Удивительный треугольник Паскаля
Скачать:
Предварительный просмотр:
На сегодняшний день существует большое множество методов решения задач, каждый из которых имеет свою специфику и направленность на решение того или иного типа заданий, таких как: решение уравнений, неравенств, комбинаторных задач и других. К сожалению, многие из методов не проходятся в школьном курсе, а применяются лишь стандартные способы решения задач. Блез Паскаль был основателем теории вероятностей, и рождение комбинаторики связано его с трудами. Одним из его открытий – «треугольник Паскаля». «Треугольник Паскаля» — бесконечная таблица, образованная биномиальными коэффициентами и имеющая треугольную форму.
Данный метод помогает решать вероятностные и комбинаторные задачи без запоминания сложной формулы числа сочетаний, а его построение не составит труда и не требует знаниях каких-либо формул. Именно благодаря этим качествам данный метод может быть востребован для изучении в рамках школьного курса, так как комбинаторные задачи встречаются на уроках математики, в математических конкурсах и олимпиадах, а также в едином государственном экзамене.
Для того, чтобы построить «треугольник Паскаля», нужно воспользоваться законом Паскаля: при переходе к каждой следующей строке число членов этой строки возрастает на единицу, то в n -й строке Паскаля будет n + 1 число, а для вычисления чисел, стоящих в этих строках нужно воспользоваться свойством: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.
Рассмотрим применение данного метода при решении комбинаторных задач.
Задача 1. В кондитерском магазине продавались 4 сорта пирожных: эклеры, песочные, наполеоны и слоеные. Сколькими способами можно купить 7 пирожных?
Решение: Покупка не зависит от того, в каком порядке укладывают купленные пирожные в коробку. Покупки будут различными, если они отличаются количеством купленных пирожных хотя бы одного сорта. Следовательно, будем применять формулу сочетания с повторениями: Далее составляем треугольник Паскаля и найдем по нему решение для числа сочетания C_10^7 , где 7- диагональ, а 10 – строка. Их пересечение и будет нашим ответом .
Ответ: 120 способов. Задача 2. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов?
Решение: Для решение данной задачи будем учитывать такие условия как все цвета различны, важен порядок и количество. Исходя из этого для решения данной задачи мы будем использовать формулу размещения без повторений: Найдем по треугольнику Паскаля значение сочетания C_5^3 , где 3 – диагональ, 5- строка. Полученный ответ умножим на 3!. Произведение и будет нашим конечным ответом к задаче.
При пересечении мы получили число 10. Далее считаем 10∙3!=10∙1∙2∙3=60 Ответ: 60 способов.