Тесты Геометрия 10 класс

Тест 1.  Тема «Аксиомы стереометрии и следствия из них».

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) любые четыре точки лежат в одной плоскости;

б) любые три точки не лежат в одной плоскости;

в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

г) через любые три точки проходит плоскость;

д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.

2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?

а) 2;

б) 3;

в) несколько;

г) бесконечно много;

д) бесконечно много или ни одной.

3. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через

 каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных

 плоскостей при этом получилось?

а) 2;

б) 3;

в) 1;

г) 4;

д) бесконечно много.

4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в

 пространстве они:

а) не определяют в любом случае;

б) определяют, но при дополнительных условиях;

в) определяют в любом случае;

г) ничего сказать нельзя;  д) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

а) если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;

б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна;  

в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя;  

г) любые две плоскости не имеют общих точек;  д) если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой.

6. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

а) AD;

б) DE;

в) определить нельзя;

г) DF;

д) AF.

7. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая EF (рис.1)?

а)ABC;

б) AA1D;

в) BB1C1;

г) AEF;

8. Через точку М, не лежащую на прямой а, провели прямые, пересекающие прямую а. Тогда:

а) эти прямые не лежат в одной плоскости;

б) эти прямые лежат в одной плоскости;

в) никакого вывода сделать нельзя;

г) часть прямых лежит в плоскости, а часть -  нет;

д) все прямые совпадают с прямой а.

9. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

 а) Определить нельзя;

б) они совпадают;

в) имеют только одну общую точку;

г) не пересекаются;

д) пересекаются по некоторой прямой.

10. Точки A,B,C не лежат на одной прямой. M € AB; K € AC; X € MK. Выберите верное утверждение.

 а) X € AB;

б) X € AC;

в) X € ABC;

г) точки Х и М совпадают;

д) точки Х и К совпадают.

Тест 1. Тема «Аксиомы стереометрии и следствия из них».

Вариант 2.

1.Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?

а) пересекаются;

б) ничего сказать нельзя;

в) не пересекаются; г)

совпадают;

д) имеют три общие точки.

2. Какое из следующих утверждений верно?

а) если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;

б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны;

в) любые две плоскости имеют только одну общую точку;

г) через две точки проходит плоскость и притом только одна;

д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.

3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

а) никогда;

б) могу, но при дополнительных условиях;

в) всегда имеют;

г) нельзя ответить на вопрос;

д) другой ответ.

4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?

а) 1;

б) 2;

в) 3;

г) 4;

д) бесконечно много.

5. Выберите верное утверждение.

а) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна;

б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;

в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются;

г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна;

д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.

6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB.

а)  PM;

б) AB;

в) PB;

г) BM;

д) определить нельзя.

7. Какую из перечисленных плоскостей пересекает прямая РМ (рис.1)?

а) DD1C;

б) D1PM;

в) B1PM;

г) ABC;

д) CDA.

8.Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с?

  а) Никакого вывода сделать нельзя;

б) прямая с проходит через точку М;

в) точка М лежит на прямой с;

г) прямая с не проходит через точку М;

д) другой ответ.

9. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c?

а) все прямые лежат в разных плоскостях;

б) прямые а и b лежат в одной плоскости;

в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя;

д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.

10. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение.

а) Точки O и  Y не лежат в одной плоскости;

б) прямые OY и  a параллельны;

в) прямые a,  b и точка Y лежат в одной плоскости;

г) точки O и  Y совпадают;

д) точки Y и  A совпадают.

Тест 1

«Аксиомы стереометрии и следствия из них»

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) любые четыре точки лежат в одной плоскости;      б) любые три точки не лежат в одной плоскости;         в) любые четыре точки не лежат в одной плоскости; г) через любые три точки проходит плоскость;     д) через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.

2. Сколько общих точек могут иметь две различные плоскости?

а) 2;           б) 3;  в) несколько;  г) бесконечно много; д) бесконечно много или ни одной.

3. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через  каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных  плоскостей при этом получилось?

  а) 2;                 б) 3;                 в) 1;                 г) 4;              д) бесконечно много.

4. Если три точки не лежат на одной прямой, то положение плоскости в пространстве они:

а) не определяют в любом случае; б) определяют, но при дополнительных условиях;          в) определяют в любом случае;  г) ничего сказать нельзя;                 д) другой ответ.

5. Выберите верное утверждение.

  а) Если одна точка прямой лежит в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;    б) через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна;  в) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя;  г) любые две плоскости не имеют общих точек;       д) если четыре точки не лежат в одной плоскости, то какие-нибудь три из них лежат на одной прямой.

6. Назовите общую прямую плоскостей AFD и DEF.

  а) AD;                 б) DE;         в) определить нельзя;            г) DF;            д) AF.

7. Через точку М, не лежащую на прямой а, провели прямые, пересекающие прямую а. Тогда:

  а) эти прямые не лежат в одной плоскости;   б) эти прямые лежат в одной плоскости;     в) никакого вывода сделать нельзя;     г) часть прямых лежит в плоскости, а часть -  нет;     д) все прямые совпадают с прямой а.

8. Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

  а) определить нельзя;     б) они совпадают;     в) имеют только одну общую точку; г) не пересекаются;     д) пересекаются по некоторой прямой.

9. Точки A,B,C не лежат на одной прямой. M € AB; K € AC; X € MK. Выберите верное утверждение.

  а) X € AB; б) X € AC; в) X € ABC; г) точки Х и М совпадают; д) точки Х и К совпадают.

10. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

  а) Скрещиваются или пересекаются;  б) пересекаются или параллельны;        

  в) скрещиваются или параллельны;   г) только скрещиваются;            

  д) только параллельны.

Вариант 2.

1. Что можно сказать о взаимном расположении двух плоскостей, которые имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой?

  а) Пересекаются;    б) ничего сказать нельзя;     в) не пересекаются;  

  г) совпадают;    д) имеют три общие точки.

2. Какое из следующих утверждений верно?

  а) Если две точки окружности лежат в плоскости, то вся окружность лежит в этой плоскости;     б) прямая, лежащая в плоскости треугольника, пересекает две его стороны;      в) любые две плоскости имеют только одну общую точку;        г) через две точки проходит плоскость и притом только одна;      д) прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она пересекает две прямые, содержащие стороны треугольника.

3. Могут ли две различные плоскости иметь только две общие точки?

  а) Никогда;       б) могут, но при дополнительных условиях;

в) всегда имеют;    г) нельзя ответить на вопрос;      д) другой ответ.

4. Точки K, L, M лежат на одной прямой, точка N не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?

  а) 1;                 б) 2;                 в) 3;                 г) 4;                 д) бесконечно много.

5. Выберите верное утверждение.

  а) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна;

 б) если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости;         в) если две плоскости имеют общую точку, то они не пересекаются; г) через прямую и точку, лежащую на ней, проходит плоскость, и притом только одна;         д) через две пересекающиеся прямые плоскость провести нельзя.

6. Назовите общую прямую плоскостей PBM и MAB.

  а)  PM;         б) AB;                 в) PB;                 г) BM;         д) определить нельзя.

7. Две плоскости пересекаются по прямой с. Точка М лежит только в одной из плоскостей. Что можно сказать о взаимном положении точки М и прямой с?

  а) Никакого вывода сделать нельзя;   б) прямая с проходит через точку М; в) точка М лежит на прямой с;      г) прямая с не проходит через точку М;  д) другой ответ.

8. Прямые а и b пересекаются в точке М. Прямая с, не проходящая через точку М, пересекает прямые а и b. Что можно сказать о взаимном положении прямых а, b и c?

  а) Все прямые лежат в разных плоскостях; б) прямые а и b лежат в одной плоскости; в) все прямые лежат в одной плоскости; г) ничего сказать нельзя;

д) прямая с совпадает с одной из прямых: или с а, или с b.

9. Прямые а и b пересекаются в точке О. A € a, B € b, Y € AB. Выберите верное утверждение.

  а) Точки O и  Y не лежат в одной плоскости;         б) прямые OY и  a параллельны;

в) прямые a,  b и точка Y лежат в одной плоскости;         г) точки O и  Y совпадают; д) точки Y и  A совпадают. 

10.  Выясните взаимное расположение прямых  MN и NP.

  а) Параллельны; б) скрещиваются; в) определить нельзя; г) пересекаются;                д) совпадают в любом случае. 

Тест 2 «Взаимное расположение прямых», «Параллельность плоскостей»

Вариант 1.

1. Точка М не лежит в плоскости треугольника ABC, K – середина MB. Каково взаимное расположение прямых MA и CK?

а) Определить нельзя;  б) скрещиваются; в) параллельны;  г) совпадают; д) пересекаются.

2. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:

а) прямые b и с пересекаются; б)прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны; д) прямая а лежит в плоскости β.

3. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если через прямую а можно провести плоскость, параллельную прямой b?

а) Скрещиваются или пересекаются;     б) пересекаются или параллельны;

в) скрещиваются или параллельны;    г) только скрещиваются;

д) только параллельны.

4. В треугольнике ABC угол С  на 40˚ больше суммы углов В и А. Найдите угол между прямыми АС и ВС.

  а) 110˚;          б) 70˚;                  в) 55˚;                  г) 125˚;         д) определить нельзя.

5. Каким может быть взаимное расположение прямых а и b, если прямая а лежит в плоскости α, а прямая b параллельна этой плоскости?

 а) Параллельны или пересекаются;      б) скрещиваются или пересекаются;

в) параллельны или скрещиваются;     г) определить нельзя;     д) совпадают.

6. Прямая а параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

а) Прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;      

б) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости α;     

в) прямая а скрещивается со всеми прямыми плоскости α;    

г) прямая а имеет общую точку с плоскостью α;       

д) прямая а лежит в плоскости α.

7. Выберите верное утверждение.

а) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости;  

б) если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то другая прямая также пересекает эту плоскость;    

в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они пересекаются;  

г)если прямая и плоскость не имеют общих точек, то прямая лежит в плоскости

д) прямая и плоскость называются скрещивающимися, если они не имеют общих точек.

8. Прямая а параллельна прямой b и плоскости α. Выберите верное утверждение.

а) Прямая b параллельна плоскости α;     б) прямая b лежит в плоскости α;

в) прямая b пересекает плоскость α;     г) прямая b лежит в плоскости α или параллельна ей;     д) прямая b скрещивается с плоскостью α.

Вариант 2.

1. Точка М не лежит в плоскости четырехугольника ABCD, K – середина МА. Каково взаимное расположение прямых МВ и DK?

а) Определить нельзя; б) скрещиваются; в) параллельны;        г) пересекаются; д) совпадают.

2. Даны треугольник АВС и плоскость α, причем АВ║α, АС║α, тогда прямая ВС и плоскость α:

а) параллельны;  б) пересекаются;  в) прямая лежит в плоскости;   г) определить нельзя; д) другой ответ.

3. Прямая с, параллельная прямой а, пересекает плоскость β. Прямая b параллельна прямой а, тогда:

а) прямые b и с пересекаются; б)прямая b лежит в плоскости β; в) прямые b и с скрещиваются; г) прямые b и с параллельны; д) прямая а лежит в плоскости β.

4. Через вершину А параллелограмма ABCD и точку М, не лежащую в плоскости параллелограмма, проведена прямая АМ. Чему равен угол между прямыми АМ и ВС, если угол MAD равен 120˚?

  а) Определить нельзя;      б) 120˚;        в) 30˚;      г) 60˚;        д) 150˚.

5. Каким может быть взаимное расположение двух прямых, если обе они параллельны одной плоскости?

а) Только параллельны;    б) определить нельзя;   в) все случаи взаимного расположения;     г) только скрещиваются;     д) только пересекаются.

6. Прямая b параллельна плоскости α. Какое из следующих утверждений верно?

а) Прямая b параллельна любой прямой, лежащей в плоскости α;

б) прямая b параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости α; 

в) прямая b пересекается со всеми прямыми плоскости α;   

г) прямая b пересекается с некоторой прямой плоскости α;   

д) любая плоскость, проходящая через прямую b, пересекает плоскость α.

7. Выберите верное утверждение.

а) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая лежит в данной плоскости;  

б) если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, то эта плоскость параллельна другой плоскости;  

в) если две прямые параллельны третьей прямой, то они скрещивающиеся;  

г) если две прямые пересекают плоскость, то они параллельны;    

д) прямая и плоскость  называются параллельными, если они не имеют общих точек.

8. Прямая  а  параллельна плоскости α, точка М принадлежит этой плоскости. Выберете верное утверждение.

а) Точка М принадлежит прямой  а;    

б) любая прямая, проходящая через точку М, будет параллельна прямой а;   

в) в плоскости α существует прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой а;   г) существует прямая, не лежащая в плоскости α, которая проходит через точку М и параллельная прямой а;    д) в плоскости α существуют две прямые, проходящие через точку М  и параллельные прямой а.

Тест 3 «Параллельность прямых и плоскостей в пространстве»

1. Какие из перечисленных понятий геометрии являются первичными?

   А) Луч, точка, плоскость, треугольник.

   Б) Прямая, точка, расстояние от точки до точки, плоскость.

   В) Плоскость, прямая, луч, угол.

2. Пересечением двух плоскостей  является

   А) точка

   Б)  прямая

   В)  отрезок

3. Сколько должно быть общих точек у прямой с плоскостью, чтобы она лежала в этой              

        плоскости?

   А)  одна

   Б)  две

   В)  три

4.  На сколько множеств разбивает пространство любая плоскость?

    А)  на два

    Б)  на три

    В)  на четыре

5. Чтобы задать единственную плоскость необходимо

   А)  две точки

   Б)  три точки

   В)  три точки, не лежащие на одной прямой

6. Какие из перечисленных фигур задают единственную плоскость в пространстве?

    А)  две параллельные прямые

    Б)  две скрещивающиеся прямые

    В)  три точки

7.  Сколько плоскостей задают две пересекающиеся прямые?

    А)  одну плоскость

    Б)   две плоскости

    В)  бесконечно много плоскостей

8.  Через какие из перечисленных фигур можно провести единственную плоскость?

    А)  Через три точки

    Б)  Через прямую и не лежащую на ней точку

    В)  Через отрезок

9.  Сколько плоскостей задаёт прямая?

    А)  одну плоскость

    Б)   две плоскости

    В)  бесконечно много плоскостей

10.  Две прямые пересекаются. Что это значит?

    А)  Они имеют две общие точки.

    Б)   Они имеют одну общую точку.

    В)   Они лежат в одной плоскости.

11.  Две прямые называются скрещивающимися, если

    А)  они не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости.

    Б)  они не имеют общих точек.

    В)  они имеют одну общую точку.

12.  Две прямые в пространстве называются параллельными, если

     А)  они не имеют общих точек.

     Б)  они не имеют общих точек и лежат в одной плоскости.

     В)  они не имеют общих точек, и не существует проходящей через них плоскости.

13.  Прямая и плоскость не имеют общих точек. Это значит, что

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

14.  Прямая и плоскость имеют только одну общую точку. Это значит, что

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

15.  Прямая и плоскость имеют две общих точки. Каково их взаимное расположение?

     А)  они параллельны.

     Б)   они пересекаются.

     В)   они скрещиваются.

16.  Если две плоскости не имеют общих точек, то они

     А)   параллельны.

     Б)    пересекаются.

     В)    скрещиваются.

17.   Две плоскости пересекаются. Это значит, что

      А)  они имеют одну общую точку.

      Б)  они имеют общую прямую.

      В)  они имеют общий луч.

Тест 4  "Перпендикулярность прямой и плоскости"

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости
2. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, параллельной  этой плоскости
3. Прямая, перпендикулярная каким-нибудь двум прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости.
4. Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная его диаметру, перпендикулярна плоскости круга
5. Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная его двум радиусам, не лежащим на одной прямой, перпендикулярна плоскости круга
6. Прямая, перпендикулярная двум не параллельным хордам круга, перпендикулярна его плоскости.
7. Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых,то она перпендикулярна и другой.
8. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
9. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
10. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Тест  3 "Перпендикулярность прямой и плоскости"

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости
2. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, параллельной  этой плоскости
3. Прямая, перпендикулярная каким-нибудь двум прямым, лежащим в плоскости, перпендикулярна этой плоскости.
4. Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная его диаметру, перпендикулярна плоскости круга
5. Прямая, пересекающая круг в центре и перепендикулярная его двум радиусам, не лежащим на одной прямой, перпендикулярна плоскости круга
6. Прямая, перпендикулярная двум не параллельным хордам круга, перпендикулярна его плоскости.
7. Если плоскость перпендикулярна одной из параллельных прямых,то она перпендикулярна и другой.
8. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
9. Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
10. Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

Всего 23 балла.

На «5» - 19

На «4»- 15-18

На «3»-10-14 

Тест 5 «Многогранники»

Вариант 1.

1. Сколько рёбер у шестиугольной призмы?                           

а) 18;             б) 6;                 в) 24;         г) 12;         д) 15.

2. Какое наименьшее число граней может иметь призма?

а) 3;        б) 4;        в) 5;        г) 6;        д) 9.         

3. Выберите верное утверждение:                                             

а) у n-угольной призмы 2n граней;                                             

б) призма называется правильной, если её основания - правильные многоугольники;         

в) у треугольной призмы нет диагоналей;                                              

г) высота призмы равна её боковому ребру;                                    

д) площадью боковой поверхности призмы называется сумма площадей всех её граней.

4. Дан тетраэдр АВСD, у которого противоположными рёбрами являются:                

а) АС и DС;    б) АС и DВ;     в) АВ и DА;     г) АС и ВС;     д) АС и DА.

5. Какое из следующих утверждений верно?                                        

а) параллелепипед состоит из шести треугольников;                                        

б) противоположные грани параллелепипеда имеют общую точку;                        

в) диагонали параллелепипеда пересекаются в отношении 2:1, начиная от вершины нижнего основания;                                                                

г) две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются смежными;                

д) существуют тетраэдр и параллелепипед, у которых одинаковая площадь полной поверхности.

6. Дан куб АВСДА1В1С1Д. Каково расположение прямых В1Д1 и АС ?

а) пересекаются ;            б) параллельны;             в) скрещиваются.

7.Три ребра параллелепипеда равны 3 м, 4 м и 5 м. Найдите сумму длин всех эго рёбер.

а) 12 м;     б) 18 м;                в) 24 м;      г) 48 м;                д) 36 м.        

8.Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Точки М, N, К, - середины соответственно рёбер АА₁, В₁С₁ и СD. Сечение куба плоскостью МNК представляет собой:                        

а) треугольник; б) четырёхугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник; д) семиугольник.

9. Измерениями прямоугольного параллелепипеда называются:

а) длины трёх произвольно взятых диагоналей;

б) длины трёх равных рёбер параллелепипеда;

в) длины трёх рёбер, имеющих общую вершину;

г) длины диагоналей основания параллелепипеда;

д) длины смежных сторон и диагонали параллелепипеда.

10. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником?

а) правильный тетраэдр ;    б) правильный гексаэдр;   в) правильная призма;                                                               

г) правильный додекаэдр;        д) правильный октаэдр.

Вариант 2.

1. Сколько граней  у шестиугольной призмы?

а) 6;         б) 8;         в) 10;    г) 12;        д) 16.

2. Какое наименьшее число рёбер может иметь призма?

а) 9;        б) 8;        в) 7;        г) 6;        д) 5. 

3. Выберите верное утверждение:

а) у n-угольной призмы 2n рёбер;          

б) площадью полной поверхности призмы называется сумма площадей  её боковых граней;

в) у треугольной призмы две диагоналей;

г) высота прямой призмы равна её боковому ребру; 

д) призма называется правильной, если в основании лежит правильный многоугольник.

4. Дан тетраэдр МNРК, у которого противоположными рёбрами не являются:        

а) МN и РК; б) МР и NК;  в) МК и РN;   г) МN и NР;    д) определить нельзя.

5.Какое из следующих утверждений верно?

а) Тетраэдр состоит из четырёх параллелограммов;

б) смежные грани параллелепипеда параллельны;

в) диагонали параллелепипеда скрещиваются;

г) отрезок, соединяющий противоположные вершины параллелепипеда, называется  его диагональю;

 д)  параллелепипед имеет всего шесть рёбер.

6. Дан куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Точки К, L, М, -середины соответственно рёбер ВВ₁, А₁D₁ и СD. Сечение куба плоскостью КLМ представляет собой:

а) шестиугольник;  б) пятиугольник;  в) четырёхугольник; г) треугольник; д) семиугольник.                

7.Три ребра параллелепипеда равны 6 м, 8 м и 10 м.Найдите сумму длин всех его рёбер.

а) 72 м;   б) 24 м;    в) 48 м;        г) 60 м;             д) 96 м.        

8.Сколько двугранных углов имеет прямой параллелепипед?        

а) 6;     б) 9;      в) 12;     г) 3;     д) нет совсем

9. Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются:

а) высотами прямоугольного параллелепипеда;

б) высотами прямоугольного параллелепипеда;

в) измерениями прямоугольного параллелепипеда;

г) диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда;

д) смежными рёбрами прямоугольного параллелепипеда.

10. Какое из перечисленных геометрических тел не является правильным многогранником?

а) Правильный тетраэдр ;     б) правильный додекаэдр;   в) правильный гексаэдр;                                                               

г) правильная пирамида;        д) правильный октаэдр.

Вариант 3.

1. Сколько граней у шестиугольной пирамиды? 

а) 6;        б) 7;                 в) 8;     г) 10;        д) 12.

2. Какое наименьшее число рёбер может иметь пирамида?

а) 6;        б) 5;        в) 4;        г) 7;        д) 8. 

3. Выберите верное утверждение: 

а) Высота пирамиды называется апофемой; 

б) боковые грани усечённой пирамиды - прямоугольники; 

в) площадь боковой поверхности пирамиды равна произведению периметра основания на высоту;          

г) пирамида называется правильной , если её основание - правильный многоугольник;                  

д)  усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

4.Сколько двугранных углов имеет прямоугольный параллелепипед?

а) 4;                 б) 9;                 в) 12;        г) 6;        д) нет совсем.

5.Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда,если его измерения

равны 2 м, 3 м и 5 м.                                                

а) 10 м;     б) 38 м;        в) м;     г)  м;             д) 4 м.

6. Боковые рёбра треугольной пирамиды 3 см, 4 см, 7 см.Одно из них                   

перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?                  

а) 7 см.    б) 5 см;        в) 4 см;    г) 3 см;        д) нельзя определить.

7. Верно  ли  утверждение, что прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны  называется кубом?

а)нет;             б) да.

8.Какое из следующих утверждений неверно?

а) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники;

б) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней-произвольные параллелограммы;

в) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда - прямые;                        

г) куб является прямоугольным параллелепипедом;

д) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

9. Выбрать правильные ответы.

а) боковой поверхностью пирамиды называется сумма площадей всех ее граней;

б) боковая поверхность равна  Р ∙ Н;

в)  основания усеченной пирамиды равны;

г) все грани параллелепипеда параллелограммы;

д) Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом.

10. Укажите многоугольник, который является диагональным сечением правильной пятиугольной призмы.

а) правильный пятиугольник;                б) прямоугольник;        в) параллелограмм.

Вариант 4.

1. Сколько рёбер у шестиугольной пирамиды?                           

а) 6;    б) 12;     в) 18;         г) 24;     д) 8.

2. Какое наименьшее число граней может иметь пирамида?

а) 5;        б) 12;        в) 10;        г) 6;        д) 4.                  

3. Выберите верное утверждение:                                             

а) многогранник, составленный из n-треугольников, называется пирамидой;                  

б) все боковые рёбра усечённой пирамиды равны;                                             

в) пирамида называется правильной, если её основание – правильный многоугольник;          

г) высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины, называется апофемой;

д) площадью боковой поверхности усечённой пирамиды называется сумма площадей  её граней.

4. Боковые рёбра треугольной пирамиды 7 см, 12 см, 5 см.Одно из них

перпендикулярно к плоскости основания. Чему равна высота пирамиды?

а) нельзя определить;   б) 12 см;   в) 5 см;    г) 7 см;    д) 8 см.

5. Какое из следующих утверждений верно?

а) в прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – произвольные параллелограммы;        

б) все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда – острые;

в) прямоугольный параллелепипед, у которого все три измерения равны, называется кубом;        

г) квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме  трёх его измерений;        

д) параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые рёбра перпендикулярны к основанию.

6.Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3 см, 4 см и 5 см.        

а) 5 см;   б) 2 см;        в) 50 см;        г) 12 см;     д) 4см.

7.  Выберите верное утверждение. 

а) Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани - равные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер;         

б) не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники;

в) правильная треугольная пирамида и правильный тетраэдр - одно и то же; 

г) из всех правильных многогранников только правильный тетраэдр имеет центр симметрии;         

д) развёрткой боковой поверхности куба является правильный треугольник.                  

8. Может ли в основании параллелепипеда быть ромб?

 а) да;           б) нет.        

9. Укажите, что является сечением, которое параллельно плоскости основания правильной шестиугольной пирамиды.

а)шестиугольник ;        б) правильный шестиугольник ;     в) треугольник

10. Что можно сказать о боковых ребрах призмы?

  а) они параллельны;            б)они пересекаются.

Тест 6 «Векторы в пространстве»

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений неверно?         

а) длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка АВ;

б) нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору;

в) ;                                    

г) разностью векторов а и b называется такой вектор. сумма которого с вектором b равна вектору а;

д) векторы называются равными, если равны их длины.

2. Упростите выражение:

,  если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.

а) ;        б) ;        в);    г) ;        д) .

3.  Какое из следующих утверждений верно?

а) сумма нескольких векторов зависит от того, в каком порядке они складываются;

б) противоположные векторы равны;

в) для нахождения разности векторов необходимо, чтобы они выходили из одной точки;

г) произведение вектора на число является число; 

д) для любых векторов а и b не выполняется равенство а+b=b+a.

4. Ребро куба ABCDA₁B₁C₁D₁ равно 1. Найдите  ||.                  

а) 1;   б) 2;   в) ;    г);         д) 0,5 .

5. Какое из следующих утверждений неверно?

а) векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости;

б) если вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа, то векторы а, b, c компланарны;

в) для сложения трёх некомпланарных векторов используют правило параллелепипеда;

г) любые два вектора компланарны;

д) любые три вектора некомпланарны.

6. Известно, что . Тогда прямые АС и ВD:

а) параллельны;   б) пересекаются;  в) скрещиваются;  г) совпадают;

д) выполняются все условия пунктов а-г.

7. Векторы p, a, b некомпланарны, если:

а) при откладывании из одной точки они не лежат в одной плоскости;

б) два из данных векторов коллинеарны;   в) один из данных векторов нулевой;

г) p=a – b;   д) р=а.

8. ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед. Какой из предложенных векторов будет компланарен с векторами и ?

а) ;    б) ;   в) ;      г) ;      д) .

9.Известно, что 2=, тогда векторы , являются:

а) некомпланарными;             б) сонаправленными;         в) коллинеарными;

г) нулевыми;       д) компланарными.

10. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы , , :

а) нулевые;  б) равные;   в) противоположные;  г) компланарные;  д) некомпланарные.

Вариант 2.

1. Какое из следующих утверждений неверно?

а) длиной нулевого вектора  называется длина отрезка АВ ;

б) любая точка пространства рассматривается как нулевой вектор;

в) ;

г) для любых векторов а и b выполняется равенство а+(- b)= а-b;

д) векторы называются равными, если они сонаправлены и равны их длины.

 2. Упростите выражение:

 ,  если ABCDA₁B₁C₁D₁ - параллелепипед.

а) ;  б) ;    в) ;   г) ;    д) .

 3. Какое из следующих утверждений верно?                  

а) разностью векторов a и b называется такой вектор, разность которого с вектором b равна вуктору а;

б) если векторы a и b коллинеарны и а≠0, то существует такое число k, что b=ka;

в) векторы называются равными, если они сонаправлены;         

г) два вектора, коллинеарны ненулевому вектору, сонаправлены;

д) для любых векторов а и b  выполняется равенство а(с+b)=bс+aс.

 4. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ сторона основания равна 1, точка Е - середина А₁С₁. Найдите  ||                                    

а) 1 ;   б) 2 ;         в)  ;        г) 3 ;            д) 0,5 .

 5. Какое из следующих утверждений неверно?         

а) три вектора будут компланарными, если один из них нулевой;

б) если векторы a, b и с компланарны, то вектор с можно разложить по векторам а и b, т.е. представить в виде с=ха+yb, где х, y- некоторые числа;                           

в) для сложения трёх компланарных векторов не используют правило параллелепипеда;

г) любые два вектора некомпланарны;                  

д) три нулевых вектора компланарны.                  

6. Известно, что . Тогда прямые АВ и СD:

а) параллельны;    б) совпадают;       в) пересекаются;    

г) скрещиваются;        д) выполняются все условия пунктов а-г.

7. ABCDA₁B₁C₁D₁-параллелепипед. Какой из предложенных векторов будет компланарен с векторами  и  ?

а) ;         б)  ;        в)  ;      г)  ;        д)  .

8.Векторы p, a, b компланарны, если:                                    

а) при откладывании из одной точки они не лежат в одной плоскости;         

б) два из данных векторов равны;                                    

в) если любой вектор можно разложить по данным векторам;                  

г) если их сумму можно найти с помощью правила параллелепипеда;         

д) если их длины являются измерениями параллелепипеда.                  

9. Известно, что 2= –,  тогда векторы ,  являются:                                              

а) компланарными;  б) некомпланарны; в) коллинеарными;  г) сонаправлены;  д) нулевые.                                                                        

10. Даны параллелограммы ABCD и AB₁C₁D₁. Тогда векторы , , :

а) нулевые;       б) равные;        в) компланарные;    

г) некомпланарные;            д) противоположные.

Тесты по геометрии для 10 класса

Ключи к тестам:

1.ТЕСТ ПО ТЕМЕ: « АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ»

2.ТЕСТ  ПО ТЕМЕ: «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ  В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ,  ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

3.ТЕСТ  ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ  В ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ  ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

4.ТЕСТ  ПО ТЕМЕ: «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.  ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ»

5.ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ. ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ».

6.ТЕСТ ПО ТЕМЕ: « ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ»

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ»

Вариант 1  

Уровень А

1. Какое утверждение неверное?

1) Через любые три точки проходит плоскость, и притом только одна.

2) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

3) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

2. Параллелограмм ABCD лежит в плоскости , если…

1)

2)

3)

3. ABCDA1B1C1D1 – куб. Тогда плоскости (ABC) и (DD1C1)…

1) пересекаются;

2) не пересекаются;

3) совпадают.

4. Прямая MN не пересекает плоскость…

1) (ABC);

2) (AA1B1);

3) (BB1C1).

5. SABCD – четырёхугольная пирамида. Прямая SD не пересекает прямую…

1) BC;

2) AD;

3) S.

6. Две различные плоскости не могут иметь…

1) общую точку;

2) общую прямую;

3) три общих точки, не лежащие на одной прямой.

7. Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

8. Через прямые m и k можно провести более одной плоскости. Тогда прямые m и k…

1) пересекаются;

2) параллельные;

3) совпадают.

9. Точка А принадлежит прямой а. Тогда через них можно провести…

1) хотя бы одну плоскость;

2) только одну плоскость;

3) не более одной плоскости.

Уровень B

1. Точки A, B и С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через каждые три точки проведена плоскость. Тогда число различных плоскостей равно…

2. Плоскости  и  пересекаются по прямой m. Точка А лежит в плоскости , точка В – в плоскости . Тогда прямая АВ лежит в плоскости , если…

3. Проведены пять плоскостей. Каждые две из них пересекаются. Тогда наибольшее число прямых попарного пересечения плоскостей равно…

4. ABCD – параллелограмм. F  (ABC). Плоскости (AFC) и (BFD) пересекаются по прямой…

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ

И НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ НИХ»

Вариант 2  

Уровень A

1. Верно, что…

1) любые три точки лежат в одной плоскости;

2) любые четыре точки не лежат в одной плоскости;

3) через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и при том только одна.

2. AB и CD – диаметры окружности с центром O. Все точки окружности лежат в плоскости, если…

1)

2)

3)

3. Верно ли, что прямая лежит в плоскости данного треугольника, если она…

1) пересекает две стороны треугольника;

2) проходит через одну из вершин треугольника;

3) содержит одну из сторон треугольника.

4. ABCDA1B1C1D1 – куб. Тогда плоскости (AB1C1) и (СDD1)…

1) пересекаются;

2) не пересекаются;

3) совпадают.

5. Прямая MN не пересекает плоскость…

1) (АА1В1);

2) (ABC);

3) (AA1D1).

6. DABC – треугольная пирамида. Прямая BD не пересекает прямую…

1) AC;

2) AD;

3) BC.

7. Сколько общих точек, не лежащих на одной прямой, не могут иметь две различные плоскости?

1) 1;    

2) 2;    

3) 3.

8. Даны две параллельные прямые a и b и точка M, не лежащая ни на одной из них. Точка M лежит в одной плоскости с прямыми a и b, если через точку M можно провести прямую, пересекающую…

1) хотя бы одну из данных прямых;

2) только одну из данных прямых;

3) две данные прямые.

9. Через три точки A, B и C можно провести единственную плоскость. Тогда точки…

1) не лежат на одной прямой;

2) лежат на одной прямой;

3) совпадают.

Уровень B

1. Точки A, B и С не лежат на одной прямой. Точка D не принадлежит плоскости (АВС). Через каждые три точки проведена плоскость. Тогда число различных плоскостей равно…

2. Плоскости  и  пересекаются по прямой m. Точка А лежит в плоскости , точка В – в плоскости . Тогда прямая АВ лежит в плоскости , если…

3. Проведены четыре плоскости. Каждые две из них пересекаются. Тогда наибольшее число прямых попарного пересечения плоскостей равно…

4. ABCD – параллелограмм. F  (ABC). Плоскости (ADF) и (OFC) пересекаются по прямой…

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

Вариант 1  

Уровень А

1. Точки A, B, С и D не лежат в одной плоскости. Тогда прямые AB и CD…

1) пересекающиеся;

2) параллельные;

3) скрещивающиеся.

2. Какое утверждение о прямых верное?

1)

2)

3)

3. Для доказательства параллельности двух прямых достаточно утверждать, что они…

1) не пересекаются;

2) перпендикулярны некоторой прямой;

3) не пересекаются и лежат в одной плоскости.

4. Какое утверждение неверное?

1)

2)

3)

5. Точка F не лежит в плоскости параллелограмма ABCD, M – середина DF, N – середина BF. Тогда прямые AM и CN…

1) скрещиваются;

2) пересекаются;

3) параллельны.

6. Прямая а параллельна плоскости . Тогда неверно, что…

1) прямая а параллельна любой прямой, лежащей в плоскости ;

2) прямая а не пересекает ни одну прямую, лежащую в плоскости ;

3) существует прямая, лежащая в плоскости , параллельная прямой   а.

  7. Какое утверждение неверное?

1) Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту       плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

2) Если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии пересечения.

     3) Прямые параллельные одной плоскости параллельны.

 8. Средняя линия MN трапеции ABCD лежит в плоскости . Вершина А не принадлежит данной плоскости. Тогда прямая BC…

1) лежит в плоскости ;

2) пересекает плоскость ;

3) параллельна плоскости .

9. Точка M не лежит на прямой а. Тогда неверно, что через точку M можно провести…

1) только одну прямую, не пересекающую прямую а;

2) только одну прямую, параллельную прямой а;

3) бесконечно много прямых, не пересекающих прямую а.

Уровень B

1. Дан треугольник MKP. Плоскость, параллельная прямой MK пересекает MP в точке M1, PK – в точке K1. MK = 18 см, MP : M1P = 12 : 5. Тогда длина отрезка M1K1 равна…

2. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1, В1 и С1 соответственно. АА1 = 6 см, СС1 = 9 см. Тогда длина отрезка ВВ1 равна…

3. Плоскость, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает стороны AD и CD в точках M и N соответственно. CN = ND. AD = 6 см, ВС = 4 см. Тогда длина отрезка MN равна…

4. M, H, P – середины соответственно сторон AD, DC, AB. KH || (ABD). AC = 8 см, BD = 10 см. Периметр четырёхугольника MHKP равен…

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЫХ
В ПРОСТРАНСТВЕ. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ,
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

Вариант 2  

Уровень А

1. Прямые AB и ВС…

1) параллельные;

2) пересекающиеся;

3) скрещивающиеся.

2. Нельзя провести плоскости через две прямые, если они…

1) параллельные;

2) пересекающиеся;

3) скрещивающиеся.

3. Какое утверждение о прямых неверное?

1)

2)

3)

4. Точка D не лежит в плоскости треугольника АВС, K – середина DC. Тогда прямые AD и BK…

1) пересекаются;

2) скрещиваются;

3) параллельны.

5. Какое утверждение верное?

1) Две прямые называются параллельными, если они не имеют общих точек.

2) Две прямые, параллельные третье прямой, параллельны.

3) Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельные.

6.  

Тогда прямые AB и CD…

1) параллельны;                                                                                        

2) скрещиваются;                                            

3) пересекаются.

7. Какое утверждение верное?

1) Если она из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

2) Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то и другая прямая параллельна данной плоскости.

3) Если две прямые параллельны данной плоскости, то они параллельны.

8. Точки M и N соответственно середины сторон AB и BC треугольника АВС. Прямая MN лежит в плоскости . Точка В не принадлежит данной плоскости. Тогда прямая АС…

1) лежит в плоскости ;

2) пересекает плоскость ;

3) параллельна плоскости .

9. Какое утверждение неверное?

1) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

2) Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

3) Если прямая параллельна плоскости, то она не пересекает ни одну прямую, лежащую в этой плоскости.

Уровень В

        1. Дан треугольник ВСЕ. Плоскость, параллельная СЕ, пересекает ВЕ в точке Е1, ВС – в точке С1. ВС = 28 см, С1Е1 : СЕ = 3 : 8. Тогда длина отрезка ВС1 равна…

        2. Через концы отрезка АВ, не пересекающего плоскость , и точку С – середину этого отрезка, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость  в точках А1, В1 и С1 соответственно.

АА1 = 12 см, СС1 = 10 см.

Тогда длина отрезка ВВ1 равна…

3. Плоскость, параллельная основаниям AD и ВС трапеции ABCD, пересекает стороны АВ и CD в точках M и N соответственно. AM = MB. AD = 10 см, ВС = 6 см. Тогда длина отрезка MN равна…

4. M, H, K – середины соответственно сторон AD, DC, CB.

MP || (BCD).

AC = 10 см, BD = 8 см. Периметр четырёхугольника MHKP равен…

ТЕСТ  ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
В ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

Вариант 1  

1. Какое утверждение верно?

1) Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

2) Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

3) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

2. Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости, но m не перпендикулярна к плоскости. Тогда прямые a и b…

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются.

3. Плоскость  проходит через вершину А ромба ABCD перпендикулярно диагонали АС. Тогда диагональ BD…

1) перпендикулярна плоскости;

2) параллельна плоскости;

3) лежит в плоскости.

4.  Тогда прямые a и b не могут быть…

1) скрещивающимися;

2) перпендикулярными;

3) параллельными.

5. ABCD – параллелограмм,  Тогда ABCD не может быть…

1) прямоугольником;

2) квадратом;

3) ромбом.

6. Прямая перпендикулярна плоскости круга, если она перпендикулярна двум…

1) радиусам;    

2) диаметрам;    

3) хордам.

ТЕСТ  ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
В ПРОСТРАНСТВЕ. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ»

Вариант 2  

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна…

1) к одной прямой, лежащей в плоскости;

2) к двум прямым, лежащим в плоскости;

3) к любой прямой, лежащей в плоскости.

2.   

Тогда прямые a и b не могут быть…

1) перпендикулярными;

2) параллельными;

3) скрещивающимися.

3. Диагональ АС квадрата ABCD перпендикулярна некоторой плоскости  

, проходящей через точку А. Тогда диагональ BD…

1) перпендикулярна плоскости;

2) параллельна плоскости;

3) лежит в плоскости.

4. ABCD – параллелограмм,   Тогда ABCD не может быть…

1) ромбом;

2) квадратом;

3) прямоугольником.

5.  Прямые b и с не могут быть…

1) параллельными;

2) перпендикулярными;

3) скрещивающимися.

6. Какое утверждение неверное?

1) Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ»

Вариант 1

1. Линейным углом двугранного угла нельзя назвать угол, возникающий при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной…

1) ребру двугранного угла;        

2) одной из граней двугранного угла;      

 3) граням двугранного угла.

2. Какое утверждение верное?

1) Не может ребро двугранного угла быть не перпендикулярным плоскости его линейного угла.

2) Не могут две плоскости, перпендикулярные к одной плоскости, быть непараллельными.

3) Не могут две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, быть непараллельными.

3. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

      4.  Тогда основание перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость (АВС), лежит…

1) вне треугольника АВС;                

 2) на стороне АВ;                  

3) внутри треугольника АВС.

5. Какое утверждение неверное?

1) Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2) Если плоскости перпендикулярны, то линия их пересечения перпендикулярна любой прямой, лежащей в одной из данных плоскостей.

3) Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

6. Не может плоскость быть не перпендикулярной данной плоскости, если она проходит через прямую…

1) параллельную данной плоскости;

2) перпендикулярную данной плоскости;

3) не перпендикулярную данной плоскости.

7. Количество двугранных углов параллелепипеда равно…

1) 8;                                      

2) 12;                                        

3) 24.

8.  AN и CM – высоты.  Градусная мера  равна градусной мере угла…

1) ABD;                                  

2) AND;                                    

3) ACD.

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ»

Вариант 2

1.    Тогда  – это линейный угол двугранного угла между плоскостями  и , если…

1)                                              

2)                                                          

 3)

2. Какое утверждение верное?

1) Не может ребро двугранного угла быть не перпендикулярным любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла.

2) Не могут быть две плоскости, перпендикулярные третьей, непараллельными.

3) Не могут быть две плоскости, перпендикулярные одной плоскости, непараллельными.

3. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

4.  Тогда основание перпендикуляра, опущенного из точки D на плоскость (АВС), лежит…

1) внутри треугольника АВС;                        

2) на стороне АС;                    

3) на стороне ВС.

5. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

6. Какое утверждение верное?

1) Нельзя через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны.

2) Не существует прямой, пересекающей две данные скрещивающиеся прямые и перпендикулярной каждой из них.

3) Не может плоскость быть не перпендикулярной данной плоскости, если она проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости.

7. Количество двугранных углов тетраэдра равно…

1) 4;                                                                  

2) 6;                                          

3) 12.

8. ABCD – ромб, MK – высота.  Тогда градусная мера  равна градусной мере…

1) FDO;                                                            

2) FKO;                                    

3) FDA.

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.
ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ.»

Вариант I

Уровень А

1.  

Неверно, что…

1) FM > AF;

2) FK > FM;

3) AK < FK.

2.  Прямые CD и CF не будут перпендикулярными, если ABCD будет…

1) прямоугольником;

2) ромбом;

3) квадратом.

3.  Прямые DM и ВС будут перпендикулярными, если АM будет…

1) биссектрисой;

2) медианой;

3) высотой.

4. Точка M равноудалена от вершин треугольника АВС. Тогда проекция точки M на плоскости АВС есть точка пересечения…

1) высот треугольника;

2) биссектрис углов треугольника;

3) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

5. В треугольнике АВС AM – медиана, AD – биссектриса, AH – высота.  Тогда расстояние от точки F до прямой ВС это длина отрезка…

1) FM;

2) FD;

3) FH.

6. ABCD – параллелограмм,   

FO – расстояние от точки F до прямой АС. Тогда ABCD не может быть…

1) прямоугольником;

2) ромбом;

3) квадратом.

7.    FK = FN.   Тогда CM – …

1) биссектриса;

2) медиана;

3) высота.

Уровень B

1.   AC = 16 см, BD = 6 см.

Тогда AD = …

Ответ:________________

2.   АВ = 5 см, см.   

Тогда длина перпендикуляра BD равна…

Ответ:____________________

ТЕСТ ПО ТЕМЕ: «ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ.
ТЕОРЕМА О ТРЁХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ.»

Вариант 2

Уровень А

1.  Верно, что…

1) BC < AD;

2) AB > AD;

3) AD > DC.

2.  

Прямые АС и FO не будут перпендикулярными, если ABCD будет…

1) прямоугольником;

2) ромбом;

3) квадратом.

3. ABCDA1B1C1D1 – куб. Прямые a и b неперпендикулярны на рисунке…

4. Точка M равноудалена от вершин треугольника ABC. Тогда проекция точки M на плоскость АВС есть…

1) точка пересечения высот;

2) центр описанной около  окружности;

3) центр вписанной в  окружности.

5. ABCD – параллелограмм.  CF – расстояние от F до прямой CD. Тогда ABCD не может быть…

1) ромбом;

2) квадратом;

3) прямоугольником.

6. В треугольнике ABC AM – медиана, AD – биссектриса, AH – высота. Тогда расстояние от точки F до прямой ВС равно длине отрезка…

1) FM;

2) FD;

3) FH.

7. Точка M равноудалена от сторон АВ и АС треугольника АВС. Тогда проекция точки M на плоскость АВС лежит на прямой, содержащей…

1) биссектрису угла А треугольника АВС;

2) медиану, проведённую к стороне ВС треугольника АВС;

3) высоту, проведённую из вершины А треугольника АВС.

Уровень B

1.   см, BD = 8 см. Тогда AD = …

Ответ:_______________

2.   АВ = 15 см, ВС = 9 см.  AD = 5 см.

Тогда расстояние от точки D до прямой ВС равно…

Ответ:_________________

Тест по теме: «Перпендикуляр и наклонные»

Вариант №1  

1.  АМ=АК

Неверно, что…

1) FM > AF;

2) FK > FM;

3) AK < FK.

2.В тетраэдре ABCD (см. рисунок) ∠BCD = ∠ACD = 90⁰ . Укажите на рисунке все ребра, перпендикулярные CD.

1) AB, CB, CA                                  2) AB, BD, AD                           3) CB, CA                               4) AB

3.В тетраэдре ABCD (см. рисунок) ∠CBD = ∠ABD = 90⁰.Укажите на рисунке все ребра, перпендикулярные BD.

1) AC, AD, CD                              

2) AC                                        

3) BC, BA                            

4) AB, CB, CA

4.  AB- перпендикуляр к плоскости α . АС и AD - наклонные к α . ∠ACB = 45⁰ , AC = 8  ,

 BD = 6. Найдите AD .

1) 2                                              

2) 10                                          

3) 14                                        

4) 4

5.AB - перпендикуляр к плоскости α . AD и AC - наклонные к α , BD = 6, AD =10 , AC =16 . Найдите ∠ACB .

1. 45⁰                                              
2. 30⁰                                           
3. 60⁰                                                      
4. 90⁰

Тест по теме: «Перпендикуляр и наклонные»

Вариант №2

1. ВС=ВА. Неверно , что…

1) BC < AD;

2) AB < AD;

3) AD > DC

2.В тетраэдре ABCD (см. рисунок) ∠BAD = ∠CAD = 90⁰. Укажите на рисунке все ребра, перпендикулярные AD .

1) BC                                              

2) BC, BD, CD                                    

3) AC, BA                          

4) AB, CB, CA

3.В тетраэдре ABCD (см. рисунок) ∠ACD = ∠BCD = 90⁰. Укажите на рисунке все ребра, перпендикулярные CD.

1) BC, CA                                      

2) AB                                                    

3) AB, CB, CA                  

4) ВD, AD, AB

4.BD- перпендикуляр к плоскости β . DС и AD - наклонные к β . ∠DAB = 45⁰ , AB = 8, BC = 6. Найдите CD.        

1) 100                                          

2) 14                                                      

3)                                  

4) 10

5.CD - перпендикуляр к плоскости β . AD и BD - наклонные к β . BC = 6, AD =10 , AC = 8. Найдите ∠DBC .

1) 90⁰                                                            

2) 30⁰                                                                           

3) 60⁰                                                

4) 45⁰

Источники информации:

1.Изучение геометрии в 10-11 классах: кн. для учителя /С.М.Саакян, В.Ф.Бутузов.- 4-е изд., дораб.- М.: Просвещение. 2010.

2. «Геометрия 10-11» Учебник для общеобразовательных учреждений. Л. С. Атанасян, И. Ф. Бутузов, С. Б. Кодомцев и др. М.: Просвещение.2010.

3.Смирнов В.А. ЕГЭ-2011. Математика.  Задача С2.  Геометрия. Стереометрия/ под редакцией А.Л. Семёнова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2011.

4.Геометрия 7-11 классы. Практикум. Издательство «Учитель».Волгоград.2010.

Тема: Взаимное расположение прямых в пространстве.

1. Если прямые АВ и СD не лежат в одной плоскости, то прямые АС и ВD

а) пересекаются;          б) скрещиваются;         в) параллельны.

2.  Прямая т пересекает сторону АВ треугольника АВС в точке М. Каково взаимное расположение прямых т и ВС, если прямая т не лежит в плоскости АВС?

а)  скрещиваются или пересекаются;  б) скрещиваются;

в) пересекаются;                                    г) параллельны.

3. Прямая  т пересекает сторону АВ треугольника АВС. Каково взаимное расположение прямых т и ВС, если прямая т лежит в плоскости АВС и не имеет общих точек с отрезком  АС?

а) скрещиваются;  б) пересекаются;  в) параллельны.

4. Дана прямая т и две принадлежащие ей точки. Через эти точки А и В проведены соответственно прямые а и b, перпендикулярные прямой т. Каково взаимное расположение прямых а и b?

а) пересекаются: б) скрещиваются или параллельны;

      в) скрещиваются или пересекаются.

      5. Две плоскости пересекаются по прямой т. В плоскостях лежат соответственно  

      прямые а и b, причем прямая а пересекается с т. Каково взаимное расположение      

прямых а и b?

а) пересекаются; б) скрещиваются или параллельны;

      в) скрещиваются или пересекаются.

6. Даны скрещивающиеся прямые p и q. Известно, что прямая r пересекает прямую р.

Каково взаимное расположение прямых  q и  r?

а) скрещиваются или параллельны;  б) скрещиваются или пересекаются;

в) скрещиваются или параллельны или пересекаются.

7. Даны скрещивающиеся прямые a и b, а также прямые с//а, d//b. Каково взаимное расположение прямых c и d?

а) скрещиваются или параллельны;  б) скрещиваются или пересекаются;

в) скрещиваются или параллельны или пересекаются.

8. Известно, что прямые a и b пересекаются, а прямые c и a параллельны, то прямые         b и c могут быть

а) скрещиваются или параллельны;  б) скрещиваются или пересекаются;

в) параллельны.

9. Даны две плоскости, пересекающиеся по прямой а, и прямая b, которая лежит в одной из этих плоскостей и пересекает другую плоскость. Тогда прямые a и b

а) параллельны;  б) скрещиваются или пересекаются; в) пересекаются.

10. АВСD и AKCL – два параллелограмма. Установите взаимное расположение прямых BK и DL.

а) параллельны;  б) пересекаются;  в) скрещиваются.

Тема: Параллельность прямых и плоскостей.

1. Точка М не лежит в плоскости трапеции ABCD с основанием AD. Каково взаимное расположение прямой AD и плоскости  BMC?

а) прямая и плоскость параллельны;  б) прямая и плоскость пересекаются;

в) прямая лежит в плоскости.

2. Точка М не лежит в плоскости прямоугольника ABCD. Какие случаи расположения прямой CD и плоскости АBM возможны?

а) прямая и плоскость параллельны;  б) прямая и плоскость пересекаются;

в) прямая лежит в плоскости.

3. Две плоскости пересекаются. Можно ли через точку М, не принадлежащую этим плоскостям, провести прямую, параллельную обеим плоскостям?

а) да, единственную;  б) да, бесконечное множество;  в) нет.

4. Если одна из двух параллельных прямых параллельна какой либо плоскости, то вторая прямая

а) параллельна этой же плоскости;         б) лежит в этой же плоскости;

в) параллельна этой плоскости и лежит в ней.  

5. Прямая а параллельна плоскости α, а плоскость β, не содержащая прямую а, пересекает α. Тогда прямая а и плоскость β могут быть

а) пересекающимися;  б) параллельными;  в) пересекающимися или параллельными.

6. Если плоскость α пересекается с плоскостью β, и прямая с, не лежащая в плоскости α, пересекает плоскость β, то каково может быть взаимное расположение α и с?

а) параллельны;  б) пересекаются;  в) параллельны или пересекаются.

7. Известно, что прямая а параллельна плоскости α и пересекает плоскость β. Тогда плоскости α и β

а) параллельны;  б) пересекаются;  в) параллельны или пересекаются.

8. Известно, что прямые a и b параллельны, а прямая а пересекает плоскость α. Тогда прямая  b и плоскость α могут быть

а) пересекающимися; б) параллельными;  в) пересекающимися или параллельными.

9. Известно, что прямая а параллельна плоскости α, а прямая b пересекает плоскость α. Тогда прямые a и b могут быть

а) параллельными; б) пересекающимися; в) скрещивающимися или пересекающимися.

10. Какое из следующих утверждений верно?

а) если прямая а параллельна плоскости β и плоскость β параллельна прямой с, то а//с.

б) Если плоскость α параллельна прямой b и прямая b параллельна плоскости γ, то α// γ.

в) Если плоскости α и β параллельны и плоскость β параллельна прямой с, то α //с или прямая с лежит в плоскости α.

Тема: Параллельность  плоскостей

1. Как могут быть расположены две плоскости, если прямая, пересекающая первую плоскость, параллельна  другой плоскости?

      а) пересекаются или параллельны;              б) пересекаются;               в) параллельны.  

      2. Если две параллельные прямые одной плоскости параллельны двум параллельным                                                                                                            

       между собой прямым другой плоскости, то такие плоскости:

       а) параллельны;   б) пересекаются;  в) либо параллельны, либо пересекаются.

      3. Как расположены две плоскости, если некоторая прямая, лежащая в первой                      

       плоскости, параллельна  второй плоскости?

        а) пересекаются;          б) параллельны;             в) пересекаются или параллельны.

       4. Если две плоскости соответственно параллельны двум другим пересекающимся

        плоскостям, то они

        а) пересекаются;          б) параллельны;             в) пересекаются или параллельны.

       5. Параллельные прямые а и b лежат в одной плоскости, через каждую из этих

         прямых проведена плоскость, перпендикулярная данной. Каково взаимное  

         расположение полученных плоскостей?

         а) пересекаются по прямой, параллельной прямым а и b;

         б) перпендикулярны;            в) параллельны.

       6. Если прямые а и b скрещиваются, то плоскости, их содержащие,

          а)  параллельны;         б) пересекаются;     в) параллельны или пересекаются.

       7. Если две плоскости, пересекают третью, то они:

          а) пересекаются;          б) параллельны;             в) пересекаются или параллельны.

       8. Две плоскости пересекает прямая а, тогда эти плоскости

          а)  параллельны;         б) пересекаются;     в) параллельны или пересекаются.

       9. Три отрезка АА1, ВВ1, СС1, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину.    

          Каково взаимное расположение плоскостей АВС и А1В1С1?

        а) параллельны или пересекаются;      б) пересекаются;      в) параллельны.

        10. Какое из следующих утверждений верно?

        а) Если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они параллельны;

        б) Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны;

         в) Если две плоскости перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей.

1. Если две прямые перпендикулярны, то плоскости, содержащие каждая по одной

из этих прямых,

а) пересекаются;  б) параллельны;  в) перпендикулярны;

г) параллельны или пересекаются.

2. Три плоскости попарно перпендикулярны. Прямоугольник расположен так, что

одна его сторона лежит в одной плоскости, а противоположная в другой. Каково

расположение плоскости прямоугольника и третьей плоскости?

а) перпендикулярны;   б) пересекаются, но не перпендикулярны;   в) параллельны.

3. Сколько можно провести через данную точку плоскостей, перпендикулярных данной плоскости?

а) бесконечно много;         б) одну;             в) две.

4. Каково взаимное расположение двух плоскостей, если известно, что только одна из них перпендикулярна данной прямой?

 а)  параллельны;         б) пересекаются;     в) параллельны или пересекаются.

5. Существует ли плоскость, проходящая через данную прямую и перпендикулярная данной плоскости?

а) да;            б) да, причем эта плоскость единственна;              в) нет.

6. Существует ли прямая, перпендикулярная любой прямой в данной плоскости?

а) да, единственная;             б) нет;               в) да, бесконечно много.

7. Если прямая b параллельна плоскости α и перпендикулярна плоскости β, то плоскости α и β

а) параллельны;  б) перпендикулярны;  в) пересекаются, но не перпендикулярны.

8. Прямая а параллельна прямой b, а прямая с перпендикулярна  прямой b. Тогда прямые с и а

а) перпендикулярны;    б) скрещиваются или пересекаются;     в) параллельны.

9. Если прямая а параллельна плоскости β, а прямая b перпендикулярна  плоскости β, то каково взаимное расположение прямых а и b?

а) параллельны;  б) перпендикулярны;  в) пересекаются, но не перпендикулярны.

10. Какое из следующих утверждений неверно?

а) Для перпендикулярности двух плоскостей необходимо и достаточно, чтобы прямые, соответственно перпендикулярные каждой из плоскостей, были перпендикулярны;

б) Две прямые, перпендикулярные третьей, либо параллельны, либо пересекаются;

в) Если прямая параллельна плоскости, а другая перпендикулярна этой плоскости, то такие прямые перпендикулярны.

Тема: Параллельность и перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Верно ли, что если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна другой плоскости?

а) да;                        б) нет.

2. Верно ли, что если две плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна любой прямой другой плоскости?

а) да;                        б) нет.

3. Верно ли, что если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая одной плоскости перпендикулярна другой плоскости?

а) да;                        б) нет.

4. Верно ли, что если две плоскости перпендикулярны, то любая прямая одной плоскости перпендикулярна любой прямой другой плоскости?

а) да;                        б) нет.

5. Верно ли, что если две плоскости перпендикулярны, то на одной из них существует прямая, перпендикулярная   другой плоскости?

а) да;                        б) нет.

6. Верно ли, что если две плоскости параллельны, то  существуют две перпендикулярные прямые, лежащие по одной в этих плоскостях?

а) да;                        б) нет.

7. Верно ли, что если две плоскости перпендикулярны, то  существуют две параллельные прямые, лежащие по одной в этих плоскостях?

а) да;                        б) нет.

8. Верно ли, что если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой этой плоскости?

а) да;                        б) нет.

9. Верно ли, что если прямая параллельна плоскости, то она параллельна любой прямой этой плоскости?

а) да;                        б) нет.

10. Верно ли, что если прямая пересекает плоскость и не перпендикулярна ей, то на плоскости существует прямая,  перпендикулярная данной?

а) да;                        б) нет.

Зачет по теме: «Параллельность прямой и плоскости».

10-й класс.

Практическая часть. Решение задач.

                                                              Задание № 1

                               s                                        В плоскости а, пересекающихся с плоскостью s

                                                                                                     по  прямой  С, проведена прямая а, параллельная с.                                            

         b                                              В плоскости s проведена прямая b, пересекающая                        

                                                                                                     прямую c.

1)  Могут ли прямые а и b иметь общие точки?

2)  Докажите, что  а и b – скрещивающие прямые.

                  c

                  a                           а

                                                                                              Задание  № 2

       D                        C                      Через точку К стороны АD параллелограмма

ABCD проведена плоскость а, параллельная

прямой DC.

1)  На какие фигуры делит плоскость а данный

К                                          М                                                    параллелограмм? (Ответ, пояснение).

2)  Вычислите длины отрезков, на которые

А                                           а                                                    делит плоскость а диагональ BD, если

DK=6см,  АК=8см,  BD=21см.

   А                                    В

                                                                                                    Задание  № 3

                             D                                                         Точки А,В, С и D не лежат в одной плоско-

                                                                                                           сти. К и М – середины отрезков ВD и СD.

                                                                                                           1) Имеют ли общие точки прямая КМ и                                    

                                                                                                            плоскость, в которой лежат точки А,В и С?

                                                    *  M                                                2) Вычислите периметр треугольника АКМ,

                                                                                                            если расстояние между каждой парой дан-

                                        K  *                                                             ных точек равно 8 см.                                                                                            

         A                                           C

                   a

                                          B

                        С                                       Задание  № 4  

                                                                                              Через точку К стороны АС треугольника

АВС проведена плоскость α ,параллельная

                                                                                                             прямой АВ.

1. Постройте точку пересечения  плос-

               а      К                                                                                                кости  α   и стороны ВС (точку М)

2).  Вычислите длину отрезка КМ, если

КМ  //  АВ  26см, СК / КА  4 : 5

           А                                В                                                       

Задание № 5                                       Задание № 6

                                        М

            К

а                                            

                                   Мı                                                                 Дан куб АВСD А ВСD

 Кı                                                                                    1) Постройте отрезок, являющийся пере-

                                                                                            сечением грани ВССВ  и плоскости а, в

Отрезок КМ, равный 10 см, параллелен                                           которой лежит прямая АD и точка К сере-

плоскости а. Через его концы проведены                                        дина ребра ВС.

параллельные прямые, пересекающие а в                                    2) Постройте сечение куба плоскостью а.

точках К ı и М ı.                                                                                                   3)  Вычислите периметр построенного се-

1. Как расположены прямые КМ и  Кı Мı?                                               чения, если ребро куба равно 16 см.
2. Вычислите расстояние между точками

       К и М.

3. Вычислите площадь четырехугольника

КММı Кı, если ККı=8см, < КММı=30°.

Задание № 7                                       Задание № 8

      А

                                                                                              Дан куб АВСD А ВСD

                                                                                              1) Постройте отрезок, являющийся пере-

                                           В                                             сечением грани АВВА  и плоскости а, в

         К                                                                             которой лежит прямая СС и точка К сере-

а                                                                          дина ребра  АВ.                                 

                                 М                                                     2) Постройте сечение куба плоскостью а.

                                                                           3)  Вычислите периметр построенного се-

              С                                                                        чения, если ребро куба равно 20 см.

Через точку А стороны АС треугольника

АВС проведена плоскость а, параллель-

ная  АВ.

1. Как расположены прямые АВ и КМ

(М – точка пересечения прямой ВС и

 плоскости а ) ?

2. Вычислите длину отрезка КМ, если

АК=4 см, КС=6 см, АВ=5 см.

Задание № 9                                       Задание № 10

А

                                                        В                                  Верно ли утверждение , что две прямые,

                                                                                                     Параллельные одной плоскости, параллельны?

                   а              *В

Отрезок АВ параллелен плоскости а. Через

его концы проведены параллельные пря-

мые. Прямая проходящая через точку В,

пересекает плоскость в точке В.

1. Постройте точку пересечения второй

прямой с плоскостью а (точку А).

2. Вычислите периметр четырехугольника

АВВА, если АВ: ВВ= 5 : 2, АВ-ВВ=9 см

Задание № 11                                   

                        С

                                 М

          К

                                        В                                        Задание № 12

                                                                                    Прямая а параллельна плоскости а. Верно ли

      А     а                                                                    утверждение, что любая прямая плоскости а

                                                                                    параллельна прямой а?

Отрезок АВ, равный 15 см, лежит в плоско-

сти а. Точка С не лежит в ней. К и М–сере-

дина отрезков АС и ВС.

1. Может ли прямая КМ иметь общие точ-

ки с плоскостью а?

2. Вычислите расстояние между точками К

и М.

Зачет по теме

«Перпендикулярность прямой и плоскости».

10-й класс.

Теоретическая часть. Доказательство теорем.

Теорема № 1

                   Доказать, что если одна из двух параллельных прямых

                 перпендикулярна плоскости, то и другая…

Теорема № 2

                Докажите, что если две прямые перпендикулярны плоскости, то они

                параллельны.

Теорема № 3

                   Докажите признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема № 4

                   Докажите теорему о трех перпендикулярах.

Практическая часть. Решение задач.

Задача № 1

Прямая ВМ перпендикулярна плоскости прямоугольника АВСD.

Найдите: а) расстояние от точки М до сторон прямоугольника

                     АВСD, если АВ=6 см. ВС=8 см, ВМ=6 см;

                б) расстояние от точки М до точки D.

Задача № 2 

                   Через вершину А правильного треугольника АВС проведена прямая  

                   АМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от

                точки М до стороны ВС, если АВ=4 см, АМ=2 см.

Задача № 3

Точка М удалена от всех вершин квадрата АВСD на расстояние

10 см, АВ- 6√ 2см.

Найдите: а) расстояние от точки М до плоскости АВСD.

                б)  расстояние от точки М до стороны квадрата.

Задача № 4

Из точки А, удаленной на расстояние 5 см от плоскости, проведены к

этой плоскости наклонные АВ и АС под < 30º к плоскости.

Найдите угол между наклонными, если ВС=10 см.

Зачет по теме «Цилиндр, конус и шар»

11-й класс

Практическая часть. Решение задач.

Вариант № 1

Задача № 1

Высота конуса 8 см, а образующая наклонная к плоскости основания под < 30º. Найти площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми 60º.

Задача № 2

Радиус шара 6 см. Найти площадь поверхности вписанного в шар куба.

Вариант № 2

Задача № 1

Радиус шара 6 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена

плоскостью под < 45º к радиусу.

Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.

Задача № 2

Куб с ребром 4 см вписан в цилиндр. Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Вариант № 3

Задача № 1

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от

окружности основания дугу 90º.

Найдите площадь сечения, если высота цилиндра 6 см, а расстояние

Между осью цилиндра и секущей плоскостью 3 см.

Задача № 2

Около шара радиуса 6 см описан правильный тетраэдр.

Найти площадь поверхности тетраэдра.

Вариант № 4

Задача № 1

Радиус кругового сектора 10 см, а его угол равен 144º. Сектор свернут

В коническую поверхность. Найдите площадь поверхности конуса (полную).

Задача № 2

Осевое сечение конуса – равносторонний треугольник. В конус вписана треугольная пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 12 см и 16 см. Найти высоту пирамиды.

Вариант № 5

Задача № 1

Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 12 см.

Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Задача № 2

В сферу вписан конус, образующая которого 12 см, а угол при вершине осевого сечения равен 60º. Найдите площадь поверхности сферы.

Вариант № 6

Задача № 1

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через центр, равна 32π см ². Найдите площадь сферы.

Задача № 2

Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 4 см и наклонена к плоскости основания под < 45º. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в эту призму.

Зачет по теме «Координаты на плоскости. Уравнение окружности». 9-й класс

                      Теоретическая часть.

1. Написать формулу нахождения середины отрезка (уметь вывести формулу).
2. Что означают в формуле хı  и уı ; х2 и у2?
3. Написать формулу длины отрезка (уметь вывести формулу).
4. Написать уравнение окружности  (уметь вывести формулу).
5. Что называется уравнением фигуры?
6. Что означает буквы х0, у0, х и у в уравнении окружности?
7. Сколько точек пересечения могут иметь две окружности?
8. Написать уравнение прямой.
9. Что показывает угловой коэффициент?
10.  Дайте определение sin α, cos α, tg α для угла 0 < α  <  180°.

Устный счет

          В группах по 4 человека, каждый получает свою карточку и по очереди отвечает консультанту устно или записывает нужные формулы на листе бумаги.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А (2; 4), В (6; 2)

т. О ε АВ, АО = ОВ

Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано: (х - 3)² + (у - 5)² = 36

Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 3, 5, 36?

Задача № 3

Дано: (х + 2 )² + у ² = 13

Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (-1; 2 ), R = 5.

Окр. (О, R)

Написать уравнение окружности.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А (7; 2 ), В (1; 4 )

т. О ε АВ, АО = ОВ

Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано:  (х - 1)² + (у - 2)² = 49

Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 1, 2, 49?

Задача № 3

Дано: х² + (у + 5 ) ² = 7

                       Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (7; 2 ), R = 2.

Окр. (О, R)

                       Написать уравнение окружности.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А (5; 3), В (3; 7)

т. О ε АВ, АО = ОВ

                       Найти координаты середины отрезка АВ.

Задача № 2

Дано:  (х - 2)² + (у - 5)² = 49

                       Вопросы: что означает это уравнение? Что означают в этом уравнении числа 2, 5, 9?

Задача № 3

Дано: х² + (у + 3) ² = 5

                       Найти радиус и координаты центра окружности.

Задача № 4

Дано: т. О (-2; 1), R = 4.

Окр. (О, R)

                       Написать уравнение окружности.

Практическая часть. Решение задач

Учащиеся получают карточки с задачами для письменного решения по вариантам.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А (4; 1) , В (-1; 3), С (2; 1),  D (-1; -1)

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (2; -1) на окружности  (х – 2)² + (у + 3)²= 4?

Ответ обосновать.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А (-2; -2) , В (-2; 4), С (1; 4),  D ( 1; -2)

Доказать: четырехугольник АВСD – прямоугольник.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (1; 4) на прямой  4х + 3у – 6 = 0?

                       Ответ обосновать.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А (2; 3) , В ( 5; 8), С ( 8; 3),  D ( 5; -2)

                       Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка М (-3; 2) на прямой  4х + 3у + 6 = 0?

                       Ответ обосновать.

Зачет по теме «Площадь четырехугольника и треугольника.

Теорема Пифагора». 8-й класс

Теоретическая часть.

Вопросы к зачету:

1. Чему равна площадь квадрата?
2. Чему равна площадь треугольника?
3. Чему равна площадь параллелограмма? (вывод формул)
4. Следствия  № 1 и № 2, отношение площадей S1 / S2  .
5. Площадь треугольника (с выводом ). Отношение площадей треугольника, имеющих по равному углу.
6. Теорема Пифагора (с доказательством).
7. Теорема обратная теореме Пифагора (с доказательством).
8. Площадь ромба (с выводом).
9. Площадь трапеции (с выводом).

Практическая часть. Решение задач.

Вариант № 1

Задача № 1

        В                                  С

                                                               Дано:         АВ = 26 см

                                                                                  АD = 32 см

                                                                                                 ВН – высота

< АВС = 150°

    А         Н                     D

                                                                              ___________________________

                                                                              Найти:  S ABCD

Задача № 2

     В                                  С                                        Дано:  АВСD – прямоугольник

              АС – диагональ

              АС = 13 см

              АD = 12 cм

___________________________

                                                                                    Найти:  S ABCD

А                                      D

Задача № 3

        В                

                                                     Дано:    АВСD –  равнобедренный

                                       АC = 8 см

                                                                             ВD – высота

                                                                              < ВАС = 45°

А            D             C                                    ____________________________________

                                                                                  Найти:  S ABC

             В                                    Задача № 4

                                                                                    Дано:  АВСD – ромб

А          О               С                                                          АС = 10 см

            ВD = 12 cм

                                                                               ____________________________

                      D                                                           Найти :  S ABCD, АВ

                                                   Задача № 5

     В                  С                                           Дано:  АВСD – прямоугольная трапеция

                                                                                     СН - высота

                                                                                ВС  =  6 см

                                                                                АD = 22 см

СD = 20 cм

                                                                 ____________________________________                                                

А                Н                         D                    Найти:  S ABCD

_____________________________________________________________

Задача № 6

                         В                                     С     Дано:  АВСD – параллелограмм

                                                                                     ВD - диагональ

                                                                                ВD  =  13 см

                                                                                BN  =  5 см

ND  =  12 cм

                                                                                < ВАD = 45°                                                                                                                                            

А                Н                         D                  __________________________________

                                                                   Доказать:  ∆ BND   прямоугольный

                                                                   Найти: S ABCD

Вариант № 2

Задача № 1

               В                     С

                                                                        Дано:       АВСD – параллелограмм

                                                                                          ВD - диагональ

                                                                                     ВD  =  9 см

                                                                                     S ABCD = 108 cм

А                    D                                        __________________________________

                                                                   Найти:  АВ, ВС

    K                                         N     Задача № 2

                                                         Дано:       MKNP - прямоугольник

                                                     KM =  6 см

                                                            KP – диагональ

                                                                                      KP = 10 см              

     M                                          P              _________________________________

                                   Найти:      S MKNP

_______________________________________________________________________________________________

Задача № 3

     В                        Дано:        ∆ АBС  

                                                          BH – высота

                                                      АВ = 8 см

                                                        АС = 10 см

А                                                      С                           < ВАС = 30°

                                  Н                               _______________________________

                               Найти:        S ABC 

____________________________________________________________________  

                          К

Задача № 4

     М                     О                 N                 Дано:   MKNP – ромб

                                                  P MKNP = 20 см

                                              МК = 8 см.

                          Р                                          _________________________________

                          Найти: S MKNP

______________________________________________________________________________________________

                                   B                  C       Задача № 5

                                                         Дано:   ABCD – прямоугольник

                                                 AB = 25 см

                                               ВС = 2 см

                                                                                   CD – 7 см

A                     H                   D                                                                                                            

                                                                     ______________________________

                                                                      Найти:  S ABCD

______________________________________________________________________________________________

Задача № 6

                         B                                          Дано:     BD =5 см

                                                    DC = 12 см

                                                     BС = 13 см

                                                                                     < ВАD = 45°

                                                                  _________________________________

                                                                     Определить: вид ∆ BDС

A                   D                               C           Найти:  S ABC 

____________________________________________________________________

Практическая часть. Решение задач

Учащиеся получают карточки с задачами для письменного решения по вариантам.

Вариант № 1

Задача № 1

Дано: А(- 4; 1), В (-1; 3), С (2; 1), D (-1; -1).

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (2; -1) на окружности  (х – 2)² + (у + 3)² = 4?

Ответ обосновать.

Вариант № 2

Задача № 1

Дано: А(-2; -2), В ( -2; 4), С ( 1; 4), D (1; -2).

Доказать: четырехугольник АВСD – прямоугольник.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка А (1; 4) на прямой  4х + 3у - 6 = 0?

Ответ обосновать.

Вариант № 3

Задача № 1

Дано: А(2; 3), В (5; 8), С (8 ; 3), D (5; -2).

Доказать: четырехугольник АВСD – ромб.

Задача № 2

Дано: лежит ли точка М (-3; 2) на прямой  4х + 3у + 6 = 0?

Ответ обосновать.

Пример дифференцированного задания блока № 3

зачета по теме «Признаки равенства треугольников». 7-й класс

Практическая часть. Решение задач.

на оценку «3»:                         на оценку « 4»:                           на оценку «5» :

задача № 1                                задача № 2                                  задача № 6

задача № 3                                задача № 10                                задача № 5 

задача № 4                                задача № 8                                  задача № 9

задача № 7                                задача № 5                                  задача № 11

Задачи к зачету по теме: «Признаки равенства треугольников».

Задача № 1

 K                                        N                                    Дано:            KN = MP

                                                                    MK = PN

                      LK = 60°

                                                                        ________________________________

       M                                          P                           Найти:           LP.  

   А                                           С     Задача № 2

Дано:  а) АО =ОС     б) < ОСD = 37°

         < ВАО =

                                         < СОD = 80°  

________________________________  

                 О                                                    а) Доказать:  ∆ АBО = ∆ СDО

      В                    D                                         б) Найти:  углы  ∆ АBО

__________________________________________________________________________  

                                                                    Задача № 3 

                             M                                       Дано:    NО - биссектриса < MNP                    

               NM = NP

               MO = 10 см

N                          O                                        Доказать: ∆ MNO = ∆ PNО

Найти:   ОР

                                                P

Задача № 4

              E                                                              

                                                                                Дано:            DE = DK                                                                                              

  D                                    C                                                         CE = CK

      K                                                                     Доказать: DC – биссектриса < EDK

                В

Задача № 5

    А                              С                                        Дано:    ∆АBC  и  ∆A1B1C1

      К  В1                                                                     <В  = <В1, АВ = А1В1,

              ВС=В1С1 , АК = А1К1.

_________________________________

А1                               С1                                        Доказать: ∆ АBC = ∆ A1B1C1

_________К1_________________________________________________________________

                            С                        Задача № 6

                                                                Дано: ∆АCB – равнобедренный

      А                                 В                                              АР = FВ

                                                                               __________________________________

                 Р            F                                            Доказать : 1)  ∆ РCF – равнобедренный,

                                                                                               2)  АF = ВР

Задача № 7

            А  

                                        Дано:        АЕ = ЕD

    В                          Е                      С                                   AB = 5см

                                                                          ___________________________________

                                                 Доказать: ∆ АBЕ = ∆ DCE

D                      Найти:  СD

Задача № 8

                                  B

                                               Дано: АВ = АD

                                                         ВС = DC

          C                                        A                       Доказать: AC – биссектриса < A

                             Е                     

                                                              Задача № 9