10А, 10Б

1. В единичном кубе АВСDA1В1С1D1 найдите угол между плоскостями АD1 Е и D1FC, где точки Е и F-середины ребер А1В1 и В1С1.

3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 рёбра АВ и АА1 равны 1, а ребро АD=2. Точка Е – середина ребра В1С1. Найдите угол между прямой ВЕ и плоскостью АВ1С.

4. Сторона основания правильной четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 равна 2, высота — 4. Точка E — середина отрезка CD, точка F — середина отрезка AD. Найдите угол между прямыми CF и  B1E.

№ 469(Б), 470(В)

№ 9 с помощью уравнения плоскости.

Найдите координаты вершин куба, если а=3, в=4, с=5. Найдите координаты середины диагонали А1С.

Найдите Координаты точек М и N, вычислите длину отрезка MN.

Вопросы теории для зачёта по тригонометрии.

1. Определение синуса, косинуса и тангенса угла.

2. Перевод радианной меры в градусную и наоборот.

3. Формулы связи.

4. Формулы отрицательных углов.

5. Таблица значений тригонометрических функций.

6. Нахождение значений тригонометрическийх функций  с помощью единичной окружности.

7. Знаки синуса, косинуса и тангенса.

8. Формулы сложения.

9. Формулы двойного угла.

10. Формулы понижения степени.

11. Формулы приведения. Приводить примеры, не менее 12.

12. Сумма и разность синусов, сумма и разность косинусов.

Практическая часть.

Готовить, решая прототипы задания В10 ЕГЭ 2015, начиная по ссылке:

http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=16&posMask=512&showProto=true 

Теоремы стереометрии(ответы сопровождать рисунками или примерами)

1. Признак параллельности прямых (учебник стр. 13 п. 8).

2. Признак параллельности прямой и плоскости (п.9).

3. Признак параллельности плоскостей (п.10).

4. Свойство параллельных плоскостей (п.12).

5. Свойство перпендикулярных прямой и плоскости (п.17).

6. Свойство прямой, каждая точка которой равноудалена от вершин треугольника.

7. Свойство прямой, каждая точка которой равноудалена от сторон треугольника.

8. Признак перпендикулярности прямой и плоскости (п.15).

9. Теорема о трёх перпендикулярах (п.19).

10. Признак перпендикулярности плоскостей (п.20).

11. Определение расстояния от точки до прямой. Методы нахождения расстояния от точки до прямой.

12. Определение расстояния от точки до плоскости. Метод параллельной прямой и плоскости.

13. Определение расстояния между двумя прямыми  в постранстве. Метод параллельных прямой и плоскости. Метод параллельных плоскостей.

14. Определение угла между двумя пересекающимися прямыми.

15. Определение угла между скрещивающимися прямыми.

16. Угол между прямой и плоскостью.

Домашние задачи и ссылки на видеоуроки к ним.

1) Длины ребер АВ, АА1, AD прямоугольного параллелепипеда А...D1 соответственно равны 12, 16 и 15. Найдите расстояние от точки А1 до прямой ВD1

http://gorkunova.ucoz.ru/load/matematika/geometrija_10_11/rasstojanie_ot_tochki_do_prjamoj/14-1-0-318 

 2) В правильной четырёхугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны основания которой равны 3, а боковые рёбра равны 4, найдите угол между прямыми АС и ВС1.

http://gorkunova.ucoz.ru/EGE-2015/Profi/16zad/zadacha_16-4-3.swf 

3) В единичном кубе найдите угол между прямыми  DA1  и BD1.

http://www.youtube.com/watch?v=J2vh5DyWmrQ 

4) В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые рёбра равны 2, найдите синус угла между прямой АВ и плоскостью SBC.

http://www.youtube.com/watch?v=LTR13uw2lo4 

5) В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой равны 1, найдите угол между прямой ВС1 и плоскостью ВСЕ1.

http://www.youtube.com/watch?v=kxxd6cO-KME 

6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого АА1=1,  АD=1, АВ=2.  Найдите угол между плоскостью АВС1 и прямой АВ1.

http://www.youtube.com/watch?v=CLfsfxcQqEs 

7)  В кубе  ABCDA1B1C1D1 точа Е – середина ребра А1В1. Найдите синус угла между прямой АЕ и плоскостью ВDD1.

http://www.youtube.com/watch?v=CM-mziKPR7M 

8) В правильной треугольной призме АВСA1B1C1, все рёбра равны 1, найдите расстояние от точки В до плоскости  AB1C1.

http://www.youtube.com/watch?v=3vX649Qcvhk 

9) Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, боковое ребро пирамиды равно √5, сторона основания равна 2, найти расстояние от точкт В до плоскости ADM, где М – середина ребра  SC.

http://www.youtube.com/watch?v=9WFyNJT208k 

1. В правильной четырехугольной призме построить угол между диагональю основания и боковой гранью.

2. В правильной четырехугольной пирамиде построить угол наклона бокового ребра к плоскости диагонального сечения.

3. В правильной шестиугольной призме A...F1, все ребра которой равны, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Для тех, кто не был на уроке геометрии 23 января – все задачи. Для тех, кто был на уроке – не делать первые три.

Прототипы задачи №5 дома

2682

14196

38160

3166

3184

3202

3277

315540

315599

104702

105219

105700

105753

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. 

7. .

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

17. .

18. .

19. .

20. .

21.  .

22. .

23. .

24. .

25. .

26. 

27. 

28. .

29. .

30.  .

31. .

32. , если .

33.Найдите , если .

34.Найдите , если .

6. Через точку О пересечения диагоналей квадрата со стороной 4 проведена прямая ОК, перпендикулярную к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки к до вершин квадрата, если ОК = 3.

7. В треугольнике ABC C = 90°, AC = 6 см, ВС = 8 см, CM - медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем СК =12 см. Найдите KM.

8. Прямая CD перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС. Через центр О этого треугольника проведена прямая ОК, параллельная прямой CD. Известно, что АВ = 16см, ОК = 12см, CD = 16см. Найдите расстояние от точек D и к до вершин А и В треугольника.

АВСД – проекция ромба МКТР. Постройте проекцию перпендикуляра, опущенного из вершины К на ТР, если угол МКТ равен 120 градусов.

1 вариант

2 вариант

Куб нарисовать

Повторение. Действия с дробями.

(повторить правила действий с обыкновенными и десятичными дробями)

1.

2.

3. 

4.

5.

Вопросы теории.

1. Формулы сокращённого умножения.

2. Правила сложения, умножения, деления алгебраических дробей.

1..

2..

3..

4..

5.Найдите значение выражения  при .

5. Найдите значение выражения при .

Вопросы к зачёту по планиметрии.

1. Равносторонний треугольник. Площадь, высота, радиусы вписанной и описанной окружностей.

2. Прямоугольный треугольник. Высота, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, радиусы вписанной и описанной окружностей. Свойство острых углов. Свойство прямоугольного треугольника, один из углов которого равен 300. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Связь между тригонометрическими функциями острых углов прямоугольного треугольника.

3. Равнобедренный (произвольный треугольник). Площадь, высота, радиусы вписанной и описанной окружностей. Свойства равнобедренного прямоугольного треугольника.

4. Все формулы площадей треугольников. Метод площадей. Площадь круга и длина окружности.

5. Все формулы площадей четырёхугольников. Метод площадей.

6. Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла прямоугольного треугольника. Таблица значений углов 30, 45 и 60 градусов. Основное тригонометрическое тождество. Формулы связи.

Тригонометрические функции смежных углов.

7. Теорема  Пифагора. Теоремы синусов и косинусов.

8. Признаки подобия треугольников. Свойство биссектрисы треугольника.

9. Центральные и вписанные углы, следствия. Свойство пересекающихся хорд, свойство секущих. Угол между хордой и касательной.

10. Правильный четырёхугольник. Диагональ, радиусы вписанной и описанной окружности, площадь. Правильный шестиугольник. Диагонали, радиусы вписанной и описанной окружности, площадь. Радиус окружности, вписанной в многоугольник, если известна площадь многоугольника и его полупериметр.

11. Теорема Фалеса. Свойства средних линий треугольника и трапеции. Свойство касательной. Свойство отрезков касательных

12. Координатная плоскость. Абсцисса и ордината точки. Координаты середины отрезка. Формула длины отрезка.

13. Определение Вектора. Координаты вектора. Сумма и разность векторов. Правило параллелограмма и треугольника. Длина вектора (формула).

14.  Свойства четырёхугольника описанного около окружности и вписанного в окружность.

15.  Внешний угол треугольника, определение и свойство. Свойства тригонометрических функций смежных углов.

16. Центр окружности вписанной в многоугольник. Центр окружности описанной около многоугольника. Около какой трапеции можно описать окружность?

17. Скалярное произведение векторов. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух ненулевых векторов. Угол между векторами.

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ

ЗАДАНИЯ 3 И 6: ПЛАНИМЕТРИЯ

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ТРЕУГОЛЬНИКИ

Треугольник — фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны. Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника. Вершина угла равнобедренного треугольника, лежащая напротив основания, называется вершиной равнобедренного треугольника. Высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника, проведенные к его основанию, совпадают. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Высоты (медианы, биссектрисы), проведенные к боковым сторонам равнобедренного треугольника равны.

Равносторонний треугольник. Треугольник, все три стороны которого равны, называется правильным (равносторонним) треугольником.

Пусть a, h, S, R, r – соответственно длина стороны, высота, площадь, радиус описанной и радиус вписанной окружности правильного треугольника. Тогда имеют место следующие соотношения:

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника называется средней линией треугольника.

 Средняя линия треугольника параллельна одной из сторон треугольника и равна ее половине.

Три средние линии треугольника делят его на 4 равных треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, и точка пересечения делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины.

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (центре вписанной окружности).

Биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника, на прямую, содержащую противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (центре описанной окружности).

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, уменьшенной на удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними (теорема косинусов):                                    

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ

Параллелограмм. Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Справедливы следующие утверждения.

– Две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

– Противоположные стороны четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник —параллелограмм.

– Противоположные углы четырехугольника попарно равны тогда и только тогда, когда этот четырехугольник —параллелограмм.

– Диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам тогда и только тогда, когда этот четырехугольник — параллелограмм.

Прямоугольник. Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Так как прямоугольник, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Кроме того, прямоугольник обладает следующим характеристическим свойством.  Диагонали параллелограмма равны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — прямоугольник.

Ромб. Ромбом называется параллелограмм, все стороны которого равны. Так как ромб, по определению, является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.

Кроме того, ромб обладает следующими характеристическими свойствами.

1. Диагонали параллелограмма делят его углы пополам тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

2. Диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда этот параллелограмм — ромб.

Параллелограмм Вариньона. Середины сторон произвольного (в том числе невыпуклого или даже пространственного) четырехугольника являются вершинами параллелограмма — параллелограмма Вариньона.

Стороны этого параллелограмма параллельны соответствующим диагоналям четырехугольника.

Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме длин диагоналей исходного четырехугольника, а площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника.

Если исходный параллелограмм — прямоугольник, то параллелограмм Вариньона — ромб. Если исходный параллелограмм — ромб, то параллелограмм Вариньона — прямоугольник. Если исходный параллелограмм — квадрат, то параллелограмм Вариньона — квадрат.

Трапеция. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции называется средней линией трапеции. Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной трапецией. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной трапецией.

Трапеция обладает следующими свойствами.

– Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равна их полусумме.

– Отрезок, соединяющие середины диагоналей трапеции, равен полуразности большего и меньшего оснований.

– Диагонали трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Углы при каждом основании трапеции равны тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

– Сумма противолежащих углов в равнобедренной трапеции равна 180°.

– В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание, равно средней линии.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ПРАВИЛЬНЫЙ ШЕСТИУГОЛЬНИК

Правильный шестиугольник. Правильным шестиугольником называется шестиугольник, у которого все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник обладает следующими свойствами.

– Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

– Большая диагональ правильного шестиугольника является диметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника в  раз больше его стороны.

– Угол между сторонами правильного шестиугольника равен 120°.

– Меньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне.

– Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ПЛОЩАДИ МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Теоремы о площадях многоугольников. Для вычисления площадей многоугольников применяют следующие теоремы.

– Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне или к ее продолжению.

– Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

– Площадь квадрата равна квадрату его стороны.

– Площадь прямоугольника равна произведению его сторон.

– Площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне.

– Площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.

– Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.

– Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами.

– Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.

– Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.

– Площади подобных многоугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.

– Формула ПИКА Площадь многоугольника, вершины которого лежат в узлах решетки, равна

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ОКРУЖНОСТИ

Окружность и ее элементы. Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки.

Любые две точки окружности делят ее на две части, каждая из которых называется дугой окружности, а данные точки называются концами этих дуг.

Вписанный угол. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом. Справедливы следующие утверждения.

– Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

– Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

– Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

– Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, — прямой.

– Отношение хорды к синусу вписанного угла, который на нее опирается, равно двум радиусам (теорема синусов).

Хорда. Отрезок, концы которого лежат на окружности, называется ее хордой. Справедливы следующие утверждения.

– Равные хорды стягивают равные дуги.

– Углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо в сумме дают 180.°

– Хорда, равная диаметру, из всех точек окружности видна под углом 90.°

– Радиус окружности, перпендикулярный хорде, делит ее пополам.

– Угол между двумя хордами равен полусумме высекаемых ими дуг:

– Произведение отрезков, на которые делится хорда данной точкой, есть для данной окружности величина постоянная и равная разности квадратов радиуса окружности и расстояния от точки пересечения хорд до центра окружности:

Касательная.  Прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, называется касательной к окружности. Справедливы следующие утверждения.

– Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

– Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

– Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине заключенной между ними дуги.

– Угол между двумя касательными к окружности, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг.

Секущая. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей. Справедливы следующие утверждения.

– Угол между касательной и секущей, проведенными из одной точки, равен полуразности большей и меньшей высекаемых ими дуг:

Вписанная окружность. Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, есть точка, равноудаленная от всех сторон этого многоугольника, — точка пересечения биссектрис углов этого многоугольника.

В многоугольник можно вписать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда биссектрисы его углов пересекаются в одной точке.

В любой треугольник можно вписать окружность.

В правильный многоугольник можно вписать окружность.

В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Если окружность вписана в квадрат, то ее радиус равен половине стороны квадрата.

Описанная окружность.

 Определение. Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.

Центр окружности, описанной вокруг многоугольника, есть точка, равноудаленная от всех вершин этого многоугольника, — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника.

Около многоугольника можно описать окружность и притом только одну, тогда и только тогда, когда серединные перпендикуляры к сторонам этого многоугольника пересекаются в одной точке.

Около любого треугольника можно описать окружность. Радиус описанной окружности равен отношению половины стороны к синусу

Около правильного многоугольника можно описать окружность.

Около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны

Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

ЭТО НАДО ЗНАТЬ: ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Основные теоремы планиметрии