ПУТИ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
статья (2 класс) по теме

АВТОРСКАЯ  РАБОТА

ПУТИ  ФОРМИРОВАНИЯ  МАТЕМАТИЧЕСКОГО  МЫШЛЕНИЯ

У  МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ        

                                         Работу выполнила

                                                         учитель начальных классов

                                                              средней общеобразовательной

                                              школы  с. Криуши                                                                                                                                              

                                                                              Немцова Елена Ивановна  

Содержание.

Введение_____________________________________________             3 - 8

Глава 1.   Психолого- педагогические основы развития              

                  математического мышления учащихся____________     8 - 43

         1.1.   Понятие «мышления»___________________________        8 - 11

2. Сущность категории « математическое мышление»__      11 - 14
3. Виды математического мышления и его специфические

особенности___________________________________      15 - 17

4. Пути формирования математического мышления____      18 - 37
5. Приёмы развития логического мышления как основы  

структуры математического мышления.____________     38 - 43

Глава 2.  Опытно- экспериментальная работа по развитию      

                 мышления учащихся ___________________________     44 - 64

1. Исследование математического мышления учащихся      44 - 46

        2.2.     Уровни развития математического мышления младших                                          

                  школьников___________________________________       46 - 47

       2.3.     Реализация возможностей уроков математики и  

                  внеклассной работы в развитии математического                            

                  мышления на примере обучения решению задач____       48 - 61

            2.4.    Анализ результатов____________________________    62 - 64

Заключение__________________________________________          65 - 66

Библиография________________________________________         67 - 68

« Если в деятельности человека математические теоремы и формулы не используются, не приходится повседневно решать уравнения или преобразовывать тригонометрические выражения (а таких профессий всё-таки немало), то те факты, над усвоением которых он долго бился в школе, очень быстро улетучиваются. Остаться при нём может только его математическое развитие, и вот об этом мы должны заботиться в первую очередь, когда думаем о благе большинства наших учащихся. Итак, факты улетучиваются, а развитие остаётся.…Ведь прочные навыки мыслительной деятельности, которые возникают и накапливаются в результате правильно поставленного математического воспитания, нужны для любой профессии».

                                                                А.И.Маркушевич

  Введение.

              Актуальность

          Изменения в социально-экономической сфере, развитие техники, увеличение объёма информации привели к перестройке системы образования, которые отражены в документах о российском образовании.

       Анализ Закона об образовании и Национальной Доктрины об образовании в РФ поставили перед работниками образовательных учреждений цель, перспективы, задачи и тенденции формирования личности гражданина России. В этих документах записано, что основными задачами образовательных учреждений является развитие активной творческой личности, способной решать насущные проблемы государства, преобразовывать окружающий мир, создавать материальные и духовные ценности и работать над своим самосовершенствованием.

        Сегодня, по мнению А.Н.Тубельского, нужно не учить математике, а создавать на материале предмета условия для проявления универсальных умений, для рефлексии по их поводу и их развития.

       Начальная школа должна сегодня не просто вооружить своего выпускника набором необходимых и достаточных компетенций, а сформировать устойчивую потребность в саморазвитии, самообразовании и творческом самосовершенствовании, подготовить к обучению и развитию на следующих         образовательных         уровнях.                                                                                  Ориентация образования на личность   учащихся влияет на принципы и формы педагогической деятельности, в рамках которой учитель уже не только передаёт знания, умения и навыки, но и проектирует личностное развитие каждого учащегося.

       Математика для воспитания привычки к строгому мышлению и чёткой, логически совершенной речи имеет большие возможности. Эти возможности проявляются и при изложении теоретического материала, и при решении задач. Ученик должен показать в своём ответе не только умение запоминать, а умение разобраться в структуре рассуждений, свою способность самостоятельно мыслить.  

       Известно, что между системой обучения и ходом умственного развития учащихся существует тесная взаимосвязь, подчиняющаяся определенным закономерностям, поиски в настоящее время одной из центральных проблем педагогической психологии.

       Психологическое  развитие которых являются представляет собой очень  сложный, противоречивый процесс, при котором переход на новые, более высокие ступени означает не отрицание предыдущих видов психической  деятельности, а их перестройку, совершенствование.        Именно поэтому необходимо оптимально развивать разные виды мыслительной деятельности: и  наглядно- образное, и абстрактно- теоретическое, и наглядно- действенное мышления.

       Вопросы развития детей младшего школьного возраста в процессе  обучения в последние десятилетия исследовались крупнейшими учёными- специалистами психологии, физиологии, дидактами, методистами (С. А. Рубинштейн, Н.С. РождественскийЛ. В. Занков,    В.В. Репкин, С.Ф.Жуйков, Н.А.Менчинская, , В. В.Давыдов, А. А. Люблинская, З. И. Калмыкова,  А. В. Полякова и др.).

       По мнению С.А.Рубинштейна, сознательное усвоение знания есть продукт мышления, а открытие знаний требует самого мышления.

       Психологами установлено, что свойства психики человека, основы интеллекта и всей духовной сферы возникают и формируются главным образом в дошкольном и младшем школьном возрасте, хотя результаты развития обычно обнаруживаются позже. А значит, перед учителем начальных классов встаёт задача развития ребёнка, его творческих способностей.

       Математика- это инструмент познания, мышления, развития. Он богат возможностями творческого обогащения.  Ни один школьный предмет не может конкурировать с возможностями математики в воспитании мыслящей личности. Особое значение математики в умственном развитии отметил еще в ХVIII веке М. В. Ломоносов: "Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит".  

        Задача педагогов - как можно выше поднять планку уровня развития математического мышления школьников.

       Афоризм одного из известных физиков М. Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто", характеризует как важную роль развития мышления, так и его неразрывную связь с обучением.

       Уровень развития мышления во многом определяет будущие успехи и неудачи. В связи с этим целесообразно напомнить, что многие учебные навыки, сформированные в начальной школе, с трудом поддаются какой- либо коррекции на последующих этапах обучения.

              Практика убеждает в следующем. Если не осуществлять целенаправленной, систематической работы по формированию приёмов умственных действий, т.е. не делать эту деятельность ведущей в процессе обучения математике, то развивающий эффект обучения оказывается незначительным и формируется стихийно. Если же сосредоточить внимание на формировании приемов умственных действий, т.е. на развитии ребёнка, и, пользуясь этими приёмами, организовать процесс обучения, то можно получить более высокие результаты, как в развитии ребёнка, так и в усвоении им знаний, формировании у него умений и навыков.  

       Без логичности мышления, то есть без способности правильно формировать понятия (определять, классифицировать и т.д.), суждения, умозаключения и доказательства, знание - бесплодно.

       Формирование мышления не является самоцелью, а скорее важной составной частью педагогического процесса. Успех и уверенность в обучении зависят от того, как учитель сможет помочь раскрыть индивидуальные способности, качества и таланты каждого.

       Умственные возможности человека не ограничены, уникальны, представить их уровень трудно, даже в самых смелых фантазиях. Современные исследователи пришли к выводу, что активно работают только 3-5 % клеток головного мозга. Беда в том, что клетки, не загруженные работой, бездействуют, теряют свою активность, значит, их нужно постоянно загружать работой. Для этого необходимо, прежде всего, знать закономерности мышления, которые исследуются логикой, психологией и другими         науками.
     Анализ литературы показывает, что проблема формирования  мышления (в том числе и математического мышления) и использование его как части педагогического процесса обратила на себя внимание государства, Министерства образования. Данной проблеме посвятили свои научные исследования многие педагоги и психологи. Однако в практической деятельности учителей имеются трудности, сложности, недостатки и ошибки: теоретическая и методическая литература не всегда доходят до учителей- практиков; учителя не в достаточной  степени владеют знаниями по формированию мышления младших школьников или не осознают важность этого процесса.

Глава 1.  Психолого- педагогические основы развития    

                 математического  мышления учащихся.

1. Понятие «мышления».

       Способность чётко, логически совершенно мыслить и ясно излагать свои мысли в настоящее время требуется каждому. Вот почему вопросы развития мышления являются одними из основных в жизни всей школы.

       В психологии под мышлением понимают процесс познавательной деятельности индивида, характеризующийся обобщенным и опосредованным отражением действительности.(22, 263)  

      Задача мышления заключается в том, чтобы выявить существенные, необходимые связи, основанные на реальных зависимостях, отделив их от случайных совпадений.

       Психологические исследования показывают,  что  в младшем школьном возрасте именно мышление в большей степени влияет на развитие всех психических процессов.

       В зависимости от того, в какой степени мыслительный процесс  опирается на восприятие,  представление  или  понятие,  различают  три  основных  вида мышления:

        1. Предметно-действенное (наглядно-действенное).

        2. Наглядно-образное.

        3. Абстрактное (словесно-логическое).

       Предметно-действенное мышление – мышление, связанное с  практическими, непосредственными действиями  с  предметом;   наглядно-образное  мышление  – мышление, которое опирается на восприятие или представление (характерно  для детей раннего возраста). Наглядно-образное мышление даёт возможность  решать задачи в непосредственно данном, наглядном поле.

        Многие психологи придают большое значение образному мышлению «...Это средство формирования замысла, идеи, гипотезы...», - пишут В.П. Зинченко и Е.Б. Моргунов.  А.В.Петровский считает, что большая роль в выработке гипотез принадлежит воображению. Воображение позволяет принять решение даже при неполном знании, позволяет "перепрыгнуть" через какие-то логические стадии, выдвинуть догадку, гипотезу.

        Дальнейший  путь  развития мышления заключается  в  переходе  к  словесно-логическому  мышлению  –  это мышление  понятиями,  лишёнными   непосредственной   наглядности,   присущей восприятию и представлению.   Переход   к   этой   новой    форме    мышления     связан     с

изменением содержания мышления: теперь это уже не конкретные  представления, имеющие наглядную  основу  и  отражающие внешние  признаки  предметов,  а  понятия, отражающие наиболее существенные свойства предметов и явлений и соотношения между ними. Это  новое  содержание  мышления  в  младшем  школьном  возрасте задаётся содержанием ведущей деятельности - учебной.

       Словесно-логическое, понятийное  мышление  формируется  постепенно  на протяжении  младшего  школьного  возраста. В  ходе  обучения   дети овладевают  приёмами  мыслительной  деятельности,  приобретают   способность действовать «в уме»  и  анализировать  процесс  собственных  рассуждений.  У ребёнка появляются логически верные рассуждения:  рассуждая,  он  использует операции анализа, синтеза, сравнения, классификации, обобщения.

          Проблема развития мышления в психологии не нова, но чрезвычайно сложна и далека еще от своего решения. В термин «развитие» каждый вкладывает свое особое содержание. В 20 веке были предложены две известные теории развития - теория Л.С. Выготского и теория Ж. Пиаже. И тот, и другой сходятся во мнениях о том, что развитие человека есть, прежде всего, развитие его психики (в том числе развитие мышления), хотя, конечно, этим оно не исчерпывается. Эти ученые, а также П.П. Блонский, Д.Брунер, А.В. Брушлинский, В.А. Крутецкий, А.Н. Леонтьев, А.Р. Лурия, Б.М. Теплов, O.K. Тихомиров, С.Л. Рубинштейн, Я.А. Пономарев и др. внесли большой вклад в изучение психологических закономерностей мышления.

     Мышление, согласно теории Ж.Пиаже, представляет собой систему операций. «Операция (интеллектуальная операция, "операция разума") - это "внутреннее действие", продукт преобразования внешнего, предметного действия, скоординированное с другими действиями в единую систему». Умственное развитие ребенка Ж.Пиаже рисует как последовательную смену таких качественно отличных структур детского мышления.(22, 266)

 Выделено четыре стадии развития мышления:
            1) стадия сенсомоторного мышления (от рождения до 2 лет), когда в результате определенной организации движений ребенка окружающие его предметы воспринимаются и познаются им в достаточно устойчивых признаках;         
          2) стадия дооперационного мышления (от 2 до 7 лет), в течение которой развивается речь, происходит преобразование внешних действий, связанных с формированием наглядных представлений;
          3) стадия конкретных операций с предметами (от 7-8 лет до 11-12 лет), когда умственные действия становятся обратимыми и, наконец,

4) стадия формальных операций. Её в своём развитии достигают дети в среднем возрасте: от 11- 12 до 14- 15 лет. Данная стадия характеризуется способностью ребёнка выполнять операции в уме, пользуясь логическими рассуждениями и понятиями. Внутренние умственные операции превращаются на этой стадии в структурно организованное         целое.      
      А поскольку эффективность мышления рассматривается психологами как результат « системы знаний, когда разные сведения постоянно сопоставляются друг с другом в самых разных отношениях и аспектах, по-разному обобщаются и дифференцируются, входят в разные цепочки причинно- следственных связей» (Н.И.Чуприкова), то необходимо, прежде всего, понимание школьником изучаемых вопросов и осознание взаимосвязи и преемственности между ними.

       С. Л. Рубинштейн, характеризуя психическую природу мыслительного процесса, указывал: "Всякий мыслительный процесс является по своему внутреннему строению действием, направленным на разрешение определенной задачи. Задача эта заключает в себе цель для мыслительной деятельности индивида, соотнесенную с условиями, которыми она задана. Начальным моментом мыслительного процесса обычно является проблемная ситуация. Мыслить человек начинает, когда у него появляется потребность что-то понять. Мышление обычно начинается с проблемы или вопроса, с удивления или недоумения, с противоречия".

   .  А. В. Брушлинский пишет, что развитие мышления происходит "именно в ходе решения задач, когда человек сам наталкивается на посильные для него проблемы и вопросы, формулирует их и затем решает".

2. Сущность категории « математическое мышление».

       Одной из приоритетных целей образования в современном обществе является формирование и развитие математического мышления и его культуры.

       Под математическим мышлением понимается, прежде всего, форма, в которой проявляется мышление в процессе познания конкретной науки - математики.

       В исследованиях Ю. Н. Колягина выделены следующие качества, которые присущи научному мышлению, это:

       1) Гибкость мышления - способность к целесообразному варьированию способов действия; легкость перестройки системы знаний, умений и навыков при изменении условий действия; легкость перехода от одного способа действия к другому, умение выходить за границы привычного способа действия.

        2) Активность мышления - постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить эту проблему, изучить различные подходы к ее решению, исследовать различные варианты постановки этой проблемы в зависимости от изменяющихся условий и т. д.

       3) Организованность памяти. В зависимости от содержания запоминаемого материала и от деятельности человека в процессе запоминания память делят на образную (двигательную, зрительную, слуховую), эмоциональную и словесно-логическую. В зависимости от целей деятельности различают память непроизвольную и избирательную. В зависимости от времени хранения информации в памяти различают память кратковременную (оперативную) и долговременную. В процессе обучения математике целесообразно развивать все указанные виды памяти. Организованность памяти означает способность к быстрому и правильному воспроизведению необходимой информации.

        4) Широта мышления - способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон  переноса и применения к частным, нетипичным случаям. Это качество мышления часто проявляется в готовности школьников принять во внимание новые для него факты в процессе деятельности в известной ситуации.

       5) Глубина мышления - способность глубокого понимания каждого из изучаемых математических фактов в их взаимосвязи с другими фактами.  Глубина мышления проявляется также в умениях отделять главное от второстепенного, обнаружить логическую структуру рассуждения, отделить то, что строго доказано, от того, что принято на веру, извлекать из математического текста не только то, что в нем сказано, но и то, что содержится "между строк".

       6) Критичность мышления - умение оценить правильность выбранных путей решения проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности, значимости и т. п.      

В процессе обучения математике воспитанию этого качества у учащихся способствует обсуждение путей решения задач, рассматривание  различных  вариантов решения, постоянное обращение к различного вида проверкам, грубым прикидкам найденного результата, а также к проверке умозаключений, сделанных с помощью индукции, аналогии и интуиции. Учитель постоянно  просит  школьников  обосновывать,  рассказывать, доказывать  правильность  своего  суждения.  

       При исследовании математического мышления В. А. Крутецкий в качестве основной способности выделил «способность к обобщению математических объектов, отношений и действий». (11, 389) Он обнаружил два способа обобщения: постепенное, когда учащийся приходит к обобщению в результате длительного решения однотипных задач, а также обобщение «с места», когда учащийся обобщает способ решения на основе анализа         решения         одной         задачи.                                                                                  В.В. Давыдов показал, что первый способ обобщения есть не что иное, как эмпирическое обобщение, а второй способ — теоретическое обобщение. Эти виды обобщения и обусловливают особенности двух типов мышления — рассудочно-эмпирического и теоретического (3, с. 152,153)

        Психологические исследования показывают, что   мышление  ребёнка младшего школьного возраста находится на переломном этапе развития. Поэтому  ведущее  значение  для  данного   возраста   приобретает развитие именно теоретического мышления.

        Но если речь идёт о построении системы обучения, то функции учебной деятельности не могут сводиться только к овладению теоретическими знаниями. Как справедливо отмечает И.С.Якиманская: « Она (учебная деятельность) призвана в равной мере обеспечивать формирование у школьников практических умений и навыков». Более того, «…следует иметь в виду, что не только при теоретическом, но и при эмпирическом способе усвоения возможно познание общего, существенного в его закономерных связях и отношениях».(37, 70)

        Специальное исследование математического мышления в контексте учения о типах мышления проведено Л. К. Максимовым. С его точки зрения, особенности теоретического мышления обеспечивают школьникам возмож-ность более широкой ориентации в математическом содержании (16, 20-21).

       Л. К. Максимов полагает, что вопрос о развитии математического мышления решается выявлением особенностей развития (наличия или отсутствия) этих компонентов математического мышления (16, 56-57). Полученные им данные свидетельствуют, что эмпирический уровень математического мышления имеет более раннее, а теоретический уровень более позднее возрастное проявление: например, число учащихся обычных классов, правильно выполнивших задание на рефлексию, возрастает от 8,1 % во II классе до 13,5 % к III классу (17, 68). Аналогичные данные приводит и А. 3. Зак: число учащихся, проявивших содержательную рефлексию, возрастает от 10 % во II классе до 33 % в III классе (6, 96). Это дает основание предположить, что имеется определенный период перехода индивида от эмпирического уровня развития математического мышления к теоретическому. Последнее положение выражает тенденцию направленности развития математического мышления, которая заключается в переходе от рассудочно-эмпирического уровня его проявления к теоретическому уровню.

        По имеющимся данным, в начальных классах содержательный анализ формируется у значительного числа учащихся в ситуации экспериментального обучения (Л. К. Максимов) и заметно меньше в ситуации традиционного обучения.

  Анализ множества подобных случаев дает основание предполагать, что важным и решающим моментом в переходе учащихся от одного уровня развития математического мышления к другому является усвоение ими содержания математического знания. В этом смысле развитие математического мышления социально обусловлено: ведущим в нем является развитие математического содержания, усваиваемого учащимися. Последнее, вероятно, и будет определять суть развития математического мышления.

3. Виды математического мышления и его специфические особенности.    

       В методико-математических работах, в которых речь идет о развитии математического мышления школьников, встречаются термины, обозначающие ту или иную разновидность математического мышления. Так, например, часто говорят о необходимости развития у школьников логического мышления, функционального мышления, пространственного воображения и т. д.

        Функциональное мышление, характеризуемое осознанием динамики общих и частных соотношений между математическими объектами или их свойствами, ярко проявляется в связи с изучением одной из ведущих идей школьного курса математики - идеи функции.    

        Сформированность пространственного воображения характеризуется умением мысленно конструировать пространственные образы или схематические модели изучаемых объектов и выполнять над ними операции, соответствующие тем, которые должны были быть выполнены над самими объектами. Известно, что невысокий уровень развития пространственно-схематического мышления обычно затрудняет изучение стереометрии, так как оно не формируется сразу; для его успешного развития обычно требуется кропотливая предварительная подготовка учащихся.

         Значительно реже в методико-математической литературе встречается термин "интуитивное мышление". Однако опытный учитель всегда уделяет должное внимание развитию у школьников сообразительности, способности к догадке. Говорят, что математик обладает интуитивным стилем мышления, когда, работая долго над проблемой, неожиданно получает решение, которое он еще формально не обосновал. В противоположность аналитическому интуитивное мышление характеризуется тем, что в нем отсутствуют четко определенные этапы. Оно основано на свернутом восприятии всей проблемы сразу. Аналитическое мышление позволяет отчетливо выразить отдельные этапы в процессе решения задачи и кому-либо рассказать о них. Оно может принимать форму отточенного дедуктивного рассуждения, в котором используется логика и которое имеет четкий план. Интуитивное и аналитическое мышление дополняют друг друга.

        Развитие логического мышления школьников в процессе обучения математике является предметом заботы учителей и методистов. Логическое мышление проявляется и развивается у учащихся, прежде всего, в ходе различных математических выводов: индуктивных и дедуктивных, при доказательстве теорем, обосновании решения задач и т. д.

        Многие черты математического мышления проявляются в мышлении творческом. У А. Пуанкаре мы встречаем выражение "математическое творчество" (27). Он и Ж. Адамар в своих философско-математических исследованиях много внимания уделяли именно творческой стороне математического мышления. Однако вряд ли имеет смысл говорить о творческом математическом мышлении, так как творческое мышление является весьма общей категорией, проявляющейся в умственной и практической деятельности человека.

  Движущей силой творческого процесса в математике является интуиция - особая способность мышления к неосознанным как бы свернутым умозаключениям, которые затем логически, дискурсивно необходимо как бы развернуть. К творческим способностям, с точки зрения Ю. М. Колягина, относятся, прежде всего:

1. способность к правильному и быстрому восприятию, способность к пространственному воображению;
2. способность к быстрому сосредоточению и переключению внимания с сохранением его устойчивости и интенсивности на любых избранных объектах;
3. наличие хорошей избирательной памяти, способность репродуцировать

     ведущие знания и опыт;

4. способность к сильному творческому воображению;
5. способность оценивать ситуацию сразу с различных точек зрения, способность видеть больше того, что есть и что очевидно;
6. способность проникать в сущность основных взаимосвязей, скрытых в данной проблеме, перед тем как приступить к ее решению;
7. устойчивую потребность в познании нового;
8. образность, точность и сжатость речи, способность необычно отвечать на специфические вопросы;
9. способность создавать наглядно-действенные и наглядно-образные модели тех или иных ситуаций;
10. способность мыслить отвлеченно, схватывая главную суть закономерности изучаемого процесса или характеристические свойства той или иной ситуации.

       Нетрудно  увидеть, что в перечисленных качествах творческой личности проявляется высокий уровень развития самых разнообразных компонентов, присущих математическому мышлению.

1.4. Пути формирования математического мышления.

       Исследования П.Я.Гальперина, Н.Ф.Талызиной и других показали, что дети младшего школьного возраста при целенаправленно организованной работе могут усваивать абстрактные понятия, овладевать обобщёнными приёмами умственной деятельности. Учёные пришли к выводу о педагогической целесообразности обучения младших школьников логическим  операциям, связанным с понятиями, суждениями и умозаключениями.

  Следует целенаправленно развивать умения, связанные с понятиями, суждениями и умозаключениями, осуществляя логическую подготовку детей последовательно: сначала вводить задания на развитие логических приёмов мышления, связанных с понятиями (анализ, синтез, сравнение, сериация, абстрагирование, обобщение, классификация), а затем - на формирование умений строить суждения и делать умозаключения.

  Организация процесса усвоения знаний и умений должна   осуществляться в соответствии с теорией поэтапного формирования   умственных действий П.Я.Гальперина, т.е. быть ориентированной на этапы выполнения:

- действия     в    материальной  (дети    оперируют    предметами  )    или    

  материализованной (дети оперируют моделями) форме;

- действия в зрительной форме;

- действия во внешнеречевой форме (выполняется со словесно-            заданными объектами);

- приема в умственной форме.

       В педагогической психологии и педагогике имеется ряд теорий, указывающих разные пути реализации развивающего обучения на мышление, предложенных П. Я. Гальпериным, В. В. Давыдовым, Л.В. Занковым, Н. Ф. Талызиной, , Е.Н. Кабановой - Меллер, Н.А. Менчинской,

 Д.Б. Элькониным и др.    

       Общеметодический аспект проблемы развития мышления учащихся при решении задач в процессе обучения математике рассмотрен в работах И.И.Баврина, В.А. Гусева, Н.Б. Истоминой, В.И. Крупича, Г.Л. Луканкина, В.М. Монахова, Е.И. Саниной, А.А.Столяра, Д.Пойа, Н.А.Терешина и др.  

        Т.С. Маликов рассматривает возможности развития таких качеств мышления, как активность и критичность, используя индуктивные и дедуктивные рассуждения.

       О.С.Медведева в качестве средства развития мышления учащихся рассматривает решение задач комбинаторного характера.                    

       В связи с развитием логической культуры средствами логического конструирования при обучении математике рассматривает Л.Н. Удовенко развитие         логического         мышления.  
      Е.В. Сухорукова рассматривает прикладные задачи как средство развития математического мышления.

И.Н.Попов рассматривает исторические задачи по элементарной математике.
         Учитель математики, опираясь на соответствующие данные, может организовать учебно-воспитательную и индивидуальную работу с учащимися в различных направлениях, и идти по пути разработки методов снятия разницы между актуальным уровнем развития математического мышления и уровнем развития мышления, показываемым на неучебном материале, как не реализованной возможности учащегося: можно допустить, что уровень развития математического мышления ученика должен соответствовать уровню   мышления вообще (и это может служить мерой успешности учебной работы учащегося и продуктивности деятельности учителя математики).  

       Т.А.Ивановой выделены компоненты культуры математического мышления (алгоритмическая, мировоззренческая, эвристическая, логическая составляющие).

       Применительно к математической деятельности Т.А.Иванова, В.М.Монахов выделяют следующие компоненты алгоритмической составляющей: 1) понимание сущности алгоритма; 2) понимание алгоритмического характера методов математики и их приложений; владение алгоритмами школьного курса математики; 3) умение создавать алгоритм какого-либо действия.

       Твёрдое знание основных алгоритмов составляет тот фундамент, который обеспечивает хорошее усвоение всего курса математики. Учащиеся младшего школьного возраста изучают простейшие алгоритмы выполнения арифметических операций. Например, правило проверки сложения можно сформулировать в виде алгоритмического предписания следующим образом. Для того чтобы проверить сложение вычитанием, нужно:

1. из суммы вычесть одно из слагаемых;
2. сравнить полученный результат с другими слагаемыми;
3. если полученный результат равен другому слагаемому, то сложение выполнено верно;
4. в противном случае ищи ошибку.

       Методы решения уравнений, текстовых и геометрических задач и т.д. по своей сути алгоритмичны, но их изобрели и применяли разные ученые и в разные эпохи. В связи с этим исторический материал следует использовать как методический прием на любом из этапов обучения школьников методам

математики (введение, изучение метода, обобщение и систематизация).

        Таким образом, исторический материал способствует развитию культуры математического мышления, а разнообразные формы использования элементов историзма (исторические беседы, решение нестандартных задач и т.д.) способствуют удовлетворению запросов школьников, проявляющих интерес и склонности к математике.

.   При этом элементы историзма, используемые на уроках и внеклассных занятиях, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности.

         Исторический материал, отобранный для формирования мировоззренческой составляющей: формирует у учащихся представления о роли математики в развитии общества; демонстрирует связь математических знаний с культурными традициями общества.

       Одной из задач обучения математике является развитие творческих способностей учащихся. Она будет в полной мере реализовываться, если приобщить школьников к эвристической деятельности на уроках и в самостоятельной деятельности. Исторический материал предоставляет много возможностей для подобной методической работы. Связано это с тем, что разработкой эвристических схем занимались Папп, Р.Декарт, Г.В.Лейбниц,  Б. Больцано. При обучении методам решения нестандартных задач школьники должны усвоить идею, лежащую в основе эвристик.  

       Развитие и коррекция мышления ребенка - одна из важных психолого-педагогических проблем. В основе работы с детьми с нарушением интеллекта лежит коррекция их познавательных процессов. Стараюсь, чтобы почти на каждом этапе урока присутствовало коррекционное задание. Выполняя эти задания, дети учатся анализировать.

       Задания могут быть различными, например, нарисуй:

- фигуру, у которой нет углов;

- фигуру, у которой  3 угла, 3 стороны;

- фигуру, у которой 4 стороны, 4 угла, 2 стороны равны друг другу;

- фигуру, у которой  все стороны равны.

Можно усложнить задание: «Какая фигура лишняя?»

        Способные учащиеся часто не получают достаточного материала по математике для развития своих способностей. И они привыкают не прилагать усилий в учебной работе и постепенно теряют интерес к предмету. Поэтому возникает потребность в некотором компромиссном варианте: в традиционные учебники по математике включать дополнительный материал, как теоретического, так и практического характера.  

 Задача 1. Запишите пропущенные числа.

              5         ?

      3      3        ?                    ?

5. ?

Задача 2   

«Найди, за какими фигурами спрятались числа от 0 до 10».

      Задача 3.

Нарисуйте пропущенный рисунок.

Эта задача имеет две стратегии поиска решения - рассуждение по горизонтали и рассуждение по вертикали.

Решение актуальных задач обучения и воспитания, связанных с формированием и усилением творческих возможностей, требует дифференцированного подхода к учащимся. По отношению к одним учащимся, прежде всего, потребуется работа по изменению их отношения к учению, в другом случае потребуется изменение типа мышления, что приводит к необходимости применения существенно иных способов педагогического воздействия. Поэтому более правильным подходом к решению проблемы дифференциации учащихся является выделение их групп по признаку уровня интеллектуального развития при разработке для каждой из них необходимых и особых способов работы и рекомендаций.

         Каждый учитель знает, что радость в учении там, где успех, поэтому так важно создать на уроке ситуацию успеха, чтобы каждый из детей почувствовал свои силы, «проявил» себя. С первых дней ввожу дифференцированные задания на уроке и домашние задания: конверты с красным кругом - сложное, оранжевым - средней сложности, желтым - легкое. Для детей с математическим складом ума  требуются дополнительные задания, чтобы не угас огонек детской пытливости (для них контрольные работы составляю на карточках).

          Учитывая возможности каждого ученика, составила по математике разноуровневые задания по темам. Для этого всех учащихся класса по уровню умственных способностей условно разделила на три группы: слабую, среднюю и сильную. Задания в группах выполняются самостоятельно. Это позволяет каждому ученику работать в своём ритме.

       Учащиеся первой группы, справившись со своим заданием, переходят к следующему заданию. Учащиеся второй группы, справившись со своим заданием, переходят к заданию третьей группы. Учащиеся третьей группы, справившись со своим заданием, переходят к выполнению дополнительного задания под №4, а если дополнительное задание учитель не предлагает, тогда помогают другим учащимся класса.

Тема: Сложение и вычитание многозначных чисел.

№1

 Реши примеры:

5384+9704

10000-6010

500106-49038

№2

Восстанови пропущенные цифры:

   + * * * *              - * * * * * *                    - 5 4 7 6 2                                                        

         2 6 3                    9 2 6 4 5                         * * * *

      1 5 4 6                       9 1 6 1                      4  4 9 3 6

№3

В пустые клетки впиши такие числа, чтобы квадрат получился магическим.

      Активизации мышления учеников помогает  форма работы в паре.  Дети чувствуют себя свободней, так как поиск решения не контролируется учителем. Они в процессе общения обсуждают полученные результаты, подводят итоги, оказывают помощь друг другу в поиске ошибок. Всё это превращает учение не только в усвоение готовых знаний, но и в процесс познания.

       Использование математических квадратов, ребусов, кроссвордов способствует также математическому развитию.

       Можно построить работу с магическими квадратами так, что ученик  кроме вычислительного умения будет приобретать умение работать с понятием (подводить под понятие, выводить следствия и др.), рассуждать, доказывать, искать различные варианты и т.д.    

    Приведём примеры заданий при работе с квадратами:

1. Докажите, что данный квадрат не является математическим.

2.В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, горизонталям, по любым диагоналям равны одному и тому же числу. Найдите это число.

3.В магическом квадрате суммы чисел по любым вертикалям, по любым горизонталям, по любым диагоналям равны одному и тому же числу. Проверьте, будет ли данный квадрат математическим.

4.Дан магический квадрат. Какое число должно стоять в пустой клеточке?

4. Дан квадрат, в котором в некоторые клеточки вписаны числа. Вставьте числа 3,5,8,9,11 так, чтобы получился магический квадрат.

6.Дан квадрат, в котором в некоторые клеточки вписаны числа. Вставьте в пустые клеточки числа 6,10,12,16,18,22 так, чтобы получился магический квадрат.

7. Дан математический квадрат. Докажите, что в клеточке со звёздочкой не может стоять число 32 .         

8. Дан математический квадрат. Найдите сумму чисел, которые спрятались за буквами А, Б, В.

9.Дан математический квадрат. Найдите сумму чисел А+Б+В+Г.

   Приведу несколько примерных кроссвордов и ребусов, используемых на уроках математики:

КОМ  

 ТА                7 Я

                                                          Р  1  а

        По горизонтали:

1. Единица измерения массы, равная 1000г
2. Единица измерения массы, равная 100 кг.

       По вертикали:

3. Самая крупная единица массы.
4. Маленькая единица массы, равная тысячной доле килограмма.

1. Единица, удобная для измерения расстояния между городами.
2. Единица, применяемая для черчения отрезков.
3. Единица, равная 10 см.
4. Самая маленькая единица измерения длины.

           Если вы правильно написали слова, то в                  

           выделенных клеточках прочитаете название

           ещё одной единицы измерения длины.

        Задачи- шутки так же играют большую роль в формировании математического мышления. Приведу пример.

          а) На складе было 5 цистерн с горючим, по 6 тонн в каждой. Из двух цистерн горючее взяли для автопарка. Сколько цистерн осталось?  (5)

          б) Чтобы сварить 1 кг мяса, требуется 1 час. За сколько времени сварится полкилограмма такого же мяса?

          в) Что дороже: килограмм гривенников или полкилограмма двугривенных?

         При формировании математического мышления большую роль я отвожу играм и игровым моментам. Игра является важным средством воспитания умственной активности учащихся. А.И.Сорокина отмечает, что дидактические игры стимулируют в первую очередь наглядно- образное мышление, а затем и словесно- логическое. Через их содержание может происходить развитие умственных способностей. Многие дидактические игры ставят перед детьми задачу: рационально использовать  имеющиеся знания в мыслительных действиях; находить характерные признаки в предметах, сравнивать, группировать, классифицировать по определённым признакам, делать выводы, обобщения.

       В исследованиях Г. С. Костюка, Н. Н. Поддьякова, Т. В. Тарунтаевой и других доказана необходимость использования дидактических игр. По мнению А. К. Бондаренко, А. З. Зака, с помощью игр учитель приучает детей самостоятельно мыслить, использовать полученные знания в различных условиях.

        Я считаю, что главное, чтобы игра органически сочеталась с серьёзным, напряжённым трудом, чтобы игра не отвлекала от учения, а, наоборот, способствовала  интенсификации умственной работы.

        Примером    таких   игр    являются    игры-   упражнения:    «  Цепочка»,

«Молчанка», «Угадай-ка». Очень нравится детям логическая игра «Танграм». Это древняя китайская игра. Дети, разделив квадрат на 7 частей, составляют из них различные картины.

       Можно  использовать также  такие игры на воссоздание силуэтов, как « Вьетнамская игра»,  « Волшебный круг», «Пентамино».

        Ещё пример. Я предлагаю детям «подумать» руками.     Как вы считаете, можно ли «думать» руками? Конечно, думать вы будете головой. Но руки помогут вам в этом.

Сложите из 19 спичек фигуру:  

                        Уберите 7 спичек так, чтобы осталось 3 квадрата.

Ответы:

       Опыт доказывает, что ученикам нравятся геометрические задания открытого типа, требующие особого, нестандартного мышления и имеющие не одно решение. Работая учителем начальных классов, я всё больше убеждаюсь, что дети всегда непредсказуемы. Порой они предлагают невероятные, кажется, даже абсурдные идеи и выдвигают парадоксальные гипотезы, которые, в конце концов, приводят к решению задачи. Я никогда не стесняюсь признаться своим ученикам в том, что сама не могла найти подобного решения задачи, поэтому крайне благодарна им за предложенный вариант. В этом, по-моему, есть учительская радость сотворчества, содружества в открытии новых знаний.

             По программе Л. В. Занкова свойства геометрических фигур рассматриваются не изолированно, а в сравнении, сопоставлении, путём конкретизации, классификации и т.д., что особенно делает его эффективным для развития детей.

   Развитию геометрических представлений способствуют приёмы:

- работа с моделями геометрических фигур;

- моделирование фигур из бумаги, палочек, пластилина;

- вычерчивание геометрических фигур на бумаге.

       При таком подходе, очевидно, что сначала дети учатся видеть отдельные предметы, выделяя в них различные признаки, затем, наблюдая отдельные предметы, учатся переходить к сравнению предметов, определять, в чём их сходство и различие, группировать предметы по общим признакам, делать выводы на основе наблюдений. Анализ и синтез воплощаются сначала в наглядно- образной, затем в словесно- логической форме.

И.В.Шадрина считает, что изучение геометрии в начальной школе может строиться только на интуитивно- содержательной основе с целью развития у школьников образного мышления; формирования умения целенаправленно воспринимать, оценивать и осмысливать графическую информацию; накопления опыта элементарных исследований; обучения элементарному чувственно-словесному анализу геометрических свойств фигур (анализ предметных отношений, ведущих к обобщениям) и др.(36, 4)

       Следовательно, в процессе изучения геометрического материала у младших школьников следует формировать и развивать компетенции в виде следующих умений:

- осуществлять анализ геометрической фигуры, используя  приобретённые

ранее знания;

- обосновывать свои действия, делать простейшие логические  выводы,      мотивировать увиденное;

- сопоставлять   и  обобщать   свойства   геометрических  фигур,    овладевать  

 знаковой системой (способом обозначения геометрических фигур  буквами);

-выделять существенные признаки геометрической фигуры,  моделировать и конструировать геометрические фигуры из    совокупности фигур, разбивать множество геометрических фигур на   классы;

- строить простейшие геометрические фигуры;

- видеть знакомые образы геометрических фигур в совокупности   фигур и находить их по существенным признакам;

- читать геометрические чертежи с использованием буквенных и    числовых обозначений;

- решать практические задачи по измерению длин отрезков,   вычислять периметр многоугольника и находить площади    прямоугольника, квадрата и фигур, составленных из    прямоугольников, квадратов и др.

       Целесообразнее включать упражнения не на характеристику пространственных признаков предмета, а на вычленение единичного признака из совокупности общих на основе выявления закономерности признаков с использованием приёмов умственных действий: сравнения, классификации, аналогии, анализа, синтеза, обобщения. Это задания с формулировками: « Разгадай правило, по которому расположены фигуры в каждом ряду», « Найди лишнюю фигуру», « Что изменилось? Что не изменилось?», « Чем похожи? Чем отличаются?», « Назови признаки, по которым изменяются фигуры в каждом ряду», «По какому признаку можно разбить фигуры на группы?», « Разгадай закономерность и нарисуй следующую фигуру» и т. п.

      Например:

1. Сколько треугольников на чертеже? Сколько четырёхугольников? Есть ли среди них прямоугольник?

2.  Сколько треугольников на чертеже? Сколько четырёхугольников?

Есть ли среди них квадрат?

Верно ли утверждение: все треугольники на чертеже одинаковые?

Устные вычисления в сочетании с иными видами упражнений также способствуют активизации мыслительной деятельности, развитию логического мышления, сообразительности, творческих         начал.                                                                                                                                                                                                                      В практике работы учителей довольно широко используются общие приёмы устных вычислений. Что же касается специальных приёмов, то им отведено более скромное место, не приличествующее их значению и роли. Разработка и использование специальных приёмов устных вычислений - поистине творческая работа, основанная на хорошем видении чисел, их свойств, подчас скрытых, глубоком понимании закономерностей изменяемости результатов при изменении компонентов действий, умении находить наиболее оптимальные и рациональные приёмы и действия в данной конкретной ситуации.

Специальным, творческим приёмам устных вычислений уделяли внимание прогрессивные педагоги во все времена.  Профессор С.А.Рачинский обращал внимание на то, что способность к умственному (устному) счёту полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Приведём некоторые специальные приёмы устных вычислений:

1. Приём округления.

399+473=400+472=872

196+199+197=200*3-8=600-8=592

 2. Приём, основанный на зависимости результата от изменения

     компонентов действий:

56-38=60-42=18

40 004-30 005=40 000-30 001=9 999

        3.  Приёмы умножения на 9,99,11,101,1 001:

26*9= 25*(10-1)=250-25=225

73*101=7 300+73=7 373

        4.  Приёмы последовательного умножения и деления:

35*18=35*2*9=70*9=630

540:4=(540:2):2=270:2=135

       Так, наблюдая и выявляя свойства чисел и действий над ними, дети накапливают сведения и используют их затем при вычислениях.

       Б. А. Кордемский   в   книге   « Математическая   смекалка»    советовал:

« Покопайтесь в огромном месиве чисел, которых больше, чем руды в земле, и вы найдёте свойства интересные и удивительные, диковинные и забавные, неожиданные и курьёзные».

       Привитие ученикам элементов такой поисковой, творческой работы весьма положительно сказывается на формировании их личности, в том числе и на формирование математического мышления.

       В качестве ещё одного из средств формирования элементов математической культуры младших школьников можно рассматривать текстовые задачи. Большое обучающее и воспитательное значение имеет наличие в них познавательного материала, связанного с конкретными жизненными ситуациями, что помогает показать младшим школьникам роль математики в познании окружающей действительности и развить их умения применять математические знания на практике.

       Осуществляя целенаправленное математическое развитие школьников, следует помнить, что задачи являются здесь наиболее естественным и наиболее эффективным средством.  

              Чтобы облегчить решение  текстовой  задачи,  строят  вспомогательные модели. При этом используется такие  операции  мышления,  как  анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение,  которые  являются  операциями мышления, и способствует его развитию. Использование вспомогательных моделей на уроках математики в начальной школе,  несомненно,  влечёт  за   собой   развитие   логического   мышления.

       На сегодняшний день в методической литературе имеется большое количество логических и других задач, при решении которых могут быть использованы графы. Их использование в обучении детей математике способствуют их интеллектуальному развитию, которое благоприятно сказывается на качестве математического мышления.

     Я согласна с мнением, что учителю, развивающему в учащихся познавательный интерес к предмету, полезно вводить занимательные задачи как элементы урока, обязательные для всех без исключения учащихся, независимо от их оценок по предмету. Можно предлагать по одной нестандартной задаче в качестве дополнительного домашнего задания, которое выполняется по желанию. Справившихся с заданиями ребят необходимо поощрять, причём не только отметкой, но и назначением консультантами по проверке задач, ввести рейтинг эрудитов, авторов придуманных заданий. Комплекс заданий, предложенный ребятам для решения дома на длительный промежуток времени, может служить заочным соревнованием или отборочным туром для участия в конкурсах и олимпиадах.

        Проводя исследования  сюжетных математических задач, школьники овладевают как общими исследовательскими умениями (анализ, синтез, сравнение, обобщение, наблюдение, выявление закономерности, выдвижение гипотезы; выделение условий, при которых выполняется некоторое свойство объекта; установление того, как при изменении условий изменяется объект или как изменении объекта изменяются его свойства и др.), так и специальными математическими (умением устанавливать структурное сходство внешне различных систем, переформулировать задачу, разбивать задачу на подзадачи; исследовать выражения с переменными; исследовать решение сюжетной задачи и др.).

  Сюжетные задачи легко инсценируются и успешно могут применяться при проведении внеклассных мероприятий: «Турнир Смекалистых», «Бой Эрудитов», «Математическая шкатулка», «Что? Где? Когда?», «Математический Хоккей», «Брейн - Ринг», различных математических вечеров, викторин и испытаний.

       Проведение внеклассной работы по математике - это ещё один путь формирования математического мышления. Для решения этой задачи полезно использовать следующие виды внеклассной работы:

1. Минуты занимательной математики (во время прогулок, минуты отдыха, во время экскурсий и т. д.). На минутках занимательной математики можно использовать загадки, ребусы, занимательные вопросы, такие как:

У стола 4 ножки.

А вопрос таков:

Сколько будет вместе ножек

У 17 столов?

2. Групповые занятия;
3. Оформление математического уголка в классной комнате;
4. Математический кружок;
5. Проведение конкурсов, викторин, классных и школьных олимпиад.

       Не менее ценным для развития математического мышления являются и спецкурсы по математике. Например, курс Н.К.Винокуровой « Развитие познавательных способностей». В нём собраны специальные задания, стимулирующие психические функции, логические и творческо-поисковые задания, нестандартные задачи, математические разминки. Курс разработан в системе Н.Ф.Виноградовой.

       В задачи пропедевтического курса  информатики включается приобретение навыков и умений анализировать любые объекты и системы из окружающей нас действительности.

Для изучения можно выделить следующие аспекты:

1. изучение алгоритмов;
2. развитие процессов мышления, рассуждения, логики;
3. изучение объектов и систем;
4. построение информационно- логической системы понятий и явлений,

в   которых   обобщаются   объекты,   алгоритмы,   правила     вывода.

         Исследования учёных  доказывают, что под влиянием физических     упражнений улучшаются  показатели различных психических процессов, лежащих в основе творческой деятельности: увеличивается объём памяти, ускоряется решение  элементарных интеллектуальных задач, убыстряются психомоторные процессы. Упражнения из «Мозговой гимнастики» выполняются в течение 2 минут. Приведу несколько таких упражнений:

« Качания головой» (упражнение стимулирует мыслительные процессы): дышите глубоко, расслабьте плечи и уроните голову вперёд. Позвольте голове медленно качаться из стороны в сторону, пока при помощи дыхания уходит напряжение. Подбородок вычерчивает слегка изогнутую линию на груди по мере расслабления шеи. Выполнять 30 секунд.

  « Ленивые восьмёрки» (упражнение активизирует структуры мозга): нарисуйте в воздухе в горизонтальной плоскости «восьмёрки» по три раза каждой рукой, а затем обеими руками.

  В процессе обучения происходит становление широкого круга познавательных способностей, лежащих в основе продуктивной мыслительной деятельности, наиболее важным среди которых является логическое мышление. Собственно, на умении устанавливать связи между известным и новым, умении обобщать, сравнивать основан весь процесс познания. И чем раньше мы позаботимся об этой сфере мышления, тем более динамично будет происходить процесс обучения.

       Психологи утверждают, что основные логические структуры мышления формируются в возрасте 5-11 лет и что запоздалое формирование этих структур протекает с большими трудностями и часто остаётся незавершённым.

       Поэтому я хочу подробнее остановиться на формировании именно логического мышления и рассмотреть некоторые приёмы работы.

1.5.Приёмы  развития   логического   мышления   младших  

        школьников как основы  структуры  математического  

        мышления.

         Изучение математики, по мнению Л.Д.Кудрявцева, отличается от изучения других предметов, прежде всего, тем, что в нём особую роль играет логическое мышление, так как содержание любого раздела состоит из цепочки понятий, связанных между собой логическими отношениями.  

       Задача учителя - полнее использовать возможности развития логического мышления при обучении детей математике. Однако конкретной программы логических приёмов мышления, которые должны быть сформированы при изучении данного предмета, нет. В результате работа над развитием логического мышления идёт без знания системы необходимых приёмов, без знания их содержания и последовательности формирования.

       Логическое мышление представлено в форме суждений, умозаключений, понятий, выраженных словесно. Основными приёмами их формирования является синтез, анализ, сравнение, обобщение и классификация.  

       Овладевая в процессе обучения такими мыслительными операциями, как анализ и синтез, абстрагирование, конкретизация, обобщение, учащиеся более глубоко осознают изучаемый материал, учатся обосновывать свои суждения. У них формируются умения и навыки самостоятельно решать поставленные задачи, сознательно пользоваться  приобретёнными  знаниями.

      Напомним, что анализ как мыслительное действие предполагает разложение целого на части, выделение путём  сравнения общего  и  частного,  различения существенного и не существенного в предметах и явлениях. Овладением анализом начинается с умения ребёнка выделять в предметах и явлениях различные свойства и признаки. Как известно,  любой  предмет  можно рассматривать с разных точек зрения. В зависимости от этого на  первый  план выступают та или иная черта, свойства  предмета.  Умения  выделять  свойства даётся младшим школьникам с большим трудом. И это понятно,  ведь  конкретное мышление ребёнка должно проделывать сложную работу абстрагирования  свойства от предмета. Как правило, из бесконечного  множества  свойств  какого-либо предмета первоклассники могут выделить всего лишь два-три. По мере  развития детей,  расширения  их  кругозора  и  знакомства  с  различными  аспектами действительности такая  способность,  безусловно, совершенствуется.  Однако это не исключает необходимости специально учить младших школьников видеть  в предметах и явлениях разные их стороны, выделять  множество свойств.

       Синтез - логический приём, состоящий в мысленном объединении частей, свойств, действий в единое целое, т.е. синтез- это соединение различных элементов сторон, свойств объекта в единое целое.

       В мыслительной деятельности человека эти операции протекают в единстве, дополняя друг друга. Рассмотрим приёмы формирования операций анализа и синтеза.

       Приём № 1.

Выделение признаков предмета (объекта).

-  Как по-разному назвать прямоугольник?

- Прочитай по - разному выражение 10-3.

      Приём № 2.

Узнавание предмета (объекта) по заданным признакам.

- Среди предложенных фигур выбери отрезок:

      Приём №3.

Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий.

 - Что можно сказать о числе 18?

      Приём № 4.

Постановка различных заданий к данному математическому объекту.

       Способность к анализу и синтезу позволяет ребёнку разобраться в сложных вопросах, находить причинные связи между явлениями, овладеть операциями сравнения, классификации, обобщения.

       Сравнение - логический приём, состоящий в мыслительном сопоставлении объектов, явлений или их отдельных признаков с целью установления сходства или различия между ними.

         Для развития мыслительной операции «Сравнение предметов» предложите числа: 4, 14, 48, 24.  Чем они похожи и чем отличаются?

         Психолог Н.Ф.Талызина отмечает: «Важно подчеркнуть также, что надо не просто пользоваться этим приёмом, но и довести его сущность до сознания детей: они должны отдавать себе отчёт в том, что делают. Без этого приём может быть усвоен плохо, легко может забыться, учащиеся не смогут им пользоваться. Следует требовать от учеников проговаривания того, что связано с приёмом, а учителю подчеркнуть, что сравнение предметов друг с другом используется для выделения свойств предметов».

       Этапы формирования:

1. Выделение признаков или свойств одного объекта;
2. установление  сходства   и различия между признаками двух объектов;
3. выявление сходства между признаками трёх, четырёх и более объектов.

       В процессе обучения  задания приобретают  более  сложный  характер:  в результате  выделения  отличительных  и  общих  признаков   уже   нескольких предметов, дети пытаются  разбить  их  на  группы.  Здесь  необходима  такая операция  мышления  как  классификация.  В  начальной  школе   необходимость классифицировать  используется  на  большинстве  уроков,  как  при  введении нового понятия, так и на этапе закрепления.

         Для выполнения классификации нужно уметь  выделять разные признаки объектов, сравнивать по этим признакам, обобщать. Следовательно, на подготовительном этапе обучения приёму  необходимо соблюдать этапность в работе. Рассмотрим, как это можно сделать на примере классификации. Включаются следующие виды упражнений:

1. Задания, в которых требуется дать название группе объектов, выделив их общее свойство.

- Как назвать одним словом ромашку, колокольчик, василёк?

- Запиши числа от 5 до 14. Подчеркни первые пять записанных    чисел. Объясни, какие числа подчеркнул, не называя их.

2.. Задания, в которых по названию группы нужно подобрать объекты, в неё входящие.

- Запиши все числа, большие 4, но меньшие 10.

3. Задания, в которых нужно найти и добавить несколько объектов, подходящих для данной группы.

- Допиши несколько примеров так, чтобы они были похожи: 5+1, 9+1, 7+1.

4. Задания, в которых требуется определить объект, не подходящий в данную группу («лишний»).

- Какая величина «лишняя» в данном ряду: 25 дм, 17 м, 6л, 3см?

 На этапе ознакомления с приёмом классификации можно использовать следующие виды упражнений:

1. Задания на определение, по какому основанию объекты уже разбиты на группы.

- Определи, по какому признаку числа разделили на группы:

     а) 5,9,6,1 и 12,95,42,60;

     б) 22,66,44,77 и 56,39,28,73.

2. Задания на разбиение на группы по заданному учителем основанию.

     -  Карточки со словами: слагаемое, минус, вычитаемое, плюс, уменьшить, сумма, разность, уменьшаемое, увеличить расставь так: в первый столбик - слова, относящиеся к действию сложения, во второй - к действию вычитания.

    -  Разбей данные числа на группы: в первой запиши числа, которые меньше 5, а во второй- числа, которые больше 5:

1,2,3,4,5,6,7.

    -  Разбей примеры на группы, чтобы в каждой были похожие записи:

3+1, 4-1, 5+1, 6-1, 7+1, 8-1…

  -  Разбей данные числа на 2 группы – однозначные и двузначные:  2,7,35,41,4,8,80,60,3.

3.Задания на нахождение основания и разбиение на группы.

- Раздели на две группы:

   5м, 30 см, 12 кг, 84 дм, 6 г.

 4.Комбинированные задания, состоящие из заданий нескольких видов.

- По какому основанию эти уравнения можно разделить на 3 группы? А по какому основанию их можно разделить только на 2 группы?

х+7=30                    34-у=11                   12+а=45

в-9=24                     50-х=17                   у-15=8

Реши уравнения и скажи, по какому ещё основанию можно было разделить эти уравнения на 2 группы? Составь по одному уравнению, подходящему в каждую группу, выбрав любой способ деления этих уравнений на группы.

        Но особенно эффективными для развития логического мышления учащихся являются задания, в которых основание для классификации выбирают сами дети.

       В  процессе  классификации  дети  осуществляют   анализ   предложенной ситуации,  выделяют  в  ней  наиболее  существенные  компоненты,   используя операции  анализа  и  синтеза,  и  производит  обобщение  по  каждой  группе предметов, входящих в класс. В  результате  этого  происходит  классификация предметов по существенному признаку.

      Обобщение - логический приём, состоящий в мысленном выделении признаков объектов, их свойств и отношений и объединении объектов и явлений по их общим и существенным признакам.

       Для развития мыслительной операции «Обобщение, выделение существенных признаков» предложите определить слово, которое является «лишним»:

                    1.       Старый, дряхлый, маленький, ветхий.

               2.       Храбрый, злой, смелый, отважный.

3. Яблоко, слива, огурец, груша.
4. Молоко, сметана, творог, хлеб.

Или другое задание:

Прочитайте пары слов. Назовите каждую пару одним словом.

Яблоко, груша.

Кукла, мячик.

Огурец, помидор.

Роза, одуванчик.

Дуб, берёза.    

       Как видно из вышеизложенных фактов все операции  логического  мышления тесно  взаимосвязаны  и  их  полноценное  формирование  возможно  только   в комплексе.

        Хочу предложить задание, выполнение которого требует всего комплекса мыслительных операций: сравнения объектов, их анализа, выявления связей между объектами, применения подмеченных закономерностей для нахождения неизвестных элементов.

        Задание: Догадайтесь, как связаны между собой два числа и рисунок в первой строке таблицы. Проверьте своё предположение для числа и рисунка второй строки. Запишите число вместо знака вопроса.

        Только  взаимообусловленное  их  развитие  способствует  развитию логического  мышления  в  целом. Приёмы  логического   анализа,   синтеза, сравнения, обобщения и классификации необходимы учащимся  уже  в  1  классе. Без овладения ими не происходит полноценного усвоения учебного материала.

Глава 2. Опытно- экспериментальная работа по развитию                                        мышления учащихся.

2.1. Исследование математического мышления учащихся.

       Высокий уровень мышления обеспечивает возможность  усвоения учебного материала не как некую готовую сумму знаний (элементарное заучивание), а находить новые способы, собственные алгоритмы деятельности (произвольное запоминание, построение  гипотез, принятие решений), что обеспечивает высокую эффективность усвоения знаний и развития творческого потенциала ребенка. Отсюда следует важность диагностики мышления на этапе подготовки ребенка к школе, а также на протяжении всего периода обучения.

        Специальное исследование математического мышления в контексте учения о типах мышления проведено Л. К. Максимовым. Он   разработал методики, позволяющие выявить особенности проявления мыслительных действий анализа, рефлексии и планирования на математическом материале. Полученные им данные свидетельствуют, что имеется определенный период перехода индивида от эмпирического уровня развития математического мышления к теоретическому. Существование такого перехода подтверждается результатами ряда исследований. Например, в одной работе (15) были выделены четыре группы испытуемых, каждая из которых, независимо от содержания решаемой задачи, имела некоторые общие особенности мышления:

1) эмпирический способ ориентации в условиях задачи — имеются зачаточные формы анализа, отсутствуют рефлексия и планирование;

 2) эмпирический способ ориентации в условиях задачи — имеются зачаточные формы рефлексии и планирования, начальные стадии становления анализа;

 3) теоретический способ ориентации в условии задачи — имеется относительно развитое действие анализа, наблюдается процесс становления рефлексии  и планирования (это группа «аналитиков»);

4) теоретический способ ориентации в условиях задачи — проявляется относительно высокий уровень развития анализа, рефлексии и планирования (это группа «рефлексирующих»).

 С целью определения уровня развития математического мышления может  применяться система методик, построенных на математическом материале. К ним относятся задания Л. К. Максимова «Единицы» и «Семь задач». Автор обосновывает целесообразность использования методик, построенных по следующей схеме: 

 а) предлагается определенное множество задач, каждая из которых допускает различные способы решения;

б) эти задачи имеют единый принцип решения, и обнаружение испытуемым этого принципа служит основанием для вывода о наличии у него теоретического подхода к решению задач; если испытуемому не удается обнаружить этот принцип, то можно утверждать о проявлении эмпирического подхода к решению задач.

Поиск методик определения уровня развития содержательного анализа, планирования и рефлексии, адекватных возрасту, осуществляется на основе понимания того, что каждое конкретное задание должно выявлять сформированность того или иного мыслительного действия на неучебном и на математическом (или другом предметном) материале, а набор подобных методик должен способствовать установлению сформированности эмпирического или теоретического типа мышления и их переходных форм.

  Таким образом, применение методик диагностического характера, построенных на неучебном материале и на материале математики, позволяет определить как общие характеристики умственной деятельности, так и конкретные уровни развития математического мышления учащихся. Мы можем утверждать, что содержательный анализ, являющийся основой    теоретического мышления и имеющий разной сложности операционный состав (пробующие преобразующие действия, моделирование, выделение существенного), осуществляется с опорой на планирование и рефлексию определенного уровня развития; планирование и рефлексия имеют исходный уровень развития, задаваемый уже в действиях, содержащихся в начальных условиях (например, в методике «Единицы» — это владение арифметическими действиями и правилами использования скобок, навыки перебора действий, контроль по результату).  

Важно, чтобы  ребенок не только имел определенный запас знаний, но и умел им воспользоваться – умел рассуждать, делать элементарные выводы, выделять общие и отличительные признаки предметов, явлений, событий. Поэтому необходимо объективно оценить и другие стороны развития ребенка. В тех случаях, когда вербально-логическое и наглядно-образное мышление недостаточно сформировано, необходима консультация специалиста. В тех случаях, когда с ребенком просто не занимались, он может не иметь хорошего запаса знаний, но способен рассуждать, анализировать, делать выводы, проблемы общего развития достаточно быстро компенсируются при обучении и внимательном отношении педагога.

2.2 Уровень  развития математического мышления младших школьников.

       От того, насколько сформирован образ (способ) мышления ребёнка, зависит не только развитие его математических способностей, но и то, насколько в будущем он сможет разобраться в самом себе, реализовать собственные возможности, используя полученные знания в новых ситуациях.  

        Для  определения  уровня  развития   логического   мышления   учащихся использовалась методика «Четвёртый лишний».

            Инструкция:  «Прочитай  эти  слова   (или   «Посмотри   на   эти      картинки»). Одно из них здесь лишнее,  оно  не  связано  с  остальными   словами. Подумай, какое это слово и назови его. Объясни почему?»

        Ход проведения. В  первом  задании  нужно  добиться  от  ребёнка правильного  ответа.  Оно  не  оценивается.  В  процессе  тестирования ребёнку последовательно предъявляются все  карточки.  Помощь взрослого заключается только в дополнительных вопросах  типа:  «Хорошо ли ты подумал?», «Ты уверен, что выбрал правильное слово?»,  но  не  в  прямых подсказках. Если ребёнок после такого вопроса  исправляет  свою   ошибку, ответ считается правильным.

       Используемый  материал:  11 карточек с  четырьмя  словами  (или  четырьмя изображениями), одно из которых лишнее:

1)

2)дециметр  килограмм  сантиметр  метр

3)уменьшаемое  разность  сложение  вычитаемое

4)килограмм грамм центнер  миллиметр

5)2   5   6    23

6)

7)делимое  делитель  разность  частное

8)40   50   25   90

9)условие  вопрос  решение  пример

10)

11)

 Анализ результатов.   За каждый правильный ответ начисляется 1 балл,  за неправильный  -  0 баллов.

      10-8 баллов – высокий уровень развития логического мышления;

      7-5 баллов – средний уровень развития логического мышления;

      4 и менее баллов – логическое мышление развито слабо.        

3. Реализация возможностей уроков математики и внеклассных занятий в развитии математического мышления на примере обучения решению задач.

        Выше уже рассматривались задания, способствующие развитию математического мышления в целом. В этой главе я хочу уделить особое внимание развитию мышления на примере обучения решению задач. Так как общепризнано, что решение задач является важнейшим средством формирования у школьников системы основных математических знаний, умений, навыков; ведущей формой учебной деятельности учащихся в процессе изучения математики; одним из основных факторов их математического и личностного развития. А также, если ученики умеют решать задачи, то они любят математику.        

       Мониторинг результатов (по опросам родителей, данных психологов) говорит, что математическая подготовка детей желает лучшего. Большинство детей начинает испытывать трудности, особенно, при обучении решению задач. Так, как 6-7 летний ребенок мыслит образами, а его хотят научить мыслить абстрактно.

При подготовке к уроку стараюсь использовать все возможности учебника, направленные на формирование операций мышления.

         Задания, направленные на развитие анализа и синтеза:                   1.

1. Узнавание или составление объекта по заданным признакам:

     Составь по краткой записи задачу и реши её

        Было – 18 кг

        Продали - ?

        Осталось – 8 кг

2. Рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий.

     Составь по рисунку разные задачи и реши их.

3. Постановка различных заданий к данному математическому    объекту.

    1) К концу учебного года у Лиды  осталось  2  чистых  листа  в  тетради по      

       русскому языку и 5 чистых листов  в  тетради  по  математике. Поставь к    

       этому    условию   сначала    такой   вопрос,   чтобы    задача     решалась    

       сложением,  а  потом  такой  вопрос, чтобы задача решалась вычитанием.

    2) В коробке  было  10  карандашей.  Когда  из  коробки  взяли    несколько    

        карандашей, в  ней  осталось 6 карандашей. Сколько  карандашей взяли?  

        Рассмотри  краткую  запись  и схематический  чертёж к задаче. Объясни,    

        как  этот схематический  чертёж  составлен. Реши задачу.

  Задания, направленные на формирование умения классифицировать:

1.В мультфильме про динозавров  9  серий. Коля уже посмотрел 2 серии.                                     Сколько серий ему осталось посмотреть?

    Составь   две    задачи,   обратные   данной.   Подбери   к   каждой    задаче            

    схематический чертёж.

        Задания, направленные на развитие умения сравнивать:

  1. Выделение признаков или свойств одного объекта.

       У Тани было несколько значков. Она подарила 2 значка подруге, и  у  неё      

       осталось 5 значков. Сколько значков было у Тани?

       Какой  схематический чертёж подходит к этой задаче?

       2. Установление сходства и различия между признаками предметов.

       Составь задачу по краткой записи и реши её.

        Купили – 20 шт.                          Купили -?шт.

        Израсходовали – 9 шт.              Израсходовали – 9 шт.

        Осталось - ?шт.                          Осталось – 11 шт.

        Чем похожи и чем отличаются эти задачи?

        Все  предложенные  задания,  безусловно,  направлены  на формирование нескольких операций мышления,  но  ввиду  преобладания  какого-либо  из  них упражнения были разбиты на предложенные группы. Но существуют  и  упражнения с ярко выраженной комплексной направленностью. Рассмотрим их далее.

 1) Логические задачи.

     Вася  выше  Саши  на  8 см, а  Коля  ниже  Саши   на   3  см.  На   сколько       сантиметров  самый  высокий  из  мальчиков  выше  самого       маленького?

  2) «Магические квадраты».

     Расставьте  числа  2; 4; 5; 9; 11; 15  так,  чтобы  по  всем  линиям  в сумме получилось 24.

         Опыт доказывает, что дети теряются в задаче уже на этапе составления краткой записи. Трудности в составлении краткой записи возникают потому, что требуют определённого уровня развития словесно- логического мышления, которое в данном возрасте ещё недостаточно развито. Значит, учащимся для решения задачи нужна такая наглядность, которая помогает самостоятельно осмыслить текст задачи и разобраться во всех связях и отношениях. Такая наглядность предложена в учебниках Н.Б.Истоминой, где при решении многих арифметических задач используется схематический рисунок.

       Методическая система учебников Н.Б.Истоминой связана с обучением  общему способу действия, умению логически связывать приобретённые знания при изучении новых тем. Вот ряд заданий, подтверждающих эту мысль:

- чем похожи предметы, чем отличаются?

- какой предмет лишний, почему?

- по какому правилу составлен ряд?

- убери лишний предмет.

- проанализируйте ответы Миши и Маши.

- вставь числа, чтобы равенства были верными. Как рассуждаешь?

- разбей на группы предметы по различным признакам.

- дорисуй схемы так, чтобы каждая соответствовала данной задаче:

1)              2                                       2)                2

- запиши пояснения к каждому выражению.

          Исследование позволило сделать вывод о том, что технология обучения математике Н.Б.Истоминой продуктивно развивает логическую сторону интеллектуальных способностей ученика и закладывает прочную основу для изучения предметов на последующих ступенях обучения.

        На мой взгляд, подход И.И.Аргинской (по системе развивающего обучения Л.В.Занкова) к осмыслению текста – это так же большой шаг на пути эффективного обучения решению задач.

       Исследовательская работа над задачей начинается на этапе осмысления текста, продолжается и дальше, если возникает необходимость преобразовать текст в задачу, дополнить данными или убрать лишние. В полной мере исследовательской работой можно заняться после частичного или полного решения задачи. Это может быть установление зависимости между изменением одного элемента задачи и изменением её решения; сравнение задач сходных по фабуле, но разных по математическому содержанию или с одинаковым математическим содержанием, но внешне совершенно непохожих друг на друга; классификация задач по выбранным признакам.

Включение в программу Аргинской системы определённых творческих знаний (определений, аксиом, логических связок, кванторов) и соответствующих способов действий (выполнение классификации, сравнения, обобщения и пр.), а также использование специальных методик (рассуждение по аналогии, способы доказательства - приведение хотя бы одного опровергающего примера, высказывание предположений и их проверка, обоснование приёмов вычислений с использованием свойств действий) помогут успешно формировать культуру математического мышления школьников.

         В  процессе решения любой задачи, в мозгу человека возникает информационная динамическая модель проблемной ситуации, которая состоит из элементов решения задачи, отраженных мозгом в их связях и отношениях. Она формируется в ходе анализа условий задачи и синтеза, то есть в процессе активной сознательной деятельности.          
       Для приобретения опыта в семантическом и математическом анализе текстов задач используется приём сравнения текстовых задач. Для этой цели предполагаю задания:

    - Чем похожи тексты задач? Чем отличаются? Какую задачу ты можешь решить? Какую не можешь? Почему?

    - Подумай! Будут ли эти тексты задачами?

    - Сравни тексты задач. Чем они похожи? Чем отличаются? Можно ли утверждать, что решения этих задач будут одинаковыми?

       С целью формирования умения выбирать арифметические действия для решения задач предлагаю задания, в которых используются приёмы:

1. Выбор схемы.

2. Выбор вопросов.

3.Выбор выражений.

4. Выбор условия к данному вопросу.

5. Выбор данных.

6. Изменение текста задачи в соответствии с данным решением.

7. Постановка вопроса, соответствующего данной схеме.

8. Объяснение выражений, составленных по данному условию.

9. Выбор решения задачи.

         Гораздо большую пользу для развития теоретического мышления и логической культуры учащихся приносит решение одной задачи несколькими различными способами, нежели решение множества подобных задач одним и тем же способом.

          Часто использую приём преобразования задачи. Один из способов преобразования задач - это приём «наращивания» задач.   То есть после решения задачи, детям предлагается изменить вопрос. Тогда к указанному выше решению добавляется ещё одно действие. Далее можно «наращивать» условие и менять вопрос. Такие упражнения вырабатывают у детей привычку разносторонне осмысливать условие и вопрос задачи, способствуют проведению более глубокого анализа задач, развивают речь учащихся.

      Выделим два направления в исследовательской работе над решённой задачей, которая помогает учащимся понять заложенные в задаче связи.

       Первое направление- это работа, ориентированная на осознание особенностей данной задачи и обобщение способа её решения. Она включает:

1. осознание средств, способствовавших поиску решения данной задачи; получение выводов, которые можно использовать при решении других задач;
2.  поиск различных способов решения данной задачи, приводящих к одному ответу или к различным ответам;

       Второе направление- это работа по овладению общими исследовательскими умениями при выполнении заданий, сформулированных к данной задаче, а именно:

1. анализ реального смысла данных и их соотношений, выявление  области определения выражения, составленного по задаче;
2. выявление влияния изменений задачи (её структуры, условия, требования) на решение и ответ;
3. выявление влияния изменений решения и ответа задачи на её текст.

    Рассмотрим три группы заданий  для развития: а) общего исследовательского умения устанавливать влияние изменения объекта на изменение его свойств; б) математического умения исследовать решение сюжетной задачи на конкретном примере

  1. Анализ реального смысла данных и их соотношений, выявление  области определения выражения, составленного по задаче.

 Коля нашел под елкой а грибов. Сколько грибов Коля положил в корзинку, если в руках у него осталось 3 гриба?

    - Объясни, почему к данной задаче не подходят значения: а=2, а=100;

    - подбери подходящие значения из нескольких данных;

    - может ли быть, что Коля положил в корзинку меньше грибов, чем у него осталось в руках?

    - может ли быть а<3;

    - подбери несколько подходящих значений а. Какое условие должно для них выполняться?

    - приведи пример значения а, которое не подходит к данной задаче.

  2. Влияние изменений задачи на её решение и ответ.

     Задача: Для изготовления теста взяли 10 стаканов муки, что на d стаканов больше, чем воды. Сколько взяли стаканов воды?

        а) Изменение предметной области задачи, т.е. её сюжета (например, стаканы заменить кг.);

         б) Изменение числовых данных в тексте задачи (её условии);

         в) Изменение отношений в условии задачи:

           - замени в условии задачи: слова на d стаканов больше словами на d стаканов меньше. Как это повлияет на решение задачи?    

         - замени в условии задачи: слова что на d стаканов больше, чем воды словами  а воды на d стаканов меньше. Как это повлияет на решение задачи?    

         г) Изменение требования задачи;

         д) Изменение структуры задачи:

             - сначала формулируется условие, затем требование;

              - сначала формулируется требование, затем условие;

             - сначала формулируется часть условия, затем требование и лишь потом оставшаяся часть условия.      

      3.Влияние  изменений решения или ответа задачи на её текст.

       Задача: Пятачок для подарка друзьям разложил а красных и15 синих воздушных шаров в 7 пакетиков поровну. Сколько шаров в каждом пакете?

       а) Изменение решения задачи:

           - Измени условие задачи, чтобы её решение было бы следующим: (а+15):5. Как это повлияет на ответ задачи?

            - Измени числа в задаче так, чтобы её можно было решить разными способами. Можно ли назвать количество способов выполнения задания, если изменить в условии: 1) одно число; 2) два числа?

        б) Изменение ответа задачи:

             - Какой наименьший ответ может получиться в этой задаче? При каком значении а?

      Рассмотренные задания развивают исследовательское  умение, заключающееся в установлении влияния изменения объекта на изменение его свойств, а также помогают глубже понять заложенные в задачи связи и осознать её решение. Кроме того,  они развивают вариативность мышления учеников, обогащают опыт творческой деятельности, способствуют осмысленному овладению учебным материалом.

        Со второго класса начинаю вводить решение задач с использованием графических моделей - это хороший прием для развития абстрактного мышления. (Например: Для Вани, Толи, Маши есть 3 пирога: с рисом, капустой, яблоками. Маша не любит с яблоками и не ест с капустой. Ваня не любит пирог с капустой. Кто что ест?).

        В.                 р.

                        Т.        к.

                 М.                 яб.  

        Такие задачи учат детей абстрагированию, умению строить дедуктивные умозаключения. Если раньше большинство учащихся не приступали к решению логических задач (в контрольных работах отмечены значком), то в настоящее время эти задачи не вызывают затруднения у большинства учащихся.

         Я расскажу о своем опыте применения граф- моделей при решении арифметических задач в начальной школе.

Смысл граф - модели состоит в том, что любое действие можно выполнить лишь тогда, когда есть два данных числа, которые каким-то образом связаны между собой. И, в результате выполнения какого-либо действия, получается третье число. Таким образом, любую задачу в одно действие можно изобразить в виде следующей граф - модели:

(Закрашенные кружочки - это данные задачи, а незакрашенные - это результат действия)

         Имея граф-модель для задачи в одно действие, учащиеся могут придумать множество задач разных по содержанию, решить которые можно лишь одним из четырех арифметических действий.

        При переходе к задачам из двух и более действий необходимо помнить, что любое действие на граф - модели представлено тремя кружочками (из двух данных - третье).

Задачи:

А) Туристы были в пути 3ч. утром и 4ч. вечером, причем скорость их была постоянной 5 км/ч. Каков путь, пройденный туристами за день?

Б) Совхоз отправил на завод 40 машин с яблоками. В каждой машине было 220 ящиков по 25кг. Сколько тонн яблок отправили на завод?

Первый плюс граф- моделей состоит в том, что преодолевается барьер в каждой задаче видеть совершенно новую, не похожую на ранее решенную. Многие задачи похожи по способу решения.

Прочитав задачу,  при составленной краткой записи можно услышать: а сколько действий в задаче?

         Второй плюс граф- моделей в том, что при составленной граф - модели ученик не задаст этого вопроса, потому что видит, сколько пустых кружков. И самое главное, ребенок видит, какие два числа нужно взять, чтобы выполнить действие.

         Третий плюс в том, что составить модель намного проще и быстрее, чем краткую запись. И детям очень нравиться работать с моделями.

          В результате проведенной работы по решению задач с помощью граф- моделей, у детей значительно улучшилась математическая речь, познавательная активность, а также возрос интерес к математике.

     Процесс обучения школьников решению комбинаторных задач также таит в себе большие развивающие возможности: на их основе совершенствуются приёмы умственной деятельности, формируется важная для человека способность комбинировать, определяющая развитие комбинаторного мышления. Комбинаторное мышление, тесно связанное со становлением умственных операций и представляющее собой активизацию мыслительной деятельности «в направлении поиска тех или иных преобразований» (О.С.Медведева), в свою очередь, взаимосвязано с теоретическим мышлением, считающимся основным «новообразованием» младшего школьного возраста (Л. С. Выготский, В. В. Давыдов).

  Уже в 1 классе ученики встречаются с таким заданием: « Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1,2,3 так, чтобы цифры в записи числа не повторялись?» Ученики, анализируя условие, выделяют определённые части, составляют нужные комбинации из 3 цифр по 2, получая двузначные числа. Задействуется такая мыслительная операция, как анализ. С другой стороны, в процессе синтеза учащиеся определяют, что сначала можно составить комбинацию, начинающуюся с цифры 1, потом с цифры 2 и с цифры 3.Соотнося условие с требованием задачи, ученики не составляют числа 11, 22, 33. На этом примере хорошо видно, что при поиске ответа не обойтись без наблюдения и сравнения.

При решении комбинаторных задач ученикам приходится и классифицировать- соотносить признаки объектов. Именно на основе классификации дети «строят» комбинации:

               12      и     21     и      31

               13             23             32

Признак классификации - одинаковая цифра, обозначающая число десятков. При составлении комбинации из 3 цифр учащиеся проделывают это не наугад, а находят общее правило,  закономерность: на первом месте одна и та же цифра может быть записана только 2 раза, то же самое - и на втором месте. Они делают обобщение.

 Комбинаторным задачам посвящено большое количество работ, в которых авторы предлагают много разнообразных заданий для начальной школы. Однако большинство из них рассчитаны для учащихся 2-4 классов. Поэтому хотелось бы предложить задания для первоклассников.

Подготовительный период (свойства предметов, отношения) 

     1.«Следы от НЛО». Витя и Вика обнаружили в поле странные следы. Они догадались, что ночью здесь приземлились НЛО. Но дети поспорили: с одной планеты прилетели НЛО или с разных? Разрешите         спор Вити и        Вики.

2.«Парусники».  4 парусника готовились к соревнованиям. У каждого спортсмена был свой белый корабль. Судьи решили, что надо раскрасить паруса, чтобы парусники были видны издалека и было ясно, кто из спортсменов идёт впереди, кто запаздывает. Покажите, как по- разному раскрасили паруса, если было всего две краски.

 Состав чисел в пределах 10. Смысл действий сложения и вычитания.

1. «Чашки».  Помогите расставить 5 чашек на 3 полки разными способами так, чтобы на каждой полке стояли чашки.
2. «Варенье». Кролик заготовил на зиму вишнёвое и клубничное варенье в 9 баночках. Вишнёвого варенья больше, чем клубничного. Сколько банок вишнёвого и сколько банок клубничного варенья мог заготовить Кролик?

Понятие «Задача». Формирование умения решать задачи.

  Пятачок надул 3 синих и 2 белых шарика. 2 шарика он подарил ослику Иа. Есть ли (может ли быть) среди них синий шарик?

       Систематическое использование комбинаторных задач в обучении - эффективно для формирования у учащихся базовых математических знаний, умений, навыков.

     Умение по-разному записывать решение задачи очень важно. Это умение проявляется при работе с нестандартными задачами.    Нестандартные задачи требуют повышенного внимания к анализу условия и построения цепочки взаимосвязанных логических рассуждений.

Приведу примеры таких задач, ответ на которые необходимо логически обосновать:

1. В коробке лежат 5 карандашей: 2 синих и 3 красных. Сколько карандашей надо взять из коробки, не заглядывая в неё, чтобы среди них был бы 1 красный карандаш?
2. Батон разрезали на 3 части. Сколько сделали разрезов?
3. 4 мальчика купили 6 тетрадей. Каждому мальчику досталось не меньше 1 тетради. Мог ли купить какой- нибудь мальчик 3 тетради?

   Нестандартные задачи ввожу уже с 1 класса. Использование таких задач расширяет математический кругозор младших школьников, способствует математическому развитию и повышает качество математической подготовленности. Они имеют интересное содержание и своеобразные способы решения, требуют интеллектуальной инициативы. Существуют  различные классификации нестандартных задач. Можно рассмотреть следующие виды нестандартных задач:

-провоцирующие;

- логические;

- стохастические и комбинаторные.

Среди логических задач выделяют:

- задачи на соответствие и исключение неверных вариантов;

- задачи на упорядочивание множеств;

- турнирные задачи;

- числовые ребусы;

- задачи о лгунах;

- игровые логические задачи;

- игры мудрецов.

   Решить нестандартную задачу помогут некоторые приёмы, имеющие место в практике работы учителя начальных классов:

- использование вспомогательной модели (рисунок, условный рисунок, чертёж, схема, таблица и др.);

- метод подбора;

- решение задачи с конца;

- переформулировка задачи;

- решение задачи по частям и др.

        Организуя работу учеников по решению нестандартных задач, учитель должен актуализировать сравнение способов решения, их анализ с точки зрения рациональности, оригинальности, логичности.

   Ориентируя школьников на поиск «красивых», изящных решений математических задач, учитель подводит к открытию новых для них математических фактов, способствует повышению их математической и общей культуры, становлению позитивной личностной сущности.

         Детей не надо связывать стереотипами, они должны научиться в определённой ситуации использовать различные формы записи. При решении задачи не может быть шаблона, всё зависит от структуры задачи, особенностей мышления ученика, уровня его подготовки. Поэтому младшим школьникам должны быть известны разные способы решения задач: арифметический, алгебраический, практический, логический, геометрический.

  В своей работе использую и олимпиадные задачи, так как стремлюсь развивать в своих учениках основы дивергентного мышления, креативность, творческий подход к проблеме, способность принимать решения в нестандартных ситуациях. Каждая из таких задач является математической миниатюрой, побуждающей к самостоятельному микроисследованию, представляющей богатый простор для действий в рамках элементарной математики. Решая задачи, ученики расширяют математические знания, развивают эвристическое мышление, повышают логическую культуру.

  В рамках своей работы я использую следующие приёмы формирования рефлексии у учащихся: использую задания, направленные на выявления оснований собственных действий — это задания «ловушки», задания «как научить другого решать такие задачи», «как научить другого придумывать такие задания», задания «объяснить почему авторы учебника предложили тебе выполнить такое задание», задания «какие ошибки можно допустить при выполнении данных действий», задания на выбор правильного решения из нескольких предложенных.

2.4. Анализ результатов.

        Вся проводимая работа по развитию мышления была направлена на формирование умственных действий: выявлять закономерности, обобщать, делать выводы, мыслить, причем нестандартно.

      После повседневной работы втечение двух четвертей я решила  узнать каков уровень развития мыслительных операций на данный момент. Провела следующее тестирование:

Задание 1

       Определить скорость протекания мыслительных процессов. (быстроту ума). Для этого заметить время выполнения задания.

1.  25…15=10                   2.  80- … =63

     36…4=40                          54+…=66

     28…4=7                            5*…=35

     50…10=60                        28+…=40

     8…4=32                            7*…=42

    Время-               Время-

    Вывод: отличный результат:10 с. на 1 столбик, 40с на выполнение 2 задания.

                 хороший результат 15 с. на 1 столбик, 60с на выполнение 2 задания.

Задание 2.

        Определите на сколько хорошо вы умеете анализировать, сравнивать предметы и понятия.

Сравните 2 предмета:

Отрезок и луч;

цифра и число;

квадрат и ромб.

Сходство                               Различие

Время на каждую группу 4-5 мин. Всего 8-10 мин

         Вывод: отличный результат - больше 20 качеств

                      хороший результат- 10-15 качеств                                                                  

                       удовлетворительный - ниже 10                

                       неудовлетворительный - менее 5

Задание 3.

        Определите уровень развития мыслительных операций обобщения и абстрагирования.

 Выделите главный, общий признак между понятиями:

квадрат- прямоугольник;

миллиметр – сантиметр;

пять- двадцать пять;

ответ – значение выражения;

луч- отрезок.

 Вывод: отличный результат - если справились с заданием за 5 мин без  

                                                    ошибок

               хороший результат - если справились с заданием за 6  мин без        

                                                   ошибок, можно говорить, что у вас хорошая  

                                                    подвижность  нервных процессов и способ-              

                                                    ность  к логическому мышлению.

              удовлетворительный – за 7-8 минут

Задание 4.

         Определите уровень умения обобщать.

         На выполнение каждой группы отводится 3 мин. Ниже написано 10 горизонтальных рядов слов. Для каждого ряда найдите 2 слова, которые по смыслу ближе других к первому слову.

1. Сумма: сложение, пример, задача, слагаемое, решение.
2. Вычитание: уменьшаемое, минус, значение, равно, равенство.
3. Квадрат: углы, чертёж, стороны, диагональ, отрезок.
4. Числа: сложение, многозначные, вычитание, умножение, однозначные.
5. Задача: условие, действие, ответ, пример, предмет.
6. Неделя: день, сутки, понедельник, пятница, ночь.
7. Месяц: год, май, тридцать, полугодие, сентябрь.
8. Умножение: множитель, числа, равно, произведение, знак.
9. Длина: отрезок, луч, сантиметр, сторона, метр.
10. Многоугольник: квадрат, фигура, ломаная, пятиугольник, круг.

       Вывод: высокий уровень обобщения - если выполнили 7 рядов,

                   средний уровень-  4-7 рядов,

                    низкий уровень - менее 4 рядов.

Задание 5.

              Цель: выявление умения классифицировать; умения находить признаки, по которым произведена классификация.

Материал для выполнения задания: на листе бумаги даны изображения: в одной рамке 4 однозначных числа, в другой 5 двузначных. Между двумя рамками – число18.

  Текст задания: «Рассмотрите эти записи. В одну из этих рамок надо  по местить число 18.  От числа 18 к этой рамочке проведите ручкой линию».

 Вывод: высокий уровень- линия проведена правильно: от 18 к двузначным                           числам; признак связан с  характеристикой класса.

              средний уровень-линия проведена неверно.

         низкий уровень  - задание не выполнено.

Заключение.

      Из   курса   дидактики   известно,   что   деятельность   может   быть репродуктивной  и  продуктивной.  Репродуктивная  деятельность  сводится   к воспроизведению воспринимаемой информации.  Лишь  продуктивная  деятельность связана с активной  работой  мышления  и  находит  своё  выражение  в  таких мыслительных операциях, как анализ  и  синтез,  сравнение,  классификация  и обобщение.  Эти  мыслительные  операции   в   психолого-педагогической литературе принято называть логическими приёмами умственных действий.

      Включение этих операций в процесс усвоения математического  содержания обеспечивает  реализацию  продуктивной   деятельности,   которая   оказывает положительное влияние на развитие всех психических функций.

              Таким образом, проблема формирования математического мышления актуальна. Важное значение при этом имеет развитие мыслительных операций, самостоятельности и активности мышления и пр.

      В  результате   анализа   психолого-педагогической   литературы   была проведена диагностика уровня развития логического мышления во 2  классе, которая показала большой потенциал для развития логического мышления  детей.

    Анализ учебников по математике и  результаты  проведённой  диагностики сделали возможным разработку  системы  упражнений  по  развитию  логического мышления вообще и   при  решении текстовых  задач в частности.  В  процессе  использования  этих  упражнений  на   уроках математики  выявилась  некоторая   положительная   динамика   влияния   этих упражнений на уровень развития  мышления младших школьников.

         Предложенная мной система работы по развитию логического мышления учащихся направлена на формирование математического мышления. Дети учатся выявлять математические закономерности и отношения, выполнять посильные обобщения, учатся делать выводы. Использование на уроках опорных схем, таблиц способствует лучшему усвоению материала, побуждает детей активнее мыслить.

         В результате систематической работы по развитию логического мышления учебная деятельность моих учеников активизировалась, качество их знаний заметно повысилось.

        В результате своей педагогической деятельности надеюсь увидеть в своих учениках не только людей думающих, способных самореализоваться, добиваться поставленных перед собой целей, но и способных к общению, к сопереживанию, готовых понять другого человека, то есть людей не только светлого ума, но и большого сердца.

          Но в  плане исследования проблемы формирования мышления  требуют дальнейшего изучения вопроса принципов построения программ начального обучения, содержания, форм, методов и приёмов работы.

Библиография.

1. Вахрушева  Л. Н.  « Проблема  интеллектуальной  готовности  детей  к    познавательной деятельности в начальной школе». // Начальная школа.- 2006.-№4.-с. 63-68
2. Гейдман Б.П., Мишарина И.Э. Подготовка к математической олимпиаде. Начальная школа. 2-4 классы.- М.: Айрис-пресс, 2007.- 128 с.
3. Давыдов В.В.   Психологическое развитие младших школьников: Экспериментальное психологическое исследование.- М., 1990.
4. Зак А.З. как определить уровень развития мышления школьника.- М.: 1982.
5. Занимательные материалы к урокам математики, природоведения в начальной школе (стихи, кроссворды, загадки, игры) / Сост. Н.А.Касаткина.- Волгоград: Учитель, 2003.- 123с.
6. Концепция содержания непрерывного образования (дошкольное и начальное звено) »// Начальная школа.- 2000.-№4.-с.3-20
7. 12.Лавриненко Т.А. Задания развивающего характера по математике. - Саратов ОАО «Издательство» Лицей»,2001.
8. 13.Лавриненко Т.А.  Как научить детей решать задачи: Методические рекомендации для учителей начальных классов.- Саратов: Лицей, 2000,- 64с.
9. Максимов Л.К.  Формирование математического мышления у младших школьников: Учебное пособие по спецкурсу.- М.,1987
10. Математика: коррекционно - развивающие задания с учащимися подготовительной группы и 1-2 классов начальной школы /авт.- сост. А.А.Шабанова.- Волгоград: Учитель, 2007.- 265 с.
11. Немов Р.С. Психология: В 3 кн.- М.: Гуманист: изд. центр ВЛАДОС, 2001.- Кн.1: Общие основы психологии.- 688 с.
12. Общая психология/ Составитель Е.И.Рогов.- М.: Гуманист. Изд. Центр Владос, 2001.
13. Олимпиадные задания по математике. 500 нестандартных задач для проведения конкурсов и олимпиад: развитие творческой сущности учащихся / авт.- сост. Н.В.Заболотнева.- Волгоград: Учитель, 2006.- 99 .
14. Пенькова О.И., Сазанова Л.И. «Выявление способности ребёнка анализировать, сравнивать, обобщать» »// Начальная школа.- 1994.-№9.-с. 30-33.
15. Пиаже Ж. Психология интеллекта. Ч.3. Развитие мышления // Избранные психологические труды.- М.,1996. с. 176-186.
16. Повышение результативности начального образования: проблемы и решения: Учебно-методическое пособие/ Под ред. Н.В.Калининой.- Ульяновск: УИПК ПРО, 2003.- 88 с.
17. Пуанкаре А. Наука и метод // О науке. М.: «Наука», 1990.
18. Солнышко С.В. « Использование комбинаторных задач при обучении первоклассников математике» // Начальная школа.- 1996.-№12.-с. 61-65.
19. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников.- М., «Просвещение», 1988.- 174 с.
20. Тихомирова  Л.Ф. Упражнения на каждый день: Логика для младших школьников.- Ярославль: «Академия развития», «Академия К».- 1998.- 208 с.
21. « Формирование логического мышления на уроках математики»// Педсовет.- 1997.- №6.- с.2-10.
22. Холодова О.А.   Юным умникам и умницам: Задания по развитию познавательных способностей. /Метод. пособие.- Москва РОСТкнига, 2004.- 190с.
23. Чиверская Л.Н.  Формирование мыслительных операций на уроках математики.- Ульяновск: УИПК ПРО.
24. Шадрина И.В. Обучение геометрии в начальных классах.- М.,2002.,с 4

100 К

  ?

16

20