Разработки внеклассных мероприятий с фотоотчётом

Разработка внеклассного мероприятия

  по математике в 6 классе

«Звёздный час»

Для шестых классов.

Первый тур.

     В первом туре играют шесть человек – участников и шесть человек – «сестры и братья».

     Предлагается шесть заданий, которые в виде плакатов вывешиваются на доске. «Звездочка» дается участнику, если его правильный ответ совпал с ответом «родственника».

     Во второй тур выходят четыре человека, верно ответившие на четыре вопроса. Участникам и «родственникам» раздаются по 4 таблички, на которых написаны цифры от 1 до 4.

При возникновении одинаковых ситуаций, проводится подсчет звездочек.

     Задание 1. На плакатах изображены следующие фигуры:

1.  

2.

3.

4.

    На какой из картинок закрашена меньшая площадь?

    Участники игры поднимают карточку с номером правильного ответа. Ответивший правильно, делает шаг вперед на один шаг.

      Задание 2. На плакате написаны фамилии:

1.Нурк.

2.Виленкин

3.Колмогоров

4.Эратосфен

   Выберите фамилию автора учебников, по которому занимается

класс.

    Задание 3. Вывешивается плакат с записью:

1.0 Є N

2.0 Є Z

3.0 Є R

Поднимите карточку с номером строки, в которой записано ошибочное утверждение.

    Задание 4. Разделите единицу на половину. На плакате написаны ответы:

1. 1

2. 0,5

3. 2

4. ½

      Задание 5. Выберите из приведенного списка фамилию женщины-математика:

1. Ковалевская

2. Байкова

3. Крупская

     Задание 6.  Назовите науку о числах.

1. Алгебра

2. Геометрия

3. Математика

4. Арифметика

                                      Второй  тур.

    На маленьких листочках написано по одной букве. Зрителям предлагается вытянуть 10 листочков. Буквы записываются на доске. Участники из этих букв составляют  слова. Составивший слово из наибольшего количества букв, выходит в 3 тур, отдает звезду и получает небольшой приз. В третий тур выходят 3 человека.    

                                      Третий  тур. 

        Предлагается выполнить 3 задания. Участники, правильно ответившие на два из них, выходят в финал.

      Задание 1. Определите числовую закономерность и продолжите числовой ряд:

                        2,3,6,11,18,…

Выдается плакат с ответами:

1. 19

2. 14

3. 27

4. 21

       Задание 2. Вставьте верный знак действия, чтобы выполнялось равенство:

                         37,3 ? 1/2=74 +3/5

Вывешивается плакат с ответами:

1.  +

2.   -

3.   /

4.   *

       Задание 3.

                                             Финал.

Составьте наибольшее количество слов из букв, входящих в слово «информатика». Если слова у участников заканчиваются, им помогают «родственники»,  а потом они начинают отдавать звезды вместо слов.

   Все участники награждаются сладкими призами.  

Олимпиадные задачи для 8 класса

1. В наряд нужно послать трех человек: одного из пяти офицеров, одного из 7сержантов и одного из 20 солдат. Сколькими способами можно составить наряд?
2. Построить график функции:   у = 
3. Градусная мера угла АВС равна 56°.  С  помощью  циркуля  и  линейки построить угол в 14°, не проводя биссектрису данного угла.
4. Какой треугольник надо взять, чтобы после проведения в нем одного из отрезков получить все  известные  виды треугольников:  равносторонний, равнобедренный,      разносторонний,      прямоугольный,      остроугольный, тупоугольный?
5. Имеется пять гирь. Их массы равны 1000 грамм, 1001 грамм, 1002 грамм, 1004  грамм,   1007  грамм,  но  надписей  на них  нет,  и  внешне  они  не отличаются. Имеются весы со стрелками, которые показывают массу в граммах. Как с помощью 3 взвешиваний определить гирю весом в 1000 грамм?
6. На доске написано число 321321321321. Какие цифры необходимо стереть, чтобы получить возможно наибольшее число, делящееся на 9?
7. Поставьте знаки модуля так, чтобы равенство 1-2-4-8-16=19  стало верным.
8. Если  задуманное  число  разделить  на  сумму  его  цифр,  то   в  частном получится 4 и в остатке 3. Если же из задуманного числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25. Какое число задумано?
9. Всадник и пешеход одновременно отправились из пункта А в пункт В. Всадник, прибыв в пункт В на 50 минут раньше пешехода, возвратился обратно в пункт А. На обратном пути он встретился с пешеходом в двух километрах от пункта В. На весь путь всадник затратил 1 час 40 минут. Найдите расстояние от А до В и скорость всадника и пешехода.
10.    Сократите дробь: .
11.  В 13 часов в бассейн начали наливать воду из одной трубы, чтобы заполнить его к 16 часам следующего дня. Через некоторое время включили еще одну такую же трубу, т.к. потребовалось заполнить бассейн к 12 часам дня. Во сколько часов включили вторую трубу?
12.    Доказать, что сумма 2+22+23+....2 9+2100 делится на 3.
13.   Четыре девочки - Катя, Лена, Маша и Нина - участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли 3 девочки. Катя спела 8 песен -больше всех, а Лена спела 5 песен - меньше всех. Сколько песен было спето?
14.  За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?
15.  В одной коробке лежат 2 белых шара, в другой два черных шара, в третьей -один белый шар и один черный шар. На каждой коробке имеется рисунок, но он неправильно указывает содержимое коробки. Из какой коробки, не глядя, надо вынуть шар, чтобы можно было определить содержимое каждой коробки.

[○○]                           [ ●○]                       [ ●● ]            

16.  Квадрат расчерчен на 16 равных клеток. Каждую из букв А, В, С, D

расставьте в этих клетках по 4 раза таким образом, чтобы на любой горизонтали, любой вертикали и двух главных диагоналях не было одинаковых букв.

17.  Найдите трехзначное число аЬс , если известно, что четырехзначное число  авс1   в 3 раза больше четырехзначного числа   2авс .
18.  Доказать, что среди шести любых целых чисел найдутся два, разность которых делится на 5.
19. Три спортсмена - X,  Y, Z- участвовали  в забеге.  Известно,  что Z задержался на старте и выбежал последним, а Y - вторым. Во время бега Z  6 раз менялся местами с другими участниками, а X - 5 раз. Еще известно, что Y финишировал раньше X. В каком порядке финишировали спортсмены?
20.  На кружке физики учитель поставил следующий эксперимент. Он разложил на чашечные весы 16 гирек массами 1, 2, 3, ..., 16 грамм так, что одна из чашек перевесила. Пятнадцать учеников класса по очереди выходили из класса и забирали с собой одну гирьку, причем после выхода каждого ученика перевешивала противоположная чашка весов. Какая гирька осталась на весах?
21.  В   турнире   по   игре  в  «крестики-нолики»,   проводившемся   по   системе «проиграл - выбыл» участвовали 18 школьников. Каждый день проводилась только одна партия, участники которой определялись жребием из еще не выбывших школьников. Шестеро из них утверждают, что участвовали ровно в четырех партиях. Возможно ли это? Ответ обоснуйте.
22. Пять мальчиков, что-то не поделив, подрались между собой. После того, как их успокоили, милиционер дядя Степа спросил у каждого из них, кто затеял драку. На свой вопрос он получил следующие ответы:

 Петя: «Это точно не я, не Дима, не Витя»,  Саша: « Это точно не я, не Петя, не Коля»,   Коля: « Это точно не я, не Саша, не Дима»,  Дима: « Это точно не я, не Петя, не Коля»,   Витя: « Это точно не я, не Петя, не Коля».

В итоге оказалось, что только двое из них сказали правду. Сколько из мальчиков были зачинщиками драки, и как их зовут?

23.   Найти натуральное число А, если из трех следующих утверждений два верны, а одно - неверно: а) А+51 есть точный квадрат,  б) последняя цифра числа А есть единица,   в) А-38 есть точный квадрат.
24.   Разность двух натуральных чисел в два раза меньше одного из них, и не равна другому. Докажите, что разность кубов этих чисел кратна 19.
25.   Найти трехзначное число такое, что если в нем стереть цифру единиц, то полученное двузначное число кратно 7, если стереть цифру десятков, то полученное двузначное число кратно  11, если стереть цифру сотен, то полученное двузначное число кратно 13.
26.   Кот может съесть гирлянду сосисок за 37 минут, а пес - за 23 минуты. Они начали есть с двух концов, и когда съели всю, то посчитали, сколько процентов от всей гирлянды досталось каждому. Оказалось, что коту досталось на 10% больше, чем псу. Кто из них начал есть раньше и на сколько минут?
27.   Внутреннюю точку О треугольника АВС соединили с вершинами треугольника. Оказалось, что АОВ=90° и ОВ=ОС. Найти величину угла ОАВ, если АСВ=45°.
28.   В    четырехугольнике    АВСD    проведены    диагонали    ВD    и    АС, пересекающиеся   в   точке   О.   При   этом   ВО=ОD=АО,   АВD=АСD. Докажите, что АВСD - прямоугольник.
29.   Пусть АМ медиана треугольника АВС,  точка Р середина медианы АМ.  И пусть луч ВР пересекает сторону АС в точке N. Найдите углы треугольника АВС, если известно, что NР- биссектриса угла АNМ иВАС =NМС.
30.   В треугольнике АВС биссектриса AD угла А в точке своего пересечения с медианой угла В делит ее пополам, при этом АD=DС. Найдите углы треугольника АВС.

Задание на лето по математике для учащихся, которые идут в 10 класс

I вариант

Четырёхугольники.

1. (Теорема Пифагора, площадь прямоугольного треугольника.) В прямоугольном треугольнике сумма гипотенузы и одного из катетов равна 16, а другой катет равен 8 см. Найдите гипотенузу, неизвестный катет и площадь треугольника. 

Ответ: 10 см, 6 см, 24 см2.

2. (Первый признак равенства треугольников, свойства параллелограмма.) На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD вне его построены равносторонние треугольники АВМ и ВСН. Докажите, что треугольник DМН – равносторонний.

3. (Свойство параллелограмма о диагоналях.) Постройте параллелограмм по двум диагоналям и высоте.

4. (Свойство прямоугольника, свойство равнобедренной трапеции.) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон постоянна и равна высоте треугольника, проведенной к боковой стороне.

Указание: Пусть треугольник AKL – равнобедренный с основанием AL, АН – высота к боковой стороне, точка D принадлежит AL. Через точку D следует провести прямую, параллельную боковой стороне KL, до пересечения со стороной АН.

5. (Вспомогательная окружность, признак вписанного четырёхугольника, угол, опирающийся на диаметр окружности.) Вне прямоугольника АВСD отмечена точка Е так, что отрезок АС виден из неё под прямым углом. Найдите угол ВЕD.

Ответ: ∠BED=90°. Решение: Около четырёхугольника АВСЕ можно описать окружность с диаметром АС, так как ∠АВС=90° и ∠АЕС=90°. Точка D принадлежит этой окружности (АВСD – прямоугольник). BD=AC, следовательно, BD тоже является диаметром. ∠BED вписанный и опирается на диаметр окружности, значит он прямой.

6. (Определение ромба.) С помощью одного прямолинейного разреза разрежьте прямоугольник на две части, из которых можно составить ромб.

Указание: Разрезать прямоугольник ABCD по отрезку BE (BE=BC).

7. (Теорема Фалеса.) На стороне АС ΔАВС взята точка Е так, что АЕ:ЕС=3:4. В каком отношении медиана АМ: а) делится отрезком ВЕ; б) делит отрезок ВЕ?

Ответ: а) 3:2; б) 7:3. Указание: Пусть N – точка пересечения прямых АМ и ВЕ. а) Через точку М провести прямую, параллельную ВЕ; б) Через точки М и N провести прямые, параллельные АС.

8. (Определение и свойство средней линии трапеции и треугольника, теорема Фалеса.) Средняя линия трапеции делится диагоналями на отрезки, отношение которых равно 3:5:3. Найдите отношение оснований трапеции.

Ответ: 8:3.

Квадратные уравнения и другие задания.

9. Упростить .

Ответ: b7/a6.

10. Пусть 1≤a<3, 2≤b<4. Оцените значение выражения a–4b.

Ответ: –15< a–4b<–5.

11. Упростите: .  Вычислите: , , .

Ответ: |а|, 2, 8, .

12. Упростить .

Ответ: .

13. Составьте простейшее квадратное уравнение вида х2=а, для которого х1 является корнем, если х1=. Является ли х1 рациональным числом? Если является, то найдите его.

Ответ: x2=9, x1=3, x1∈Q.

14. Составьте приведённое квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен: а) ; б) .

Ответ: например, а) x2–2x–1=0;  б) x2–4x+1=0.

15. Запишите какое-либо приведённое квадратное уравнение с отрицательным свободным членом. Не вычисляя его корней х1 и х2, определите: .
16. Решите: а) 17x2–19x+2=0; 

        б) ;  

        в) 4x2–9x–11=  и укажите целые числа, заключенные между его корнями;

        г) x2+bx-b-1=0;

        д) ;

        е) ;

        ж) ;

        з) .

Ответ: а) 1; 2/17;  б) –1; 3;  в) ; ; {0, 1, 2, 3};  г) 1; –b–1;  д) 2/15;  е) –4; 2;  ж) ∅;  з) –1; 1; 3.

17. Найдите квадрат разности корней уравнения x2–11x+29=0.

Ответ: 5.

18. Пусть система уравнений  имеет решение (х0, у0). Найдите значение выражения х0(х0+у0).

Ответ: 12.

19. Решите неравенства: а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д).

Ответ: г) ;  д) х∈(0; 0,5).

20. Вычислите, используя, где это возможно, формулы сокращенного умножения: .

Ответ: 0,04.

21. Решите систему уравнений: а)        

     б)

Ответ: а) (0, 1/3); ;  б) (25, 9); (49/4, 81/4).

22. Решите двойное неравенство: .

Ответ: x∈[0,5; +∞).

23. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию . Указание: раскрыть модуль по определению.
24. При каком значении k многочлен  можно представить в виде полного квадрата.

Ответ: 77/15.

Подобие.

25. (Признак и свойство подобия треугольников.) Срединный перпендикуляр к гипотенузе АВ прямоугольного ΔАВС пересекает катет АС в точке М, а продолжение катета ВС – в точке N. Определите АВ, если МР=а, МN=b (Р – середина АВ).

Ответ: . Указание: ΔАМР∼ΔNBP.

26. (Признак подобия треугольников.) Докажите, что высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами треугольника, образованного отрезками, соединяющими основания высот.

Указание: Пусть АА1, ВВ1, СС1 – высоты Δ АВС. ΔА1ВС1∼ΔАВС, так как ∠В – общий и ∠А=∠ВА1С1 (∠ВА1С1+∠С1А1С=180° как смежные и ∠С1А1С+∠А=180°, так как четырёхугольник АС1А1С вписанный в окружность с диаметром АС). Аналогично, ΔАВ1С1∼ΔАВС, ΔА1В1С∼ΔАВС, причём ∠А=∠ВА1С1 и ∠А=∠В1А1С.

27. * (Признак и свойство подобия треугольников, отношение площадей треугольников, имеющих равные высоты или равные углы.) В равнобедренном ΔАВС (АВ=ВС) высота AF пересекает высоту BD в точке О, причем . В каком отношении биссектриса АЕ делит высоту BD?

Ответ: . Указание: 1) ΔADO∼ΔABD ⇒ BD:AD=AD:OD; из условий следует, что BD:OD=(n+1):1. Значит, (n+1)OD2=AD2. 2) Из ΔAOD по теореме Пифагора AD2+OD2=OA2 ⇒ OD2(n+2)=OA2. 3) Пусть G – точка пересечения прямых АЕ и BD. Отношение площадей треугольников ADG и AGB с одной стороны равно отношению длин отрезков AD и АВ (т. к. эти треугольники имеют равные углы при вершине А и общую сторону AG), а с другой стороны отношению длин отрезков DG и GB (т. к. эти треугольники имеют общую высоту). 4) AD:AB=OD:AO, т. к. ΔADO∼ΔABD.

Соотношения в прямоугольном треугольнике.

28. (Соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора.) Основания трапеции равны 3 дм и 7 дм, углы при большем основании равны 60° и 30°. Найдите высоту и диагонали трапеции.

Ответ: дм, дм, дм. Указание: Пусть дана трапеция ABCD с большим основанием AD, ∠А=60°, ∠D=30°. Из вершин В и С провести высоты трапеции ВН и СТ (ВН=СТ). Пусть АН=х, тогда TD=4–х. Из ΔАВН ВН=хtg60°, из ΔCTD СТ=(4–x)tg30°.

29. (Соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора.) В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла равна h, острый угол равен α. Найдите стороны треугольника.

Ответ: , , .

30. (Прямая и обратная теорема Пифагора.) Точка О делит сторону АС треугольника АВС на отрезки АО=6 и ОС=3. Найдите сторону ВС, если АВ=8, ВО=10.

Ответ: .

Функция. Квадратичная функция.

31. Постройте график функции f(x)=x2–5x+6. С помощью графика функции f(x) постройте следующие графики: а) ; б) ; в) .
32. Функция у(х) задана графиком, где -2≤х≤8. А) Найдите у(-2), у(-0,5), у(1), у(5). Б) При каком значении х значение функции равно –1; 0; 2? В) При каких значениях х функция принимает положительные значения? Г) При каких значениях х функция принимает отрицательные значения? Д) При каких значениях аргумента значения функции меньше 1. Е) Какие значения принимает функция, если –1,5<x<7? Ж) С помощью графика функции y(x) постройте графики: .
33. 1. При каких значениях а квадратный трехчлен 2x2+x+a принимает только положительные значения?

2. При каких значениях b квадратный трехчлен –x2+6x+b принимает только отрицательные значения?

Ответ: 1) a>1/8;  2) b<–9.

34. Числа х1 и х2 – нули квадратичной функции у=х2+рх+q. Найдите коэффициенты p и q, если , .

Ответ: p= –6; q=7.

35. При каких значениях х имеет смысл выражение .

Ответ: (–2; 1)∪(6; +∞).

36. Квадратичная парабола, ось которой параллельна оси ординат, проходит через точки (-1; 6), (0; 6) и (1; 4). Найдите точки пересечения параболы с осью абсцисс.

Ответ: y=–x2–x+6, (–3; 0), (2; 0).

37. Постройте график уравнения: .

Указание: Раскрыть модуль по определению.

Окружность.

38. (Площадь треугольника через радиус вписанной окружности.) Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, а радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите площадь треугольника и медиану, проведенную к гипотенузе треугольника.

Ответ: 24 см2, 5 см.

39. (Нахождение угла между двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности.) Найти острый угол, образованный двумя секущими, проведёнными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключённые между секущими, равны 153° и 79°.

Ответ: 37°.

40. (Признак вписанного четырёхугольника, вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.) Найдите угол СВD четырехугольника АВСD, если известно, что ∠САD=50°, ∠АDС=60°, ∠АВD=70°.

Ответ: 50°.  Указание: Четырёхугольник ABCD вписанный, так как отрезок AD виден из точек В и С под углом 70°.

41. (Вспомогательная окружность, определение биссектрисы угла треугольника, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.) В ΔАВС биссектрисы углов В и С пересекают стороны АС и АВ в точках Е и F соответственно. Найдите ∠BEF, если ∠А=60°.

Ответ: 30°. Указания: Пусть О – точка пересечения биссектрис ВЕ и CF Δ АВС. Четырёхугольник AFOE вписанный, поскольку ∠А+∠FOE=180° (∠BOC=120°, так как сумма половинок углов В и С равна 60°). АО – биссектриса.

42. (Метрические отношения в окружности.) Окружность с центром С и прямая АК касаются в точке К. Найдите АК, если АС=10, а диаметр окружности – 12.

Ответ: 8.

43. (Определение биссектрисы угла треугольника, сумма углов треугольника.) Окружность с центром О вписана в ΔАВС. Найдите угол ВАС, если АВ=АС, ∠ВОС=130°.

Ответ: 80°.

44. (Свойство описанного четырёхугольника, формула площади трапеции.) Около круга радиуса 2 описана равнобедренная трапеция с площадью 20. Найти боковые стороны трапеции.

Ответ: 5.

45. (Вспомогательная окружность, определение и признак равнобедренного треугольника.) В ΔАВС величины углов В и С равны по 40°. Докажите, что если отрезок ВD – биссектриса угла В, то ВD+DА=ВС.

Решение: ∠BDC=120° ⇒ BC>BD и на стороне ВС можно отложить отрезок ВЕ, равный BD. Теперь докажем, что ЕС=AD. ∠BDE=∠BED=80°. ∠ADE+∠ABE=180°, следовательно, четырёхугольник ABED вписывается в окружность. Отсюда следует, что ∠AED=20° и ∠DAE=20°. Таким образом, AD=DE=EC и EC=AD. Итак, BC=BE+EC=BD+DA.

Квадратные неравенства.

46. Решите: а) –2x2–3x+2≥0;    

        б) x2+x+1≤0;

        в) x2(x2–3)≥–2;

        г);

        д) ;

        е) . 

Ответ: в) ;  г) (–∞; –1)∪{4}∪[6; +∞);  д) (–∞; –2)∪(–1; 0];  е) (–∞; –3)∪(–2; –1).

47. Найдите целые неотрицательные значения х, удовлетворяющие неравенству .

Ответ: x=1.

48. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов двух различных действительных корней уравнения ax2–5x+2=0 меньше 21.

Ответ: .

49. Найдите все значения m, при которых неравенство  выполняется для любых действительных значений х?

Ответ: m<–0,5.

50. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное неравенство не имеет решений ни при каком х: .

Ответ: a>9.

Задание на лето по математике для учащихся 8 класса физико-математического профиля

II вариант

Четырёхугольники

1. (Признак равенства треугольника, определение квадрата, свойства параллелограмма.) На сторонах АВ и ВС параллелограмма АВСD вне его построены квадраты ABFE и BCKM. Докажите, что отрезки ED и DK взаимно перпендикулярны.

2. (Определение параллелограмма.) Постройте параллелограмм по двум высотам и диагонали. 

План построения: 1) Построим полосу шириной равной первой высоте h1=ВН (построим прямые a и b такие что точка В∈a, точка Н∈b). 2) С центром в точке H проводим окружность радиусом равным данной диагонали АС. При пересечении окружности с прямой a отметим точку С1. Строим прямую НС1. 3) Проводим окружность с центром в точке В, радиусом равным второй высоте h2. На пересечении этой окружности с прямой НС1 отметим точку Н1. 4) Строим прямую с, перпендикулярную прямой ВН1. На пересечении  прямой с с прямыми а и b отмечаем точки С и D соответственно – искомые точки параллелограмма. 5) Через точку C проводим прямую d, параллельную НС1. На пересечении прямой d с прямой b отметим точку А. Итак, ABCD – искомый параллелограмм.

3. (Вспомогательная окружность, признак вписанного четырёхугольника, вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности.) На сторонах АВ и СD  прямоугольника АВСD взяты точки E и F так, что BE=CF. На диагонали ВD отмечена точка H, причем ∠EHC=90°. Найдите ∠BHF.

Ответ: 90°. Указание: Точки В, С, F, H и Е лежат на одной окружности с диаметром ЕС или BF (ЕС=BF).

4. (Теорема Фалеса.) На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки E и M соответственно так, что АЕ:ЕС=2:3, ВМ:МС=3:1. В каком отношении отрезок ВЕ: а) делит отрезок АМ; б) делится отрезком АМ?

Ответ: а) 8:9; б) 15:2.  Указание: Пусть N – точка пересечения прямых АМ и ВЕ. а) Через точку М провести прямую, параллельную ВЕ; б) Через точки М и N провести прямые, параллельные АС.

5. (Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту.) Дан ΔАВС. На лучах ВА, СВ и АС построены соответственно отрезки АА1, ВВ1, СС1 так, что АА1=nAB, BB1=nCB, CC1=nAC. Найдите отношение площадей ΔА1В1С1 и ΔАВС.

Ответ: 3n2+3n+1.

Решение: Пусть длины сторон данного треугольника a, b и c, тогда ВВ1=na, АА1=nc, СС1=nb. Треугольники С1В1В и С1ВС имеют общую высоту, поэтому  (1). Аналогично, рассматривая треугольники С1ВС и АВС, получим:  (2). Пусть SABC=S, тогда из (2) следует, что , а из (1) – . Следовательно,   (3). Аналогично получим, что , . Тогда  и .

6. * (Площадь треугольника, признак и свойство подобных треугольников, теорема Фалеса.) Через середину боковой стороны трапеции проведите прямую, разбивающую трапецию на два равновеликих четырехугольника.

Решение: Пусть дана трапеция ADCB, CE=BE, AB=a, DC=b, FH=h1 – высота ΔAFB, FG=h2 – высота ΔFDC. Если EF – искомая прямая, то SABEF=SCDFE (1). Так как EF – медиана ΔВСF, то SBEF=SCFE (2). Из (1) и (2) следует, что SABF=SCDF,  или h1/h2=b/a  (3). С другой стороны, так как ΔFAH∼ΔFGD, то h1/h2=AF/FD  (4). Сопоставляя равенства (3) и (4), видим, что AF/FD= b/a. Так как a и b  даны, то точку F находим, разделив отрезок AD в отношении b к a.

Квадратные уравнения и другие задания

7. Упростить .

Ответ: c4/d21.

8. Пусть 3<x≤10, 1<y≤5. Оцените значение выражения x–3y.

Ответ: –12< x–3y<7.

9. Упростите: .  Вычислите: , , .

Ответ: |а|, 2, 8, .

10. Упростить .

Ответ: 1.

11. Составьте приведенное квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен: а) ; б) .
12. Запишите какое-либо приведенное квадратное уравнение, имеющее различные положительные корни х1 и х2. Выразите через коэффициенты этого уравнения: .

Указание: Рассмотрим приведённое квадратное уравнение вида x2+px+q=0, тогда x1+x2= –p, x1⋅x2=q. Заметим, что .

13. Докажите, что если уравнение х2+2х+с+1=0 имеет действительные и различные корни, то уравнение (2–с)х2+2(с+2)х+с2+с+2 =0 действительных корней не имеет, и обратно.
14. Уравнение 4x2–3nx+36=0 имеет два отрицательных корня, если 1) ; 2) n≤–8; 3) ; 4) n<–8; 5) n>8.

Ответ: n<–8.

15. Выясните, являются ли уравнения равносильными:  и .

Ответ: нет, см. x=0,5.

16. Решите уравнения: а) ;

  б) ;

   в) ;

   г) ;

   д) .

Ответ: а) –1; –4;  б) 0; 2,4;  в) –5/7;  г) –1; 1; ;  д) –1; 1; 3.

17. Для каждого значения параметра а решите уравнение .

Ответ: при a<0 ;  при a=0 х1=0, х2=2;  при 0, ;  при a=1 x1=1; ;  при a>1 .

18. Упростив выражение , определите, какие значения оно может принимать.

Ответ: (–∞; 19/23)∪( 19/23; 2)∪(2;+∞).

19. Упростите числовое выражение и представьте его в виде степени: .

Ответ: (7/45)6.

20. Решите неравенства: а) ;

       б) ;

      в) .

Ответ: б) [–4; –2];  в) .

21. * Какие целые значения принимает дробь , если x, y – натуральные числа?

Решение: Пусть – целое число, тогда . Следовательно,  – целое число, тогда x+y+1≥xy–1, откуда (y–1)x≤y+2. Если y=1, то . Тогда 3 делится на x–1, значит x={2; 4} и u=7. Если y–1>0, то .  Так как , то x≤4. Подставляя x=1, 2, 3, 4, находим, что , , , .

Ответ: 1, 3, 7.

22. Изобразите на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений

Решение:   Если y=0, то x – любое. Если y≠0 и x=0, то y= –4. Если y≠0 и x≠0, то x=5, y= –2/3. Итак, на координатной плоскости надо выделить ось абсцисс и две точки: (0; –4) и (5; – 2/3). Ответ: y=0, А(0; –4) и В(5; – 2/3).

Подобие.

23. (Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, признак и свойство подобия треугольников.) В ΔАВС сторона АС равна b, сторона АВ равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС в точке D такой, что DА=DВ. Найдите длину стороны ВС. Указание: Через точку D параллельно АВ провести прямую DE (E∈AC).

Ответ: . Решение: 1) Пусть BD=x, тогда по теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника: x/c=DC/b. 2) DE||AB. Пусть АЕ=у. ΔABD∼ΔADE, следовательно, x/y=c/x.  3) ΔDCE∼ΔABC ⇒ (b–y)/b=y/c.  4) Из пункта 2: x2=yc; из пункта 3: bc–yc=by ⇒ y=bc/(b+c); ⇒ x2=bc2/(b+c).  5) Из пункта 1: .  6) . Итак, .

24. (Отношение площадей подобных треугольников, отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту.) В треугольнике АВС через основание D высоты ВD проведена прямая параллельно стороне АВ до пересечения со стороной ВС в точке К. Найдите отношение ВК:КС, если площадь ΔВДК составляет 3/16 площади ΔАВС.

Ответ: 3 или 1/3. Решение: 1) Из условий следует, что .  2) ΔDKC∼ΔABC ⇒ .  3) ΔDKC и ΔDBK имеют общую высоту проведённую из вершины D, следовательно, .  4) Из пунктов 1 и 3 вытекает, что .  5) Из пунктов 2 и 4 получаем: . Пусть ВК=х, тогда  или . Решая это уравнение относительно x/KC, получаем ответ.

25. (Соответственные углы при параллельных прямых, признак равнобедренного треугольника, средняя линия треугольника или признак и свойство подобия треугольников.) В ΔАВС сторона АС больше стороны АВ, а угол при вершине А равен α. На стороне АС взята точка R, так что AB=RC. Пусть E – середина отрезка AR, D – середина стороны ВС. Найдите ∠CED. Указание: Через точку D параллельно АВ провести прямую DK (K∈AC).

Ответ: α/2. Указание: ∠DKC=∠A=α. Доказать, что ΔDEK равнобедренный с основанием DE.

Соотношения в прямоугольном треугольнике.

26. (Соотношения в прямоугольном треугольнике, определение и свойство параллелограмма, теорема Пифагора.) Определите высоту трапеции, если длины её оснований равны 6 и 11, длина одной из боковых сторон равна 4, а сумма углов при нижнем основании равна π/2.

Ответ: 2,4. Указание: Дана трапеция ABCD, у которой боковая сторона АВ=4, основание AD=11, ВС=6. Через точку В проведите прямую ВК (К∈AD), параллельную CD. ΔАВК – прямоугольный, ВК=CD=3, sin∠AKB=4/5=sin∠D.

27. (Соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Фалеса.) В прямоугольном треугольнике АВС (∠С=90°) через вершину А и середину высоты СD проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке М. Докажите, что . Указание: Через точку С параллельно МА провести прямую СК (точка К лежит на прямой АВ).

Доказательство: Пусть точка О – середина высоты CD. Через точку С проведём прямую СК параллельную МА, К∈АВ. Из DO=OC следует, что DA=AK. Применив теорему о пропорциональных отрезках, получим: . Что и требовалось доказать.

Квадратичная функция.

28. Постройте график функции f(x)=2x2–8x+6. С помощью графика функции f(x) постройте следующие графики: а) ; б) ; в) .
29. Найдите все значения х, при которых график функции  лежит ниже графика функции .

Ответ: (1; 2)∪(2; 7).

30. Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию .

Указание: Раскрыть модуль по определению.

31. Найдите координаты точки графика функции y=x+1, сумма квадратов расстояний от которой до точки А(4; 0) и до начала координат наименьшая.

Ответ: (0,5; 1,5).

32. Найдите все значения х, при которых график каждой из функций f(x)=x2–3x и q(x)=(4–x):(x+2) лежит выше графика функции y=x.

Ответ: (–∞; –4)∪(–2; 0).

33. Постройте график уравнения: а) (x-1)2y=0; б) .

Ответ: а) x=1, y=0;  б) y=±1 при x>0.

34. Постройте график функции  и укажите для нее: область определения; значения, принимаемые функцией более чем в двух точках; значения, принимаемые функцией ровно в трех точках.

Ответ: На промежутке (–∞; 1)∪(1; 2) графиком функции является прямая, проходящая через точки с координатами (2; –1,5) и (0; –2,5) с выколотой на ней точкой (1; –2). На промежутке [2; +∞) графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, координаты вершины (3; –2), причём, y(2)=–1,5. D(y)= (–∞; 1)∪(1; +∞). По графику видно, что значения, принимаемые функцией более чем в двух точках совпадает со значениями, принимаемыми функцией ровно в трёх точках: (–2; –1,5).

35. Найдите длину наибольшего отрезка оси абсцисс, на котором графики функций  и  совпадают.

Решение: , так как  при всех x≥–4.  Таким образом, f(x)=g(x) на отрезке [–4; 5], на этом отрезке, следовательно, совпадают их графики. Длина отрезка [–4; 5] равна 9. Ответ: 9.

Окружность.

36. (Уравнение прямой по двум точкам, решение системы уравнений с двумя неизвестными.) Найдите все точки окружности x2+y2=25, сумма расстояний от которых до точки А(0; 7) и В(7; 0) – наименьшая.

Ответ: M1(3; 4), M2(4; 3). Указание: Искомая точка М принадлежит отрезку АВ (тогда суммарное расстояние будет наименьшим), то есть лежит на прямой x+y=7 и имеет положительные координаты. Решая систему  находим координаты точки М.

37. (Признак и свойство вписанного четырёхугольника.) Точки E, K и M являются соответственно серединами сторон АВ, ВС и CD четырехугольника ABCD. Известно, что ∠BEK=∠CMK и ∠BCD=115°. Найдите ∠BAD.

Ответ: 65°. Указание: Доказать, что четырёхугольник ABCD вписанный.

38. (Свойство вписанного четырёхугольника, сумма углов треугольника, определение биссектрисы угла треугольника.) В ΔАВС биссектрисы ВЕ и СМ пересекаются в точке О. Найдите ∠А, если точки А, М, Е и О лежат на одной окружности.

Ответ: 60°.  Указание: ∠А+∠МОЕ=180° по свойству вписанного четырёхугольника. Пусть ∠СBE=α, ∠MCB=β, тогда ∠А=180°–2α–2β, ∠МОЕ=∠ВОС=180°–α–β. Получаем, что α+β=60°. ∠А=180°–2(α+β).

39. (Свойство вписанного четырёхугольника, вписанный угол, опирающийся на диаметр, соотношения в прямоугольном треугольнике.) Отрезок АВ является диаметром некоторой окружности. Через его концы А и В проведены две прямые, пересекающиеся в точке Е, лежащей вне окружности и пересекающие окружность по одну сторону от прямой АВ в точках С и D. Найдите радиус окружности, если ∠САВ=60° и ЕС=ED=a.

Ответ: a.  Решение: Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, тогда ∠BDC=120°, ∠EDC=60° и, следовательно, ΔDEC – равносторонний. ∠DEC=60°. Так как вписанный угол ВСА опирается на диаметр, то ВС⊥АЕ. Из прямоугольного ΔВСЕ: BC=CE⋅tg60°=. Но тогда , следовательно, радиус равен a.

40. (Теорема Пифагора, свойство описанного четырёхугольника.) Дан равносторонний ΔАВС. Точка К принадлежит его стороне ВС. Найдите отношение ВК:СК, если в прямоугольную трапецию AKFC с основаниями АС и KF вписывается окружность.

Ответ: ВК:КС=. Указание: Пусть сторона равностороннего треугольника равна a, а радиус вписанной окружности равен r. Следует выразить длину отрезка АК через a и r двумя способами: используя теорему Пифагора и свойство вписанного четырёхугольника.

41. (Метрические соотношения в окружности: теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.) На стороне АВ треугольника АВС постройте такую точку D, чтобы DА*DВ=DС2  (1).

Решение: Предположим, что точка D построена, то есть выполняется данное равенство. Опишем вокруг ΔАВС окружность (О, R), тогда CD∩(O, R)={E, C}. По теореме о пересекающихся хордах DA⋅DB=DC⋅DE  (2). Сопоставляя (1) и (2), видим, что точка D является серединой хорды СЕ. Множество середин хорд окружности (О, R), проходящих через точку С, есть окружность (О1, r), построенная на отрезке ОС как на диаметре.

Итак, D∈АВ∩(О1, r), где r=0,5ОС. В зависимости от числа общих точек окружности (О1, r) и отрезка АВ задача может иметь 2 решения, 1 решение и ни одного решения.

42. (Угол между двумя хордами и между двумя секущими, величина вписанного угла.) Высоты, проведенные через вершины В и С ΔАВС, пересекают описанную окружность в точках В1 и С1. Определите угол А ΔАВС, если прямая В1С1 проходит через центр описанной окружности.

Ответ: если ∠А – острый, то он равен 45°, если тупой, то 135°.

Квадратные неравенства.

43. Решите неравенство: . (Не разрешается использовать таблицы и микрокалькуляторы при необходимых сравнениях чисел.)

Ответ: .

44. Найдите все значения параметра a, при которых сумма квадратов двух различных действительных корней уравнения ax2+4x-3=0 меньше 10.

Ответ: .

45. При каких m неравенство  выполняется при любых х?

Ответ: ни при каких m.

46. Решите: а) ;

       б) ;

        в) ;                                                                                

        г) .

Ответ: а) [1,5; 2);  б) (–8; –6,5)∪(0; 5);  в) [1; 2)∪(3; +∞);  г) (–4; –3)∪(–3; 3)∪(3; 3,5].

47. Для каких значений х выполняется равенство ?

Ответ: (–∞; 2]∪(4; 6)∪[8; +∞).

48. Определить, при каких значениях λ неравенство  выполняется для всех значений х, кроме одного?

Ответ: λ=7/4.

49. Решите неравенство в зависимости от значений параметра а: ax2+(a2+1)x-a>0.

Ответ: при a<0  ;  при a=0 x>0;  при a>0 , .

50. При каких значениях параметра а данная система неравенств будет иметь непустое множество решений:

Ответ: a>–3.

 Задание на лето по математике для учащихся 8 класса

физико-математического профиля
III вариант

Четырёхугольники.
(Вспомогательная окружность, признак вписанного четырёхугольника, угол, опирающийся на диаметр окружности.) На сторонах АВ и СD  прямоугольника АВСD взяты точки E и F так, что BE=CF. На диагонали ВD отмечена точка H, причем (EHC=90(. Найдите (BHF.
См. задачу №3 II варианта.

(Теорема Фалеса.) На сторонах АС и ВС треугольника АВС отмечены точки E и M соответственно так, что АЕ:ЕС=2:3, ВМ:МС=3:1. В каком отношении отрезок ВЕ: а) делит отрезок АМ; б) делится отрезком АМ?
См. задачу №4 II варианта.

(Площадь трапеции: S=0,5d1d2sin(, ограниченность sin(.) Площадь трапеции равна 2, а сумма диагоналей равна 4. Найдите высоту трапеции.
Ответ:  EMBED Equation.3  .  Решение: Из условий задачи следует, что 2=0,5d1d2sin( или  EMBED Equation.3  . Отметим, что эта дробь больше нуля (d1>0, d2>0) и не больше 1 (в виду ограниченности синуса) и d1+d2=4, тогда  EMBED Equation.3   или (d1–2)2(0, следовательно, d1=2. Значит, d2=2, sin(=1, (=90(. Площадь трапеции совпадает с площадью прямоугольного равнобедренного треугольника, катеты которого равны 2 и высота, проведённая к гипотенузе, совпадает с высотой трапеции. Отсюда находим высоту: h= EMBED Equation.3  .
                               
Квадратные уравнения и другие задания.
Упростить  EMBED Equation.3  .
Ответ: tn+3/kn+11.
Упростить  EMBED Equation.3  .
См. задачу №10 II варианта.
Пусть –3Ответ: –18< x–3y<4.
Запишите какое-либо приведенное квадратное уравнение, имеющее различные положительные корни х1 и х2. Выразите через коэффициенты этого уравнения:  EMBED Equation.3  .
См. задачу №12 II варианта.
Докажите, что если уравнение х2+2х+с+1=0 имеет действительные и различные корни, то уравнение (2–с)х2+2(с+2)х+с2+с+2 =0 действительных корней не имеет, и обратно.
Уравнение 4x2–3nx+36=0 имеет два отрицательных корня, если 1)  EMBED Equation.3  ; 2) n(–8; 3)  EMBED Equation.3  ; 4) n<–8; 5) n>8.
См. задачу №14 II варианта.
Выясните, являются ли уравнения равносильными:  EMBED Equation.3   и  EMBED Equation.3  .
См. задачу №15 II варианта.
Решите уравнения: а)  EMBED Equation.3  ;
 б)  EMBED Equation.3  ;
 в)  EMBED Equation.3  ;
 г)  EMBED Equation.3  .
См. задачу №16 II варианта.
Для каждого значения параметра а решите уравнение  EMBED Equation.3  .
См. задачу №17 II варианта.
Упростив выражение  EMBED Equation.3  , определите, какие значения оно может принимать.
См. задачу №18 II варианта.
Упростите числовое выражение и представьте его в виде степени:  EMBED Equation.3  .
См. задачу №19 II варианта.
Решите неравенства: а)  EMBED Equation.3  ;
     б)  EMBED Equation.3  .
См. задачу №20 II варианта.
Какие целые значения принимает дробь  EMBED Equation.3  , если x, y – натуральные числа?
См. задачу №21 II варианта
При каких х выражение  EMBED Equation.3   представляет собой целое число?
Ответ: х=0 или х=1. Решение: Пусть  EMBED Equation.3   (n(N) или x2–x+1=n2   (1). Умножим (1) на 4, получим, 4x2–4x+4=(2n)2, но 4x2–4x+1=(2x–1)2. Таким образом, (2x–1)2+3=(2n)2, то есть квадраты чисел отличаются на 3, значит первый из них равен 1. Отсюда x=0 или x=1.
Вычислить:  EMBED Equation.3  .
Ответ:  EMBED Equation.3  .  Указание: Обозначим  EMBED Equation.3  , тогда  EMBED Equation.3  .
Изобразите на координатной плоскости точки, координаты которых удовлетворяют системе уравнений  EMBED Equation.3  
См. задачу №22 II варианта.
                                               
Окружность.
(Центральный угол, вписанный угол, их измерение через дуги, на которые они опираются, внешний угол, признак и свойство равнобедренного треугольника.) На хорде АВ окружности с центром О берется произвольная точка М. Через точки А, М, О проводится окружность, пересекающая первую окружность в точках А и С. Докажите, что МВ=МС.
Доказательство:  EMBED Equation.3  , но  EMBED Equation.3   как внешний угол в (СМВ, следовательно, 2(АВС=(АВС+(ВМС или (АВС=(ВМС. Значит, (СМВ – равнобедренный, поэтому МВ=МС. Что и требовалось доказать.

(Теорема о квадрате касательной, признак и свойство подобия треугольников, теорема Пифагора, площадь трапеции.) Треугольник АВС вписан в окружность; через вершину А проведена касательная до пересечения с продолжением стороны ВС в точке Д. Из вершин В и С опущены перпендикуляры на касательную, меньший из которых равен 6 см. Определите площадь трапеции, образованной этими перпендикулярами, стороной ВС и отрезком касательной, если ВС=5 см, АД= EMBED Equation.3  см.
Ответ: 30 см2.

(Свойство равнобедренного треугольника, вспомогательная окружность, равенство вписанных углов, хорды, стягивающие равные дуги, равны.) Окружности S1 и S2 с центрами О1 и О2 пересекаются в точках А и В. Луч О1А пересекает окружность S2 в точке М, луч О2А пересекает окружность S1 в точке N, а прямая MN вторично пересекает эти окружности в точках E и F. Докажите, что AE=AF.
Доказательство: Из равенств NO1=O1A, MO2=O2A и (O1AN=(O2AM ( (O1NO2=(O2MO1, поэтому O1NMO2 – вписанный четырёхугольник. Отсюда (ANE=(O2O1A=0,5(BO1A, то есть ЕА=АВ, так как (ANE – вписанный, (ВО1А – центральный. Аналогично, AF=AB. Итак, AE=AF.

(Теорема Пифагора, свойство описанного четырёхугольника.) Дан равносторонний (АВС. Точка К принадлежит его стороне ВС. Найдите отношение ВК:СК, если в прямоугольную трапецию AKFC с основаниями АС и KF вписывается окружность.
См. задачу №40 II варианта

(Метрические соотношения в окружности: теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.) На стороне АВ треугольника АВС постройте такую точку D, чтобы DА*DВ=DС2.
См. задачу №41 II варианта.

(Свойство параллельных прямых, равенство вписанных углов.) Окружности S1 и S2 пересекаются в точках M и K. Через точку М проведена прямая, пересекающая окружности S1 и S2 в точках А и В соответственно. Через А и В проведены параллельные прямые, одна из которых пересекает окружность S1 в точке С, а другая пересекает окружность S2 в точке D так, как показано на рисунке. Докажите, что точки C, K и D лежат на одной прямой.
Доказательство: Проведём отрезки КС, КМ и KD. Имеем, что (АСК=(АМК, как вписанные в окружность S1 и опирающиеся на дугу АК. (ВМК=(BDK, как вписанные в окружность S2 и опирающиеся на дугу ВК. Следовательно, (АМК=(ВМК=(BDK и (АМК=(АСК, то есть (АСК=(BDK. Так как BD((CA, то отсюда следует, что точки С, К и D лежат на одной прямой. Ч. Т. Д.

Подобные треугольники.
(Признак и свойство подобия треугольников, периметр квадрата.) В прямоугольный треугольник с катетами a и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата, если его вершина лежит на гипотенузе.
Ответ:  EMBED Equation.3  .

(Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, признак и свойство подобия треугольников.) В (АВС сторона АС равна b, сторона АВ равна с, а биссектриса внутреннего угла А пересекается со стороной ВС в точке D такой, что DА=DВ. Найдите длину стороны ВС.
См. задачу №23 II варианта.

(Соответственные углы при параллельных прямых, признак равнобедренного треугольника, средняя линия треугольника или признак и свойство подобия треугольников.) В (АВС сторона АС больше стороны АВ, а угол при вершине А равен (. На стороне АС взята точка R, так что AB=RC. Пусть E – середина отрезка AR, D – середина стороны ВС. Найдите (CED.
См. задачу №25 II варианта.
                               
Соотношения в прямоугольном треугольнике.
(Соотношения в прямоугольном треугольнике, соответственные углы при параллельных прямых, свойство параллелограмма, теорема Пифагора.) Внутри угла в 30( находится точка, удаленная от сторон угла на расстояния  EMBED Equation.3  и  EMBED Equation.3   соответственно. Найдите расстояние от этой точки до вершины угла.
Ответ:  EMBED Equation.3  .

(Соотношения в прямоугольном треугольнике, теорема Фалеса.) В прямоугольном треугольнике АВС ((С=90() через вершину А и середину высоты СD проведена прямая, пересекающая катет ВС в точке М. Докажите, что  EMBED Equation.3  .
См. задачу №27 II варианта.
                                         
Квадратичная функция.
Найдите все значения х, при которых график функции  EMBED Equation.3   лежит ниже графика функции  EMBED Equation.3  .
См. задачу №29 II варианта.
Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию  EMBED Equation.3  .
Найдите координаты точки графика функции y=x+1, сумма квадратов расстояний от которой до точки А(4; 0) и до начала координат наименьшая.
См. задачу №31 II варианта.
Постройте графики функций: а)  EMBED Equation.3  ; б)  EMBED Equation.3  .
Найдите все значения х, при которых график каждой из функций f(x)=x2–3x и q(x)=(4–x):(x+2) лежит выше графика функции y=x.
См. задачу №32 II варианта.
Постройте график уравнения: а) (x-1)2y=0; б)  EMBED Equation.3  .
См. задачу №33 II варианта.
Постройте график функции  EMBED Equation.3   и укажите для нее: область определения; значения, принимаемые функцией более чем в двух точках; значения, принимаемые функцией ровно в трех точках.
См. задачу №34 II варианта.
Найдите длину наибольшего отрезка оси абсцисс, на котором графики функций  EMBED Equation.3   и  EMBED Equation.3   совпадают.
См. задачу №35 II варианта.
                                         
Квадратные неравенства.
Решите неравенство:  EMBED Equation.3  . (Не разрешается использовать таблицы и микрокалькуляторы при необходимых сравнениях чисел.)
См. задачу №43 II варианта.
Найдите все значения параметра a, при которых сумма квадратов двух различных действительных корней уравнения ax2+4x-3=0 меньше 10.
См. задачу №44 II варианта.
При каких m неравенство  EMBED Equation.3   выполняется при любых х?
См. задачу №45 II варианта.
Решите: а)  EMBED Equation.3  ;
б)  EMBED Equation.3  ;
в)  EMBED Equation.3  ;                                                                                
г)  EMBED Equation.3  .
См. задачу №46 II варианта.
Определить, при каких значениях ( неравенство  EMBED Equation.3   выполняется для всех значений х, кроме одного?
См. задачу №48 II варианта.
Решите неравенство в зависимости от значений параметра а: ax2+(a2+1)x-a>0.
См. задачу №49 II варианта.
При каких значениях параметра а данная система неравенств будет иметь непустое множество решений:  EMBED Equation.3  
См. задачу №50 II варианта.