Теорема Виета
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Тема урока: Теорема Виета

(по УМК Мордковича А.Г.)

Цели урока:

1) Повторить формулы корней неполных квадратных уравнений;

2) Сформировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений;

3) Развивать и совершенствовать умение применять, имеющиеся у учащихся знания в измененной ситуации

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Устная проверка домашнего задания

№ 28.2(а, б), № 28.5(а, б)

III. Повторение пройденного материала

(2 ученика заполняют таблицу на доске). Задание: заполнить пустые места в таблице.

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

b = c = 0

b = 0, c ≠ 0

ax2 + bx = 0

x(          ) = 0

x2 =        

x = 0 или

-ca>0

X1, 2 =

Остальные учащиеся заполняют кроссворд. В выделенной строке получится фамилия французского математика.

1. Квадратное уравнение с первым коэффициентом равным 1. (приведенное)

2. Подкоренное выражение в формуле квадратного уравнения (дискриминант)

3. Один из видов квадратного уравнения (неполное)

4. a, b в квадратном уравнении (коэффициенты)

В выделенной строке получилась фамилия великого французского математика Франсуа Виета. (Сообщение учащегося о жизни и деятельности Виета)

IV. Изучение нового материала

Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения. Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.

От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Из чего составляется дискриминант? (из коэффициентов a, b,c)

В зависимости от того какие коэффициенты квадратного уравнения, можно определять корни неполных квадратных уравнений. (Проверка заполненной учащимися на доске таблицы)

Как еще связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет наглядно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. (Учащиеся от каждого ряда решают задания на доске, а остальные выполняют задание в тетрадях).

Задание. Решить уравнение.

Как называются квадратные уравнения, после алгебраических преобразований? (приведенные)

При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Задание. Заполнить пропуски в таблице.

Могла ли вам эта таблица в раскрытии новых связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Выскажите свои предположения (учащиеся делают свои выводы)

Сравните сформулированный вами вывод с теоремой, записанной в учебнике. (с. 169)

Учащиеся вслух 3-4 раза читают формулировку теоремы.

Теорема названа в честь французского математика Франсуа Виета (1540-1603). Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.

Задание. Используя теорему Виета, заполните пропуски в таблице.

Применима ли теорема Виета для квадратных уравнений в общем вид? (да, если заменить это уравнение равносильным ему приведенным уравнением)

ax2+bx+c=0

x2+bax+ca=0

Если х1 и х2 – корни данного квадратного уравнения, то по теореме Виета:

x1+x2=-ba; x1∙x2=ca

                       По праву достойна в стихах быть воспета

                       О свойствах корней теорема Виета.

                       Что лучше, скажи постоянства такого:

                       Умножишь ты корни – и дробь уж готова.

                       В числителе с, в знаменателе а,

                      А сумма корней тоже дроби равна

                      Хоть с минусом дробь, что за беда,

                      В числителе b, в знаменателе а.

Задание по учебнику №29.2, 29.3(а, б)

Устно. Не решая данного квадратного уравнения, определите какие числа являются корнями уравнения.

x2 – 5x + 4 = 0                                                        -1 и -4

x2 + x + 4 = 0                                                         -1 и 4

x2 – 3x – 4 = 0                                                        1 и 4

x2 + 3x – 4 = 0                                                       1 и -4  

В некоторых случаях корни уравнения можно найти подбором. Подбор корней значительно облегчает, если известны зависимость между корнями и коэффициентами уравнения. Формулы, выражающие эти зависимости, отражены в теореме Виета.

Теорема (обратная теореме Виета). Если действительные числа х1 и х2 таковы, что

x1 + x2=-p и x1x2=q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения х2+px+q=0.

Но чаще эту теорему используют для нахождения корней методом подбора

x2-11x+24=0

x1 + x2=11, x1x2=24

х1 =3; х2=8

Задание №29.6(в, г), 29.8(в, г)

V. Итог урока

1. С какими теоремами вы познакомились сегодня на уроке?

2. В каких ситуациях может быть применима теорема Виета и ей обратная теорема

VI. Домашнее задание. §29, № 29.7, 29.9