10 класс

Слайд 1

Мнемотическая схема для запоминания формул тригонометрии и их взаимосвязей Интерактивный плакат Формулы тригонометрии

Слайд 2

ФОРМУЛЫ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ФОРМУЛЫ СУММЫ Формулы сложения ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО АРГУМЕНТА Формулы понижения степени Формулы половинного аргумента ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ α = β

Слайд 1

Каскады из правильных многогранников Правильные многогранники можно вписывать друг в друга. При этом возможны следующие случаи: Вершинами вписанного многогранника являются некоторые вершины описанного многогранника. Вершинами вписанного многогранника являются середины ребер описанного многогранника. Вершинами вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника. Серединами ребер вписанного многогранника являются центры граней описанного многогранника. Центрами граней вписанного многогранника являются некоторые центры граней описанного многогранника. Последовательное вписывание друг в друга правильных многогранников называется каскадом. Здесь мы рассмотрим возможные варианты вписанности правильных многогранников и покажем, что имеется 5! = 120 каскадов.

Слайд 2

Куб и тетраэдр Тетраэдр можно вписать в куб так, что вершинами тетраэдра будут некоторые вершины куба.

Слайд 3

Упражнение 1 Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный куб. Ответ:

Слайд 4

Куб и октаэдр В куб можно вписать октаэдр. Вершинами октаэдра являются ц ентры граней куба . В свою очередь, центры граней октаэдра образуют вершины вписанного в него куба.

Слайд 5

Упражнение 2 Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный куб. Ответ:

Слайд 6

Упражнение 3 Найдите ребро куба, вписанного в единичный октаэдр. Ответ:

Слайд 7

Додекаэдр и куб Куб можно вписать в додекаэдр так, что вершинами куба будут некоторые вершины додекаэдра.

Слайд 8

Упражнение 4 Ответ: Найдите ребро куба, вписанного в единичный додекаэдр.

Слайд 9

Додекаэдр и икосаэдр В додекаэдр можно вписать икосаэдр . Вершинами икосаэдра являются ц ентры граней додекаэдра. В свою очередь, центры граней икоса эдра образуют вершины вписанного в него додекаэдра .

Слайд 10

Упражнение 5 Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный икосаэдр. Решение. Пятиугольник ABCDE , с вершинами в серединах ребер икосаэдра, является правильным, со стороной, равной Грань додекаэдра подобна этому пятиугольнику с коэффициентом Таким образом, ребро додекаэдра, вписанного в единичный икосаэдр, равно

Слайд 11

Упражнение 6 Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный додекаэдр. Ответ:

Слайд 12

Икосаэдр и куб В икосаэдр можно вписать додекаэдр, а в додекаэдр – куб. При этом куб будет вписан в икосаэдр. Его вершинами будут центры граней икосаэдра.

Слайд 13

Упражнение 7 Найдите ребро куба, вписанного в единичный икосаэдр. Решение. Если ребро икосаэдра равно 1, то ребро додекаэдра равно Ребро куба, вписанного в этот додекаэдр, равно Таким образом, ребро куба, вписанного в единичный икосаэдр равно

Слайд 14

Додекаэдр и тетраэдр В додекаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут некоторые вершины додекаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в додекаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Слайд 15

Упражнение 8 Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный додекаэдр. Ответ:

Слайд 16

Икосаэдр и тетраэдр В икосаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут центры граней икосаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в икосаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Слайд 17

Упражнение 9 Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный икосаэдр. Ответ:

Слайд 18

Октаэдр и тетраэдр В октаэдр можно вписать куб так, что вершинами куба будут центры граней октаэдра. Вписывая в куб тетраэдр, получим тетраэдр, вписанный в октаэдр. На рисунке ребра тетраэдра изображены зеленым цветом.

Слайд 19

Упражнение 10 Найдите ребро тетраэдра, вписанного в единичный октаэдр. Ответ:

Слайд 20

Тетраэдр и октаэдр Октаэдр можно вписать в тетраэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер тетраэдра.

Слайд 21

Упражнение 11 Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный тетраэдр. Ответ:

Слайд 22

Тетраэдр и куб Впишем в тетраэдр октаэдр, а в октаэдр куб. Тогда куб будет вписан в тетраэдр. Вершинами куба будут центры граней тетраэдра.

Слайд 23

Упражнение 12 Найдите ребро куба, вписанного в единичный тетраэдр. Ответ:

Слайд 24

Куб и икосаэдр В куб можно вписать икосаэдр так, что серединами ребер икосаэдра будут центры граней куба.

Слайд 25

Упражнение 13 Впишем в куб икосаэдр. Для этого построим на гранях куба отрезки, параллельные ребрам и середины которых лежат в центрах граней. Одним из таких отрезков является отрезок AB . Соединим концы этих отрезков. В результате получим многогранник, гранями которого являются двадцать треугольников и в каждой вершине сходится пять ребер. Какую длину должен иметь отрез ок AB в единичном кубе , чтобы полученный многогранник был икосаэдром? Решение. Обозначим x половину длины отрезка AB . Тогда Приравнивая AB 2 и BC 2 , получим уравнение 4 x 2 +2 x – 1 =0, решая которое, находим и, следовательно,

Слайд 26

Куб и додекаэдр В куб можно вписать додекаэдр так, что серединами ребер додекаэдра будут центры граней куба.

Слайд 27

Упражнение 14 Впишем в куб додекаэдр. Для этого построим на гранях куба отрезки, параллельные ребрам и середины которых лежат в центрах граней. Одним из таких отрезков является отрезок AB . Соединим концы этих отрезков. В результате получим многогранник, гранями которого являются двадцать треугольников и в каждой вершине сходится пять ребер. Какую длину должен иметь отрез ок AB в единичном кубе , чтобы полученный многогранник был додекаэдром? Решение. Обозначим x половину длины отрезка AB . Тогда Для того, чтобы грань была правильным пятиугольником нужно, чтобы BC = Решая соответствующее уравнение, находим

Слайд 28

Додекаэдр и октаэдр Октаэдр можно вписать в додекаэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер додекаэдра. Для этого сначала в куб вписываем октаэдр и додекаэдр. При этом октаэдр окажется вписанным в додекаэдр.

Слайд 29

Упражнение 15 Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный додекаэдр. Решение. Если ребро куба равно 1, то ребро додекаэдра равно а ребро октаэдра Если же ребро додекаэдра равно 1, то ребро октаэдра будет равно

Слайд 30

Икосаэдр и октаэдр Октаэдр можно вписать в икосаэдр так, что вершинами октаэдра будут середины ребер икосаэдра. Для этого сначала в куб вписываем октаэдр и икосаэдр. При этом октаэдр окажется вписанным в икосаэдр.

Слайд 31

Упражнение 16 Найдите ребро октаэдра, вписанного в единичный икосаэдр. Решение. Если ребро куба равно 1, то ребро икосаэдра равно а ребро октаэдра Если же ребро икосаэдра равно 1, то ребро октаэдра будет равно

Слайд 32

Октаэдр и додекаэдр Додекаэдр можно вписать в октаэдр так, что вершинами додекаэдра будут центры граней октаэдра. Для этого сначала в октаэдр вписываем куб, а затем около куба описываем додекаэдр. При этом додекаэдр окажется вписанным в октаэдр.

Слайд 33

Упражнение 17 Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный октаэдр. Решение. Если ребро октаэдра равно 1, то ребро куба равно Ребро додекаэдра, описанного около этого куба будет равно Таким образом, ребро додекаэдра, вписанного в единичный октаэдр, равно

Слайд 34

Тетраэдр и додекаэдр Впишем в тетраэдр октаэдр, а в октаэдр додекаэдр. Тогда додекаэдр будет вписан в тетраэдр. При этом вершинами додекаэдра будут центры граней тетраэдра.

Слайд 35

Упражнение 18 Найдите ребро додекаэдра, вписанного в единичный тетраэдр. Решение. Если ребро тетраэдра равно 1, то ребро октаэдра равно Ребро додекаэдра, вписанного в октаэдр, равно Таким образом, ребро додекаэдра, вписанного в единичный октаэдр, равно

Слайд 36

Октаэдр и икосаэдр Икосаэдр можно вписать в октаэдр так, что центрами граней икосаэдра будут центры граней октаэдра. В каком отношении вершины икосаэдра делят ребра тетраэдра? Ответ: В золотом отношении. Для этого сначала в октаэдр вписываем куб, а затем около куба описываем икосаэдр. При этом икосаэдр окажется вписанным в октаэдр.

Слайд 37

Упражнение 19 Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный октаэдр. Решение. Если ребро октаэдра равно 1, то ребро, вписанного в него куба, равно Ребро икосаэдра, описанного около этого куба, будет равно Таким образом, ребро икосаэдра, вписанного в единичный октаэдр, равно

Слайд 38

Тетраэдр и икосаэдр Икосаэдр можно вписать в октаэдр так, что центрами граней икосаэдра будут центры граней октаэдра. Для этого сначала в октаэдр вписываем куб, а затем около куба описываем икосаэдр. При этом икосаэдр окажется вписанным в октаэдр. Центрами граней икосаэдра будут центры граней тетраэдра.

Слайд 39

Упражнение 20 Найдите ребро икосаэдра, вписанного в единичный тетраэдр. Решение. Если ребро тетраэдра равно 1, то ребро октаэдра равно Ребро икосаэдра, вписанного в этот октаэдр, равно Ответ:

Слайд 40

120 каскадов В качестве первого можно взять один из пяти правильных многогранников. В качестве второго, вписанного в него многогранника, можно взять любой из оставшихся четырех правильных многогранников. В качестве третьего – любой из оставшихся трех. В качестве четвертого – любой из оставшихся двух. Пятым будет один оставшийся правильный многогранник. Таким образом, ч исло всевозможных каскадов из различных правильных многогранников равно 5!=120. На рисунке представлен каскад, в котором в качестве первого многогранника взят икосаэдр (красный), в него вписан додекаэдр (синий), затем куб (черный), далее тетраэдр (зеленый) и, наконец, октаэдр (розовый). Рассмотренные случаи показывают, что в любой правильный многогранник можно вписать все остальные правильные многогранники. Последовательно вписывая друг в друга правильные многогранники, получим так называемое каскадное вписывание.

Слайд 1

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Правильные многогранники были известны еще в древней Греции. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов , имеющих форму правильных многогранников. В частности, атомы ог ня имеют форму тетраэдр а (его гранями являются четыре правильных треугольника (рис. а); земл и - гексаэдр а (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. б ); воздух а – октаэдр а (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. в ); вод ы – икосаэдр а (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. г ); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. д). Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань.

Слайд 2

Кубок Кеплера Иоганн Кеплер (1571 – 1630) в одной из первых своих работ "Тайна мироздания" в 1596 году, используя правильные многогранники, вывел принцип, которому подчиняются формы и размеры орбит планет Солнечной системы. Геометрия Солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем: "Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия". Такая модель Солнечной системы получила название "Космического кубка" Кеплера. Впоследствии, проведя более точные измерения, Кеплер пришел к выводу, что орбиты планет являются не окружностями, а эллипсами, при этом Солнце находится в одном из фокусов этих эллипсов. В этом состоит 1-ый закон Кеплера.

Слайд 3

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

Слайд 4

ТЕТРАЭДР Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, грани которой правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром , что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Слайд 5

Упражнение 1 На клетчатой бумаге изобразите тетраэдр, аналогично показанному на рисунке.

Слайд 6

КУБ (ГЕКСАЭДР) Многогранник, гранями которого являются квадраты и в каждой вершине сходится три грани называется кубом или гексаэдром .

Слайд 7

Упражнение 2 На клетчатой бумаге изобразите куб, аналогично показанному на рисунке.

Слайд 8

ОКТАЭДР Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани называется октаэдром.

Слайд 9

Упражнение 3 На клетчатой бумаге изобразите октаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Слайд 10

ИКОСАЭДР Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников называется икосаэдром.

Слайд 11

Упражнение 4 На клетчатой бумаге изобразите икосаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Слайд 12

ДОДЕКАЭДР Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани называется додекаэдром.

Слайд 13

Упражнение 5 На клетчатой бумаге изобразите додекаэдр, аналогично показанному на рисунке.

Слайд 14

Упражнение 6 Почему гранями правильного многогранника не могут быть правильные шестиугольники? Ответ: Потому что в этом случае сумма плоских углов при вершинах будет больше или равна 360 о .

Слайд 15

Упражнение 7 Представьте многогранник - бипирамиду, сложенную из двух равных правильных тетраэдров совмещением каких-нибудь их граней. Будет ли он правильным многогранником? Ответ: Нет, в его вершинах сходится разное число граней.

Слайд 16

Упражнение 8 Является ли пространственный крест правильным многогранником? Ответ: Нет.

Слайд 17

Упражнение 9 Сколько тетраэдров изображено на рисунке ? Ответ: Пять.

Слайд 18

Упражнение 10 Сколько кубов изображено на рисунке ? Ответ: Три.

Слайд 19

Упражнение 11 Сколько октаэдров изображено на рисунке ? Ответ: Три.

Слайд 20

Упражнение 12 Соединение каких двух многогранников изображено на рисунке ? Ответ: Икосаэдра и додекаэдра.

Слайд 21

Упражнение 13 Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеют: а) тетраэдр; б) куб; в) октаэдр; г) икосаэдр; д) додекаэдр? Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4; б) В = 8, Р = 12, Г = 6; в) В = 6, Р = 12, Г = 8; г) В = 12, Р = 30, Г = 20; д) В = 20, Р = 30, Г = 12.

Слайд 22

Упражнение 14 Вершинами какого многогранника являются центры граней куба? Ответ: Октаэдра.

Слайд 23

Упражнение 15 Вершинами какого многогранника являются центры граней октаэдра? Ответ: Куба.

Слайд 24

Упражнение 16 Вершинами какого многогранника являются центры граней тетраэдра? Ответ: Тетраэдр.

Слайд 25

Упражнение 17 Вершинами какого многогранника являются середины ребер тетраэдра? Ответ: Октаэдра.

Слайд 26

Упражнение 18 Вершинами какого многогранника являются центры граней икосаэдра? Ответ: Додекаэдр.

Слайд 27

Упражнение 19 Вершинами какого многогранника являются центры граней додекаэдра? Ответ: Икосаэдр.

Слайд 28

Двойственные многогранники Два правильных многогранника называются двойственными , если центры граней одного из них являются вершинами другого. Куб и октаэдр являются взаимно двойственными многогранниками. Центры граней куба являются вершинами октаэдра.

Слайд 29

Упражнение 20 Ребро куба равно 1. Найдите ребро двойственного октаэдра. Ответ:

Слайд 30

Октаэдр и куб Центры граней октаэдра являются вершинами куба.

Слайд 31

Упражнение 21 Ребро октаэдра равно 1. Найдите ребро двойственного куба. Ответ:

Слайд 32

Тетраэдр и тетраэдр Тетраэдр двойственен сам себе. Центры его граней являются вершинами тетраэдра.

Слайд 33

Упражнение 22 Ребро тетраэдра равно 1. Найдите ребро двойственного тетраэдра. Ответ:

Слайд 34

Икосаэдр и додекаэдр Икосаэдр и додекаэдр являются взаимно двойственными многогранниками. Центры граней икосаэдра являются вершинами додекаэдра.

Слайд 35

Упражнение 23 Ребро икосаэдра равно 1. Найдите ребро двойственного додекаэдра. Ответ:

Слайд 36

Додекаэдр и икосаэдр Центры граней додекаэдра являются вершинами икосаэдра.

Слайд 37

Упражнение 24 Ребро додекаэдра равно 1. Найдите ребро двойственного икосаэдра. Ответ:

Слайд 38

Упражнение 25 Через ребра правильного тетраэдра проведены плоскости параллельные противоположным ребрам. Какой многогранник ограничен этими плоскостями? Ответ: Куб.

Слайд 39

Упражнение 26 Через середины двух ребер куба, выходящих из одной вершины, параллельно третьему ребру, выходящему из той же вершины куба, проведено сечение, отсекающее от куба треугольную призму. Такие же сечения проведены через все возможные пары середин ребер, выходящих из вершин куба. Опишите многогранник, который останется от куба в результате этих отсечений. Сколько у него вершин, ребер и граней? Какую форму имеют грани? Нарисуйте этот многогранник. Ответ: Полученный многогранник имеет 14 вершин, 24 ребра и 12 граней. Гранями являются равные ромбы.

Слайд 40

Упражнение 27 Через вершины куба, перпендикулярно его диагоналям, проходящим через эти вершины, проведены плоскости. Какой многогранник ограничен этими плоскостями ? Ответ: Октаэдр.

Слайд 41

Упражнение 28 На рисунке изображен многогранник – звезда Кеплера, являющийся объединением двух тетраэдров. Какой многогранник является общей частью (пересечением) этих тетраэдров? Ответ: Октаэдр.

Слайд 42

Упражнение 29 Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней : Ответ: 4. а) тетраэдра; б) куба; в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра? Ответ: 3. Ответ: 2. Ответ: 3 . Ответ: 4.

Слайд 1

ПОЛУПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ К полуправильным многогранникам относятся правильные n -угольные призмы , все ребра которых равны , и, так называемые, антипризмы с равными ребрами. На рисунке изображены правильная пятиугольная призма и пя тиугольн ая антипризм а. Выпуклый многогранник называется полу правильным , если его гранями являются равные правильные многоугольники , возможно, с разным числом сторон, и в се многогранные углы равны, причем один из них в другой можно перевести движением самого многогранника .

Слайд 2

ТЕЛА АРХИМЕДА Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников, имеется еще 1 3 полуправильных многогранников, которы е впервые открыл и описал Архимед (287 – 212 гг. до н. э.) - это тела Архимеда . Областью интересов Архимеда была не только математика, но и физика, оптика, астрономия и др. Он был изобретателем многих машин и механизмов, дошедших до наших дней.С помощью изобретенного им метода исчерпывания он вычислил длину окружности и получил приближения числа π , Он вычислил площадь круга, объем и площадь поверхности шара и мн. др. Цилиндр с вписанным в него шаром изображены на его надгробном камне в Сиракузах.

Слайд 3

ТЕЛА АРХИМЕДА Кроме этих двух бесконечных серий полуправильных многогранников, имеется еще 1 3 полуправильных многогранников, которы е впервые открыл и описал Архимед - это тела Архимеда . Самые простые из них получаются из правильных многогранников операцией "усечения", состоящей в отсечении плоскостями углов многогранника. Если срезать углы тетраэдра плоскостями, каждая из которых отсекает третью часть его ребер, выходящих из одной вершины, то получим усеченный тетраэдр .

Слайд 4

ТЕЛА АРХИМЕДА Если указанным образом срезать вершины октаэдра и икосаэдра, то получим соответственно усеченный октаэдр и усеченный икосаэдр . Обратите внимание на то, что поверхность футбольного мяча изготавливают в форме поверхности усеченного икосаэдра.

Слайд 5

ТЕЛА АРХИМЕДА Из куба и додекаэдра также можно получить усеченный куб и усеченный додекаэдр .

Слайд 6

ТЕЛА АРХИМЕДА Для того чтобы получить еще один полуправильный многогранник, проведем в кубе отсекающие плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины. В результате получим полуправильный многогранник, который называется кубооктаэдром . Аналогично, если в додекаэдре отсекающие плоскости провести через середины ребер, выходящих из одной вершины, то получим многогранник, который называется икосододекаэдром .

Слайд 7

ТЕЛА АРХИМЕДА Еще два полуправильных многогранник а называются усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр .

Слайд 8

ТЕЛА АРХИМЕДА Поверхность р омбокубооктаэдр а состоит из граней куба и октаэдра, к которым добавлены еще 12 квадратов. Поверхность ромбоикосододекаэдр а состо ит из граней икосаэдра, додекаэдра и еще 30 квадратов .

Слайд 9

ТЕЛА АРХИМЕДА Последние два многогранника – так называемые плосконосый (иногда называют курносый ) куб и плосконосый ( курносый ) додекаэдр , поверхность которы х состо и т из граней куба или додекаэдра, окруженных правильными треугольниками.

Слайд 10

Упражнение 1 Какую часть ребер должны отсекать от правильного тетраэдра плоскости, чтобы получился усеченный тетраэдр? Ответ: Одну третью часть.

Слайд 11

Упражнение 2 Из каких граней состо и т усеченный тетраэдр? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Четыре шестиугольных и четыре треугольных граней; В = 12, Р = 18, Г = 8.

Слайд 12

Упражнение 3 Какую часть ребер должны отсекать плоскости от правильного октаэдра, чтобы получился усеченный октаэдр? Ответ: Одну третью часть.

Слайд 13

Упражнение 4 Из каких граней состо и т усеченный октаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Восемь шестиугольных и шесть квадратных граней; В = 24, Р = 36, Г = 14.

Слайд 14

Упражнение 5 Какую часть ребер должны отсекать плоскости от правильного икосаэдра, чтобы получился усеченный икосаэдр? Ответ: Одну третью часть.

Слайд 15

Упражнение 6 Из каких граней состо и т усеченный октаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двадцать шестиугольных и двенадцать пятиугольных граней; В = 60, Р = 90, Г = 32.

Слайд 16

Упражнение 7 Ребро куба равно 1. Найдите ребро полученного из него усеченного куба. Ответ:

Слайд 17

Упражнение 8 Из каких граней состо и т усеченный куб ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть восьмиугольных и восемь треугольных граней; В = 24, Р = 36, Г = 14.

Слайд 18

Упражнение 9 Ребро додекаэдра равно 1. Найдите ребро полученного из него усеченного додекаэдра. Ответ:

Слайд 19

Упражнение 10 Из каких граней состо и т усеченный додекаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать десятиугольных и двадцать треугольных граней; В = 60, Р = 90, Г = 32.

Слайд 20

Упражнение 11 Ребро куба равно 1. Найдите ребро полученного из него кубооктаэдра. Ответ:

Слайд 21

Упражнение 12 Из каких граней состо и т кубооктаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть квадратных и восемь треугольных граней; В = 12, Р = 24, Г = 14.

Слайд 22

Упражнение 13 Ребро додекаэдра равно 1. Найдите ребро полученного из него икосододекаэдра. Ответ:

Слайд 23

Упражнение 14 Из каких граней состо и т икосододекаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать пятиугольных и двадцать треугольных граней; В = 30, Р = 60, Г = 32.

Слайд 24

Упражнение 15 Из каких граней состо и т усеченный кубооктаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть восьмиугольных, восемь шестиугольных и двенадцать квадратных граней; В = 48, Р = 72, Г = 26.

Слайд 25

Упражнение 16 Из каких граней состо и т усеченный икосододекаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать десятиугольных, двадцать шестиугольных и тридцать квадратных граней; В = 120, Р = 180, Г = 62.

Слайд 26

Упражнение 17 Из каких граней состо и т ромбокубооктаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Восемнадцать квадратных и восемь треугольных граней; В = 24, Р = 48, Г = 26.

Слайд 27

Упражнение 18 Из каких граней состо и т ромбоикосододекаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать пятиугольных, тридцать квадратных и двадцать треугольных граней; В = 60, Р = 120, Г = 62.

Слайд 28

Упражнение 19 Из каких граней состо и т курносый куб ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Шесть квадратных и тридцать две треугольных граней; В = 24, Р = 60, Г = 38.

Слайд 29

Упражнение 20 Из каких граней состо и т курносый додекаэдр ? Сколько у него вершин (В), ребер (Р) и граней (Г)? Ответ: Двенадцать пятиугольных и восемьдесят треугольных граней; В = 60, Р = 150, Г = 92.

Слайд 30

Упражнение 21 На рисунке б) изображён многогранник, который называется псевдоархимедовым. Как он получен из ромбокубооктаэдра (рис. а) ? Является ли он полуправильным многогранником? Ответ: Этот многогранник получается из ромбокубооктаэдра поворотом нижней восьмиугольн ой чаш и на 45 о . Он не является полуправильным многогранником.

Слайд 31

Упражнение 22 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного тетраэдра .

Слайд 32

Упражнение 23 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного октаэдра .

Слайд 33

Упражнение 24 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченного куба .

Слайд 34

Упражнение 25 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Кубооктаэдра .

Слайд 35

Упражнение 26 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Пятиугольной антипризмы .

Слайд 36

Упражнение 27 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченный икосаэдр .

Слайд 37

Упражнение 28 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Усеченный додекаэдр .

Слайд 38

Упражнение 29 Развертка какого полуправильного многогранника изображена на рисунке? Ответ: Икосододекаэдр .

Слайд 39

Упражнение 30 Объединением каких многогранников является многогранник, представленный на рисунке? Какой многогранник является их пересечением? Ответ: Куб и октаэдр. Их пересечением является кубооктаэдр.

Слайд 40

Упражнение 31 Разрежьте четыре равных куба на две части каждый и сложите из них усеченны й октаэдр. Ответ: Решение представлено на рисунке. Каждый куб разрезается на две равные части так, что сечениями являются правильные шестиугольники.

Слайд 41

Усеченный куб ’ Выпуклый многогранник называются равногранно полуправильным , если его гранями являются равные многоугольники и все многогранные углы – правильные. Эти многогранники двойственны полуправильным многогранникам. На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному кубу. Его гранями являются равные треугольники. Сколько их? Ответ: 24.

Слайд 42

Усеченный тетраэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному тетраэдру. Его гранями являются равные треугольники. Сколько их? Ответ: 12.

Слайд 43

Усеченный октаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному октаэдру. Его гранями являются равные треугольники. Сколько их? Ответ: 24.

Слайд 44

Усеченный икосаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному икосаэдру. Его гранями являются равные треугольники. Сколько их? Ответ: 60.

Слайд 45

Усеченный додекаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному додекаэдру. Его гранями являются равные треугольники.

Слайд 46

Кубооктаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный кубооктаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Сколько их? Ответ: 12.

Слайд 47

Икосододекаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный икосододекаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Сколько их? Ответ: 30.

Слайд 48

Усеченный кубооктаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному кубооктаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Сколько их? Ответ: 48.

Слайд 49

Усеченный икосододекаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный усеченному икосододекаэдру. Его гранями являются равные ромбы. Сколько их? Ответ: 120.

Слайд 50

Ромбокубооктаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный ромбокубо-октаэдру. Его гранями являются равные четырехугольники. Сколько их? Ответ: 24.

Слайд 51

Курносый куб ’ На рисунке показан многогранник, двойственный курносому кубу. Его гранями являются равные пятиугольники. Сколько их? Ответ: 24.

Слайд 52

Курносый додекаэдр ’ На рисунке показан многогранник, двойственный курносому додекаэдру. Его гранями являются равные пятиугольники. Сколько их? Ответ: 60.

Слайд 1

ЗВЕЗДЧАТЫЕ МНОГОГРАННИКИ Кроме правильных и полуправильных многогранников, красивые формы имеют, так называемые, звездчатые многогранники. Здесь мы рассмотрим правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два были открыты И. Кеплером (1571 – 1630) , а два других почти 200 лет спустя построил Л. Пуансо (1777-1859). Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо . Они получаются из правильных многогранников продолжением их граней или ребер.

Слайд 2

Малый звездчатый додекаэдр Продолжение ребер додекаэдра приводит к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником, и в результате возникает многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром . Этот многогранник можно также получить из додекаэдра, установкой на его гранях правильных пятиугольных пирамид.

Слайд 3

Большой звездчатый додекаэдр Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. При этом каждая грань заменяется на правильный звездчатый пятиугольник. Его можно также получить из икосаэдра, установкой на его гранях правильных треугольных пирамид.

Слайд 4

Большой додекаэдр Этот многогранник получается при продолжении граней додекаэдра. Его можно также получить из икосаэдра, вырезанием из его граней правильных треугольных пирамид.

Слайд 5

Большой икосаэдр Получается продолжением граней икосаэдра. Его можно также получить из малого звездчатого додекаэдра вырезанием из его граней треугольных пирамид.

Слайд 6

Звездчатые кубооктаэдры Помимо правильных звездчатых многогранников (тел Кеплера-Пуансо) имеется более сотни различных звездчатых форм многогранников. На рисунке показаны звездчатые формы кубооктаэдра.

Слайд 7

Звездчатые икосаэдры На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосаэдра. Всего их 59.

Слайд 8

Звездчатые икосододекаэдры На рисунке показаны некоторые звездчатые формы икосододекаэдра. Всего их 19.

Слайд 9

Упражнение 1 На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром , получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им " Stella octangula " - звезда восьмиугольная. Ответ: Тетраэдров; Объединением каких двух многогранников он является? Что является их пересечением? октаэдр.

Слайд 10

Упражнение 2 Какие боковые ребра должны быть у правильных пятиугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням додекаэдра с ребром a получился малый звездчатый додекаэдр? Ответ:

Слайд 11

Упражнение 3 Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при добавлении их к граням икосаэдра с ребром a получился большой звездчатый додекаэдр? Ответ:

Слайд 12

Упражнение 4 Вершинами какого многогранника являются вершины большого звездчатого додекаэдра? Ответ: Додекаэдра.

Слайд 13

Упражнение 5 Какие ребра должны быть у правильных треугольных пирамид, чтобы при удалении их из граней икосаэдра с ребром a получился большой додекаэдр? Ответ:

Слайд 14

Упражнение 6 Как из большого додекаэдра можно получить многогранник, изображенный на рисунке? Ответ: Операцией усечения.

Слайд 1

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ПАРКЕТЫ Здесь мы рассмотрим вопрос о том, какими многогранниками можно заполнить пространство так, чтобы любые два многогранника либо имели общую грань, либо общее ребро, либо общую вершину, либо не имели общих точек. Такое заполнение пространства многогранниками называется пространственным паркетом. Я сно, что если имеется паркет на плоскости, состоящий из многоугольников, то призмы, основаниями которых служат эти многоугольники, будут образовывать пространственный паркет. В частности, пространственный паркет можно составить из произвольного параллелепипеда, правильной треугольной призмы, правильной шестиугольной призмы и др.

Слайд 2

ПАРКЕТЫ ИЗ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ Выясним, из каких правильных многогранников можно составить пространственный паркет. Заметим, что при заполнении пространства многогранниками, сумма двугранных углов многогранников, прилегающих к одному ребру, должна составлять 360 о . Поэтому из одноименных правильных многогранников пространственный паркет можно составить только из тех, у которых двугранные углы имеют вид 360 о / n , n > 2 . Конечно, пространственный паркет можно составить из равных кубов. Двугранные углы куба равны 90 о .

Слайд 3

ПРАВИЛЬНЫЙ ТЕТРАЭДР Выясним, можно ли составить паркет из равных правильных тетраэдров. Найдем двугранные углы правильного тетраэдра. Пусть ABCD – правильный тетраэдр с ребром 1. Из вершин A и D опустим перпендикуляры AE и DE на ребро BC . Угол AED будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике ADE имеем: AD = 1, AE = DE = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 70 о 30'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее шести тетраэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360 о , если же взять шесть или более тетраэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360 о . Следовательно, из правильных тетраэдров нельзя составить пространственный паркет.

Слайд 4

ОКТАЭДР Найдем двугранные углы октаэдра. Рассмотрим правильный октаэдр с ребром 1. Из вершин E и F опустим перпендикуляры EG и FG на ребро BC . Угол EGF будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике EGF имеем: EF = , EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 109 о 30'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее четырех октаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360 о , если же взять четыре или более октаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360 о . Следовательно, из правильных октаэдров нельзя составить пространственный паркет.

Слайд 5

ИКОСАЭДР Найдем двугранные углы икосаэдра. Рассмотрим правильный икосаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF . Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В треугольнике AGC имеем: AC = , EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 138 о 11'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех икосаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360 о , если же взять три или более икосаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360 о . Следовательно, из правильных икосаэдров нельзя составить пространственный паркет.

Слайд 6

ДОДЕКАЭДР Найдем двугранные углы додекаэдра. Рассмотрим правильный додекаэдр с ребром 1. Из вершин A и C опустим перпендикуляры AG и CG на ребро BF . Угол AGC будет линейным углом искомого двугранного угла. В правильном пятиугольнике ABCDE стороны равны . AC – диагональ этого пятиугольника и, следовательно, AC = . Кроме того, EG = FG = . Используя теорему косинусов, находим . Откуда 116 о 34'. Таким образом, если при одном ребре сходится менее трех додекаэдров, то сумма их двугранных углов меньше 360 о , если же взять три или более додекаэдров, то сумма их двугранных углов будет больше 360 о . Следовательно, из правильных додекаэдров также нельзя составить пространственный паркет.

Слайд 7

ПАРКЕТЫ ИЗ ПИРАМИД В результате получаем, что единственным правильным многогранником, которым можно заполнить пространство, т.е. составить пространственный паркет, является куб. Используя куб, можно привести примеры других многогранников, из которых можно составить пространственный паркет. Так, например, куб можно разбить на правильные четырехугольные пирамиды, основаниями которых являются грани куба, а вершиной – центр куба. Одной из таких пирамид является пирамида OABCD . Если в пространственном паркете из кубов каждый куб разбить на правильные четырехугольные пирамиды, то получим пространственный паркет из правильных четырехугольных пирамид.

Слайд 8

ПАРКЕТЫ ИЗ ТЕТРАЭДРОВ Правильную четырехугольную пирамиду OABCD можно разбить на две равные треугольные пирамиды OABC и OACD . Разбиение кубов на такие пирамиды дает пространственный паркет, состоящий из треугольных пирамид – тетраэдров. Для единичного куба эти тетраэдры имеют ребра, равные , , , , 1, 1. Тетраэдр OABC можно разбить на два равных тетраэдра OABP и OBCP . Ребра этих тетраэдров равны , , , , 1, 0,5 .

Слайд 9

ПАРКЕТЫ ИЗ ТЕТРАЭДРОВ Тетраэдр OABP , в свою очередь, можно разбить на два равных тетраэдра OARP и OBRP . Ребра этих тетраэдров равны , , , 1, 0,5 , 0,5 . Наконец, из двух тетраэдров, равных тетраэдру OABP можно составить один тетраэдр OABQ , из которого также можно составить пространственный паркет. Ребра этого тетраэдра равны , , , , 1, 1. Оказывается, что никаких других тетраэдров, из которых можно составить пространственный паркет, кроме четырех тетраэдров, перечисленных выше, не существует (см. [ 1 ]) .

Слайд 10

РОМБОДОДЕКАЭДР На рисунке изображен ромбододекаэдр – многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати равных ромбов. Покажем, что из равных ромбододекаэдров можно составить пространственный паркет . Рассмотрим пространственный паркет из кубов, раскрашенных в черный и белый цвета в шахматном порядке так, что по граням соприкасаются только черные и белые кубы. Разобьем белые кубы на правильные четырехугольные пирамиды и присоединим их к прилегающим черным кубам. В результате получим искомый пространственный паркет из ромбододекаэдров.

Слайд 11

ДВЕНАДЦАТИГРАННИК 1 Используя ромбододекаэдр, приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет. Разрежем ромбододекаэдр плоскостью, проходящей через центр вписанного в него куба, параллельно одной из граней куба. В сечении будет квадрат ABCD со стороной, равной диагонали грани куба (рис. а). Вставим между двумя половинками ромбододекаэдра правильную четырехугольную призму. Получим многогранник, поверхность которого состоит из двенадцати граней: восьми ромбов и четырех шестиугольников (рис. б).

Слайд 12

ДВЕНАДЦАТИГРАННИК 2 Покажем, что из таких двенадцатигранников можно составить пространственный паркет. Для этого разрежем паркет из ромбододекаэдров плоскостями, проходящими через центры черных кубов и параллельными одной выбранной грани черного куба. В пересечении каждой такой плоскости с ромбододекаэдрами образуется плоский паркет из квадратов. В каждый разрез вставим правильные четырехугольные призмы, основаниями которых являются квадраты из плоского паркета. В результате получим искомый пространственный паркет.

Слайд 13

УСЕЧЕННЫЙ ОКТАЭДР 1 Приведем пример еще одного многогранника, из которого можно составить пространственный паркет. Он называется усеченным октаэдром, и получается из октаэдра отсечением от его вершин правильных четырехугольных пирамид, боковые ребра которых равны одной трети ребра данного октаэдра ( рис. а). Гранями усеченного октаэдра являются шесть квадратов и восемь правильных шестиугольников (рис. б).

Слайд 14

УСЕЧЕННЫЙ ОКТАЭДР 2 Разрежем усеченный октаэдр на восемь равных частей плоскостями, проходящими через пары противоположных ребер октаэдра. Каждая такая часть представляет собой половинку куба, полученную разрезанием куба по плоскости, дающей в сечении куба правильный шестиугольник. Если взять два равных усеченных октаэдра, один из них разрезать на восемь равных частей и присоединить эти части к шестиугольным граням неразрезанного усеченного октаэдра, то получим куб.

Слайд 15

УСЕЧЕННЫЙ ОКТАЭДР 3 Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов, с вписанными в них усеченными октаэдрами. Эти усеченные октаэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей усеченных октаэдров и, следовательно, сами являются усеченными октаэдрами. Таким образом, все пространство оказывается разбитым на усеченные октаэдры, и любые два таких усеченных октаэдра получаются друг из друга параллельным переносом.

Слайд 16

ПАРАЛЛЕЛОЭДРЫ Заметим, что в пяти, из рассмотренных выше пространственных паркетов, многогранники расположены параллельно друг другу. Это паркеты из шестиугольных призм, кубов (параллелепипедов), ромбододекаэдров, двенадцатигранников, полученных из ромбододекаэдра добавлением правильных четырехугольных призм и усеченных октаэдров. Такие выпуклые многогранники, из которых можно составить пространственный паркет так, чтобы любые два многогранника из этого паркета получались друг из друга параллельным переносом, называются параллелоэдрами. Отечественным математиком и кристаллографом Е.С. Федоровым (1853 – 1919) было доказано, что существует только пять типов параллелоэдров: куб (параллелепипед), правильная шестиугольная призма, усеченный октаэдр, ромбододекаэдр и двенадцатигранник, полученный из ромбододекаэдра ( см. [2]).

Слайд 17

УСЕЧЕННЫЙ КУБ И ОКТАЭДР Приведем примеры пространственных паркетов, составленных из нескольких различных многогранников. На рисунке изображен многогранник, называемый усеченным кубом. Его гранями являются правильные треугольники и восьмиугольники. Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид. Непосредственные вычисления показывают, что для единичного куба боковые ребра этих пирамид должны быть равны. Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на усеченные кубы, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, усеченные кубы и октаэдры образуют пространственный паркет.

Слайд 18

КУБООКТАЭДР И ОКТАЭДР На рисунке изображен многогранник, называемый кубооктаэдром. Его гранями являются шесть квадратов (как у куба) и восемь правильных треугольников (как у октаэдра). Он получается из куба отсечением от его вершин правильных треугольных пирамид, боковые ребра которых равны половине ребра куба. Если в пространственном паркете из кубов заменить кубы на кубооктаэдры, то между ними останутся пустоты в виде октаэдров. Таким образом, кубооктаэдры и октаэдры образуют пространственный паркет.

Слайд 19

ТЕТРАЭДР И ОКТАЭДР Рассмотрим пространственный паркет, состоящий из кубов, с вписанными в них правильными тетраэдрами. Эти тетраэдры не заполняют все пространство. Между ними остаются пустоты. Однако эти пустоты расположены вокруг вершин кубов и представляют собой объединение восьмых частей октаэдров и, следовательно, сами являются октаэдрами. Таким образом, мы имеем пространственный паркет, составленный из правильных тетраэдров и октаэдров.

Слайд 20

РОМБОКУБООКТАЭДР, КУБ И ОКТАЭДР На рисунке изображен многогранник, называемый ромбокубооктаэдром. Его гранями являются квадраты и правильные треугольники. Будем заполнять пространство ромбокубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из граней куба. На остальные квадратные грани робокубооктаэдров поставим кубы, а на треугольные грани поставим кубооктаэдры. В результате получим пространственный паркет, составленный из ромбокубооктаэдров, кубов и кубооктаэдров.

Слайд 21

УСЕЧЕННЫЙ КУБООКТАЭДР И УСЕЧЕННЫЙ ОКТАЭДР На рисунке изображен многогранник, называемый усеченным кубооктаэдром. Его гранями являются правильные восьмиугольники, шестиугольники и квадраты. Будем заполнять пространство усеченными кубооктаэдрами, совмещая их грани, полученные из восьмиугольных граней усеченного куба и так, чтобы шестиугольные грани одного усеченного кубооктаэдра примыкали к квадратным граням другого кубооктаэдра. Пустоты между этими усеченными кубооктаэдрами будут иметь форму усеченных октаэдров. Таким образом, эти усеченные кубооктаэдры и усеченные октаэдры будут образовывать пространственный паркет.

Слайд 22

ЛИТЕРАТУРА 1. Бончковский Р.Н. Заполнение пространства тетраэдрами // Математическое просвещение. – 1935. – № 4. – С. 26. (Имеется на сайте www . mccme . ru ) 2. Делоне Б., Житомирский О. Задачник по геометрии. – М. – Л.: Гос. изд. техн.-теорет. литературы, 1950. (Имеется на сайте www . mccme . ru ) 3. Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия. Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 20 11 .

Слайд 23

Упражнение 1 Можно ли составить пространственный паркет из произвольных равных : а) треугольн ых призм; б) четырехугольн ых призм; в) шестиугольн ых призм? Ответ. а) Да ; б ) да ; в ) нет.

Слайд 24

Упражнение 2 Можно ли составить паркет из какой-нибудь пятиугольной призмы? Ответ. Да.

Слайд 25

Упражнение 3 Можно ли составить паркет из как их -нибудь равных пятиугольн ых призм? Ответ. Да.

Слайд 26

Упражнение 4 Покажите, что из равных правильных четырехугольных и шестиугольных пирамид можно составить пространственный паркет. Решение. Рассмотрим усеченный октаэдр и разобьем его на правильные четырехугольные и шестиугольные пирамиды, основаниями которых являются грани усеченного октаэдра, а вершиной – его центр. Так как из равных усеченных октаэдров можно составить пространственный паркет, то их разбиения на пирамиды будут образовывать пространственный паркет.

Слайд 27

Упражнение 5 Можно ли составить пространственный паркет из пространственного креста – многогранника, полученного объединением семи кубов . Ответ. Да.

Слайд 28

Упражнение 6 На рисунке изображен многогранник, называемый звездчатым октаэдром, получающийся продолжением граней октаэдра. Он был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет переоткрыт И. Кеплером и назван им " Stella octangula " - звезда восьмиугольная. Какой правильный многогранник нужно добавить к нему, чтобы из них можно было составить пространственный паркет? Ответ. Октаэдр.

Слайд 29

Упражнение 7 Двойственным к пространственному паркету, состоящему из многогранников, имеющих центр симметрии, называется пространственный паркет из многогранников, вершинами которых являются центры многогранников данного паркета. Какие пространственные паркеты двойственны паркету из: а) кубов; б) правильных треугольных призм; в) правильных шестиугольных призм? Ответ. а) паркет из кубов; б) паркет из правильных шестиугольных призм; в) паркет из правильных треугольных призм.

Слайд 1

ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Пусть дана плоскость π и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a , перпендикулярную плоскости π . Точку пересечения прямой a с плоскостью π обозначим A’ . Она называется ортогональной проекцией точки A на плоскость π . Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их ортогональные проекции A’ , называется ортогональным проектированием на плоскость π .

Слайд 2

СВОЙСТВА Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все рассмотренные выше свойства параллельного проектирования. Свойство 1. Если прямая перпендикулярна плоскости проектирования, то ее ортогональной проекцией является точка. Если прямая не перпендикулярна плоскости проектирования , то ее ортогональной проекцией является прямая. Свойство 2. Ортогональное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой . В частности, при ортогональном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка. Свойство 3. Если две параллельные прямые не перпендикулярны плоскости проектирования , то их ортогональными проекци ями являются две параллельны е прямы е или одн а прям ая . Заметим, что ортогональное проектирование, также как и параллельное проектирование, не сохраняет длины отрезков и величины углов.

Слайд 3

КУБ На рисунке показано ортогональная проекция куба.

Слайд 4

Упражнение 1 Какая фигура является ортогональной проекцией куба на плоскость, параллельную плоскости его грани? Ответ. Квадрат.

Слайд 5

Упражнение 2 Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали его боковой грани. Ответ.

Слайд 6

Упражнение 3 Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную диагонали его боковой грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба. Ответ. 1 и

Слайд 7

Упражнение 4 Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали. Ответ. Правильный шестиугольник.

Слайд 8

Упражнение 5 Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, проходящую через центр куба и перпендикулярную диагонали. Найдите сторону правильного шестиугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба. Ответ.

Слайд 9

Упражнение 6 На рисунке изображена параллельная проекция куба. Является ли она ортогональной проекцией куба? Ответ. Нет. Из того, что ортогональной проекцией грани куба является квадрат следует, что плоскость проектирования параллельна плоскости этой грани. В этом случае ортогональной проекцией куба должен быть квадрат.

Слайд 10

ПИРАМИДА На рисунке показано ортогональная проекция правильной четырехугольной пирамиды.

Слайд 11

Упражнение 7 Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды на плоскость, параллельную плоскости ее основания. Ответ. Квадрат с проведенными диагоналями.

Слайд 12

Упражнение 8 Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды на плоскость, перпендикулярную ее боковому ребру. Ответ. Ромб с проведенной диагональю.

Слайд 13

Упражнение 9 Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Найдите стороны и диагонали ромба, являющегося ортогональной проекцией этой пирамиды. Ответ. Стороны диагонали 1 и

Слайд 14

Упражнение 10 На рисунке изображена параллельная проекция правильной четырехугольной пирамиды. Является ли она ортогональной проекцией? Ответ. Нет.

Слайд 15

ПРИЗМА На рисунке показано ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы.

Слайд 16

Упражнение 11 Какой фигурой является ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее основания? Ответ. Правильный шестиугольник.

Слайд 17

Упражнение 12 Изобразите ортогональную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани. Ответ.

Слайд 18

Упражнение 13 Правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этой призмы. Ответ. 1 и 2.

Слайд 19

Упражнение 14 На рисунке изображена параллельная проекция правильной шестиугольной призмы. Является ли она ортогональной проекцией? Ответ. Нет.

Слайд 20

ПЛОЩАДЬ Теорема. Площадь S’ ортогональной проекции плоской фигуры равна площади S этой фигуры, умноженной на косинус угла φ между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования, т.е. имеет место формула

Слайд 21

Доказательство Доказательство разбивается на несколько случаев. Если Ф – прямоугольник со сторонами a , b , сторона a которого параллельна плоскости проектирования, то проекцией является прямоугольник со сторонами a и b cos φ. Если Ф – прямоугольный треугольник с катетами a , b , катет a которого параллелен плоскости проектирования, то проекцией является прямоугольный треугольник с катетами a и b cos φ. Если Ф –треугольник, одна сторона которого параллельна плоскости проектирования, то его можно разбить или дополнить до двух прямоугольных треугольников .

Слайд 22

Доказательство Если Ф –произвольный треугольник, то его можно разбить на треугольники, у которых одна сторона параллельна плоскости проектирования . Если Ф – многоугольник, то его можно разбить на треугольники . Если Ф – произвольная фигура, то ее можно приблизить многоугольниками .

Слайд 23

Найдите площадь сечени я единичного куба A … D 1 , проходящее через вершину D 1 и середины ребер AB , BC . Решение. Сечением является пятиугольник EFGD 1 H . Его плоскость образует с плоскостью грани ABCD угол, косинус которого равен Площадь пятиугольника AEFCD равна Площадь сечения равна Упражнение 15

Слайд 24

Найдите площадь сечени я единичного куба A … D 1 , проходящее через середины ребер AB , BC , DD 1 . Ответ. . Упражнение 16

Слайд 1

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Наряду с параллельным и ортогональным проектированиями, применяемыми в геометрии для изображения пространственных фигур, большое значение для человека имеет, так называемое, центральное проектирование, используемое в живописи, фотографии и т.д. Само восприятие человеком окружающих предметов посредством зрения осуществляется по законам центрального проектирования. Пусть π - некоторая плоскость, S - не принадлежащая ей точка, центр проектирования. Для точки A пространства проведем прямую a , соединяющую эту точку с точкой S . Точка пересечения этой прямой с плоскостью π называется центральной проекцией точки A на плоскость π . Обозначим ее A '. Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их центральные проекции A ', называется центральным проектированием или перспективой. (ПЕРСПЕКТИВА)

Слайд 2

ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ Если фигура Ф лежит в плоскости α , не проходящей через центр проектирования S , и параллельной плоскости проектирования π , то ее проекцией является фигура Ф ’ , подобная Ф, и коэффициент подобия равен отношению расстояний от центра проектирования S до плоскостей π и α .

Слайд 3

Перспектива 1 Центральное проектирование плоской фигуры Ф на плоскость, находящуюся между плоскостью фигуры Ф и центром проектирования S .

Слайд 4

Перспектива 2 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда центр проектирования S расположен между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования .

Слайд 5

Перспектива 3 Центральное проектирование плоской фигуры Ф в случае, когда плоскость фигуры Ф расположена между плоскостью плоскостью проектирования и центром проектирования S .

Слайд 6

Куб 1 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную плоскости грани куба.

Слайд 7

Куб 2 Центральная проекция куба на плоскость, параллельную ребру куба.

Слайд 8

Куб 3 Центральная проекция куба в общем случае.

Слайд 9

Куб 4 Центральная проекция куба в общем случае.

Слайд 10

Пирамида Центральная проекция правильной четырехугольной пирамиды.

Слайд 11

Призма Центральная проекция правильной шестиугольной призмы.

Слайд 12

Цилиндр Центральная проекция цилиндра.

Слайд 13

А. Дюрер Н а гравюр е А.Дюрера (1471 – 1528) показано получени е перспективного изображения предмета с помощью натянутой нити .

Слайд 14

Н.Н. Ге Русский художник и педагог Н.Н. Ге (1834 – 1894), обращаясь к своим ученикам, говорил: «Учите перспективу, и когда овладеете ею, внесите ее в работу, в рисование. Здесь мы представляем картину Н.Н. Ге «Петр I допрашивает царевича Алексея»

Слайд 15

И.Е. Репин ( 1844-1930) Не ждали

Слайд 16

П.А. Федотов ( 1815 – 1852 ) Сватовство майора

Слайд 17

Упражнение 1 Для всех ли точек пространства существует центральная проекция? Для каких точек она не существует? Ответ: Нет. Она не существует для точек плоскости, проходящей через центр проектирования и параллельной плоскости проектирования.

Слайд 18

Упражнение 2 Могут ли при центральном проектировании параллельные прямые перейти в пересекающиеся? Ответ: Да.

Слайд 19

Упражнение 3 В каком случае центральной проекцией двух прямых будут две параллельные прямые? Ответ: Если прямые параллельны плоскости проектирования.

Слайд 20

Упражнение 4 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если плоскость проектирования расположена между фигурой и центром проектирования? Ответ: Уменьшенное прямое.

Слайд 21

Упражнение 5 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если центр проектирования находится между фигурой и плоскостью проектирования? Ответ: Перевернутое.

Слайд 22

Упражнение 6 Какое изображение фигуры получится в центральной проекции, если она расположена между плоскостью проектирования и центром проектирования? Ответ: Увеличенное прямое.

Слайд 23

Упражнение 7 Что можно сказать о центральной проекции плоской фигуры, которая расположена в плоскости, параллельной плоскости проектирования? Ответ: Она будет подобна исходной.

Слайд 24

Упражнение 8 Пусть прямая a пересекает плоскость и не проходит через точку S . Покажите на рисунке, куда при центральном проектировании переходит часть прямой a , расположенная: а) «выше»; б) «ниже» плоскости . Ответ: а) В точки лучей AD ’ и SC ’ без их начал, т.е. без точек A и S ; б) в точки отрезка AS без его концов, т.е. без точек A и S .

Слайд 25

Упражнение 9 На рисунке изображена центральная проекция куба. Объясните, как в каждом случае расположен куб относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Грань ADD 1 A 1 куба параллельна плоскости проектирования; б) ребро BB 1 куба параллельно плоскости проектирования; в) грань ABCD куба параллельна плоскости проектирования и точка F лежит внутри изображения этой грани; г) плоскость проектирования не параллельна никакому ребру куба.

Слайд 26

Упражнение 10 На рисунке изображена центральная проекция правильной четырёхугольной пирамиды. Объясните, как она расположена относительно плоскости проектирования. Ответ: а) Плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования, и прямая SM перпендикулярна плоскости проектирования, где S – центр проектирования, M – вершина пирамиды; б) плоскость основания пирамиды параллельна плоскости проектирования; в) плоскость основания не параллельна плоскости проектирования.

Слайд 27

Упражнение 11 На рисунке изображ е н а центральная проекция прямо го кругово го цилиндр а . К ак цилиндр расположен относительно плоскости проектирования ? Ответ: Плоскость проектирования параллельна основаниям цилиндра .

Слайд 28

Упражнение 1 2 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1 . Ответ.

Слайд 29

Упражнение 13 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани ABB 1 A 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , изображенного на рисунке, равно 10. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1 . Ответ. 20.

Слайд 30

Упражнение 14 Дорисуйте центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, параллельную плоскости грани ABB 1 A 1 . Ответ.

Слайд 31

Упражнение 15 Расстояние от центра проектирования до плоскости грани CDD 1 C 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , изображенного на рисунке, равно 16 . Найдите ребро куба. Ответ. 8 .

Слайд 32

Упражнение 16 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1 , центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Слайд 33

Упражнение 17 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, не перпендикулярную ребру AA 1 , центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Слайд 34

Упражнение 18 Изобразите центральную проекцию куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на плоскость, перпендикулярную диагонали AC 1 , центр S проектирования лежит на продолжении этой диагонали. Ответ. На рисунках показаны изображения, полученные с помощью компьютерных программ.

Слайд 35

Упражнение 19 Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проектируется на плоскость грани ABB 1 A 1 . При этом стороны квадрата, являющегося проекцией грани CDD 1 C 1 равны 0,4. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ.

Слайд 36

Упражнение 20 Изобразите центральную проекцию правильной четырехугольной пирамиды SABCD на плоскость, перпендикулярную ребру AS , центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Слайд 37

Упражнение 21 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку OO 1 , соединяющему центры ее оснований, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

Слайд 38

Упражнение 2 2 Правильная шестиугольная призма ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , все ребра которой равны 1, проектируется на плоскость грани A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 . При этом стороны шестиугольника, являющегося проекцией грани ABCDEF равны 0,6. Найдите расстояние от центра проектирования до плоскости проектирования. Ответ. 1,5.

Слайд 39

Упражнение 2 3 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную ребру AA 1 , центр S проектирования лежит на продолжении этого ребра. Ответ.

Слайд 40

Упражнение 24 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему центры противоположных боковых граней, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.

Слайд 41

Упражнение 25 Изобразите центральную проекцию правильной шестиугольной призмы ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 на плоскость, перпендикулярную отрезку, соединяющему середины противоположных боковых ребер, центр S проектирования лежит на продолжении этого отрезка. Ответ.