8 класс
Информация для учащихся 8 - х классов
Скачать:
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций (8 класс) Текстовые задачи (ЕГЭ 11 класс, ГИА 9 класс) Учитель математики И.А.Калистратова Школа №91 Нижний Новгород
Задача №1 (№882) (геометрического содержания) Задача №1.1 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №1.2 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №1.3 (супертренинг ГИА 9 класс) Задача №2 (тестирование 8 класс) (на работу) Задача №2.1 (из демоверсии ЕГЭ 11 класс) Задача №3 (№888) (на движение) Задача№3 .1 (тестирование 8 класс) Задача№3 .2 (тестирование 8 класс) Задача №3.3 (готовимся к ЕГЭ) Задача №4 (№884) (числа) Задача №4.1 (тестирование 8 класс) Задача №4. 2 (тестирование 8 класс) Задача №4. 3 (готовимся к ЕГЭ) Задача №5 (№935) (на концентрацию, на смеси и сплавы) Задача №5.1(готовимся к ЕГЭ) Текстовые задачи www.fipi.ru Текстовые задачи из открытого сегмента, ФИПИ
Задача №1 (№882) Периметр прямоугольника равен 28 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух смежных сторонах прямоугольника, равна 116 см 2 . Найдите стороны прямоугольника.
I этап. Составление математической модели P = 2(a + b) S 1 = a 2 , S 2 = b 2 S 1 + S 2 = 116 см 2 Составим систему уравнений a 2 + b 2 = 116, 2 (a + b) = 28. P= 28см S 1 S 2 ? a ? b a b
II этап. Работа с математической моделью a 2 + b 2 = 116, a + b = 14, a = 14 – b , (14 – b ) 2 + b 2 = 116, 96 – 28 b + b 2 + b 2 = 116 2 b 2 - 28 b + 80 = 0 b 2 - 14 b + 40 = 0 Д = 9 > 0 , 2д.к. b 1 = 10, b 2 = 4 III этап. Ответ на вопрос задачи Значит, a 1 = 14 – 10 =4(см), a 2 = 14 – 4 =10(см). Ответ: 10см и 4см. В меню
Задача №1.1 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 30 см. Длины смежных сторон относятся как 2 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? 1) 2) 3) 4) В меню
ВЕРНО! В меню
НЕВЕРНО!
Задача №1.2 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 10 см. Длины смежных сторон относятся как 4 : 1. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? В меню 1) 2) 3) 4)
НЕВЕРНО!
Задача №1.3 (супертренинг ГИА 9 класс) Периметр прямоугольника равен 20 см. Длины смежных сторон относятся как 3 : 2. Найдите длины сторон этого прямоугольника. Пусть a и b – стороны прямоугольника, причём a – большая сторона. Какая система уравнений не соответствует условию задачи? 1) 2) 3) 4) В меню
НЕВЕРНО!
Задача №2 (тестирование 8 класс) Два секретаря подготовили пакет документов за 12 часов. Сколько времени потребовалось бы первому из них на подготовку этого пакета, если он может выполнить всю работу на 10 часов быстрее второго? В меню
Решение 12 часов На 10 часов быстрее ? часов выполнит одна всю работу
I этап. Составление математической модели Решение P (производительность) t (время) A ( работа) 1 t 1 2 t+10 1 1 12 2 12 + 1
II этап. Работа с математической моделью III этап. Ответ на вопрос задачи - 6 < 0 ( не удовлетворяет условию задачи) Ответ: 20. В меню
Задача №2.1 (из демоверсии ЕГЭ 11 класс, 2009г.) Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй – за три дня? В меню
Решение 12 дней 2 дня 3 дня = Работая вместе Работая отдельно Часть работы Работа ? дней, работая отдельно, выполнит работу В меню
∙ 3 – часть работы, которую выполняет второй рабочий за 3 дня x часов для выполнения всей работы – производительность первого рабочего Т.к. вместе выполняют работу за 12 часов, то ∙ 2 – часть работы, которую выполняет первый рабочий за 2 дня Примем объём работы за 1. y часов для выполнения всей работы – производительность первого рабочего
Получаем систему уравнений x = 20 y = 30 … Ответ: 20. В меню
Задача №3 (№888) Велосипедист проехал 18 км с определённой скоростью, а оставшиеся 6 км со скоростью на 6 км / ч меньше первоначальной. Найдите скорость велосипедиста на втором участке пути, если на весь путь он затратил 1,5 ч. В меню
Решение ▲ ▲ ▲ 6 км V 1 t = 1,5 ч 18 км V 2 ? км / ч , на 6 км / ч < , чем I этап. Составление математической модели км / ч км / ч ч
III этап. Ответ на вопрос задачи - 2 – не удовлетворяет условию задачи Ответ: 12 км / ч . В меню II этап. Работа с математической моделью
Задача№3 .1 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость велосипедиста. Из посёлка в город выехал велосипедист. Через 2 часа вслед за ним из посёлка выехал мотоциклист, скорость которого на 15 км / ч больше скорости велосипедиста. В город они прибыли одновременно. Найдите скорость велосипедиста, если расстояние от посёлка до города 60 км. В меню 1) 2) 3) 4)
НЕВЕРНО!
Задача№3 .2 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение для решения задачи, приняв за x скорость автобуса. Из посёлка в город выехал автобус. Через 1 час навстречу ему из города в посёлок выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км / ч больше скорости автобуса. Они встретились на середине дороги, соединяющей посёлок и город. Найдите скорость легкового автомобиля, если расстояние от посёлка до города 480 км. В меню 1) 2) 3) 4)
НЕВЕРНО!
Задача №3.3 (готовимся к ЕГЭ) На 60 км пути велосипедист тратит на 4 ч больше времени, чем мотоциклист. Если же он увеличит скорость на 3 км / ч, то на тот же путь потратит в 4 раза больше времени, чем мотоциклист. Найдите скорость велосипедиста. В меню
Решение 60км 60км t 1 - ?, на 4ч > чем t 2 - ? x км / ч y км / ч ч ч
60км 60км Если велосипедист увеличит скорость на 3 км / ч ( x + 3 ) км / ч ч ч
Решаем второе уравнение: 15 x = 60( x+3 ) - 4 x ( x+3 ); x ( x+3 ) ≠ 0 Рассмотрим систему уравнений:
4 x 2 – 33 x – 180 = 0; x 1 = 12; x 2 = - – не удовлетворяет условию задачи. Ответ: 12. В меню
Задача №4 (№884) Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел больше их произведения на 307. Найдите эти числа. I этап. Составление математической модели n 2 + (n + 1) 2 – сумма квадратов чисел, n(n + 1) - произведение чисел n n + 1 В меню
По условию задачи составим модель n 2 + (n + 1) 2 - n(n + 1) = 307 II этап. Работа с математической моделью … n 2 + n – 306 = 0 n 1 = 34, n 2 = -36 III этап. Ответ на вопрос задачи n 1 = 34, n 2 = -36 ( не удовлетворяет условию задачи) n + 1 = 34 + 1 = 35 Ответ: 34, 35. В меню
Задача №4.1 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел. Одно из чисел на 17 больше другого, а их произведение равно 468. Найдите эти числа. x ( x +17) = 468 2 x – 17 = 468 x ( x -17) = 468 2 x + 17 = 468 В меню
НЕВЕРНО!
Задача №4. 2 (тестирование 8 класс) Составьте уравнение к задаче, приняв за x меньшее из чисел. Одно из чисел на 11 меньше другого, а их произведение равно 534. Найдите эти числа. 2 x +11 = 534 2 x – 11 = 534 x ( x -11) = 534 x ( x + 1 1) = 534 В меню
НЕВЕРНО!
Задача №4. 3 (готовимся к ЕГЭ) Найдите двузначное число, если количество единиц в нём на 4 больше количества десятков, а произведение искомого числа на сумму его цифр равно 90. Решение: x – количество единиц в записи данного числа, y – количество десятков. 10 y + x x на 4 > y то x - 4 = y В меню
Решение 10 y + x - искомое число Согласно второму условию, (10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90 Решим систему уравнений: x - 4 = y , (10 y + x ) ∙ ( x + y ) = 90
Очевидно решение системы способом подстановки . y = x – 4, (10(x-4) + x)(x +x – 4) = 90. Решаем второе уравнение: (11 x – 40)(2x – 4) = 90 ( 11 x – 40)(x – 2) = 45; 11x 2 – 62x + 80 = 45; 11x 2 – 62x +35 = 0. Корни: x 1 = 5; x 2 = (не удовлетворяет условию задачи). В искомом числе 5 единиц, , десятков: 5 – 4 = 1. Получим число: 10 ∙ 1 + 5 = 15. В меню Ответ:15.
Задача №5 (№935) Сплав меди и цинка, содержащий 5 кг цинка, сплавили с 15 кг цинка, после чего содержание цинка в сплаве повысилось на 30%. Какова первоначальная масса сплава, если известно, что в нём меди было больше, чем цинка? В меню
Медь Цинк 5кг Цинк 15кг > Цинк Медь на 30% повысилось содержание Масса сплава ? x кг ( x + 5) кг ( x + 5 + 15) кг
Решение I этап Пусть в сплаве x кг меди, тогда ( x + 5) кг – масса первоначального сплава, ( x + 5 + 15) кг – масса полученного сплава. - процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, - процентное содержание цинка в полученном сплаве. Составим математическую модель задачи – уравнение
II этап 2000 /(x+20) – 500/ ( x +5) = 30, 200 / ( x +20) – 50 / ( x +5) = 3, … ( x 2 - 25 x + 100) / ( x + 5)( x + 20) = 0, x = 20 x = 5, x = 20 ( x + 5)( x + 20) ≠ 0, x = 5.
III этап Т.к. первоначально было 5 кг цинка, а меди больше, чем цинка, то выбираем x = 20. Значит, масса сплава 5 + 20 = 25 (кг). Ответ:25 кг. В меню
Задача №5.1(готовимся к ЕГЭ) Если слить 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной концентрации, то получится 12%-ный раствор кислоты. При смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15%-ный раствор. Определите первоначальную концентрацию каждого раствора. В меню
Анализ Концентрация раствора – это процентное выражение отношения массы растворённого вещества к общей массе раствора. При решении задач такого типа следует иметь ввиду , что во время смешивания сохраняются все массы, изменяется только их отношение.
Решение Пусть концентрация H 2 SO 4 в первом растворе x% , а во втором растворе – y%. x/100 кг кислоты (1 – x/100 )кг воды 1 кг 8 кг (8 – 8 x/100) кг воды 8 x/100 кг кислоты y/100 кг кислоты (1 – y/100) кг воды 1 кг 2 кг 2 y/100 кг кислоты (2 – 2 y/100) кг воды Первый раствор Второй раствор
После смешивания получим раствор общей массой 10 кг По условию получаем раствор 12%-ной концентрации, ,в 10кг р-ра будет 10 ∙ 12 /100 кг кислоты. Получаем: Преобразуем: 4 x + y=60 кг кислоты 10 кг
Рассмотрим вторую ситуацию Т.к. смесь получиться 15%-ной концентрации, то в (1 + 1) кг смеси должно содержаться Ответ: 10 и 20. 1 кг 1 кг кг кислоты кг кислоты В меню кг кислоты Получаем: После преобразований: x + y = 30 Решим систему уравнений:
Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Два оператора, работая вместе, могут набрать 40 страниц текста за 1ч. Работая отдельно, первый оператор на набор 90 страниц этого текста тратит на 5 ч больше, чем второй оператор на набор 25 страниц. За сколько часов второй оператор сможет набрать 275 страниц этого текста? Ответ: 11. В меню
Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Пешеход рассчитывает попасть на станцию, расположенную в 20 км, к приходу поезда. Через 2,5 ч после отправления он сделал остановку на 15 мин, а затем увеличил первоначальную скорость на 1 км/ч и пришел на станцию к приходу поезда. С какой скоростью шел пешеход после остановки? Ответ:6. В меню
Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Набор химических реактивов состоит из трех веществ. Массы первого, второго и третьего веществ в этом наборе относятся как 5:8:12 . Массу первого вещества увеличили на 8%, а второго – на 4%. На сколько процентов надо уменьшить массу третьего вещества, чтобы масса всего набора не изменилась? Ответ: 6. В меню
Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Катер прошел 5 км против течения реки, а затем 21 км по течению, затратив на весь путь 1 ч. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки 4 км/ч. Ответ: 0,7 В меню
Текстовые задачи из открытого сегмента 2009г., ФИПИ 1 2 3 4 5 Две машинистки, работая вместе, могут напечатать 22 страницы текста за 1 ч. Чтобы напечатать 120 страниц текста, первая машинистка потратит на 2 ч больше, чем вторая. За сколько часов первая машинистка сможет напечатать 300 страниц? Ответ: 2. В меню
Чтобы научиться решать задачи, нужно их решать!
Предварительный просмотр:
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема 1 В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центром будет точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Теорема 2 В любой правильн ый многоугольник можно в писать окружность. Ее центром является точка пересечения биссектрис углов многоугольника.
Теорема 3 В выпуклый четырехугольник можно в писать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны, т.е. AB + CD = AD + BC .
Вопрос 1 Какой многоугольник называется описанным около окружности? Ответ: Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.
Вопрос 2 Какая окружность называется вписанной в многоугольник? Ответ: Вписанной в многоугольник называется окружность , касающаяся всех сторон этого многоугольника.
Вопрос 3 Во всякий ли треугольник можно вписать окружность? Ответ: Да.
Вопрос 4 Какая точка является центр ом вписанной в треугольник окружности? Ответ: Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис этого треугольника.
Вопрос 5 В любой ли правильный многоугольник м ожно ли вписать окружность? Ответ: Д а.
Вопрос 6 Можно ли вписать окружность в: а) остроугольный треугольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный треугольник? Ответ: а) Да; б) да; в) да.
Вопрос 7 Может ли центр вписанной в треугольник окружности находиться вне этого треугольника? Ответ: Нет.
Вопрос 8 Какой вид имеет треугольник, если: а) центры вписанной и описанной около треугольника окружностей совпадают; б) центр вписанной в него окружности принадлежит одной из его высот? Ответ: а) Равносторонний; б) равнобедренный.
Упражнение 1 Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD . Ответ:
Упражнение 2 Укажите центр окружности, вписанной в квадрат ABCD . Ответ:
Упражнение 3 Укажите центр окружности, вписанной в ромб ABCD . Ответ:
Упражнение 4 Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Ответ:
Упражнение 5 Укажите центр окружности, вписанной в треугольник ABC . Ответ:
Упражнение 6 Ответ: 2. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 4.
Упражнение 7 Ответ: 6 . Найдите сторону квадрата, описанного около окружности радиуса 3 .
Упражнение 8 Ответ: 10 . Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 5 .
Упражнение 9 Окружность, вписанная в треугольник ABC , делит сторону AB в точке касания D на два отрезка AD = 5 см и DB = 6 см. Найдите периметр треугольника ABC , если известно, что BC = 10 см. Ответ: 30 см.
Упражнение 10 Ответ: 2 0 см. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, делит в точке касания одну из боковых сторон на два отрезка, которые равны 4 см и 3 см, считая от вершины . Найдите периметр треугольника.
Упражнение 11 К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны p 1 , p 2 , p 3 . Найдите периметр данного треугольника. Ответ: p 1 + p 2 + p 3 .
Упражнение 12 Ответ: 34 см. В равнобедренном треугольнике боковые стороны делятся точками касания вписанной в треугольник окружности в отношении 7:5, считая от вершины, противоположной основанию. Найдите периметр треугольника, если его основание равно 10 см.
Упражнение 13 Ответ: а) Нет; Всегда ли м ожно ли вписать окружность в: а) прямоугольник; б) параллелограмм; в) ромб; г) квадрат; д) дельтоид ? б) нет; в) да; г) да; д) да.
Упражнение 14 Два равнобедренных треугольника имеют общее основание и расположены по разные стороны от него. Можно ли в образованный ими выпуклый четырехугольник вписать окружность? Ответ: Да.
Упражнение 15 Какой вид имеет четырехугольник, если центр вписанной в него окружности совпадает с точкой пересечения диагоналей? Ответ: Ромб.
Упражнение 16 Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 18 см. Найдите ее среднюю линию. Ответ: 4,5 см.
Упражнение 17 В трапецию, периметр которой равен 56 см, вписана окружность. Три последовательные стороны трапеции относятся как 2:7:12. Найдите стороны трапеции. Ответ: 4 см, 14 см, 24 см, 14 см.
Упражнение 18 Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции. Ответ: 3 см.
Упражнение 19 Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности. Ответ: 2 .
Упражнение 20 Докажите, что если в трапецию ABCD ( AB || CD ) вписана окружность с центром O , то углы AOD и BOC равны 90 о . Доказательство. Лучи AO и DO являются биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых AB и CD . Следовательно, угол AOD равен 90 о . Аналогично, угол BOC равен 90 о .
Упражнение 2 1 Докажите, что если в равнобедренную трапецию ABCD ( AB || CD ) вписана окружность, ее боковые стороны AD и BC равны средней линии EF . Доказательство. Сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований. Следовательно, боковая сторона равна полусумме оснований, т.е. равна средней линии.
Упражнение 22 Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника. Ответ: 7 см, 30 см.
Упражнение 23 Противоположные стороны четырехугольника, описанного около окружности, равны 7 см и 10 см. Можно ли по этим данным найти периметр четырехугольника? Ответ: Да, 34 см.
Упражнение 24 Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его стороны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. Ответ: 7 .
Упражнение 25 К окружности, вписанной в треугольник АВС , проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 24 .
Упражнение 26 В шестиугольнике ABCDEF , описанном около окружности AB = 3, CD = 4, EF = 2. Найдите периметр этого шестиугольника. Ответ: 18 .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Пропорции головы и руки человека
Парфенон Одно из красивейших произведений древнегреческой архитектуры - Парфенон в Афинах ( V в.до н.э.) содержит в себе золотые пропорции. Так отношение высоты AB здания к его длине AD равно φ . Кроме того, отношение AC к BC также равно φ .
Золотой прямоугольник Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, называется золотым прямоугольником . Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник меньших размеров, подобный исходному . Если этот процесс продолжить, то мы получим так называемые вращающиеся квадраты, и весь прямоугольник окажется составленным из этих квадратов (рис. а). Если вершины квадратов соединить плавной кривой, то получим кривую, называемую золотой спиралью (рис. б) .
Золотые треугольники Равнобедренный треугольник называется золотым , если его боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Возможны два типа золотых треугольников. В первом случае AB : AC = φ . Во втором случае AC : AB = φ .
Золотые треугольники Теорема. З олотыми треугольниками являются равнобедренные треугольники с углами при вершинах 36 о и 108 о . Доказательство. Пусть ABC – равнобедренный треугольник ( AC = BC = 1, AB = x ) , угол C равен 36 о . Проведем биссектрису AD . Треугольники ABD и CAB подобны по трем углам. Следовательно, BD : AB = AB : AC , т.е. 1 – x : x = x : 1. Решая это уравнение относительно x , находим x = φ. Значит, треугольник ABC – золотой. Заметим, что треугольник ACD – также золотой.
Пентаграмма П равильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями, образующими звездчатый правильный пятиугольник называется пентаграмм ой . В се треугольники, на которые при этом разбивается пятиугольник, являются золотыми.
Вопрос 1 Что называется золотым сечением ? Ответ: Золотым сечением называется такое делением целого на две неравные части, при котором меньшая часть так относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.
Вопрос 2 Каким числом выражается золотое сечение? Ответ:
Вопрос 3 Как обозначается число, выражающее золотое сечение? Ответ: φ .
Вопрос 4 В честь кого золотое сечение обозначается буквой φ ? Ответ: В честь древнегреческого скульптора Фидия .
Вопрос 5 Какой прямоугольник называется золотым? Ответ: Золотым прямоугольником называется п рямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении .
Вопрос 6 Какие треугольники называются золотыми? Ответ: Золотым называется р авнобедренный треугольник , боковая сторона и основание которого находятся в золотом отношении.
Вопрос 7 Что такое пентаграмма? Ответ: Пентаграммой называется п равильный пятиугольник с проведенными в нем диагоналями .
Упражнение 1 На рисунке окружность с центром в точке О касается прямой АВ в точке В , 2 ОВ = АВ. Найдите отношение отрезков AC и AB . Ответ:
Упражнение 2 Используя циркуль и линейку, разделите данный отрезок AB в золотом отношении. Решение: Через точку B проведем прямую, перпендикулярную прямой AB , отложим на ней отрезок BC , равный половине отрезка AB . Проведем отрезок AC . С центром в точке C проведем окружность радиуса BC , ее точку пересечения с отрезком AC обозначим D . С центром в точке A проведем окружность радиуса AD , ее точку пересечения с отрезком AB обозначим E . Эта точка и будет делить отрезок AB в золотом отношении.
Упражнение 3 В треугольнике ABC биссектриса AL равна отрезку LC и стороне AB . Найдите угол C . Ответ: 36 о .
Упражнение 4 Биссектриса, проведенная из вершины основания равнобедренного треугольника, равна основанию. Найдите угол при основании этого треугольника. Ответ: 72 о .
Упражнение 5 Угол при основании равнобедренного треугольника ABC ( AC = BC ) равен 36 о . Высота CH , опущенная на основание, равна 1. Найдите биссектрису AD , проведенную из вершины основания. Решение. Проведем среднюю линию HE треугольника ABD . Угол HED равен углу ADC и равен 54 о . Угол HCE также равен 54 о . Следовательно, треугольник HCE – равнобедренный, HC = HE = 0,5. Ответ. 0,5.
Упражнение 6 Найдите радиус окружности, описанной около правильного десятиугольника со стороной 1. Ответ:
Упражнение 7 Сторона правильного пятиугольника равна 1. Найдите его диагональ. Ответ:
Упражнение 8 В каком отношении точка E 1 делит отрезок AC ? Ответ: В золотом.
Упражнение 9 Докажите, что диагонали правильного пятиугольника образуют правильный пятиугольник. Найдите сторону этого пятиугольника, если сторона исходного пятиугольника равна 1. Ответ:
Упражнение 10 В полукруг с диаметром АВ вписан квадрат CDEF . Найдите отношение отрез ков АЕ и ED . Ответ:
Упражнение 11 Катет прямоугольного треугольника равен 1. Найдите его гипотенузу, если угол, противолежащий данному катету, равен: а) 18 о ; б) 54 о . Ответ: а) б)
Упражнение 12 Докажите, что каждый следующий виток золотой спирали подобен предыдущему. Найдите коэффициент подобия. Ответ:
Упражнение 13 Отсекая золотые треугольники, аналогично тому, как это было сделано для золотого прямоугольника, постройте последовательность вращающихся золотых треугольников. Ответ:
Упражнение 14* Бумажная лента постоянной ширины завязана простым узлом и затем расправлена так, чтобы узел стал плоским. Докажите, что узел имеет форму правильного пятиугольника.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
КВАЗИКРИСТАЛЛЫ Шехтман получил первую микрофотографию структуры квазикристалла в 1982 году. В отличие от привычных изображений кристаллов, рисунок расположения атомов в квазикристалле не был периодическим. Результаты Шехтмана были неоднозначно восприняты научным сообществом. Защищая свою работу, ученый вынужден был покинуть исследовательскуб группу, в которой он состоял на тот момент. В 2010 году в России был впервые обнаружен природный минерал, обладающий квазикристаллической структурой. Модель квазикристалла может быть создана на основе мозаики Пенроуза с двумя «элементарными ячейками», соединенными друг с другом по определенным правилам. Они были придуманы английским ученым Р. Пенроузом в 70-х годах прошлого века. Существуют и другие теоретические модели, так или иначе пытающиеся разрешить споры ученых о природе квазикристаллических структур. Однако в большинстве публикаций изящные мозаики Пенроуза с двумя и более фигурами признаются наиболее правильным ключом к пониманию структуры квазикристаллов.
Р. ПЕНРОУЗ
МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 1
МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 2
МОЗАИКИ ПЕНРОУЗА 3
ЗОЛОТЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ Мозаика Пенроуза из золотых треугольников порождается двумя золотыми равнобедренными треугольниками, для которых основание остроугольного треугольника равно боковой стороне тупоугольного. Напомним, что золотым треугольником называется равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона и основание находятся в золотом отношении. Золотые треугольники бывают двух видов: остроугольные, с углом при вершине 36 о , и тупоугольные, с углом при вершине 108 о .
МОЗАИКА ПЕНРОУЗА ИЗ ЗОЛОТЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Упражнение 1 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два остроугольных золотых треугольника с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим мозаику Пенроуза.
Упражнение 2 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.
Упражнение 3 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники. Решение. Возьмем два треугольника, построенных в предыдущем упражнении, с общей боковой стороной и добавим к ним тупоугольный золотой треугольник. Получим треугольник, изображенный на рисунке. Отражая симметрично этот треугольник относительно боковой стороны, получим искомую мозаику Пенроуза.
Упражнение 4 Сделайте следующий шаг в построении мозаики Пенроуза из золотых треугольников, заполняющей всю плоскость.
Упражнение 5 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.
Упражнение 6 Укажите способ раскраски мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, так, чтобы она состояла только из четырехугольников двух видов.
Упражнение 7 Укажите способ построения мозаики Пенроуза, изображенной на рисунке, используя золотые треугольники.
Упражнение 8 Найдите закономерность построения мозаики Пенроуза 1.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теорема Пифагора Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. c 2 = a 2 + b 2 . Доказательство. Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом. Проведем высоту С D . Треугольники АВС и ACD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB·AD = AC 2 . Аналогично треугольники ABC и CBD подобны (по первому признаку подобия треугольников). Следовательно, AB · BD = BC 2 . Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD + DB = AB , получим: AC 2 + BC 2 = AB ( AD + DB ) = AB 2 .
Соизмеримые и несоизмеримые отрезки Два отрезка называются соизмеримыми , если их отношение является рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться рациональным числом. Два отрезка называются не соизмеримыми , если их отношение является ир рациональным числом. Иначе говоря, если один из них принять за единичный отрезок, то длина другого будет выражаться ир рациональным числом. Г ипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника несоизмерима с его катетами.
Пифагоровы тройки Пифагоровой тройкой называется тройка ( x , y , z ) натуральных чисел x , y , z , для которых выполняется равенство x 2 + y 2 = z 2 . Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника. Примером пифагоровой тройки является тройка (3, 4, 5).
Вопрос 1 Сформулируйте теорему Пифагора. Ответ: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Вопрос 2 Каки е два отрезка называются соизмеримыми ? Ответ: Два отрезка называются соизмеримыми, если их отношение является рациональным числом.
Вопрос 3 Каки е два отрезка называются несоизмеримыми ? Ответ: Два отрезка называются не соизмеримыми, если их отношение является ир рациональным числом.
Вопрос 4 Приведите пример несоизмеримых отрезков. Ответ: Г ипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника и его катет.
Вопрос 5 Что называется пифагоровой тройкой? Ответ: Пифагоровой тройкой называется тройка ( x , y , z ) натуральных чисел x , y , z , для которых выполняется равенство: x 2 + y 2 = z 2 .
Вопрос 6 Каков геометрический смысл чисел пифагоровой тройки? Ответ: Числа пифагоровой тройки представляют собой длины сторон прямоугольного треугольника.
Вопрос 7 Приведите примеры пифагоровых троек. Ответ: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13).
Упражнение 1 У прямоугольного треугольника заданы катеты а и b . Найдите гипотенузу c , если: а) а = 3, b = 4; б) a = 1, b = 1; в) a = 5, b = 6. Ответ: а) 5; б) ; в) .
Упражнение 2 У прямоугольного треугольника заданы гипотенуза с и катет а . Найдите второй катет, если: а) с = 5, а = 3; б) с = 13, а = 5; в) с = 6, а = 5. Ответ: а) 4; б) 12; в) .
Упражнение 3 Стороны прямоугольника равны 5 и 12. Найдите его диагональ. Ответ: 13 .
Упражнение 4 Диагональ прямоугольника равна 10. Одна из его сторон равна 6. Найдите другую, не равную ей сторону. Ответ: 8 .
Упражнение 5 Стороны квадрата равны 5 . Найдите квадрат его диагонали. Ответ: 50.
Упражнение 6 Диагональ квадрата 2 . Чему равна его сторона? Ответ:
Упражнение 7 Точка, лежащая внутри прямого угла, удалена от его сторон на расстояния, равные а и b . Найдите расстояние от точки до вершины угла. Ответ:
Упражнение 8 Могут ли стороны прямоугольного треугольника быть пропорциональны числам 5, 6, 7? Ответ: Нет.
Упражнение 9 Найдите стороны прямоугольного треугольника, в котором: а) гипотенуза равна 10 см, разность катетов – 2 см; б) гипотенуза равна 26 см, а отношение катетов 5 : 12. Ответ: а) 6 см, 8 см, 10 см; б) 10 см, 24 см, 26 см.
Упражнение 10 Гипотенуза прямоугольного треугольника на 1 больше одного из катетов, а сумма катетов на 4 больше гипотенузы. Найдите стороны этого треугольника. Ответ: 5, 12 и 13.
Упражнение 11 В прямоугольном треугольнике с катетами 3 и 4 опущена высота на гипотенузу. Найдите эту высоту и отрезки, на которые она делит гипотенузу. Ответ: 2,4; 1,8 и 3,2.
Упражнение 12 В треугольнике ABC AC = 5, BC = 4, высота CH равна 3. Найдите сторону AB . Ответ:
Упражнение 13 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC . Найдите квадрат расстояния между точками A и D . Ответ: 14 .
Упражнение 14 На рисунке отрезки AB и CD перпендикулярны BC . Найдите квадрат расстояния между точками A и D . Ответ: 10 .
Упражнение 15 Найдите квадрат расстояния между точками A и B , изображенными на рисунке. Ответ: 5.
Упражнение 16 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 5; б ) 8; в ) 5.
Упражнение 17 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 2; б ) 5; в ) 8.
Упражнение 18 Найдите квадрат расстояния между точками A и: а) B 1 ; а) B 2 ; в) B 3 , изображенными на рисунке. Ответ: а ) 2; б ) 10; в ) 10.
Упражнение 19 Изобразите отрезок, длина которого равна: а) ; б) ; в) ; г) .
Упражнение 20 Изобразите все точки, находящиеся в узлах сетки и удаленные от точки O на расстояние: а) меньшее 2 ; б) меньшее 3 ; в) большее 2 и меньшее 3.
Упражнение 21 Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 6 м и 8 м. Ответ: 5 м.
Упражнение 22 Сторона ромба равна 13. Одна из его диагоналей равна 10. Найдите другую диагональ . Ответ: 24 .
Упражнение 2 3 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 10, основание равно 12. Найдите высоту этого треугольника, опущенную на основание. Ответ: 8.
Упражнение 2 4 Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, высота, опущенная на основание, равна 4. Найдите основание этого треугольника. Ответ: 6.
Упражнение 25 Основание равнобедренного треугольника равно 8, высота, опущенная на основание, равна 3. Найдите боковую сторону этого треугольника. Ответ: 5.
Упражнение 26 Найдите высоту равнобедренной трапеции, у которой основания равны 4 и 1 0 , а боковая сторона равна 5 . Ответ: 4.
Упражнение 27 Высота равнобедренной трапеции равна 15 см, основания равны 8 см и 24 см. Найдите боковые стороны. Ответ: 17 см.
Упражнение 28 Основания прямоугольной трапеции равны 5 и 8, большая боковая сторона равна 5. Найдите меньшую боковую сторону . Ответ: 4.
Упражнение 29 Боковые стороны прямоугольной трапеции прямоугольной трапеции равны 5 и 4, меньшее основание равно 4. Найдите большее основание . Ответ: 7.
Упражнение 30 Основания прямоугольной трапеции равны 4 и 8, меньшая боковая сторона равна 3. Найдите большую боковую сторону . Ответ: 5.
Упражнение 31 В правильном треугольнике со стороной 1 найдите: а) медианы; б) биссектрисы; в) высоты. Ответ: а), б), в)
Упражнение 32 Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 5 и 12. Ответ: 6,5 .
Упражнение 3 3 Диаметр окружности, описанной около прямоугольника, равен 10. Одна сторона этого прямоугольника равна 6. Найдите другую его сторону. Ответ: 8 .
Упражнение 3 4 В равностороннем треугольнике со стороной а найдите радиусы r и R вписанной и описанной окружностей. Ответ: r = ; R = .
Упражнение 35 Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 4 см. Найдите радиус вписанной в него окружности. Ответ: 1 см.
Упражнение 36 Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса 1. Ответ: см.
Упражнение 37 Найдите медиану, опущенную на основание равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b . Ответ:
Упражнение 38 Даны две окружности, радиусов R и r . Расстояние между их центрами равно a > R + r . Найдите длины отрезков их общих касательных. Ответ:
Упражнение 39 Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6, высота равна 7. Найдите радиус описанной окружности. Ответ: 5 .
Упражнение 40 Основания равнобедренной трапеции равны 16 и 12, радиус описанной окружности равен 10. Найдите высоту трапеции. Ответ: Возможны два случая. В первом высота трапеции равна 14 , во втором - 2 .
Упражнение 41 Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик? Ответ: 1000 м .
Упражнение 42 Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка? Ответ: 5 00 м .
Упражнение 4 3 Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка – 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин? Ответ: 2,5 км .
Упражнение 4 4 Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны соответственно 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч? Ответ: 50 км .
Упражнение 45 Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами A и B , расположенными на разных берегах озера. Ответ: 500 м .
Упражнение 46 На какое расстояние следует отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы, длина которой 13 м, чтобы верхний ее конец оказался на высоте 12 м? Ответ: 5 м .
Упражнение 47 В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной 11 м, а другой – 6 м. Найдите расстояние между их верхушками. Ответ: 13 м .
Упражнение 48 Стебель камыша выступает из воды озера на 1 м. Его верхний конец отклонили от вертикального положения на 2 м, и он оказался на уровне воды. Найдите глубину озера в месте, где растет камыш. Ответ: 1,5 м .
Упражнение 49 Туннель имеет форму полукруга радиуса 3 м. Какой наибольшей высоты должна быть машина шириной 2 м, чтобы она могла проехать по этому туннелю? Ответ: м .
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB , BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 , для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямая A 1 B 1 пересекает прямую AB в некоторой точке C ' . По доказанному, выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство Прибавим к его обеим частям единицу и приведем к общему знаменателю. Получим равенство из которого следует, что C’ и C 1 совпадают. Следовательно, точки A 1 , B 1 , C 1 принадлежат одной прямой.
Упражнение 1 Точка C 1 – середина стороны AB треугольника ABC . Точка O – середина отрезка CC 1 . В каком отношении делит прямая AO сторону BC ? Ответ: 2:1.
Упражнение 2 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B 1 делит сторону AC в отношении 2:1. Прямая A 1 B 1 пересекает продолжение стороны AB в точке C 1 . Найдите отношение AB : BC 1 . Ответ: 3:1.
Упражнение 3 На продолжениях сторон AB , BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 так, что AB = BC 1 , BC = CA 1 , CA = AB 1 . Найдите отношение, в котором прямая AB 1 делит сторону A 1 C 1 треугольника A 1 B 1 C 1 . Ответ: 1:2.
Упражнение 4 Точка C 1 делит сторону AB треугольника ABC в отношении 1 : 2 . Точка B 1 лежит на продолжении стороны AC и AC = 2 CB 1 . В каком отношении делит прямая B 1 C 1 сторону BC ? Решение: По условию , и спользуя теорему Менелая, находим
Теорема Чевы Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 . Прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда Доказательство. Пусть прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке . Применим теорему Менелая к треугольнику BCC 1 и прямой AA 1 . Получим Перемножая эти два равенства, получим искомое равенство (*). Аналогично, применяя теорему Менелая к треугольнику AC 1 C и прямой BB 1 , получим
Продолжение Докажем обратное. Пусть на сторонах AB , BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C 1 , A 1 и B 1 , для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прям ые AA 1 и BB 1 пересека ются в точке O . Проведем прямую CO и обозначим С ’ ее точку пересечения со стороной AB . Докажем, что C’ совпадает с C 1 . Для точек A 1 , B 1 , C’ выполняется равенство Учитывая равенство (*), получаем равенство из которого следует, что точки C’ и C 1 совпадают, значит, прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.
Упражнение 6 Точки C 1 и A 1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC 1 и AA 1 пересекаются в точке O . Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону CA . Решение: По условию И спользуя теорему Чевы , находим
Упражнение 7 Точки C 1 , B 1 , A 1 делят стороны AB , AC , BC , соответственно, в отношениях 4:1, 2:1, 1:2. Выясните, пересекаются ли прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 в одной точке. Ответ: Да.
Упражнение 8 Точка A 1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:3. В каком отношении должна делить точка B 1 сторону AC , чтобы точка пересечения прямых AA 1 и BB 1 принадлежала медиане CC 1 треугольника ABC ? Ответ: 1:3.
Упражнение 9 Докажите, что п рямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона . Решение: П усть окружность касается сторон треугольника ABC соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . Тогда AB 1 = AC 1 , BC 1 = BA 1 , CA 1 = CB 1 . Следовательно, По теореме Чевы , прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.
Упражнение 10 Докажите, что п рямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вне вписанн ых окружност ей пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля .
Решение П усть окружность касается сторон ы BC и продолжения сторон AC и AB треугольника ABC соответственно в точках A 1 , B ’ , C ’ . Тогда CA 1 = CB’ , BA 1 = BA’ , AB’ = AC’ . Обозначим AB = с , AC = b , BC = a , p – полупериметр треугольника ABC . Имеем AB’ = AC’ = p и, следовательно, BA 1 = BC’ = p – c , A 1 C = CB’ = p – b. Аналогично, для точек касания B 1 и C 1 имеем: AC 1 = p – b , C 1 B = p – a ; CB 1 = p – a , C 1 A = p – b. С ледовательно, выполняется равенство По теореме Чевы , прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 пересекаются в одной точке.