (рисунке).
• Объясните, как построили чертеж (рисунок) к задаче.
• Соответствует ли рисунок (чертеж) задаче? Что в нем лишнее (чего в нем
  недостает)? Что нужно сделать, чтобы рисунок (чертеж) соответствовал задаче?

Наряду с выше изложенным, учитель должен помнить, что одного составления модели к задаче недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно: составление текстов различных задач по модели, что будет способствовать развитию творческого мышления каждого ребенка.

Для формирования умения решать задачи у всех школьников мы предлагаем включать следующие задания:

• на постановку различных вопросов к условию;
• на составление условия по данному вопросу;
• на подбор числовых данных или их изменение;
• на составление задач по данному решению;
• на выбор нужной модели к данной задаче.

На основе построенной модели целесообразно включать задания на разнообразные преобразования задач:

• преобразование текстов, не являющихся задачами, в задачи;
• изменение вопроса так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
• изменение условия так, чтобы действий в решении стало больше (меньше);
• изменение вопроса (условия, данных) так, чтобы задача стала нерешаемой;
• внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней появились лишние (не
  достающие) данные;
• внесение в задачу таких изменений, чтобы в ней исчезли лишние (недостающие) данные;
• изменение текста задачи так, чтобы в ее решении появилось обратное действие.

Помимо заданий, требующих преобразований текстов задач на основе модели, следует уделять внимание обучению детей:

• подбору и самостоятельному составлению обратных задач;

- сравнению задач с одинаковой фабулой, но различным математическим содержанием;

 - сравнению задач с разной фабулой и одинаковым математическим содержанием.

Постоянное использование всех этих аспектов работы с задачами дает хорошие результаты, способствует формированию умения их решать.

К сожалению, в целях экономии времени учителя мало внимания уделяют решению задач разными способами. Это может быть объяснено тем, что такие задания в школьных учебниках встречаются от случая к случаю и в силу этого не воспринимаются многими учителями как важные. Однако опыт показывает, что постоянная работа в этом направлении очень важна как с точки зрения развития школьников, так и с точки зрения формирования умения решать задачи. Наряду с этим необходимо отметить, что решение задач разными способами - чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся младших классов. Составление моделей к задаче - незаменимый этап в поиске различных способов ее решения.

Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения (даже если оно не является традиционным) у него появляется дополнительная возможность самореализации. Когда есть выбор при решении задачи, встает вопрос о нахождении рационального пути ее решения.

Рациональный (лат. rationalis - разумный, целесообразный). При решении задачи рациональным способом учитывается удобство в проведении математических операций с числами и количество выполняемых действий. Ребятам следует объяснить, что рациональный не всегда означает «легкий» (часто бывает, что учащимся легче решить задачу большим числом действий).

Я считаю, что модель способна помочь не только найти рациональный способ решения задачи, но и проверить правильность решения, поскольку решение задачи разными способами - это один из видов такой проверки.

Использование графического моделирования при решении текстовых задач обеспечит более качественный анализ задачи, осознанный поиск ее решения, обоснованный выбор арифметических действий и предупредит многие ошибки в решении задач.

Модель задачи может быть использована для составления и решения обратных задач, для проведения исследования задачи. Модель помогает установить условия, при которых задача имеет решение или не имеет решения, помогает увидеть, как изменяется значение искомой величины в зависимости от изменения данных величин, помогает сделать обобщение теоретических знаний. „

Я предлагаю учителям чаще и разнообразнее использовать возможности моделирования при обучении учащихся         математике.