10 класс 2018-2019 учебный год

Теоремы стереометрии(ответы сопровождать рисунками или примерами)

1. Признак параллельности прямых (учебник стр. 13 п. 8).

2. Признак параллельности прямой и плоскости (п.9).

3. Признак параллельности плоскостей (п.10).

4. Свойство параллельных плоскостей (п.12).

5. Свойство перпендикулярных прямой и плоскости (п.17).

6. Свойство прямой, каждая точка которой равноудалена от вершин треугольника.

7. Свойство прямой, каждая точка которой равноудалена от сторон треугольника.

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (п.15).

9. Теорема о трёх перпендикулярах (п.19).

10. Признак перпендикулярности плоскостей (п.20).

11. Определение расстояния от точки до прямой. Методы нахождения расстояния от точки до прямой.

12. Определение расстояния от точки до плоскости. Метод параллельной прямой и плоскости.

13. Определение расстояния между двумя прямыми  в постранстве. Метод параллельных прямой и плоскости. Метод параллельных плоскостей.

14. Определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

15. Определение угла между скрещивающимися прямыми.

16. Угол между прямой и плоскостью

  1   Шоколадка стоит 31 рубль. В воскресенье в супермаркете действует специальное предложение: заплатив за две шоколадки, покупатель получает три (одну в подарок). Сколько шоколадок можно получить на 230 рублей в воскресенье?

  2    На диаграмме показано распределение выплавки цинка в 11 странах мира (в тысячах тонн) за 2009 год. Среди представленных стран первое место по выплавке цинка занимали США, одиннадцатое место —  Иран. Какое место занимала Россия?

  3    Найдите площадь трапеции, изображённой на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см ×  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

  4   В случайном эксперименте бросили четыре монеты. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни на одной из монет.

  5    Найдите корень уравнения   .  

  6   В треугольнике ABC  AD  —  биссектриса, угол C  равен 68° ,  угол CAD  равен 36°. Найдите угол B . Ответ дайте в градусах.

  10   При температуре  0 °C  рельс имеет длину м. При прокладке путей между рельсами оставили зазор в  6 мм. При возрастании температуры будет происходить тепловое расширение рельса, и его длина будет меняться по закону,  где  — коэффициент теплового расширения,  — температура (в градусах Цельсия). При какой минимальной температуре между рельсами исчезнет зазор? (Ответ выразите в градусах Цельсия.)

  11    Восемь одинаковых рубашек дешевле куртки на 16%. На сколько процентов четырнадцать таких же рубашек дороже куртки?

14   В треугольной призме  АВСА1В1С1  стороны основания равны  2 ,  а боковое ребро равно  3 .  На боковом ребре  АА1  взята точка  Р  так, что  А1Р = 1 .  

а)  Докажите, что прямые  СР  и  В1Р перпендикулярны.  

15    Решите неравенство     . 

 16   В трапеции  АВСТ  (ВС  параллельно  АТ) известны длины сторон:  ВС = 2 ,  

        АВ = ,  СТ =  ,  АТ = 3 .

                а)  Докажите, что угол  АТВ – тупой.  

                б)  Найдите площадь трапеции  АВСТ .

 17   Имеются три сплава. Первый сплав содержит  20%  олова,  30%  свинца и  50% цинка,  второй – 50%   олова,  20%  свинца и  30%  цинка, третий –  50%  олова и  50%  свинца. Из них нужно приготовить новый сплав, содержащий 40% цинка. Какое наименьшее и какое наибольшее процентное  содержание свинца может быть в этом новом сплаве?      

19   Одиннадцать натуральных чисел – 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 15 – разбивают на три группы.  Затем составляют сумму  С  всех произведений вида   ,  где  – число из первой группы,  – число из второй группы,  – число из третьей группы.

     а) Может ли сумма  С  быть равной  20400 ?

     б) Может ли сумма  С  быть равной  17577 ?

     в) Найдите минимальное возможное и максимально возможное значение суммы  С .

Демоверсия контрольной работы по алгебре за 1 полугодие

1.Найдите значение выражения:

2. Найдите значение выражения 

3. Найдите значение выражения 

4. Найдите значение выражения .

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения .

7. Найдите значение выражения  при .

8.Найдите значение выражения: 

9.Найдите значение выражения .

10. Найдите корень уравнения: . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

11. Найдите корень уравнения:  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.

12.Найдите корень уравнения .

13. Решите уравнение .

14. Найдите корень уравнения: 

15. Найдите корень уравнения 

16. Найдите корень уравнения .

17. Найдите корень уравнения 

Профильная часть

1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

2. Решите неравенство: 

3. Решите неравенство 

4. Решите систему неравенств 

1. Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города A в город B, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно в A со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B. Найдите скорость велосипедиста на пути из B в A. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

Пусть  км/ч – скорость велосипедиста на пути из B в A, тогда скорость велосипедиста на пути изA в B равна  км/ч. Сделав на обратном пути остановку на 3 часа, велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из A в B, отсюда имеем:

Таким образом, скорость велосипедиста была равна 10 км/ч.

Ответ: 10.

2. Решите неравенство: 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: 

3. Решите неравенство 

Решение.

Относительно  неравенство имеет вид:

Возвращаясь к x, получаем:  или 

Ответ: 

4. Решите систему неравенств 

Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: .

Готовиться к практической части зачёта можно выполняя следующие варианты в режиме онлайн, ответы можно проверить после выполнения(зайдите по ссылке)

http://gorkunova.ucoz.ru/publ/egeh_po_matematike/egeh_2015/test_15b_01/61-1-0-421 

http://gorkunova.ucoz.ru/publ/egeh_po_matematike/egeh_2015/test_15b_02/61-1-0-422 

http://gorkunova.ucoz.ru/publ/egeh_po_matematike/egeh_2015/test_15b_03/61-1-0-423 

Список десятиклассников, не сдавших практическую часть, готовьтесь, удачи!

Вахитов А, Робертус К, Кулакова Н, Малофеева В, Митрахович Ю, Москаленко А, Белопухова А, Тетерина Ж, Вихрова А, Кретов Д, Сенецкая С.

Улахинова А, Гусев И, Карбаева А, Стекольщиков А, Шевихова А, Козлов А,

Вопросы к зачёту по планиметрии.

1. Равносторонний треугольник. Площадь, высота, радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. Прямоугольный треугольник. Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, радиусы вписанной и описанной окружностей. Свойство острых углов. Свойство прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 300. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Связь между тригонометрическими функциями острых углов прямоугольного треугольника.

3. Равнобедренный (произвольный треугольник). Площадь, высота, радиусы вписанной и описанной окружностей. Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.

4. Все формулы площадей треугольников. Метод площадей. Площадь круга и длина окружности.

5. Все формулы площадей четырёхугольников. Метод площадей.

6. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Таблица значений углов 30, 45 и 60 градусов. Основное тригонометрическое тождество. Формулы связи.

Тригонометрические функции смежных углов.

7. Теорема  Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.

8. Признаки подобия треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.

9. Центральные и вписанные углы, следствия. Свойство пересекающихся хорд, свойство секущих. Угол между хордой и касательной.

10. Правильный четырёхугольник. Диагональ, радиусы вписанной и описанной окружности, площадь. Правильный шестиугольник. Диагонали, радиусы вписанной и описанной окружности, площадь. Радиус окружности, вписанной в многоугольник, если известна площадь многоугольника и его полупериметр.

11. Теорема Фалеса. Свойства средних линий треугольника и трапеции. Свойство касательной. Свойство отрезков касательных

12. Координатная плоскость. Абсцисса и ордината точки. Координаты середины отрезка. Формула длины отрезка.

13. Определение Вектора. Координаты вектора. Сумма и разность векторов. Правило параллелограмма и треугольника. Длина вектора (формула).

14.  Свойства четырёхугольника описанного около окружности и вписанного в окружность.

15.  Внешний угол треугольника, определение и свойство. Свойства тригонометрических функций смежных углов.

16. Центр окружности вписанной в многоугольник. Центр окружности описанной около многоугольника. Около какой трапеции можно описать окружность?

17. Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. Угол между векторами.

Вопросы теории по теме «Координаты и векторы»

1. Координатная плоскость. Абсцисса и ордината точки. Координаты середины отрезка. Формула длины отрезка.

2. Определение Вектора. Координаты вектора. Сумма и разность векторов. Правило параллелограмма и треугольника. Длина вектора (формула).

3. Скалярное произведение векторов.
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. Угол между векторами.

Вопросы теории по теме: «Вписанные и описанные окружности»

1. Радиусы вписанной и описанной окружностей для произвольного треугольника.

2. Радиусы вписанной и описанной окружностей для прямоугольного треугольника.

3. Радиусы вписанной и описанной окружностей для равностороннего треугольника.

4. Теорема синусов.

5. Радиусы вписанной и описанной окружностей для правильного шестиугольника.

6. Радиус окружности, вписанной в многоугольник, если известна площадь многоугольника и его полупериметр.

7. Свойства вписанного и описанного около окружности четырёхугольника.

8. Центр окружности вписанной в многоугольник.

9. Центр окружности описанной около многоугольника.

10. Около какой трапеции можно описать окружность.

Четырёхугольники

1. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (определения, главные свойства, свойства углов и сторон).
2. Определения углов, образованных при пересечении двух прямых третьей (секущей). Признаки параллельности прямых.
3. Теорема Фалеса.
4. Средняя линия треугольника, трапеции (определения и свойства).
5. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.

Треугольники. Вопросы теории.

1. Медиана, биссектриса, высота треугольника (определения).
2. Равнобедренный треугольник. Свойства углов. Медиана, биссектриса и высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию.
3. Теорема о сумме углов треугольника.
4. Внешний угол треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника.
5. Равносторонний треугольник. Свойство углов, сторон. Формула высоты равностороннего треугольника.
6. Прямоугольный треугольник. Свойство острых углов. Свойство прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 300. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.
7. Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе.
8. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике.
9. Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
10. Таблица значений углов 30, 45 и 60 градусов.
11. Основное тригонометрическое тождество. Формулы связи.
12. Тригонометрические функции смежных углов.
13. Теорема  Пифагора.
14. Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.
15. Связь между тригонометрическими функциями острых углов прямоугольного треугольника.

Основные теоремы планиметрии

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Вершина угла равнобедренного треугольника, лежащая напротив основания, называется вершиной равнобедренного треугольника. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.

Равносторонний треугольник. Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником.

Пусть a, h, S, R, r – соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

 Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине.

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности).

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов):                                    

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Справедливы следующие утверждения.

– Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

– Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник —параллелограмм.

– Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник —параллелограмм.

– Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством.  Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромб. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Так как ромб, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Кроме того, ромб обладает следующими характеристическими свойствами.

1. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

2. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

Параллелограмм Вариньона. Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

Если исходный параллелограмм — прямоугольник, то параллелограмм Вариньона — ромб. Если исходный параллелограмм — ромб, то параллелограмм Вариньона — прямоугольник. Если исходный параллелограмм — квадрат, то параллелограмм Вариньона — квадрат.

Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной трапецией.

Трапеция обладает следующими свойствами.

– Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

– Отрезок, соединяющие середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований.

– Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна 180°.

– В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Правильный шестиугольник. Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.

– Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

– Большая диагональ правильного шестиугольника является диметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника в  раз больше его стороны.

– Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

– Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Теоремы о площадях многоугольников. Для вычисления площадей многоугольников применяют следующие теоремы.

– Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению.

– Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

– Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

– Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

– Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

– Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.

– Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

– Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.

– Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

– Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

– Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

– Формула ПИКА Площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах решетки, равна

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ОКРУЖНОСТИ

Окружность и ее элементы. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Любые две точки окружности делят ее на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки называются концами этих дуг.

Вписанный угол. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Справедливы следующие утверждения.

– Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

– Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

– Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

– Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

– Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).

Хорда. Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется ее хордой. Справедливы следующие утверждения.

– Равные хорды стягивают равные дуги.

– Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо в сумме дают 180.°

– Хорда, равная диаметру, из всех точек окружности видна под углом 90.°

– Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

– Угол между двумя хордами равен полусумме высекаемых ими дуг:

– Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки пересечения хорд до центра окружности:

Касательная.  Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности. Справедливы следующие утверждения.

– Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

– Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

– Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги.

– Угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Секущая. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. Справедливы следующие утверждения.

– Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:

Вписанная окружность. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В любой треугольник можно вписать окружность.

В правильный многоугольник можно вписать окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата.

Описанная окружность.

 Определение. Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Около многоугольника можно описать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около любого треугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности равен отношению половины стороны к синусу

Около правильного многоугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Обыкновенные дроби

Правильные и неправильные дроби

Рассмотрим дроби.

Обратите внимание, что в двух первых дробях (3/7 и 5/7) числители меньше знаменателей. Такие дроби называют правильными.

У правильной дроби числитель меньше знаменателя. Поэтому правильная дробьвсегда меньше единицы.

Рассмотрим две оставшиеся дроби.

Дробь 7/7 имеет числитель равный знаменателю (такие дроби равны единицы), а дробь 11/7 имеет числитель больший знаменателя. Такие дроби называют неправильными.

У неправильной дроби числитель равен или больше знаменателя. Поэтому неправильная дробь или равна единице или больше единицы.

Любая неправильная дробь всегда больше правильной.

Как выделить целую часть

У неправильной дроби можно выделить целую часть. Рассмотрим, как это можно сделать.

Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть надо:

1. разделить с остатком числитель на знаменатель;
2. полученное неполное частное записываем в целую часть дроби;
3. остаток записываем в числитель дроби;
4. делитель записываем в знаменатель дроби.

Пример. Выделим целую часть из неправильной дроби 11/2.

• Разделим в столбик числитель на знаменатель.
• Теперь запишем ответ.

Полученное число выше, содержащее целую и дробную часть, называют смешанным числом.

Мы получили смешанное число из неправильной дроби, но можно выполнить и обратное действие, то есть представить смешанное число в виде неправильной дроби.

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби надо:

1. умножить его целую часть на знаменатель дробной части;
2. к полученному произведению прибавить числитель дробной части;
3. записать полученную сумму из пункта 2 в числитель дроби, а знаменатель дробной части оставить прежним.

Пример. Представим смешанное число в виде неправильной дроби.

• Умножаем целую часть на знаменатель.
  
  3 · 5 = 15
• Прибавляем числитель.
  
  15 + 2 = 17
• Записываем полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним.

Любое смешанное число можно представить как сумму целой и дробной части.

Любое натуральное число можно записать дробью с любым натуральным знаменателем.

Частное от деления числителя на знаменатель такой дроби будет равно данному натуральному числу.

Примеры.

Сложение дробей с одинаковыми знаменателями

Такой случай наиболее простой. При сложении дробей с равными знаменателями складывают числители, а знаменатель оставляют тот же.

Пример.

C помощью букв это правило сложения можно записать так:

Записывая ответ, проверьте нельзя ли полученную дробь сократить.

Сложение дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями нужно воспользоваться следующими правилами.

1. Привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ). Для этого найти наименьшее общее кратноезнаменателей.

Пример. Сложить дроби.

Как найти общий знаменатель

Находим НОК (15, 18).

НОК (15, 18) = 3 · 2 · 3 · 5 = 90

2. Найти дополнительные множители для каждой дроби. Для этого наименьший общий знаменатель (НОК из пункта 1) делим по очереди на знаменатель каждой дроби. Полученные числа и будут дополнительными множителями для каждой из дробей. Множители записываем над числителем дроби справа сверху. 
   
   90 : 15 = 6 — дополнительный множитель для дроби 3/15.
   
   90 : 18 = 5 — дополнительный множитель для дроби 4/18.
   
   
3. Числитель и знаменатель каждой дроби умножаем на свой дополнительный множитель, пользуясь основным свойством дроби. После умножения в знаменателях обеих дробей должен получиться наименьший общий знаменатель. Затем складываем дроби как дроби с одинаковыми знаменателями.
4. Проверяем полученную дробь.

• Eсли в результате получилась неправильная дробь, результат записываем в виде смешанного числа. Проверим нашу дробь. 38 < 90 У нас дробь правильная.
• Если в результате получилась сократимая дробь, необходимо выполнить сокращение.

5. Ещё раз весь пример целиком.

Сложение смешанных чисел

Сочетательное и переместитительное свойства сложенияпозволяют привести сложение смешанных чисел к сложению их целых частей и к сложению их дробных частей.

Чтобы сложить смешанные числа нужно.

1. Отдельно сложить их целые части.

Пример.

Складываем целые части.

3 + 4 = 7

2. Отдельно сложить дробные части.

Если у дробных частей знаменатели разные, то сначала приводим их к общему знаменателю, а затем складываем.

3. Сложить полученные результаты из пунктов 1 и 2.
4. Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить к полученной в пункте 1 целой части.

Ещё один пример на сложение дробей.

Умножение обыкновенной дроби на дробь

Это наиболее простой случай, в котором нужно пользоваться следующими правилами умножения дробей.

Чтобы умножить дробь на дробь, надо:

• числитель первой дроби умножить на числитель второй дроби и их произведение записать в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и их произведение записать в знаменатель новой дроби;

Пример.

Прежде чем перемножать числители и знаменатели проверьте нельзя ли сократить дроби. Сокращение дробей при расчётах значительно облегчит ваши вычисления.

Пример.

Умножение дроби на натуральное число

Чтобы дробь умножить на натуральное число нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель дроби оставить без изменения.

Если в результате умножения получилась неправильная дробь, не забудьте превратить её в смешанное число, то есть выделить целую часть.

Умножение смешанных чисел

Чтобы перемножить смешанные числа, надо вначале превратить их в неправильные дроби и после этого умножить по правилу умножения обыкновенных дробей.

Другой способ умножения дроби на натуральное число

Иногда при расчётах удобнее воспользоваться другим способом умножения обыкновенной дроби на число.

Чтобы умножить дробь на натуральное число нужно знаменатель дроби разделить на это число, а числитель оставить прежним.

Как видно из примера, этим вариантом правила удобнее пользоваться, если знаменатель дроби делится без остатка на натуральное число.

Деление дроби на дробь

Чтобы разделить одну обыкновенную дробь на другую, отличную от нуля, нужно:

• числитель первой дроби умножить на знаменатель второй дроби и записать произведение в числитель новой дроби;
• знаменатель первой дроби умножить на числитель второй дроби и записать произведение в знаменатель новой дроби.

Другими словами, деление дробей сводится к умножению. Поэтому правила деления дробей можно записать следующим образом.

Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое (первую дробь) умножить на обратную дробь делителю.

Пример.

Как дробь разделить на число

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно использовать следующий способ.

Мы представляем натуральное число в виде неправильной дроби с числителем, равным самому числу, а знаменатель равным единице.

Затем призводим деление по правилу деления дроби на дробь.

Деление смешанных чисел

При делении смешанных чисел надо представить числа в виденеправильных дробей, а потом разделить их друг на друга по правилу деления дроби на дроби.

Пример.

Материалы: http://math-prosto.ru/?page=pages/drob/division_drobs.php

Десятичные дроби

Существует особый вид дробей — десятичные дроби.Выглядят они так: 5,6 ; 3,17 ; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей , у которых знаменатель равен 10, 100,1000,10000 и т.д. Такие дроби договорились записывать без знаменателя. То есть:

Как записывается десятичная дробь?

Сначала пишем целую часть, а потом ставим запятую и записываем числитель дробной части. Поясним на примерах.

Пусть нам дана обыкновенная дробь 57/10. В знаменателе стоит 10. Считаем количество нулей в знаменателе. У нас один ноль. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак (цифру) и ставим запятую.

В полученной десятичной дроби цифра 5 — целая часть, цифра 7 (стоящая справа от запятой) — дробная часть.

Пусть нам дана обыкновенная дробь 57/100. Снова считаем количество нулей в знаменателе. Теперь их два.

Отсчитываем справа налево два знака (цифры) в числителе и ставим запятую . Так как перед цифрой 5 знаков нет, то перед запятой добавляем ноль.

Если количество нулей превышает количество знаков (цифр) в числителе, то на недостающие места ставим нули.

Пример записи десятичной дроби

Пусть нам дана дробь 39/10 000. Запишем её в виде десятичной дроби. В знаменателе 4 нуля. Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры).

Но у нас в числителе всего два знака (цифры). Поэтому на двух недостающих местах мы пишем два нуля.

Сложение десятичных дробей выполняется по правиламсложения в столбик.

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. При этом запятые должны стоять чётко друг под другом.

Неправильная запись

Правильная запись

Складывают десятичные дроби в столбик как натуральные числа, не обращая внимания на запятые.

В ответе запятую ставим под запятыми в исходных дробях.

Если исходные десятичные дроби имеют разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Разберёмся на примере. Найдём сумму десятичных дробей.

0,678 + 13,7 = 

Уравняем количество знаков после запятой в десятичных дробях. Допишем два нуля справа к десятичной дроби 13,7.

0,678 + 13,700 = 

Запишем ответ.

0,678 + 13,7 = 14,378 

Если сложение десятичных дробей вами усвоено уже хорошо, то недостающие нули можно приписывать мысленно.

Итак, ещё раз коротко основные правила сложения:

• Уравниваем количество знаков после запятой.
• Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.
• Выполняем сложение десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам сложения в столбик натуральных чисел.
• Ставим в ответ запятую под запятыми.

Также как и сложение, вычитание десятичных дробей производим по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Основные правила вычитания десятичных дробей.

• Уравниваем количество знаков после запятой.
• Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.
• Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
• Ставим в ответе запятую под запятыми.

Как вычитать десятичные дроби другим способом

Если вы чувствуете себя уверенно в десятичных дробях и хорошо понимаете, что называется десятыми, сотыми и т.д., предлагаем вам попробовать другой способ вычитания (сложения) десятичных дробей без их записи в столбик.

Другой способ вычитания десятичных дробей, как и сложение, основывается на трёх основных правилах.

• Вычитают десятичные дроби справа налево. То есть, начиная с самой правой цифры после запятой.
• Вычитать нужно по цифрам разрядов. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и т.д.
• При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Как обычно, рассмотрим пример:

• Вычитаем справа налево с самой правой цифры. У нас самая правая цифра в обеих дробях — сотые. 1 — в первом числе, 1 — во втором. Вот их и вычитаем. 1 − 1 = 0. Получилось 0, значит, на месте сотых нового числа пишем ноль.

• Десятые вычитаем из десятых. 2 — в первом числе, 3 — во втором числе. Так как из 2 (меньшего) мы не можем вычесть 3 (большее), занимаем десяток у соседа слева для 2. У нас это 5. Теперь мы не из 2 вычитаем 3, а из 12 вычитаем 3. 
  12 − 3 = 9.
  На месте десятых нового числа пишем 9. Не забываем, что после занятия десятка из 5, мы должны вычесть из 5 единицу. Чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок.

• И наконец, вычитаем целые части. 14 — в первом числе (не забудьте, что мы из 5 вычли 1), 8 — во втором числе. 14 − 8 = 6

Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и т.д. Если в одной из десятичных дробей, отсутствует цифра нужного разряда, вместо неё пишем ноль.

Во втором числе самая правая цифра это 2 (сотые), а в первом числе сотых нет в явном виде. Поэтому, к первому числу справа от 9 добавляем ноль и вычитаем согласно основным правилам.

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

• Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
• Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.
• В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Пример:

• Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

• Получили 311. Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых: 
  
  2 + 2 = 4
• Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

Примеры:

• 70,1 · 10 = 701
• 0,023 · 100 = 2,3
• 5,6 · 1 000 = 5 600

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!

Примеры:

• 12 · 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

При делении десятичных дробей вам могут встретиться несколько случаев.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Для деления десятичной дроби на натуральное число пользуемся следующими правилами.

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правиламделения в столбик, не обращая внимание на запятую.
2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример:

0,806 : 31 = 

Обратите внимание, что целая часть десятичной дроби (у нас это 0) меньше, чем делитель (31). Поэтому в частном сразу ставим 0 в целой части.

Не забываем записывать ответ в пример:

0,806 : 31 = 0,026

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Примеры:

• 310,1 : 10 = 31,01
• 27,56 : 100 = 0,2756
• 0,75 : 10 = 0,075

Деление натурального числа на десятичную дробь

1. Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
2. Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
3. Делим числа как натуральные.

Пример:

5 : 2,5 =
Считаем количество знако после запятой в десятичной дроби. У нас один знак. Значит, чтобы превратить 2,5 в целое число, надо умножить его на 10. Не забываем и делимое умножить на 10.

5 : 2,5 = (5 · 10) : (2,5 · 10) = 50 : 25 = 2

Деление десятичных дробей друг на друга

Делить десятичные дроби друг на друга можно разными способами. Мы опишем один из возможных. По традиции, небольшой план действий:

1. Определяем дробь с наибольшим количеством знаков (цифр) справа от запятой.
2. Умножаем обе десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д., чтобы превратить десятичные дроби в целые числа.
3. Делим обыкновенные числа по правилам деления в столбик и записываем ответ.

Пример:

• Наибольшее количество знаков (цифр) после запятой у первой десятичной дроби, поэтому ориентируемся на неё. Чтобы превратить 7,44 в целое число нужно умножить его на 100 (cм. умножение десятичных дробей).

На 10, 100, 1000 и т.д. умножаются обе десятичные дроби.
И умножаются они на одно и то же число. То есть, если вы умножили первую дробь на 10, то и вторую вы должны умножить на 10.

• Умножаем каждую из десятичных дробей на 100.

• Делим обыкновенные числа в столбик и записываем ответ. Помним, что изначально мы делили десятичные дроби.

Разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — то же самое, что умножить её на 10, 100, 1000 и т.д. соответсвенно.

Примеры:

• 7,1 : 0,1 = 7,1 · 10 = 71
• 25,37 : 0,001 = 25,37 · 1 000 = 25 370
• 0,08 : 0,1 = 0,08 · 10 = 0,8

Удобно сравнивать десятичные дроби с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Чтобы сравнить десятичные дроби нужно:

• Убедиться, что у обеих десятичных дробей одинаковое количество знаков (цифр) справа от запятой. Если нет, то дописываем (убираем) нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.
• Сравниваем десятичные дроби слева направо. Целую часть с целой, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.
• Когда одна из частей десятичной дроби (целая часть, десятые, сотые и т.д.) окажется больше чем в другой дроби, эта дробь и больше.

Как сравнивать десятичные дроби

Пример. Сравним десятичные дроби:

• Сперва дописываем в первой десятичной дроби нужное количество нулей, чтобы уравнять количество знаков справа от запятой.
  39,700 и 39,719
• Начинаем сравнивать десятичные дроби слева направо.

Целую часть с целой частью: 39 = 39. Целые части равны. Переходим к десятым.

Десятые с десятыми: 7 = 7. Десятые также равны. Переходим к сотым.

Сотые с сотыми: 0 < 1. Так как сотые второй десятичной дроби оказались больше, значит и сама дробь больше.

39,700 < 39,719 

39,7 < 39,719 

Другой способ сравнения десятичных дробей

Так же как и в предыдущем методе сравнения необходимо вначале уравнять количество знаков справа от запятой в обеих десятичных дробях.

Затем, отбросив запятую в обеих дробях, сравнить полученные результаты.

Пример:

3,656 и 3,48 

Уравняем количество знаков справа у десятичных дробей.

3,656 и 3,480 

Теперь отбросим запятые и сравним полученные числа.

3 656 > 3 480 

3,656 > 3,480 

3,656 > 3,48 

Как перевести дробь в десятичную

Превести обыкновенную дробь в десятичную можно несколькими способами.

Первый способ перевода

Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно и числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, так чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д.

Прежде чем приниматься за работу, не забудьте проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную (см. предыдущую страницу).

Примеры:

Убеждаемся, что дробь можно привести в конечную десятичную.

Умножаем числитель и знаменатель на 5. В знаменателе получим 100.

Еще пример:

Второй способ перевода

Второй способ более сложный, но применяется чаще первого. Для того, чтобы его использовать нужно вспомнить деление уголком.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.

Пример:

Убеждаемся, что дробь можно перевести в конечную десятичную.

Делим уголком числитель на знаменатель.

Ниже приведен список дробей со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях. Вы облегчите себе работу, если их просто выучите.