Найдите значение  по графику функции , изображенному на рисунке.

 Найдите значение  по графику функции , изображенному на рисунке.

На рисунке изображён график квадратичной функции y=f(x).

Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера.

1) Наибольшее значение функции равно 9

2) Функция убывает на промежутке ( −∞; 2 ]

3) f(x)<0 при x<2

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Варианты ответа

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Варианты ответа

График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?

Задание 5 № 339113. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2​ + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

Графики

Коэффициенты

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: 

Задание 5 № 339076. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2​ + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1. Найдите длину вектора (6; 8).

2. Найдите квадрат длины вектора .

3. Вектор  с началом в точке A(2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки B.

4. Вектор  с концом в точке (5; 3) имеет координаты (3; 1). Найдите ординату точки .

1.Сколько всего осей симметрии имеет фигура, изображённая на рисунке?

2. Постройте отрезок DE по координатам его концов D(1;5), Е(4;-2). Постройте отрезок, симметричный отрезку DЕ относительно начала координат, назовите координаты концов  построенного отрезка.

3. Постройте отрезок, симметричный отрезку MN относительно оси абсцисс, и запишите координаты его концов, если:

а)    М(0; 5), N( 1; 3);     б)    М{-2; 5), N(-3; -3);

4.    Постройте треугольник, симметричный треугольнику ABC относительно оси ординат, и запишите координаты его вершин, если:

в)    А(-2,5; -1,5), В( 1; 2), С(4; 1);

5.    Постройте четырехугольник, симметричный четырехугольнику ABCD относительно начала координат, и запишите координаты его вершин, если:

а)    А(2; 4), В(2; 7), С(5; 7), D(5; 1);

3. Задание 1 № 337560. Найдите значение выражения 

Ответ: 0,84

4. Задание 1 № 333111. Найдите значение выражения .

Ответ: 2,18

6. Задание 1 № 287948. Найдите значение выражения . Ответ округлите до десятых.

Ответ: 0,3

13. Задание 2 № 159393. Найдите значение выражения .

16. Задание 2 № 176205. Решите уравнение .

19. Задание 4 № 338754. Решите уравнение 

Ответ: 5,5

20. Задание 4 № 338668. Решите уравнение  

Ответ: 6

24. Задание 7 № 341519. Найдите значение выражения  при a = −83, b = 5,4.

Ответ: -16,6

28. Задание 8 № 314573. Решите неравенство  и определите, на каком рисунке изображено множество его решений.

В ответе укажите номер правильного варианта.

Ответ: 1

. Задание 4 № 311360. Решите систему уравнений   

В ответе запишите сумму решений системы.

Ответ: 5

35. Задание 21 № 311593. Сократите дробь:   

1) В треугольнике  угол  равен 90°,   Найдите 

2) Катеты прямоугольного треугольника равны  и 1. Найдите синус наименьшего угла этого треугольника.

3) В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 20,  = 0,5. Найдите AC.

4) В треугольнике    угол    равен 90°,  . Найдите  .

Подготовка к контрольной работе.

№1  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  BC  и боковой стороной  CD  углы, равные 30° и 105° соответственно. 

№2  Найдите угол  ABC  равнобедренной трапеции  ABCD, если диагональ  AC  образует с основанием  AD  и боковой стороной  CD  углы, равные 20° и 100° соответственно. 

№3 Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.

№4  Найдите меньший угол равнобедренной трапеции, если два ее угла относятся как 7:29. Ответ дайте в градусах.

Наклонная крыша установлена на трёх вертикальных опорах, расположенных на одной прямой. Средняя опора стоит посередине между малой и большой опорами (см. рис.). Высота малой опоры 1,8 м, высота большой опоры 2,8 м. Найдите высоту средней опоры.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины C, делит основание AD на отрезки длиной 1 и 5. Найдите длину основания BC.

Подготовка к проверочной по теме: «Алгебраические выражения»

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39°. Найдите величину углаOMK. Ответ дайте в градусах.

Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 8.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

На плоскости даны четыре прямые. Известно, что  ,  ,  . Найдите  . Ответ дайте в градусах.

Повторите тему «Совместные действия с алгебраическими дробями»

1. Найдите значение выражения  при , .
2. Найдите значение выражения  при , .
3. Упростите выражение  
4.  Найдите значение выражения  при .
5. Найдите значение выражения  при .
6. Найдите значение выражения  при , .
7. Упростите выражение   
8.  Найдите значение выражения  при , .

1. Найдите значение выражения  при .
2. Найдите значение выражения  при .
3. Найдите значение выражения  при , .
4. Найдите значение выражения  при , .

Повторите правила сложения и вычитания алгебраических дробей.

1. Найдите значение выражения  при , .
2. Найдите значение выражения  при , .
3. Найдите значение выражения  при .
4. Найдите значение выражения  при .
5. Найдите значение выражения  при , .

На урок принесите циркуль.

Повторите тему «Геометрические построения» и ответьте на вопросы.

1. Какая фигура называется окружностью?

2. Что такое центр окружности, радиус, хорда, диаметр?

3. Какая окружность нгазывается описаной около треугольника?

4. Сформулируйте теорему о центре окружности, описаной около треугольника.

5. Что называют серединным перпендикуляром?

6. Что называют касательной к окружности?

7. Свойство касательной.

8. Внутреннее и внешнее касание окружностей.

9. Окружность, вписанная в треугольник.

10. Окружность, вневписанная в треугольник.

11. Свойство отрезков касательных.

12. Свойство прямоугольного треугольника, около которого описана окружность.

Найдите ВМ

Найдите МС

Найдите АМ

Формулы сокращённого умножения и действия с многочленами

1. В какое из следующих выражений можно преобразовать произведение ?

1)   2)   3)    4)

2. Упростите выражение .

1)   2)     3)      4)

3. В выражении вынесли за скобки множитель . В каком случае преобразование выполнено верно?

1)   2)  3)   4)

4. Упростите выражение .
5. Преобразуйте в многочлен выражение .
6. Упростите выражение .

Повторите тему «Алгебраические дроби»

1) Правило сокращения алгебраических дробей.

2) Правило умножения алгебраических дробей.

3) Правило деления алгебраических дробей.

4) Основные тождества.

1. Сократите дробь

1)     2)     3)     4) 

2. Сократите дробь .

1)     2)     3)     4) 

3. 1)Укажите выражение, тождественно равное дроби .

1)     2)      3)      4) 

4. Укажите выражение, тождественно равное дроби .

1)      2)      3)      4) 

5. Сократите дробь .
6. Выполните деление .
7. Выполните умножение .

Повторите тему «Прямоугольный треугольник» и ответьте на вопросы: (на каждый вопрос сделайте рисунок в тетради)

1. Какой треугольник называют прямоугольным треугольником?

2. Какой отрезок называется называют гипотенузой?

3. Какие стороны называют катетами?

4. Определение равнобедренного прямоугольного треугольника.

5. Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°.

6. Свойство медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла.

7. Свойство точки, являющейся серединой гипотенузы прямоугольного треугольника.

8. Признаки равенства треугольников

9. Признаки равенства треугольников прямоугольных треугольников.

Задача№1  

 Задача №2  

Задача №3  

Задача №4 

Задача №5 

Задача №6 

Формулы сокращённого умножения и действия с многочленами

Повторите тему «Десятичные дроби» и ответьте на вопросы: (на каждый вопрос запишите в тетради пример)

1.  Как записывается десятичная дробь?

2. Как записывается десятичная дробь, если количество нулей превышает количество знаков (цифр) в числителе?

3. Сложение десятичных дробей.

4. Основные правила сложения десятичных дробей.

5. Основные правила вычитания десятичных дробей?

6. Как умножать десятичные дроби?

7.Правило  умножения любой десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д.?

8.Как  умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и т.д.?

9. Деление десятичной дроби на натуральное число.

10. Что записать в частном, если целая часть делимого меньше делителя?

11. Как разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д.

12. Деление натурального числа на десятичную дробь.

13. Деление десятичных дробей друг на друга разными способами.

14. Как разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д.

15. Как сравнивать десятичные дроби?

16. Как перевести дробь в десятичную двумя способами?

Решите по образцу:

Образец:   Найдите значение выражения  

Решение.

Сократим:

Ответ: 1,6.

 №1 Найдите значение выражения  

№2 Найдите значение выражения  

Образец:  Найдите значение выражения .

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на 100:

Ответ: 12,5.

№3 Найдите значение выражения  

№4 Найдите значение выражения 

Образец:  Найдите значение выражения  

Решение.

Умножим числитель и знаменатель на 10:

Ответ: 3,2.

№5 Найдите значение выражения . 

№6 Найдите значение выражения   

Образец: Найдите значение выражения: 

Решение.

Для упрощения вычислений, вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: 4,4.

№7 Найдите значение выражения 

№8 Найдите значение выражения: 

Образец: Найдите значение выражения: 

Решение.

Последовательно произведём все действия:

Ответ: 270.

№9 Найдите значение выражения . 

№10   Найдите значение выражения:  

Образец:  Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

Решение.

Упростим заданные числовые выражения:

Сравним полученные дроби, приведя их к наименьшему общему знаменателю:

Наименьшим является третье число.

Правильный ответ указан под номером 3.

№11 Укажите выражение, значение которого является наименьшим.

Варианты ответа

Образец:  Укажите наибольшее из следующих чисел:

Решение.

Числа 0,7;  и  меньше, чем 1. Число  больше 1, поэтому оно является наибольшим.

Таким образом, верный ответ указан под номером 3.

Укажите наибольшее из следующих чисел:

Решение.

По правилу сравнения дробей  Дробь  По правилу сравнения дробей  и 

Таким образом, верный ответ указан под номером 2.

№12 Укажите наименьшее из следующих чисел:

Образец: Расположите в порядке возрастания числа 0,1439; 1,3; 0,14.

Решение.

Запишем все числа с четырьмя знаками после запятой и поразрядно сравним цифры в их записи:

0,1439,

1,3000,

0,1400.

Наименьшим является последнее число, наибольшим — второе число.

Правильный ответ указан под номером 4.

 №13 Расположите в порядке убывания числа 0,1327; 0,014; 0,13.

Десятичные дроби

Существует особый вид дробей — десятичные дроби.Выглядят они так: 5,6 ; 3,17 ; 0,17 и т.д. На самом деле это особая запись обыкновенных дробей , у которых знаменатель равен 10, 100,1000,10000 и т.д. Такие дроби договорились записывать без знаменателя. То есть:

Как записывается десятичная дробь?

Сначала пишем целую часть, а потом ставим запятую и записываем числитель дробной части. Поясним на примерах.

Пусть нам дана обыкновенная дробь 57/10. В знаменателе стоит 10. Считаем количество нулей в знаменателе. У нас один ноль. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части один знак (цифру) и ставим запятую.

В полученной десятичной дроби цифра 5 — целая часть, цифра 7 (стоящая справа от запятой) — дробная часть.

Пусть нам дана обыкновенная дробь 57/100. Снова считаем количество нулей в знаменателе. Теперь их два.

Отсчитываем справа налево два знака (цифры) в числителе и ставим запятую . Так как перед цифрой 5 знаков нет, то перед запятой добавляем ноль.

Если количество нулей превышает количество знаков (цифр) в числителе, то на недостающие места ставим нули.

Пример записи десятичной дроби

Пусть нам дана дробь 39/10 000. Запишем её в виде десятичной дроби. В знаменателе 4 нуля. Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры).

Но у нас в числителе всего два знака (цифры). Поэтому на двух недостающих местах мы пишем два нуля.

Сложение десятичных дробей выполняется по правиламсложения в столбик.

При сложении десятичные дроби записываются «столбиком», так чтобы одноимённые разряды находились друг под другом без смещения. При этом запятые должны стоять чётко друг под другом.

Неправильная запись

Правильная запись

Складывают десятичные дроби в столбик как натуральные числа, не обращая внимания на запятые.

В ответе запятую ставим под запятыми в исходных дробях.

Если исходные десятичные дроби имеют разное количество знаков (цифр) после запятой, то к дроби с меньшим количеством десятичных знаков нужно приписать необходимое число нулей, чтобы уравнять в дробях количество знаков после запятой.

Разберёмся на примере. Найдём сумму десятичных дробей.

0,678 + 13,7 = 

Уравняем количество знаков после запятой в десятичных дробях. Допишем два нуля справа к десятичной дроби 13,7.

0,678 + 13,700 = 

Запишем ответ.

0,678 + 13,7 = 14,378 

Если сложение десятичных дробей вами усвоено уже хорошо, то недостающие нули можно приписывать мысленно.

Итак, ещё раз коротко основные правила сложения:

• Уравниваем количество знаков после запятой.
• Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.
• Выполняем сложение десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам сложения в столбик натуральных чисел.
• Ставим в ответ запятую под запятыми.

Также как и сложение, вычитание десятичных дробей производим по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.

Основные правила вычитания десятичных дробей.

• Уравниваем количество знаков после запятой.
• Записываем десятичные дроби друг под другом так, чтобы запятые были друг под другом.
• Выполняем вычитание десятичных дробей, не обращая внимания на запятые, по правилам вычитания в столбик натуральных чисел.
• Ставим в ответе запятую под запятыми.

Как вычитать десятичные дроби другим способом

Если вы чувствуете себя уверенно в десятичных дробях и хорошо понимаете, что называется десятыми, сотыми и т.д., предлагаем вам попробовать другой способ вычитания (сложения) десятичных дробей без их записи в столбик.

Другой способ вычитания десятичных дробей, как и сложение, основывается на трёх основных правилах.

• Вычитают десятичные дроби справа налево. То есть, начиная с самой правой цифры после запятой.
• Вычитать нужно по цифрам разрядов. Целые из целых, десятые из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и т.д.
• При вычитании большей цифры из меньшей, у соседа слева меньшей цифры занимаем десяток.

Как обычно, рассмотрим пример:

• Вычитаем справа налево с самой правой цифры. У нас самая правая цифра в обеих дробях — сотые. 1 — в первом числе, 1 — во втором. Вот их и вычитаем. 1 − 1 = 0. Получилось 0, значит, на месте сотых нового числа пишем ноль.

• Десятые вычитаем из десятых. 2 — в первом числе, 3 — во втором числе. Так как из 2 (меньшего) мы не можем вычесть 3 (большее), занимаем десяток у соседа слева для 2. У нас это 5. Теперь мы не из 2 вычитаем 3, а из 12 вычитаем 3. 
  12 − 3 = 9.
  На месте десятых нового числа пишем 9. Не забываем, что после занятия десятка из 5, мы должны вычесть из 5 единицу. Чтобы это не забыть ставим над 5 пустой кружок.

• И наконец, вычитаем целые части. 14 — в первом числе (не забудьте, что мы из 5 вычли 1), 8 — во втором числе. 14 − 8 = 6

Десятые можно вычитать только из десятых, сотые из сотых, тысячные из тысячных и т.д. Если в одной из десятичных дробей, отсутствует цифра нужного разряда, вместо неё пишем ноль.

Во втором числе самая правая цифра это 2 (сотые), а в первом числе сотых нет в явном виде. Поэтому, к первому числу справа от 9 добавляем ноль и вычитаем согласно основным правилам.

Умножение десятичных дробей происходит в три этапа.

• Десятичные дроби записывают в столбик и умножают как обыкновенные числа.
• Считаем количество знаков после запятой у первой десятичной дроби и у второй. Их количество складываем.
• В полученном результате отсчитываем справа налево столько же цифр, сколько получилось их в пункте выше и ставим запятую.

Как умножать десятичные дроби

Пример:

• Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа, не обращая внимания на запятые. То есть 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

• Получили 311. Теперь считаем количество знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В первой десятичной дроби два знака и во второй — два. Общее количество цифр после запятых: 
  
  2 + 2 = 4
• Отсчитываем справа налево 4 знака (цифры) у полученного числа. В полученном результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В таком случае нужно слева приписать недостающее число нулей.

У нас не хватает одной цифры, поэтому приписываем слева один ноль.

При умножении любой десятичной дроби на 10,100,1000 и т.д. запятая в десятичной дроби перемещается вправо на столько знаков, сколько нулей стоит после единицы.

Примеры:

• 70,1 · 10 = 701
• 0,023 · 100 = 2,3
• 5,6 · 1 000 = 5 600

Чтобы умножить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001; и т.д., надо в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед единицей.

Считаем и ноль целых!

Примеры:

• 12 · 0,1 = 1,2
• 0,05 · 0,1 = 0,005
• 1,256 · 0,01 = 0,012 56

При делении десятичных дробей вам могут встретиться несколько случаев.

Деление десятичной дроби на натуральное число

Для деления десятичной дроби на натуральное число пользуемся следующими правилами.

1. Делим десятичную дробь на натуральное число по правиламделения в столбик, не обращая внимание на запятую.
2. Ставим в частном запятую, когда заканчивается деление целой части делимого.

Если целая часть делимого меньше делителя, то в частном ставим 0 целых.

Пример:

0,806 : 31 = 

Обратите внимание, что целая часть десятичной дроби (у нас это 0) меньше, чем делитель (31). Поэтому в частном сразу ставим 0 в целой части.

Не забываем записывать ответ в пример:

0,806 : 31 = 0,026

Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе.

Примеры:

• 310,1 : 10 = 31,01
• 27,56 : 100 = 0,2756
• 0,75 : 10 = 0,075

Деление натурального числа на десятичную дробь

1. Считаем количество знаков справа от запятой в десятичной дроби.
2. Умножаем и делимое, и делитель на 10, 100 или 1000 и т.д., чтобы превратить десятичную дробь в целое число.
3. Делим числа как натуральные.

Пример:

5 : 2,5 =
Считаем количество знако после запятой в десятичной дроби. У нас один знак. Значит, чтобы превратить 2,5 в целое число, надо умножить его на 10. Не забываем и делимое умножить на 10.

5 : 2,5 = (5 · 10) : (2,5 · 10) = 50 : 25 = 2

Деление десятичных дробей друг на друга

Делить десятичные дроби друг на друга можно разными способами. Мы опишем один из возможных. По традиции, небольшой план действий:

1. Определяем дробь с наибольшим количеством знаков (цифр) справа от запятой.
2. Умножаем обе десятичные дроби на 10, 100, 1000 и т.д., чтобы превратить десятичные дроби в целые числа.
3. Делим обыкновенные числа по правилам деления в столбик и записываем ответ.

Пример:

• Наибольшее количество знаков (цифр) после запятой у первой десятичной дроби, поэтому ориентируемся на неё. Чтобы превратить 7,44 в целое число нужно умножить его на 100 (cм. умножение десятичных дробей).

На 10, 100, 1000 и т.д. умножаются обе десятичные дроби.
И умножаются они на одно и то же число. То есть, если вы умножили первую дробь на 10, то и вторую вы должны умножить на 10.

• Умножаем каждую из десятичных дробей на 100.

• Делим обыкновенные числа в столбик и записываем ответ. Помним, что изначально мы делили десятичные дроби.

Разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д. — то же самое, что умножить её на 10, 100, 1000 и т.д. соответсвенно.

Примеры:

• 7,1 : 0,1 = 7,1 · 10 = 71
• 25,37 : 0,001 = 25,37 · 1 000 = 25 370
• 0,08 : 0,1 = 0,08 · 10 = 0,8

Удобно сравнивать десятичные дроби с одинаковым количеством цифр (знаков) справа от запятой.

Чтобы сравнить десятичные дроби нужно:

• Убедиться, что у обеих десятичных дробей одинаковое количество знаков (цифр) справа от запятой. Если нет, то дописываем (убираем) нужное количество нулей в одной из десятичных дробей.
• Сравниваем десятичные дроби слева направо. Целую часть с целой, десятые с десятыми, сотые с сотыми и т.д.
• Когда одна из частей десятичной дроби (целая часть, десятые, сотые и т.д.) окажется больше чем в другой дроби, эта дробь и больше.

Как сравнивать десятичные дроби

Пример. Сравним десятичные дроби:

• Сперва дописываем в первой десятичной дроби нужное количество нулей, чтобы уравнять количество знаков справа от запятой.
  39,700 и 39,719
• Начинаем сравнивать десятичные дроби слева направо.

Целую часть с целой частью: 39 = 39. Целые части равны. Переходим к десятым.

Десятые с десятыми: 7 = 7. Десятые также равны. Переходим к сотым.

Сотые с сотыми: 0 < 1. Так как сотые второй десятичной дроби оказались больше, значит и сама дробь больше.

39,700 < 39,719 

39,7 < 39,719 

Другой способ сравнения десятичных дробей

Так же как и в предыдущем методе сравнения необходимо вначале уравнять количество знаков справа от запятой в обеих десятичных дробях.

Затем, отбросив запятую в обеих дробях, сравнить полученные результаты.

Пример:

3,656 и 3,48 

Уравняем количество знаков справа у десятичных дробей.

3,656 и 3,480 

Теперь отбросим запятые и сравним полученные числа.

3 656 > 3 480 

3,656 > 3,480 

3,656 > 3,48 

Как перевести дробь в десятичную

Превести обыкновенную дробь в десятичную можно несколькими способами.

Первый способ перевода

Чтобы превратить дробь в десятичную, нужно и числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, так чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д.

Прежде чем приниматься за работу, не забудьте проверить, можно ли вообще превратить данную дробь в десятичную (см. предыдущую страницу).

Примеры:

Убеждаемся, что дробь можно привести в конечную десятичную.

Умножаем числитель и знаменатель на 5. В знаменателе получим 100.

Еще пример:

Второй способ перевода

Второй способ более сложный, но применяется чаще первого. Для того, чтобы его использовать нужно вспомнить деление уголком.

Чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.

Пример:

Убеждаемся, что дробь можно перевести в конечную десятичную.

Делим уголком числитель на знаменатель.

Ниже приведен список дробей со знаменателями, которые чаще других встречаются в заданиях. Вы облегчите себе работу, если их просто выучите.

Свойства прямоугольного треугольника

аблица 3 – Признаки равенства треугольников

Признаки равенства прямоугольных треугольников

      Для сторон прямоугольных треугольников принято использовать следующие названия.

      Гипотенузой называют сторону прямоугольного треугольника, лежащую против прямого угла (рис. 2), две другие стороны называют катетами.

Рис.2

Таблица 4 – Признаки равенства прямоугольных треугольников

Демоверсия пробного экзамена по математике в 8 классе

Вопросы теории и список литературы по каждому заданию демоверсии.

Прямые на координатной плоскости

Линейная функция

      Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

где   k   и   b  – произвольные (вещественные) числа.

      При любых значениях   k   и   b  графиком линейной функции является прямая линия.

      Число   k   называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число   b  – свободным членом.

График линейной функции

      При   k > 0   линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

      При   k = 0   линейная функция (1) принимает одно и тоже значение   y = b    при всех значениях  x ,  а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

      При   k < 0   линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график (прямая линия) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

      Прямые линии

y = kx + b1    и     y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены ,параллельны.

      Прямые линии

y = k1x + b1    и    y = k2x + b2 ,

имеющие разные угловые коэффициенты , пересекаются при любых значениях свободных членов.

      Прямые линии

y = kx + b1    и   

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

      Угловой коэффициент прямой линии

равен тангенсу угла   φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

      Прямая (1) пересекает ось   Oy  в точке, ордината которой (рис. 11) равна   b .  

      При  прямая (1) пересекает ось   Ox  в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Прямые, параллельные оси ординат

      Прямые, параллельные оси   Oy, задаются формулой

где   c  – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

      Замечание 1.  Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента   x = c   соответствует бесконечное  множество значений   y . 

Уравнение вида   px + qy = r

      Рассмотрим уравнение

где   p, q, r  – произвольные числа.

      В случае, когда  уравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что онозадаёт прямую линию.

      Действительно,

что и требовалось.

      В случае, когда  получаем:

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

      В случае, когда   q = 0,   p = 0,  уравнение (4) имеет вид

и при  r = 0  его решением являются точки всей плоскости:

      В случае, когда   уравнение (5) решений вообще не имеет.

      Замечание 2.  При любом значении  r1, не совпадающем с   r  прямая линия, заданная уравнением

параллельна прямой, заданной уравнением (4).

      Замечание 3.  При любом значении   r2 прямая линия, заданная уравнением

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4).

      Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами    (2; – 3)   и

1. параллельной к прямой

2. перпендикулярной к прямой (8).

      Решение.

1. В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

2. где  r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами   (2; – 3),   то справедливо равенство
3. 
4.       Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой
5. 4x + 5y = 7 ,
6. задаётся уравнением
7. 4x + 5y = – 7 .
8. В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

9. где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами   (2; – 3),   то справедливо равенство
10. 
11.       Итак, прямая, перпендикулярная к прямой
12. 4x + 5y = 7 ,
13. задаётся уравнением
14. – 5x + 4y = – 22 .

Демонстрационный вариант контрольной работы на повторение основных тем 5-7 классов.

Выполнить в домашних тетрадях по алгебре к 12 января.

Неполные квадратные уравнения. Часть 1

Вы узнаете:

1. Как узнать "в лицо" неполное квадратное уравнение
2. Определение неполного квадратного уравнения
3. Решение уравнения 3x2+5x=0
4. Запись решения уравнения 3x2+5x=0 в тетради

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли это уравнениенеполным квадратным уравнением? А как решать неполные квадратные уравнения?

Как узнать "в лицо" неполное квадратное уравнение

Левая часть уравнения  есть квадратный трёхчлен, аправая - число . Такие уравнения называют полными квадратными уравнениями.

У полного квадратного уравнения все коэффициенты ,  и  не равны . Для их решения существуют специальные формулы, с которыми мы познакомимся позднее.

Наиболее простыми для решения являются неполные квадратные уравнения. Это такие квадратные уравнения, в которых некоторые коэффициенты равны нулю.

Коэффициент  по определению не может быть равным нулю, так как иначе уравнение не будет квадратным. Значит, получается, что обратиться в нуль могут только коэффициенты    или  .

В зависимости от этого существует три вида неполных квадратных уравнений.

1)  , где  b≠0,c=0;
2)  , где  b=0,c≠0;
3)  , где  b=0,c=0.

Итак, если мы видим квадратное уравнение, в левой части которого вместо трёх членов присутствуют два члена или один член, то такое уравнение будет неполным квадратным уравнением.

Определение неполного квадратного уравнения

Неполным квадратным уравнением называется такое квадратное уравнение , в котором хотя бы один из коэффициентов  или  равен нулю.

В этом определении есть очень важное словосочетание "хотя бы один из коэффициентов ... равен нулю". Это значит, что один или большекоэффициентов могут равняться нулю.

Исходя из этого возможны три варианта: или один коэффициент равен нулю, или другой коэффициент равен нулю, или оба коэффициента одновременно равны нулю. Вот так и получаются три вида неполного квадратного уравнения.

Неполными квадратными уравнениями являются такие уравнения:
1) 
2) 
3) 

Решение уравнения  

Наметим план решения этого уравнения. Левую часть уравнения можно легко разложить на множители, так как в левой части уравнения у членов  и  есть общий множитель , его можно вынести за скобку. Тогда слева получится произведение двух множителей, а справа - нуль.

А затем будет работать правило "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл". Всё очень просто!

Итак, план решения.
1) Левую часть раскладываем на множители.
2) Пользуемся правилом "произведение равно нулю..."

Уравнения подобного типа я называю "подарок судьбы". Это такие уравнения, у которых правая часть равна нулю, а левую часть можно разложить на множители.

Решаем уравнение  по плану.

1) Разложим левую часть уравнения на множители, для этого вынесем общий множитель , получим такое уравнение x⋅(3x+5)=0.

2) В уравнении x⋅(3x+5)=0 мы видим, что слева стоит произведение, а справа нуль. Настоящий подарок судьбы! Здесь мы, конечно, воспользуемся правилом  "произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл". При переводе  этого правила на язык математики получимдва уравнения x=0 или 3x+5=0.

Мы видим, что уравнение x⋅(3x+5)=0 распалось на два более простых уравнения, первое из которых уже решено (x=0).

Решим второе уравнение 3x+5=0. Перенесём неизвестные члены влево, а известные вправо. Неизвестный член 3x уже стоит слева, мы его там и оставим. А известный член +5 перенесём вправо с противоположным знаком. Получим уравнение 3x=−5.

Мы нашли 3x, а нам надо найти x. Чтобы избавиться от множителя 3, надо обе части уравнения 3x=−5 разделить на 3.

Получим 3x/3=−5/3, откуда x=−12/3. Уравнение решено!

Мы нашли два корня уравнения 3x2+5x=0. Первый корень равен 0, а второй корень равен −12/3.

Запись решения в тетради

3x2+5x=0.

x⋅(3x+5)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

x=0 или 3x+5=0

3x+5=0

3x=−5|:3

3x/3=−5/3

x=−12/3

Ответ: −12/3; 0.

Неполные квадратные уравнения. Часть 2

Вы узнаете:

1. Первый способ решения уравнения 25x2−4=0
2. Запись решения первым способом в тетради
3. Второй способ решения уравнения 25x2−4=0
4. Запись решения вторым способом в тетради

Решим уравнение 25x2−4=0.
Это уравнение можно решить двумя способами.

Во-первых, это тоже "подарок судьбы", так как справа нуль, а левую часть можно разложить на множители по формуле разность квадратовдвух выражений.

Во-вторых можно использовать способ, условно называющийся"неизвестные члены - влево, известные - вправо".

Первый способ решения уравнения 25x2−4=0

Левую часть уравнения разложим на множители.
25x2−4=0
Каждое слагаемое левой части представим в виде квадрата, получим такое уравнение (5x)2−22=0.

Слева явно видна формула разность квадратов двух выражений. По этой формуле разложим левую часть на множители, получим уравнение (5x−2)⋅(5x+2)=0.

Слева стоит произведение двух множителей, справа - нуль. То есть эту ситуация можно прочитать по-русски так: произведение равно нулю.

А мы знаем, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.

Таким образом, уравнение распадается на два более простых линейных уравнения. Получается такая запись 5x−2=0 или 5x+2=0.

Каждое из этих уравнений решаем способом "неизвестные - влево, известные - вправо". Не забываем при этом менять знаки у тех членов, которые переносим из одной части уравнения в другую.

Получим следующее 5x=2 или 5x=−2. Чтобы избавиться от коэффициента 5 перед x, обе части каждого уравнения разделим на 5.

Уравнения станут такими 5x/5=2/5 или 5x/5=−2/5.

После элементарных преобразований получим x=2/5 или x=−2/5. Каждую из полученных обыкновенных дробей можно превратить в десятичную, получим x=0,4 или x=−0,4. Уравнение решено.

Запись решения первым способом в тетради

25x2−4=0

(5x)2−22=0

(5x−2)⋅(5x+2)=0

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл, то есть

5x−2=0         или           5x+2=0

5x=2 |:5            или       5x=−2 |:5

x=2/5                          или     x=−2/5

x=0,4                          или x=−0,4

Ответ: −0,4;  0,4

Второй способ решения уравнения 25x2−4=0

25x2−4=0

Так как в левой части уравнения один член неизвестный (он содержит переменную x), а второй член известный, то можно воспользоваться способом "неизвестные - влево, известные - вправо".

Оставим неизвестный член 25x2 слева, а известный член (−4)перенесём в правую часть с противоположным знаком, получим 25x2=4.

Из этого уравнения нам надо найти x. Иными словами надо сделать так, чтобы в левой части уравнения стояла только буква x. Значит, надоизбавиться от 25 и от x.

Вначале избавимся от числа 25. Число 25 умножается на x2, а от умножения избавляемся делением.

Запись решения вторым способом в тетради

Неполные квадратные уравнения. Часть 3

Рассмотрим решение самых простых неполных квадратных уравнений.  В левой части таких уравнений содержится всегоодин единственный член.

Решим уравнение 7x2=0

Чтобы найти x, надо последовательно избавиться от числа 7, а затем отквадрата у переменной x.

Для того, чтобы избавиться от множителя 7, разделим обе части уравненияна 7. Помните - от умножения избавляемся делением. В результате получим такое уравнение x2=0.

Теперь избавимся от квадрата. Чтобы найти x без квадрата, то есть найти x в первой степени, надо из правой части уравнения (из 0) извлечьквадратный корень.

Квадратный корень из 0 равен 0, то есть получим x=0.  Уравнение решено!

Решение уравнения в тетради можно записать так:

Решить уравнение 7x2=0

7x2=0 |:7

7x2 /7=0/7

x2=0

x=0

x=0

Ответ: 0

Определение квадратного уравнения

Квадратным уравнением называется уравнение вида      где – переменная,   и    -  некоторые числа, причём 

Числа    и   называются коэффициентами квадратного уравнения:

 – первый или старший коэффициент;
 – второй коэффициент;
 – свободный член.

 Число    не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название "свободный член". Почему "свободный член"? Потому что он "свободен" от переменной .

Обратите внимание на то, что число   стоит перед , число   стоит перед , а число  это просто какое-то число, явно не связанное с .

Ограничение для старшего коэффициента

В определении квадратного уравнения есть очень важное ограничение для старшего коэффициента . Ограничение заключается в такой записи . Эта запись говорит о том, что число  может принимать любые значения,кроме нуля!

Попробуем разобраться, почему необходимо это ограничение. А что будет, если не учитывать это ограничение? Что тогда произойдёт с уравнением? Давайте снимем ограничение .  Ну, не нравится нам это ограничение!

Предположим, что . Что же мы получим в этом случае?
А вот что! Подставим в уравнение   вместо   число ,  получим: . Так как ,  то уравнение примет вид: .

Но, позвольте! Уравнение такого вида является линейным или его ещё можно назвать уравнением первой степени. Ничего общего с квадратным уравнением оно не имеет! А мы-то ведём речь о квадратном уравнении!

Итак, делаем очень важный вывод ограничение  крайне необходимо! Потому что если мы не будем его учитывать, то вместо квадратного уравнения получим линейное.

Таким образом, в квадратном уравнении старший коэффициент  в ни в коем случае не может быть равным нулю! Никогда!!! Так как иначе квадратное уравнение превратится в линейное.

Повторим ещё раз определение квадратного уравнения.
"Квадратным уравнением называется уравнение вида , где  –переменная,   и  – некоторые числа, причём, .

А вот с числами   и  всё гораздо проще! Числа  и  запросто могут быть равными нулю! В этом случае получается неполное квадратное уравнение. 

Что такое "Квадратное уравнение"

Вы узнаете:

1. Как узнать "в лицо" квадратное уравнение
2. Полные и неполные квадратные уравнения
3. Расположение членов квадратного уравнения
4. Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Как по внешнему виду уравнения определить, будет ли ли это уравнение квадратным уравнением или не будет. А очень просто!

Как узнать "в лицо" квадратное уравнение

Во-первых,  в этом уравнении обязательно должен быть член с , то есть в квадрате, например, .

Именно отсюда и пошло название - квадратное уравнение. По-другому их называют уравнениями второй степени, так как стоит во второй степени. В этом уравнении ещё могут быть (а могут и не быть) члены, содержащие в первой степени, например,  или члены, которые вообще безо всякого , то есть просто "чистые" числа без переменной, например, число .

Во-вторых, уравнение не должно иметь членов, содержащих  в третьей степени или в четвёртой или в любой другой степени, большей, чем . Иными словами, самая большая степень переменной  в квадратном уравнении равна . Например, уравнение  не является квадратным уравнением, так как здесь есть . А в квадратном уравнении не должно быть  в степени, большей, чем число .

В третьих,  уравнение обязательно должно быть целым. Иначе говоря, в уравнении нигде не должно быть деления на выражение с переменной, то есть с .

Например, уравнение   не является целым уравнением,  потому что в первом члене есть деление на выражение с переменной.  В знаменателе стоит ,  то есть  делится на . Такое уравнение называется дробно-рациональным уравнением. Квадратным оно, конечно, не является, хотя здесь есть .

А вот если первый член этого уравнения записать как  умножить на , то в результате получим уже целое уравнение . А будет ли оно квадратным? Да, будет! Потому что здесь есть  и нет  в степени, большей чем 2.

Полные и неполные квадратные уравнения

Приведём примеры конкретных квадратных уравнений. Например, таких:
1) ;
2) ;
3) ;
4) .

Обратите внимание на некоторые особенности этих уравнений.

Во-первых, у них у всех есть . Причём, нет  в степени, большей, чем .

Во-вторых, справа стоит число .

В третьих, в левой части уравнения все члены расположены в строго определённом порядке. На первом месте всегда стоит член с , навтором месте член с переменной , на третьем - число, не связанное с .

Если все члены уравнения перемешаны и стоят не на своих местах, то надо обязательно такое уравнение преобразовать. Далее поговорим об этом подробнее.

Первое уравнение  имеет полный набор членов. У негоесть и , и , и свободный член . Такие уравнения называются полные квадратные уравнения.
Итак, уравнение  является полным квадратным уравнением.

А вот во втором уравнении  нет свободного члена.
В третьем уравнении  нет .
А в четвёртом  нет и , и свободного члена .

Такие уравнения называются неполные квадратные уравнения.

Итак, уравнения


 являются неполными квадратными уравнениями.

Каждое из четырёх уравнений, записанных выше, можно представить в виде такой общей формулы , где буквами  и  обозначены какие-то конкретные числа. Эти числа называют коэффициентами квадратного уравнения.

Каждый коэффициент имеет специальное название:

 это первый коэффициент или иначе старший коэффициент;
 это второй коэффициент;
 это свободный член.

Число  не называют третий коэффициент. Для него существует специальное название "свободный член". Потому что он свободен от переменной !

Расположение членов квадратного уравнения

Для безошибочного решения квадратного уравнения очень важноправильно располагать все его составляющие.

Для этого надо чётко знать, что:

в правой части квадратного уравнения должно стоять число ;
в левой части на первом месте должно стоять слагаемое с ;
на втором месте слагаемое с переменной  ;
на третьем месте - свободный член (число без ).

Если квадратное уравнение записано в соответствии с этими правилами, то говорят, что это квадратное уравнение записано в стандартном виде.

А теперь посмотрим, как всё это выглядит на практике.

В соответствии с предложенными выше рекомендациями, преобразуемуравнение  к стандартному виду.

Мы видим, что это уравнение напоминает квадратное уравнение. Здесь есть и член с ,  и член с , и свободный член. Надо только расставить их по своим местам. Сделаем это.

Во-первых, правая часть должна быть равна нулю. Значит, одночлен надо перенести влево с противоположным знаком. Напомню, что при переносе члена из одной части уравнения в другую часть знак этого члена меняется на противоположный. После переноса данное уравнение примет такой вид . Итак, правая часть уравнения стала равной нулю.

Во-вторых, в левой части уравнения на первом месте должно стоять слагаемое с , на втором месте слагаемое с переменной , на третьем - свободный член.

Выполним эти требования, пользуясь переместительным законом сложения. Знаки слагаемых при этом не меняем, так как мы не переносим слагаемые из одной части уравнения в другую. Эти слагаемые как были в левой части, так они в левой части и остались. Они просто меняются местами друг с другом. Уравнение станет таким . 

Как найти коэффициенты квадратного уравнения

Итак, после всех преобразований мы получили уравнение . Это уравнение уже записано в стандартном виде. Общий вид уравнения таков . Напомню - буквами  обозначены коэффициенты квадратного уравнения.

В уравнении  коэффициенты чётко видны: , , .
 это то число, которое стоит перед ,то есть число .
это то число, которое стоит перед , то есть число .
 это свободный член, то есть число .

А вот с уравнением  не всё так просто! В левой части квадратного уравнения должно стоять три члена, а здесь их только два. Есть член с , есть член с , но нет свободного члена, который обозначается буквой . Это значит, что он просто равен нулю, то есть .

Если записать уравнение  так, чтобы слева было три члена, то получим следующее . А теперь мы запросто можем выписать его коэффициенты, получим: , , .

В уравнении  почти аналогичная ситуация. Только здесь не хватает члена с переменной .

Преобразуем данное уравнение так, чтобы все три члена были явно видны и стояли на своих местах. Получим  (крестиком  обозначен знак умножения).

А теперь легко выписать его коэффициенты ; ; .

А как же найти коэффициенты квадратного уравнения ? У него в левой части вообще только один член! Он содержит .

Здесь нет члена с , значит, коэффициент перед  равен нулю. Нет и свободного члена , значит, он тоже равен нулю.

Пользуясь этой информацией, запишем данное уравнение  так, чтобы явно были видны все три члена и они стояли бы на своих местах. Получим такое уравнение. А теперь выписываем коэффициенты ; ; .

Вот так хитренько устроены квадратные уравнения!

Решение квадратных уравнений.

Квадратным уравнениемназывается уравнение вида , где 

 – коэффициент при  , или старший коэффициент.

 – коэффициент при х, или второй коэффициент.

 – свободный член.

Например, в уравнении   , , .

B уравнении   , , 

Если в квадратном уравнении  или  , то такое квадратное уравнение называется НЕПОЛНЫМ.

Неполное квадратное уравнение решается с помощью разложения на множители.

1. Если , то нужно вынести за скобки общий множитель.

Например,

Приравняем каждый множитель к нулю:

 или 

Ответ: {0,  }

2. Если , то нужно разложить на множители по формуле разности квадратов:

Например:

Приравниваем каждый множитель  к нулю, получаем:

 или 

Коротко это уравнение решается так:

В этом месте важно не забыть знак  перед корнем!

Ответ: {}

Если  в квадратном уравнении  и  , то такое квадратное уравнение называется ПОЛНЫМ.

Полное квадратное уравнение решается с помощью нахождения ДИСКРИМИНТА.

Дискриминант квадратного уравнения  вычисляется по формуле:

.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения выглядят так:

В этих формулах дискриминант присутствует под знаком квадратного корня, поэтому

Eсли , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня, которые можно найти по приведенным выше формулам.

Если ,  то квадратное уравнение имеет два совпадающих корня:

.

Иногда  говорят, что в этом случае квадратное уравнение имеет один корень.

Итак, при решении квадратного уравнения удобно пользоваться таким алгоритмом:

1. Определяем, является ли квадратное уравнение полным, или неполным.

2. Если уравнение неполное, раскладываем левую часть на множители и приравниваем каждый множитель к нулю.

3. Если уравнение полное, то

• находим дискриминант квадратного уравнения по формуле 
• если дискриминант меньше нуля, то записываем, что квадратное уравнение не имеет действительных корней
• если дискриминант равен нулю, то находим корни квадратного уравнения по формуле 
• если дискриминант больше нуля, то находим корни квадратого уравнения по формулам:, 

Если коэффициент   квадратного уравнения – четное число, то есть его можно записать как , или  то для нахождения корней квадратного уравнения удобно пользоваться формулами для четного второго коэффициента:

Два полезных замечания:

1. Если для коэффициентов квадратного уравнения выполняется равенство , то , 

2. Если для коэффициентов квадратного уравнения выполняется равенство , то , 

Эти свойства помогают устно решать некоторые громоздкие квадратные уравнения. Например, в квадратном уравнении сумма коэффициентов равна 0, поэтому ,  .

В уравнении  выполняется равенство , поэтому ,  

Рассмотрим несколько примеров.

Решим квадратные уравнения:

1. 

а) найдем дискриминант этого уравнения:

Дискриминант больше нуля, значит уравнение имеет два различных корня. 

б) Тогда: , 

Ответ:   {1; 1/2}

2.  

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

. Очевидно, что  , и даже нет необходимости вычислять его точное значение.

Ответ: уравнение не имеет действительных корней.

3. 

а) Найдем дискриминант этого уравнения:

б) Так как , уравнение имеет два совпадающих корня,

Если внимательно посмотреть на квадратный трехчлен, стоящий в левой части уравнения, то становится очевидно, то что его можно преобразовать по формуле квадрата разности к выражению

, отсюда 

Ответ: 1/4.

А теперь я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением квадратного уравнения:

http://www.youtube.com/watch?v=yKZ2vsXRDrM 

Вопросы для повторения 7 класс

1. Смежные углы. Свойство смежных углов.
2. Вертикальные углы. Свойство вертикальных углов.
3. Признаки равенства треугольников.
4. Равнобедренный треугольник. Периметр равнобедренного треугольника.
5. Медиана, биссектриса, высота треугольника.
6. Свойство углов равнобедренного треугольника.
7. Свойство медианы равнобедренного треугольника, проведённой к основанию.
8. Равносторонний треугольник, его стороны и углы.
9. Признаки параллельности прямых.
10. Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей.
11. Сумма углов треугольника.
12. Внешние углы треугольника. Теорема о внешнем угле треугольника. Прямоугольный треугольник.