8 класс

Калистратова Ирина Андреевна

Предварительный просмотр:

   


Предварительный просмотр:


Предварительный просмотр:

Экзамен по математике в формате ОГЭ в 8ф 2018г.

ШКАЛА ПЕРЕВОДА ОТМЕТОК

Алгебра

Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный балл за работу в целом

0 – 3

4 – 6

7 – 9

10 – 12

Геометрия

Отметка по пятибалльной шкале

«2»

«3»

«4»

«5»

Суммарный балл за работу в целом

0 – 1

2 – 3

4 – 6

7 – 9


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 2

Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций (8 класс) Текстовые задачи (ЕГЭ 11 класс, ГИА 9 класс) Учитель математики И.А.Калистратова Школа №91 Нижний Новгород

Слайд 3

Задача №1 (№882) (геометрического содержания) Задача №1.1 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №1.2 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №1.3 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №2 (тестирование 8 класс) (на работу) Задача №2.1 (из демоверсии ЕГЭ 11 класс) Задача №3 (№888) (на движение) Задача№3 .1 (тестирование 8 класс) Задача№3 .2 (тестирование 8 класс) Задача №3.3 (готовимся к ЕГЭ) Задача №4 (№884) (числа) Задача №4.1 (тестирование 8 класс) Задача №4. 2 (тестирование 8 класс) Задача №4. 3 (готовимся к ЕГЭ) Задача №5 (№935) (на концентрацию, на смеси и сплавы) Задача №5.1(готовимся к ЕГЭ) Текстовые задачи www.fipi.ru Текстовые задачи из открытого сегмента, ФИПИ

Слайд 4

Задача №1 (№882) Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см 2 . Найдите стороны прямоугольника.

Слайд 5

I этап. Составление математической модели P = 2(a + b) S 1 = a 2 , S 2 = b 2 S 1 + S 2 = 116 см 2 Составим систему уравнений a 2 + b 2 = 116, 2 (a + b) = 28. P= 28см S 1 S 2 ? a ? b a b

Слайд 6

II этап. Работа с математической моделью a 2 + b 2 = 116, a + b = 14, a = 14 – b , (14 – b ) 2 + b 2 = 116, 96 – 28 b + b 2 + b 2 = 116 2 b 2 - 28 b + 80 = 0 b 2 - 14 b + 40 = 0 Д = 9 > 0  , 2д.к. b 1 = 10, b 2 = 4 III этап. Ответ на вопрос задачи Значит, a 1 = 14 – 10 =4(см), a 2 = 14 – 4 =10(см). Ответ: 10см и 4см. В меню

Слайд 7

Задача №1.1 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины смежных сторон относятся как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? 1) 2) 3) 4) В меню

Слайд 8

ВЕРНО! В меню

Слайд 9

НЕВЕРНО!

Слайд 10

Задача №1.2 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? В меню 1) 2) 3) 4)

Слайд 11

НЕВЕРНО!

Слайд 12

Задача №1.3 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? 1) 2) 3) 4) В меню

Слайд 13

НЕВЕРНО!

Слайд 14

Задача №2 (тестирование 8 класс) Два секретаря подготовили пакет документов за 12 часов. Сколько времени потребовалось бы первому из них на подготовку этого пакета, если он может выполнить всю работу на 10 часов быстрее второго? В меню

Слайд 15

Решение 12 часов На 10 часов быстрее ? часов выполнит одна всю работу

Слайд 16

I этап. Составление математической модели Решение P (производительность) t (время) A ( работа) 1 t 1 2 t+10 1 1 12 2 12 + 1

Слайд 17

II этап. Работа с математической моделью III этап. Ответ на вопрос задачи - 6 < 0 ( не удовлетворяет условию задачи) Ответ: 20. В меню

Слайд 18

Задача №2.1 (из демоверсии ЕГЭ 11 класс, 2009г.) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня? В меню

Слайд 19

Решение 12 дней 2 дня 3 дня = Работая вместе Работая отдельно Часть работы Работа ? дней, работая отдельно, выполнит работу В меню

Слайд 20

∙ 3 – часть работы, которую выполняет второй рабочий за 3 дня x часов для выполнения всей работы – производительность первого рабочего Т.к. вместе выполняют работу за 12 часов, то ∙ 2 – часть работы, которую выполняет первый рабочий за 2 дня Примем объём работы за 1. y часов для выполнения всей работы – производительность первого рабочего

Слайд 21

Получаем систему уравнений x = 20 y = 30 … Ответ: 20. В меню

Слайд 22

Задача №3 (№888) Велосипедист проехал 18 км с определённой скоростью, а оставшиеся 6 км со скоростью на 6 км / ч меньше первоначальной. Найдите скорость велосипедиста на втором участке пути, если на весь путь он затратил 1,5 ч. В меню

Слайд 23

Решение ▲ ▲ ▲ 6 км V 1 t = 1,5 ч 18 км V 2 ? км / ч , на 6 км / ч < , чем I этап. Составление математической модели км / ч км / ч ч

Слайд 24

III этап. Ответ на вопрос задачи - 2 – не удовлетворяет условию задачи Ответ: 12 км / ч . В меню II этап. Работа с математической моделью

Слайд 25

Задача№3 .1 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость велосипедиста. Из посёлка в город выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним из посёлка выехал мотоциклист, скорость которого на 15 км / ч больше скорости велосипедиста. В город они прибыли одновременно. Найдите скорость велосипедиста, если расстояние от посёлка до города 60 км. В меню 1) 2) 3) 4)

Слайд 26

НЕВЕРНО!

Слайд 27

Задача№3 .2 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость автобуса. Из посёлка в город выехал автобус. Через 1 час навстречу ему из города в посёлок выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км / ч больше скорости автобуса. Они встретились на середине дороги, соединяющей посёлок и город. Найдите скорость легкового автомобиля, если расстояние от посёлка до города 480 км. В меню 1) 2) 3) 4)

Слайд 28

НЕВЕРНО!

Слайд 29

Задача №3.3 (готовимся к ЕГЭ) На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше времени, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км / ч, то на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста. В меню

Слайд 30

Решение 60км 60км t 1 - ?, на 4ч > чем t 2 - ? x км / ч y км / ч ч ч

Слайд 31

60км 60км Если велосипедист увеличит скорость на 3 км / ч ( x + 3 ) км / ч ч ч

Слайд 32

Решаем второе уравнение: 15 x = 60( x+3 ) - 4 x ( x+3 ); x ( x+3 ) ≠ 0 Рассмотрим систему уравнений:

Слайд 33

4 x 2 – 33 x – 180 = 0; x 1 = 12; x 2 = - – не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 12. В меню

Слайд 34

Задача №4 (№884) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа. I этап. Составление математической модели n 2 + (n + 1) 2 – сумма квадратов чисел, n(n + 1) - произведение чисел n n + 1 В меню

Слайд 35

По условию задачи составим модель n 2 + (n + 1) 2 - n(n + 1) = 307 II этап. Работа с математической моделью … n 2 + n – 306 = 0 n 1 = 34, n 2 = -36 III этап. Ответ на вопрос задачи n 1 = 34, n 2 = -36 ( не удовлетворяет условию задачи) n + 1 = 34 + 1 = 35 Ответ: 34, 35. В меню

Слайд 36

Задача №4.1 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел. Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа. x ( x +17) = 468 2 x – 17 = 468 x ( x -17) = 468 2 x + 17 = 468 В меню

Слайд 37

НЕВЕРНО!

Слайд 38

Задача №4. 2 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел. Одно из чисел на 11 меньше другого, а их произведение равно 534. Найдите эти числа. 2 x +11 = 534 2 x – 11 = 534 x ( x -11) = 534 x ( x + 1 1) = 534 В меню

Слайд 39

НЕВЕРНО!

Слайд 40

Задача №4. 3 (готовимся к ЕГЭ) Найдите двузначное число, если количество единиц в нём на 4 больше количества десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 90. Решение: x – количество единиц в записи данного числа, y – количество десятков. 10 y + x x на 4 > y то x - 4 = y В меню

Слайд 41

Решение 10 y + x - искомое число Согласно второму условию, (10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90 Решим систему уравнений: x - 4 = y , (10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90

Слайд 42

Очевидно решение системы способом подстановки . y = x – 4, (10(x-4) + x)(x +x – 4) = 90. Решаем второе уравнение: (11 x – 40)(2x – 4) = 90 ( 11 x – 40)(x – 2) = 45; 11x 2 – 62x + 80 = 45; 11x 2 – 62x +35 = 0. Корни: x 1 = 5; x 2 = (не удовлетворяет условию задачи). В искомом числе 5 единиц,  , десятков: 5 – 4 = 1. Получим число: 10 ∙ 1 + 5 = 15. В меню Ответ:15.

Слайд 43

Задача №5 (№935) Сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка? В меню

Слайд 44

Медь Цинк 5кг Цинк 15кг > Цинк Медь на 30% повысилось содержание Масса сплава ? x кг ( x + 5) кг ( x + 5 + 15) кг

Слайд 45

Решение I этап Пусть в сплаве x кг меди, тогда ( x + 5) кг – масса первоначального сплава, ( x + 5 + 15) кг – масса полученного сплава. - процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, - процентное содержание цинка в полученном сплаве. Составим математическую модель задачи – уравнение

Слайд 46

II этап 2000 /(x+20) – 500/ ( x +5) = 30, 200 / ( x +20) – 50 / ( x +5) = 3, … ( x 2 - 25 x + 100) / ( x + 5)( x + 20) = 0, x = 20 x = 5, x = 20 ( x + 5)( x + 20) ≠ 0, x = 5.

Слайд 47

III этап Т.к. первоначально было 5 кг цинка, а меди больше, чем цинка, то выбираем x = 20. Значит, масса сплава 5 + 20 = 25 (кг). Ответ:25 кг. В меню

Слайд 48

Задача №5.1(готовимся к ЕГЭ) Если слить 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получится 12%-ный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-ный раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. В меню

Слайд 49

Анализ Концентрация раствора – это процентное выражение отношения массы растворённого вещества к общей массе раствора. При решении задач такого типа следует иметь ввиду , что во время смешивания сохраняются все массы, изменяется только их отношение.

Слайд 50

Решение Пусть концентрация H 2 SO 4 в первом растворе x% , а во втором растворе – y%. x/100 кг кислоты (1 – x/100 )кг воды 1 кг 8 кг (8 – 8 x/100) кг воды 8 x/100 кг кислоты y/100 кг кислоты (1 – y/100) кг воды 1 кг 2 кг 2 y/100 кг кислоты (2 – 2 y/100) кг воды Первый раствор Второй раствор

Слайд 51

После смешивания получим раствор общей массой 10 кг По условию получаем раствор 12%-ной концентрации,  ,в 10кг р-ра будет 10 ∙ 12 /100 кг кислоты. Получаем: Преобразуем: 4 x + y=60 кг кислоты 10 кг

Слайд 52

Рассмотрим вторую ситуацию Т.к. смесь получиться 15%-ной концентрации, то в (1 + 1) кг смеси должно содержаться Ответ: 10 и 20. 1 кг 1 кг кг кислоты кг кислоты В меню кг кислоты Получаем: После преобразований: x + y = 30 Решим систему уравнений:

Слайд 53

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1ч. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста тратит на 5 ч больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста? Ответ: 11. В меню

Слайд 54

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Пешеход рассчитывает попасть на станцию, расположенную в 20 км, к приходу поезда. Через 2,5 ч после отправления он сделал остановку на 15 мин, а затем увеличил первоначальную скорость на 1 км/ч и пришел на станцию к приходу поезда. С какой скоростью шел пешеход после остановки? Ответ:6. В меню

Слайд 55

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:8:12 . Массу первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась? Ответ: 6. В меню

Слайд 56

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Катер прошел 5 км против течения реки, а затем 21 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч. Ответ: 0,7 В меню

Слайд 57

Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит на 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц? Ответ: 2. В меню

Слайд 58

Чтобы научиться решать задачи, нужно их решать!


Предварительный просмотр:

Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Многоугольники, описанные около окружности Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности. Сама окружность при этом называется вписанной в многоугольник .

Слайд 2

Теорема 1 В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Слайд 3

Теорема 2 В любой правильн ый многоугольник можно в писать окружность. Ее центром является точка пересечения биссектрис углов многоугольника.

Слайд 4

Теорема 3 В выпуклый четырехугольник можно в писать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны, т.е. AB + CD = AD + BC .

Слайд 5

Вопрос 1 Какой многоугольник называется описанным около окружности? Ответ: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

Слайд 6

Вопрос 2 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Ответ: Вписанной в многоугольник называется окружность , касающаяся всех сторон этого многоугольника.

Слайд 7

Вопрос 3 Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? Ответ: Да.

Слайд 8

Вопрос 4 Какая точка является центр ом вписанной в треугольник окружности? Ответ: Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис этого треугольника.

Слайд 9

Вопрос 5 В любой ли правильный многоугольник м ожно ли вписать окружность? Ответ: Д а.

Слайд 10

Вопрос 6 Можно ли вписать окружность в: а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник? Ответ: а) Да; б) да; в) да.

Слайд 11

Вопрос 7 Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.

Слайд 12

Вопрос 8 Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают; б) центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот? Ответ: а) Равносторонний; б) равнобедренный.

Слайд 13

Упражнение 1 Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD . Ответ:

Слайд 14

Упражнение 2 Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD . Ответ:

Слайд 15

Упражнение 3 Укажите центр окружности, вписанной в ромб ABCD . Ответ:

Слайд 16

Упражнение 4 Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Ответ:

Слайд 17

Упражнение 5 Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Ответ:

Слайд 18

Упражнение 6 Ответ: 2. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.

Слайд 19

Упражнение 7 Ответ: 6 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 3 .

Слайд 20

Упражнение 8 Ответ: 10 . Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 5 .

Слайд 21

Упражнение 9 Окружность, вписанная в треугольник ABC , делит сторону AB в точке касания D на два отрезка AD = 5 см и DB = 6 см. Найдите периметр треугольника ABC , если известно, что BC = 10 см. Ответ: 30 см.

Слайд 22

Упражнение 10 Ответ: 2 0 см. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см, считая от вершины . Найдите периметр треугольника.

Слайд 23

Упражнение 11 К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны p 1 , p 2 , p 3 . Найдите периметр данного треугольника. Ответ: p 1 + p 2 + p 3 .

Слайд 24

Упражнение 12 Ответ: 34 см. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 см.

Слайд 25

Упражнение 13 Ответ: а) Нет; Всегда ли м ожно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) дельтоид ? б) нет; в) да; г) да; д) да.

Слайд 26

Упражнение 14 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и расположены по разные стороны от него. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность? Ответ: Да.

Слайд 27

Упражнение 15 Какой вид имеет четырехугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей? Ответ: Ромб.

Слайд 28

Упражнение 16 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18 см. Найдите ее среднюю линию. Ответ: 4,5 см.

Слайд 29

Упражнение 17 В трапецию, периметр которой равен 56 см, вписана окружность. Три последовательные стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найдите стороны трапеции. Ответ: 4 см, 14 см, 24 см, 14 см.

Слайд 30

Упражнение 18 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 3 см.

Слайд 31

Упражнение 19 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности. Ответ: 2 .

Слайд 32

Упражнение 20 Докажите, что если в трапецию ABCD ( AB || CD ) вписана окружность с центром O , то углы AOD и BOC равны 90 о . Доказательство. Лучи AO и DO являются биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых AB и CD . Следовательно, угол AOD равен 90 о . Аналогично, угол BOC равен 90 о .

Слайд 33

Упражнение 2 1 Докажите, что если в равнобедренную трапецию ABCD ( AB || CD ) вписана окружность, ее боковые стороны AD и BC равны средней линии EF . Доказательство. Сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Следовательно, боковая сторона равна полусумме оснований, т.е. равна средней линии.

Слайд 34

Упражнение 22 Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника. Ответ: 7 см, 30 см.

Слайд 35

Упражнение 23 Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника? Ответ: Да, 34 см.

Слайд 36

Упражнение 24 Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. Ответ: 7 .

Слайд 37

Упражнение 25 К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 24 .

Слайд 38

Упражнение 26 В шестиугольнике ABCDEF , описанном около окружности AB = 3, CD = 4, EF = 2. Найдите периметр этого шестиугольника. Ответ: 18 .


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Золотое сечение Золотым сечением называется такое делением целого на две неравные части, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Выясним, каким числом выражается золотое сечение. Для этого выберем произвольный отрезок и примем его длину за единицу. Разобьем этот отрезок на две неравные части, и большую из них обозначим через x . Тогда меньшая часть равна 1 - x . По определению золотого отношения должно выполняться равенство (1 - x ) : x = x : 1. Мы получили уравнение относительно x , которое легко свести к квадратному x 2 + x – 1 = 0. Положительный корень этого уравнения равен x = 0,6 . Полученное число обозначается буквой φ . Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия .

Слайд 2

Пропорции головы и руки человека

Слайд 3

Парфенон Одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры - Парфенон в Афинах ( V в.до н.э.) содержит в себе золотые пропорции. Так отношение высоты AB здания к его длине AD равно φ . Кроме того, отношение AC к BC также равно φ .

Слайд 4

Золотой прямоугольник Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, называется золотым прямоугольником . Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров, подобный исходному . Если этот процесс продолжить, то мы получим так называемые вращающиеся квадраты, и весь прямоугольник окажется составленным из этих квадратов (рис. а). Если вершины квадратов соединить плавной кривой, то получим кривую, называемую золотой спиралью (рис. б) .

Слайд 5

Золотые треугольники Равнобедренный треугольник называется золотым , если его боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Возможны два типа золотых треугольников. В первом случае AB : AC = φ . Во втором случае AC : AB = φ .

Слайд 6

Золотые треугольники Теорема. З олотыми треугольниками являются равнобедренные треугольники с углами при вершинах 36 о и 108 о . Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник ( AC = BC = 1, AB = x ) , угол C равен 36 о . Проведем биссектрису AD . Треугольники ABD и CAB подобны по трем углам. Следовательно, BD : AB = AB : AC , т.е. 1 – x : x = x : 1. Решая это уравнение относительно x , находим x = φ. Значит, треугольник ABC – золотой. Заметим, что треугольник ACD – также золотой.

Слайд 7

Пентаграмма П равильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями, образующими звездчатый правильный пятиугольник называется пентаграмм ой . В се треугольники, на которые при этом разбивается пятиугольник, являются золотыми.

Слайд 8

Вопрос 1 Что называется золотым сечением ? Ответ: Золотым сечением называется такое делением целого на две неравные части, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Слайд 9

Вопрос 2 Каким числом выражается золотое сечение? Ответ:

Слайд 10

Вопрос 3 Как обозначается число, выражающее золотое сечение? Ответ: φ .

Слайд 11

Вопрос 4 В честь кого золотое сечение обозначается буквой φ ? Ответ: В честь древнегреческого скульптора Фидия .

Слайд 12

Вопрос 5 Какой прямоугольник называется золотым? Ответ: Золотым прямоугольником называется п рямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении .

Слайд 13

Вопрос 6 Какие треугольники называются золотыми? Ответ: Золотым называется р авнобедренный треугольник , боковая сторона и основание которого находятся в золотом отношении.

Слайд 14

Вопрос 7 Что такое пентаграмма? Ответ: Пентаграммой называется п равильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями .

Слайд 15

Упражнение 1 На рисунке окружность с центром в точке О касается прямой АВ в точке В , 2 ОВ = АВ. Найдите отношение отрезков AC и AB . Ответ:

Слайд 16

Упражнение 2 Используя циркуль и линейку, разделите данный отрезок AB в золотом отношении. Решение: Через точку B проведем прямую, перпендикулярную прямой AB , отложим на ней отрезок BC , равный половине отрезка AB . Проведем отрезок AC . С центром в точке C проведем окружность радиуса BC , ее точку пересечения с отрезком AC обозначим D . С центром в точке A проведем окружность радиуса AD , ее точку пересечения с отрезком AB обозначим E . Эта точка и будет делить отрезок AB в золотом отношении.

Слайд 17

Упражнение 3 В треугольнике ABC биссектриса AL равна отрезку LC и стороне AB . Найдите угол C . Ответ: 36 о .

Слайд 18

Упражнение 4 Биссектриса, проведенная из вершины основания равнобедренного треугольника, равна основанию. Найдите угол при основании этого треугольника. Ответ: 72 о .

Слайд 19

Упражнение 5 Угол при основании равнобедренного треугольника ABC ( AC = BC ) равен 36 о . Высота CH , опущенная на основание, равна 1. Найдите биссектрису AD , проведенную из вершины основания. Решение. Проведем среднюю линию HE треугольника ABD . Угол HED равен углу ADC и равен 54 о . Угол HCE также равен 54 о . Следовательно, треугольник HCE – равнобедренный, HC = HE = 0,5. Ответ. 0,5.

Слайд 20

Упражнение 6 Найдите радиус окружности, описанной около правильного десятиугольника со стороной 1. Ответ:

Слайд 21

Упражнение 7 Сторона правильного пятиугольника равна 1. Найдите его диагональ. Ответ:

Слайд 22

Упражнение 8 В каком отношении точка E 1 делит отрезок AC ? Ответ: В золотом.

Слайд 23

Упражнение 9 Докажите, что диагонали правильного пятиугольника образуют правильный пятиугольник. Найдите сторону этого пятиугольника, если сторона исходного пятиугольника равна 1. Ответ:

Слайд 24

Упражнение 10 В полукруг с диаметром АВ вписан квадрат CDEF . Найдите отношение отрез ков АЕ и ED . Ответ:

Слайд 25

Упражнение 11 Катет прямоугольного треугольника равен 1. Найдите его гипотенузу, если угол, противолежащий данному катету, равен: а) 18 о ; б) 54 о . Ответ: а) б)

Слайд 26

Упражнение 12 Докажите, что каждый следующий виток золотой спирали подобен предыдущему. Найдите коэффициент подобия. Ответ:

Слайд 27

Упражнение 13 Отсекая золотые треугольники, аналогично тому, как это было сделано для золотого прямоугольника, постройте последовательность вращающихся золотых треугольников. Ответ:

Слайд 28

Упражнение 14* Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем расправлена так, чтобы узел стал плоским. Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

КВАЗИКРИСТАЛЛЫ 5-го октября 2011 года Нобелевский комитет присудил самую престижную премию в области химии израильскому ученому Даниэлю Шехтману за открытие квазикристаллов. С давних пор, когда только зарождалась наука о твердых телах, было замечено, что все тела в природе можно разделить на два диаметрально противоположных класса: разупорядоченные аморфные тела, в которых полностью отсутствует закономерность во взаимном расположении атомов, и кристаллические тела, характеризующиеся их упорядоченным расположением. Такое разделение структуры твердых тел просуществовало почти до конца XX века, когда были открыты не совсем «правильные» кристаллические тела – квазикристаллы. Их стали рассматривать как промежуточные формы между аморфными и кристаллическими телами. Квазикристаллы, как "обычные" кристаллы и аморфные тела - это одна из форм организации структуры твердых тел. Они обладают запрещенными для обычных кристаллов осями симметрии, в частности, седьмого, восьмого, десятого, двенадцатого и других порядков, запрещенными в классической кристаллографии.

Слайд 2

КВАЗИКРИСТАЛЛЫ Шехтман получил первую микрофотографию структуры квазикристалла в 1982 году. В отличие от привычных изображений кристаллов, рисунок расположения атомов в квазикристалле не был периодическим. Результаты Шехтмана были неоднозначно восприняты научным сообществом. Защищая свою работу, ученый вынужден был покинуть исследовательскуб группу, в которой он состоял на тот момент. В 2010 году в России был впервые обнаружен природный минерал, обладающий квазикристаллической структурой. Модель квазикристалла может быть создана на основе мозаики Пенроуза с двумя «элементарными ячейками», соединенными друг с другом по определенным правилам. Они были придуманы английским ученым Р. Пенроузом в 70-х годах прошлого века. Существуют и другие теоретические модели, так или иначе пытающиеся разрешить споры ученых о природе квазикристаллических структур. Однако в большинстве публикаций изящные мозаики Пенроуза с двумя и более фигурами признаются наиболее правильным ключом к пониманию структуры квазикристаллов.

Слайд 3

Р. ПЕНРОУЗ

Слайд 4

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 1

Слайд 5

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 2

Слайд 6

МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 3

Слайд 7

ЗОЛОТЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Мозаика Пенроуза из золотых треугольников порождается двумя золотыми равнобедренными треугольниками, для которых основание остроугольного треугольника равно боковой стороне тупоугольного. Напомним, что золотым треугольником называется равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Золотые треугольники бывают двух видов: остроугольные, с углом при вершине 36 о , и тупоугольные, с углом при вершине 108 о .

Слайд 8

МОЗАИКА ПЕНРОУЗА ИЗ ЗОЛОТЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Слайд 9

Упражнение 1 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два остроугольных золотых треугольника с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим мозаику Пенроуза.

Слайд 10

Упражнение 2 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.

Слайд 11

Упражнение 3 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.

Слайд 12

Упражнение 4 Сделайте следующий шаг в построении мозаики Пенроуза из золотых треугольников, заполняющей всю плоскость.

Слайд 13

Упражнение 5 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.

Слайд 14

Упражнение 6 Укажите способ раскраски мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, так, чтобы она состояла только из четырехугольников двух видов.

Слайд 15

Упражнение 7 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.

Слайд 16

Упражнение 8 Найдите закономерность построения мозаики Пенроуза 1.


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Пифагор Пифагор (580–500 гг. до н. э.) - один из величайших ученых Древней Греции, а теорема Пифагора - одна из самых красивых в геометрии. Школа Пифагора была одной из первых и самых известных философских школ Древней Греции. Пифагору принадлежит первое построение геометрии как дедуктивной науки. Помимо геометрии Пифагор занимался арифметикой. В частности, им были найдены натуральные решения уравнения x 2 + y 2 =z 2 , которые сейчас называются пифагоровыми тройками.

Слайд 2

Теорема Пифагора Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c 2 = a 2 + b 2 . Доказательство. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом. Проведем высоту С D . Треугольники АВС и ACD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB·AD = AC 2 . Аналогично треугольники ABC и CBD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB · BD = BC 2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB , получим: AC 2 + BC 2 = AB ( AD + DB ) = AB 2 .

Слайд 3

Соизмеримые и несоизмеримые отрезки Два отрезка называются соизмеримыми , если их отношение является рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться рациональным числом. Два отрезка называются не соизмеримыми , если их отношение является ир рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться ир рациональным числом. Г ипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетами.

Слайд 4

Пифагоровы тройки Пифагоровой тройкой называется тройка ( x , y , z ) натуральных чисел x , y , z , для которых выполняется равенство x 2 + y 2 = z 2 . Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника. Примером пифагоровой тройки является тройка (3, 4, 5).

Слайд 5

Вопрос 1 Сформулируйте теорему Пифагора. Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Слайд 6

Вопрос 2 Каки е два отрезка называются соизмеримыми ? Ответ: Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.

Слайд 7

Вопрос 3 Каки е два отрезка называются несоизмеримыми ? Ответ: Два отрезка называются не соизмеримыми, если их отношение является ир рациональным числом.

Слайд 8

Вопрос 4 Приведите пример несоизмеримых отрезков. Ответ: Г ипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника и его катет.

Слайд 9

Вопрос 5 Что называется пифагоровой тройкой? Ответ: Пифагоровой тройкой называется тройка ( x , y , z ) натуральных чисел x , y , z , для которых выполняется равенство: x 2 + y 2 = z 2 .

Слайд 10

Вопрос 6 Каков геометрический смысл чисел пифагоровой тройки? Ответ: Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника.

Слайд 11

Вопрос 7 Приведите примеры пифагоровых троек. Ответ: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).

Слайд 12

Упражнение 1 У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b . Найдите гипотенузу c , если: а) а = 3, b = 4; б) a = 1, b = 1; в) a = 5, b = 6. Ответ: а) 5; б) ; в) .

Слайд 13

Упражнение 2 У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а . Найдите второй катет, если: а) с = 5, а = 3; б) с = 13, а = 5; в) с = 6, а = 5. Ответ: а) 4; б) 12; в) .

Слайд 14

Упражнение 3 Стороны прямоугольника равны 5 и 12. Найдите его диагональ. Ответ: 13 .

Слайд 15

Упражнение 4 Диагональ прямоугольника равна 10. Одна из его сторон равна 6. Найдите другую, не равную ей сторону. Ответ: 8 .

Слайд 16

Упражнение 5 Стороны квадрата равны 5 . Найдите квадрат его диагонали. Ответ: 50.

Слайд 17

Упражнение 6 Диагональ квадрата 2 . Чему равна его сторона? Ответ:

Слайд 18

Упражнение 7 Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и b . Найдите расстояние от точки до вершины угла. Ответ:

Слайд 19

Упражнение 8 Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7? Ответ: Нет.

Слайд 20

Упражнение 9 Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 : 12. Ответ: а) 6 см, 8 см, 10 см; б) 10 см, 24 см, 26 см.

Слайд 21

Упражнение 10 Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника. Ответ: 5, 12 и 13.

Слайд 22

Упражнение 11 В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу. Ответ: 2,4; 1,8 и 3,2.

Слайд 23

Упражнение 12 В треугольнике ABC AC = 5, BC = 4, высота CH равна 3. Найдите сторону AB . Ответ:

Слайд 24

Упражнение 13 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC . Найдите квадрат расстояния между точками A и D . Ответ: 14 .

Слайд 25

Упражнение 14 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC . Найдите квадрат расстояния между точками A и D . Ответ: 10 .

Слайд 26

Упражнение 15 Найдите квадрат расстояния между точками A и B , изображенными на рисунке. Ответ: 5.

Слайд 27

Упражнение 16 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 5; б ) 8; в ) 5.

Слайд 28

Упражнение 17 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 2; б ) 5; в ) 8.

Слайд 29

Упражнение 18 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 2; б ) 10; в ) 10.

Слайд 30

Упражнение 19 Изобразите отрезок, длина которого равна: а) ; б) ; в) ; г) .

Слайд 31

Упражнение 20 Изобразите все точки, находящиеся в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние: а) меньшее 2 ; б) меньшее 3 ; в) большее 2 и меньшее 3.

Слайд 32

Упражнение 21 Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 м и 8 м. Ответ: 5 м.

Слайд 33

Упражнение 22 Сторона ромба равна 13. Одна из его диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ . Ответ: 24 .

Слайд 34

Упражнение 2 3 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на основание. Ответ: 8.

Слайд 35

Упражнение 2 4 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, высота, опущенная на основание, равна 4. Найдите основание этого треугольника. Ответ: 6.

Слайд 36

Упражнение 25 Основание равнобедренного треугольника равно 8, высота, опущенная на основание, равна 3. Найдите боковую сторону этого треугольника. Ответ: 5.

Слайд 37

Упражнение 26 Найдите высоту равнобедренной трапеции, у которой основания равны 4 и 1 0 , а боковая сторона равна 5 . Ответ: 4.

Слайд 38

Упражнение 27 Высота равнобедренной трапеции равна 15 см, основания равны 8 см и 24 см. Найдите боковые стороны. Ответ: 17 см.

Слайд 39

Упражнение 28 Основания прямоугольной трапеции равны 5 и 8, большая боковая сторона равна 5. Найдите меньшую боковую сторону . Ответ: 4.

Слайд 40

Упражнение 29 Боковые стороны прямоугольной трапеции прямоугольной трапеции равны 5 и 4, меньшее основание равно 4. Найдите большее основание . Ответ: 7.

Слайд 41

Упражнение 30 Основания прямоугольной трапеции равны 4 и 8, меньшая боковая сторона равна 3. Найдите большую боковую сторону . Ответ: 5.

Слайд 42

Упражнение 31 В правильном треугольнике со стороной 1 найдите: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты. Ответ: а), б), в)

Слайд 43

Упражнение 32 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 5 и 12. Ответ: 6,5 .

Слайд 44

Упражнение 3 3 Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен 10. Одна сторона этого прямоугольника равна 6. Найдите другую его сторону. Ответ: 8 .

Слайд 45

Упражнение 3 4 В равностороннем треугольнике со стороной а найдите радиусы r и R вписанной и описанной окружностей. Ответ: r = ; R = .

Слайд 46

Упражнение 35 Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите радиус вписанной в него окружности. Ответ: 1 см.

Слайд 47

Упражнение 36 Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса 1. Ответ: см.

Слайд 48

Упражнение 37 Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b . Ответ:

Слайд 49

Упражнение 38 Даны две окружности, радиусов R и r . Расстояние между их центрами равно a > R + r . Найдите длины отрезков их общих касательных. Ответ:

Слайд 50

Упражнение 39 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 .

Слайд 51

Упражнение 40 Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции. Ответ: Возможны два случая. В первом высота трапеции равна 14 , во втором - 2 .

Слайд 52

Упражнение 41 Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? Ответ: 1000 м .

Слайд 53

Упражнение 42 Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка? Ответ: 5 00 м .

Слайд 54

Упражнение 4 3 Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин? Ответ: 2,5 км .

Слайд 55

Упражнение 4 4 Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Ответ: 50 км .

Слайд 56

Упражнение 45 Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами A и B , расположенными на разных берегах озера. Ответ: 500 м .

Слайд 57

Упражнение 46 На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м? Ответ: 5 м .

Слайд 58

Упражнение 47 В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 11 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ: 13 м .

Слайд 59

Упражнение 48 Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м. Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш. Ответ: 1,5 м .

Слайд 60

Упражнение 49 Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты должна быть машина шириной 2 м, чтобы она могла проехать по этому туннелю? Ответ: м .


Предварительный просмотр:


Подписи к слайдам:

Слайд 1

Теорема Менелая Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство (*) Доказательство: Пусть точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой a . Опустим из вершин треугольника ABC перпендикуляры AA ’ , BB ’ , CC ’ на эту прямую. Т реугольники AC 1 A ’ и BC 1 B ’ подобны и, следовательно, Аналогичным образом показывается, что и Перемножая эти три равенства, будем иметь требуемое равенство.

Слайд 2

Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 , для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке C ' . По доказанному, выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство Прибавим к его обеим частям единицу и приведем к общему знаменателю. Получим равенство из которого следует, что C’ и C 1 совпадают. Следовательно, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой.

Слайд 3

Упражнение 1 Точка C 1 – середина стороны AB треугольника ABC . Точка O – середина отрезка CC 1 . В каком отношении делит прямая AO сторону BC ? Ответ: 2:1.

Слайд 4

Упражнение 2 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B 1 делит сторону AC в отношении 2:1. Прямая A 1 B 1 пересекает продолжение стороны AB в точке C 1 . Найдите отношение AB : BC 1 . Ответ: 3:1.

Слайд 5

Упражнение 3 На продолжениях сторон AB , BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 так, что AB = BC 1 , BC = CA 1 , CA = AB 1 . Найдите отношение, в котором прямая AB 1 делит сторону A 1 C 1 треугольника A 1 B 1 C 1 . Ответ: 1:2.

Слайд 6

Упражнение 4 Точка C 1 делит сторону AB треугольника ABC в отношении 1 : 2 . Точка B 1 лежит на продолжении стороны AC и AC = 2 CB 1 . В каком отношении делит прямая B 1 C 1 сторону BC ? Решение: По условию , и спользуя теорему Менелая, находим

Слайд 7

Теорема Чевы Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 . Прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Доказательство. Пусть прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке . Применим теорему Менелая к треугольнику BCC 1 и прямой AA 1 . Получим Перемножая эти два равенства, получим искомое равенство (*). Аналогично, применяя теорему Менелая к треугольнику AC 1 C и прямой BB 1 , получим

Слайд 8

Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 , для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прям ые AA 1 и BB 1 пересека ются в точке O . Проведем прямую CO и обозначим С ’ ее точку пересечения со стороной AB . Докажем, что C’ совпадает с C 1 . Для точек A 1 , B 1 , C’ выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство из которого следует, что точки C’ и C 1 совпадают, значит, прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.

Слайд 9

Упражнение 6 Точки C 1 и A 1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC 1 и AA 1 пересекаются в точке O . Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону CA . Решение: По условию И спользуя теорему Чевы , находим

Слайд 10

Упражнение 7 Точки C 1 , B 1 , A 1 делят стороны AB , AC , BC , соответственно, в отношениях 4:1, 2:1, 1:2. Выясните, пересекаются ли прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 в одной точке. Ответ: Да.

Слайд 11

Упражнение 8 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:3. В каком отношении должна делить точка B 1 сторону AC , чтобы точка пересечения прямых AA 1 и BB 1 принадлежала медиане CC 1 треугольника ABC ? Ответ: 1:3.

Слайд 12

Упражнение 9 Докажите, что п рямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона . Решение: П усть окружность касается сторон треугольника ABC соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . Тогда AB 1 = AC 1 , BC 1 = BA 1 , CA 1 = CB 1 . Следовательно, По теореме Чевы , прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.

Слайд 13

Упражнение 10 Докажите, что п рямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вне вписанн ых окружност ей пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля .

Слайд 14

Решение П усть окружность касается сторон ы BC и продолжения сторон AC и AB треугольника ABC соответственно в точках A 1 , B ’ , C ’ . Тогда CA 1 = CB’ , BA 1 = BA’ , AB’ = AC’ . Обозначим AB = с , AC = b , BC = a , p – полупериметр треугольника ABC . Имеем AB’ = AC’ = p и, следовательно, BA 1 = BC’ = p – c , A 1 C = CB’ = p – b. Аналогично, для точек касания B 1 и C 1 имеем: AC 1 = p – b , C 1 B = p – a ; CB 1 = p – a , C 1 A = p – b. С ледовательно, выполняется равенство По теореме Чевы , прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.