11 класс

Слайд 1

КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса. Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность.

Слайд 2

Теорема 1 Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

Слайд 3

Доказательство Впишем в коническую поверхность две сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F 1 , F 2 и конической поверхности по окружностям C 1 и C 2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF 1 = AA 1 , AF 2 = AA 2 . Поэтому AF 1 + AF 2 = AA 1 + AA 2 = A 1 A 2 . Но длина отрезка А 1 А 2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна образующей соответствующего усеченного конуса. Поэтому сумма расстояний от точки А до точек F 1 , F 2 будет постоянной. Пусть А – произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А 1 , А 2 точки ее пересечения с окружностями C 1 , C 2 соответственно. Заметим, что прямая AS является касательной к обеим сферам.

Слайд 4

Построение сечение конуса (эллипс) В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD . На образующих SA и SB выберем какие-нибудь точки A’ и B’. Точку пересечения A’B’ и SO обозначим O’ . Через нее проведем прямую, параллельную CD и ее точки пересечения с SC и SD обозначим C’ и D’ соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению. Проведем хорду C 1 D 1 , параллельную CD , и точку O 1 ее пересечения с AB соединим с S . Точку пересечения SO 1 и A’B’ обозначим O 1 . Через точку O 1 проведем прямую, параллельную C 1 D 1 и ее точки пересечения с SC 1 и SD 1 обозначим C’ 1 и D’ 1 , соответственно. Они будут принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

Слайд 5

Теорема 2 Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

Слайд 6

Доказательство Впишем в коническую поверхность сферу, касающуюся плоскости α в некоторой точке F и конической поверхности по окружности C , лежащей в плоскости β , перпендикулярной оси. Плоскости α и β образуют между собой угол 90 о - φ и пересекаются по некоторой прямой d . Пусть А - произвольная точка сечения. Проведем образующую AS и обозначим через А 1 точку ее пересечения с окружностью C . Заметим, что прямая AS является касательной к сфере. Прямая AF также является касательной. Отрезки А F и АА 1 равны как отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки. Опустим из точки А перпендикуляр АВ на плоскость β и перпендикуляр А D на прямую d . Угол А 1 АВ равен φ . Угол А D В является углом между плоскостями α и β и поэтому равен 90 о - φ . Следовательно, угол BAD равен φ . Прямоугольные треугольники АВА 1 и АВ D равны, так как имеют общий катет и соответственно равные углы. Поэтому АА 1 = А D . Окончательно получаем равенство AF = AD , которое означает, что расстояние от произвольной точки сечения до точки F равно расстоянию от этой точки до прямой d , т. е. сечением конической поверхности в этом случае является парабола.

Слайд 7

Построение сечение конуса (парабола) В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD . Через точку O проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB обозначим B’ . Она будут принадлежать искомому сечению. Через какую-нибудь точку O 1 диаметра CD проведем прямую AO 1 и ее точку пересечения с эллипсом основания обозначим B 1 . Через точку O 1 проведем прямую, параллельную SA и ее точку пересечения с SB 1 обозначим B’ 1 . Она будет принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение.

Слайд 8

Теорема 3 Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

Слайд 9

Доказательство Впишем в коническую поверхность сферы, касающиеся плоскости сечения в некоторых точках F 1 и F 2 и конической поверхности по окружностям C 1 и C 2 соответственно. Пусть А - точка сечения, расположенная в той же части конической поверхности, что и точка F 1 . Проведем образующую AS и обозначим через А 1 , А 2 точки ее пересечения с окружностями C 1 , C 2 соответственно. Воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенных к сфере из одной точки, равны. Тогда AF 1 = AA 1 , AF 2 = AA 2 . Поэтому AF 2 - AF 1 = AA 2 - AA 1 = A 1 A 2 . Но длина отрезка А 1 А 2 не зависит от выбора точки А сечения. Она равна сумме образующих соответствующих конусов. Следовательно, разность AF 2 - AF 1 расстояний от точки А до точек F 1 , F 2 будет постоянной. Таким образом, сечением конической поверхности в этом случае является гипербола.

Слайд 10

Построение сечение конуса (гипербола) Построим сечение конуса, параллельное его оси SO . Проведем хорду C 1 D 1 , параллельную CD . Через точку O 1 ее пересечения с диаметром AB проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB обозначим B’ 1 . Она будет принадлежать искомому сечению. Аналогичным образом построим несколько других точек. Соединяя их плавной кривой, получим искомое сечение. В эллипсе, изображающем основание конуса, проведем сопряженные диаметры AB и CD . Через какую-нибудь точку O 2 хорды C 1 D 1 проведем прямую OO 2 и ее точку пересечения с эллипсом обозначим B 2 . Через точку O 2 проведем прямую, параллельную SO и ее точку пересечения с SB 2 обозначим B’ 2 . Она будет принадлежать искомому сечению.

Слайд 11

Упражнение 1 Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе? Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

Слайд 12

Упражнение 2 Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной поверхности в зависимости от угла наклона фонарика? Ответ: Эллипса, параболы или гиперболы.

Слайд 13

Упражнение 3 Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное: а) оси; б) образующей? Ответ: а) Гипербола; б) парабола.

Слайд 14

Упражнение 4 Через центр основания конуса и середину образующей проведена плоскость. Что представляет собой сечение конуса этой плоскостью? Ответ: Фигура, ограниченная параболой.

Слайд 15

Упражнение 5 Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол: а) 30°; б) 45°; в) 60°? Ответ: Фигура, ограниченная: а) гиперболой; б) параболой; в) эллипсом.

Слайд 16

Упражнение 6 Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить: а) эллипс; б) параболу; в) гиперболу? Ответ: а) Больше 60 о ; б) 60 о ; в) меньше 60 о .

Слайд 1

ОРИЕНТАЦИЯ ПОВЕРХНОСТИ Пусть в пространстве заданы плоскость и поворот этой плоскости вокруг точки О на угол φ . На рисунке а) мы смотрим на плоскость сверху, и этот поворот выглядит как поворот против часовой стрелки. Однако, если мы будем смотреть на плоскость снизу (рис. б) , то этот же поворот будет выглядеть как поворот по часовой стрелке. Таким образом, направление поворота не является свойством, изначально присущим плоскости и зависит от выбора стороны, с которой мы смотрим на плоскость. Такой выбор стороны называется ориентацией плоскости. Аналогичным образом можно определить понятие ориентации и для других двусторонних поверхностей, среди которых: сфера, поверхность многогранника, поверхности цилиндра, конуса и др. Выбирая сторону поверхности, мы как бы производим мысленное закрашивание этой стороны.

Слайд 2

Лист Мёбиуса 1 Оказывается, однако, что это можно сделать не для любой поверхности. Первым примером такой неориентируемой поверхности была поверхность, называемая листом , или лентой М ё биуса , открытая в 1858 году немецким астрономом и математиком А.Ф. М ё биусом (1790-1868). Изготовить модель листа Мебиуса очень просто. Возьмем бумажную полоску в форме прямоугольника АВС D (рис. 210). Если склеить противоположные стороны АВ и CD , совместив точку А с точкой D , а точку В с точкой С , то получим боковую поверхность цилиндра (рис. а). Если же перед склеиванием противоположных сторон одну из них повернуть на 180° и соединить точку A с точкой C , точку B с точкой D (рис. б), то получим лист Мебиуса.

Слайд 3

Лист Мёбиуса 2 Л ист М ё биуса имеет только одну сторону . Муравью, ползущему по листу Мебиуса, не надо переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это видно на гравюре М. Эшера . Свойство односторонности листа Мебиуса используется при изготовлении ременных передач. Если ремень сделать в виде ленты Мебиуса, то он будет изнашиваться вдвое медленнее, чем обычный. Это объясняется тем, что в работе ремня, изготовленного в виде ленты Мебиуса, принимает участие вся поверхность, а не только внутренняя ее часть, как у обычной ременной передачи.

Слайд 4

Упражнение 1 Явля е тся ли ориентируемой: а) сфера; б) боковая поверхность цилиндра; в) поверхность конуса? Ответ: а) Да; б) да; в) да.

Слайд 5

Упражнение 2 Сколько сторон имеет тор (напомним, это поверхность, полученная вращением окружности вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности и не пересекающей эту окружность)? Ответ: Две.

Слайд 6

Упражнение 3 Является ли ориентируемой поверхностью: а) дважды перекрученная лента; б) трижды перекрученная лента? Ответ: а) Да; б) нет.

Слайд 7

Упражнение 4 На рисунке укажите неориентируемые поверхности. Ответ: а), в), г).

Слайд 8

Упражнение 5 Является ли ориентируемой поверхность, изображенная на рисунке? Ответ: Нет.

Слайд 9

Упражнение 6 Сколько сторон имеет поверхность, полученная при разрезании листа Мебиуса по средней линии? Ответ: Две.

Слайд 10

Упражнение 7 Что получится, если дважды перекрученную ленту разрезать по средней линии? Ответ: Две сцепленные дважды перекрученные ленты.

Слайд 11

Упражнение 8 Что получится, если лист Мебиуса разрезать не по средней линии, а отступив от края на треть ширины ленты? Ответ: Сцепленные лист Мебиуса и четырежды перекрученная лента.

Слайд 12

Упражнение 9 Отрезок AB , параллельный прямой a , вращается вокруг этой прямой и одновременно вращается вокруг своего центра в плоскости отрезка AB и прямой a . За время полного оборота вокруг прямой a отрезок совершает поворот на 180° вокруг своего центра? Ответ: Лист Мебиуса.

Слайд 13

Упражнение 10 Представим себе боковую поверхность цилиндра, сделанную из эластичного материала. Вырежем в ней круглое отверстие (рис. а) , проденем в него один конец цилиндра и склеим окружности оснований. Получившаяся поверхность изображена на рисунке б ( бутылка Клейна ). Сколько у нее сторон? Ответ: Одна.

Слайд 14

Упражнение 11 В круге в ы резали два круглых отверстия и к их краям приклеили основания боковой поверхности цилиндра (рис. а , б ). Сколько сторон имеет образовавшаяся поверхность? Ответ: а) Две; б ) одну.

Слайд 15

Упражнение 12 Сколько сторон имеет поверхность, изображенная на рисунке? Является ли она ориентируемой? Ответ: Две. Да.