Подготовка к ЕГЭ

№14. (2014)

Основание прямой призмы ABCA 1 B 1 C 1 – треугольник АВС, в котором угол B  = углу С , АС = 6, ВС = 4√ 6. На ребре  AA 1 отмечена точка О так, что AO: OA 1= 3:5.  Угол между плоскостями АВС и ВОС равен 60°. Найдите расстояние между прямыми АВ и   B 1 C1.

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

№14. (2014)

Индивидуальные задания по теме 

“Степень с рациональным показателем”

1. Выполнить действия:

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7.  
8. 
9.  
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 
21. 
22. .

2. Выполнить действия:

3. Упростить выражение и найти его значение при заданном значении параметра:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. 
18. 
21. 

4. Решите уравнение:

5.

№1-11. Найти наименьшее целое , удовлетворяющее неравенству:

№12-22. Найти наибольшее целое , удовлетворяющее неравенству:

Составитель Лобанова О.Е.

Индивидуальное задание по теме 

«Иррациональные уравнения и неравенства».

(Составитель Лобанова О.Е.)

1. Решите неравенство:

1. 
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10. 
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18. 0
19.  
20.  

2. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

3.  Решите уравнения:

4. Решите уравнение:

5. Определите, при каких значениях параметра  уравнение имеет единственное решение.

Индивидуальное задание по теме 

«Тождественные преобразования тригонометрических выражений».

(Составитель Лобанова О.Е.)

1. Вычислить значение тригонометрических выражений:

1. , если
2. , если
3. , если
4. , если ;
5. , если
6. , если
7. , если
8. , если
9. , если
10. , если
11. , если
12. , если ,
13. , если
14. , если
15. , если
16. , если
17. , если ,
18. , если
19. , если
20. , если .

2. Вычислить.

1. , если
2. , если ,
3. , если
4. , если
5. , если
6. , если
7. , если
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 
13. 
14. 
15. 
16. 
17. 
18. 
19. 
20. 

3. Упростить.

Индивидуальное задание по теме 

«Прогрессии».

(Составитель Лобанова О.Е.)

Задание 1.

1. Сумма первых шести членов арифметической прогрессии равна 9, а разность между 4-м и 2-м членами равна 0,4. Найдите первый член прогрессии.
2. Сумма 3-го и 4-го членов арифметической равна 5/12. Найти сумму первых шести членов арифметической прогрессии.
3. Найти сумму первых одиннадцати  членов арифметической прогрессии, шестой член которой равен 5/22.
4. Сумма 3-го и 7-го членов арифметической прогрессии равна 10. Найти сумму первых девяти членов прогрессии.
5. В арифметической прогрессии 5-й член больше 3-го на 3, а их сумма равна 10. Найти 2-й член прогрессии.
6. Сумма 3-го и 6-го членов арифметической прогрессии равна 3,5. Найти сумму первых восьми членов прогрессии.
7. В арифметической прогрессии 6-ой член больше 4-го на 8, а их сумма равна 33. Найти 3-й член прогрессии.
8. Найти сумму первых семи членов арифметической прогрессии, 4-й член которой равен 5/14.
9. Сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна 64, а их разность между 8-м и 3-м членами равна 10. Найти пятый член прогрессии.
10. Сумма 3-го и 4-го членов арифметической прогрессии равна 3,4. Найти сумму первых десяти членов прогрессии.
11. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна111. Второе число больше первого в 5 раз. Найти эти числа.
12. Сумма трех чисел, образующих прогрессию, равна 87. Третье число меньше суммы первых двух на 5. Найти эти числа.
13. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух равна 25, а сумма 2-го и 3-го равна 39. Найти эти числа.
14. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух чисел равна 132, а отношение третьего к первому равно 3. Найти эти числа.
15. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 162. Сумма первых двух чисел больше суммы 2-го и 3-го на 12. Найти эти числа.
16. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Третье число больше полусуммы первых двух на18. Найти эти числа, если сумма второго и третьего чисел равна 82.
17. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна -78. Найти эти числа, если третье число равно сумме первых двух.
18. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух равна 171, а третье больше первого в 6 раз. Найти эти числа.
19. Три числа образуют арифметическую прогрессию. Сумма первых двух больше третьего на 30, а сумма 2-го и 3-го равна 195. Найти эти числа.
20. Сумма трех чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна189. Найти эти числа, если 1-е больше 3-го в 2 раза.

Задание 2. Вычислить:

1. 7, 5+9, 8+12, 1+...+53, 5
2. 98, 3+94, 7+91, 1+...+22, 7
3. 1/5+8/15+13/15+...+31/5
4. -85, 6-81, 9-78, 2-...-0,5
5. -13, 3-20, 2-27, 1-...-61, 6
6. 60+473/8+233/4+...+53
7. -9/4-31/12-35/12-...-45/4
8. -25/2-71/6-67/6-...-5/2
9. 59/3+301/15+307/15+...+83/3
10. -10, 25-10, 05-9, 85-...-5, 25
11. 2-9-20-...-130
12. 71+67+63+...-53
13. 2, 01+2, 02+2, 03+...+3, 00
14. 2, 7+3, 7+..+13, 7
15. 50+47+44+...+14
16. 25/4+15/2+27/4+..+125/4
17. 1+7/ 6+4/3+...+9/2
18. -10-7-4...+50
19. 407+401+395+...-133
20. 53+50+47+...-4

Задание 3.

1. Найти сумму всех целых чисел, каждое из которых делится без остатка на 6 и удовлетворяет условию -36 n 138.
2. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 1.
3. Найти сумму всех натуральных чисел, каждое из которых кратно 11 и не превосходит по величине 1000
4. Найти сумму всех двухзначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на 3 дают остаток, равный 2
5. Найти сумму всех натуральных чисел, кратных 3 и удовлетворяет условию 27 n 183
6. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, каждое из которых кратных7 и не превосходит 353
7. Найти сумму всех двухзначных натуральных чисел, каждое из которых при делении на 4 дают остаток, равный 3
8. Найти сумму всех целых чисел, каждое из которых делится без остатка на 7 и удовлетворяет условию -126 n 154.
9. Найти сумму всех трехзначных натуральных чисел, каждое из которых делится без остатка на 12.
10. Найти сумму всех двухзначных натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, равный 2.

Индивидуальное задание по теме 

«Показательные уравнения и неравенства».

(Составитель Сырцова С.В.)

вариант 1

1. Решить уравнения: а) ;    

б) ;

в) .

2. Решить систему:                

3. Решить неравенства: а) ; б) .

вариант 2

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:    
3. Решить неравенства: а) ; б) .

вариант 3

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:    
3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 4

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:
3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 5

1. Решить уравнения: а);

б) ;

в) .

2. Решить систему:
3. Решить неравенства: а) ;

б).

вариант 6

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 7

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 8

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 9

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 10

1. Решить уравнения: а);

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 11

1. Решить уравнения: а);

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 12

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 13

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 14

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) , где ;

б) .

вариант 15

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 16

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 17

1. Решить уравнения: а) ;

б) , где n- натуральное число;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 18

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

вариант 19

1. Решить уравнения: а) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

 б) .

вариант 20

1. Решить уравнения: а)  (выражение в правой части - бесконечная геометрическая прогрессия) ;

б) ;

в) .

2. Решить систему:

3. Решить неравенства: а) ;

б) .

Индивидуальное задание по теме 

«Логарифм».

(Составитель Сырцова С.В.)

1.Найдите значение выражения:

1. .
2. .
3. .

4. 
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

2.

1. Вычислить , если известно, что .
2. Вычислить , если известно, что .
3. Вычислить , если известно, что .
4. Вычислить , если известно, что .
5. Вычислить , если известно, что .
6. Вычислить , если известно, что .
7. Вычислить , если известно, что .
8. Вычислить , если известно, что .
9. Вычислить , если известно, что .
10. Вычислить , если известно, что .

3. Найти значения выражений:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

4. Найти значение выражения:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

5. Упростить:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9.  (основания логарифмов представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2);
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. если , то чему равен ?
17. ;
18. 
19. ;
20. .

Индивидуальное задание по теме 

«Логарифмические уравнения и неравенства».

(Составитель Сырцова С.В.)

ВАРИАНТ 1

1. Решить уравнения: а) ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:   .

3. Решить неравенства:  

а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 2

1. Решить уравнения: а) ;    б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 3

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 4

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    б)   .

ВАРИАНТ 5

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 6

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства:  а)   ;    б)  .

ВАРИАНТ 7

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. а)   Найти область определения функции ;    

б) Решить неравенство  .

ВАРИАНТ 8

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а) найти область определения функции;    

б)   .

ВАРИАНТ 9

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   найти целые значения х, удовлетворяющие неравенству ;    

б)   .

ВАРИАНТ 10

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    б)   .

ВАРИАНТ 11

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Найдите D(y), если:  а) ;    

б)   .

ВАРИАНТ 12

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   найти D(y), если ;    

б)   .

ВАРИАНТ 13

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. а)  Найди D(y), если  ;    

б) Решить неравенство:  .

ВАРИАНТ 14

1. Решить уравнения: а)  ;    

б) .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 15

1. Решить уравнения: а)  ;    б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 16

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 17

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 18

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. Решить неравенства:  а)   ;    

б)   .

ВАРИАНТ 19

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)   .

2. Решить систему уравнений:  

3. а)  Найти область определения функции ;    

б) Решить неравенство:  .

ВАРИАНТ 20

1. Решить уравнения: а)  ;    

б)  .

2. Решить систему уравнений:  

3. а)  Найти область определения функции ;    б) Решить неравенство:  .

Индивидуальное задание по теме 

“Тригонометрические уравнения и неравенства”.

(составитель Беспалова Е.В.)

1. Упростите выражение:

1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. Докажите, что если , а , то .
6. Проверьте равенство: , если .
7. Проверьте равенство: , если .
8. Проверьте равенство: , если .
9. Докажите тождество: .
10. Докажите тождество: .
11. Докажите тождество: .
12. Докажите тождество: .
13. Докажите тождество: .
14. Докажите тождество: .
15. Найдите значение выражения: .
16. Найдите значение выражения: .
17. Найдите значение выражения:.
18. Найдите значение выражения: .
19. Найдите значение выражения: .
20. Найдите значение выражения: .

2. Решите уравнения.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. Найдите наименьший положительный корень уравнения .
18. Найдите наименьший положительный корень уравнения .
19. , .
20. , .

3. Решите уравнения.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. ; .
13. ; .
14. , .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. , .

4. Решите неравенства.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .

5. Решите неравенства.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. , .
6. , .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. , .
13. , .
14. .
15. .
16. .
17. .
18. .
19. .
20. .

Индивидуальное задание по теме 

“Тригонометрические функции”.

(составитель Беспалова Е.В.)

1. Найдите область определения функции:

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

2. Исследуйте на четность и нечетность функцию.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

3. Найдите область значений функции.

1. .
2. .
3. .
4. .
5.  на .
6. .
7.  на .
8. .
9. .
10. .

4. Исследуйте функцию на периодичность, найдите наименьший период там, где он есть.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

5. Постройте графики функций.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

6. Постройте графики уравнений.

1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .

Индивидуальное задание по теме 

“Повтор материала курса алгебры X класса”.

(составитель Беспалова Е.В.)

Вариант 1.

1.Постройте график функции:

1.

2.Решите уравнения:

1.а)

б)

в)

2. а)

б)

в)

3. а)

б)

в)

4. а)

б)

в)

5. а)

б)

в)

6. а)

б)

в)

7. а)

б)

в)

8. а)

б)

в)

9. а)

б)

в)

10. а)

 б)

 в)

3.  Решите неравенства:

1. а) ;

б) ;

2.  а)  

б)  .

3.  а)  

б) .

4.  а)  

б) .

5.  а) ;

б) .

6.  а) ;

б) .

7.  а) ;

б) .

8.  а) ;

б) .

9.  а) ;

б) .

10.  а) ;

б) .

4. Решите систему уравнений:

Комбинированные уравнения, содержащие модуль

В заданиях уровня В и уровня С единого государственного экзамена очень часто встречаются иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения с модулем. В данной статье и нескольких последующих будут рассмотрены именно такие комбинированные уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

1) Правая часть уравнения должна быть неотрицательная. Из этого условия найдем область допустимых значений переменной х:

2) Возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение, в левой части которого модули алгебраических выражений.
Найдем значения переменной х, при которых выражения под знаком модуля равны нулю.

3) Определим знаки выражений, стоящих под знаком модулей, на двух промежутках с учетом условия (1).

3) Рассмотрим различные случаи, раскрыв модули по схеме на рисунке.

а)

б)

Ответ: -0,5;  0.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Раскрываем модуль, рассматривая варианты:
 
1) .

Выражение в первой скобке не равно нулю (условие 1), тогда:

Проверка.

В силу равносильности преобразований проверить необходимо только условие (1): - верно.

Примечание.

Большинство учащихся сделает проверку, подставив значение х в полученное при раскрытии модуля уравнение.
при этом значении логарифма уравнение равно нулю, т.е. верное. Но, при этом, проверка условия (1) обязательна.

2)

а) . При этом значении х выражение под знаком логарифма положительно.

б)

Проверка.

В силу равносильности преобразований проверить необходимо только условие (2): .

Ответ:

Иррациональные  уравнения

Иррациональным называется уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня.

При решении иррациональных уравнений обязательны проверка или нахождение области допустимых значений уравнений. Иррациональные уравнения  стандартного вида  можно решить, пользуясь следующим правилом:

    Решение иррациональных уравнений стандартного вида:

а) Решить уравнение   = x – 2,

Решение.

 = x – 2,

2x – 1 = x2 – 4x + 4,                                                                        Проверка:

x2 – 6x + 5 = 0,                                                                       х = 5,       = 5 – 2,

x1 = 5,                                                                                                               3 = 3

x2 = 1                                                                                      х =  1,      1 – 2 ,

Ответ: 5                                                                         пост. к.            1 -1.  

б) Решить уравнение   = х + 4,

Решение.

 = х + 4,

Ответ: -1

в) Решить уравнение  х – 1 =

Решение.

 х – 1 =

х3 – 3х2 + 3х – 1 = х2 – х – 1,

х3 – 4х2 + 4х = 0,

х(х2 – 4х + 4) = 0,

х = 0                или          х2 – 4х + 4 = 0,

                                         (х – 2)2 = 0,

                                          х = 2

Проверка показала, что оба числа являются корнями уравнения.

Ответ: 0; 2.    

г) Решить уравнение  х –  + 4 = 0,

Решение.

х –  + 4 = 0,

х + 4 = ,                                                         Проверка:

х2 + 8х + 16 = 25х – 50,                                          х = 11,            11 –  + 4 = 0,

х2 – 17х + 66 = 0,                                                                                       0 = 0

х1 = 11,                                                                     х = 6,               6 –  + 4 = 0,  

х2 = 6.                                                                                                          0 = 0.

Ответ: 6; 11.

Иррациональное уравнение,

содержащее иррациональность четной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x                                      Проверка:

x                      x = 3,      

4x                                                                           1 = 1.

                                    x = 1,75  
Ответ: 3.

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

 но  , значит:

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

             Решение сложных  иррациональных уравнений:

• Иррациональное   уравнение,  содержащее   двойную иррациональность:

Решить уравнение  

Решение.

  возведем  обе  части уравнения в  куб

 возведем обе  части  уравнения в  квадрат

Пусть   = t

t 2– 11t + 10 = 0,

Сделаем  обратную  замену:                                             Проверка:

= 10,                          или          = 1,                     x = ,              

x = -пост. корень                                                                          0  

Ответ:   1.                                                                  x = 1,      

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность четной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем обе части уравнения в квадрат

3x – 5 – 2

2x – 2 = 2

x –1 =

x                                      Проверка:

x                      x = 3,      

4x                                                                           1 = 1.

                                    x = 1,75  
Ответ: 3.

• Иррациональное уравнение, содержащее иррациональность нечетной степени:

Решить  уравнение  

Решение.

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

 но  , значит:

 возведем  обе  части  уравнения  в  куб

(25 + x)(3 – x) = 27,

Ответ: –24; 2.

• Иррациональные уравнения, которые решаются заменой:

а) Решить уравнение  

Решение.

Пусть  = t,   тогда  = ,   где   t > 0

t –

Сделаем обратную замену:

= 2, возведем  обе  части  в  квадрат

                        Проверка:  x = 2,5      

Ответ:  2,5.

б) Решить  уравнение  

Решение.

Пусть  = t,   значит = ,   где  t > 0

t+ t – 6 = 0,

Сделаем обратную замену:

 = 2, возведем обе части уравнения в четвертую степень

x + 8 = 16,                                                    Проверка:

x = 8,                                                             x = 2,        

x = 2.                                                                                           6 = 6

Ответ:  2.

в) Решить  уравнение  

Решение.

Пусть   = t,   где   t  > 0

Сделаем обратную замену:

 = 2,  возведем обе части уравнения в квадрат

                          Проверка:          

                                                               ,          

Ответ: –5; 2.

Индивидуальное задание по теме 

«Иррациональные уравнения и неравенства».

(Составитель Лобанова О.Е.)

1. Решите неравенство:

1. 
2.  
3.  
4.  
5.  
6.  
7.  
8.  
9.  
10. 
11.  
12.  
13.  
14.  
15.  
16.  
17.  
18. 0
19.  
20.  

2. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

3.  Решите уравнения:

4. Решите уравнение:

5. Определите, при каких значениях параметра  уравнение имеет единственное решение.

Материалы вступительных экзаменов в МГУ

В. Галкин, В. Панферов, И. Сергеев,
В. Тарасов, А. Часовских, Москва

Тригонометрические задачи

Заочный тур, химический факультет, № 5 (12).

(Эта задача предлагалась в одном из вариантов на факультете ВМК в 1995 году. Автор – В. Галкин.)

Решите неравенство

Решение. В части области определения имеем

Поэтому logcos x cos2 x = 2, и исходное неравенство эквивалентно системе неравенств

Ответ:

№ 7 (12).

Решение. Так как sin 3x = 3sin x – 4sin3 x, cos 3x = 4cos3 x – 3cos x,

то имеем уравнение

Пусть sin x + cos x = y. Тогда

Но sin3 x + cos3 x = (sin x + cos x)(1 – sin x cos x). Значит,

(В этом уравнении для решения применяется прием, ставший стандартным: и уравнение сводится к смешанной алгебраической системе. Замечание редакции.)

№ 11 (12). Решите систему уравнений

Решение. Вычтем и сложим почленно первые два уравнения

Из третьего уравнения получим следствие

(2x + 1)(y + 3) = 1, – (sin z + cos z)(cos z – sin z) = 1, cos 2z = – 1, 1 – 2sin2 z = – 1, sin z = д 1, cos z = 0.

Пусть сначала sin z = 1, cos z = 0. Тогда x= – 1 и 2x+1=–1<0,  что невозможно из третьего уравнения.

Пусть теперь sin z = – 1, cos z = 0. Тогда

Но из условия 0  z > – 1. Значит, допускаются лишь n = 1, 2, ... .

Ответ:

ВКНОМ, № 2 (5).

Решение. Разделим обе части уравнения на введем вспомогательный аргумент   и получим уравнение

Ответ: где

(Ответ может быть записан, например, и так: Примечание редактора.)

Химический факультет, май, 1999, № 3 (7). 

Найти все значения x из отрезка [0; p], удовлетворяющие системе уравнений 

Решение. Объявим в системе неизвестными sin 3x и cos 4x и перепишем ее в виде

или

или

Ответ: .

ВКНОМ, май, № 1 (5).

Указание. 

Ответ:

Химический факультет и ВКНОМ, июль, № 2 (7). = 0.

Указание. Важно не забыть об области определения.

Ответ:

 Заочный тур, ВКНОМ, № 2 (5). 

sin5 x + cos5 x = – 1.

Решение. Если или cos x = – 1 _ x = p + 2pn, то уравнение очевидно удовлетворяется. Покажем, что других решений нет.

Если sin x = 1 или cos x = 1, то исходное уравнение очевидно не удовлетворяется. Поэтому исключим этот случай.

Равенства sin x = 0 или cos x = 0 тоже исключим, так как они уже по существу рассмотрены выше.

В остальных же случаях имеем оценки

Однако из исходного уравнения следует

Получено очевидное противоречие: 1 < 1.

Ответ:

Комментарий. Выше доказано, что

Но легко проверить, что и

Действительно, имеют место, например, преобразования

Теперь понятно, что в исходном уравнении пятые степени можно заменить любыми нечетными положительными степенями, а последние – первыми степенями:

Степени могут быть разными натуральными. Проверьте, например, что для натуральных n и k 

Задачи такого рода при различных натуральных n и k часто встречаются на устных экзаменах.

Биологический факультет и факультет фундаментальной медицины, июль, 1997, № 2 (6).

Решить уравнение  sin 2x – sin 4x = (cos 2x + 1)cos 3x.

Решение. 2sin (– x)cos 3x = (1 – 2sin2 x + 1)cos 3x.

1) cos 3x = 0; 2) sin2 x – sin x – 1 = 0,

Ответ:

Июль, 1998, № 3 (5).

Решение. Преобразуем исходное уравнение к виду

Во-первых, при sin x l 0 получаем

Во-вторых, при sin x < 0 находим

Последнее уравнение при sin x < 0 имеет решения вида

Ответ: 

Июль, 1998, № 5 (5). 

Найти все решения системы  

Решение. Преобразуем первое неравенство к виду

откуда получаем систему уравнений

Таким образом, имеем

Подставляя полученные значения для t, cos 5x и cos 10x во второе неравенство, получаем

при

т. е. – верно;

при   

– неверно.

Таким образом, исходная система эквивалентна следующей

Ответ:

Июль, 1999, № 1 (6).

8cos 6x – 12sin 3x = 3.

Указание. Учесть, что cos 6x = 1 – 2sin2 3x.

Ответ: 

Факультет почвоведения, май, 1997, № 2 (6). 

Решить уравнение 2sin 2x + 2sin x – 3 = 6cos x.

Решение. 2sin x (2cos x + 1) – 3(1 + 2cos 2x) = 0.

1) 2cos x + 1 = 0; 2) 2sin x – 3 = 0, ѕ.

.

Июль, № 3 (6).

Решение. 1)

a) k = 2n – годится; b) k = 2n + 1 – не годится.

2) sin x l 0. а) sin x = 0; б)

a) k = 2n – годится; b) k = 2n + 1 – не годится.

Ответ:

Заочный тур.

Найти 

Решение. В зависимости от a из I-й или III-й четверти

Теперь по формуле синуса разности имеем

Ответ: .

Май, 1998, № 4 (6). 

ctg x + ctg 2x = – tg 3x.

Решение.

Июль, № 2 (6).

Найти если известно, что и что Установить без помощи таблиц и калькулятора, какое из чисел больше 

Решение. Так как tg a > 0, то

Поэтому

Далее  так как

Ответ:

 Заочный тур, № 5 (10).

Найдите если известно, что и 

Установите без помощи таблиц и калькулятора, какое из чисел больше 

Решение. Так как и значит,

Поэтому

Ответ:

 № 6 (10).

tg 5x = ctg x – ctg 6x.

Решение.

Имеем

Необходимо учесть ОДЗ

т. е. выколоть точки и получить

ответ:

№ 7 (10).

Найдите все решения уравнения удовлетворяющие неравенству – 2p < x < 2p.

Решение. Перейдем к равносильной системе

Здесь учтено, что неравенство sin x l x выполнено только при x m 0. Осталось вспомнить, что x Э (– 2p; 2p) и получить

ответ:

 Май, 1999, № 1 (6). Определить, что больше:

Решение. Имеем последовательно

Первое число равно а второе Поскольку p > 3, то

ответ: второе число больше.

№ 2 (6).

Решение. Уравнение равносильно системе

Ответ:

Июль, № 2 (7).

cos 2x = sin x.

Решение. 

Ответ:

Комментарий. Легко заметить, что при n = 3m и n = 3m + 1 получим привычную запись решения уравнения – привычные записи решения уравнения sin x + 1 = 0:

Множество значений (область значений) сложной функции

Применяя метод мини-максов для решения уравнения, нужно выполнить оценку его левой и правой частей. Иначе говоря, необходимо найти множество значений (область значений) функций в левой части уравнения и в правой. Результат покажет, возможно применить данный метод или нет.
В этой статье вначале будут рассмотрeны приемы исследования сложной функции элементарными методами на примере логарифмической функции. Затем будут приведены конкретные примеры нахождения множества значений различных функций.

Пусть задана функция . В зависимости от изменения функции множество значений функции определяется по-разному.

1-й случай: .

На рисунках показаны примерные графики функций.

С учетом области определения логарифмической функции переменная изменяется:

.

2-й случай: .

С учетом области определения логарифмической функции переменная изменяется:

а) Пусть основание логарифмической функции .
Например, - возрастающая функция. При минимальном значении значение функции - минимально. Следовательно .

б) Пусть основание логарифмической функции . Например, - убывающая функция.
При минимальном значении значение функции
- максимально. Следовательно .

Эти примеры дают общие представления о подходе к определению множества значений (области значений) сложной функции. А теперь попробуем реализовать все это, рассматривая конкретные примеры.

Пример 1. Найти множество значений функции .

Решение.

Пусть , - квадратичная функция, тогда
- убывающая функция.

С учетом области определения логарифмической функции переменная t изменяется:

При максимальном значении значение функции

- минимальное. Следовательно

,

.

Ответ: .

Пример 2. Найти множество значений функции .

Решение.

Пусть - квадратичная функция, тогда - возрастающая функция, .

.

С учетом области определения показательной функции переменная t  изменяется:

При минимальном  значении t = 3 значение функции - минимальное. Следовательно:

Ответ: .

Пример 3. Найти множество значений функции .

Решение.

Пусть  - квадратичная функция, тогда

 - убывающая функция, y > 0.

.

С учетом области определения показательной функции переменная  t изменяется:

При минимальном значении t = -1 значение функции - максимальное. Следовательно:

Ответ: .

Пример 4. Найти множество значений функции .

Решение.

Пусть ,

тогда - возрастающая функция, .

Используя свойства тригонометрической функции, оценим данное выражение:

С учетом области определения функции переменная t изменяется:

Учитывая, что функция - возрастающая – имеем:

Ответ: .

Пример 5. Найти множество значений функции .

Решение.

Пусть - квадратичная функция, тогда .

.

С учетом области определения логарифмической функции переменная изменяется:

При минимальном значении t = 3 значение функции - минимальное,

т.к. при функция монотонно возрастает. Следовательно:

,

.

Ответ: .

Монотонность функций

Комбинированные уравнения, в состав которых входит хотя бы одна неограниченная функция, следует попробовать решить, применив свойство монотонных функций.

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

Если на области определения уравнения f(x) = g(x) функция f(x) возрастает (убывает), а функция g(x) убывает (возрастает), то тогда уравнение не может иметь более одного корня.

Можно сказать конкретнее и понятнее.
Если функция y = f(x) монотонно возрастает (убывает), а функция y = g(x) монотонно убывает (возрастает) на некотором промежутке и х – корень уравнения f(x) = g(x), то он единственный на этом промежутке.

  Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Область определения уравнения - все положительные числа ( ).

Кстати, для учеников существует проблема в применении понятий область определения уравнения и область допустимых значений (ОДЗ) переменной х.
Аббревиатура ОДЗ приобрела самостоятельную жизнь и применяют ее, не понимая сути, иногда путая с допустимыми значениями функции. Любое уравнение можно привести к виду f(x) = 0 и считать уравнением частный случай функции у = f(x), когда она равна нулю. Область определения этой функции или допустимые значения переменной х - и есть область определения уравнения или область допустимых значений неизвестной переменной в этом уравнении.

Очевидно, что - корень уравнения.

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Следовательно, корень уравнения - единственный.

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение.

Область определения уравнения: .

Функция монотонно возрастает на всей области определения уравнения.

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Определить, есть ли у этого уравнения корень, попробуем графически.

Построим графики функций в одной системе координат. Из построенного графика видно, что функции пересекаются в точке .

Проверим, является ли число 1,5 корнем данного уравнения.

Ответ: 1,5.

Пример 3. Решить уравнение:  .

Решение.

Область определения уравнения: .

Функция монотонно убывает на всей области определения уравнения.

Координаты вершины параболы .

Квадратичная функция на области определения уравнения:

а) монотонно убывает при . Значения функции изменяются при этом на промежутке .
Значения функции
при меняются следующим образом: .
Уравнение на этом промежутке корней не имеет.

б) монотонно возрастает при . Очевидно, что

Значит х = 4 – единственный корень данного уравнения.

Ответ: 4.

Когда доказано, что функция в левой части уравнения монотонно возрастает (убывает), а в правой части - монотонно убывает (возрастает), то единственный корень уравнения, если он имеется, находят любым доступным способом.

I. Логарифмические уравнения

3.1. Метод оценки левой и правой частей.

Решите уравнение log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5.

Решение. Оценим левую часть уравнения:

2x – x2 + 15 = – (x2 – 2x – 15) = – ((x2 – 2x + 1) – 1 – 15) = (– (x – 1)2 + 16 ≤ 16.

Тогда  log2 (2x – x2 + 15) ≤ 4.

Оценим правую часть уравнения:  x2 – 2x + 5 = (x2 – 2x + 1) – 1 + 5 = (x – 1)2 + 4 ≥ 4;

Исходное уравнение может иметь решение только в случае, когда правые части уравнений равны

Ответ: x = 1.

Самостоятельная работа

Решите уравнения:

1. log4 (6x – x2 + 7) = x2 – 6x + 11,
2. log5 (8x – x2 + 9) = x2 – 8x + 18.
3. log4 (2x – x2 + 3) = x2 – 2x + 2.
4. log2 (6x – x2 – 5) = x2 – 6x + 11.

Ответы:  1. x = 3.  2. x = 6.  3. x = 1.  4. x = 3.

3.2. Использование монотонности функций, подбор корней.

Решите уравнение  log2 (2x – x2 + 15) = x2 – 2x + 5.

Решение. Выполним замену

2x–x2+15=t, t>0. Тогда x2–2x+5=20–t, значит, log2 t=20–t. Функция y=log2 t – возрастающая, а функция y=20–t – убывающая. Геометрическая интерпретация дает понять, что исходное уравнение имеет единственный корень, который нетрудно найти подбором, t=16. Решив уравнение 2x–x2+15=16, находим, что x=1. Проверкой убеждаемся в верности подобранного значения.

Ответ: x=1.

3.3. Некоторые «интересные» логарифмические уравнения.

Решите уравнение

Решение. ОДЗ: (x – 15) cos x > 0. Перейдем к уравнению

Перейдем к равносильному уравнению

(x – 15)(cos2 x – 1) = 0.
x – 15 = 0, x = 15;

или  cos2 x = 1, cos x = 1, x = 2πk, k∈Z

или   cos x = – 1, x = π + 2πl, l∈Z.

Проверим найденные значения, подставив их в ОДЗ:

1) если x=15, то (15 – 15)cos15>0, 0>0 – неверно; x=15 не является корнем уравнения;
2) если x=2πk, k∈Z, то (2πk – 15)∙1 > 0, 2πk > 15. Заметим, что 15≈5π.
Имеем k>2,5, k∈Z, k = 3, 4, 5...;
3) если x=π +2π l, l Э Z, то (π +2π l – 15)(– 1) > 0, π + 2π l<15, 2π l < 15 – π. Заметим, что 15≈5π. Имеем: l < 2, l = 1, 0, – 1, – 2...

Ответ: x = 2πk (k = 3, 4, 5, 6...), x = π + 2π l (l = 1, 0, – 1, – 2, ...).

Решение уравнений методом мини-максов.

Кто так назвал этот метод, автор этой статьи не проводила исследование. Впервые увидела это название в учебно-практическом пособии М.И. Назаренкова "Вступительный экзамен по математике" , издательство "Экзамен", М., 2003. Кто-то иронизирует над этим названием рассматриваемого метода, а ученикам нравится. Хорошо запоминается, с интересом изучается и владение им приносит огромную пользу.

Основа этого метода - определение ограниченных функций.

Функция f(x) называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция f(x) называется ограниченной снизу, если существует такое число А, что для всех значений аргумента из области определения функции выполняется неравенство .

Функция, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Кратко опишем суть метода мини-максов для решения уравнений.

Пусть требуется решить уравнение .

Если на общей области определения функций и выполняются неравенства
, то данное уравнение равносильно системе

.

Рисунок иллюстрирует данное утверждение.

Теперь остается выбрать уравнение, которое легче решается, найти его корень (корни) и проверить является ли он (они) корнем (корнями) другого уравнения.

Например, решая уравнение , выясняем, что

.

Тогда
Решая первое уравнение, получим . Проверкой устанавливаем, что является корнем и второго уравнения. Значит - корень исходного уравнения.

Для применения метода мини-максов необходимо уметь оценивать левую и правую части уравнения. Если сделана такая оценка и она позволяет использовать данный метод, то уравнение практически решено.

Наиболее часто используемые для оценки базовые неравенства.

1. Неравенство Коши

2. .

3. .

4. Оценка суммы двух взаимообратных чисел.

5. .

Таких неравенств очень много и их конечно же можно использовать при решении уравнений методом мини-максов. Но заучивать их выпускникам нет необходимости. Гораздо эффективнее научить их находить множество значений (область значений) функций. Эти знания понадобятся не только для решения уравнений этим методом, но и для других заданий по теме "Функция". Кроме того, практическое применение свойств функции позволит обобщить и систематизировать знания о свойствах различных функций.
Об исследовании функции элементарными методами пойдет речь в следующей статье. А сейчас рассмотрим примеры применения метода мини-максов с использованием базовых неравенств для оценки левой и правой части уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Оценим правую часть уравнения, используя свойства функции

.

Для оценки левой части уравнения используем базовое неравенство оценки суммы двух взаимообратных чисел. Рассмотрим два случая.

1) . Тогда

2) . Тогда

Ответ: -1; 1.

Пример 2. Решить уравнение .

Рассмотрим функцию . Оценим ее с помощью базового неравенства

Квадратичная функция имеет минимальное значение в вершине параболы.

Тогда данное уравнение равносильно системе уравнений

Решим второе уравнение

Проверка показывает, что х = 4 является корнем и первого уравнения:

Ответ: 4.

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Оценку левой части уравнения произведем, используя оценку однородного линейного тригонометрического многочлена

Квадратичная функция в правой части уравнения принимает минимальное значение в вершине параболы

Тогда данное уравнение равносильно системе уравнений

Корень второго (квадратного) уравнения: х = 1.
Проверка показывает, что х = 1 не является корнем первого уравнения:

Ответ: нет корней.

Примеры решения комбинированных уравнений методом мини-максов.

Уравнения, решаемые методом мини-максов, из года в год включаются в КИМы единого государственного экзамена по математике. Причем они бывают не только в третьей части С (высокий уровень), но и в части В (повышенный уровень). Познакомившись с примерами, которые рассматриваются в данной статье и которые в то или иное время были включены в КИМы экзамена, можно в дальнейшем уверенно применять этот метод.

Можно выделить некоторые внешние признаки, которые побуждают применить метод мини-максов:

1. Наличие в одном уравнении функций различной природы: алгебраических, тригонометрических, показательных или логарифмических и т.п., что затрудняет или делает невозможным использование стандартных методов.

2. Иногда оценка одной из частей уравнения может быть сделана, исходя из очевидных соображений, или диктуется непосредственно видом этой части, тогда следует попытаться получить противоположную оценку для другой части уравнения.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение.

Запишем уравнение в виде: .

Оценим функцию в левой части уравнения:

Функция - возрастающая, - наименьшее значение функции, .

Оценим функцию в правой части уравнения:

Оценка функций в левой и правой частях уравнения позволяет сделать вывод, что данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решая первое уравнение получим два корня:

Проверим, являются ли они корнями и второго уравнения:

Ответ: 2.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение.

Оценим функцию в левой части уравнения:

Оценим функцию в правой части уравнения:

Оценка функций в левой и правой частях уравнения позволяет сделать вывод, что данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решая первое уравнение получим два корня:

Проверим, являются ли они корнями и второго уравнения:

Ответ: .

Пример 3. Решить уравнение .

Решение.

Оценим функции в левой и правой части уравнения

.

Оценка функций в левой и правой частях уравнения позволяет сделать вывод:

Решаем первое уравнение из системы уравнений:

Проверим, является ли корнем второго уравнения.

Ответ:  3.

Пример 4.
Найдите координаты точки пересечения графика функции и  прямой у = 12.

Решение.

Если прямая и данная функция перекаются, то абсцисса точки их пересечения вычисляется из условия

.

.

Оценим функцию , для этого исследуем функцию на экстремумы.

.

С учетом области определения возрастающей функции

Оценим функцию .

Переход в двойном неравенстве к обратным величинам учащимся непросто объяснить. Оценку данной функции можно сделать другим способом.

Итак, если , то данное уравнение равносильно системе уравнений:

Решим второе уравнение

Проверим, является ли корнем первого уравнения.

Ответ: (1,5; 12).

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Оценим функцию в левой части уравнения:

Оценим функцию .

Выражения под знаком модуля равны нулю при . Определим знаки выражений, стоящих под знаками модуля на трех промежутках:

Оценим функцию g(x) на этих промежутках, раскрывая модули, используя схему знаков на рисунке.

Итак, . Оценка функций в левой и правой частях уравнения позволяет заменить его системой уравнений, котрую несложно решить.

Ответ: .

С1 2005 Найдите все значения х, для которых точки графика функции  лежат выше соответствующих точек графика функции .

Ответ:  

С1 2005 Найдите все значения х, для которых точки графика функции  лежат выше соответствующих точек графика функции .

Ответ:

С1 2005 Найдите все значения х, для которых точки графика функции  лежат выше соответствующих точек графика функции .

Ответ:  

С1 2005  Найдите все значения х, для которых точки графика функции   лежат ниже соответствующих точек графика функции

.

Ответ:  

С1 2005  Найдите все значения х, для которых точки графика функции  лежат выше соответствующих точек графика функции .

Ответ:  

Задачи по планиметрии

1. Две стороны треугольника имеют длины 6 и 10, причём угол между ними острый. Площадь этого треугольника равна 18. Найдите третью сторону треугольника. _

Площадь треугольника равна половине произведения двух его соседних сторон на синус угла между ними.

Ответ

_____________

2. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O. Периметр параллелограмма равен 12, а разность периметров треугольников BOC и COD равна 2. Найдите меньшую сторону параллелограмма.

Решение:

Пусть AB = CD = a, BC = AD = b. По условию задачи

12 = 2a + 2bи2 = (b + OB + OC) - (a + OD + OC) = b - a,

Из полученной системы уравнений находим, что a = 2, b = 4.

3. Высоты треугольника ABC, проведённые из вершин A и C, пересекаются в точке M. Найдите AMC, если A = 70o, C = 80o. ____150______________

4. Боковые стороны трапеции равны 7 и 11, а основания — 5 и 15. Прямая, проведённая через вершину меньшего основания параллельно большей боковой стороне, отсекает от трапеции треугольник. Найдите большую сторону

Пусть AD и BC — основания трапеции ABCD, причём

AB = 7, BC = 5, CD = 11, AD = 15.

Через вершину C проведём прямую, параллельную боковой стороне AB. Пусть эта прямая пересекает основание AD в точке K. Тогда ABCK — параллеллограмм. Поэтому

CK = AB = 7, DK = AD - AK = AD - BC = 15 - 5 = 10.

Ответ:

Более сложные задачи по планиметрии

1. Высота трапеции ABCD равна 5, а основания BC и AD соответственно равны 3 и 5. Точка E находится на стороне BC, причем BE = 2, F – середина стороны CD, а M – точка пересечения отрезков AE и BF.

Найдите площадь четырехугольника AMFD.

Решение. Искомая площадь равна разности площадей треугольников AMN и NDF, где точка N – точка пересечения прямых AD и BF (рис. 1)

SAMFD = S AMN – S NDF.

Из равенства сторон CF и FD и прилегающих к ним углов следует равенство треугольников NDF и BCF. Поэтому DN=BC=3. Высота FF1 треугольника NDF равна половине высоты трапеции, так как точка F – середина отрезка CD. Значит,

Так как то , причем коэффициент подобия

AN : BE = (AD + DN) : BE = (5 + 3) : 2 = 4.

Если h2 и h1 – расстояния от точки M до прямых AN и BE соответственно (рис. 1), то

Зная высоту MM1 = h2 в  AMN, найдем его площадь

Значит, 

Ответ:

2. Окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, касается стороны BC в точке K, причем CK : BK = 5 : 8. Найдите длину отрезка BO, если площадь треугольника ABC равна 540.

Решение. Пусть CK = 5x и BK = 8x. Тогда  CK = DC = AD = AN = 5x

(как равные отрезки касательных) и BK = BN = 8x, BC = 13x, AC = 10x.

Из треугольника BDC (∠ D = 90°)

а по условию SΔABC = 540. Следовательно, 60x2 = 540, откуда x = 3. Значит,

отсюда 

Ответ: BO = 26.

Часть В ( При решении задач части В необходимо записать ответ)

1. Высота трапеции, диагонали которой взаимно перпендикулярны, равна 4. Найдите площадь трапеции, если известно, что длина одной из ее диагоналей равна 5.____________________

Решение

Пусть диагональ AC трапеции ABCD с основанием AD равна 5. Достроим треугольник ACB до параллелограмма ACBE. Площадь трапеции ABCD равна площади прямоугольного треугольника DBE. Пусть BH — высота треугольника DBE. Тогда  EH2 = BE2 - BH2 = 52 - 42 = 32 и  ED = BE2/EH = 25/3. Поэтому  SDBE = ED . BH/2 = 50/3.

2. В треугольнике ABC даны три стороны: AB = 26, BC = 30 и AC = 28. Найдите часть площади этого треугольника, заключённую между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины B. _____________

Решение

Пусть BP и BQ — высота и биссектриса данного треугольника ABC. По формуле Герона

SABC = = = 14 . 6 . 4 = 336.

С другой стороны, SABC = AC . BP. Поэтому

BP = = = 24.

По свойству биссектрисы треугольника

= = = .

Поэтому AQ = AC = 13. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника APB находим, что

AP = = = = 10.