Подготовка к ЕГЭ

Слайд 1

В12 ЕГЭ 2014

Слайд 2

Запишем дано:

Слайд 5

Задачи В12, связанные с расчетом сопротивления цепи. Ответ: 12

Слайд 6

Ответ: 76

Слайд 7

Запишем дано: Ответ: 30

Слайд 8

Подвох данной задачи заключается в том, что в решение получается два ответа, некоторые выбирают максимальный из них, некоторые минимальный, на самом деле найти надо разницу между ответами, т.к. выше трех метров тело находилось начиная со времени 0,2 с и заканчивая временем 1,8 с, а значит всего 1,8-0,2=1,6 с. Ответ: 1,6

Слайд 9

Подвох данной задачи заключается в том, что даны промежутки обоих расстояний d , но найти надо наименьшее первое d , при решении уравнения многие задаются вопросом какое второе d надо подставлять при расчетах. Если необходимо найти наименьшее первое d , то второе d надо подставлять наибольшее, если надо найти первое d наибольшее, то второе d соответственно надо подставлять наименьшее. Если забыли об этом, можно подставить сначала наименьшее второе d , решить и получить ответ, затем подставить второе d наибольшее, решить. получить ответ, далее сравнить результаты и выбрать нужный: минимальный или максимальный, в зависимости от условия задачи. Ответ: 60

Слайд 10

Подвох данной задачи заключается в том, что дана начальная длина и ее изменение, а не конечная длина. Многие при расчетах подставляют именно изменение длины в уравнение и получают неверный ответ, подставлять надо начальную длину и конечную длину, конечную длину находим как сумму начальной и изменения длины. Ответ: 25

Слайд 1

Текстовая задача В13 — легко! Алгоритм решения и успех на ЕГЭ

Слайд 2

Чтобы научиться решать текстовые задачи, вам понадобится всего три-четыре часа самостоятельной работы, то есть два-три занятия. Всё, что нужно, — это здравый смысл плюс умение решать квадратное уравнение. Запишите в виде математического выражения: х на 5 больше у х в пять раз больше у z на 8 меньше, чем x z меньше в 3,5 раза x на 1 меньше, чем частное от деления a на b в полтора раза больше b квадрат суммы x и y равен 7 x составляет 60 процентов от y m больше n на 15 процентов

Слайд 3

х больше, чем у. Разница между ними равна пяти. Значит, чтобы получить бóльшую величину, надо к меньшей прибавить разницу. х больше, чем у, в пять раз . Значит, если у умножить на 5, получим х. z меньше, чем х. Разница между ними равна 8 . Чтобы получить меньшую величину, надо из большей вычесть разницу. 8 меньше, чем . Значит, если из большей величины вычтем разницу, получим меньшую. частное от деления a на b в полтора раза больше b квадрат суммы x и y равен 7 x составляет 60 процентов от y m больше n на 15 процентов

Слайд 4

Начнем мы с задач на движение. расстояние = скорость • время . В качестве переменной х удобнее всего выбирать скорость. Тогда задача точно решится! Пример. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что в час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. v t S велосипедист автомобилист Х + 40 50 50 Остается записать, что велосипедист прибыл в конечный пункт на 4 часа позже автомобилиста. Позже — значит, времени он затратил больше. Это значит, что t1 на четыре больше, чем t2 , то есть

Слайд 5

Разделим обе части нашего уравнения на 4 X1 = 10, x2 = - 50 Ответ: 10

Слайд 6

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч. v t S туда х 70 обратно Х + 3 70 На обратном пути велосипедист сделал остановку на 3 часа и в результате затратил столько же времени, сколько на пути из А в В. Это значит, что на обратном пути он крутил педали на 3 часа меньше. Значит, t1 на три меньше, чем t2 . Получается уравнение: Ответ: 7.

Слайд 7

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч . v t S по течению Х + 1 255 против течения Х - 1 255 Условие « t1 на два часа меньше, чем t2 » можно записать в виде t2 – 2 = t1 Делим обе части на 2, чтобы упростить уравнение = 226 Ответ: 16. Пусть скорость лодки в неподвижной воде равна x .

Слайд 8

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч . v t S по течению 15 + x 2 00 против течения 15 – x 2 00 В пункт отправления теплоход вернулся через 40 часов после отплытия из него. Стоянка длилась 10 часов, следовательно, 30 часов теплоход плыл — сначала по течению, затем против. Прежде всего разделим обе части уравнения на 10. Оно станет проще! Ответ: 5. Обозначим за x скорость течения. Тогда скорость движения теплохода по течению равна 15 + x , скорость его движения против течения равна 15 – x . Расстояния — и туда, и обратно — равны 200 км.

Слайд 9

Баржа в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 20 минут, баржа отправилась назад и вернулась в пункт А в 16:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость баржи равна 7 км/ч. v t S по течению 7 + x 15 против течения 7 – x 15 Ответ: 2. Пусть скорость течения равна x . Тогда по течению баржа плывет со скоростью 7 +x , а против течения со скоростью 7 -x . Сколько времени баржа плыла? Ясно, что надо из 16 вычесть 10, а затем вычесть время стоянки. Обратите внимание, что 1 час 20 минут придется перевести в часы: 1 час 20 минут 1 часа. Получаем, что суммарное время движения баржи (по течению и против) равно 4 часа.

Слайд 10

Задачи на работу Правила решения задач на работу очень просты. A= p • t , то есть работа = производительность • время . Из этой формулы легко найти t или p . 2) Если объем работы не важен в задаче и нет никаких данных, позволяющих его найти — работа принимается за единицу. Построен дом (один). Написана книга (одна). А вот если речь идет о количестве кирпичей, страниц или построенных домов — работа как раз и равна этому количеству. 3) Если трудятся двое рабочих (два экскаватора, два завода...) — их производительности складываются. Очень логичное правило. 4) В качестве переменной удобно взять именно производительность.

Слайд 11

Заказ на 110 деталей первый рабочий выполняет на 1 час быстрее, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает на 1 деталь больше ? p t A первый рабочий X +1 110 второй рабочий X 110 Первый рабочий выполнил заказ на час быстрее. Следовательно, t1 на 1 меньше, чем t2 , то есть Ответ: 10.

Слайд 12

В этой задаче (в отличие от предыдущей) ничего не сказано о том, какая это работа, чему равен ее объем. Значит, работу можем принять за единицу. А что же обозначить за переменные? Мы уже говорили, что за переменную удобно обозначить производительность. Пусть x — производительность первого рабочего. Но тогда производительность второго нам тоже понадобится, и ее мы обозначим за y . По условию, первый рабочий за два дня делает такую же часть работы, какую второй — за три дня. Значит, 2 x = 3 y . Отсюда . Работая вместе, эти двое сделали всю работу за 12 дней. При совместной работе производительности складываются, значит, ( x+y )•12=1 Ответ: 20. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?

Слайд 13

Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом 99 литров? p t A первая труба X 110 вторая труба X + 1 99 Первая труба заполняет резервуар на две минуты дольше, чем вторая. Значит, Ответ: 10.

Слайд 14

1. В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8, а в 2010 году — на 9 по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? 2. В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник? 3. Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за 20000 рублей, через два года был продан за 15842 рублей. 4. Четыре рубашки дешевле куртки на 8. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки? 5. Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Слайд 15

6. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 7. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? 8. Виноград содержит 90 влаги, а изюм — 5. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 килограммов изюма? 9. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10 никеля, второй — 30 никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25 никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго? 10. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Слайд 16

11. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч. 12. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? 13. Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч. 14. Андрей и Паша красят забор за 9 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Андрей — за 18 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?

Слайд 1

В-8

Слайд 2

Задачи, связанные с промежутками монотонности функций

Слайд 3

Надо было найти количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках убывания, в нашем случае это точки: х=2,х=3, х=4 (кстати, точка х=1 не подходит, т.к. в ней наблюдается максимум функции, а это не есть убывание функции), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.

Слайд 5

Итак, найти надо было количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках возрастания, в нашем случае это точки: х=-3,х=-2, х=-1 (кстати, точка х=-4 (обведена красным) не подходит, т.к. она исключена), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.

Слайд 7

На графике видно, что наибольший промежуток - это второй, его длина равна 4, значит ответ: 4

Слайд 8

На графике видно, что наибольший промежуток - это первый, его длина равна 5, значит ответ: 5.

Слайд 9

В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

Слайд 11

Необходимо найти количество точек экстремума функции на промежутке от минус 6 до 9, точки экстремума - это точки минимума и максимума. В задаче дан не график функции (иначе мы просто посчитали бы сколько на этом промежутке максимумов и минимумов), а график производной функции. Смотрим на схему и ищем аналогию: точки экстремума на графике функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с нулем, на нашем графике данного промежутка такая точка одна - в точке с координатой 7, поэтому ответ: 1 (одна точка).

Слайд 12

Точки экстремума графика функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с осью Х, такая точка одна и равна она -3.

Слайд 13

экстремумы графика функции - это точки пересечения графика производной функции и оси абсцисс (т.е. оси Х). Точки минимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при возрастании графика производной функции (красные точки на графике). Точки максимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при убывании графика производной функции (синие точки на графике). Нам необходимо найти количество точек минимума ( красные точки). Как видно на графике, их 2, значит ответ: 2.

Слайд 14

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке. Если график функции возрастает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе - наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим.

Слайд 15

Ответ: -2

Слайд 16

Ответ: 0

Слайд 17

Ответ: -1

Слайд 18

Ответ: 3

Слайд 19

Задания в которых надо использовать уравнение касательной или уравнение прямой, которая параллельна касательной к графику функции. Таких заданий всего два типа. В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке.

Слайд 21

Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо: 1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами: 1) Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; 2) Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1 2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой. 3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.

Слайд 23

Задачи, в которых по заданным графически функции и касательной, проведенная к ней в данной точке необходимо найти угловой коэффициент касательной

Слайд 1

В15 ЕГЭ 2014

Слайд 2

Алгоритм решения задания В14: 1. Найти производную функции; 2. Приравнять к нулю производную функции и решить уравнение; 3.Далее в зависимости от условия и вопроса задачи: если надо найти наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке, то из полученных в п.2 ответов надо отобрать только те, которые принадлежат заданному промежутку; далее отобранные ответы и значения начала и конца промежутка подставить в исходную функцию и рассчитать значение y ; из полученных ответов и выбрать тот, который удовлетворяет вопросу задачи (наибольший, если найти надо было наибольшее значение и наименьший, если найти надо было наименьший). если надо найти точку максимума или минимума функции , то полученные в п.2 ответы и есть точки минимумов и максимумов функции, вопрос только в том какие из них максимумы, а какие минимумы; определить не сложно: если в точке производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, если с плюса на минус, то максимума.

Слайд 4

Типичные ошибки ЕГЭ: 1. Не проверить на принадлежность заданному отрезку корней уравнения (точек экстремума); 2. Перепутать максимум и минимум.

Слайд 5

Нахождение точек максимума и минимума функции Алгоритм нахождения точек максимума и минимума: Найти производную функции; Приравнять к нулю производную функции и решить уравнение; 3. Если в точке экстремума ( из п.2) производная меняет свой знак с минуса на плюс, то это точка минимума, если с плюса на минус, то точка максимума. Ответ: 23

Слайд 6

Для нахождения промежутков знакопостоянства , с каждого промежутка надо взять число, подставить его в производную функции и определить знак. Ответ: 2

Слайд 7

Ответ: 12

Слайд 8

Ответ: -9,5

Слайд 9

Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на заданном отрезке. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших значений функции на заданном отрезке: 1. Найти производную функции; 2. Приравнять к нулю производную функции и решить уравнение; 3. Из полученных в п.2 ответов надо отобрать только те, которые принадлежат заданному промежутку; далее отобранные ответы и значения начала и конца промежутка подставить в исходную функцию и рассчитать значение y ; из полученных ответов y выбрать тот, который удовлетворяет вопросу задачи (наибольший, если найти надо было наибольшее значение и наименьший, если найти надо было наименьший).

Слайд 10

Ответ: 6

Слайд 11

Ответ: 4

Слайд 12

Ответ: 11

Слайд 13

Ответ: -2

Слайд 14

Ответ: -6

Слайд 15

Ответ: 3

Слайд 16

Ответ: -1

Слайд 1

Задание В9 з ЕГЭ 2014

Слайд 1

В-8

Слайд 2

В момент когда график функции убывает, график производной функции меньше нуля, в момент когда график функции возрастает - производная больше нуля, в момент когда график функции находится в своем минимуме или максимуме (эти точки называются экстремумы - красные точки на верхнем графике) - производная равна нулю (красные точки на нижнем графике). Обратите внимание, что точка минимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции возрастает, и наоборот точка максимума графика функции соответствует точке в которой производная равна нулю, при условии, что график производной функции убывает.

Слайд 4

Необходимо найти количество точек экстремума функции на промежутке от минус 6 до 9, точки экстремума - это точки минимума и максимума. В задаче дан не график функции (иначе мы просто посчитали бы сколько на этом промежутке максимумов и минимумов), а график производной функции. Смотрим на схему и ищем аналогию: точки экстремума на графике функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с нулем, на нашем графике данного промежутка такая точка одна - в точке с координатой 7, поэтому ответ: 1 (одна точка).

Слайд 5

Точки экстремума графика функции - это тоже самое, что точки пересечения графика производной функции с осью Х, такая точка одна и равна она -3.

Слайд 6

экстремумы графика функции - это точки пересечения графика производной функции и оси абсцисс (т.е. оси Х). Точки минимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при возрастании графика производной функции (красные точки на графике). Точки максимума графика функции - это точки пересечения графика производной функции с осью ОХ при убывании графика производной функции (синие точки на графике). Нам необходимо найти количество точек минимума ( красные точки). Как видно на графике, их 2, значит ответ: 2.

Слайд 7

Задачи на нахождение наибольших и наименьших значений графика функции на заданном промежутке. Если график функции возрастает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наименьшим, а второе - наибольшим и наоборот, если график функции убывает, то первое значение отрезка на котором надо найти наибольшее или наименьшее значение функции будет наибольшим, а второе - наименьшим.

Слайд 8

Ответ: -2

Слайд 9

Ответ: 0

Слайд 10

Ответ: -1

Слайд 11

Ответ: 3

Слайд 12

Задачи, связанные с промежутками монотонности функций

Слайд 13

Надо было найти количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках убывания, в нашем случае это точки: х=2,х=3, х=4 (кстати, точка х=1 не подходит, т.к. в ней наблюдается максимум функции, а это не есть убывание функции), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.

Слайд 15

Итак, найти надо было количество целых точек, т.е. тех точек, в которых график функции на оси ОХ имеет целые значения, но только на промежутках возрастания, в нашем случае это точки: х=-3,х=-2, х=-1 (кстати, точка х=-4 (обведена красным) не подходит, т.к. она исключена), итого три точки (на рисунке выделены синим цветом), значит ответ: 3.

Слайд 17

На графике видно, что наибольший промежуток - это второй, его длина равна 4, значит ответ: 4

Слайд 18

На графике видно, что наибольший промежуток - это первый, его длина равна 5, значит ответ: 5.

Слайд 19

Задания в которых надо использовать уравнение касательной или уравнение прямой, которая параллельна касательной к графику функции. Таких заданий всего два типа . В первом случае задан график функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо просто подсчитать все точки максимумов и минимумов на заданном промежутке.

Слайд 21

Во втором случае задан график производной функции, для нахождения количества точек, в которых касательная к графику функции параллельна, необходимо: 1. Найти угловой коэффициент касательной. Это можно сделать двумя способами: 1) Найти производную функции графика прямой, это и есть угловой коэффициент прямой; 2) Взять число, которое стоит перед Х в уравнении, например. если y=2х+5, то угловой коэффициент равен 2, если y=-х+3, то угловой коэффициент равен -1 2. провести прямую параллельно оси ОХ через точку на оси ОY, равную угловому коэффициенту прямой . 3. Подсчитать количество точек пересечения этой прямой с графиком производной функции.

Слайд 23

Задачи , в которых по заданным графически функции и касательной, проведенная к ней в данной точке необходимо найти угловой коэффициент касательной

Слайд 1

Геометрический смысл производной

Слайд 4

На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна оси абсцисс или совпадает с ней.

Слайд 5

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Слайд 6

На рисунке изображен график функции . Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите

Слайд 12

На рисунке изображен график производной функции . Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику параллельна прямой или совпадает с ней.

Слайд 1

Возрастание, убывание функций

Слайд 4

B 8) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Слайд 5

B 8) На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Слайд 18

Точки экстремума

Слайд 1

Построение сечений тетраэдра

Слайд 2

При этом необходимо учитывать следующее: 1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости одной грани. Для построения сечения нужно построить точки пересечения секущей плоскости с ребрами и соединить их отрезками. 2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. 3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка, принадлежащая плоскости сечения, то надо построить дополнительную точку. Для этого необходимо найти точки пересечения уже построенных прямых с другими прямыми, лежащими в тех же гранях.

Слайд 3

Какие многоугольники могут получиться в сечении ? Тетраэдр имеет 4 грани В сечениях могут получиться: Четырехугольники Треугольники

Слайд 4

D A B C Построить сечение тетраэдра DABC плоскостью, проходящей через точки M , N , K D A B C M N K Проведем прямую через точки М и К, т.к. они лежат в одной грани (А DC ). 2. Проведем прямую через точки К и N , т.к. они лежат в одной грани (С DB ). 3. Аналогично рассуждая, проводим прямую MN . 4. Треугольник MNK – искомое сечение.

Слайд 5

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C D M 1. Проводим К F . 2. Проводим FE . 3. Продолжим EF , продолжим AC . 5. Проводим MK . 7. Проводим EL EFKL – искомое сечение Правила 6. MK AB=L 4. EF AC = М

Слайд 6

Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . E F K L A B C M D Какие точки можно сразу соединить? С какой точкой, лежащей в той же грани можно соединить полученную дополнительную точку? Какие прямые можно продолжить, чтобы получить дополнительную точку ? F и K , Е и К ЕК и АС С точкой F Соедините получившиеся точки, лежащие в одной грани, назовите сечение. Е LFK Правила Второй способ

Слайд 7

E F L A B C D О Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки E , F , K . K Первый способ Правила

Слайд 8

Вывод: независимо от способа построения сечения одинаковые. Способ №1. Способ №2.

Слайд 1

ПРИЗМА Типовые задачи В-11

Слайд 2

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, все ребра которой равны √3 . a Н Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = √3 Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: В правильной призме высотой является боковое ребро: Н = √3 а а а Подставляем данные в формулу * : * Ответ: 13,5 № 1

Слайд 3

Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10. a Н В основании лежит правильный шестиугольник Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: а Подставляем данные в формулу * : * S бок = 6 . 5 . 10 = 300 № 2 Ответ: 300

Слайд 4

Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760. № 3 Используем формулу площади поверхности правильной призмы: В основании лежит квадрат со стороной а = 20 Используем формулу площади боковой поверхности правильной призмы: Подставляем данные в формулу * : * 1760 = 2 . 20 2 + 4 . 20 . Н 1760 = 800 + 80 Н 80Н = 1760 - 800 Н = 12 Ответ: 12 a

Слайд 5

Найдите объем правильной шестиугольной призмы, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны . № 4 Н а Используем формулу объёма правильной призмы: В основании лежит правильный шестиугольник, который большими диагоналями делится на 6 равных правильных треугольников со стороной а = 1 а Поэтому площадь правильного шестиугольника можно найти так: Н – высота (боковое ребро) правильной призмы Подставляем данные в формулу * : * Ответ: 4,5

Слайд 6

Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба. Единичный куб: ребро а = 1 Площадь поверхности куба S куб = 6a 2 = 6 Рассмотрим из чего состоит площадь поверхности оставшейся части куба: 1) В его основаниях вырезаны основания правильной четырехугольной призмы (квадраты)со стороной а 1 = 0,5 2) Его поверхность увеличивается на площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы со стороной основания а 1 = 0,5 и высотой Н = 1 Запишем формулу площади поверхности оставшейся части куба: S = S куб – 2 S осн.пр + S бок.пр или S = 6 – 2 . 0,25 + 2 = 7,5 S осн.пр = а 1 2 = 0,25 S бок.пр = Р осн . Н = 4а 1 . 1 = 2 Ответ: 7,5 № 5

Слайд 7

Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10. 1) Используем формулу площади поверхности прямой призмы: 2) В основании лежит ромб с диагоналями AC = d 1 = 6 и BD = d 2 = 8 № 6 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O a O A B C D 3) В прямой призме боковое ребро является высотой призмы: АА 1 = Н = 10 Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн . Н = 10Р осн = 10 . 4АВ 4) Найдем АВ - сторону ромба из  АОВ (  О = 90 0 ): АО = 0,5АС= 3 и ВО = 0,5 BD = 4 Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам По т. Пифагора: * Подставляем данные в * , получим: S пов = 2 . 24 + 10 . 4 . 5 = 248 Ответ: 248

Слайд 8

В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 248. Найдите боковое ребро этой призмы. 1) Используем формулу площади поверхности прямой призмы: 2) В основании лежит ромб с диагоналями AC = d 1 = 6 и BD = d 2 = 8 № 7 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O a O A B C D 3) В прямой призме боковое ребро является высотой призмы: АА 1 = Н Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн . Н = 4АВ . Н 4) Найдем АВ - сторону ромба из  АОВ (  О = 90 0 ): АО = 0,5АС= 3 и ВО = 0,5 BD = 4 Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам По т. Пифагора: * Подставляем данные в * , получим: 248 = 2 . 24 + 4 . 5 . Н Н = 10 Ответ: 10

Слайд 9

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы. № 8 А В С А 1 В 1 С 1 1) Используем формулу объема призмы В прямой призме боковое ребро является высотой призмы, т.е. АА 1 = Н = 5 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 6 8 3) Подставляем данные в формулу объема призмы, получим: V = 24 . 5 = 120 Ответ: 1 2 0

Слайд 10

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. № 9 А В С А 1 В 1 С 1 1) Используем формулу объема призмы В прямой призме боковое ребро является высотой призмы, т.е. АА 1 = Н 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 3 5 3) Подставляем данные в формулу высоты призмы, получим: Ответ: 4

Слайд 11

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности. № 10 А В С А 1 В 1 С 1 1) Используем формулу поверхности призмы 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 6 8 5) Подставляем данные в формулу поверхности призмы, получим: S пов = 2 . 24 + 240 = 288 Ответ: 288 3) Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн . Н = 10Р осн = 10 . (АВ + АС + ВС) = 10(АВ + 6 + 8) 4) Найдем АВ по т. Пифагора: S бок = 240

Слайд 12

Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Площадь ее поверхности равна 288. Найдите высоту призмы. № 11 А В С А 1 В 1 С 1 1) Используем формулу поверхности призмы 2) В основании призмы – прямоугольный треугольник А В С 6 8 5) Подставляем данные в формулу поверхности призмы, получим: 288 = 2 . 24 + 24Н Н = 10 Ответ: 10 3) Используем формулу площади боковой поверхности прямой призмы: S бок = Р осн . Н = (АВ + АС + ВС) . Н 4) Найдем АВ по т. Пифагора: S бок = 24Н

Слайд 13

Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза? № 1 2 Рассуждаем: 1) Если все ребра призмы увеличить в k раз, то получим подобную призму с коэффициентом подобия k 2) Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия. В данной задаче k = 3 , т.е. площадь поверхности увеличится в 9 раз. S бол = 9 . 6 = 54 Ответ: 54

Слайд 14

Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной призмы, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины. Рассуждаем: Диагональное сечение BDD 1 B 1 делит куб на две равные треугольные призмы: V куба = 2 . V тр.пр 2) Рассмотрим прямую треугольную призму BDCB 1 D 1 C 1 V тр.пр = S BDC . H , где Н = СС 1 3) Рассмотрим прямую треугольную призму Е FCE 1 F 1 C 1 V пр = S EFC . H , где Н = СС 1 Значит, k = 2 - коэффициент подобия для  BDC и  EFC (EF = ½ BD – ср.линия  BDC ) V тр.пр. = V пр . k 2 = 4 . V пр V куба = 2 . V тр.пр = 2 . 4 . V пр = 8 V пр  V пр = V куба : 8 = 12 : 8 = 1,5 Ответ: 1,5 № 1 3

Слайд 15

Гранью параллелепипеда является ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 . Одно из ребер параллелепипеда составляет с этой гранью угол в 60 0 и равно 2. Найдите объем параллелепипеда. № 1 4 1) Используем формулу объема параллелепипеда: 2) В основании параллелепипеда – ромб со стороной 1 и острым углом 60 0 А В С D 60 0 1 1 3) Одно из боковых ребер параллелепипеда составляет с основанием угол в 60 0 и равно 2. Изобразим фрагмент рисунка А А 1 М 2 60 0 АА 1 – боковое ребро (наклонная к основанию) А 1 М = Н – высота параллелепипеда Подставляем данные в формулу объема, получим Ответ: 1,5

Слайд 16

Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы. Площади боковых граней отсеченной призмы в два раза меньше соответствующих площадей боковых граней данной призмы ( т.к. сечение проведено через средние линии треугольников). Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы в два раза меньше площади боковой поверхности данной призмы. № 1 5 S бок.отс = S бок.пр : 2 = 24 : 2 = 12 Ответ: 12

Слайд 17

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы. Площади боковых граней отсеченной призмы в два раза меньше соответствующих площадей боковых граней данной призмы ( т.к. сечение проведено через средние линии треугольников). Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы в два раза меньше площади боковой поверхности данной призмы. № 1 6 S бок.пр = S бок.отс . 2 = 8 . 2 = 16 Ответ: 16

Слайд 18

Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы. 1) Используем формулу объема призмы: А В С М К Данная призма: Отсеченная призма: k = 2 - коэффициент подобия  А BC и  АКМ ( КМ = ½ B С – ср.линия  А BC ) Значит, объем отсеченной призмы в 4 раза меньше объема данной призмы V отс.пр = 32 : 4 = 8 Ответ: 8 № 1 7

Слайд 19

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы. 1) Используем формулу объема призмы: А В С М К Данная призма: Отсеченная призма: k = 2 - коэффициент подобия  А BC и  АКМ ( КМ = ½ B С – ср.линия  А BC ) Значит, объем отсеченной призмы в 4 раза меньше объема данной призмы V отс.пр = 5 . 4 = 20 Ответ: 20 № 1 8

Слайд 20

В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы. № 1 9 А С В С 1 А 1 В 1 1) Пусть (АА 1 С 1 С)  (ВВ 1 С 1 С), тогда линейный угол двугранного угла:  АСВ = 90 0  АВС – перпендикулярное сечение призмы Тогда  АВС – прямоугольный с катетами 6 и 8. По т. Пифагора гипотенуза равна 10 2) Для вычисления боковой поверхности призмы воспользуемся формулой l - длина бокового ребра P  - периметр перпендикулярного сечения призмы V = (10 + 6 + 8) . 10 = 240 Ответ: 240

Слайд 21

№ 20 1) Используем формулу объема призмы: 2) В основании призмы – правильный шестиугольник со сторонами 2 3) Боковые ребра призмы составляют с основанием угол в 30 0 и равны 2 √3 . Изобразим фрагмент рисунка А А 1 М 2 √3 30 0 АА 1 – боковое ребро (наклонная к основанию) А 1 М = Н – высота параллелепипеда Подставляем данные в формулу объема, получим Ответ: 18 Найдите объем призмы, в основаниях которой лежат правильные шестиугольники со сторонами 2, а боковые ребра равны и наклонены к плоскости основания под углом 30 0 .

Слайд 1

Правильная призма Типовые задачи ЕГЭ - В9

Слайд 2

B D 1 C A 1 В правильной четырёхугольной призме (А… D 1 ) известно, что AC 1 = 2BC . Найдите угол между диагоналями BD 1 и CA 1 . Ответ дайте в градусах. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 № 1 O x x x 60 0 O BD 1 ∩ CA 1 = 0 BD 1 , CA 1  BCD 1 A 1 BCD 1 A 1 - прямоугольник Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам Пусть ВС = х, тогда АС 1 = 2х значит, ОВ = ОС = ВС = х  ВОС - равносторонний  ( BD 1 , CA 1 ) =  ВОС = 6 0 0 Ответ: 60 0 Углы равностороннего треугольника по 60 0

Слайд 3

В С В 1 С 1 В правильной треугольной призме (А…С 1 ) все ребра которой равны 3 . найдите угол между прямыми АА 1 и В C 1 . Ответ дайте в градусах. A B C A 1 B 1 C 1 № 2 3 3 Основания призмы – равносторонние треугольники Боковые грани призмы - квадраты  (АА 1 , ВС 1 ) =  (СС 1 , ВС 1 ) =  ВС 1 С ВС 1 – диагональ квадрата ВВ 1 С 1 С  ВС 1 С – острый угол равнобедренного , прямоугольного  ВС 1 С (  С = 90 0 ) Острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника равны 45 0 АА 1 = СС 1 Ответ: 45 0 Найти  (АА 1 , ВС 1 )

Слайд 4

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 1 , найдите расстояние между точками В и Е . A B C A 1 B 1 C 1 № 3 D E F D 1 E 1 F 1 А F E D C B O Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ВЕ = ЕО + ОВ ВЕ = 1 + 1 = 2 Ответ: ВЕ = 2

Слайд 5

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите угол ACC 1 . Ответ дайте в градусах. A B C A 1 B 1 C 1 № 4 D E F D 1 E 1 F 1  ACC 1 = 90 0 в правильной призме боковое ребро перпендикулярно основанию призмы, а значит всем прямым, которые лежат в основании СС 1  (А…Е) АС  (А…Е) Ответ: 90 0

Слайд 6

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите угол DAB . Ответ дайте в градусах. A B C A 1 B 1 C 1 № 5 D E F D 1 E 1 F 1 Основания призмы – правильные шестиугольники D A B C E F O Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольника углы которых по 60 0  DAB =  OAB = 60 0 Ответ: 60 0

Слайд 7

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла AD 1 D . Ответ дайте в градусах. A B C A 1 B 1 C 1 № 6 D E F D 1 E 1 F 1 А F E D C B O 1 1 1 AD – противолежащий катет  AD 1 D DD 1 – прилежащий катет  AD 1 D Тангенс острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету Ответ : 2

Слайд 8

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны √5 , найдите расстояние между точками В и Е 1 . A B C A 1 B 1 C 1 № 7 D E F D 1 E 1 F 1 А F E D C B O В E 1 – гипотенуза  В EE 1 (  E = 90 0 ) , ЕЕ 1 = √5 Рассмотрим ВЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной √5 . ВЕ = ЕО + ОВ ВЕ = √5 + √5 = 2 √5 √ 5 √ 5 √ 5 Ответ: ВЕ 1 = 5

Слайд 9

E A B C D О F В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми F А и D 1 E 1 . Ответ дайте в градусах. A B C A 1 B 1 C 1 № 8 D E F D 1 E 1 F 1 Основания призмы – правильные шестиугольники Боковые грани призмы - квадраты E 1 D 1 ║ ED E 1 D 1 = ED FA ║ CD FA = CD  ( F А, E 1 D 1 ) =  (С D , ED ) =  ED С 1 способ: по формуле угла правильного многоугольника В нашем случае n = 6, подставляем В формулу, получим  6 = 120 0 2 способ: Наибольшие диагонали правильного 6-угольника, делят его на 6 равносторонних треугольника, углы которых по 60 0  ED С =  CDO +  EDO = 60 0 + 60 0 = 120 0 тогда угол между прямыми равен 60 0 Ответ: 6 0 0 Найти  (FA, E 1 D 1 ) O

Слайд 10

В правильной шестиугольной призме (А… F 1 ) все ребра которой равны 1 , найдите расстояние между точками А и Е 1 . A B C A 1 B 1 C 1 № 9 D E F D 1 E 1 F 1 А F E D C B O M A F O M 1 0,5 60 0 1 способ: по т. Пифагора: АМ 2 = AF 2 – FM 2 = 1 – ¼ = ¾ 2 способ: АМ = А F . sin60 0 = 1 . √ 3 / 2 = √3 / 2 AE 1 – гипотенуза  AEE 1 (  E = 90 0 ) Рассмотрим АЕ в правильном шестиугольнике: Наиб. диагонали правильного шестиугольника делят его на 6 равносторонних треугольника со стороной 1. АЕ = 2 . АМ где АМ – высота равностороннего  AOF АЕ 2 = 4 . АМ 2 АЕ 2 = 4 . ¾ = 3 1 1 Ответ: АЕ 1 = 2